数学模型试验指导书

《数学模型》实验指导书

实验项目与学时分配表

实验项目一：预测模型

一、实验目的和要求：

熟悉科学计算软件MATLAB的图形功能，会用软件画图，并进行数据模拟。掌握数据预测方法。

二、实验内容：

某乡镇企业2010-2016年的生产利润如下表;

试预测2017年和2018年的利润。

三、过程：

1.利用MATLAB软件或其它绘图软件，对所给数据画出散点图;

2.根据散点图，分析合适的函数，并试探（画图作对比）；

3.确定函数类型，作数据拟合，确定函数中的参数；

4.作误差分析；

5.考虑用cftool进行数据拟合，并作出结果分析.

实验项目二：初等模型

一、实验目的和要求：

掌握线性方程组建模，并会用它解决一些实际问题；熟悉科学计算软件MATLAB求线性方程组的命令。

二、实验内容：

问题一:某城市有下图所示的交通图，每条道路都是单行线，需要调查每条道路每小时的车流量.图中的数字表示该条路段的车流数.如果每个交叉路口进入和离开的车数相等, 整个图中进入和离开的车数相等.

220 300 100

150 400 290

图4某城市单行线车流量

(1)建立确定每条道路流量的线性方程组；

(2)使用MATLAB求线性方程组；

(3)分析哪些流量数据是多余的；

(4)为了唯一确定未知流量，需要增添哪几条道路的流量统计；

问题二:某地有一座煤矿，一个发电厂和一条铁路.经成本核算，每生产价值1元钱的煤需消耗0.3元的电；为了把这1元钱的煤运出去需花费0.2元的运费；每生产1元的电需0.6元的煤作燃料；为了运行电厂的辅助设备需消耗本身0.1元的电，还需要花费0.1元的运费；作为铁路局，每提供1元运费的运输需消耗0.5元的煤，辅助设备要消耗0.1元的电. 现煤矿接到外地6万元煤的订货，电厂有10万元电的外地需求，问：煤矿和电厂各生产多少才能满足需求

过程：

(1)建立确定的线性方程组；

(2)使用MATLAB求线性方程组；

实验项目三：简单优化模型

一、实验目的和要求：

学习函数极值的相关知识，熟悉科学计算软件MATLAB求极值的方法。

二、实验内容：

问题一：一栋楼房的后面是一个很大的花园。在花园中紧靠着楼房有一个温室，温室伸入花园宽2m,高3m,温室正上方是楼房的窗台。清洁工打扫窗台周围，他得用梯子越过温室，一头放在花园中，一头靠在楼房的墙上。因为温室是不能承受梯子压力的，所以梯子太短是不行的。现清洁工只有一架7m长的梯子，你认为它能达到要求吗？能满足要求的梯子的最小长度为多少？

过程：

1、设温室宽为a，高为b，梯子倾斜的角度为x，当梯子与温室顶端A处恰

好接触时，梯子的长度L只与x有关。试写出函数L（x）及其定义域。

3、在Matlab环境，先用命令clear x清除x的值，再定义函数L（x），并求导。

4、将a、b赋值，画出L（x）的图形。注意自变量x的范围选取。

5、求驻点，即求方程L'（x）= 0的根，有什么命令求根？并计算函数在驻点的值。驻点唯一吗？

6、观测图形，选取初始点，用fminbnd直接求L（x）的极小值。并与（5）的结果比较。

7、取a=2,b=2.8,重新运行程序，结果如何？

问题二：在某医院走廊拐角处，垂直相交的两通道宽度分别是1m与1.5m,病床宽为

0.80m，问病床至多为多长才能被推过此拐角？

过程：

1建立数学模型；

2求解数学模型；

3改动模型中一些数据，再求解，观测结果。

实验项目四：数学规划问题

一、实验目的和要求：

熟悉数学规划软件LINGO的运用，理解数学规划模型及其应用，建模过程和求解方法。重点是模型的约束条件的建立和结果的分析。

二、实验内容：

1、某银行经理计划用一笔资金进行有价证券的投资，可供购进的证券以及信用等级、到期年限、收益如表2所示。按照规定，市政证券的收益可以免税，其他证券的收益需按50% 的税率纳税。此外还有以下限制：

（1）政府及代办机构的证券总共至少要够进400万元；

（2）所购证券的平均信用等级不超过1.4 （信用等级数字越小，信用程度越高）；

（3）所购证券的平均年限不超过5年；

表2证券以及信用等级、到期年限、收益

1）若该经理拥有1000万元资金，应如何投资？

2）如果能够以2.75%的利率借到不超过100万元资金，该经理应如何操作？

3）在1000万元资金情况下，若证券A的税前收益增加为4.5%，投资应否改变？若证券C 的税前收益减少为4.8%，投资应否改变？

实验项目五：微分方程模型

一、实验目的和要求：

理解一阶、二阶微分法在建模过程中的应用，熟悉利用MATLAB软件求解微分方程的方法。注意模型的普遍性和模型的广泛性。

二、实验内容：

问题一：一个半球体状的雪堆，其体积V的融化速率与半球面面积S成正比，比例系数K>0.假设在融化过程中雪堆始终保持半球体状，已知初始半径为r0的雪堆在开始融化的3小时内，融化了其原体积的7/8，问该雪堆全部融化需要多少时间？

过程：

1.分析雪堆的融化过程；

2.建立雪堆融化的微分方程模型；

3.利用所给数据，确定参数；

4.确定初始条件，求解方程（模型）.

5.扩展讨论：雪堆形状不同时的建模和求解方法（供参考，不作要求）

问题二：现有一只兔子、一匹狼，兔子位于狼的正西100米处，假设兔子与狼同时发现对方并一起起跑，兔子往正北60米处的巢穴跑，而狼在追兔子。已知兔子、狼是匀速跑且狼的速度是兔子的两倍。问兔子能否安全回到巢穴？

过程：（1）建立狼的运动轨迹微分模型。

（2）画出兔子与狼的运动轨迹图形。

（3）用解析方法求解，问兔子能否安全回到巢穴？

（4）用数值方法求解，问兔子能否安全回到巢穴？