正态分布概率密度函数

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计算概率的法则
古典法：在古典概率型中某一事件A发生的概率，是该 事件所包含的基本事件个数m与样本空间中基本事件 总数n的比值。记作p(A)= m/n 试验法：在相同情况下重复进行n次试验，事件A发生 m次（m<=n)，随着试验次数 n的增大，事件A发生的 频率m/n围绕某一常数p上下波动的幅度越来越小，且
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常用的典型随机变量的概率分布
• 常用的离散型随机变量的典型概率分布 – binomial distribution二项分布 – hypergeometric distribution超几何分布 – poisson distribution普哇松分布
• 常用的连续型随机变量的典型概率分布 – normal probability distribution正态分布
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Section 1 :General Introduction of Probability
and Its Distribution
• 有关概念 • 概率及概率分布 • 离散型及连续型随机变量 • 期望值及方差
– 性质 – 计算
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几个基本概念
– 随机现象：即事物发展的结果事先不能确定的现象， 又称偶然现象或不确定性现象。
1. There are n “trials” where n is
determined in advance and is not a random value. 2. Two possible outcomes on each trial, called “success” and “failure” and denoted S and F. 3. Outcomes are independent from one trial to the next.
Chapter three
Probability and Its Distributions
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Main points：
• Section 1：概率及概率分布的有关概 念和性质
• Section 2：离散型随机变量的概率分 布，二项分布概率函数、绘图及计算
• Section 3：连续型随机变量的概率分 布，正态分布概率密度函数、绘图及计 算
A continuous random variable can take any value in an interval or collection of intervals.
A discrete random variable can take one of a countable list of distinct values.
EX xi pi
Discrete random variables
E X


xp x dx
Continuous random

variables
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Example for the expected value
• 某公司考虑在一个设计中的郊区林荫道上投标。这个 公司有两种基本被选方案。对每一个方案都进行了分 析，估计了净利润及其实现的主观概率。
3.V(X)= (0 0.5)2 0.5 (1 0.5)2 0.5 0.25
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Properties of variance
1. V(a) 0
2. V(bX) b2V ( X )
3. V(a bX) b2V ( X )
4. V(X Y) V(X) V(Y) 当随机变量X、Y相互独立时
X=number of successes in the n trials of a
binomial experiment.
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probability distribution of binomial distribution
二项分布的概率分布
X 服从二项分布,成功经验的概率为 则记为 X b ( n ) p( X x) Cnx x (1 )nx
• Standard normal probability distribution
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Section 2:Binomial Distribution
• 二项试验以及其特点 • 二项变量 • 二项分布的概率函数 • 二项分布的应用 • 二项分布的分布形态
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binomial experiment（二项试验）
Probability
In situations that we can imagine repeating many times, we define the probability of a specific outcome as the proportion of times it would occur over the long run -- called the relative frequency of that particular outcome.
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Probability distributions概率分布
概率分布：将随机变量及其相应的概率描述出来， 即为概率分布，可用函数式、表格或图形表示。
据它可以掌握随机变量的变动规律。
写出一随机变量的概率分布必须知道
x的所有可能取值
计算出每一种可能结果的概率p
参见教材P179--182
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Expectations for Random Variables
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Properties of expected value
1. E(C) C
2. E(CX) CE(X)
3. E(aX b) aE(X) b
4. E(X Y) E(X) E(Y)
5. E(XY) E(X)E(Y)
当随机变量X、Y相互独立时
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variance and standard deviation (方差和标
大写的X表示随机变量
小写的x表示随机变量的具体取值
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Example 1:
• 设想在一个盒子里有10个小球，其中6个是红球， 4个是白球。现在把随机抽取一个球视为一次试 验，试验后把球放回盒子里。如果连续进行了三 次试验，求三次试验中出现红球次数的概率。
• 解：这里满足二项分布的条件n=3, =0.6
If X is a random variable with possible values x1, x2, x3, . . . , occurring with probabilities p1, p2, p3, . . . , and expected value E(X) = , then
Variance of X V X 2 xi 2 pi StandardDeviation of X xi 2 pi
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Result of the example
• E（A）=150000*0.4+200000 *0.2+300000 *0.4=220000(元)
• E(B)=120000 *0.5+225000 *0.5=172500(元)
计算结果表明:
选择方案A将获得较高的期望净利润
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Self-test for the expected value 某保险公司向一位45岁的男子提 供数额为1000元、期限一年的保险 单，保险费为每年12元，假如这个 年龄组的死亡数是每1000人中为一 人，这个保险公司在这类保险单上 的收益是多少？
– 随机试验：为掌握随机现象的统计规律性，对随机 现象进行试验或观察，观察的过程叫试验。
– 随机事件：随机试验的每一次可能结果，简称事件。 若一个随机事件不可能再分，就称基本事件。
– 概率：衡量随机事件发生可能性大小的数值
0 P( x) 1
p( x) 0 不可能事件
P( x) 1 必然事件
Random variables x ：is a numerical
description of the outcome of an experiment。 It can be classified as being either discrete or continuous depending on its character。
For the complete set of distinct possible outcomes of a random circumstance, the total of the assigned probabilities must equal 1.
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Probability distributions概率分布
– 方案A：包括食品批发和土特产品店、一个公园、 一个室外就餐中心的投资。其净利润分别是 150000元、200000元、300000元，其概率分别 为0.4 、0.2 、0.4；
– 方案B：投资于药店和康复中心，其净利润分别是 120000元、225000元，成功的机会各为50%。
假定净利润数字考虑了每个项目所需要的资本投资， 从预期经济收益的观点看，哪个方案是可取的？
• b(0;3,0.6)=30C (0.6)0(0.4)3=0.064 • b(1;3,0.6)=13C (0.6)1(0.4)2=0.288 • b(2;3,0.6)=32C (0.6)2(0.4)1=0.432 • b(3;3,0.6)=3C (0.6)3(0.4)0=0.216
The expected value of a random variable is the mean value of the variable X in the sample space, or population, of possible outcomes.
If X is a random variable with possible values x1, x2, x3, . . . , occurring with probabilities p1, p2, p3, . . . , then the expected value of X is calculated as
逐步趋于稳定，则称p为事件A的概率。记作p(A)=p
m/n 主观法：人们根据自己的经验和所掌握的有关信息， 对事件发生的可能性大小给以主观的估计，称为主观 概率。 详看21世纪教材chapter4，p58-59
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Interpretation来自百度文库 of Probability
The Relative Frequency Interpretation of
差):反映随机变量的分散程度
The standard deviation of a random variable is essentially the average distance the random variable falls from its mean over the long run.
4. Probability of a “success”, denoted by p, remains same from one trial to the next. Probability of “failure” is 1 – p.
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binomial variables （二项变量）
A binomial random variable is defined as
Discrete random variables15
EXAMPLE:
X：the number of heads occurring as tossing a coin
1.Show the probability distribution of X
X
0
1
P（x） 0.5 0.5 2.E(X)=0*0.5+1*0.5=0.5
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Assigning Probabilities
A probability is a value between 0 and 1 and is written either as a fraction or as a decimal fraction.
A probability simply is a number between 0 and 1 that is assigned to a possible outcome of a random circumstance.