§1.5 行列式的性质

§1.5 行列式的性质
行列式是矩阵最为基础的性质之一，它具有众多的特性、定理和性质。

行列式在线性代数、微积分、算法设计、物理、统计学等众多学科中都有着广泛的应用。

了解行列式的性质可以帮助我们更好地掌握矩阵的相关知识，在各个领域更为灵活地应用数学知识。

行列式的性质包括：
1. 矩阵中任意两行（列）交换，行列式的值变号，即 $det(A) = - det(A^T)$，其中$A^T$ 表示 $A$ 的转置矩阵。

2. 矩阵中某一行（列）加上另一行（列）的若干倍，行列式的值不变。

3. 矩阵中某一行（列）乘以一个非零常数 $k$，行列式的值乘以 $k$。

5. 对于$n$阶矩阵，行列式可以按任意一行（列）展开，展开后的行列式值等于该行列式中所有元素的代数余子式乘以对应元素的余子式。

6. 若矩阵中有两行（列）的对应元素成比例，则该矩阵的行列式为 $0$。

7. 若矩阵 $A$ 是可逆的，则其行列式值不为 $0$，并且
$det(A^{-1})=\dfrac{1}{det(A)}$。

8. 对于矩阵 $A$ 和 $B$，$det(AB)=det(A)det(B)$，其中 $A$ 和 $B$ 的阶数应当相同。

9. 对于 $n$ 级单位矩阵 $I_n$，其行列式的值为 $1$。

这些性质并不是行列式的全部，但是是最基本的性质。

它们在计算行列式的各种方法和技巧中发挥了重要的作用。

掌握这些性质可以使我们更加熟练地应用行列式进行矩阵运算和分析问题。

接下来，我们将对一些常用的性质和定理进行详细的讲解。

对于$n$级方阵$A$，若将它的任意两行交换，则其行列式$det(A)$的值变号。

这意味着行列式具有交换性和反对称性。

对于$n$级矩阵$A$，如将它的第$i$行与第$j$行交换，则有：
$$
\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} & ... & a_{1n} \\
a_{21} & a_{22} & ... & a_{2n} \\
... & ... & ... & ... \\
a_{i1} & a_{i2} & ... & a_{in} \\
... & ... & ... & ... \\
a_{j1} & a_{j2} & ... & a_{jn} \\
... & ... & ... & ... \\
a_{n1} & a_{n2} & ... & a_{nn}
\end{vmatrix} = -
\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} & ... & a_{1n} \\
a_{j1} & a_{j2} & ... & a_{jn} \\
... & ... & ... & ... \\
a_{i1} & a_{i2} & ... & a_{in} \\
... & ... & ... & ... \\
a_{i1} & a_{i2} & ... & a_{in} \\
... & ... & ... & ... \\
a_{n1} & a_{n2} & ... & a_{nn}
\end{vmatrix}
$$
使用这一方法可以将行列式划分成多个简单的子项，方便进行计算。

2. 行列式的加减法
矩阵的行列式有加减法的性质。

对于$n$级方阵$A$，若将其中的某一行乘以$k$加到另一行上，不改变其行列式$det(A)$的值，即：
这个性质说明我们可以通过对原行列式做有限次行列式加减法来把它化为多个系数已知的行列式之和，进而计算得到行列式的值。

行列式有乘法的性质。

对于$n$级方阵$A,B$，有$det(AB)=det(A)det(B)$。

这个性质告诉我们，在计算行列式的乘积时，我们可以先计算每个矩阵的行列式值，然后将它们相乘得出最终结果。

$$
\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} & ... & a_{1n} \\
a_{21} & a_{22} & ... & a_{2n} \\
... & ... & ... & ... \\
a_{n1} & a_{n2} & ... & a_{nn}
\end{vmatrix} =
\sum_{\sigma \in S_n} a_{1\sigma(1)}a_{2\sigma(2)}\cdots a_{n\sigma(n)}
$$
将$S_n$中每一个置换$\sigma$映射为$S_n$中一个置换$\tau$，使得
$\tau(1)=\sigma(1),\ \tau(2)=\sigma(2),\ ...\ ,\ \tau(n)=\sigma(n)$。

由于
$\sigma$是$S_n$中的任意一个置换，显然对$\tau$进行某些改变可以得到每个置换，因此$\tau$也是$S_n$中的一个置换，且它的逆也是存在的。

于是有：
这个性质说明，当我们需要计算一个矩阵的行列式时，可以先转置矩阵，再计算转置后的行列式。

这样对于有些情况下行列式比较难以计算的问题，可以通过转置矩阵的方法来求解。

5. 矩阵可逆的充分必要条件
设$n$级方阵$A$的行列式为$det(A)$，$A$可逆的充分必要条件是$det(A) \neq 0$。

充分性：由于矩阵$A$可逆，则存在$n$级矩阵$B$满足：$AB=BA=I_n$。

于是，对于任意向量$x \in \mathbb{R}^n$，都有$Ax=B^{-1}(Ax) \in \mathbb{R}^n$。

这就说明了矩阵$A$的每一列都是$\mathbb{R}^n$的一个基，即列向量线性无关，因此$det(A) \neq
0$。

必要性：设$A$为可逆矩阵，则存在$n$级矩阵$B$，满足$AB=BA=I_n$。

由于
$det(B)det(A)=det(AB)=det(I_n)=1$，且$det(B) \neq 0$，因此$det(A) \neq 0$。

这个性质告诉我们，矩阵可逆的条件与行列式值有关。

如果行列式值为$0$，则矩阵不可逆；反之，行列式值不为$0$的矩阵必定可逆。