与等腰三角形有关的证明题

与等腰三角形有关的证明题

例1.如图，等腰△ABC中，AB＝AC，D是AB边上一点，E是AC延长线上一点，且BD ＝CE，DE交BC于F。

求证：DF＝EF

分析：要证DF＝EF，只需设法证明DF与EF所在的三角形全等，

但由于DF所在的△DFB比EF所在的△EFC显然大，故应考虑添加辅

助线。

作DG∥AC，交BC于G，则∠DGB＝∠ACB

从而∠DGF＝∠ECF（等角的补角相等）由AB＝AC，得∠B＝∠ACB

从而∠DGB＝∠B，DG＝BD＝CE

在△DFG与△EFC中，∠DGF＝∠ECF，∠DFG＝∠EFC（对顶角相等）

故∠GDF＝∠FEC

又DG＝CE，所以△DFG≌△EFC

所以DF＝EF

例2.如图，等腰△ABC中，AB＝AC，D是BC上任一点，DE⊥AB于E，

DF⊥AC于F。

求证：为定值。

分析：所谓定值是指不论点D在底边BC的何处，DE＋DF的大小总是等

于已知的或隐含的某条线段的长，也就是说定值是一个常量。那么本题的定

值究竟是多少呢我们可以考虑点D所在的特殊位置，当点D与点B重合时，

DE的长度为0，DF等于AC边上的高，可见，（DE＋DF）的定值是腰上的高，因此，作△ABC的高BG，然后只需证明DE＋DF＝BG即可。

要证，可在BG上截取GH＝DF，然后只需证BH＝DE。连接DH，则只需证明△BDE≌△DBH。易知四边形DFGH是矩形，从而DH∥AC，∠BDH＝∠C，∠BHD＝∠DHG＝90°＝∠BED。又AB＝AC，∠EBD＝∠ABC＝∠C，所以∠BDH＝∠EBD。所以∠EDB ＝∠DBH。又BD为公共边，所以△BDE≌△DBH。

如果注意到高，联想到三角形面积，则

可采用如下简单的证法：

连接AD

则由，得：

又AB＝AC

边上的高＝定值

例3.如图4，等腰△ABC中，AB＝AC，D是AB边上一点，E是AC延长线上一点，且BD ＝CE。

求证：DE＞BC

图4

分析：要证DE＞BC，由于它们不是同一个三角形的两边，故应先考虑通过添加辅助线把它们迁移到同一个三角形中。把DE沿AB平移到BF，连接EF、CF，则只需证明∠BCF＞∠BFC。易知四边形BDEF是平行四边形，所以

∠DEF＝∠DBF，EF＝BD＝CE，∠ECF＝∠EFC

又

而

所以∠BCF＞∠BFC

故DE＞BC