2022届高中数学新教材同步必修第一册 第3章 习题课 反比例函数、对勾函数

习题课 反比例函数、对勾函数学习目标 1.掌握反比例函数和对勾函数的图象和性质.2.能通过构造函数解决实际问题． 一、反比例函数的图象和性质问题1 反比例函数的一般形式是什么？ 提示 y ＝kx ，其中x 为自变量且x ≠0，k 为常数．问题2 反比例函数的图象会过坐标原点吗？ 提示 不会，因为x ≠0.例1 画出反比例函数y ＝kx 的图象．(1)求函数的定义域和值域； (2)判断函数的单调性和奇偶性． 解(1)函数的定义域为{x |x ≠0}，函数的值域为{y |y ≠0}．(2)令y ＝f (x )，当k >0时，f (x )的单调递减区间为(－∞，0)和(0，＋∞)，没有单调递增区间，证明如下：当x >0时，∀x 1，x 2∈(0，＋∞)且x 1<x 2， f (x 1)－f (x 2)＝k x 1－k x 2＝k (x 2－x 1)x 1x 2，∵k >0，x 1>0，x 2>0，x 1<x 2， ∴f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)， ∴f (x )在(0，＋∞)上单调递减，同理当x <0时，f (x )在(－∞，0)上单调递减．当k <0时，f (x )的单调递增区间为(－∞，0)和(0，＋∞)，没有单调递减区间(证明略)． f (x )为奇函数．反思感悟 研究反比例函数的几个方面(1)函数的定义域和值域可以由图象直接得到．(2)由图象或者单调性的定义可以判断函数的单调性，但一定要注意两个单调递增(减)区间的连接方法．(3)由图象或者奇偶性的定义可以判断函数的奇偶性． (4)函数图象关于(0,0)中心对称．跟踪训练1 作出y ＝2x (－2≤x <1且x ≠0)的图象，并指出其值域和单调区间．解 由题意知函数y ＝2x (－2≤x <1且x ≠0)的图象为反比例函数图象的一部分，当x ＝－2时，y ＝2－2＝－1；当x ＝1时，y ＝21＝2；所以该函数图象如图：由图象可知，函数y ＝2x (－2≤x <1且x ≠0)的值域为(－∞，－1]∪(2，＋∞)．单调递减区间为[－2,0)和(0,1)，没有单调递增区间． 二、对勾函数的图象和性质问题3 观察函数y ＝x ＋1x解析式的特点，你想到了什么？提示 学习了幂函数，类比实数的加、减、乘、除运算，我们对幂函数也进行相关的运算，得到了新的函数y ＝x ＋1x.问题4 大家讨论一下，如何作出该函数的图象？ 提示 借助计算机软件，我们绘制出它的图象．问题5 观察函数图象，你能发现函数图象有什么特点吗？提示 发现该函数图象介于y ＝x 和y 轴之间，且图象无限接近y ＝x 和y 轴，函数图象象两个勾子一样，故称此类函数为“对勾函数”．问题6 结合函数的解析式和函数图象，你能得出f (x )＝x ＋1x 的哪些性质？提示 (1)定义域：∵x ≠0，∴函数f (x )＝x ＋1x的定义域为{x |x ≠0}；(2)值域：函数f (x )＝x ＋1x 的值域为(－∞，－2]∪[2，＋∞)；(3)奇偶性：∵f (－x )＝－x －1x ＝－⎝⎛⎭⎫x ＋1x ＝－f (x )， ∴函数f (x )＝x ＋1x为奇函数；(4)单调性：由函数f (x )＝x ＋1x 的图象可知，函数f (x )＝x ＋1x 在(－∞，－1)，(1，＋∞)上单调递增，在(－1,0)，(0,1)上单调递减．(5)最大值、最小值：由函数的值域可知，函数无最大、最小值，但是当x ＞0时，函数有最小值为2，当x ＜0时，函数有最大值为－2.(6)对称性：由函数的奇偶性可知，函数图象关于(0,0)成中心对称．例2 探究函数f (x )＝x ＋ax (a >0)的性质，并画出它的简图(单调性需证明，其余性质列出即可)．解 (1)定义域：{x |x ≠0}；(2)值域：(－∞，－2a ]∪[2a ，＋∞)； (3)奇偶性：奇函数；(4)单调性：函数f (x )＝x ＋ax (a >0)在(－∞，－a )和(a ，＋∞)上单调递增，在[－a ，0)和(0，a ]上单调递减，证明如下： 任取x 1，x 2∈(0，a ]，且x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1＋a x 1－x 2－a x 2＝(x 1－x 2)·⎝⎛⎭⎫1－a x 1x 2. 因为0<x 1<x 2≤a ， 所以x 1－x 2<0,0<x 1x 2<a ， 所以ax 1x 2>1，所以1－ax 1x 2<0，所以f (x 1)－f (x 2)>0， 即f (x 1)>f (x 2)．所以f (x )在(0，a ]上单调递减． 任取x 1，x 2∈(a ，＋∞)，且x 1<x 2， 则f (x 1)－f (x 2)＝(x 1－x 2)⎝⎛⎭⎫1－a x 1x 2. 因为x 1－x 2<0，x 1x 2>a ， 所以a x 1x 2<1，所以1－ax 1x 2>0，所以f (x 1)－f (x 2)<0， 所以f (x 1)<f (x 2)．所以f (x )在(a ，＋∞)上单调递增．同理，f (x )在(－∞，－a )上单调递增，在(－a ，0)上单调递减． 其图象如图所示．延伸探究 当a <0时，探究该函数的性质，并画出函数的简图(单调性需证明，其余性质列出即可)．解 (1)定义域：{x |x ≠0}； (2)值域：R ；(3)奇偶性：奇函数；(4)函数f (x )在区间(－∞，0)，(0，＋∞)上单调递增，证明如下： 任取x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1<x 2， 则f (x 1)－f (x 2)＝x 1＋ax 1－⎝⎛⎭⎫x 2＋a x 2 ＝(x 1－x 2)⎝⎛⎭⎫1－a x 1x 2， 因为0<x 1<x 2， 所以x 1－x 2<0，又a <0，所以1－ax 1x 2>0，所以f (x 1)－f (x 2)<0， 即f (x 1)<f (x 2)，所以函数f (x )在区间(0，＋∞)上单调递增； 同理可知，函数f (x )在区间(－∞，0)上单调递增． 其简图如图所示．跟踪训练2 函数f (x )＝x ＋1x.(1)x ∈[1,3]，f (x )的最小值是________； (2)x ∈⎣⎡⎦⎤12，3，f (x )的值域为________； (3)x ∈⎣⎡⎭⎫－12，0∪(0,3]，f (x )的值域为________． 答案 (1)2 (2)⎣⎡⎦⎤2，103 (3)⎝⎛⎦⎤－∞，－52∪[2，＋∞) 解析 (1)∵f (x )在[1,3]上单调递增，∴f (x )的最小值为f (1)＝2. (2)∵f (x )在⎣⎡⎦⎤12，1上单调递减，在[1,3]上单调递增， ∴最小值为f (1)＝2，∵f ⎝⎛⎭⎫12＝52<103＝f (3)，∴最大值为f (3)， ∴f (x )的值域为⎣⎡⎦⎤2，103. (3)x ∈⎣⎡⎦⎤－12，0∪(0,3)，f (x )在⎣⎡⎭⎫－12，0上单调递减，∴f (x )在⎣⎡⎭⎫－12，0上的范围是⎝⎛⎦⎤－∞，－52，f (x )在(0,3]上先单调递减，然后单调递增，在f (1)处取得最小值，∴f (x )在(0,3]上的范围是[2，＋∞)，∴f (x )的值域为⎝⎛⎦⎤－∞，－52∪[2，＋∞)． 三、对勾函数的综合运用问题7 应用基本不等式求最值应注意哪些？ 提示 一正，二定，三相等． 例3 已知函数f (x )＝x 2－2x ＋ax.(1)当a ＝4时，求函数f (x )在x ∈(0，＋∞)上的最小值； (2)当a >0时，求函数f (x )在[2，＋∞)上的最小值． 解 (1)当a ＝4时，f (x )＝x 2－2x ＋4x ＝x ＋4x －2，当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝x ＋4x －2≥2x ·4x－2＝2， 当且仅当x ＝4x ，即x ＝2时等号成立，∴f (x )的最小值为2.(2)f (x )＝x ＋ax －2，设0<x 1<x 2<a ，f (x 1)－f (x 2)＝x 1－x 2＋a x 1－ax 2＝(x 1－x 2)⎝⎛⎭⎫1－a x 1x 2 ＝(x 1－x 2)(x 1x 2－a )x 1x 2，∵0<x 1<x 2<a ，∴x 1x 2<a ， ∴f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)，∴f (x )在(0，a )上单调递减，同理可证f (x )在(a ，＋∞)上单调递增， 当0<a ≤4时，0<a ≤2，函数f (x )在[2，＋∞)上单调递增，f (x )min ＝f (2)＝a2；当a >4时，a >2，函数f (x )在[2，a )上单调递减， 在(a ，＋∞)上单调递增， f (x )min ＝f (a )＝2a －2. 设f (x )的最小值为g (a )， ∴g (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧a 2，0<a ≤4，2a －2，a >4.反思感悟 求对勾函数的最值问题，可以利用函数的单调性研究，也可以利用基本不等式． 跟踪训练3 求函数f (x )＝1x ＋x 3＋17xx 2＋1(x >1)的最值．解 f (x )＝1x ＋x 3＋17x x 2＋1＝1x ＋x ＋16xx 2＋1，∵x >1，∴f (x )＝x ＋1x ＋16x ＋1x .令t ＝x ＋1x，x >1，则t >2，∴f (x )＝g (t )＝t ＋16t≥8，在t ＝4时取得最小值，没有最大值，∴f (x )＝1x ＋x 3＋17xx 2＋1在(1，＋∞)上只有最小值8，没有最大值．1．知识清单：(1)反比例函数的图象和性质； (2)对勾函数的图象和性质．2．方法归纳：分类讨论、数形结合．3．常见误区：研究函数的性质一定先确定函数的定义域．1．函数y ＝m －3x ，当x >0时，y 随x 的增大而增大，那么m 取值范围是( )A ．m <3B ．m >3C ．m <－3D ．m >－3答案 A解析 在反比例函数y ＝kx 中，若k >0，在x >0时，y 随x 的增大而减小，若k <0，在x >0时，y 随x 的增大而增大，所以由题意得m －3<0，m <3. 2．(多选)已知函数y ＝3x ，下列结论中正确的是( )A ．其图象经过点(3,1)B ．其图象分别位于第一、三象限C ．当x >0时，y 随x 的增大而减小D ．当x >1时，y >3 答案 ABC解析 反比例函数y ＝3x ，当x ＝3时，y ＝1，故A 正确；因为y ＝3x 分子大于0，所以图象在第一、三象限，故B 正确；反比例函数在第一、三象限上都单调递减，所以C 正确；因为在(0，＋∞) 上，y ＝3x单调递减，所以当x >1时，0<y <3，所以D 错误．3．已知点P (a ，m )，Q (b ，n )都在函数y ＝－2 021x 的图象上，且a ＜0＜b ，则下列结论一定正确的是( ) A ．m ＋n ＜0 B ．m ＋n ＞0 C ．m ＞n D ．m ＜n 答案 C解析 反比例函数y ＝－2 021x 中，k ＝－2 021＜0，图象位于第二、四象限，∵a ＜0，∴P (a ，m )在第二象限， ∴m ＞0.∵b ＞0， ∴Q (b ，n )在第四象限， ∴n ＜0.∴n ＜0＜m ， 即m ＞n .4．已知对勾函数y ＝x ＋a 2x (a >0)在(－∞，－a )和(a ，＋∞)上单调递增，在(－a,0)和(0，a )上单调递减．若对勾函数f (x )＝x ＋tx (t >0)在整数集合Z 内单调递增，则实数t 的取值范围为________． 答案 (0,2)解析 根据题意得f (x )在(－∞，－t )，(t ，＋∞)上单调递增，要使f (x )在整数集合Z 内单调递增，则⎩⎪⎨⎪⎧t >0，t <2，f (1)<f (2)，即⎩⎪⎨⎪⎧0<t <4，1＋t <2＋t 2，解得0<t <2， ∴实数t 的取值范围为(0,2)．课时对点练1．已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪y ＝1x ，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫y ⎪⎪ y ＝1x ，C ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫(x ，y )⎪⎪y ＝1x，则下列结论正确的是( ) A ．A ＝B B ．A ＝C C ．B ＝C D ．A ＝B ＝C答案 A解析 ∵函数y ＝1x 的定义域为A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ y ＝1x ＝{x |x ≠0}，值域为B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫y ⎪⎪y ＝1x ＝{y |y ≠0}，又集合A ，B 都是数集，C 是点集，∴A ＝B .2．某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压p (千帕)是气球体积V (立方米)的反比例函数，其图象如图所示，则这个函数的解析式为( )A ．p ＝96VB ．p ＝－96VC ．p ＝69VD ．p ＝96V答案 D解析 因为气球内气体的气压是气球体积的反比例函数，所以可设p ＝kV ，由图象可知，点(1.5,64)在函数图象上，所以64＝k 1.5，解得k ＝96，故p ＝96V .3．函数f (x )＝x ＋4x 在区间[1,3]上的最大值是( )A ．3B ．5C ．4 D.133答案 B解析 由对勾函数的图象的特点可知，x ＝2时函数有最小值，x ＝1时，函数有最大值为5. 4．函数f (x )＝x ＋ax (a >0，x ∈R ，x ≠0)的奇偶性为( )A ．奇函数B ．偶函数C ．非奇非偶函数D ．无法判断答案 A5．函数g (x )＝x ＋4x 的单调递减区间为( )A ．(－2,0)∪(0,2)B ．(－2,2)C ．(－2,0)和(0,2)D ．(－∞，－2)和(2，＋∞) 答案 C6．(多选)下列函数中，满足对任意x 1，x 2∈(1，＋∞)，有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2<0的是( )A ．f (x )＝x ＋1xB ．f (x )＝31－xC ．f (x )＝1＋1xD ．f (x )＝－x －1x答案 CD解析 对任意x 1，x 2∈(1，＋∞)，有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2<0，则函数在区间(1，＋∞)上单调递减．对于A ，f (x )＝x ＋1x ，由对勾函数的图象与性质可知不满足题意，故A 不可选；对于B ，f (x )＝31－x，根据复合函数的单调性知，函数在区间(1，＋∞)上单调递增，故B 不可选；对于C ，f (x )＝1＋1x ，函数在区间(1，＋∞)上单调递减，故C 可选； 对于D ，f (x )＝－x －1x，显然函数在区间(1，＋∞)上单调递减，故D 可选． 7．函数y ＝x －2x ＋1的对称中心为________． 答案 (－1,1)解析 ∵y ＝x －2x ＋1＝x ＋1－3x ＋1＝1－3x ＋1， 故该函数是由y ＝－3x先向左平移1个单位长度． 再向上平移1个单位长度得到的，∴对称中心为(－1,1)．8．在平面直角坐标系中，直线y ＝－x ＋a 与函数y ＝1x的图象有两个公共点，则实数a 的取值范围是____________．答案 a <－2或a >2解析 联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x ＋a ，y ＝1x ，整理得x 2－ax ＋1＝0，① 直线y ＝－x ＋a 与反比例函数y ＝1x的图象有两个公共点， 则方程组有两个解，即方程①有两个不同的解，Δ＝a 2－4>0，a <－2或a >2.9．作出函数y ＝x －1x －2的图象，并写出函数的单调区间和值域． 解 y ＝x －1x －2＝1＋1x －2，图象如图所示．函数在(－∞，2)和(2，＋∞)上单调递减．因为1x －2≠0，所以1＋1x －2≠1. 故单调递减区间为(－∞，2)和(2，＋∞)，无单调递增区间．值域为(－∞，1)∪(1，＋∞)．10．济南是新旧动能转换先行区，承载着济南从“大明湖时代”迈向“黄河时代”的梦想，肩负着山东省新旧动能转换先行先试的重任，是全国新旧动能转换的先行区．先行区将以“结构优化、质量提升”为目标，通过开放平台汇聚创新要素，坚持绿色循环保障持续发展，建设现代绿色智慧新城.2020年某智能机器人制造企业有意落户先行区，对市场进行了可行性分析，如果全年固定成本共需2 000(万元)，每年生产机器人x (百个)，需另投人成本C (x )(万元)，且C (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 10x 2＋200x ，0<x <40，601x ＋10 000x －4 500，x ≥40，由市场调研知，每个机器人售价6万元，且全年生产的机器人当年能全部销售完．(1)求年利润L (x )(万元)关于年产量x (百个)的函数关系式；(利润＝销售额－成本)(2)该企业决定：当企业年最大利润超过2 000(万元)时，才选择落户新旧动能转换先行区．请问该企业能否落户先行区，并说明理由．解 (1)当0<x <40时，L (x )＝6×100x －10x 2－200x －2 000＝－10x 2＋400x －2 000；当x ≥40时，L (x )＝6×100x －601x －10 000x＋4 500－2 000＝2 500－⎝⎛⎭⎫x ＋10 000x ， 所以L (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－10x 2＋400x －2 000，0<x <40，2 500－⎝⎛⎭⎫x ＋10 000x ，x ≥40. (2)当0<x <40时，L (x )＝－10x 2＋400x －2 000＝－10(x －20)2＋2 000，所以当x ＝20时，L (x )max ＝L (20)＝2 000；当x ≥40时，L (x )＝2 500－⎝⎛⎭⎫x ＋10 000x ≤2 500－2x ·10 000x＝2 500－200＝2 300， 当且仅当x ＝10 000x，即x ＝100时， L (x )max ＝L (100)＝2 300>2 000.故该企业能落户新旧动能转换先行区．11．函数f (x )＝11＋x 2(x ∈R )的值域是( ) A ．(0,1)B ．(0,1]C ．[0,1)D ．[0,1]答案 B解析 令t ＝1＋x 2，则t ∈[1，＋∞)，又y ＝1t 在t ∈[1，＋∞)上单调递减，所以f (x )＝11＋x 2(x ∈R )的值域为(0,1]．12．函数f (x )＝x 2(x 2＋1)(3x 2＋1)2的最大值为( ) A.19 B.18 C.16 D.14答案 B解析 设t ＝3x 2＋1，则t ≥1，且x 2＝t －13， 则函数f (x )＝g (t )＝t －13·⎝ ⎛⎭⎪⎫t －13＋1t 2＝t 2－2t ＋19＋t －13t 2 ＝t 2－2t ＋1＋3t －39t 2＝t 2＋t －29t 2＝19⎝⎛⎭⎫1＋1t －2t 2 ＝－19⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫1t －142－98＝－29⎝⎛⎭⎫1t －142＋18， ∵t ≥1，∴0<1t≤1， 则当1t ＝14时，函数取得最大值为18. 此时t ＝4，即当3x 2＋1＝4，x ＝±1时，取等号．13．一批救灾物资随26辆汽车从某市以v km/h 的速度送达灾区，已知运送的路线长400 km ，为了安全起见，两辆汽车的间距不得小于⎝⎛⎭⎫v 202 km ，那么这批物资全部到达灾区最少需要( )A ．5 hB ．10 hC ．15 hD ．20 h答案 B解析 由已知得这批物资全部到达灾区的路程是第一辆车出发，到最后一辆车到灾区，总路程为400＋25⎝⎛⎭⎫v 202＝400＋v 216， 设这批物资全部到达灾区的时间为t h ，∴t ＝400＋v 216v ＝400v ＋v 16≥2400v ·v 16＝10. 当且仅当400v ＝v 16，即v ＝80时，等号成立． 故这批物资全部到达灾区最少需要10 h.14．函数f (x )＝x －1x的单调递增区间为________． 答案 (－∞，0)和(0，＋∞)解析 画出函数图象如图，可知函数f (x )的单调递增区间为(－∞，0)和(0，＋∞)．15．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋4x ，0<x <4，－x 2＋10x －20，x ≥4，若存在0<x 1<x 2<x 3<x 4，使得f (x 1)＝f (x 2)＝f (x 3)＝f (x 4)，则x 1x 2x 3x 4的取值范围是________．答案 (96,100)解析 ∵f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋4x ，0<x <4，－x 2＋10x －20，x ≥4，可得函数图象如图所示．由图可知，当y ∈(4,5)时，存在0<x 1<x 2<x 3<x 4，使得f (x 1)＝f (x 2)＝f (x 3)＝f (x 4)，不妨令此时y ＝a ，则对于x 1，x 2满足方程x ＋4x＝a ，即x 2－ax ＋4＝0，所以x 1x 2＝4；对于x 3，x 4满足方程－x 2＋10x －20＝a ，即－x 2＋10x －20－a ＝0，所以x 3＋x 4＝10，则有x 4＝10－x 3， ∴x 1x 2x 3x 4＝4x 3x 4＝4x 3(10－x 3)＝－4(x 3－5)2＋100，其中x 3∈(4,5)，则－4(x 3－5)2＋100∈(96,100)，即x 1x 2x 3x 4∈(96,100)．16．已知函数y ＝x ＋t x有如下性质：如果常数t >0，那么该函数在(0，t ]上单调递减，在[t ，＋∞)上单调递增．(1)已知f (x )＝2x ＋1＋42x ＋1－8，x ∈[0,1]，利用上述性质，求函数f (x )的单调区间和值域； (2)对于(1)中的函数f (x )和函数g (x )＝－x －2a ，若对任意x 1∈[0,1]，总存在x 2∈[0,1]，使得g (x 2)＝f (x 1)成立，求实数a 的值．解 (1)设t ＝2x ＋1，则f (x )＝u (t )＝t ＋4t－8， 因为x ∈[0,1]，则t ＝2x ＋1∈[1,3]．由已知性质可知u (t )在[1,2]上单调递减，在[2,3]上单调递增．所以f (x )的单调递减区间为⎣⎡⎦⎤0，12，单调递增区间为⎣⎡⎦⎤12，1. 当2x ＋1＝2，即x ＝12时，f (x )min ＝f ⎝⎛⎭⎫12＝－4， 又f (0)＝－3，f (1)＝－113， 所以f (x )max ＝－3，所以值域为[－4，－3]．(2)因为g (x )＝－x －2a 为减函数，所以当x ∈[0,1]时，g (x )∈[－1－2a ，－2a ]．因为对任意x 1∈[0,1]，总存在x 2∈[0,1]，使得g (x 2)＝f (x 1)成立，所以f (x )的值域是g (x )值域的子集，即[－4，－3]⊆[－1－2a ，－2a ]，则⎩⎪⎨⎪⎧ －1－2a ≤－4，－2a ≥－3， 解得a ≥32且a ≤32，即a ＝32.。