专题1.4等边三角形的判定-八年级数学下册尖子生同步培优题典(原卷版)【北师大版】
北师版八年级数学下册1.1 等腰三角形3 第4课时 等边三角形的判定
第4课时 等边三角形的判定1．理解并掌握等边三角形的判定定理，并会运用定理进行判定．2．掌握含30°角的直角三角形的性质，并学会运用该结论进行相关的计算和证明．自学指导：阅读教材P10～11，完成下列问题．知识探究1．等边三角形的判定：(1)三个角都相等的三角形是等边三角形；(2)有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．2．在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．自学反馈1．在等边△ABC 中，∠A ＝∠B ＝∠C ＝60°．2．在△ABC 中，AB ＝AC ＝2，∠A ＝60°，则BC ＝2．3．在Rt △ABC 中，若∠BCA ＝90°，∠A ＝30°，AB ＝4，则BC ＝2．活动1 小组讨论例1 填空：(1)如图1，BC ＝AC ，若BC ＝AB 或AC ＝AB 或∠A ＝60°或∠B ＝60°或∠C ＝60°，则△ABC 是等边三角形；(2)如图2，AB ＝AC ，AD ⊥BC ，BD ＝4.若AB ＝8，则△ABC 是等边三角形；(3)如图3，在Rt △ABC 中，∠B ＝30°.若AC ＝6，则AB ＝12；若AB ＝7，则AC ＝3.5．例2 如图，∠ACB ＝90°，∠B ＝30°，CD ⊥AB.求证：AD ＝14AB.证明：∵∠ACB ＝90°，∠B ＝30°，∴AC ＝12AB. ∵CD ⊥AB ，∴∠CDB ＝90°.∴∠DCB ＝60°.∵∠ACB ＝90°，∴∠ACD ＝30°.在Rt △ACD 中，∠ACD ＝30°.∴AD ＝12AC ＝14AB. 活动2 跟踪训练1．如图，△ABC 是等边三角形，O 为△ABC 内任意一点，OE ∥AB ，OF ∥AC ，分别交BC 于点E ，F ，△OEF 是等边三角形吗？为什么？解：△OEF 是等边三角形．理由：∵△ABC 是等边三角形，∴∠B ＝∠C ＝60°.∵OE ∥AB ，OF ∥AC ，∴∠OEF ＝∠B ＝60°，∠OFE ＝∠C ＝60°.∴△OEF 是等边三角形．根据三个角都相等的三角形是等边三角形或有一个角为60°的等腰三角形为等边三角形判定．2．如图，一棵大树在一次强台风中离地面5米处折断倒下，倒下部分与地面成30°夹角，这棵大树在折断前的高度为(B)A ．10米B ．15米C ．25米D ．30米活动3 课堂小结1．等边三角形的判定：(1)三个角都相等的三角形是等边三角形；(2)有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形．2．含30°角的直角三角形中存在线段与线段的比例关系，是今后证明线段倍分关系的重要途径．。
【北师大版】初二数学下册《1.1.4等边三角形的判定》习题课件(附答案)
＝BE，D为EC的中点．
(1)求∠CAE的度数； (2)求证：△ADE是等边三角形．
∵AB＝AC，∠BAC＝120°， (1)解：
1 ∴∠B＝∠C＝ ×(180°－120°)＝30°. 2
∵AE＝BE， ∴∠BAE＝∠B＝30°. ∴∠CAE＝120°－30°＝90°.
(2)证明：∵∠CAE＝90°，∠C＝30°，
1 ∴AE＝ EC. 2 又∵D为EC的中点， 1 ∴ED＝ EC. 2 ∴AE＝ED.
又∵∠AED＝∠B＋∠BAE＝30°＋30°＝60°，
∴△ADE是等边三角形．
13. 【 中考•徐州】如图，已知AC⊥BC，垂足为C，AC＝4， BC＝3 3 ，将线段AC绕点A按逆时针方向旋转60°， 得到线段AD，连接DC，DB. 4 (1)线段DC＝________ ； (2)求线段DB的长度．
1.1 等腰三角形
第一章 三角形的证明
第4课时 等边三角形的判定
1 利用等边三角形判定方法判定等边三角形
2
利用等边三角形判定求线段的长
3 利用含30°角的直角三角形的性质解与全等三角
形的综合问题(等线段代换法)
4 利用等边三角形的判定探究三角形的形状
12．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AE
解：(2)如图，过点D作DE⊥BC于E， 易得△ADC是等边三角形， ∴∠ACD＝60°. ∵AC⊥BC， ∴∠ACB＝90°.∴∠DCB＝30°.
1 ∴DE＝ CD＝2.∴CE＝2 2 ∵BC＝3 3, ∴BE＝ 3.
3.
在Rt△BDE中，DB＝ DE 2 BE 2 22 ( 3)2 7.
又∵BQ⊥AD，
∴∠PBQ＝30°. ∴BP＝2PQ＝6. ∴BE＝BP＋PE＝6＋1＝7. ∴AD＝7.
2020-2021学年八年级数学下册尖子生同步培优题典 专题1
2020-2021学年八年级数学下册尖子生同步培优题典【北师大版】专题1.9第1章三角形的证明单元测试（基础卷）姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________注意事项：本试卷满分120分，试题共26题，选择10道、填空8道、解答8道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．等腰三角形的周长为26cm，一边长为6cm，那么腰长为（）A．6cm B．10cm C．6cm或10cm D．14cm【分析】题中给出了周长和一边长，而没有指明这边是否为腰长，则应该分两种情况进行分析求解．【解析】①当6cm为腰长时，则腰长为6cm，底边＝26﹣6﹣6＝14cm，因为14＞6+6，所以不能构成三角形；②当6cm为底边时，则腰长＝（26﹣6）÷2＝10cm，因为6﹣6＜10＜6+6，所以能构成三角形；故选：B．2．下列说法中：①两个全等三角形一定成轴对称；②等腰三角形的对称轴是底边上的中线；③等边三角形一边上的高所在的直线就是这边的垂直平分线；④一条线段可以看作是以它的垂直平分线为对称轴的轴对称图形．正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】根据题轴对称的性质，对题中条件进行一一分析，排除错误答案．【解析】①两个全等三角形不一定成轴对称，因为它们不一定关于某直线对称，故①的结论错误；②等腰三角形的对称轴是底边上的中线所在的直线，故②结论错误；③等边三角形一边上的高所在的直线就是这边的垂直平分线，正确；④一条线段可以看作是以它的垂直平分线为对称轴的轴对称图形，符合轴对称性质，正确．所以正确的有2个．故选：B．3．如图，已知AB∥CD，OA、OC分别平分∠BAC和∠ACD，OM⊥AC于点M，且OM＝3，则AB、CD 之间的距离为（）A．2B．4C．6D．8【分析】作OF⊥AB，延长FO与CD交于G点，根据角平分线的性质可得，OM＝OF＝OG，即可求得AB与CD之间的距离．【解析】作OF⊥AB，延长FO与CD交于G点，∵AB∥CD，∴FG垂直CD，∴FG就是AB与CD之间的距离．∵∠ACD平分线的交点，OE⊥AC交AC于M，∴OM＝OF＝OG，∴AB与CD之间的距离等于2OM＝6．故选：C．4．如图：DE是△ABC中AC边的垂直平分线，若BC＝8厘米，AB＝10厘米，则△EBC的周长为（）厘米．A．16B．18C．26D．28【分析】利用线段垂直平分线的性质得AE＝CE，再等量代换即可求得三角形的周长．【解析】∵DE是△ABC中AC边的垂直平分线，∴AE＝CE，∴△EBC的周长＝BC+BE+CE＝BC+BE+CE＝BC+AB＝10厘米+8厘米＝18厘米，故选：B．5．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D是BC边上的中点，∠BAD＝50°，则∠C的大小为（）A．20°B．30°C．40°D．50°【分析】根据等腰三角形的三线合一定理可得AD⊥BC，然后根据三角形的内角和定理求得∠B的度数，然后根据等腰三角形中等边对等角即可求解．【解析】∵AB＝AC，点D为BC的中点，∴AD⊥BC，又∵∠BAD＝50°，∴∠B＝90°﹣∠BAD＝90°﹣50°＝40°，又∵AB＝AC，∴∠C＝∠B＝40°．故选：C．6．到三角形三个顶点的距离相等的点是三角形（）的交点．A．三个内角平分线B．三边垂直平分线C．三条中线D．三条高【分析】根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等解答．【解析】到三角形三个顶点的距离相等的点是三角形三边垂直平分线的交点．故选：B．7．如图，△ABC是等边三角形，AD是角平分线，△ADE是等边三角形，下列结论不正确的是（）A．AD⊥BC B．EF＝FD C．BE＝BD D．AE＝AC【分析】根据等腰三角形三线合一，即可一一判断．【解析】∵△ABC是等边三角形，△AED是等边三角形，∴AB＝AC＝BC，∠BAC＝60°，AE＝AD＝ED，∠EAD＝60°，∵∠DAB＝∠DAC＝30°，∴AD⊥BC，故①正确，∠EAB＝∠BAD＝30°，∴AB⊥ED，EF＝DF，故②正确∴BE＝BD，故③正确，无法得出AC＝AE，故④错误；故选：D．8．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，以△ABC的一边为边画等腰三角形，使得它的第三个顶点在△ABC 的其他边上，则可以画出的不同的等腰三角形的个数最多为（）A．4B．5C．6D．7【分析】①以B为圆心，BC长为半径画弧，交AB于点D，△BCD就是等腰三角形；②以A为圆心，AC长为半径画弧，交AB于点E，△ACE就是等腰三角形；③以C为圆心，BC长为半径画弧，交AC于点F，△BCF就是等腰三角形；④以C为圆心，BC长为半径画弧，交AB于点K，△BCK就是等腰三角形；⑤作AB的垂直平分线交AC于G，则△AGB是等腰三角形；⑥作BC的垂直平分线交AB于I，则△BCI和△ACI是等腰三角形．【解析】如图，可以画出7个等腰三角形；故选：D．9．如图，△ABC中，边AB，BC的垂直平分线相交于点P．以下结论：①P A＝PC；②∠BPC＝90°+1 2∠BAC；③∠ABP+∠BCP+∠CAP＝90°；④∠APC＝2∠ABC．一定正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到P A＝PB＝PC，根据线段垂直平分线的判定定理、等腰三角形的性质即可．【解析】∵边AB、BC的垂直平分线交于点P，∴P A＝PB，PB＝PC，∴P A＝PC，①正确；∵P A＝PB，P A＝PC，∴∠P AB＝∠PBA，∠P AC＝∠PCA，∵∠BPC＝∠P AB+∠PBA+∠P AC+∠PCA，∴∠BPC＝2∠BAC，故②错误；同理：∠APC＝2∠ABC，故④正确；∵PB＝PC，∴∠PCB＝∠PBC，∵∠BPC+∠PCB+∠PBC＝180°，∴2∠BAC+2∠PCB＝180°，∴∠ABP+∠BCP+∠CAP＝90°；③正确；故选：C．10．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，∠ACB的平分线与∠ABC的外角平分线交于E点，连接AE，∠AEB的度数是（）A．30°B．35°C．45°D．35°【分析】作EF⊥AC交CA的延长线于F，EG⊥AB于G，EH⊥BC交CB的延长线于H，根据角平分线的性质和判定得到AE平分∠F AG，求出∠EAB的度数，根据角平分线的定义求出∠ABE的度数，根据三角形内角和定理计算得到答案．【解析】作EF⊥AC交CA的延长线于F，EG⊥AB于G，EH⊥BC交CB的延长线于H，∵CE平分∠ACB，BE平分∠ABD，∴EF＝EH，EG＝EH，∴EF＝EF，又EF⊥AC，EG⊥AB，∴AE平分∠F AG，∵∠CAB＝40°，∴∠BAF＝140°，∴∠EAB＝70°，∵∠ACB＝90°，∠CAB＝40°，∴∠ABC＝50°，∴∠ABH＝130°，又BE平分∠ABD，∴∠ABE＝65°，∴∠AEB＝180°﹣∠EAB﹣∠ABE＝45°，故选：C．二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上11．把命题“等角的补角相等”改写成“如果…那么…”的形式是 如果两个角是等角的补角，那么它们相等 ．【分析】命题中的条件是两个角相等，放在“如果”的后面，结论是这两个角的补角相等，应放在“那么”的后面．【解析】题设为：两个角是等角，结论为：它们的补角相等，故写成“如果…那么…”的形式是：如果两个角是等角的补角，那么它们相等． 故答案为：如果两个角是等角的补角，那么它们相等．12．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，腰长为6，则其底边上的高是 3或3√3 ． 【分析】分①三角形是钝角三角形时，根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半可得AD =12AB ，再根据等腰三角形两底角相等和三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠ABC ＝30°，然后根据角平分线上的点到角的两边距离相等解答，②三角形是锐角三角形时，判断出△ABC 是等边三角形，再根据等边三角形的性质解答． 【解析】①三角形是钝角三角形时，如图1， ∵∠ABD ＝30°， ∴AD =12AB =12×6＝3， ∵AB ＝AC ，∴∠ABC ＝∠ACB =12∠BAD =12（90°﹣30°）＝30°， ∴∠ABD ＝∠ABC ，∴底边BC 上的高AE ＝AD ＝3；②三角形是锐角三角形时，如图2，∵∠ABD ＝30°， ∴∠A ＝90°﹣30°＝60°， ∴△ABC 是等边三角形， ∴底边上的高为√32×6＝3√3， 综上所述，底边上的高是3或3√3． 故答案为：3或3√3．13．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AD平分∠BAC，BD＝6，则CD的长为3．【分析】由角平分线的定义得到∠BAD＝∠CAD＝30°，结合已知条件和对角对等边推知AD＝BD＝6，所以在含有30度角的直角△ACD中来求CD的长度即可．【解析】∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，∴∠BAC＝60°，又AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD＝30°，∴∠BAD＝∠B＝30°，∴AD＝BD＝6，∴CD=12AD＝3，故答案是：3．14．如图：△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE＝3cm，△ABD的周长为13cm，则△ABC的周长为19cm．【分析】由已知条件，利用线段的垂直平分线的性质，得到AD＝CD，AC＝2AE，结合周长，进行线段的等量代换可得答案．【解析】∵DE是AC的垂直平分线，∴AD＝CD，AC＝2AE＝6cm，又∵△ABD的周长＝AB+BD+AD＝13cm，∴AB+BD+CD＝13cm，即AB+BC＝13cm，∴△ABC的周长＝AB+BC+AC＝13+6＝19cm．故答案为19cm．15．如图，AD是∠BAC的平分线，EF垂直平分AD交BC的延长线于点F，若∠F AC＝65°，则∠B的度数为65°．【分析】根据角平分线的定义得出∠CAD＝∠BAD，根据线段垂直平分线的性质得出F A＝FD，推出∠FDA＝∠F AD，根据三角形的外角性质得出∠FDA＝∠B+∠BAD，代入求出即可．【解析】∵AD平分∠CAB，∴∠CAD＝∠BAD，设∠CAD＝∠BAD＝x°，∵EF垂直平分AD，∴F A＝FD，∴∠FDA＝∠F AD，∵∠F AC＝65°，∴∠F AD＝∠F AC+∠CAD＝65°+x°，∵∠FDA＝∠B+∠BAD＝∠B+x°，∴65°+x°＝∠B+x°，∴∠B＝65°，故答案为：65°．16．如图，△ABC中，BD平分∠ABC，BC的中垂线交BC于点E，交BD于点F，连接CF．若∠A＝60°，∠ACF＝48°，则∠ABC的度数为48°．【分析】根据角平分线的性质可得∠DBC＝∠ABD，再根据线段垂直平分线的性质可得BF＝CF，进而可得∠FCE＝24°，然后可算出∠ABC的度数．【解析】∵BD平分∠ABC，∴∠DBC＝∠ABD，∵∠A＝60°，∴∠ABC+∠ACB＝120°，∵∠ACF＝48°，∵BC的中垂线交BC于点E，∴BF＝CF，∴∠FCB＝∠FBC，∴∠ABC＝2∠FCE，∵∠ACF＝48°，∴3∠FCE＝120°﹣48°＝72°，∴∠FCE＝24°，∴∠ABC＝48°，故答案为：48°17．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠CAB，交边BC于点D，过点D作DE⊥AB，垂足为E．若∠CAD＝20°，则∠EDB的度数是40°．【分析】根据角平分线的定义得∠CAB＝40°，由直角三角形的性质计算即可得解．【解析】∵AD平分∠CAB，∠CAD＝20°，∴∠CAB＝2∠CAD＝40°，∵∠ACB＝90°，∴∠B＝90°﹣40°＝50°，∵DE⊥AB，∴∠DEB＝90°，∴∠EDB＝90°﹣50°＝40°，故答案为：40°．18．如图，MN是△ABC中边AB的垂直平分线，垂足为F，AD是∠CAB的平分线，且MN与AD交于点O．连接BO并延长交AC于点E．某同学分析图形后得出下列结论：①AF＝BF；②OE＝OF；③OA＝OB；④∠CAD＝∠ABE．上述结论一定正确的是①③④（填序号）．【分析】先根据角平分线的性质判断出A、B的正误；再根据线段垂直平分线的性质判断B、C的正误即可．【解析】∵MN是边AB的垂直平分线，∴AF＝BF，OA＝OB，∴①③正确；∵AD是∠CAB的平分线，∴∠CAD＝∠BAD，∴④正确；∵BE不一定垂直AC，∴无法判断OE、OF是否相等，∴②错误；正确的有①③④，故答案为：①③④．三、解答题（本大题共8小题，共66分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．如图，△ABC是等边三角形，AB＝2cm，求高AD的长和△ABC的面积．【分析】根据等边三角形三线合一的性质，则D为BC中点，且AD⊥BC，根据勾股定理即可求AD的值，根据AD、BC即可计算△ABC的面积．【解析】∵等边三角形三线合一的性质，∴D为BC中点，BD＝DC＝1cm，∵AD⊥BC，∴AD=√AB2−BD2=√3cm，∴△ABC的面积为S=12BC•AD=12×2cm×√3cm=√3cm2．答：高AD的长为√3cm，△ABC的面积为√3cm2．20．已知：如图，AB＝AC，点D是BC的中点，AB平分∠DAE，AE⊥BE，垂足为E．求证：AD＝AE．【分析】求简单的线段相等，可证线段所在的三角形全等，结合本题，证△ADB≌△AEB即可．【解析】证明：∵AB＝AC，点D是BC的中点，∴∠ADB＝90°，∵AE⊥EB，∴∠E＝∠ADB＝90°，∵AB平分∠DAE，∴∠1＝∠2；在△ADB和△AEB中，{∠E=∠ADB=90°∠1=∠2AB=AB，∴△ADB≌△AEB（AAS），∴AD＝AE．21．如图，已知∠AOB及点C、D两点，请利用直尺和圆规作一点P，使得点P到射线OA、OB的距离相等，且P点到点C、D的距离也相等．【分析】利用角平分线的作法作出角平分线，再作出线段CD垂直平分线进而得出P点即可．【解析】如图所示：P点即为所求．22．如图，已知AD为等腰三角形ABC的底角的平分线，∠C＝90°，求证：AB＝AC+CD．【分析】作DE⊥AB于E，根据等腰三角形的性质证明DE＝BE，根据角平分线的性质得到CD＝DE，证明△CAD≌△EAD，得到AC＝AE，得到答案．【解析】证明：作DE ⊥AB 于E ，∵△ABC 是等腰直角三角形，∴∠B ＝45°，又DE ⊥AB ，∴DE ＝BE ，∵AD 为△ABC 的底角的平分线，∠C ＝90°，DE ⊥AB ，∴DE ＝DC ，则CD ＝BE ，在△CAD 和△EAD 中，{∠C =∠AED ∠CAD =∠EAD AD =AD，∴△CAD ≌△EAD ，∴AC ＝AE ，AB ＝AE +EB ＝AC +CD ．23．如图，在直角三角形ABC 中，∠BCA ＝90°，∠A ＝60°，CD 是角平分线，在CB 上截取CE ＝CA ．（1）求证：DE ＝BE ；（2）若AC ＝1，AD =√3−1，试求△ABC 的面积．【分析】（1）证明△ACD ≌△ECD ，可得∠CAD ＝∠CED ＝60°，则结论证得；（2）求出BE 的长，则BC 可求出，由三角形的面积公式可求出答案．【解析】证明：（1）已知CD 是角平分线，∴∠ACD ＝∠ECD在△ACD 和△ECD 中：{∠ACD=∠ECDCD=CD，∴△ACD≌△ECD（SAS），∴∠CAD＝∠CED＝60°，又∵∠B＝90°﹣60°＝30°，∴∠EDB＝30°，∴DE＝BE，（2）解：∵△ACD≌△ECD，∴CE＝AC＝1，DE＝AD=√3−1，又∵DE＝BE，∴BE=√3−1，∴BC＝CE+BE=√3，∴S△ABC=12AC×BC=12×1×√3=√32．24．如图，点C为线段AB上任意一点（不与点A、B重合），分别以AC、BC为一腰在AB的同侧作等腰三角形ACD和等腰三角形BCE，CA＝CD，CB＝CE，∠ACD与∠BCE都是锐角，且∠ACD＝∠BCE，连接AE交CD于点M，连接BD交CE于点N，AE与BD相交于点P，连接PC．求证：（1）△ACE≌△DCB；（2）∠APC＝∠BPC．【分析】（1）由已知可得∠ACE＝∠DCB，然后根据SAS即可证明△ACE≌△DCB；（2）由（1）证得的△ACE≌△DCB可知AE＝BD，根据全等三角形的面积相等，从而证得AE和BD边上的高相等，即CH＝CG，最后根据角的平分线定理的逆定理即可证得∠APC＝∠BPC．【解析】（1）证明：∵∠ACD＝∠BCE，∴∠ACD+∠DCE＝∠DCE+∠BCE，∴∠ACE＝∠DCB，在△ACE和△DCB中{∠ACE=∠DCB，CE=CB∴△ACE≌△DCB（SAS），（2）证明：如图，分别过点C作CH⊥AE于H，CG⊥BD于G，∵△ACE≌△DCB，∴AE＝BD，S△ACE＝S△DCB，∴AE和BD边上的高相等，即CH＝CG，∴∠APC＝∠BPC；25．如图，在△ABC中，∠C＝90°，点P在AC上运动，点D在AB上，PD始终保持与P A相等，BD的垂直平分线交BC于点E，交BD于点F，连接DE．（1）判断DE与DP的位置关系，并说明理由；（2）若AC＝6，BC＝8，P A＝2，求线段DE的长．【分析】（1）连接OD，根据等腰三角形的性质得到∠A＝∠PDA，根据线段垂直平分线的性质得到EB ＝ED，于是得到结论；（2）连接PE，设DE＝x，则EB＝ED＝x，CE＝8﹣x，根据勾股定理即可得到结论．【解析】（1）DE⊥DP，理由如下：∵PD＝P A，∴∠A＝∠PDA，∵EF是BD的垂直平分线，∴EB＝ED，∴∠B＝∠EDB，∵∠C＝90°，∴∠A+∠B＝90°，∴∠PDA+∠EDB＝90°，∴∠PDE＝180°﹣90°＝90°，∴DE⊥DP；（2）连接PE，设DE＝x，则EB＝ED＝x，CE＝8﹣x，∵∠C＝∠PDE＝90°，∴PC2+CE2＝PE2＝PD2+DE2，∴42+（8﹣x）2＝22+x2，解得：x＝4.75，则DE＝4.75．26．已知：如图，△ABC中，∠ABC＝45°，DH垂直平分BC交AB于点D，BE平分∠ABC，且BE⊥AC 于E，与CD相交于点F．（1）求证：BF＝AC；（2）求证：CE=12 BF．【分析】（1）由ASA证△BDF≌△CDA，进而可得出第（1）问的结论；（2）在△ABC中由垂直平分线可得AB＝BC，即点E是AC的中点，再结合第一问的结论即可求解．【解析】证明：（1）∵DH垂直平分BC，且∠ABC＝45°，∴BD＝DC，且∠BDC＝90°，∵∠A +∠ABF ＝90°，∠A +∠ACD ＝90°， ∴∠ABF ＝∠ACD ，在△BDF 和△CDA 中，{∠BDF =∠CDA DB =DC ∠DBF =∠DCA，∴△BDF ≌△CDA （ASA ），∴BF ＝AC ．（2）由（1）得BF ＝AC ，∵BE 平分∠ABC ，且BE ⊥AC ，在△ABE 和△CBE 中，{∠ABE =∠CBE BE =BE ∠AEB =∠CEB =90°，∴△ABE ≌△CBE （ASA ），∴CE ＝AE =12AC =12BF ．。
1-1-4等边三角形的判定 2022—2023学年北师大版八年级下册
解：∵ DE⊥AC，BC⊥AC，∠A =30°，
∴ BC = 1AB，DE = 1 AD． B
∴
2
BC =3.7（m）．
2
D
又
AD
=
1 2
AB，
A EC
∴ DE = 1 AD =1.85（m）
答：立柱B2C 的长是3.7 m，DE 的长是1.85 m．
课时小结
等边三角形性质：等边三角形的各角都相 等，并且每一个角都等于60°. 推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形。
在△ABC中
A
∵∠A＝∠B＝∠C＝ 60°
′ ∴△ABC是等边三角形
(三个角都相等的三角形是等边三角形．B )
C
这是议一议 2
几何语言
定理：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．
在△ABC中 ∵AB=AC ′ ∠B＝ 60° ∴△ABC是等边三角形
A
随堂练习
求证：三个角都相等的三角形是等边三角形．
已知：△ABC中，∠A=∠B=∠C．
求证：△ABC是等边三角形．
A
证明：∵∠A=∠B，
∴BC=AC(等角对等边)．
又∵∠A=∠C，
B
C
∴BC=AB(等角对等边)．
∴AB=BC=CA，
即△ABC是等边三角形．
议一议 1
几何语言
定理：三个角都相等的三角形是等边三角形．
推论2： 有一个角是60°的等腰三角形是等边三 角形.
定理：在直角三角形中,如果一个锐角等于
30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半.
，且每个角都是60°
形是等边三角形
做一做
用含30°角的两个三角尺，你能拼成一个怎 样的三角形?能拼出一个等边三角形吗?说说你 的理由．
北师大版数学八年级下册 第一章 三角形的证明 1.4 等边三角形的判定 同步练习含答案
第一章三角形的证明 1.4 等边三角形的判定1．下列说法不正确的是( )A．有两个角分别为60°的三角形是等边三角形B．顶角为60°的等腰三角形是等边三角形C．底角为60°的等腰三角形是等边三角形D．有一个角为60°的三角形是等边三角形2．三角形的三边长分别为a、b、c，它们满足(a－b)2＋|b－c|＝0，则该三角形是( )A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形3．在下列三角形中：①三边都相等的三角形；②有一个角是60°且是轴对称的三角形；③三个外角(每个顶点处各取1个外角)都相等的三角形；④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形．其中是等边三角形的有( )A．①②③B．①②④C．①③ D．①②③④4. 如图，将一个有45°角的三角板的直角顶点放在一张宽为3cm的长方形纸带边沿上，另一个顶点在纸带的另一边沿上，测得三角板的一边与纸带的一边所在的直线成30°角，则三角板最大边的长为( )A．3cm B．6cm C．32cm D．62cm5. 如图，已知∠AOB＝60°，点P在边OA上，OP＝12，点M、N在边OB上，PM ＝PN，若MN＝2，则OM等于( )A．3 B．4 C．5 D．66. 如图，△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝60°，BD平分∠ABC，若AD＝6，则CD＝ .7．如图，一棵大树在一次强台风中从距离地面5米处折断倒下，倒下部分与地面成30°夹角，这棵大树在折断前的高度为米．8. 有一个角等于的等腰三角形是等边三角形．9. 在△ABC中，∠A＝60°，要使△ABC是等边三角形，则需添加的一个条件是 .10. 在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的．11. 如图，△ABC是等边三角形，AD⊥BC，DE⊥AB，垂足分别为D、E，如果AB ＝8cm，则BE＝ cm.12．如图，这是某超市自动扶梯的示意图，大厅两层之间的距离h＝6.5米，自动扶梯的倾角为30°，若自动扶梯运行速度为v＝0.5米/秒，则顾客乘自动扶梯上一层楼的时间为秒．13. 在△ABC中，AB＝AC＝4cm，∠B＝30°，则S△ABC＝ cm2.14. 如图AC＝BC＝10cm，∠B＝15°，AD⊥BC于D，求AD的长。
北师大版数学八年级下册1.1.4：等边三角形的判定(教案)
二、核心素养目标
1.培养学生逻辑推理能力，通过探索等边三角形的判定方法，使学生能够运用严密的逻辑推理证明几何问题。
2.提高学生空间想象力和几何直观，让学生在观察、思考和实践中，把握等边三角形的性质及其在几何图形中的应用。
3.培养学生团队合作意识，通过小组讨论、合作探究等边三角形的判定方法，提高学生沟通与协作能力。
-实际应用：结合实际情境，运用等边三角形的判定方法解决几何问题。
举例：在讲解判定方法时，可以通过具体的图形示例，如三角形ABC，若AB=AC=BC，则三角形ABC是等边三角形；若∠A=∠B=60°，则三角形ABC也是等边三角形。
2.教学难点
-理解等边三角形性质与判定方法之间的逻辑关系：学生需要理解为什么三边相等、两角相等且第三角为60°的三角形一定是等边三角形。
北师大版数学八年级下册1.1.4：等边三角形的判定（教案）
一、教学内容
本节课选自北师大版数学八年级下册1.1.4章节：等边三角形的判定。教学内容主要包括以下两个方面：
1.熟悉等边三角形的定义及性质，了解等边三角形在几何图形中的应用。
2.学会运用以下方法判定等边三角形：
a.三边相等；
b.两角相等，且第三角为60°；
-判定方法的灵活运用：学生在实际操作中可能难以灵活运用判定方法，如面对复杂图形时，不能迅速识别等边三角形。
-解决实际问题时，将等边三角形的判定方法与问题情境有效结合：学生在解决问题时可能不知道如何将所学知识应用到具体情境中。
举例：在讲解逻辑关系时，可以通过构造具体的证明过程，如当三角形ABC满足两角相等且第三角为60°时，可以通过角度和为180°的性质推出两相等角也是60°，从而证明三边相等，得出三角形ABC为等边三角形。对于判定方法的灵活运用，教师可以通过提供不同类型的练习题，如隐藏一边长或角度，让学生进行判断，以增强学生对判定方法的理解和应用能力。在解决实际问题时，可以设计一些生活中的实际问题，如建筑物的平面图设计，让学生将等边三角形的判定应用到实际情境中，提高学生的问题解决能力。
1.1.4等边三角形的判定-北师大版八年级数学下册习题课件
【思路点拨】求出∠ABC＝70°，由平分线性质得∠ABD＝∠DBC ＝35°，由 AF⊥AB，得∠BAF＝90°，由三角形外角性质可求得 ∠AFE 度数；
解：∵AB＝AC，∠BAC＝40°， ∴∠ABC＝12(180°－40°)＝12×140°＝70°. ∵BD 平分∠ABC，∴∠ABD＝∠DBC＝12∠ABC＝12×70°＝35°. ∵AF⊥AB，∴∠BAF＝90°， ∴∠AFE＝∠ABD＋∠BAF＝35°＋90°＝125°；
第4课时 等边三角形的判定
第4课时 等边三角形的判定
第4课时 等边三角形的判定
提第示4课：时点击等B边．三进角入腰形习的题和判定底边不相等的等腰三角形
第4课时 等边三角形的判定
C．直角三角形 第4课时 等边三角形的判定
第4课时 等边三角形的判定
第4课时 等边三角形的判定
D．不等边三角形 第4课时 等边三角形的判定
第4课时 等边三角形的判定
第4课时 等边三角形的判定
4．(中考·玉林)如图，∠AOB＝60°，OA＝OB，动点 C 从点 O 出 发，沿射线 OB 方向移动，以 AC 为边在右侧作等边三角形 ACD，连接 BD，则 BD 所在直线与 OA 所在直线的位置关 系是( A ) A．平行 B．相交 C．垂直 D．平行、相交或垂直
第4课时 等边三角形的判定
第4课时 等边三角形的判定
第4课时 等边三角形的判定
第4课时 等边三角形的判定
(1)特殊情况，探究结论 当点 E 为 AB 的中点时，如图①，请你直接写出结论： AE__＝____DB(填“＞”“＜”或“＝”)．
(2)特例启发，解答题目 解：题目中，AE 与 DB 的大小关系是：AE___＝___DB(填 “＞”“＜”或“＝”)．理由如下： 如图②，过点 E 作 EF∥BC，EF 交 AC 于点 F.(请你完成解 答过程)
北师大版八年级下册1.1.4等边三角形的判定课件
证明： ∵E，F分别是线段OB，OC的垂直平分线上的点， ∴OE＝BE，OF＝CF. ∴∠OBE＝∠BOE，∠OCF＝∠COF. ∵△ABC是等边三角形， ∴∠ABC＝∠ACB＝60°. 又∵BO，CO分别平分∠ABC和∠ACB， ∴∠OBE＝∠BOE＝∠OCF＝∠COF＝30°. ∴∠OEF＝∠OFE＝60°. ∴∠EOF＝180°－2×60°＝60°. ∴△OEF是等边三角形．
• 1. 如图，在△ABC中，∠C＝90°， • ∠A＝30°，AB＝12，则BC＝( A ) • A．6 • B．6 2 • C．6 3 • D．12
2. 如 图 ， 已 知 在 △ ABC 中 ， AB ＝ AC ， ∠ C ＝ 30° ，
AB⊥AD，则下列关系式正确的为( B )
A．BD＝CD
那么它所对的直角边等于斜边的一半． 要点精析： (1)适用条件——含30°角的直角三角形， (2)揭示的关系——30°角所对的直角边与斜边的关
系．
例2 求证：如果等腰三角形的底角为15°，那么腰上的
高是腰长的一半.
已知：如图，在△ABC中，AB = AC， ∠B＝15°，
CD是腰AB上的高.求证：CD＝
1 D．腰与底边相等
2.如图，△ABC是等边三角形，D，E，F为各边 中点，则图中共有等边三角形(D ) A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
3. 下列三角形：①有两个角等于60°的三角形；
②有一个角等于60°的等腰三角形；
③三个外角(每个顶点处各取一个外角)都相等的
三角形；
④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角
体悟新知二
知识点
做一做 用两个含30°角的全等的三角尺，你
能拼成一个怎样的三角形？能拼出一个等 边三角形吗？由此你能发现什么结论？说 说你的理由.
北师大版八年级数学下册等边三角形的判定及含30°角的直角三角形的性质同步练习题
1.1 等腰三角形第4课时等边三角形的判定及含30°角的直角三角形的性质一．选择题1．如图，△ABC中，∠C=90°，AC=3，∠B=30°，点P是BC边上的动点，则AP长不可能是（）A． 3.5 B． 4.2 C． 5.8 D．7第1题第3题第4题2．在△ABC中，①若AB=BC=CA，则△ABC为等边三角形；②若∠A=∠B=∠C，则△ABC为等边三角形；③有两个角都是60°的三角形是等边三角形；④一个角为60°的等腰三角形是等边三角形．上述结论中正确的有（）A．1个 B．2个C．3个 D．4个3．如图，已知D、E、F分别是等边△ABC的边AB、BC、AC上的点，且DE⊥BC、EF⊥AC、FD⊥AB，则下列结论不成立的是（）A．△DEF是等边三角形 B．△ADF≌△BED≌△CFEC．DE=AB D．S△ABC=3S△DEF4．如图，在△ABC中，D、E在BC上，且BD=DE=AD=AE=EC，则∠BAC的度数是（）A．30° B．45° C．120°D．15°5．已知∠AOB=30°，点P在∠AOB内部，P1与P关于OB对称，P2与P关于OA对称，则P1，O，P2三点所构成的三角形是（）A．直角三角形 B．钝角三角形 C．等腰三角形D．等边三角形二．填空题6．△ABC中，∠A=∠B=60°，且AB=10cm，则BC= _________ cm．7．在△ABC中，∠A=∠B=∠C，则△ABC是_________ 三角形．8．如图，将两个完全相同的含有30°角的三角板拼接在一起，则拼接后的△ABD的形状是_________ ．第8题第9题第10题9．如图，∠AOE=∠BOE=15°，EF∥OB，EC⊥OB，若EC=1，则EF= _________ ．10．如图，M、N是△ABC的边BC上的两点，且BM=MN=NC=AM=AN．则∠BAN= _________ ．三．解答题11.如图，已知点D在BC上，点E在AD上，BE=AE=CE,并且∠1=∠2=60°.求证：△ABC是等边三角形.12.如图，在等边三角形ABC的边AB、AC上分别截出AD=AE，△ADE是等边三角形吗？说明理由.13．如图，△ABC中，∠C=90°，∠ABC=60°，BD平分∠ABC，若AD=6，求AC的长．14.如图，△ABC中，∠ACB=90°，CD是△ABC的高，∠A=30°，AB=4，求BD长．15.如图，已知△ABC为等边三角形，点D为BC延长线上的一点，CE评分∠ACD，CE=BD，求证：△ADE是等边三角形。
北师大版八年级数学等边三角形的判定
已知：如图，△ABC是直角三角形，∠C=90°，∠A=30°.
求证：BC= 1 AB. 2
A
A
B
C
B
CD
证明：如图，延长BC至点D，使CD=BC，连接AD.
∵∠ACB=90°，∠BAC=30°
∴∠ACD=90°，∠B=60°
A
∵AC=AC
∴ △ABC≌ △ADC(SAS)
∴AB=AD
(全等三角形的对应边相等) B
C
有一个角等于60°的等腰三角形
2.在直角三角形中,如果一个锐角等于30°， 那么它所对的直角边等于斜边的一半.
布置作业
1.从教材习题中选取 2.完成练习册本课时的习题
又∵∠1=∠2=∠3
A
∴∠DAC=∠FCB=∠ABE
1F
∵ ∠DFE=∠DAC+∠3
3
∠FED=∠2+∠FCB
B
DE
2
C
∠EDF=∠1+∠ABE
∴∠DFE=∠FED=∠EDF
∴△DEF是等边三角形
课堂小结
1.等边三角形的判定:
名 称 等 边 三
角B
形
图形
A
判定 三条边都相等的三角形
三个角都等于60°的三角形
CD
∴ △ABD是等边三角形
（有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形 ∴BC= 1BD= 1 AB
22
例 求证：如果等腰三角形的底角为15°，那么腰上的高 是腰长的一半.
已知：如图，在△ABC中，AB=AC，∠B=15°。CD是腰
AB上的高。 求证：CD= 1 AB
2
D A
B
C
D
A
证明：在△ABC中，
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八年级数学下册尖子生同步培优题典【北师大版】
专题1.4等边三角形的判定
姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________
注意事项：
本试卷满分100分，试题共24题，选择10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2020秋•南岗区校级月考）下列推理中，不能判断△ABC是等边三角形的是（）A．∠A＝∠B＝∠C B．AB＝AC，∠B＝60°
C．∠A＝60°，∠B＝60°D．AB＝AC，且∠B＝∠C
2．（2020秋•覃塘区期中）下列条件不能得到等边三角形的是（）
A．有一个内角是60°的锐角三角形
B．有一个内角是60°的等腰三角形
C．顶角和底角相等的等腰三角形
D．腰和底边相等的等腰三角形
3．（2019秋•尚志市期末）若△ABC的三条边长分别是a、b、c，且（a﹣b）2+|b﹣c|＝0，则这个三角形是（）
A．等腰三角形B．等边三角形
C．直角三角形D．等腰直角三角形
4．（2019秋•辛集市期末）如图，在钝角三角形ABC中，∠ABC为钝角，以点B为圆心，AB长为半径画弧；
再以点C为圆心，AC长为半径画弧；两弧交于点D，连结AD，CB的延长线交AD于点E．下列结论错误的是（）
A．CE垂直平分AD B．CE平分∠ACD
C．△ABD是等腰三角形D．△ACD是等边三角形
5．（2019秋•睢宁县期中）如图，△ABC中，∠B＝∠C，BD＝CD，则下列判断不一定正确的是（）
A．AB＝AC B．AD⊥BC
C．∠BAD＝∠CAD D．△ABC是等边三角形
6．（2019秋•岳麓区校级月考）下列条件不能得到等边三角形的是（）
A．有两个内角是60°的三角形
B．有一个角是60°的等腰三角形
C．腰和底相等的等腰三角形
D．有两个角相等的等腰三角形
7．（2019春•文登区期末）如图，∠AOB＝120°，OP平分∠AOB，且OP＝2．若点M，N分别在OA，OB 上，且△PMN为等边三角形，则满足上述条件的△PMN有（）
A．2个B．3个C．4个D．无数个
8．（2019秋•费县期中）已知：在△ABC中，∠A＝60°，如要判定△ABC是等边三角形，还需添加一个条件．现有下面三种说法：
①如果添加条件“AB＝AC”，那么△ABC是等边三角形；
②如果添加条件“∠B＝∠C”，那么△ABC是等边三角形；
③如果添加条件“边AB、BC上的高相等”，那么△ABC是等边三角形．
上述说法中，正确的有（）
A．3个B．2个C．1个D．0个
9．（2019春•福山区期末）在下列结论中：
（1）有一个外角是120°的等腰三角形是等边三角形；
（2）有两个外角相等的等腰三角形是等边三角形；
（3）有一边上的高也是这边上的中线的等腰三角形是等边三角形；
（4）三个外角都相等的三角形是等边三角形．
其中正确的个数是（）
A．4个B．3个C．2个D．1个
10．（2018秋•思明区校级期中）如图1是一张Rt△ABC纸片，如果用两张相同的这种纸片恰好能拼成一个正三角形如图2，那么在Rt△ABC中，若BC＝6，则AB＝（）
A．3B．6√3C．12D．9
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上
11．（2019秋•长春期中）下列三角形中：①有两个角等于60°的三角形；②有一个角等于60°的等腰三角形；③三个角都相等的三角形；④三边都相等的三角形．其中是等边三角形的有（填序号）．12．（2019•金山区二模）在△ABC中，AB＝AC，请你再添加一个条件使得△ABC成为等边三角形，这个条件可以是（只要写出一个即可）．
13．（2018秋•襄州区期中）如图，用圆规以直角顶点O为圆心，以适当半径画一条弧交直角两边于A，B 两点，若再以A为圆心，以OA为半径画弧，与弧AB交于点C，则△AOC的形状为．
14．（2018秋•确山县期中）在△ABC中，∠A＝60°，要使是等边三角形，则需要添加一条件是．15．（2016秋•临城县期末）如图已知OA＝a，P是射线ON上一动点，∠AON＝60°，当OP＝时，△AOP为等边三角形．
16．（2020秋•射洪市期中）已知a、b、c是△ABC的三边的长，且满足a2+2b2+c2﹣2b（a+c）＝0，则此三
角形的形状为．
17．（2013秋•船山区校级期末）如图，△ABC中，∠A＝60°，分别以A，B为圆心，大于AB长的一半为半径画弧交于两点，过两点的直线交AC于点D，连结BD，则△ABD是三角形．
18．（2008秋•江岸区期中）如图，在等边△ABC的边BC上任取一点D，作∠ADE＝60°，DE交∠C的外角平分线于E，则△ADE是三角形．
三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2020秋•铁东区期中）已知，如图，∠B＝60°，AB∥DE，EC＝ED，求证：△DEC为等边三角形．
20．（2020秋•惠州期中）已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，D为AC的中点，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别为E，F，且DE＝DF．
求证：（1）∠B＝∠C；
（2）△ABC是等边三角形．
21．（2020秋•赣榆区期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，点D、E在BC上，且AE＝BE．（1）求∠CAE的度数；
（2）若点D为线段EC的中点，求证：△ADE是等边三角形．
22．（2019秋•越秀区校级期中）如图，在△EBD中，EB＝ED，点C在BD上，CE＝CD，BE⊥CE，A是CE延长线上一点，EA＝EC．
（1）求∠EBC的度数；
（2）求证△ABC为等边三角形．
23．（2018秋•威海期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，BE平分∠ABC，AM⊥BC于点M，交BE于点G，AD平分∠MAC，交BC于点D，交BE于点F．
（1）判断直线BE与线段AD之间的关系，并说明理由；
（2）若∠C＝30°，图中是否存在等边三角形？若存在，请写出来并证明；若不存在，请说明理由．
24．（2018秋•越秀区校级期中）如图，已知△ABC是边长为6cm的等边三角形，动点P、Q同时从A，B 两点出发，分别沿AB、BC匀速运动，其中点P运动的速度是1cm/s，点Q运动的速度是2cm/s，当点Q 到达点C时，P、Q两点都停止运动．设运动时间为：t（s），当t＝2时，判断△BQP的形状，并说明理由．。