数值计算方法数值积分

l
j
( x)dx
b
1
a
bn a
i0
x xi dx x j xi
i j
由h
ba n ,xj
a
jh
j 0,1,2,...,n
知xi a ih，x a th, dx hdt,
x xi (t i)h, x j xi ( j i)h,
x a时t 0; x b时t n。
因此
引言
首先，遇到的是一类被积函数 f (x)没有初
等函数有限形式的原函数，如
椭圆周长 L 4 2 1 a2 sin d； 0
正态分布函数 1ex2 dx 0
等。
引言
其次，被积函数 f (x)由表格形式给出，没有解析形式，也无
法使用 Newton- Leibniz 公式；
第三，常常 f (x)本身形式并不复杂，而原函数 F (x)推
2) 2
(t
2)]dt
40
1 [ 1 (t 43
2)3
1 (t 2
2)2 ]
2 0
1 6
同 理 可 得C1( 2 )
4 6
，C
(2 2
)
1 6
以此类推得Cotes系数表:
n
Ck(n)
1
1 {1,1}
2
2
1 {1, 4,1}
6
3
1 {1,3,3,1}
8
4
1 {7,32,12,32, 7}
90
5
1 {19, 75,50,50, 75,19}
288
6
1 {41, 216, 27, 272, 27, 216, 41}
840
7
1 {751,3577,1323, 2989, 2989,1323,3577, 751}
17280
8
1 {989,5888,- 928,10496,- 4540,10496,- 928,5888,989}
第5章 数值积分
引言
在数学分析中，我们学习过微积分基
本定理 Newton-Leibniz 公式：
b
其a 中f (，x)dFx
F ( x)
b a
F (b)
(x)是被积函数
f
F (a) (5.0.1)
(x)的原函数。
随 着 学 习 的 不 断 深 化 ， 发 现 Newton-
Leibniz 公式有很大的局限性。
n
a
f (x)dx
lim
x 0 i0
f (i )xi
(1)分割 a x0 x1 ... xn i b
(2)近似 si f ( )xi xi xi xi1
(3)求和
n
n
Sn si f (i )xi
i0
i0
引言
(4)求极限
x
max {
1in
xi
}
n
b
lim
x 0
Sn
lim
x 0 i0
则称 b f (x)dx a
b
a Ln (x)dx
b
a Rn ( x)dx
n
(b a)
C
( j
n
)
f
j
R[
f
]
j0
Newton Cotes积分公式。
其中C
( j
n
)
(1)n j nj!(n j)!
5.1 Newton-Cotes求积公式
5.1.1 Cotes 系数
首先，我们考察一种简单情况。设 y = f (x) 用节点 (a, f (a)),(b,( f (b))
的一次插值多项式代替，即
f (x)= L1(x)+ r1(x)
(5.1.1)
= x- b f (a)+ x- a f (b)+ 1 f " (x)(x- a)(x- b) x (a,b)
导十分冗长，且表达式复杂，给计算结果带来十分不便。
引言
为克服上述许多缺点，定积分计算的数值求解能弥 补上述不足，并可带来满意的结果。
积分数值算法的思想是，首先求被积函数 f (x)的一个逼近函数 p(x)，即 f (x)= p(x)+ r(x)，这里r(x)为误差函数，于是
引言
由定积分定义
b
其中
f (x) Ln (x) Rn (x)
n
Ln (x) l j (x) y j是f (x)的Lagrage插值多项式。 j0
为简便起见,取节点为等分
h
ba n ,xj
a
jh
j 0,1,2,...,n
现在关键是求
b
b
b
a f (x)dx a Ln (x)dx a Rn (x)dx
C (1) 0
(1)10 1 0!(1 0)!
1
(t
1)dt
1
(t
1) 2
0
12
1 0
1 2
C (1) 1
(1)11
11!(1 1)!
1
1 t2
(t 0)dt
0
12
1 0
1 2ห้องสมุดไป่ตู้
当n 2时
C (2) 0
(1) 20 2 0!(2 0)!
2
(t 1)(t 2)dt
0
1
2
[(t
a- b
a- b
2
所以
b
b xb
xa
a f (x)dx a [ a b f (a) b a f (b)]dx
b 1 f '' ( )(x a)(x b)dx a2
ba 2 [ f (a) f (b)] RT [ f ]
其中
RT
[
f
]
（b a）3 12
f
'' (
)
(a,b)
由Lagrange插值,任何一的函数 y f (x)都 可以近似的表示成
C (n) j
1 ba
bn a
i0
x xi dx 1
x j xi
nh
nn 0
i0
t i hdt j i
i j
i j
1 n
1
nn
(t i)dt
n i0 j i 0 i0
i j
i j
(1)n j
nn
(t i)dt
nj!(n j)! 0 i0
i j
当n 1时，仅有两个节点：
b
bn
n
b
a Ln (x)dx
(
a
l j (x) y j )dx
[ a l j (x)dx]y j
j 0
j0
n
(b a) [
1
j0 b a
b
a l j (x)dx] f (x j )
n
(b a)
C
( j
n
)
f
(x
j
)
j 0
因此就归结为求权
C
( j
n)
1 ba
b a
f (i )xi
a
f (x)dx
由此想到机械求积公式
b
a f (x)dx A0 f (x0 ) A1 f (x1) ...An f (xn ) R[ f ]
n
Ai f (xi ) R[ f ] i0
n
其中Ai权系数， Ai f (xi )是f (xi )加权和， i0
也是b f (x)dx的近似值。
28350
Newton Cotes积分公式
定义 设f (x)是[a, b]上的连续函数，将
[a, b]区间等分n等分，取h
ba n ,xj
a kh
( j 0,1,2...,n),记f (x j ) f j ,以{x j }0n为节点作
f (x)的lagrage插值多项式，即
f (x) Ln (x) Rn (x)