一元二次方程综合题(精)

一元二次方程根的判别、根与系数的关系专项训练

1.已知关于x 的一元二次方程x 2＋(m －1)x －2m 2＋m=0（m 为实数）有两个实数根1x 、2x ． （1）当m 为何值时，12x x ≠； （2）若22122x x += ，求m 的值.

2. 已知关于x 的一元二次方程22(21)0x m x m +-+=有两个实数根1x 和2x ． （1）求实数m 的取值范围；

（2）当22

12

0x x -=时，求m 的值．

3．已知抛物线22(23).y x m x m =+++

（1）m 满足什么条件时，抛物线与x 轴有两个的交点； （2）若抛物线与x 轴两个交点的横坐标分别为12,x x ，且

12

11

1x x +=-，求m 的值.

4．已知抛物线223

4

y x kx k =+-（k 为常数，且k ＞0）．

（1）证明：此抛物线与x 轴总有两个交点；

（2）设抛物线与x 轴交于M 、N 两点，若这两点到原点的距离分别为OM 、ON ，且1123

ON

OM

-

=

，

求k 的值．

5.已知关于x 的方程x 2+(2k －1)x +(k －2)(k +1)=0……①和kx 2+2(k －2)x +k －3=0……②. ⑴求证：方程①总有两个不相等的实数根；

⑵已知方程②有两个不相等的实数根，求实数k 的取值范围；

⑶如果方程②的两个不相等实数根α、β的倒数和等于方程①的一个根，求k 的值.

6.已知关于x 的二次函数y =x 2-（2m -1）x +m 2+3m +4.

（1）探究m 满足什么条件时，二次函数y 的图象与x 轴的交点的个数.

（2）设二次函数y 的图象与x 轴的交点为A （x 1，0），B （x 2，0），且21x +2

2x =5，与y 轴的交

点为C ，它的顶点为M ，求直线CM 的解析式.

7. 已知一元二次方程2 10x px q +++=的一根为 2． （1）求q 关于p 的关系式；

（2）求证：抛物线2 y x px q =++与x 轴有两个交点；

（3）设抛物线2y x px q =++的顶点为 M ，且与 x 轴相交于A （1x ，0）、B （2x ，0）两点，求使△AMB 面积最小时的抛物线的解析式．

8.已知关于x 的方程21

(21)4()02

x k x k -++-=

（1）求证：无论k 取什么实数，这个方程总有实根；

（2）若等腰ABC 的边长a=4，另两边的长b 、c 恰好是这个方程的两个根，求ABC 的周长。

答案

1.解：（1） △=(m －1)2

－4(－2m 2

＋m)

=m 2

－2m ＋1＋8m 2

－4m

=9m 2

－6m ＋1=(3m －1)2

……………………………………………3分 要使x 1≠x 2 ， ∴△>0即△=(3m －1)2

>0 ∴ m ≠13

……………………5分

另解：由x 2＋(m －1)x －2m 2

＋m=0得x 1=m ，x 2=1－2m

要使x 1≠x 2，即m ≠1－2m ，∴m ≠1

3

.

（2）∵x 1=m ，x 2=1－2m ，x 12＋x 22

=2 ………………………………………………8分

∴m 2

＋（1－2m ）2

=2

解得121

,15

m m =-=. …………………………………………………10分

另解： ∵x 1＋x 2=－(m －1) , x 1·x 2=－2m 2

＋m ，x 12

＋x 22

=2

∴(x 1＋x 2)2－2x 1x 2=2 [－(m －1)]2－2(－2m 2

＋m)=2 5m 2

－4m －1=0 ∴m 1=15

- , m 2=1.

2.解：（1）由题意有22

(21)40m m ∆=--≥， ················ 2分 解得1

4

m ≤

． 即实数m 的取值范围是14

m ≤

． ······················· 4分 （2）由22

120x x -=得1212()()0x x x x +-=． ················· 5分

若120x x +=，即(21)0m --=，解得1

2

m =

． ················ 7分 1124>，1

2

m ∴=不合题意，舍去． ···················· 8分 若120x x -=，即12x x = 0∴∆=，由（1）知1

4

m =．

故当22

120x x -=时，14

m =． ······················· 10分

4. （1）证明：△=2

22341()44

k k k -⨯⨯-

=． ………………2分

∵k >0，∴△= 4k 2

>0 ． ……………………………3分 ∴此抛物线与x 轴总有两个交点． ………………4分 （2）解：方程2

23

04x kx k +-

=的解为1

3

22

x k x k =

=-或． ……………6分

∵

11203ON OM -=>，∴OM > ON ．∵k > 0，∴M 3(,0)2k -，N 1(,0)2

k