鸡兔同笼及变形

鸡兔同笼及变形

一、典型问题

笼子里有若干鸡和兔，从上面数，有35个头；从下面数，有94只脚。问鸡、兔各有几只？

解析：典型的鸡兔同笼问题是指两个物体之间有一定的倍数关系（鸡脚是头的2倍，兔脚是鸡脚的2倍），对于这种可以有简便算法。

先假设全部都是鸡；没有兔，这时可以算出笼子里只有70只脚，不符合题意。以此类推，一直到脚数正好是94只时，鸡是23只；兔是12只。

注意：此法容易理解，但有时要算出答案需要写很长，有一定的局限。通过此图我们可以发现一个规律：每将一个鸡变成一个兔，脚数就会多2只。

法二：基础法

我们先假设笼子里全是鸡，也就是35个鸡、0个兔，这时脚数为35×2+0×4=70（只）。题目要求是94只脚，那需要增加脚数94-70=24（只），通过法一可得知：每将一个鸡变成一个兔，脚数就会多2只，24÷2=12也就是将12只鸡

变成12只兔就可以增加到94只脚。此时鸡数减少为：35-12=23（个），兔数增加到：0+12=12（个）。或者这样理解：假设全是鸡那脚数为35×2=70（只），但实际有94只脚，多出94-70=24（只）脚。这24只脚也必须在笼子里，可以将这24只脚按在鸡身上，我们一个鸡身上按上2只脚，那一个鸡也就变成4只脚，可以当成一个兔。24只脚最终能按在24÷2=12（个）鸡身上，也就是12只鸡变成了12个兔。检验：23×2+12×4=94（只），符合题目要求。

35×2=70（只）

94-70=24（只）

4-2=2（只）

24÷2=12（个）

35-12=23（个）

答：鸡有23个，兔有12个。

35×2=70（只）表示都是鸡的情况下一共有70只脚；94-70=24（只）表示符合题目要求还需增加24只脚才行；4-2=2（只）表示一个兔比一个鸡多2只脚也就是将其中的一个鸡换成兔就会增加2只脚；24÷2=12（个）表示增加24只脚需要将12只鸡换成兔，并且兔一开始为0个，现在增加的兔子数量也就是兔子的总数量；35-12=23（个）表示用总数量剪去兔子的数量剩下的就是鸡的数量。

注意：法二是鸡兔同笼问题的一般解法也是基础解法，所有鸡兔同笼问题及变形都可以用此种方法解决。

法三：简便算法（《孙子算经》砍足法）

此题目出自《孙子算经》：今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？

鸡有2只脚，兔有4只脚，同时都砍掉一半，那鸡就变成1只脚，兔变成2只脚，笼子里也就只剩94÷2=47（只）脚。此时鸡：1个头，1只脚；兔：1个头，2只脚。鸡和兔头一共是35个（只是脚数减半，只数没有发生变化），鸡和兔脚一共是47只，脚数比头数多了47-35=12，也就是兔子多的脚数。一个兔子脚比头多1，现在一共多了12，也就是12个兔子，鸡的数量就是35-12=23（个）。

94÷2=47（只）

47-35=12（个）

35-12=23（个）

94÷2=47（只）表示将鸡和兔的脚数都减半，此时鸡和兔的个数没发生变化，并且此时鸡变成1头1脚，兔变成1头2脚；47-35=12（个）表示用现在的脚数剪去头数，多出的12只脚就是兔子的，并且一个兔多一只脚，所以多的12只脚就是12个兔；35-12=23（个）表示总数减去兔子的数量就是鸡的数量。

注意：法三只适用于鸡兔同笼问题：除去一个数后，其中一个物体的两个量都变为1，另一个物体只有一个量为1。此种算法比较简单，但解决不了变形问题。

法四：方程法（二元一次方程组）

解：设鸡有x个，兔有y个

x+y=35

2x+4y=94

解得x=23，y=12

或者五年级学生用一元一次方程（例4问题）

解：设鸡有x只，那么兔的只数可表示为35-x只。

2x+4×（35-x）=94

解得x=23，35-x=12

注意：一元一次方程式五年级下册才学习得内容，而二元一次方程组更是到七年级下册才学习，所以方程法对四年级学生不适用。

二、一般变形

100个和尚吃92个馒头，大和尚一个人吃2个，小和尚两个人吃1个，求大、小和尚各有几人？

解析：这种一般变形不再局限于鸡兔问题，可以是任何两个事物，解题方法都用法二：先假设一个事物为0，算出的和与实际的和一定存在差距，这个差距是由这两个事物间的单个差距一个个累加得到的，用总差距除以两个事物的单独差距就是答案。

解：假如全是小和尚，小和尚为100人，那这时大和尚就应该是0人，他们一共要吃100÷2+0×2=50个。但实际

吃了92个，那就是说要多吃92-50=42个才行。一个大和尚比一个小和尚多吃几个：一个大和尚吃2个，两个小和尚吃1个，所以一个小和尚只吃1÷2=0.5个，2-0.5=1.5个。总差距就是42，单个差距是1.5，所以42÷1.5=28，增加28个大和尚才能把差的42个补上，所以大和尚有0+28=28人，小和尚有100-28=72人。

100÷2=50（个）

92-50=42（个）

1÷2=0.5（个0

2-0.5=1.5（个）

42÷1.5=28（人）

100-28=72（人）

或者：

100×2=200(个)

200-92=108(个)

1÷2=0.5(个)

2-0.5=1.5(个)

108÷1.5=72(人)

100-72=28(人)

自己思考第二个解法的思路。

问题三：特殊变形（加减分问题）

一张试卷共12道题，答对得10分，答错扣5分，最终

小明的了90分，小明答对几道题，答错几道题？

解析：这种问题就在特殊在单独两个之间的差距到底如何计算：

先看两道题1、小红有10元，小刚有5元，相差几元？

2、小红和小刚做题，小红答对加10分，小刚做错被扣了5分，两人相差几分？只说第2题：假设小红和小刚原来都有50分，现在小红做对又得了10分，总分变成50+10=60分；小刚做错被扣了5分，总分变成50-5=45分，所以两个相差是60-45=15分，而不是5分。

相差问题是用差，但加分是+（正），扣分是-（负），所以小红是+10分，小刚的是-5分，他们的差是10-（-5）=10+5=15分。

所以对这种加减分的问题，求两个事物的单个差距就是将两个数相加求和。

解：假如全部做对的话，那总分应该是12×10=120分，但实际得分只有90分，相差120-90=30分。其中答对和答错一个的单独差距是10+5=15分（关键项），所以30÷15=2道，只有答错两道题才能得90分，答错0+2=2道，答对12-2=10道。

12×10=120（分）

120-90=30（分）

10+5=15（分）关键项