与等腰三角形有关的证明题
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与等腰三角形有关的证明题
例1.如图,等腰△ABC中,AB=AC,D是AB边上一点,E是AC延长线上一点,且BD =CE,DE交BC于F。
求证:DF=EF
分析:要证DF=EF,只需设法证明DF与EF所在的三角形全等,
但由于DF所在的△DFB比EF所在的△EFC显然大,故应考虑添加辅
助线。
作DG∥AC,交BC于G,则∠DGB=∠ACB
从而∠DGF=∠ECF(等角的补角相等)由AB=AC,得∠B=∠ACB
从而∠DGB=∠B,DG=BD=CE
在△DFG与△EFC中,∠DGF=∠ECF,∠DFG=∠EFC(对顶角相等)
故∠GDF=∠FEC
又DG=CE,所以△DFG≌△EFC
所以DF=EF
例2.如图,等腰△ABC中,AB=AC,D是BC上任一点,DE⊥AB于E,
DF⊥AC于F。
求证:为定值。
分析:所谓定值是指不论点D在底边BC的何处,DE+DF的大小总是等
于已知的或隐含的某条线段的长,也就是说定值是一个常量。那么本题的定
值究竟是多少呢我们可以考虑点D所在的特殊位置,当点D与点B重合时,
DE的长度为0,DF等于AC边上的高,可见,(DE+DF)的定值是腰上的高,因此,作△ABC的高BG,然后只需证明DE+DF=BG即可。
要证,可在BG上截取GH=DF,然后只需证BH=DE。连接DH,则只需证明△BDE≌△DBH。易知四边形DFGH是矩形,从而DH∥AC,∠BDH=∠C,∠BHD=∠DHG=90°=∠BED。又AB=AC,∠EBD=∠ABC=∠C,所以∠BDH=∠EBD。所以∠EDB =∠DBH。又BD为公共边,所以△BDE≌△DBH。
如果注意到高,联想到三角形面积,则
可采用如下简单的证法:
连接AD
则由,得:
又AB=AC
边上的高=定值
例3.如图4,等腰△ABC中,AB=AC,D是AB边上一点,E是AC延长线上一点,且BD =CE。
求证:DE>BC
图4
分析:要证DE>BC,由于它们不是同一个三角形的两边,故应先考虑通过添加辅助线把它们迁移到同一个三角形中。把DE沿AB平移到BF,连接EF、CF,则只需证明∠BCF>∠BFC。易知四边形BDEF是平行四边形,所以
∠DEF=∠DBF,EF=BD=CE,∠ECF=∠EFC
又
而
所以∠BCF>∠BFC
故DE>BC