函数与反函数

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函数与反函数

函数与反函数

函数是指在矢量空间中的任意一点的集合的映射,其表示一种趋势,使得每一个自变量都有一个定义域以及唯一的值域。反函数是指原函数的逆运算,它满足这样一个条件:在反函数中假定函数值为y,那么在原函数中对应的自变量值应该为y。因此,反函数一般情况下也是一个函数,并且与原函数具有相同性质和特征。

一、函数的概念

1、定义:函数是指由一组输入自变量经过一定处理,输出唯一确定的因变量的一种关系。

2、特点:

(1)函数有输入,有输出;

(2)每一个输入点对应一个固定的输出点;

(3)规定域和值域,包含唯一性;

(4)函数内容完备,不会漏掉任何内容。

二、反函数的概念

1、定义:反函数是指函数的逆运算,即假设函数的输出变量值为y,那么在原函数中对应的输入变量值被定义为y,反函数也是一种函数。

2、特点:

(1)反函数表达式上下文和原函数表达式的上下文是相反的;

(2)反函数的定义域和原函数的值域相同;

(3)反函数的值域和原函数的定义域相同;

(4)反函数也是函数,具有相同的性质和特征。

三、函数与反函数的区别

1、函数和反函数的上下文是不同的:函数的表达式上下文是先输入自变量,再输出因变量,反函数的表达式上下文则正好相反。

2、函数的定义域和值域分别等于反函数的值域和定义域:即函数的定义域是反函数的值域,函数的值域是反函数的定义域。

3、函数和反函数具有相同的性质和特征:在函数和反函数中,若输入变量是x,则函数的输出和反函数的输入相同,函数及反函数也具有同

样的性质和特征(如可导、可积、有界等)。

四、函数与反函数之间的关系

1、函数和反函数可以通过变换求得:函数的表达式可以通过上下文的变换来求得反函数的表达式,反函数的表达式亦可通过相反的变换求得函数的表达式。

2、函数的性质和属性可以代入反函数中:如果函数的性质和属性是可逆的(如可导、可积、连续等),则可以代入反函数来求得原先的函数。

3、可以同时求得函数与反函数:通过解齐次线性方程组,可以同时求出函数和反函数的表达式,也可以同时判断函数与反函数的性质和属性。

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