相似三角形几何模型-一线三等角(培优篇)-2022-2023学年九年级数学下册基础知识讲练(人教版)

专题27.35 相似三角形几何模型-一线三等角（培优篇）

（专项练习）

一、单选题

1．如图，∠A=∠B=90°，AB=7，AD=2，BC=3，在边AB 上取点P ，使得△PAD 与△PBC 相似，则这样的P 点共有（ ）

A ．1个

B ．2个

C ．3个

D ．4个

2．如图，已知正方形ABCD 的边长为4，P 是BC 边上一动点（与B ，C 不重合）连接AP ，作PE ∠AP 交∠BCD 的外角平分线于E ，设BP =x ，∠PCE 的面积为y ，则y 与x 的函数关系式是（ ）

A ．24y x x =-+

B ．21

22y x x =

- C ．21

22

y x x =-+

D ．24y x x =-

3．如图，在平面直角坐标系中，直线1

2

y x m =

+不经过第四象限，且与x 轴，y 轴分别交于,A B 两点，点P 为OA 的中点，点C 在线段OB 上，其坐标为(0,2)，连结BP ，CP ，若BPC BAO =∠∠，那么m 的值为（ ）

A ．25

B ．4

C ．5

D ．6

4．将矩形OABC 如图放置，O 为坐标原点，若点A （﹣1，2），点B 的纵坐标是7

2

，

则点C 的坐标是（ ）

A．（4，2）B．（3，3

2

）C．（3，

9

4

）D．（2，

3

2

）

二、填空题

5．如图，将等边三角形ABC折叠，使得点C落在边AB上的点D处，折痕为EF，点

E，F分别在AC和BC上．若AC＝8，AD＝2，则CE

CF

＝_______________．

6．如图，矩形ABCD中，AD＝5，AB＝8，点E为DC上一个动点，把∠ADE沿AE

折叠，若点D的对应点D′，连接D′B，以下结论中：∠D′B的最小值为3；∠当DE＝5

2

时，

∠ABD′是等腰三角形；∠当DE＝2是，∠ABD′是直角三角形；∠∠ABD′不可能是等腰直角三角形；其中正确的有_____．（填上你认为正确结论的序号）

7．如图，在四边形ABCD中，∠A=∠B，点E为AB边的中点，∠DEC=∠A．有下列结论：∠DE平分∠AEC；∠CE平分∠DEB；∠DE平分∠ADC；∠EC平分∠BCD．其中正确的是_______________.（把所以正确结论的序号都填上）

三、解答题

8．如图，四边形ABCD 是正方形，点E 是BC 边上动点(不与,B C 重合)．连接,AE 过点

E 作,E

F AE ⊥交DC 于点F ．

()1求证：

ABE ECF ；

()2连接AF ，试探究当点E 在BC 什么位置时，BAE EAF ∠=∠，请证明你的结论．

9．如图，在ABC 中，点D E 、分别在边BC AC 、上，连接AD DE 、，且

B ADE

C ∠=∠=∠．

（1）证明：BDA CED △∽△；

（2）若45,2B BC ∠=︒=，当点D 在BC 上运动时（点D 不与B C 、重合），且ADE 是等腰三角形，求此时BD 的长．

10．如图，已知∠ABC 是边长为12的正三角形，AD 是边BC 上的高线，CF 是外角ACE

的平分线，点P是边BC上的一个动点（与点B，C不重合），∠APQ＝60°，射线PQ分别与边AC，射线CF交于点N，Q．

（1）求证：∠ABP∠∠PCN；

（2）不管点P运动到何处，在不添辅助线的情况下，除第（1）小题中的一对相似三角形外，请写出图中其它的所有相似三角形；

（3）当点P从BD的中点运动到DC的中点时，点N都随着点P的运动而运动．在此过程中，试探究：能否求出点N运动的路径长？若能，请求出这个长度；若不能，请说明理由．

11．如图，已知直线y=-3

4

x+b与y轴相交于点B（0，3），与x轴交于点A，将△AOB

沿y轴折叠，使点A落在x轴上的点C．

（1）求点C的坐标；

（2）设点P为线段CA上的一个动点，点P与点A、C不重合．联结PB．以点P为端点作射线PM交AB于点M，使∠BPM=∠BAC．

∠求证：△PBC∽△MPA．

∠是否存在点P，使△PBM为直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

12．如图∠,在四边形ABCD的边AB上任取一点E(点E不与A,B重合),分别连接ED,EC,可以把四边形ABCD分成三个三角形,如果其中有两个三角形相似,我们就把E叫做四边形ABCD的边AB上的“相似点”;如果这三个三角形都相似,我们就把E叫做四边形ABCD的边AB上的“强相似点”.

【试题再现】如图∠,在∠ABC中,∠ACB=90°,直角顶点C在直线DE上,分别过点A,B作AD∠DE于点D,BE∠DE于点E.求证:∠ADC∠∠CEB．

【问题探究】在图∠中,若∠A=∠B=∠DEC=40°,试判断点E是否是四边形ABCD的边AB 上的相似点,并说明理由.

【深入探究】如图∠,AD∠BC,DP平分∠ADC,CP平分∠BCD交DP于点P,过点P作AB∠AD于点A,交BC于点B．

(1)请证明点P是四边形ABCD的边AB上的一个强相似点.

(2)若AD=3,BC=5,试求AB的长.

13．如图，四边形ABCD是矩形，点P是对角线AC上一动点(不与A、C重合)，连接