新人教B版高中数学(选修2-2)1.1.1《函数的平均变化率》word教案
人教新课标版-数学-高二(人教B版)选修2-2学案 1.1.1 函数的平均变化率
1．1.1函数的平均变化率学习目标 1.理解并掌握平均变化率的概念.2.会求函数在指定区间上的平均变化率.3.能利用平均变化率解决或说明生活中的一些实际问题．知识点函数的平均变化率假设如图是一座山的剖面示意图，并建立如图所示平面直角坐标系．A是出发点，H是山顶．爬山路线用函数y＝f(x)表示．自变量x表示某旅游者的水平位置，函数值y＝f(x)表示此时旅游者所在的高度．设点A的坐标为(x1，y1)，点B的坐标为(x2，y2)．思考1若旅游者从点A爬到点B，自变量x和函数值y的改变量分别是多少？思考2怎样用数量刻画弯曲山路的陡峭程度？梳理函数y＝f(x)在区间或的平均变化率(1)条件：已知函数y＝f(x)，x0，x1是其定义域内不同的两点，记Δx＝x1－x0，Δy＝y1－y0＝f(x1)－f(x0)＝f(x0＋Δx)－f(x0)．(2)结论：当Δx≠0时，商：_____________________＝ΔyΔx称作函数y＝f(x)在区间(或)上的平均变化率．(3)实质：________的改变量与______的改变量______．(4)作用：刻画函数在区间(或)上变化的快慢．类型一求函数的平均变化率例1已知函数f(x)＝3x2＋5，求f(x)：(1)从0.1到0.2的平均变化率；(2)在区间上的平均变化率．反思与感悟求平均变化率可根据定义代入公式直接求解，解题的关键是弄清自变量的增量Δx与函数值的增量Δy，求平均变化率的主要步骤：跟踪训练1如图是函数y＝f(x)的图象，则：(1)函数f (x )在区间上的平均变化率为________； (2)函数f (x )在区间上的平均变化率为________． 类型二 比较平均变化率的大小例2 已知函数f (x )＝3－x 2，计算当x 0＝1,2,3，Δx ＝13时，平均变化率的值，并比较函数f (x )＝3－x 2在哪一点附近的平均变化率最大？反思与感悟 比较平均变化率的方法步骤 (1)求出两个不同点处的平均变化率．(2)作差(或作商)，并对差式(或商式)作合理变形，以便探讨差的符号(或商与1的大小)． (3)下结论．跟踪训练2 甲，乙两人走过的路程s 1(t )，s 2(t )与时间t 的关系如图所示，则在这个时间段内，甲，乙两人的平均速度v 甲，v 乙的大小关系是( )A ．v 甲>v 乙B ．v 甲<v 乙C ．v 甲＝v 乙D ．不确定1．如果函数y ＝ax ＋b 在区间上的平均变化率为3，则a 等于( ) A ．－3B ．2C ．3D ．－22．已知函数f (x )＝2x 2－4的图象上一点(1，－2)及附近一点(1＋Δx ，－2＋Δy )，则ΔyΔx等于( ) A ．4 B ．4x C ．4＋2ΔxD ．4＋2(Δx )23．如图，函数y ＝f (x )在A ，B 两点间的平均变化率是( )A ．1B ．－1C ．2D ．－24．如图，函数y ＝f (x )在，，这几个区间内，平均变化率最大的一个区间是________．5．计算函数f (x )＝x 2在区间(Δx >0)上的平均变化率，其中Δx 的值为： (1)2；(2)1；(3)0.1；(4)0.01.1．函数的平均变化率可以表示函数值在某个范围内变化的快慢；平均变化率在实际问题中表示事物变化的快慢．2．求函数f (x )的平均变化率的主要步骤 (1)先计算函数值的改变量Δy ＝f (x 1)－f (x 0)． (2)再计算自变量的改变量Δx ＝x 1－x 0. (3)得平均变化率Δy Δx ＝f (x 1)－f (x 0)Δx.答案精析问题导学 知识点思考1 自变量x 的改变量为x 2－x 1，记作Δx ，函数值的改变量为y 2－y 1，记作Δy . 思考2 对山路AB 来说，用Δy Δx ＝y 2－y 1x 2－x 1可近似地刻画其陡峭程度． 梳理 (2)f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx(3)函数值 自变量 之比 题型探究例1 解 (1)因为f (x )＝3x 2＋5， 所以从0.1到0.2的平均变化率为 3×0.22＋5－3×0.12－50.2－0.1＝0.9.(2)因为f (x 0＋Δx )－f (x 0) ＝3(x 0＋Δx )2＋5－(3x 20＋5)＝3x 20＋6x 0Δx ＋3(Δx )2＋5－3x 20－5＝6x 0Δx ＋3(Δx )2，所以函数f (x )在区间上的平均变化率为 6x 0Δx ＋3(Δx )2Δx ＝6x 0＋3Δx .跟踪训练1 (1)12 (2)34解析 (1)函数f (x )在区间上的平均变化率为 f (1)－f (－1)1－(－1)＝2－12＝12.(2)由函数f (x )的图象知，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋32，－1≤x ≤1，x ＋1，1<x ≤3，所以函数f (x )在区间上的平均变化率为f (2)－f (0)2－0＝3－322＝34.例2 解 函数f (x )＝3－x 2在x 0到x 0＋Δx 之间的平均变化率为 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx＝[3－(x 0＋Δx )2]－(3－x 20)Δx＝－2x 0·Δx －(Δx )2Δx＝－2x 0－Δx .当x 0＝1，Δx ＝13时，平均变化率的值为－73；当x 0＝2，Δx ＝13时，平均变化率的值为－133；当x 0＝3，Δx ＝13时，平均变化率的值为－193，又－73＞－133＞－193，∴函数f (x )＝3－x 2在x 0＝1附近的平均变化率最大． 跟踪训练2 B 当堂训练 1．C 2.C 3.B 4． 5．解 函数f (x )＝x 2在(Δx >0)上的平均变化率为f (1＋Δx )－f (1)Δx ＝(1＋Δx )2－1Δx＝2＋Δx .(1)当Δx ＝2时，平均变化率的值为4. (2)当Δx ＝1时，平均变化率的值为3. (3)当Δx ＝0.1时，平均变化率的值为2.1. (4)当Δx ＝0.01时，平均变化率的值为2.01.。
人教B版高中数学选修2-2课件1.1.1《函数的平均变化率》.pptx
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第一章 导数
你 看 过 高 台 跳 水 比 赛 吗? 照片中锁定了运动员比 赛 的 瞬 间.已 知 起 跳1 s后, 运动员相对于水面的高
度 h 单位 : m 可用函数
ht 4.9t 2 6.5t 10表
示.如 何 求 他 在 某 时 刻 的 速 度 ?他 距水面的最大 高 度 是 多 少?
f 于是, 平均变化率可表示为 .
x
y
fx2 fx1
y fx
fx2 fx1
x2 x1
O
x1
x2
x
图1.1 1
思考 观察函数 f x
的图象图1.1.1, 平均
变化率
f f x2 f x1
x
x2 x1
表 示 什 么?
x2 x1
示, 我 们 把 这 个 式 子 称 为 函数 f x从 x1到 x2的 平均变化率 average rate of change .习 惯 上
用x表 示 x2 x1 ,即x x2 x1 ,
x是一个整体符号,而不是与x相乘.
可把x 看作是相对于x1 的一个"增量", 可用x1
x代替x2; 类似地, f f x2 f x1 .
人们发现, 在高台跳水运动中, 运动员相对于水
面的高度 h 单位 : m与起跳后的时间t单位 : s
存在函数关系ht 4.9t 2 6.5t 10.
如果我们用运动员某段时间内的平均速度v描
述其运动状态,那么
在0 t 0.5这段时间里,
v
h0.5
0.5
h0
0
4.05 m
/
s;
在1 t 2这段时间里,
v
人教B版高中数学高二选修2-2学案 函数的平均变化率
1．1.1 函数的平均变化率明目标、知重点 1.理解并掌握平均变化率的概念.2.会求函数在指定区间上的平均变化率.3.能利用平均变化率解决或说明生活中的一些实际问题．1．函数的平均变化率已知函数y ＝f (x )，x 0，x 1是其定义域内不同的两点，记Δx ＝x 1－x 0，Δy ＝y 1－y 0＝f (x 1)－f (x 0)＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)，则当Δx ≠0时，商f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ＝ΔyΔx 叫做函数y ＝f (x )在x 0到x 0＋Δx (或[x 0＋Δx ，x 0])之间的平均变化率． 2．函数y ＝f (x )的平均变化率的几何意义Δy Δx ＝f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1表示函数y ＝f (x )图象上过两点(x 1，f (x 1))，(x 2，f (x 2))的割线的斜率．某市2013年5月30日最高气温是33.4℃，而此前的两天5月29日和5月28日最高气温分别是24.4℃和18.6℃，短短两天时间，气温“陡增”14.8℃，闷热中的人们无不感叹：“天气热得太快了！”但是，如果我们将该市2013年4月28日最高气温3.5℃和5月28日最高气温18.6℃进行比较，可以发现二者温差为15.1℃，甚至超过了14.8℃，而人们却不会发出上述感慨，这是什么原因呢？显然原因是前者变化得“太快”，而后者变化得“缓慢”，那么在数学中怎样来刻画变量变化得快与慢呢？ 探究点一 函数的平均变化率思考1 如何用数学反映曲线的“陡峭”程度？答 如图，表示A 、B 之间的曲线和B 、C 之间的曲线的陡峭程度，可以近似地用直线的斜率来量化．如用比值y C －y Bx C －x B 近似量化B 、C 这一段曲线的陡峭程度，并称该比值是曲线在[x B ，x C ]上的平均变化率．思考2 什么是平均变化率，平均变化率有何作用？答 如果问题中的函数关系用y ＝f (x )表示，那么问题中的变化率可用式子f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1表示，我们把这个式子称为函数y ＝f (x )从x 1到x 2的平均变化率，平均变化率可以描述一个函数在某个范围内变化的快慢．思考3 平均变化率有什么几何意义？答 设A (x 1，f (x 1))，B (x 2，f (x 2))是曲线y ＝f (x )上任意不同的两点，函数y ＝f (x )的平均变化率Δy Δx ＝f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1＝f (x 1＋Δx )－f (x 1)Δx 为割线AB 的斜率．x 1，x 2是定义域内不同的两点，因此Δx ≠0，但Δx 可正也可负；Δy ＝f (x 2)－f (x 1)是相应Δx ＝x 2－x 1的改变量，Δy 的值可正可负，也可为零．因此，平均变化率可正可负，也可为零． 例1 某婴儿从出生到第12个月的体重变化如图所示，试分别计算从出生到第3个月与第6个月到第12个月该婴儿体重的平均变化率．解 从出生到第3个月，婴儿体重平均变化率为 6.5－3.53－0＝1(千克/月)．从第6个月到第12个月，婴儿体重平均变化率为 11－8.612－6＝2.46＝0.4(千克/月)． 反思与感悟 求平均变化率的主要步骤： (1)先计算函数值的改变量Δy ＝f (x 2)－f (x 1)． (2)再计算自变量的改变量Δx ＝x 2－x 1. (3)得平均变化率Δy Δx ＝f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1.跟踪训练1 如图是函数y ＝f (x )的图象，则： (1)函数f (x )在区间[－1,1]上的平均变化率为________； (2)函数f (x )在区间[0,2]上的平均变化率为________． 答案 (1)12 (2)34解析 (1)函数f (x )在区间[－1,1]上的平均变化率为f (1)－f (－1)1－(－1)＝2－12＝12.(2)由函数f (x )的图象知，f (x )＝⎩⎨⎧x ＋32，－1≤x ≤1x ＋1，1<x ≤3.所以函数f (x )在区间[0,2]上的平均变化率为f (2)－f (0)2－0＝3－322＝34.探究点二 求函数的平均变化率例2 已知函数f (x )＝x 2，分别计算f (x )在下列区间上的平均变化率： (1)[1,3]；(2)[1,2]；(3)[1,1.1]；(4)[1,1.001]． 解 (1)函数f (x )在[1,3]上的平均变化率为 f (3)－f (1)3－1＝32－122＝4；(2)函数f (x )在[1,2]上的平均变化率为 f (2)－f (1)2－1＝22－121＝3；(3)函数f (x )在[1,1.1]上的平均变化率为f (1.1)－f (1)1.1－1＝1.12－120.1＝2.1；(4)函数f (x )在[1,1.001]上的平均变化率为f (1.001)－f (1)1.001－1＝1.0012－120.001＝2.001.反思与感悟 函数的平均变化率可以表现出函数的变化趋势，自变量的改变量Δx 取值越小，越能准确体现函数的变化情况．跟踪训练2 求函数y ＝x 2在x ＝1,2,3附近的平均变化率，判断哪一点附近平均变化率最大？ 解 在x ＝1附近的平均变化率为 k 1＝f (1＋Δx )－f (1)Δx ＝(1＋Δx )2－1Δx ＝2＋Δx ；在x ＝2附近的平均变化率为k 2＝f (2＋Δx )－f (2)Δx ＝(2＋Δx )2－22Δx ＝4＋Δx ；在x ＝3附近的平均变化率为k 3＝f (3＋Δx )－f (3)Δx ＝(3＋Δx )2－32Δx ＝6＋Δx ；对任意Δx 有，k 1<k 2<k 3，∴在x ＝3附近的平均变化率最大．思考 一次函数y ＝kx ＋b (k ≠0)在区间[m ，n ]上的平均变化率有什么特点？答 根据函数平均变化率的几何意义，一次函数图象上任意两点连线的斜率是定值k ，即一次函数的平均变化率是定值． 探究点三 平均变化率的应用例3 甲、乙两人走过的路程s 1(t )，s 2(t )与时间t 的关系如图，试比较两人的平均速度哪个大？解 由图象可知s 1(t 0)＝s 2(t 0)，s 1(0)>s 2(0)， 则s 1(t 0)－s 1(0)t 0<s 2(t 0)－s 2(0)t 0，所以在从0到t 0这段时间内乙的平均速度大．反思与感悟 平均变化率的绝对值反映函数在给定区间上变化的快慢，平均变化率的绝对值越大，函数在区间上的变化越快；平均变化率的绝对值越小，函数在区间上的变化越慢．跟踪训练3 甲用5年时间挣到10万元，乙用5个月时间挣到2万元，如何比较和评价甲、乙两人的经营成果？ 解 甲赚钱的平均速度为105×12＝1060＝16(万元/月)，乙赚钱的平均速度为25(万元/月)．因为乙平均每月赚的钱数大于甲平均每月赚的钱数， 所以乙的经营成果比甲的好．1．如果质点M 按规律s ＝3＋t 2运动，则在一小段时间[2，2.1]中相应的平均速度是( ) A ．4 B ．4.1 C ．0.41 D ．3 答案 B解析 v ＝(3＋2.12)－(3＋22)0.1＝4.1.2．一物体的运动方程是s ＝3＋2t ，则在[2,2.1]这段时间内的平均速度为________． 答案 23．已知函数h (x )＝－4.9x 2＋6.5x ＋10.(1)计算从x ＝1到x ＝1＋Δx 的平均变化率，其中Δx 的值为①2；②1；③0.1；④0.01. (2)根据(1)中的计算，当|Δx |越来越小时，函数h (x )在区间[1,1＋Δx ]上的平均变化率有怎样的变化趋势？解 (1)∵Δy ＝h (1＋Δx )－h (1) ＝－4.9(Δx )2－3.3Δx ， ∴ΔyΔx＝－4.9Δx －3.3. ①当Δx ＝2时，ΔyΔx ＝－4.9Δx －3.3＝－13.1；②当Δx ＝1时，ΔyΔx ＝－4.9Δx －3.3＝－8.2；③当Δx ＝0.1时，ΔyΔx ＝－4.9Δx －3.3＝－3.79；④当Δx ＝0.01时，ΔyΔx＝－4.9Δx －3.3＝－3.349.(2)当|Δx |越来越小时，函数f (x )在区间[1,1＋Δx ]上的平均变化率逐渐变大，并接近于－3.3.1．函数的平均变化率可以表示函数值在某个范围内变化的快慢；平均变化率的几何意义是曲线割线的斜率，在实际问题中表示事物变化的快慢． 2．求函数f (x )的平均变化率的主要步骤： (1)先计算函数值的改变量Δy ＝f (x 2)－f (x 1)； (2)再计算自变量的改变量Δx ＝x 2－x 1； (3)得平均变化率Δy Δx ＝f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1.。
人教版高中数学选修2-2：1.1.1变化率问题讲案(教师用)
课题： 1.1.1 变化率问题【学习目标】(1)了解函数的平均变化率的概念，会求函数的平均变化率．(2)知道函数的瞬时变化率的概念．(3)掌握与理解导数的定义和物理意义第一环节：导入学习1 函数的平均变化率 Δy Δx ＝f （x 2）－f （x 1）x 2－x 1注意：①平均变化率Δy Δx ＝f （x 2）－f （x 1）x 2－x 1＝f （x 1＋Δx ）－f （x 1）Δx ，式子中Δx 、Δy 的值可正、可负，但Δx 的值不能为0，而Δy 的值可以为零，若函数f (x )为常数函数，此时Δy ＝0.②平均变化率的几何意义是函数曲线上两点割线的斜率，即Δy Δx ＝f （x 2）－f （x 1）x 2－x 1＝k AB ，其中点A (x 1，f (x 1))，点B (x 2，f (x 2))，如图.2 求函数f (x )的平均变化率的步骤(1)求函数增量：Δy ＝f (x 2)－f (x 1) (2)求平均变化率：Δy Δx ＝f （x 2）－f （x 1）x 2－x 13 平均速度重点1 理解函数的平均变化率的概念和几何意义．重点2 会求函数的平均变化率． 重点3 求物体运动的平均速度的步骤：(1)求位移增量Δs ＝s (t ＋Δt )－s (t )；(2)求平均速度v ＝Δs Δt ；(3)求错误!未指定书签。
ΔsΔt＝错误!未指定书签。
s （t ＋Δt ）－s （t ）Δt；错误!未指定书签。
.第二环节：自主学习1(1)计算函数f (x )＝x 2从x ＝1到x ＝1＋Δx 的平均变化率，其中Δx 的值为①2②1③0.1④0.01. (2)思考：当|Δx |越来越小时，函数f (x )在区间[1，1＋Δx ]上的平均变化率有怎样的变化趋势？解：(1)∵Δy ＝f (1＋Δx )－f (1)＝(1＋Δx )2－12＝(Δx )2＋2Δx ，∴Δy Δx＝（Δx ）2＋2Δx Δx ＝Δx ＋2.①当Δx ＝2时，Δy Δx＝Δx ＋2＝4；②当Δx ＝1时，ΔyΔx ＝Δx ＋2＝3；③当Δx ＝0.1时，Δy Δx ＝Δx ＋2＝2.1；④当Δx ＝0.01时，ΔyΔx＝Δx ＋2＝2.01.(2)当|Δx |越来越小时，函数f (x )在区间[1，1＋Δx ]上的平均变化率逐渐变小，并接近于2. 2：在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h(单位：米)与起跳后的时间t （单位秒）存在函数关系h(t)=-4.9t2+6.5t+10 请计算： 解二 深入学习3两工厂经过治理，污水的排放量(W )与时间(t )的关系如图2所示，试指出哪一个厂治污效果较好？图2【分析】 比较相同时间Δt 内，两厂污水排放量的平均变化率的大小便知结果．【解】 在t 0处，虽然W 1(t 0)＝W 2(t 0)，但W 1（t 0－Δt ）－W 1（t 0）Δt ≥W 2（t 0－Δt ）－W 2（t 0）Δt，所以说，在单位时间里，工厂甲比工厂乙的平均治污率大，因此工厂甲比工厂乙略好一筹．第三环节：互助学习 第四环节：展示学习第五环节：精讲学习 求平均变化率的主要步骤：(1)先计算函数值的改变量Δy ＝f (x 2)－f (x 1)(2)再计算自变量的改变量Δx ＝x 2－x 1.( 3)得平均变化率Δy Δx ＝f （x 2）－f （x 1）x 2－x 100.52:t t v ≤≤≤≤和1时的平均速度00.5(0.5)(0)4.05(/)0.502(2)(1)8.2(/)21t h h v m s t h h v m s ≤≤-==-≤≤-==--在这段时间里，在1这段时间里，1.△x 是一个整体符号，而不是△与x 相乘；式子中△x 、△ y 的值可正、可负，但△x 值不能为0，△y 的值可以为0;因此，平均变化率可正，可负，也可为零；2.若函数f(x)为常函数时，△y=0 3.变式x x f x x f ∆-∆+=)()(111212)()(x x x f x f x y --=∆∆。
2022年高中数学新人教版B版精品教案《人教版B高中数学选修2-2 1.1.1 函数的平均变化率》5
函数的平均变化率制作时间：使用时间：学习目标：1.理解函数的平均变化率2.能利用函数的平均变化率解决问题新知探究怎样从数学的角度反映山坡的平缓和陡峭程度呢？小结：1.函数的平均变化率：2．求函数平均变化率的步骤：新知应用例1求函数在区间的平均变化率小结：函数平均变化率应用注意：练习1〔1〕求函数在区间的平均变化率〔2〕在曲线＝2＋1的图象上取一点1,2及邻近一点1＋Δ,2＋Δ，那么错误!为A．Δ＋错误!＋2 B．Δ－错误!－2C．Δ＋2D．2＋Δ－错误!例2过曲线上两点和1＋Δ，1＋Δ作曲线的割线，求当时割线的斜率小结：函数的平均变化率的几何意义：例3物体做自由落体运动方程为为重力加速度〕求：〔1〕物体在到这段时间内的平均速度；〔2〕物体在到这段时间内的平均速度小结：函数的平均变化率的物理意义：备选练习1．在函数变化率的定义中，自变量的增量Δ满足A．Δ＜0B．Δ＞0C．Δ＝0 D．Δ≠0 2．函数＝f，当自变量由0改变到0＋Δ时，Δ＝A．f0＋ΔB．f0＋ΔC．f0·Δ D．f0＋Δ－f0＝22－1的图象上一点1,1及邻近一点1＋Δ,1＋Δ，那么错误!等于A．4 B．4C．4＋2Δ D．4＋2Δ2新知检测在＝1附近，取Δ＝，在四个函数①＝；②＝2；③＝3；④＝错误!中，平均变化率最大的是A．④B．③C．②D．①我的收获：课后稳固案1．函数f＝8－6在区间[m，n]上的平均变化率为________．2．函数f＝2＋1，g＝－2，分别计算在以下区间上f及g的平均变化率：1[－3，－1]；2[0,5]．3．求函数＝2在＝1,2,3附近的平均变化率，取Δ都为错误!，那么在哪一点附近的平均变化率最大？4指出在区间和的平均变化率哪一个较大？。
高中数学学案选修2-2《2.1.1平均变化率》
思考：一次函数y=kx+b在区间上的平均变化率就等于____________.
达
标
训
练
1.课本27页练习
2已知函数 分别计算在区间 ， ， ， 上
作业
反思
板书
设计
A.大于0 B.小于0 C.等于0 D.不等于0
2.设函数 ，当自变量 由 变为 时，函数改变量 为（）
A. B. C.
②平均变化率是曲线陡峭程度的“数量化”，曲线陡峭程度是平均变化率“视觉化”．
思考：平均变化率的几何意义是什么？
问题生成记录：
精
讲
互
动Байду номын сангаас
例1某婴儿从出生到第12个月的体重变化如图所示，试分别计算从出生到第3个月与第6个月到第12个月该婴儿体重的平均变化率。
第二章变化率与导数
第1课时
课题名称
时间
第周星期
课型
新授课
主备课人
陈锋
目标
会求平均变化率
重点
平均变化率
二次备课
难点
平均变化率
自
主
学
习
1、平均变化率：
问题：在我们的周围变化无处不在，我们经常关心变化快慢问题，如何刻画事物变化的快慢呢？什么是平均变化率？
活学活用：
1.在平均变化率中，自变量的增量△x（）
高中数学选修2-2教学设计11：1.1.1 变化率问题教案
1.1.1 变化率问题教学目标：知道平均变化率的定义.会用公式来计算函数在指定区间上的平均变化率. 教学重点：平均变化率的含义教学难点：会用公式来计算函数在指定区间上的平均变化率.教学过程一、创设情境为了描述现实世界中运动、过程等变化着的现象,在数学中引入了函数,随着对函数的研究,产生了微积分,微积分的创立以自然科学中四类问题的处理直接相关:1、已知物体运动的路程作为时间的函数,求物体在任意时刻的速度与加速度等;2、求曲线的切线;3、求已知函数的最大值与最小值;4、求长度、面积、体积和重心等.二、新课讲授(一)问题提出问题1 气球膨胀率我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加越来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢?气球的体积V (单位:L )与半径r (单位:dm )之间的函数关系是334)(r r V π= 如果将半径r 表示为体积V 的函数,那么343)(πV V r = 分析: 343)(πV V r = (1)当V 从0增加到1时,气球半径增加了)(62.0)0()1(dm r r ≈-气球的平均膨胀率为)/(62.001)0()1(L dm r r ≈-- (2)当V 从1增加到2时,气球半径增加了)(16.0)1()2(dm r r ≈-气球的平均膨胀率为)/(16.012)1()2(L dm r r ≈-- 可以看出,随着气球体积逐渐增大,它的平均膨胀率逐渐变小了.思考: 当空气容量从V 1增加到V 2时,气球的平均膨胀率是多少?1212)()(V V V r V r -- 问题2 高台跳水在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h (单位:m )与起跳后的时间t (单位:s )存在函数关系105.69.4)(2++-=t t t h .如何用运动员在某些时间段内的平均速v 度粗略地描述其运动状态?思考计算: 5.00≤≤t 和21≤≤t 的平均速度v在5.00≤≤t 这段时间里,)/(05.405.0)0()5.0(s m h h v =--=在21≤≤t 这段时间里,)/(2.812)1()2(s m h h v -=--=探究: 计算运动员在49650≤≤t 这段时间里的平均速度,并思考以下问题: (1)运动员在这段时间内使静止的吗？(2)你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？探究过程: 如图是函数105.69.4)(2++-=t t t h 的图象,结合图形可知,)0()4965(h h =,所以)/(004965)0()4965(m s h h v =--= 虽然运动员在49650≤≤t 这段时间里的平均速度为)/(0m s , 但实际情况是运动员仍然运动,并非静止,可以说明用平均速度不能精确描述运动员的运动状态.(二)平均变化率概念1.上述问题中的变化率可用式子1212)()(x x x f x f --表示, 称为函数)(x f 从1x 到2x 的平均变化率.2.若设12x x x -=∆, )()(12x f x f f -=∆(这里x ∆看作是对于1x 的一个“增量”可 用x x ∆+1代替2x ,同样)()(12x f x f y f -=∆=∆)则平均变化率为=∆∆=∆∆xf x y x x f x x f x x x f x f ∆-∆+=--)()()()(111212 思考: 观察函数)(x f 的图象 平均变化率=∆∆x f 1212)()(x x x f x f --表示什么?三、典例分析例1 已知函数x x x f +-=2)(的图象上的一点)2,1(--A 及临近一点 )2,1(y x B ∆+-∆+-，求y x∆∆. 解: )1()1(22x x y ∆+-+∆+--=∆+- ∴x xx x x y ∆-=∆-∆+-+∆+--=∆∆32)1()1(2 例2 求2x y =在0x x =附近的平均变化率.解: 2020)(x x x y -∆+=∆ 所以x x x x x y ∆-∆+=∆∆2020)(x x x x x x x x ∆+=∆-∆+∆+=020202022 所以2x y =在0x x =附近的平均变化率为x x ∆+02课堂练习1.质点运动规律为32+=t s ,则在时间)3,3(t ∆+中相应的平均速度为 .2.物体按照43)(2++=t t t s 的规律作直线运动,求在s 4附近的平均变化率.[答案]1.6+t ∆2.25+3t ∆四、课堂小结1.平均变化率的概念.2.函数在某点处附近的平均变化率.。
高中数学选修2-2学案：1.1.1 函数的平均变化率.
2.2.1（一）综合法
【教学目标】结合已经学过的数学实例，了解直接证明的基本方法：综合法；会
用综合法证明问题；了解综合法的思考过程；体会数学逻辑推理的严谨性及数学
在现实生活中的应用.
【教学重点】了解综合法的思考过程、特点 【教学难点】综合法的思考
过程
一、课前预习：（阅读教材63页，完成知识点填空）
1．两类基本的证明方法: 和 .
2.综合法：是从 推导到 的思维方法，具体地说，是从 出发，经过逐步的 ，最后达到 .
二、课上学习：
综合法的应用：（自学63页例题，体会综合法的思考过程，探究下面例题）
例1：已知,0a b >,求证:2222
()()4a b c b c a abc +++≥.
例:2：已知,,a b c R +
∈，1a b c ++=，求证：1119a b c ++≥
三、课后练习：
1.已知,,a b c R +
∈，1a b c ++=，求证： 111(1)(1)(1)8a b c
---≥.
2.在△ABC 中，三个内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，且C B A ,,成等差数列，
c b a ,,成等比数列. 求证：△ABC 为等边三角形.。
高中数学人教B版选修2-2配套课件： 1.1 第1课时函数的平均变化率
[ 解析]
∵Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝(1＋Δx)3－1
＝3Δx＋3(Δx)2＋(Δx)3， ∴割线PQ的斜率
3 2 Δy Δx ＋3Δx ＋3Δx ＝ ＝(Δx)2＋3Δx＋3. Δx Δx
Δy 当Δx＝0.1时，割线PQ的斜率k＝ Δx ＝(0.1)2＋3×0.1＋3＝ 3.31.
[ 说明]
如图所示，函数f(x)的平均变化率的几何意义是：
yA－yB fx2－fx1 Δy 直线AB的斜率．事实上：kAB＝ ＝ ＝Δx .根据平 xA－xB x2－x1 均变化率的几何意义，可求解有关曲线割线的斜率．
求函数f(x)＝x3在区间[ x0，x0＋Δx] 上的平均变 化率． [ 错解] 函数f(x)＝x3在[ x0，x0＋Δx] 上的平均变化率为 fx0－fx0＋Δx Δx 3 x3 － x ＋ Δ x 0 0 ＝ Δx 3 2 2 3 x3 0－[x0＋3x0Δx ＋3x0·Δx＋Δx ] ＝ Δx 2 ＝－[3x2 ＋ 3 x Δ x ＋ (Δ x ) ] 0 0 2 ＝－3x0 －3x0Δx－(Δx)2.
第一章
导数及其应用
第一章
1.1 导
第1课时
数
函数的平均变化率
1
课前自主导学
3
学法归纳总结
2
课堂互动探究
4
课后强化作业
课前自主导学
你登过泰山吗？登山过程中，你会体
验到“六龙过万壑”的雄奇，感受到“会 当凌绝顶，一览众山小”的豪迈．当爬到 “十八盘”时，你感觉怎样？是平缓的山 好攀登，还是陡峭的山好攀登？
[ 辨析]
在解答本题的过程中，易出现Δy＝f(x0)－f(x0＋
Δy Δx)，从而使 Δx 计算错误的情况，导致这种情况的原因是平均 变化率的意义理解不清造成的．
高中数学教案选修2-2《1.1.1 平均变化率》
教学目标：1．通过对一些实例的直观感知，构建平均变化率的概念，并初步运用和加深理解利用平均变化率来刻画变量变化得快与慢的原理；2．通过从实际生活背景中构建数学模型来引入平均变化率，领会以直代曲和数形结合的思想，培养学生的抽象思维与归纳综合的能力，提升学生的数学思维与数学素养；3．培养学生关注身边的数学，并能从数学的视角来分析问题、解决问题，体验数学发展的历程，感受数形统一的辨证思想．教学重点：会利用平均变化率来刻画变量变化得快与慢．教学难点：对平均变化率概念的本质的理解；对生活现象作出数学解释．教学过程：一、问题情境1．问题情境．法国《队报》网站的文章称刘翔以不可思议的速度统治了赛场．这名21岁的中国人跑的几乎比炮弹还快．赛道上显示的12.94秒的成绩已经打破了12.95秒的奥运会纪录，但经过验证他是以12.91秒的成绩追平了世界纪录，他的平均速度达到了8.52m/s．某人走路的第1秒到第34秒的位移时间图象如图所示：观察图象，回答问题：问题1 从A 到B 的位移是多少？从B 到C 的位移是多少？问题2 从A 到B 这一段与从B 到C 这一段，你感觉哪一段的位移变化得较快？2．学生活动．案例中，从B 到C 位移“陡增”，这是我们从图像中的直观感觉，那么如何量化陡峭程度呢？（1）由点B 上升到C 点必须考察C B y y －的大小，但仅注意到C B y y －的大小 能否精确量化BC 段陡峭的程度？为什么？（2）还必须考察什么量？在考察C B y y －的同时必须考察C B x x －．（3）曲线上BC 之间一段几乎成了直线，由此联想到如何量化直线的倾斜程 度？二、建构数学（1）一般地，函数()f x 在区间[]12x x ，上的平均变化率为()()2121f x f x x x －－注意：平均变化率不能脱离区间而言（2）平均变化率是曲线陡峭程度的“数量化”，曲线陡峭程度是平均变化率的“视觉化”．思考：（1） 若设21∆x x x ＝－，即将x ∆看作是对于1x 的一个增量21()()∆y f x f x ＝－， 则)(x f 在[]12x x ，平均变化率为211121()()()()∆∆∆∆f x f x f x x f x y x x x x－＋－＝＝－（2）)(x f 在[]12x x ，平均变化率的几何意义即为区间两端点连线所在直线的 斜率．三、数学运用例1 某婴儿从出生到第12个月的体重变化如图所示，试分别计算从出生到 第3个月以及第6个月到第12个月该婴儿体重的平均变化率．问题（1） 如何解释例1中从出生到第3个月，婴儿体重平均变化率为1 （kg /月）？问题（2） 本题中两个不同平均变化率的实际意义是什么？ 讲评 在不同的区间上平均变化率可能不同．例2 水经过虹吸管从容器甲流向容器乙，t s 后容器甲中的水的体积0.1()52t V t －＝×（单位：cm 3），试计算第一个10s 内V 的平均变化率．问题（1） 例2中解出的平均变化率实际意义是什么？问题（2） 25.0-（cm 3/s ）是否表示10秒内每一时刻容器甲中水的体积V 减少的速度？问题（3） 第一个10秒内，甲容器中水的体积的平均变化率为25.0-（cm 3/s ），那么乙容器中的水的体积的平均变化率呢？ 讲评：平均变化率可能正可能负也可能为零．例3 已知函数()21()2f x x g x x ＝＋，＝－，分别计算在区间[31]－，－，[05] ，上函数)(x f 及)(x g 的平均变化率．问题（1） 你在解本题的过程中有没有发现什么？讲评 一次函数y kx b ＝＋在区间[]m n ，上的平均变化率等于它的斜率k ． 例4 已知函数2()f x x ＝，分别计算在下列区间上的平均变化率： ① ⑤ ② ⑥ ③ ⑦④⑧问题（4） 例4中八个区间的变化导致平均变化率有怎样的变化？这种变化的实际意义和数学意义分别是什么？四、当堂训练乙练习1 回答问题情境中提出的问题：平均速度的数学意义是什么？ 练习2 在寓言龟兔赛跑中，从比赛开始到结束的这一段时间(规定有一方到达终点则比赛结束)，是乌龟的位移平均变化率大还是兔子的位移平均变化率大？为什么？练习3 下图中白线是一天内某个股票的走势图，试从平均变化率的角度分析这支股票在下列时间段的涨跌情况．①09:30至11:00 ②11:00至11:30 ③14:00至14:07 ④14:07至15:00五、回顾反思（1）一般地，函数()f x 在区间[]12x x ，上的平均变化率为()()2121f x f x x x －－．（2）平均变化率近似的刻画了曲线在某区间上的变化趋势，那么，如何精确的刻画曲线上某一点处的变化趋势呢？六、布置作业1．预习第1.1.2节瞬时变化率——导数．2．课本P7练习2；P16 习题1.1 第1题．3．下图中记载着刘翔在雅典奥运会110米栏中的比赛数据，试通过计算各个阶段刘翔位移的平均变化率．。
人教B版高中数学选修2-2第一章1.1.1函数的平均变化率-教案
1.1 导数1.1.1 函数的平均变化率【提出问题】问题1：春游爬山的感觉：当山坡平缓时，步履轻盈；当山坡陡峭时，气喘吁吁。
怎样用数学反映山坡的平缓与陡峭程度？【抽象概括】假设图一是一座山的剖面示意图，并建立如图所示平面直角坐标系．A 是出发点，H 是山顶．爬山路线用函数y ＝f (x )表示．自变量x 表示某旅游者的水平位置，函数值y ＝f (x )表示此时旅游者所在的高度． 我们先假定一小段山路是直的（曲化直）。
设点A 的坐标为(x 0，y 0)，点B 的坐标为(x 1，y 1)（如图二）．问题2：若旅游者从点A 爬到点B ，且这段山路是平直的，自变量x 和函数值y 的改变量分别是多少？提示：自变量x 的改变量为x 1－x 0，记作Δx =x 1－x 0，函数值y 的改变量为y 1－y 0，记作Δy ＝y 1－y 0.问题3：根据Δx 与Δy 的大小能否判断山坡陡峭程度？提示：图三可知，Δy 相同，Δx 不同，山坡AB 与BC 陡峭程度不同；图四可知，Δy不图一 图二图三图四同，Δx 相同，山坡AB 与BC 陡峭程度也不同。
所以根据Δx 与Δy 的大小不能判断山坡陡峭程度问题4：观察图三和图四，可以用怎样的数量刻画弯曲山路的陡峭程度呢？提示：观察图三和图四可知，两边山坡的倾斜的角度可以刻画山路的陡峭程度。
联想到直线的倾斜角的定义，可知1010tan y y y k x x xθ-∆===-∆可近似地刻画． 【解决问题】显然，“线段”所在直线的斜率的绝对值越大，山坡越陡．这就是说，竖直位移与水平位移之比Δy Δx的绝对值越大，山坡越陡，反之，山坡越缓． 现在摆在我们面前的问题是：山路是弯曲的，怎样用数量刻画弯曲山路的陡峭程度？一个很自然的想法是将弯曲山路分成许多小段（分割），每一小段山坡可视为平直的。
注意各小段的y x∆∆是不尽相同的。
但不管是哪一小段山坡，高度的平均变化都可以用起点、终点的纵坐标之差与横坐标之差的比值来度量。
平均变化率教案设计
高中数学选修2—2
1.1.1 平均变化率（教案）
高中数学选修2—2 1.1.1 平均变化率（教学设计）
一、教学目标
知识与技能：
1、理解平均变化率的概念；
2、通过具体事例，感受平均变化率广泛存在于日常生活之中，经历运用数学
描述刻画现实世界的过程。
过程与方法：
1、通过动手计算培养学生观察、分析、比较和归纳能力；
2、通过对实际问题的探究使学生体会类比、从特殊到一般的数学思想。
情感、态度与价值观：
感受平均变化率广泛存在于日常生活之中，经历运用数学描述和刻画现实世界的过程。
体会数学的博大精深以及学习数学的意义。
二、教学重点、难点
重点：平均变化率的概念的归纳得出；求函数在某个区间的平均变化率。
难点：从实际例子归纳出函数的平均变化率的过程。
三、教学方法
引导学生通过由特殊到一般的思想方法得到平均变化率的概念；引导学生通过积极探究、讨论，逐步理解如何求函数的平均变化率。
四、教学基本流程
创设情境，引导探索分析归纳，建立概念
例题讲解，尝试应用回顾反思，感悟升华
五、教学过程（具体如下表）
面的高度
的平均速度
示为体积
板书设计:。
【数学】1.1.1《函数的平均变化率》课件(新人教B版选修2-2)
x 2 − x1
O
x1
x2
x
思考 观察函数f ( x) ( 的图象图 . . ),平均 变化率 ∆f f (x ) − f (x ) = ∆x x −x ? 表示什么
图 . −
如 把 径 表 为 积 的 数那 果 半 r 示 体 V 函 , 么 r(V ) = V
π
.
当 气 积 从 增 到 L时 气 半 增 了 空 容 V 加 , 球 径 加 r( ) − r( ) ≈ . (cm), r( ) − r( ) 气 的 均 胀 为 球 平 膨 率 ≈ . (dm/ L). − 类 地当 气 量 L增 到 L时 气 半 似 , 空 容 从 加 , 球 径 增 了 ( ) − r( ) ≈ . (dm), 加 r r( ) − r( ) 气 的 均 胀 为 球 平 膨 率 ≈ . (dm/ L). − 可 看 ,随 气 体 逐 变 ,它 平 膨 以 出 着 球 积 渐 大 的 均 胀 逐 变 了 率 渐 小 . V V , 思考 当空气的容量从 增加到 时气球的平 ? 均膨胀率是多少
第 章 导 一 数
h(t ) = − . t + . t + 表 . 示如何求他在某时刻的 速 度?他距水面的最大 ? 高度是多少
你看过高台跳水比赛吗 ? 照片中锁定了运动员比 . , 赛的瞬间 已知起跳 s后 运动员相对于水面的高 度 h (单位: 的 化 问 随 可 . 富 彩 变 率 题 处 见 让 们 其 的 个 题开 变 我 从 中 两 问 , 始 化 与 数 学 吧 率 导 的 习 !
探究 计算运动员在 ≤ t ≤
观 这段时间
, : 里的平均速度并思考下面的问题
( ) 运动员在这段时间里是 ? 静止的吗 ( ) 你认为用平均速 度描述 运动员运 动
高二数学(选修2-2人教B版)-函数的平均变化率
• •
（2）当 ，x0
我们发现，当
1 时，x求函1数,的1平, 1均变化率． 一定时， 越3大，2函数的平均变化率也越大．
x0
x
• 【例】求函数 在y 到 1 • 【解】当自变量从 变到x
之间x0的平均x0变化率x
时，函数的平均变化率为
x0 x0 x
(x0 0).
1 1
• 【探索与思f 考(x】0 x) f (x0 ) x0 x x0
x
x
• 【例】求函数 在y 到x2 之间x0的平均x0变化率x．
• 【解】当自变量从 变到 时，函数的平均变化率为
x0 x0 x
•
f (x0
【探索与研究】
x) x
f
(x0 )
( x0
x)2 x
x02
2 x0
x.
• （1）当 ， 时，求函数的平均变化率；
1
x 3
x0 1, 2, 3
• 我们发现，当 一定x时， 越大，函x数0 的平均变化率越大．
x x x0，y y y0 f (x) f (x0 ).
（六）函数平均变化率的辨析
• （5）函数 在y f到(x) 之间x的0 x0 x)
x
2x
• （6）函数的平均变化率与直线的斜率有什么关系？
• 函数的平均变化率就是曲线的割线的斜率，这 也是函数平均变化率的几何意义.
1
.
• （1）你能说出该函数的x 平均变化率与它的图象x之间的关系吗(？x0 x)x0
• 在左半支，固定 ，平x均0 变化率随着 的增大而减x小；
固定 ，平均变化率随 x
着 的增大而减小．
x0
• 在右半支，固定 ，平均变化率随着 的增大而增大；
高中数学选修2-2教学设计9：1.1.1 变化率问题教案
1．1.1 变化率问题教学目标 1.理解函数平均变化率、瞬时变化率的概念.2.掌握函数平均变化率的求法. 知识梳理知识点一 函数的平均变化率1．平均变化率的概念设函数y ＝f (x )，x 1，x 2是其定义域内不同的两个点，那么函数的变化率可用式子f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1表示，我们把这个式子称为函数y ＝f (x )从x 1到x 2的平均变化率，习惯上用Δx 表示x 2－x 1，即Δx ＝x 2－x 1，可把Δx 看作是相对于x 1的一个“增量”，可用x 1＋Δx 代替x 2；类似地，Δy＝f (x 2)－f (x 1).于是，平均变化率可以表示为Δy Δx． 2．求平均变化率求函数y ＝f (x )在[x 1，x 2]上平均变化率的步骤如下：(1)求自变量的增量Δx ＝x 2－x 1；(2)求函数值的增量Δy ＝f (x 2)－f (x 1)；(3)求平均变化率Δy Δx ＝f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1＝f (x 1＋Δx )－f (x 1)Δx . 思考 (1)如何正确理解Δx ，Δy?(2)平均变化率的几何意义是什么？(1)Δx 是一个整体符号，而不是Δ与x 相乘，其值可取正值、负值，但Δx ≠0；Δy 也是一个整体符号，若Δx ＝x 1－x 2，则Δy ＝f (x 1)－f (x 2)，而不是Δy ＝f (x 2)－f (x 1)，Δy 可为正数、负数，亦可取零．(2)如图所示：y ＝f (x )在区间[x 1，x 2]上的平均变化率是曲线y ＝f (x )在区间[x 1，x 2]上陡峭程度的“数量化”，曲线陡峭程度是平均变化率的“视觉化”，⎪⎪⎪⎪Δy Δx 越大，曲线y ＝f (x )在区间[x 1，x 2]上越“陡峭”，反之亦然．平均变化率的几何意义是函数曲线上过两点的割线的斜率，若函数y ＝f (x )图象上有两点A (x 1，f (x 1))，B (x 2，f (x 2))，则f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1＝k AB . 知识点二 瞬时速度与瞬时变化率把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度．做直线运动的物体，它的运动规律可以用函数s ＝s (t )描述，设Δt 为时间改变量，在t 0＋Δt 这段时间内，物体的位移(即位置)改变量是Δs ＝s (t 0＋Δt )－s (t 0)，那么位移改变量Δs 与时间改变量Δt 的比就是这段时间内物体的平均速度v ，即v ＝Δs Δt ＝s (t 0＋Δt )－s (t 0)Δt. 物理学里，我们学习过非匀速直线运动的物体在某一时刻t 0的速度，即t 0时刻的瞬时速度，用v 表示，物体在t 0时刻的瞬时速度v 就是运动物体在t 0到t 0＋Δt 这段时间内的平均变化率s (t 0＋Δt )－s (t 0)Δt 在Δt →0时的极限，即v ＝lim Δt →0 Δs Δt ＝lim Δt →0 s (t 0＋Δt )－s (t 0)Δt.瞬时速度就是位移函数对时间的瞬时变化率．思考 (1)瞬时变化率的实质是什么？(2)平均速度与瞬时速度的区别与联系是什么？(1)其实质是当平均变化率中自变量的改变量趋于0时的值，它是刻画函数值在某处变化的快慢．(2)①区别：平均变化率刻画函数值在区间[x 1，x 2]上变化的快慢，瞬时变化率刻画函数值在x 0点处变化的快慢；②联系：当Δx 趋于0时，平均变化率Δy Δx趋于一个常数，这个常数即为函数在x 0处的瞬时变化率，它是一个固定值．题型探究题型一 求平均变化率例1 求函数y ＝f (x )＝2x 2＋3在x 0到x 0＋Δx 之间的平均变化率，并求当x 0＝2，Δx ＝12时该函数的平均变化率．解 当自变量从x 0变化到x 0＋Δx 时，函数的平均变化率为Δy Δx ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ＝[2(x 0＋Δx )2＋3]－(2x 20＋3)Δx＝4x 0Δx ＋2(Δx )2Δx＝4x 0＋2Δx . 当x 0＝2，Δx ＝12时，平均变化率的值为4×2＋2×12＝9. 反思与感悟 平均变化率是函数值的增量与相应自变量的增量的比值，所以求函数在给定区间[x 0，x 0＋Δx ]上的平均变化率问题，即求Δy Δx ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx的值． 跟踪训练1 (1)已知函数y ＝f (x )＝2x 2－1的图象上一点(1,1)及其邻近一点(1＋Δx,1＋Δy )，则Δy Δx＝______________.(2)求函数y ＝f (x )＝1x 2在x 0到x 0＋Δx 之间的平均变化率(x 0≠0)． (1)[答案]2Δx ＋4[解析]因为Δy ＝f (1＋Δx )－f (1)＝2(Δx )2＋4Δx ，所以平均变化率Δy Δx＝2Δx ＋4. (2)解 ∵Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)＝1(x 0＋Δx )2－1x 20 ＝－Δx (2x 0＋Δx )(x 0＋Δx )2x 20， ∴Δy Δx＝－Δx (2x 0＋Δx )(x 0＋Δx )2x 20Δx ＝－2x 0＋Δx (x 0＋Δx )2x 20. 题型二 实际问题中的瞬时速度例2 一作直线运动的物体，其位移s 与时间t 的关系是s ＝3t －t 2(位移单位：m ，时间单位：s)．(1)求此物体的初速度；(2)求此物体在t ＝2时的瞬时速度；(3)求t ＝0到t ＝2时的平均速度．解 (1)初速度v 0＝lim Δt →0s (Δt )－s (0)Δt ＝lim Δt →03Δt －(Δt )2Δt＝lim Δt →0(3－Δt )＝3. 即物体的初速度为3 m/s.(2)v 瞬＝lim Δt →0s (2＋Δt )－s (2)Δt＝lim Δt →03(2＋Δt )－(2＋Δt )2－(3×2－4)Δt＝lim Δt →0－(Δt )2－Δt Δt＝lim Δt →0(－Δt －1)＝－1. 即此物体在t ＝2时的瞬时速度为1 m/s ，方向与初速度方向相反．(3)v ＝s (2)－s (0)2－0＝6－4－02＝1. 即t ＝0到t ＝2时的平均速度为1 m/s.反思与感悟 作变速直线运动的物体在不同时刻的速度是不同的，Δt 趋近于0，指时间间隔Δt 越来越小，但不能为0，Δt ，Δs 在变化中都趋近于0，但它们的比值趋近于一个确定的常数．跟踪训练2 已知一物体作自由落体运动，下落的高度的表达式为s ＝12gt 2，其中g 为重力加速度，g ≈9.8米/平方秒(s 的单位：米)．(1)求t 从3秒到3.1秒、3.01秒、3.001秒、3.000 1秒各段内的平均速度；(2)求t ＝3秒时的瞬时速度．跟踪训练2 解 (1)当t 在区间[3,3.1]上时，Δt ＝3.1－3＝0.1(秒)，Δs ＝s (3.1)－s (3) ＝12g ·3.12－12g ·32≈2.989(米)． v 1＝Δs Δt ≈2.9890.1＝29.89(米/秒)． 同理，当t 在区间[3,3.01]上时，v 2≈29.449(米/秒)，当t 在区间[3,3.001]上时，v 3≈29.404 9(米/秒)，当t 在区间[3,3.000 1]上时，v 4≈29.400 49(米/秒)．(2)Δs Δt ＝s (3＋Δt )－s (3)Δt ＝12g (3＋Δt )2－12g ·32Δt＝12g (6＋Δt )， lim Δt →0Δs Δt ＝lim Δt →0 12g (6＋Δt )＝3g ≈29.4(米/秒)． 所以t ＝3秒时的瞬时速度约为29.4米/秒．当堂检测1．在求解平均变化率时，自变量的变化量Δx 应满足( )A ．Δx ＞0B ．Δx ＜0C ．Δx ≠0D ．Δx 可为任意实数[答案]C[解析]因平均变化率为Δy Δx，故Δx ≠0.] 2．沿直线运动的物体从时间t 到t ＋Δt 时，物体的位移为Δs ，那么lim Δt →0Δs Δt 为( ) A ．从时间t 到t ＋Δt 时物体的平均速度B ．t 时刻物体的瞬时速度C ．当时间为Δt 时物体的速度D ．从时间t 到t ＋Δt 时位移的平均变化率[答案]B[解析]v ＝Δs Δt ，而li m Δt →0 Δs Δt 则为t 时刻物体的瞬时速度． 3．以初速度为v 0(v 0＞0)作竖直上抛运动的物体，t 秒时的高度为s (t )＝v 0t －12gt 2，求物体在t 0时刻的瞬时加速度．解 ∵Δs ＝v 0(t 0＋Δt )－12g (t 0＋Δt )2－v 0t 0＋12gt 20＝(v 0－gt 0)Δt －12g (Δt )2， ∴Δs Δt ＝v 0－gt 0－12g Δt . 当Δt →0时，Δs Δt→v 0－gt 0. ∴物体在t 0时刻的瞬时速度为v 0－gt 0.由此，类似地可得到物体运动的速度函数为v (t )＝v 0－gt ， ∴Δv Δt ＝v 0－g (t 0＋Δt )－(v 0－gt 0)Δt＝－g . ∴当Δt →0时，Δv Δt→－g . 故物体在t 0时刻的瞬时加速度为－g .。
高中数学新人教版B版精品教案《人教版B高中数学选修2-2 1.1.1 函数的平均变化率》
《函数的平均变化率》教学设计一、教学目标1．知识与技能理解函数平均变化率的概念；了解函数平均变化率的几何意义；会求函数在某点处附近的平均变化率2．过程与方法感受平均变化率广泛存在于日常生活之中，经历运用数学描述和刻画现实世界的过程3．情感、态度与价值观通过生活中登山问题的研究，体会数学与生活之间的联系，培养学习兴趣二、教学重点和难点教学重点：函数在某一区间的平均变化率教学难点：平均变化率的概念．三、教学方法以教师为主导，学生为主体，从生活中熟悉的登山经历出发，进行启发、诱导、探索，充分调动学生的积极性，发挥学生的主体作用四、教学过程（一）、情景引入师:是否登过轿顶山是否爬过白狼山以教材为依据演示幻灯片2生:爬过师:爬山过程中，当山坡平缓时，则步履轻盈；当山坡陡峭时，则气喘吁吁那么在爬山的时候你是否思考过山坡的平缓与陡峭在数学中应该怎样表达呢体现数学与实际生活的联系今天我们利用函数的变化来探讨一下这个问题板书课题:函数的平均变化率假设这是一座山的剖面图（演示幻灯片3），在其上面建立直角坐标系，A是出发点，=f表示演示幻灯片4自变量表示登山者的水平位置，函数值=f的坐标为0，，点B的坐标为1，1演示幻灯片5建立数学模型，解决问题若旅游者从点A爬到点B，且这段山路是平直的，自变量和函数值的改变量分别是多少？选取AB段山路放大研究演示幻灯片6生:自变量的改变量为1－0，记作Δ，函数值的改变量为1－0，记作Δ师:将自变量的改变量记作Δ,函数值的改变量记作Δ问题1：怎样用数量刻画山路的陡峭程度呢？演示幻灯片7师:此人从点A 爬到点B 的位移可以用向量),(y x ∆∆=来表示，假设向量 AB 对轴的倾斜角为θ，直线AB 的斜率为师:那么这里的与θ及A 的坐标为0，0，点B 的坐标为1，1能够建立怎样的关系式 生:0101tan x x y y k --==θ 师:我们又知道x y x x y y ∆∆=--0101,所以xyx x y y k ∆∆=--==0101tan θ将与x y ∆∆建立联系 问题2:xy∆∆ 能否刻画山路陡峭程度呢 ？演示幻灯片8 因表示A 、B 两点所在直线的斜率，显然，“线段”所在直线的斜率的绝对值越大，山坡越陡．这就是说，竖直位移与水平位移之比xy∆∆的绝对值越大，山坡越陡，反之，山坡越缓． 师:现在摆在我们面前的问题是：山路是弯曲的，怎样用数量刻画弯曲山路的陡峭程度呢？演示幻灯片9提出问题,学生思考 根据学生的回答教师总结我们可以把弯曲山路分成许多小段，的陡峭程度可以用比值11()()x k x kf x f x y x x x ++-∆=∆-近似地刻画演示幻灯片10 注意，各小段的yx∆∆是不尽相同的但无论哪一段，高度的平均变化都可以用起点、终点的纵坐标之差与横坐标之差的比值11()()x k x kf x f x y x x x ++-∆=∆-来度量教师总结演示幻灯片11二、概念形成一般地，已知函数)(x f y =，10,x x 是其定义域内的不同的两点，记01x x x -=∆,)()()()(000101x f x x f x f x f y y y -∆+=-=-=∆ 则当0≠∆x 时，商00()()f x x f x y x x+∆-∆=∆∆称作函数)(x f y =在区间[]x x x ∆+00,（或[]00,x x x ∆+）的平均变化率教师板演概念并演示幻灯片12 （三）、概念理解演示幻灯片13、14110,x x 是定义域内不同的两点，因此0≠∆x ，但x ∆可正也可负；而)()(01x f x f y -=∆为相应01x x x -=∆的改变量，因此y ∆的值可正可负，也可为零．所以，平均变化率可正可负，也可为零．在点0处的平均变化率与自变量的增量Δ有关，与0也有关． 3函数平均变化率的几何意义：函数图象上两点连线的斜率 4求函数平均变化率的步骤 生回答,师总结求函数=f 在0附近的平均变化率 （1）求确定自变量改变量∆ （2）求函数改变量∆ （3）求平均变化率y x∆∆ 四、知识巩固例1 求函数2x y = 在区间[]x x x ∆+00,（或[]00,x x x ∆+）的平均变化率（演示幻灯片15）生回答，教师板演 （演示幻灯片16）探究一：计算函数f ＝2在区间[1,1Δ]Δ>0的平均变化率，其中Δ的值为：12；21；3；4 思考：当Δ越来越小时，函数f 在区间[1,1＋Δ]上的平均变化率有怎样的变化趋势？ （生自主完成，汇报结果） （演示幻灯片17）探究二：求函数f ＝2在0=1,2,3附近的平均变化率，取Δ的值为2，哪一点附近的平均变化率最大？思考：当0越来越大时，函数f 在0附近的平均变化率有怎样的变化趋势？ （生自主完成，汇报结果） （教师总结）（演示幻灯片18） 例2 求函数1y x=在 0 附近的平均变化率（演示幻灯片19） （由学生口述完成进一步理解概念，会求函数的平均变化率） （五）、课堂练习1．已知函数＝f ＝2＋1，则在＝2，Δ＝时，Δ的值为 B A ． B ． C ． D ．2．已知函数f=－2的图象上的一点A－1, －2及临近一点B－1△, －2△, 则yx∆∆=3x∆．学生分组完成并回答，教师给出评价（六）、总结归纳学生归纳,教师补充,完整化1平均变化率定义2平均变化率的求法（七）、布置作业教材第5页练习第2、3题八、板书设计九、教学反思。
高中数学新人教版B版精品教案《人教版B高中数学选修2-2 1.1.1 函数的平均变化率》2
《函数的平均变化率》教学设计一、教学目标1．知识与技能理解函数平均变化率的概念；了解函数平均变化率的几何意义；会求函数在某点处附近的平均变化率2．过程与方法感受平均变化率广泛存在于日常生活之中，经历运用数学描述和刻画现实世界的过程3．情感、态度与价值观通过生活中登山问题的研究，体会数学与生活之间的联系，培养学习兴趣二、教学重点和难点教学重点：函数在某一区间的平均变化率教学难点：平均变化率的概念．三、教学方法以教师为主导，学生为主体，从生活中熟悉的登山经历出发，进行启发、诱导、探索，充分调动学生的积极性，发挥学生的主体作用四、教学过程（一）、情景引入以教材为依据，从人们的普遍感觉——爬山过程中，山坡平缓，则步履轻盈；山坡陡峭，则气喘吁吁——出发，引入函数的平均变化率便于学生理解接受，同时，体现了数学与生活之间的联系观察登山的图片（见课件第2页），思考怎样用数学反映山坡的平缓与陡峭程度呢？下面用函数变化的观点来研究这个问题假设一座山的剖面图（见课件第3页），在其上面建立直角坐标系，A 是出发点，=f 表示登山者的水平位置，函数值=f 表示此时登山者所在的高度——建立数学模型，解决实际问题思考，如何用数量表示登山路线的平缓与陡峭程度呢？首先，从A 点到B 点，（0，0）,点B （1，1），自变量的改变量为1-0，记为∆，函数值的改变量为1-2，记为∆，即∆=1-0，∆=1-0此人从点A 爬到点B 的位移可以用向量),(y x AB ∆∆=来表示，假设向量 AB 对轴的倾斜角为θ，直线AB 的斜率为,则有1010tan y y y k x x xθ-∆===-∆教师引导讨论斜率、倾斜角和x y ∆∆的关系 归纳：直线的斜率的绝对值越大，山坡越陡反之，越平缓引出问题：山路是弯曲的，怎样用数量刻画弯曲山路的陡峭程度呢？我们可以把弯曲山路分成许多小段，的陡峭程度可以用比值11()()x k x kf x f x y x x x ++-∆=∆-近似地刻画（类比平直线段AB 得出结论 结论：无论哪一段，高度的平均变化都可以用起点、终点的纵坐标之差与横坐标之差的比值11()()x k x kf x f x y x x x ++-∆=∆-来度量 归纳：不论山路平直还是弯曲，陡峭的程度主要看xy ∆∆绝对值得大小数学题 引出概念:比值称为函数在某一区间的函数变化率（二） 、概念形成 一般地，已知函数=f ，0，1是其定义域内的不同的两点，记∆=1-0，∆=1-0=f 1-f 0=f 0∆-f 0则当∆≠0时，商 00()()f x x f x y x x+∆-∆=∆∆ 称作函数=f 在区间[0，0∆]（或[0∆, 0]）的平均变化率学生概括,教师补充完整（三） 、概念深化1对函数平均变化率的理解（1）函数在0处有定义；（2）1是0附近的任意点，∆≠0,可正可负（3）改变量相对应 1010()()x x x y f x f x ∆=-∆=-（4）平均变化率可正，可负，可零（5） 函数平均变化率的几何意义：直线的斜率，曲线的割线斜率2求函数平均变化率的步骤求函数=f 在0附近的平均变化率（1）求确定自变量改变量∆（2）求函数改变量∆（3）求平均变化率y x∆∆ （四）、应用举例例1 求函数=2 在区间[0，0∆]（或 [0∆，0]）的平均变化率（课件第7页）由学生在黑板上独立完成，考察学生对概念的理解，完成后，教师给予评价 教师在黑板上画出函数图象，归纳得出结论：（1）平均变化率与0,∆有关（2）平均变化率绝对值越大,曲线越陡例2 求函数1y x = 在 0 附近的平均变化率（课件第8页）提问学生得出结论，进一步理解概念，会求函数的平均变化率探索与研究课件第9页例2中所得函数的平均变化率表达式的值与函数图象之间的关系教师引导示范,师生共同回答结论:平均变化率的绝对值越大，曲线越陡。
高二数学(选修-人教B版)-函数的平均变化率-1教案
教案（复习坡度的概念）实际上，山坡一般都是弯曲的，我们该如何刻画它的陡峭程度呢？（三）以直代曲思想的理解即使是弯曲不平的山坡，我们也可以将它划分为许多小段，每一段山路都近似地看成“平直”的．为什么可以把“不平直”的山路看成“平直”的呢？下面是一个曲线的一个局部图形，你能判断它是直的还是弯曲的吗？如果显示出网格线，能否判断呢？这个图的全貌其实是这样的：如果我们用一个“高倍显微镜”来看曲线的一个局部，都可以近似地把它看成直线段．所以，我们也可以把弯曲的山路看成许多平直的小段组成．概念的形成（四）构造数学模型表示山坡陡峭程度假设下图是一座山的剖面示意图．爬山者上升的高度y可以看成水平行进距离x的函数，这座山的山坡剖面图则可以看作函数y=f(x)的图象，建立平面直角坐标系如图所示．我们把山路分成许多近似平直的小段．对于AB这一段平直的山路，放大如下图：坡度为：1010tany y yx x xθ-∆==-∆.对于CD这一段弯曲的山路，可以分成许多段，比如第一小段CD1可以近似地看成直线段，于是这一段山路的陡峭程度可表示为：结合函数的概念，以函数图象表示山坡的剖面图，将实际问题数学化．用数学语言表达山路的陡峭程度．OyxD1x3接这一段的始点与终点的直线的斜率，即点11(())x f x ，与点00(())x f x ，连线的斜率，亦即曲线()f x 的割线的斜率．这是函数平均变化率的几何意义，是曲线陡峭程度的“数量化”，其值可粗略地表示函数的变化趋势．AB k ＝y B －y A x B －x A ＝f (x 1)－f (x 0)x 1－x 0＝ΔyΔx ＝tan θ.函数1y x=在 1 到 1＋△x 之间的平均变化率为11x-+∆． 所以，它们在 1 到 1＋△x 之间的平均变化率的大小关系为：②＞①＞③． 【思考】（请同学们自行思考）（1）如果10x -<∆<，它们的大小关系如何？你能结合函数的图象来解释吗？（2）与y x =的平均变化率比较，它们的大小关系如何呢？例 两工厂经过治理，污水的排放流量(W )与时间(t )的关系，如图所示．试指出哪一个厂治污效果较好？分析：这是一个应用问题．读图的关键点是“治污效果”用什么量来刻画——考查函数的平均变化率的应用． 解：甲、乙两厂在相同的时间内都将污水排放流量治理到标准要求．甲厂原来的排放流量较大，因而平均变化率较大，所以甲厂的治污效果较好．本节课学习的主要内容是函数的平均变化率．学习过程从生活情境到数学情境，再到数学概念以及几何意义，初步体会了“以直代曲”的思想和数形结合的方法．。
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第一课时：变化率与导数BCA 案
主备人：王明华 审核人 ：付之美 使用时间：09.4.21 教学目标：
1. 借助实例分析引入变化率的概念，为学习导数奠定基础，帮助学生理解
实例的过程。
2. 理解导数的概念，掌握球导数的定义方法。
3. 理解导数的几何意义，物理意义。
B 案 课前预习：
1.导数的概念：函数)(x f y =，如果自变量x 在0x 处有增量x ∆，那么函数y 相应地有增量y ∆= ，比值 叫做函数)(x f y =在0x 到0x +x ∆之间的平均变化率， 如果当0→∆x 时， 有极限，我们就说函数)(x f y =在点0x 处可导，并把这个极限叫做)(x f 在点0x 处的导数，记作： .
2.由导数的定义可知，求函数)(x f y =在点0x 处的导数的步骤：
①求函数的增量： ；②求平均变化率： ；③取极限得导数 .
3.导数的几何意义：函数)(x f y =在点0x 处的导数的几何意义是 .
4.导数的物理意义：函数)(x f y =在点0x 处的导数的物理意义是 .
5.导函数的概念:从求函数f(x)在x=0x 处导数的过程可以看出，当x=0x 时，)(0'x f 是一
个确定的数，这样，当x 变化时，)('
x f 便是x 的一个函数，称它为的导函数（简称导数）,y=f(x)的导函数有时也记作 即 C 案
二、例题解析：
例1、变化率问题：
（1）质点运动规律32+=t s ，则在时间)3,3(t ∆+中，相应的平均速度等于（ ）
A 、t ∆+6
B 、t t ∆+
∆+96 C 、t ∆+3 D 、t ∆+9 （2）322+-=x x y 在2=x 附近的平均变化率是（ ）
A 、2
B 、x ∆
C 、x ∆+2
D 、1
例2、求函数322--=x x y 在2=x 处的导数
练习：求函数x y =在1=x 处的导数
例3、利用导数的几何意义求切线的斜率
（1）在曲线2x y =上过哪点的切线①平行于直线54-=x y ②垂直于直线0562=+-y x ③与x 轴与135°的倾斜角
（2）已知曲线331x y =
上一点P )3
8,2(，求①求点P 处的切线的斜率②求过点P 的切线的斜率
③求过点P )3,2(的切线的斜率
合作探究：
如何利用导数的几何意义求曲线上过某点的切线方程？
三、当堂检测
1.曲线22x y =在点（1，2）处的瞬时变化率为：
A.2
B.4
C.5
D.6
2.若函数()y f x =在区间(,)a b 内可导，且0(,)x a b ∈则000()()lim h f x h f x h h
→+-- 的值为：
A.'0()f x
B.'02()f x
C.'02()f x -
D.0
3.设)(x f 是可导函数，且='=∆-∆-→∆)(,2)()2(lim 0000x f x
x f x x f x 则： A.0.5 B.－1 C.0 D.－2
A 案
1.已知曲线122+=x y 在点M 处的瞬时变化率为-4，则点M 的坐标是：
A.（1，3）
B.（-4，33）
C.（-1，3）
D.不确定
2.设函数)(x f y =，当自变量x 由0x 改变到x x ∆+0时，函数值的改变量是：
A.)(0x x f ∆+
B.x x f ∆+)(0
C.x x f ∆)(0
D.)()(00x f x x f -∆+
3.已知函数12+=x y 的图像上一点（1，2）及邻近一点)2,1(y x ∆+∆+，则
x
y ∆∆等于： A.2 B.x 2 C.x ∆+2 D. 2)(2x ∆+
4.若函数12)(2-=x x f 的图象上一点（1，1）及邻近一点)1,1(y x ∆+∆+，则=∆∆x
y .。