数学归纳法典型例习题

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一. 教学内容：

高三复习专题：数学归纳法

二. 教学目的

掌握数学归纳法的原理及应用

三. 教学重点、难点

四.

???

??? （1

??? （2（）时命题成立，证明当时命题也成立。??? 开始的所有正整数

???

即只

称为数学归纳法，这两步各司其职，缺一不可，特别指出的是，第二步不是判断命题的真伪，而是证明命题是否具有传递性，如果没有第一步，而仅有第二步成立，命题也可能是假命题。

【要点解析】

? 1、用数学归纳法证明有关问题的关键在第二步，即n＝k＋1时为什么成立，n＝k＋1时成立是利用假设n＝k时成立，根据有关的定理、定义、公式、性质等数学结论推证出n＝k＋1时成立，而不是直接代入，否则n＝k＋1时也成假设了，命题并没有得到证明。

??? 用数学归纳法可证明有关的正整数问题，但并不是所有的正整数问题都是用数学归纳法证明的，学习时要具体问题具体分析。

? 2、运用数学归纳法时易犯的错误

??? （1）对项数估算的错误，特别是寻找n＝k与n＝k＋1的关系时，项数发生什么变化被弄错。

??? （2）没有利用归纳假设：归纳假设是必须要用的，假设是起桥梁作用的，桥梁断了就通不过去了。

??? （3）关键步骤含糊不清，“假设n＝k时结论成立，利用此假设证明n＝k＋1时结论也成立”，是数学归纳法的关键一步，也是证明问题最重要的环节，对推导的过程要把步骤写完整，注意证明过程的严谨性、规范性。

? 例1. 时，。

，右边，左边

时等式成立，即有，则当时，

由①，②可知，对一切等式都成立。

的取值是否有关，由到时

（2

到

本题证明时若利用数列求和中的拆项相消法，即

，则这不是归纳假设，这是套用数学归纳法的一种伪证。

（3）在步骤②的证明过程中，突出了两个凑字，一“凑”假设，二“凑”结论，关键是明确

时证明的目标，充分考虑由到时，命题形式之间的区别和联系。

? 例2. 。

解析：（1）当时，左边，右边，命题成立。

（2）假设当时命题成立，即

，

左边

由（

? 例3.

成立。

①当时，左，右，左

②假设时，不等式成立，即

，

那么当时，

，

∴时，不等式也成立。

由①，②知，对一切大于1的自然数n，不等式都成立。

点评：（1）本题证明命题成立时，利用归纳假设，并对照目标式进行了恰当的缩小来

实现，也可以用上归纳假设后，证明不等式成立。

（2）应用数学归纳法证明与非零自然数有关的命题时要注意两个步骤缺一不可，第①步

成立是推理的基础，第②步是推理的依据（即成立，则成立，成立，……，

从而断定命题对所有的自然数均成立）。另一方面，第①步中，验证中的未必是1，根据题目要求，有时可为2，3等；第②步中，证明时命题也成立的过程中，要作适当的变形，设法用上归纳假设。

? 例4.

。

令，

，

（1

（2）假设时，

则当时，有

，

因为，

所以，

所以，

即时，结论也成立，

由（1）（2）可知，对一切，

都有，

故a的最大值为25。

? 例5. 用数学归纳法证明：能被9整除。

解析：方法一：令，

（1

（2

∴

由（

能被

（2，能被

∴

由（）可知，对任何，能被

? 例6. 求证：能被

）当时，

（2）设时，能被整除，

则当时，

。

由归纳假设，上式中的两项均能被整除，

故时命题成立。

由（1）（2）可知，对，命题成立。

? 例7. 平面内有n个圆，其中每两个圆都交于两点，且无三个圆交于一点，求证：这n个圆将平

面分成个部分。

解析：①时，1个圆将平面分成2部分，显然命题成立。

②假设时，个圆将平面分成个部分，

当时，

第分成2k段，每段将各自所在区

个圆将平面分成个部分，即

故

将n=k+1这也

? 例8. 设，

对于的一切自然数都成立？并证明你的结论。

当时，由，

得，

当时，由，

得，

猜想。

下面用数学归纳法证明：

当时，等式恒成立。

①当时，由上面计算知，等式成立。

②假设成立，

那么当时，

∴当时，等式也成立。

由①②知，对一切的自然数n，等式都成立。

，使等式成立。

意的

（2）通过解答归纳的过程提供了一种思路：可直接解出，即

。

? 1. 为正奇数时，能被整除”时，第二步归纳假设应写成

假设时，命题成立

B. 假设时，命题成立

C. 假设时，命题成立

D. 假设时，命题成立

? 2. 证明，假设时成立，当1时，左端增加的项数是

?????? A. 1项??? B. 项???? C. k项??? D. 项

? 3. 记凸k边形的内角和为，则凸边形的内角和（? ）

?????? A. ???? B. ????? C. ? D.

? 4. 某个命题与自然数n有关，若时命题成立，那么可推得当时该命题也成立，现已知当时，该命题不成立，那么可推得

?????? A. 当时，该命题不成立

B. 当时，该命题成立

C. 当n=4时，该命题不成立

D.

? 5. 时，由到时，不等

????? C. ?

D.

? 6. （中，，且，，2成等差数列表示数列，

则，分别为；由此猜想___________

? 7. （分）已知对一切a=_ ? 8. （

，，，

? 9. （16分）设数列满足，。

（1）证明：对一切正整数n均成立；

（2）令，判断与的大小，并说明理由。