12-4 常数项级数审敛内容提要与典型例题
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浅议“常数项级数”的敛散性
一
。
竽 芋 砉
s
=
，
而
刍 砉 收敛
一
，
首先 可 以 肯 定 的 是 上 述 的证 明是 错 误 的 那 么 错 在 哪 里 呢 ? 要 弄 明 白这 个 问题 必 须 正 确理 解 比值 判 别 法 定 理 在 比 值判
。
’ ． ．
，
二 级数 ∑ 音}
H
l
‘
收敛
，
。
。
，
、
别 法 定理 中 若 憋
，
，
等
，
一
，
则级 数
u 喜n敛
。
n
。
，
散性 不 能 确 定
。
因此
在 例 2 中 由 ∑~／ 收
，
。
一
。
1 正
确 把 握 基 本 概 念 和 定 理 内容
一
敛不 能推出 慨
≤ l
等
引
只 能 推 出 !受
等
把握数 项 级 数 中的 些 重 要 概 念 与 定 理 是 帮 助 我 们建 立 数 学 思 维 模 型 结 构 必 不 可 少 的手 段 也 是检 验 我 们 是 否 对 级 数 及 其 它 问题 有 深 入 认 识 的 标 准 以 下 两 个 例 题 说 明 了此 问题 例 1 卜 1 + 卜 l + 卜 l + 是 否收 敛 ? 分 柝 部 分 同学 面 对 本 题 无 从 下 手 因 为找 不 到 已学过 的 判 别 法去判 别 其 敛 散J陛 这 就需 要 学 生 在 弄 懂 基 本 概 念 的 同 时 还 要 学 会 灵 活 的运 用 我 们除 了 要学 会 用 数 项 级数 的 几 个 判 别法 判 别级 数的 敛散性 之 外 还 要 时 刻 记住数 项 级 数 收 敛 的 必 要 条
。
竽 芋 砉
s
=
，
而
刍 砉 收敛
一
，
首先 可 以 肯 定 的 是 上 述 的证 明是 错 误 的 那 么 错 在 哪 里 呢 ? 要 弄 明 白这 个 问题 必 须 正 确理 解 比值 判 别 法 定 理 在 比 值判
。
’ ． ．
，
二 级数 ∑ 音}
H
l
‘
收敛
，
。
。
，
、
别 法 定理 中 若 憋
，
，
等
，
一
，
则级 数
u 喜n敛
。
n
。
，
散性 不 能 确 定
。
因此
在 例 2 中 由 ∑~／ 收
，
。
一
。
1 正
确 把 握 基 本 概 念 和 定 理 内容
一
敛不 能推出 慨
≤ l
等
引
只 能 推 出 !受
等
把握数 项 级 数 中的 些 重 要 概 念 与 定 理 是 帮 助 我 们建 立 数 学 思 维 模 型 结 构 必 不 可 少 的手 段 也 是检 验 我 们 是 否 对 级 数 及 其 它 问题 有 深 入 认 识 的 标 准 以 下 两 个 例 题 说 明 了此 问题 例 1 卜 1 + 卜 l + 卜 l + 是 否收 敛 ? 分 柝 部 分 同学 面 对 本 题 无 从 下 手 因 为找 不 到 已学过 的 判 别 法去判 别 其 敛 散J陛 这 就需 要 学 生 在 弄 懂 基 本 概 念 的 同 时 还 要 学 会 灵 活 的运 用 我 们除 了 要学 会 用 数 项 级数 的 几 个 判 别法 判 别级 数的 敛散性 之 外 还 要 时 刻 记住数 项 级 数 收 敛 的 必 要 条
高数：常数项级数的审敛法
n→ ∞ n→ ∞
∴ 级数收敛于和 s , 且s ≤ u1 .
余项 rn = ± ( un+1 un+ 2 + ),
rn = un+1 un+ 2 + ,
满足收敛的两个条件, 满足收敛的两个条件
∴ rn ≤ un+1 .
定理证毕. 定理证毕
判别法判别下列级数的敛散性: 用Leibnitz 判别法判别下列级数的敛散性
比值审敛法失效, 比值审敛法失效 改用比较审敛法
∞ 1 1 1 ∵ < 2 , ∵ 级数 ∑ 2 收敛 , ( 2n 1) 2n n n =1 n ∞ 1 故级数 ∑ 收敛 . n =1 2n ( 2n 1)
7.根 值 敛 7.根 审 法 (柯 级数,如果lim n un = ρ ∑ 是正项级数,
m =1
m 1
uN +1 ,
∞
∴ ∑ uN + m =
∑ un收敛, n = N +1
收敛
当ρ > 1时, 取ε < ρ 1, 使r = ρ ε > 1, 时
当n > N时, un+1 > run > un , lim un ≠ 0.
n→ ∞
发散
比值审敛法的优点: 不必找参考级数. 比值审敛法的优点 不必找参考级数.
n =1
n→ ∞
∞
( ρ为数或 + ∞ ), 则ρ < 1时级数收敛; 时级数收敛;
时级数发散; 时失效. ρ > 1时级数发散; ρ = 1时失效.
例7. 证明级数
收敛于S 收敛于 , 并估计以部分和 Sn 近
似代替和 S 时所产生的误差 . 解: ∵ n un = n
∴ 级数收敛于和 s , 且s ≤ u1 .
余项 rn = ± ( un+1 un+ 2 + ),
rn = un+1 un+ 2 + ,
满足收敛的两个条件, 满足收敛的两个条件
∴ rn ≤ un+1 .
定理证毕. 定理证毕
判别法判别下列级数的敛散性: 用Leibnitz 判别法判别下列级数的敛散性
比值审敛法失效, 比值审敛法失效 改用比较审敛法
∞ 1 1 1 ∵ < 2 , ∵ 级数 ∑ 2 收敛 , ( 2n 1) 2n n n =1 n ∞ 1 故级数 ∑ 收敛 . n =1 2n ( 2n 1)
7.根 值 敛 7.根 审 法 (柯 级数,如果lim n un = ρ ∑ 是正项级数,
m =1
m 1
uN +1 ,
∞
∴ ∑ uN + m =
∑ un收敛, n = N +1
收敛
当ρ > 1时, 取ε < ρ 1, 使r = ρ ε > 1, 时
当n > N时, un+1 > run > un , lim un ≠ 0.
n→ ∞
发散
比值审敛法的优点: 不必找参考级数. 比值审敛法的优点 不必找参考级数.
n =1
n→ ∞
∞
( ρ为数或 + ∞ ), 则ρ < 1时级数收敛; 时级数收敛;
时级数发散; 时失效. ρ > 1时级数发散; ρ = 1时失效.
例7. 证明级数
收敛于S 收敛于 , 并估计以部分和 Sn 近
似代替和 S 时所产生的误差 . 解: ∵ n un = n
高数 常数项级数的审敛法 知识点与例题精讲
n2 n 1
解
(
x
x ) 1
2
(1 x) x( x 1)2
0
( x 2)
故函数 x 单调递减, x1
un un1 ,
又
lim
n
un
lim
n
n
n 1
0.
原级数收敛.
三、绝对收敛与条件收敛
定义:正项和负项任意出现的级数称为任意项级数.
定理 若 un 收敛,则 un 收敛.
n1
比较审敛法的不便: 须有参考级数.
例 2 证明级数
1 是发散的.
n1 n(n 1)
证明 1 1 , n(n 1) n 1
而级数
1
1
发散,
n1 n 1 n2 n
级数
1 发散.
n1 n(n 1)
3.比较审敛法的极限形式:
定理4:
3 2n
vn ,
级数 un
n1
2 (1)n源自n12n收敛,但
un1 un
2 (1)n1 2(2 (1)n )
an ,
lim
n
a2n
1, 6
lim
n
a2
n1
3, 2
lim
n
un 1 un
lim
n
an
不存在.
例 5 判别下列级数的收敛性:
n4
收敛
因此
sin n
n1
n4
解
(
x
x ) 1
2
(1 x) x( x 1)2
0
( x 2)
故函数 x 单调递减, x1
un un1 ,
又
lim
n
un
lim
n
n
n 1
0.
原级数收敛.
三、绝对收敛与条件收敛
定义:正项和负项任意出现的级数称为任意项级数.
定理 若 un 收敛,则 un 收敛.
n1
比较审敛法的不便: 须有参考级数.
例 2 证明级数
1 是发散的.
n1 n(n 1)
证明 1 1 , n(n 1) n 1
而级数
1
1
发散,
n1 n 1 n2 n
级数
1 发散.
n1 n(n 1)
3.比较审敛法的极限形式:
定理4:
3 2n
vn ,
级数 un
n1
2 (1)n源自n12n收敛,但
un1 un
2 (1)n1 2(2 (1)n )
an ,
lim
n
a2n
1, 6
lim
n
a2
n1
3, 2
lim
n
un 1 un
lim
n
an
不存在.
例 5 判别下列级数的收敛性:
n4
收敛
因此
sin n
n1
n4
数项级数及审敛法
但
级数收敛 ;
级数发散 .
从而
例5. 讨论级数
的敛散性 .
解:
根据定理4可知:
级数收敛 ;
级数发散 ;
对任意给定的正数
*定理5. 根值审敛法 ( Cauchy判别法)
设
为正项
则
证明提示:
即
分别利用上述不等式的左,右部分, 可推出结论正确.
级数, 且
时 , 级数可能收敛也可能发散 .
例如 , p – 级数
(2) 当 且 收敛时,
(3) 当 且 发散时,
也收敛 ;
也发散 .
注:
1) un , vn均为无穷小时, l 的值反映了它们不同阶的比较.
的敛散性.
～
例3. 判别级数
的敛散性 .
解:
根据比较审敛法的极限形式知
例4. 判别级数
备用题
1. 判别级数的敛散性:
解: (1)
发散 ,
故原级数发散 .
不是 p–级数
(2)
发散 ,
故原级数发散 .
2.
则级数
(A) 发散 ; (B) 绝对收敛;
(C) 条件收敛 ; (D) 收敛性根据条件不能确定.
分析:
∴ (B) 错 ;
又
C
胞体的直径相差很大，4-150μm， 细胞体是神经元营养、代谢的中心。
则级数
收敛 , 且其和
其余项满足
证:
是单调递增有界数列,
又
故级数收敛于S, 且
故
收敛
收敛
用Leibnitz 判别法判别下列级数的敛散性:
收敛
上述级数各项取绝对值后所成的级数是否收敛 ?
级数收敛 ;
级数发散 .
从而
例5. 讨论级数
的敛散性 .
解:
根据定理4可知:
级数收敛 ;
级数发散 ;
对任意给定的正数
*定理5. 根值审敛法 ( Cauchy判别法)
设
为正项
则
证明提示:
即
分别利用上述不等式的左,右部分, 可推出结论正确.
级数, 且
时 , 级数可能收敛也可能发散 .
例如 , p – 级数
(2) 当 且 收敛时,
(3) 当 且 发散时,
也收敛 ;
也发散 .
注:
1) un , vn均为无穷小时, l 的值反映了它们不同阶的比较.
的敛散性.
～
例3. 判别级数
的敛散性 .
解:
根据比较审敛法的极限形式知
例4. 判别级数
备用题
1. 判别级数的敛散性:
解: (1)
发散 ,
故原级数发散 .
不是 p–级数
(2)
发散 ,
故原级数发散 .
2.
则级数
(A) 发散 ; (B) 绝对收敛;
(C) 条件收敛 ; (D) 收敛性根据条件不能确定.
分析:
∴ (B) 错 ;
又
C
胞体的直径相差很大，4-150μm， 细胞体是神经元营养、代谢的中心。
则级数
收敛 , 且其和
其余项满足
证:
是单调递增有界数列,
又
故级数收敛于S, 且
故
收敛
收敛
用Leibnitz 判别法判别下列级数的敛散性:
收敛
上述级数各项取绝对值后所成的级数是否收敛 ?
高数第十二章(2)常数项级数的审敛法
因此 lim u n u N 0 , 所以级数发散.
u n 1 说明: 当 lim 1 时,级数可能收敛也可能发散. n u n 1 u n 1 ( n 1) p lim lim 1 1 例如, p – 级数 n u n n p
n
n
但
p 1, 级数收敛 ; p 1, 级数发散 .
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例5. 讨论级数
的敛散性 .
u n 1 (n 1) x n lim 解: lim x n 1 n u n n n x
根据定理4可知:
当0 x 1 时, 级数收敛 ;
当x 1时, 级数目录
上页
收敛 ,
故有界.
∴部分和数列
收敛 , 从而
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单调递增,
也收敛.
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定理2 (比较审敛法) 设
且存在 对一切 有
是两个正项级数, (常数 k > 0 ),
则有
(1) 若强级数 收敛 , 则弱级数
也收敛 ;
也发散 .
(2) 若弱级数
发散 , 则强级数
证: 因在级数前加、减有限项不改变其敛散性, 故不妨
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例6. 证明级数
收敛于S , 并估计以部分和 Sn 近
似代替和 S 时所产生的误差 .
解:
n
un n
1 nn
由定理5可知该级数收敛 . 令 rn S S n , 则所求误差为
1 1 0 rn n 1 n2 (n 1) (n 2)
n
n
n
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u n 1 说明: 当 lim 1 时,级数可能收敛也可能发散. n u n 1 u n 1 ( n 1) p lim lim 1 1 例如, p – 级数 n u n n p
n
n
但
p 1, 级数收敛 ; p 1, 级数发散 .
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例5. 讨论级数
的敛散性 .
u n 1 (n 1) x n lim 解: lim x n 1 n u n n n x
根据定理4可知:
当0 x 1 时, 级数收敛 ;
当x 1时, 级数目录
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收敛 ,
故有界.
∴部分和数列
收敛 , 从而
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单调递增,
也收敛.
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定理2 (比较审敛法) 设
且存在 对一切 有
是两个正项级数, (常数 k > 0 ),
则有
(1) 若强级数 收敛 , 则弱级数
也收敛 ;
也发散 .
(2) 若弱级数
发散 , 则强级数
证: 因在级数前加、减有限项不改变其敛散性, 故不妨
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例6. 证明级数
收敛于S , 并估计以部分和 Sn 近
似代替和 S 时所产生的误差 .
解:
n
un n
1 nn
由定理5可知该级数收敛 . 令 rn S S n , 则所求误差为
1 1 0 rn n 1 n2 (n 1) (n 2)
n
n
n
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常数项级数的审敛法 ppt课件
(2) 当l = 0时, 利 u n ( l用 ) v n ( n N ) 由定,理2 知
若 v n 收敛 , 则un也收敛;
n 1
n1
(3) 当l = ∞时, 存在 NZ,当nN时, un 1 , 即
un vn
vn
由定理2可知, 若 v n 发散 , 则un 也发散.
n 1
n1
un,vn
是两个正项级数,
lim
n
un vn
l,
(1) 当0l 时, 两个级数同时收敛或发散 ;
(2) 当l 0且 vn收敛时, un 也收敛 ;
(3) 当l 且 vn 发散时, un也发散 .
特别取 vn
1 np
,
对正项级数 un, 可得如下结论
:
p1, 0l
limn p nnl
n
p1, 0l
un发散 un收敛
n 1
“
” un0,∴部分和数列 Sn单调递增,
又已知 Sn有界, 故Sn收敛 , 从而 u n 也收敛.
n 1
定理2 (比较审敛法) 设 u n , v n 是两个正项级数,
n1 n1
且存在 NZ , 对一切 nN,有unkvn(常数 k > 0 ),
则有
(1) 若强级数 v n 收敛 , 则弱级数 u n 也收敛 ;
n
1
un
un
u n 1 ()u n ()2un1
( )nNuN 1
()k收敛 , 由比较审敛法可知 un收敛 .
(2) 当1或 时 ,必N 存 Z ,u 在 N 0 ,当nN
时 u n 1 1, 从而
un
un1unun1 uN
因此 n l i m unuN0,所以级数发散.
常数项级数的审敛法
一、正项级数及其审敛法 二、交错级数及其审敛法 三、绝对收敛与条件收敛
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一、正项级数及其审敛法
❖正项级数 各项都是正数或零的级数称为正项级数.
❖定理1(正项级数收敛的充要条件) 正项级数收敛的充分必要条件它的部分和数列有界. 这是因为正项级数的部分和数列{sn}是单调增加的, 而单
调有界数列是有极限.
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❖定理2(比较审敛法)
设 un 和 vn 都是正项级数, 且 unvn (n1, 2, ).
n1
n1
若 vn 收敛, 则 un 收敛 若 un 发散, 则 vn 发散.
n1
•推论
n1
n1
n1
>>>
设 un 和 vn 都是正项级数, 且 unkvn(k0, nN).
n1
n1
能发散.
例9
判定级数
2
n1
(1)n 2n
的收敛性.
解 因为
lim n
n
un
lim
n
1 2
n
2 (1)n
1 2
,
所以, 根据根值审敛法可知所给级数收敛.
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说明 : 1 时 , 级数可能收敛也可能发散 .
例如 , p – 级数
1 n1 n p
:
un
1 np
,
n un n1np 1(n )
(1)n
n2 en
收敛,
因此
(1)n
n1
n2 en
绝对收敛.
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一、正项级数及其审敛法
❖正项级数 各项都是正数或零的级数称为正项级数.
❖定理1(正项级数收敛的充要条件) 正项级数收敛的充分必要条件它的部分和数列有界. 这是因为正项级数的部分和数列{sn}是单调增加的, 而单
调有界数列是有极限.
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❖定理2(比较审敛法)
设 un 和 vn 都是正项级数, 且 unvn (n1, 2, ).
n1
n1
若 vn 收敛, 则 un 收敛 若 un 发散, 则 vn 发散.
n1
•推论
n1
n1
n1
>>>
设 un 和 vn 都是正项级数, 且 unkvn(k0, nN).
n1
n1
能发散.
例9
判定级数
2
n1
(1)n 2n
的收敛性.
解 因为
lim n
n
un
lim
n
1 2
n
2 (1)n
1 2
,
所以, 根据根值审敛法可知所给级数收敛.
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说明 : 1 时 , 级数可能收敛也可能发散 .
例如 , p – 级数
1 n1 n p
:
un
1 np
,
n un n1np 1(n )
(1)n
n2 en
收敛,
因此
(1)n
n1
n2 en
绝对收敛.
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高数同济12.2常数项级数的审敛法
当p 1时, 收敛 P 级数 当p 1时, 发散
例3 判别如下级数的敛散性 : (1)
1 n1
1
n 1
; (2)
1 n ( n 2 1)
,
n 1
(1)
n1
n1
n 2
1 n
P—级数
p 1 2
1,发散
1 1 1 1 1 p p p p 2 3 4 n
n 1
1 1 ; (4) 2 ln n n n1 n 1 (ln n )
n 1
n 1
收敛 发散
(3)u n
1 1 1 n 2 , 2 2 n( n 1) ( n 1) n n1
1 1 收敛. 收敛, 2 2 n1 n 2 ( n 1) n 1 n
n 1 n 1 n 1 n 1
例 2 证明级数
n 1
1 是发散的. n( n 1)
证明
1 而级数 发散, n 1 n 1 1 发散. 级数 n( n 1) n 1
1 , n( n 1) n1
1
1 1 1 1 1 p p p p 2 3 4 n
一、正项级数及其审敛法 比较判别法的极限形式:
un 设 u n 与 v n 都是正项级数 , 如果 lim l, n v n n 1 n1
则 (1) 当 0 l 时 , 二级数有相同的敛散性 (2) 当 l 0 时， 若 (3) 当 l 时 ,
n
lim
1 1
1 n 3
常数项级数的审敛法
定理3（正项级数的比较审敛法的极限形式）
设 un与 v n都 是 正 项 级 数 , 如果
n 1 n 1
un lim l , 则 n v n
(1) 当0 l 时, 两级数有相同的敛散性;
(2) 当l 0时,若 v n收 敛, 则 un收 敛;
n 1 n 1
sn 1
n
1
1 dx 1 1 1 1 1 p1 p 1 n p1 xp
1 即sn有界, 则p 级数 p 收敛.( p 1) n 1 n
当p 1时, 收敛 P 级数 当p 1时, 发散
通常取
v 是敛散性已知的级数作为比较的
第二节 常数项级数的审敛法
一、正项级数及其审敛法 positive term series
定义 如果级数 un中各项均有 un 0，
n 1
这种级数称为正项级数. 特点 部分和数列 s1 s2 sn
{ sn } 单调增加.
这时,只可能有两种情形:
. (1) 当n 时, sn . 级 数 un必 发 散
n 1 n 1
(3) 若un是vn的低阶无穷小 , 则级数 vn发 散 时,
级 数 un必 发 散 .
n 1
n 1
注 由比较审敛法可推出如下快速的审敛法 设分母,分子关于n的最高次数分别为 p和q ,
当p q 1时, 级数 un ( un 0) 收敛; 当p q 1时, 级数 un 发散.
n1 n n1源自标准, 用于判断 un的收敛性. 重要参考级数: 几何级数, P-级数, 调和级数.
例2 讨论下列正项级数的敛散性. 1 n . (1) 2 sin n ; ( 2) 3 n 1 n( n 1) n1 n 2 解 (1) 0 un 2n sin n 2 n n 3 3 3
高数 常数项的级数 知识点与例题精讲
Guido Ubaldus thought that this proved the Existence of God because “something has been created out of nothing !
例6.判断级数的敛散性: 解: 考虑加括号后的级数
发散 , 从而原级数发散 .
1 2n
5 n1 n(n 1)
n1
1 2n
n1
5 n(n
1)
5
n1
1 n
n
1
1
令gn
5 n k1
1 k
k
1
1
5(1
1 n
), 1
lim n
gn
5 lim(1 n
1) n1
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三、级数收敛的必要条件
设收敛级数
则必有
证: un Sn Sn1
lim un lim Sn lim Sn1 S S 0
n
n
n
可见: 若级数的一般项不趋于0 , 则级数必发散 .
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注意:
练习题答案
一、1、1 1 2 1 3 5 1 3 5 7 1 3 5 7 9 ； 2 2 4 2 4 6 2 4 6 8 2 4 6 810
2、 1! 11
2! 22
3! 33
4! 44
5! 55
；
n
3、
x2
； 4、(1)n1 a n1 ；
例6.判断级数的敛散性: 解: 考虑加括号后的级数
发散 , 从而原级数发散 .
1 2n
5 n1 n(n 1)
n1
1 2n
n1
5 n(n
1)
5
n1
1 n
n
1
1
令gn
5 n k1
1 k
k
1
1
5(1
1 n
), 1
lim n
gn
5 lim(1 n
1) n1
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三、级数收敛的必要条件
设收敛级数
则必有
证: un Sn Sn1
lim un lim Sn lim Sn1 S S 0
n
n
n
可见: 若级数的一般项不趋于0 , 则级数必发散 .
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注意:
练习题答案
一、1、1 1 2 1 3 5 1 3 5 7 1 3 5 7 9 ； 2 2 4 2 4 6 2 4 6 8 2 4 6 810
2、 1! 11
2! 22
3! 33
4! 44
5! 55
；
n
3、
x2
； 4、(1)n1 a n1 ；
常数项级数审敛法
1
而 1 发散 n1 n
n
根据比较审敛法的极限形式知级数
sin
1
发散.
例8. 判别级数 ln 1
解:
lim
n1
ln（ 1
1 n2
n 1
）
1
n 1
n2 的敛散性 .
lim n2
n
1 n2
n 1
n2
而
1 收敛
n2
n1
故
n1
l
n
1
1 n2
收敛.
12
例9
1
n1 3n n
1
解 lim 3n n n 1
3n
lim n 1
1
n 3n
1,
而
n1
31n收敛,
故原级数收敛.
13
例10
3n
n1n1 n2
解 因分母的最高次数与分子的最高次数之差为
31 7 23 6
(3)
nn
n 1
1
(4)
n1(2n1) 2n
解： (1)
un
n 2n
lim un1 n un
lim
n
n 2
1
n 1
2n n
1 1 2
由正项级数的比值判别法可知原级数收敛。
18
n !
(2) n 1 10 n
n !
(3)
nn
n 1
解
(2)
un1 un
1 p1
即sn有界, 则P级数收. 敛
112常数项级数审敛法上
n1 1 an
38
(n 1)!( x )n1
lim
n
n1 n!( x )n
x
lim
n
(1
1 )n
x e
n
n
由检比法得 x e 级数收敛；x e 级数发散。
x e 检比法失效，但
e (1 1 )n un1 un
n
即后项大于前项
故级数发散
29
6.根值审敛法 (柯西判别法)：
设
n1
un
是正项级数,如果lim n
n1 n!
25
(2)
un1 un
(n 1)! 10n1
10n n!
n1
10
(n ),
故级数
n! n1 10n
发散.
(3) lim un1 lim (2n 1) 2n 1, n un n (2n 1) (2n 2)
比值审敛法失效, 改用比较审敛法
(2n
1 1)
2n
1 n2
即sn有界, 则P 级数收敛.
P
级数当 当pp
1时, 1时,
收敛 发散
重要参考级数: 几何级数, P-级数, 调和级数
9
调和级数与 p 级数是两个常用的比较级数.
若存在 N Z , 对一切 n N ,
10
例 利用P 级数与比较法，判断下列级数 的敛散性.
（1）
1；
（2）
1
；（3）
部分和数列{sn } 为单调增加数列.
定理 正项级数收敛 部分和所成的数列sn有界.
2
定理 1. 正项级数
收敛
有界 .
部分和序列
证:
若
收敛 ,
故有界.
38
(n 1)!( x )n1
lim
n
n1 n!( x )n
x
lim
n
(1
1 )n
x e
n
n
由检比法得 x e 级数收敛；x e 级数发散。
x e 检比法失效，但
e (1 1 )n un1 un
n
即后项大于前项
故级数发散
29
6.根值审敛法 (柯西判别法)：
设
n1
un
是正项级数,如果lim n
n1 n!
25
(2)
un1 un
(n 1)! 10n1
10n n!
n1
10
(n ),
故级数
n! n1 10n
发散.
(3) lim un1 lim (2n 1) 2n 1, n un n (2n 1) (2n 2)
比值审敛法失效, 改用比较审敛法
(2n
1 1)
2n
1 n2
即sn有界, 则P 级数收敛.
P
级数当 当pp
1时, 1时,
收敛 发散
重要参考级数: 几何级数, P-级数, 调和级数
9
调和级数与 p 级数是两个常用的比较级数.
若存在 N Z , 对一切 n N ,
10
例 利用P 级数与比较法，判断下列级数 的敛散性.
（1）
1；
（2）
1
；（3）
部分和数列{sn } 为单调增加数列.
定理 正项级数收敛 部分和所成的数列sn有界.
2
定理 1. 正项级数
收敛
有界 .
部分和序列
证:
若
收敛 ,
故有界.
【2019年整理】第十一章常数项级数审敛法
则 n sn
vn发散. n 1
不是有界数列 定理证毕.
推论: 若
u 收敛( 发散)
n 1 n
n 1
且 v n kun ( n N )( kun v n ) , 则 v n 收敛(发散).
比较审敛法的不便: 须有参考级数.
例 1 讨论 P-级数
1 1 1 1 1 p p p p 的收敛性.( p 0) 2 3 4 n 1 1 设 p 1, p , 则P 级数发散. 解 n n y
n n
s,
级数收敛于和s, 且s u1 .
余项 rn (un1 un 2 ),
rn un1 un 2 ,
满足收敛的两个条件,
rn un1 .
定理证毕.
( 1) n n 例 7 判别级数 的收敛性. n1 n 2
x (1 x ) ( ) 解 0 ( x 2) 2 x 1 2 x ( x 1) x 故函数 单调递减, un un1 , x 1 n 又 lim un lim 0. 原级数收敛. n n n 1
取 0 0 1
N，使当n N时
则 r 0 1
由 lim n un 知
n
n
un 0 r
n
n r 收敛及比较审敛法得
un r
由
n N 1
(n N )
un n N 1
收敛
un n 1
收敛
而级数 r m 1uN 1收敛,
m 1
,
m 1
uN 1 ,
数学分析12-4 常数项级数判别方法和习题
e n! （4 ） nn 1
e nn! 解 un n n n1 n un 1 lim e n 1! e n ! lim n n u n 1n1 n n n
n
e e nn lim 1 n lim n n n 1n 1 1 un 1 e n 而 1 1 un 所以un1 un 1 n 1 n 又u1 e 所以 lim un e , lim un 0 故：原级数发散。
an n
1 而 a n与 2 均收敛 n 1 n 1 n
所以
n 1
an 收敛。 n
n
常数项级数审敛法
一般项级数
正项级数
任意项级数
1. 若 Sn S ,则级数收敛; 2. 当 n , un 0, 则级数发散 ; 3.按基本性质; 4.绝对收敛 4.充要条件 4.绝对收敛 5.交错级数 (莱布尼茨定理)
5.比较法 6.比值法 7.根值法
(2)
比较判别法的极限形式un 1 (数或 ) 设 un 是正项级数,如果 lim n u n 1 n
则 1时级数收敛; 1 时级数发散; 1 时失效.
(5) 根值判别法 (柯西判别法)
设
u
n 1
n
是正项级数,
如果lim n un ( 为数或 ) ,
n 1
所以N 0,当 n N 时，有an 1, an 2 an
由比较法（推论）知道 a n 收敛。 1
n 1 2
（ ） an an1 2
n 1
1 an an1 2
a n a n 1 收敛
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bn
而 bn 收敛 由比较法得 an 收敛
数学分析电子教案
例10
讨论 an n1 n p
的敛散性 ( p 0,a常数)
解
对级数 an
lim un1
n1 n
lim(
p
n
) p | a || a |
n un n n 1
| a | 1 | a | 1
un 同阶或 等价的无穷小
如
(
n
sin
n
)
lim
n
x
sin x3
x
1 6
记
un n sin n
vn
1 n3
则
un与 vn同敛散
⑦当所讨论的级数中含有参数时，一般都要
对参数的取值加以讨论
数学分析电子教案
数学分析教研组
数学分析电子教案
二、典型例题
例1 求极限
3n
lim
n
n!2n
解
考察正项级数
un
3n n!2n
lim un1 n un
lim
n
(n
3n1 1)!2n1
n!2n 3n
lim 3 0 1
n 2(n 1)
由检比法
3n n!2n
收敛
由级数收敛的必要条件得
发散 条件收敛
数学分析电子教案
关于常数项级数审敛
正项级数
由级数收敛的必要条件要使 un 收敛必须
un 0 但在一般项趋于 0 的级数中为什么有的收敛有 的却发散，问题的实质是级数收敛与否取决于
un 0 的阶
因此从原则上讲，比较法是基础，更重要更 基本，但其极限形式（包括极限审敛法）则 更能说明问题的实质，使用起来也更有效
f ( x) 1 1 0 ( x 1), 在 (1,) 上单增, x
即 1 单减, x ln x
故 1 当 n 1时单减, n ln n
un
n
1 ln n
(n
1)
1 ln(n
1)Biblioteka un1(n
1),
所以此交错级数收敛， 故原级数是条件收敛．
数学分析电子教案
例5 设
an
cn 都收敛 且 an bn cn
试证 bn 收敛
证 由 an bn cn 知 0 bn an cn an
因 an cn 都收敛 故正项级数 (cn an ) 收敛 再由比较审敛法知 正项级数 (bn an ) 收敛
而 bn (bn an ) an 即
bn 可表为两个收敛级数 (bn an ) an 之和 故 bn 收敛
数学分析电子教案
例6 设 an 0,bn 0 且 an1 bn1 an bn
若 bn 收敛 则 an 也收敛
证 由题设知 an1 an a1
bn1 bn
b1
an
a1 b1
4.绝对收敛
5.D-判别法 A-判别法
4.充要条件
5.比较法
6.比值法 7.根值法 8.积分判别法
4.莱布尼茨定理)
un发散
数学分析电子教案
un
N
un 0
un收敛
lim un1 un
Y
lim n un
0 un vn
Y 1
N N
1
Y
vn收敛 un发散 un收敛 vn发散
数学分析电子教案
数学分析课件
华南农业大学应用数学系
数学分析电子教案
常数项级数审敛
内容提要与典型例题
数学分析电子教案
常数项级数审敛法
一般项级数 正 项 级 数
交错级数
1. 若 Sn S ,则级数收敛; 2. 当 n , un 0, 则级数发散; （必要条件） 3.按基本性质;（三条）
n1
an np
n1
an np
收敛
n1
an np
发散
n1
an np
绝对收敛 发散
| a | 1
分情况说明
数学分析电子教案
1
a 1 级数成为 n1 n p
p 1 收敛 p 1
a 1 级数成为
(1)n
n1 n p
p 1 绝对收敛 p 1
是否收敛？如果收敛，
n1 n ln n
是条件收敛还是绝对收敛？
解 1 1 , n ln n n
而 1 发散, n n1
(1)n
1 发散,
n1 n ln n n1 n ln n
即原级数非绝对收敛．
(1)n 是交错级数, 由Leibniz定理：
n1 n ln n
lim ln n lim ln x lim 1 0,
n n
x x
x x
数学分析电子教案 1
lim
n
n
1 ln n
lim
n
1
n ln n
0,
n
f ( x) x ln x ( x 0),
注 ①比较法、比较法的极限形式、检比法、
检根法、积分审敛法，只能对正项级数方 可使用
数学分析电子教案
②检比法、检根法只是充分条件而非必要条件
③L—准则也是充分条件而非必要条件
④通项中含 an , nn , n! 等常用检比法 ⑤通项中含 有以 n 为指数幂的因子时常用检根法
⑥使用比较法的极限形式时，关键在于找出与
lim
n
3n n!2n
0
数学分析电子教案
例2
设
lim
n
nan
a
0
试证
an 发散
证 不妨设 a > 0 由极限保号性知
N 当n N时 an 0
由于
lim
n
nan
lim
n
an 1
a
0
n
故由比较法的极限形式得 an 发散
数学分析电子教案
例4 判断级数
(1)n
数学分析电子教案
ln的im一uu种nn1估和计得lni到m检n u比n 法作和为检u根n 变法化，快检慢比法 和检根法的实质是把所论级数与某一几何级数 作比较，虽然使用起来较方便但都会遇到“失 效”的情况。
| un | 收敛 un收敛
这一结论将许多级数的敛散性判定问题归结为正项 级数的敛散性判定