导数、定积分及应用测试-答案

《导数、定积分及应用测试》参考答案：

1、（ B ） 2．（ B ） 3．（A ） 4.（ C ） 5.（ B ） 6、（ B ） 7、（ D ） 8、（C ） 9、（ B ） 10、（D ）

11、解：11231

001

()()3

f x dx ax c dx ax cx

=+=+⎰⎰203

a

c ax c =

+=+03x =∴12、a>2或a<-1； 13、-1/2 ； 14、10；

15、设kx F =，则由题可得010.=k ，所以做功就是求定积分1800106

..=⎰xdx 。

16题、解方程组⎩⎨⎧-==2

x

x y kx

y 得：直线kx y =分抛物线2x x y -=的交点的横坐标为0=x 和k x -=1抛物线2x x y -=与x 轴所围成图形为面积为

61

|)3121()(10

32102=-=-=⎰x x dx x x S 由题设得 dx kx dx x x S

k k ⎰⎰----=10102)(2

6)1()(310

2

k dx kx x x k

-=

--=⎰

- 又6

1

=S ，所以21)1(3=-k ，从而得：2

4

13

-

=k 17题、（1）323)('2

-+=bx ax x f ，依题意， 0)1(')1('=-=f f ，即⎩

⎨⎧=--=-+.0323,

0323b a b a

解得 0,1==b a ∴x x x f 3)('3-=，∴)1)(1(333)('2-+=-=x x x x f 令0)('=x f ，

得 1,1=-=x x 若),1()1,(+∞--∞∈ x ，则0)('>x f 故)(x f 在),1()1,(+∞--∞和上是增函数； 若)11(，-∈x ，则0)('

)1,1(-上是减函数；所以2)1(=-f 是极大值，2)1(-=f 是极小值。 （2）

曲线方程为x x y 33-=，点)16,0(A 不在曲线上。设切点为),(00y x M ，则

03003x x y -= 由)1(3)('2

00-=x x f 知，切线方程为 ))(1(302

00x x x y y --=- 又点)16,0(A 在切线上，有

)0)(1(3)3(1602

003

0x x x x --=--化简得 83

0-=x ，解得 20-=x 所以切

点为)2,2(--M ，切线方程为 0169=+-y x

18题、要使()0f x ≥恒成立，只要min ()0f x ≥在[]1,1x ∈-上恒成立。

22()333(1)f x ax ax '=-=-

01 当0a =时，()31f x x =-+，所以min ()20f x =-<，不符合题意，舍去。02当0a <时22()333(1)0f x ax ax '=-=-<，即()f x 单调递减，

min ()(1)202f x f a a ==-≥⇒≥，舍去。 0

3当0a >

时()0f x x '=⇒=

11a ≤⇒≥时()f x

在1,⎡-⎢⎣和

⎤⎥⎦

上单调递增，在⎛ ⎝

上单调递减。所以min

()min (1),f x f f ⎧⎫⎪

⎪=-⎨⎬⎪⎪⎩

⎭(1)40

0410f a a f -=-+≥⎧⎪≥⇒⇒=⎨=-≥⎪

⎩

当11a >⇒<时()f x 在[]1,1x ∈-上单调递减，

min ()(1)202f x f a a ==-≥⇒≥，不符合题意，舍去。综上可知a=4.

19题、 (1) '22ln 1(),ln x f x x x +=-

若 '

()0,f x = 则 1x e

=

列表如下

x 1(0,)e

1e 1

(,1)e

(1,)+∞ '()f x + 0 - - ()f x

单调增

极大值

1()f e

单调减

单调减

(2) 在 1

2a x

x > 两边取对数, 得 1

ln 2ln a x x >,由于01,x <<所以

1ln 2ln a x x >

由(1)的结果可知,当(0,1)x ∈时, 1

()()f x f e e

≤=-,为使(1)式对所有(0,1)x ∈成立,当且仅当ln 2

a

e >-,即ln 2a e >-

20题、（1）①当时010t <≤，12

4

()(1440)5050,t V t t t e =-+-+<化简得

214400t t -+>，解得410,010,04t t t t <><≤<<或又故.②当012t <≤1时，()4(10)(341)5050V t t t =--+<,化简得，(10)(341)0t t --<解得

41

10,012,0123

t t t <<

<≤<≤又1故1.综上得，04t <<,或012t <≤1.故知枯水期为1月，2月，3月，4月，11月，12月共6个月。（2）由（1）知，()V t 的最

大值只能在(4,10)内内达到。由11

'

24

4131()(4)(2)(8)424

t t V t e t t e t t =-++=-+-,令

'()0V t =，解得8t =（2t =-舍去）。当t 变化时，'()V t 与()V t 的变化情况如下

由上表，()V t 在8t =时取得最大值2(8)850108.32V e =+=（亿立方米）。 故知一年内该水库的最大蓄水量是108.32亿立方米。 21题、（I ）()f x 的定义域为{}1x x >，当2n =时

21()ln(1),1

)f x a x x =+--（/

2/

23

12(1)()ln(1),.1)1)a x f x a x x x ⎡⎤--=+-=⎢⎥--⎣

⎦

（（1）当0a >时，由/()0f x =得12

11,11,x x =+

>=

a x x x x f x x ---=-（当1,1x ⎛∈+ ⎝时，/

()

0,f x <()f x

单调递减；当1x ⎛⎫∈++∞ ⎪ ⎪⎝⎭

时，/()0,f x >()f x 单调递增。2）当0a ≤时/()0f x <恒成立，()f x 无极值。纵上可

知2n =时，当0a >时()f x 在1x =+

2

(1(1ln ),2a f a

+

=+当0a ≤时()f x 无极值。（II ）当1a =时，1

()ln(1),1)n

f x x x =+--（