考点：直线与圆的方程综合测试(教师版)

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直线与圆的方程检测卷含答案

直线与圆的方程检测卷一、选择题（本题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．点在直线上，则直线的倾斜角为A．B．C．D．【答案】C2．已知直线l：在轴和轴上的截距相等，则的值是A．1 B．－1C．2或1 D．－2或1【答案】C【解析】当时，直线方程为，显然不符合题意，当时，令时，得到直线在轴上的截距是，令时，得到直线在轴上的截距为，根据题意得，解得或，故选C.【名师点睛】本题主要考查了直线方程的应用及直线在坐标轴上的截距的应用，其中正确理解直线在坐标轴的截距的概念，利用直线方程求得直线的截距是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，以及分类讨论的数学思想.3．直线截圆所得弦的长度为4，则实数的值是A．－5 B．－4C．－6 D．【答案】A【名师点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系以及弦长公式的应用，其中根据圆的方程，求得圆心坐标和半径，合理利用圆的弦长公式列出方程求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.4．若3π2π2α<<, A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限【答案】B【解析】令0x =，得sin 0y α=<，令0y =，得cos 0x α=>，直线过()()0,sin cos ,0αα，两点，因而直线不过第二象限.本题选择B 选项.5．已知直线()()1:424240l m x m y m --++-=与()()2:1210l m x m y -+++=，则“2m =-”是“12l l ∥”的 A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分又不必要条件【答案】B【解析】2m =-时，可得12:680,:310,l x l x --=-+=所以12l l ∥；12l l ∥时，可得()()()()422410m m m m -+++-=，解得2m =或2m =-，2m ∴=-是12l l ∥的充分不必要条件，故选B.6．若圆C 与y 轴相切于点()0,1P ，与x 轴的正半轴交于,A B 两点，且2AB =，则圆C 的标准方程是A ．(()2212x y +++= B ．()(2212x y +++=C ．(()2212x y +-=D ．()(2212x y -+=【答案】C【解析】设AB 中点为D ，则1AD CD ==，∴)1r AC C==，故选C ．7．若直线过点，斜率为1，圆上恰有3个点到的距离为1，则的值为 A ． B ．C ．D ．【答案】D【名师点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系的应用，解答是要注意直线与圆的位置关系的合理应用，同时注意数形结合法在直线与圆问题的中应用，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.8．若过点()0,1A -的直线l 与圆()2234x y +-=的圆心的距离记为d ，则d 的取值范围为A ．[]0,4B ．[]0,3 C ．[]0,2D ．[]0,1【答案】A【解析】由已知，点()0,1A -在圆()2234x y +-=外，当直线l 经过圆心()0,3时，圆心到直线l 的距离最小为0，圆心到点()0,1A -的距离，是圆心到直线l 的最大距离，此时4d ==，故选A.9．两圆222240x y ax a +++-=和2224140x y by b +--+=恰有三条公切线，若a ∈R ，b ∈R ，且0ab ≠，则2211a b+的最小值为 A ．49 B ．109C ．1D ．3【答案】C【名师点睛】解答本题的关键是准确理解题设中恰有三条切线这一信息，并进一步等价转化为“在2249a b +=，即224199a b +=的前提下，求2211a b +的最小值问题”.求解时充分借助题设条件，巧妙地将2249a b +=化为224199a b +=，再运用基本不等式从而使得问题的求解过程简捷、巧妙. 10．直线2(0)x y m m +=>与圆O ：225x y +=交于A ，B 两点，若||2||OA OB AB +>，则实数m 的取值范围是 A ．（，2）B ．（2，）C ．（，5）D ．（2，）【答案】B【解析】设AB 中点为D ，则OD AB ⊥，∵2OA OB AB +>2x y m +=（0m >）与22:5O x y += 交于不同的两点A B 、，∴25OD < B.二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）11．求经过圆的圆心，且与直线平行的直线的一般式方程为________________. 【答案】【名师点睛】本题主要考查了直线的位置关系的应用，以及圆的标准方程的应用，其中解答中根据两直线的位置关系，合理设出方程是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.12．已知直线:20l x y +-=和圆22:12120C x y x y m +--+=相切,则m 的值为___________.【答案】22【解析】由题设知圆的圆心坐标与半径分别为()6,6,C r =，则圆心()6,6C 到直线20x y +-=的距离d ===，解之得22m =，应填22.13．如果圆()()228x a y a -+-=上总存在到原点的距离为的点，则实数的取值范围是__________．【答案】[3,1][1,3]-- 【解析】圆心到原点的距离为，圆()()228x a y a -+-=上总存在到原点的距离为的点，则3a ≤≤≤≤，则或.14．设直线1y kx =+与圆2220x y x my ++-=相交于,A B 两点，若点,A B 关于直线:0l x y +=对称，则AB =__________．【解析】因为点,A B 关于直线:0l x y +=对称,所以直线1y kx =+的斜率1k =,即1y x =+,圆心(−1,2m)在直线:0l x y +=上,所以2m =.所以圆心为(−1,1),圆心到直线1y x =+的距离为2d =,【名师点睛】（1）圆上两点关于直线对称，则直线过圆心；（2）两点关于直线对称，两点所在的直线与该直线垂直，且两点的中点在该直线上.三、解答题（本大题共2小题，共20分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．已知直线:43100l x y ++=，半径为2的圆与相切，圆心在轴上且在直线的上方．（1）求圆的标准方程；（2）过点的直线与圆交于两点（在轴上方），问在轴正半轴上是否存在点，使得轴平分？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）224x y +=;（2）当点N 的坐标为()4,0时，能使得ANM BNM ∠=∠成立.【解析】（1）设圆心()5,0()2C a a >-，则4102055a a a +=⇒==-或（舍去）．所以圆C 的标准方程为224x y +=．16．斜率为的直线与抛物线交于两点，且的中点恰好在直线上.（1）求的值；（2）直线与圆交于两点，若，求直线的方程.【答案】（1）1；（2）【解析】（1）设直线l 的方程为y ＝kx ＋m ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由22y kx m x y=+⎧⎨=⎩得，x 2－2kx －2m ＝0， ∆＝4k 2＋8m >0，x 1＋x 2＝2k ，x 1x 2＝－2m ，因为AB 的中点在x ＝1上，所以x1＋x2＝2．即2k＝2，所以k＝1．。

人教版高中数学选修一第二单元《直线和圆的方程》测试题(答案解析)(1)

一、选择题1．下列命题中，正确的是（）A ．若直线的倾斜角越大，则直线的斜率就越大B ．若直线的倾斜角为α，则直线的斜率为tan αC ．若直线倾斜角2,43ππα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则斜率k的取值范围是(,[1,)-∞⋃+∞ D ．当直线的倾斜角2,43ππα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，直线的斜率在这个区间上单调递增. 2．1m =-是直线(21)10mx m y +-+=和直线390x my ++=垂直的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 3．已知(,0)A a ，(3,0)B a +，直线1x =上存在唯一一点P ，使得||2||PB PA =，则a 的值为（）A ．6-B ．2-或6C ．2或6-D ．2-4．光线从(3,4)A -点射出，到x 轴上的B 点后，被x 轴反射到y 轴上的C 点，又被y 轴反射，这时反射线恰好过点(1,6)D -，则BC 所在直线的方程是（）A ．5270x y -+=B ．310x y +-=C ．3240x y -+=D ．230x y --= 5．已知直线1:210l ax y +-=2:820l x ay a ++-=，若12l l //，则a 的值为（） A ．4± B ．－4C ．4D ．2± 6．已知圆C ：()()22232++-=x y ，从点()1,3P 发出的光线，经直线1y x =+反射后，光线恰好平分圆C 的周长，则入射光线所在直线的斜率为（）A ．2-B ．12-C ．4-D ．14- 7．过点P (1，2)引直线使两点A (2，3)､B (4，-5)到它的距离相等，则直线方程是（） A ．4x +y -6=0B ．x +4y -6=0C ．2x +3y -7=0或x +4y -6=0D ．4x +y -6=0或3x +2y -7=08．111222(,),(,)P a b P a b 是直线1y kx =+(k 为常数)上两个不同的点，则关于x 和y 的方程组112211a x b y a x b y +=⎧⎨+=⎩的解的情况是（） A ．无论12,,k P P 如何，总是无解B ．无论12,,k P P 如何，总有唯一解C ．存在12,,k P P ，使12x y =⎧⎨=⎩是方程组的一组解 D ．存在12,,k P P ，使之有无穷多解9．直线l ：230kx y --=与圆C ：()()22124x y -++=交于A 、B 两点，若ABC的周长为4+k 的值为（）A ．32B ．32-C ．32±D ．12± 10．曲线214y x 与直线(2)4y k x =-+有两个相异交点，则k 的取值范围是（）A ．50,12⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．13,34⎛⎤⎥⎝⎦ C ．53,124 D ．5,12⎛⎫+∞⎪⎝⎭ 11．唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为221x y +≤，若将军从点()20A ，处出发，河岸线所在直线方程为4x y +=，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为（）A 1B ．1C ．D 12．若圆()2220x y rr +=>上仅有4个点到直线20x y --=的距离为1，则实数r 的取值范围为（）A ．)1,+∞B．)1-C ．()1-D ．()1 二、填空题13．设圆222:()0O x y r r +=>，定点(3,4)A -，若圆O 上存在两点到A 的距离为2，则r 的取值范围是___________.14．设()11,M x y 、()22,N x y 为不同的两点，直线:0l ax by c ++=，1122ax by c ax by cδ++=++，以下命题中正确的序号为__________．（1）存在实数δ，使得点N 在直线l 上；（2）若1δ=，则过M 、N 的直线与直线l 平行；（3）若1δ=-，则直线l 经过MN 的中点；（4）若1δ>，则点M 、N 在直线l 的同侧且直线l 与线段MN 的延长线相交； 15．已知直线l经过点(2,1)，且和直线30x --=的夹角等于30，则直线l 的方程是_________．16．已知点P 是直线:3120l x y +-=上的一点，过P 作圆22(2)1x y -+=的切线，切点为A ，则切线长||PA 的最小值为__________.17．以(1,3)N 为圆心，并且与直线3470x y --=相切的圆的方程为__________． 18．已知圆C 1：x 2＋y 2＋4ax ＋4a 2－4＝0和圆C 2：x 2＋y 2－2by ＋b 2－1＝0只有一条公切线，若a ，b ∈R 且ab≠0，则2211a b +的最小值为___________ 19．在平面直角坐标系xOy 中，点()0,3A -，若圆()()22:21C x a y a -+-+=上存在一点M 满足2=MA MO ，则实数a 的取值范围是__________．20．已知圆C ：222x y +=，点P 为直线136x y +=上的一个动点，过点P 向圆C 作切线，切点分别为A 、B ，则原点O 到直线AB 距离的最大值是______. 三、解答题21．已知直线方程为()()221340m x m y m -++++=，其中m R ∈.（1）当m 变化时，求点()3,4Q 到直线的距离的最大值；（2）若直线分别与x 轴、y 轴的负半轴交于A ，B 两点，求AOB 面积的最小值及此时的直线方程.22．已知圆22:(1)5C x y +-=，直线:10l mx y m -+-=．（1）求证:对任意的m R ∈，直线l 与圆 C 恒有两个交点;（2）设l 与圆 C 相交于,A B 两点，求线段AB 的中点M 的轨迹方程．23．设函数()f z 对一切实数m ，n 都有()()(21)f m n f n m m n +-=++成立，且(1)0f =，(0)f c =，圆C 的方程是22(1)()9x y c +++=.（1）求实数c 的值和()f z 的解析式；（2）若直线220ax by -+=（0a >，0b >）被圆C 截得的弦长为6，求4a b ab +的最小值.24．已知直线l ：43100x y ++=，半径为2的圆C 与l 相切，圆心C 在x 轴上且在直线l 的右上方.（1）求圆C 的方程；（2）直线4y kx =-与圆C 交于不同的M ，N 两点，且120MCN ∠=︒，求直线l 的斜率；（3）过点()1,0M 的直线与圆C 交于A ，B 两点(A 在x 轴上方)，问在x 轴正半轴上是否存在定点N ，使得x 轴平分ANB ∠？若存在，请求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由.25．根据所给条件求直线的方程：（1）直线过点()3,4-，且在两坐标轴上的截距之和为12；（2）直线m ：3260x y --=关于直线l ：2310x y -+=的对称直线m '的方程． 26．若过点P 的两直线1l ，2l 斜率之积为()0λλ≠，则称直线1l ，2l 是一组“P λ共轭线对”. （1）若直线1l ，2l 是一组“3O -共轭线对”，当两直线夹角最小时，求两直线倾斜角；（2）若点()0,1A ，()1,0B -，()1,0C 分别是直线PQ ，QR ，RP 上的点（A ，B ，C ，P ，Q ，R 均不重合），且直线PR ，PQ 是一组“1P 共轭线对”，直线QP ，QR 是一组“4Q 共轭线对”，直线RP ，RQ 是一组“9R 共轭线对”，求点P 的坐标；（3）若直线1l ，2l 是一组“2M -共轭线对”，其中点(1,M -，当两直线旋转时，求原点到两直线距离之积的取值范围.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C解析：C【分析】根据直线斜率与倾斜角存在的关系tan k α=对每个选项逐一分析，需要注意直线有倾斜角但不一定有斜率.【详解】倾斜角的范围为0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭时，直线斜率0k >，倾斜角的范围为,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭时，直线斜率0k <，故A 错误；直线的倾斜角=2πα时，直线斜率不存在，故B 错误；直线倾斜角2,43ππα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则斜率tan k α=的范围为(,[1,)-∞⋃+∞，故C 正确；斜率tan k α=在,42ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭和2,23ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递增，故D 错误. 故选：C.【点睛】关于直线的倾斜角与直线斜率之间的关系需要注意：（1）当直线倾斜角为=2πα时，直线的斜率不存在；（2）倾斜角的范围为0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭时，直线斜率0k >，直线斜率随着倾斜角增大而增大；倾斜角的范围为,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭时，直线斜率0k <，直线斜率随着倾斜角增大而增大；（3）利用倾斜角的范围研究斜率的范围，或者利用斜率的范围研究倾斜角的范围，需要利用函数tan k α=分析定义域与值域的关系.2．A解析：A【分析】因为直线(21)10mx m y +-+=和直线390x my ++=垂直，所以0m =或1m =-，再根据充分必要条件的定义判断得解.【详解】因为直线(21)10mx m y +-+=和直线390x my ++=垂直，所以23(21)0,220,0m m m m m m ⨯+-⨯=∴+=∴=或1m =-.当1m =-时，直线(21)10mx m y +-+=和直线390x my ++=垂直；当直线(21)10mx m y +-+=和直线390x my ++=垂直时，1m =-不一定成立. 所以1m =-是直线()2110mx m y +-+=和直线390x my ++=垂直的充分不必要条件，故选：A ．【点睛】方法点睛：充分必要条件的常用的判断方法有：（1）定义法；（2）集合法；（3）转化法.要根据已知条件选择合适的方法求解.3．B解析：B【分析】设(),P x y ，由||2||PB PA =可得()2214x a y -++=，则本题等价于直线1x =与圆()2214x a y -++=相切，利用圆心到直线的距离等于半径即可求解.【详解】设(),P x y ，由||2||PB PA =可得()()2222344x a y x a y --+=-+，整理可得()2214x a y -++=，则直线1x +=上存在唯一一点P ，使得||2||PB PA =，等价于直线1x =与圆()2214x a y -++=相切，2=，解得2a =-或6. 故选：B.【点睛】关键点睛：解决本题的关键是将题转化为直线31x y +=与圆()2214x a y -++=相切，利用圆心到直线的距离等于半径求解. 4．A解析：A【分析】根据题意做出光线传播路径，求()3,4A -关于x 轴的对称点()'3,4A --，点(1,6)D -关于x 轴的对称点()'1,6D ，进而得BC 所在直线的方程即为''A D 直线方程，再根据两点式求方程即可.【详解】解：根据题意，做出如图的光线路径，则点()3,4A -关于x 轴的对称点()'3,4A --，点(1,6)D -关于y 轴的对称点()'1,6D ，则BC 所在直线的方程即为''A D 直线方程，由两点是方程得''A D 直线方程为：436413y x ++=++，整理得：5270x y -+= 故选：A.【点睛】本题解题的关键在于做出光线传播路径，将问题转化为求A 关于x 轴的对称点'A 与D 关于y 轴的对称点'D 所在直线''A D 的方程，考查运算求解能力，是中档题.5．B解析：B【分析】由12l l //可得280,a a ⨯-⨯=解得4a =±，然后再检验,得出答案.【详解】因为12l l //，所以280,4a a a ⨯-⨯=∴=±.当4a =时，两直线重合，所以4a =舍去.当4a =-时，符合题意.所以4a =-.故选：B【点睛】易错点睛：已知直线1110a x b y c ++=和直线2220a x b y c ++=平行求参数的值时，除了要计算12210a b a b -=，还一定要把求出的参数值代入原直线方程进行检验，看直线是否重合.本题就是典型例子，否则容易出现错解，属于中档题6．C解析：C【分析】根据光路可逆，易知圆心()2,3C -关于直线1y x =+的对称点M ，在入射光线上，由此可求得结果.【详解】圆C ：()()22232++-=x y ，圆心为()2,3C -，由已知，反射光线经过()2,3C -，故C 点关于直线1y x =+的对称点M 在入射光线上．设(),M a b ，则31232122b a b a -⎧=-⎪⎪+⎨+-⎪=+⎪⎩，解得21a b =⎧⎨=-⎩，即()2,1M -，且光源()1,3P ，所以入射光线的斜率13421k --==--，故选：C.【点睛】关键点点睛：（1）由光线恰好平分圆C 的周长，得出所在直线经过圆心；（2）入（反）射光线关于反射面的对称直线即为反（入）射光线. 7．D解析：D当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x =1，不成立；当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为20kx y k --+=，由此利用点到直线的距离公式能求出直线方程.【详解】当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x =1，不成立；当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为2(1)y k x -=-，即20kx y k --+=，∵直线l 与两点A (2，3)， B (4，-5）的距离相等，=解得4k =-或32k =- .:.直线l 的方程为4420x y --++=或332022x y --++= 整理，得：460x y +-=或3270x y +-= 故选：D【点睛】解决本题要注意设直线方程时，分直线的斜率存在、不存在两种情况讨论，然后根据点到直线的距离相等即可求解.8．B解析：B【分析】由点在直线上，点的坐标代入直线方程，确定1221a b a b -是否为0，不为0，方程组有唯一解，为0时，再讨论是否有无数解．【详解】由题意112211b ka b ka =+⎧⎨=+⎩，则1221122112(1)(1)a b a b a ka a ka a a -=+-+=-， ∵直线1y kx =+的斜率存在，∴12a a ≠，120a a -≠，∴方程组112211a x b y a x b y +=⎧⎨+=⎩总有唯一解．A ，D 错误，B 正确；若12x y =⎧⎨=⎩是方程组的一组解，则11222121a b a b +=⎧⎨+=⎩，则点1122(,),(,)a b a b 在直线21x y +=，即1122y x =-+上，但已知这两个在直线1y kx =+上，这两条直线不是同一条直线，∴12x y =⎧⎨=⎩不可能是方程组的一组解，C 错误．故选：B ．本题考查直线方程，考查方程组解的个数的判断．掌握直线方程是解题关键．9．A解析：A【分析】先根据半径和周长计算弦长AB =即可.【详解】圆C ：()()22124x y -++=中，圆心是()1,2C -，半径是2r ，故ABC的周长为4+24r AB +=+AB =又直线与圆相交后的弦心距d ==，故由2222AB r d ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭得()221434k k +=++，解得32k . 故选：A.【点睛】本题考查了直线与圆的综合应用，考查了点到直线的距离公式，属于中档题.10．C解析：C【分析】曲线214y x 表示半圆，作出半圆，直线过定点(2,4)，由直线与圆的位置关系，通过图形可得结论．【详解】曲线214y x 是半圆，圆心是(0,1)C ，圆半径为2，直线(2)4y k x =-+过定点(2,4)P ，作出半圆与过P 的点直线，如图，PD2=，解得512k =，即512PD k =， (2,1)A -，4132(2)4PA k -==--， ∴53,124k ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦．故选：C ．【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，数形结合思想是解题关键，由于题中曲线是半圆，因此作出图形，便于观察得出结论．11．B解析：B【分析】先求出点A 关于直线4x y +=的对称点'A ，点'A 到圆心的距离减去半径即为最短．【详解】解：设点A 关于直线4x y +=的对称点(,)A a b '，'2AA b k a =-，AA '的中点为2,22a b +⎛⎫ ⎪⎝⎭，故122422b a a b ⎧=⎪⎪-⎨+⎪+=⎪⎩解得4a =，2b =，要使从点A 到军营总路程最短，即为点f A 到军营最短的距离，即为点'A 和圆上的点连线的最小值，为点'A 和圆心的距离减半径，“将军饮马”的最短总路程为4161251+-=-，故选：B 【点睛】本题考查了数学文化问题、点关于直线的对称问题、点与圆的位置关系等等，解决问题的关键是将实际问题转化为数学问题，建立出数学模型，从而解决问题．12．A解析：A 【分析】到已知直线的距离为1的点的轨迹，是与已知直线平行且到它的距离等于1的两条直线，根据题意可得这两条平行线与222x y r +=有4个公共点，由此利用点到直线的距离公式加以计算，可得r 的取值范围．【详解】解：作出到直线20x y --=的距离为1的点的轨迹，得到与直线20x y --=平行，且到直线20x y --=的距离等于1的两条直线，圆222x y r +=的圆心为原点，原点到直线20x y --=的距离为22d ==，∴两条平行线中与圆心O 距离较远的一条到原点的距离为21d '=+，又圆222(0)x y r r +=>上有4个点到直线20x y --=的距离为1，∴两条平行线与圆222x y r +=有4个公共点，即它们都与圆222x y r +=相交．由此可得圆的半径r d '>，即21r >+，实数r 的取值范围是()21,++∞．故选：A ．【点睛】本题给出已知圆上有四点到直线的距离等于半径，求参数的取值范围．着重考查了圆的标准方程、直线与圆的位置关系等知识，属于中档题．二、填空题13．【分析】将问题转化为以为圆心2为半径的圆为圆与圆相交问题再根据圆与圆的位置关系求解即可【详解】解：根据题意设以为圆心2为半径的圆为圆所以圆圆心为半径为则两圆圆心距为:因为圆上存在两点到的距离为2所以解析：(3,7)【分析】将问题转化为以(3,4)A -为圆心，2为半径的圆为圆A 与圆O 相交问题，再根据圆与圆的位置关系求解即可. 【详解】解：根据题意设以(3,4)A -为圆心，2为半径的圆为圆A ，所以圆222:(0),O x y r r +=> 圆心为(0,0),O 半径为r ，则两圆圆心距为 : ||5OA = ，因为圆O 上存在两点到A 的距离为2，所以圆O 与圆A 相交，所以252,r r -<<+ 解得 :37.r << 所以的取值范围是：(3,7). 故答案为：(3,7). 【点睛】圆与圆位置关系问题的解题策略：（1）判断两圆的位置关系时常用几何法，即利用两圆圆心之间的距离与两圆半径之间的关系，一般不采用代数法；（2）若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去22,x y 项得到.14．②③④【分析】①点在直线上则点的坐标满足直线方程从而得到进而可判断①不正确②若则进而得到根据两直线斜率的关系即可判断②③若即可得到即可判断③④若则或根据点与直线的位置关系即可判定④【详解】解：若点在解析：②③④ 【分析】①点在直线上，则点的坐标满足直线方程，从而得到220ax bx c ++=，进而可判断①不正确．②若1δ=，则1122ax by c ax by c ++=++，进而得到1221y y ax x b-=--，根据两直线斜率的关系即可判断②．③若1δ=-，即可得到1212()()022x x y y a b c ++++=，即可判断③． ④若1δ>，则11220ax by c ax by c ++>++>，或11220ax by c ax by c ++<++<，根据点与直线的位置关系即可判定④．【详解】解：若点N 在直线l 上则220ax bx c ++=，∴不存在实数δ，使点N 在直线l 上，故①不正确；若1δ=，则1122ax by c ax by c ++=++，即1221y y ax x b-=--， MN l k k ∴=，即过M 、N 两点的直线与直线l 平行，故②正确；若1δ=-，则11220ax by c ax by c +++++= 即，1212()()022x x y y a b c ++++=， ∴直线l 经过线段MN 的中点，即③正确；若1δ>，则11220ax by c ax by c ++>++>，或12220ax by c ax by c ++<++<，即点M 、N 在直线l 的同侧，且直线l 与线段MN 不平行．故④正确．故答案为：②③④．【点睛】本题考查两直线的位置关系，点与直线的位置关系，直线的一般式方程等知识的综合应用，若两直线平行则两直线的斜率相等．15．或【分析】分析可得已知直线的倾斜角为则直线的倾斜角为或分类讨论并利用点斜式方程求解即可【详解】由已知可得直线的斜率所以倾斜角为因为直线与的夹角为所以直线的倾斜角为或当倾斜角为时直线为即为；当倾斜角为解析：1y =10y --= 【分析】分析可得已知直线的倾斜角为30，则直线l 的倾斜角为0或60，分类讨论并利用点斜式方程求解即可. 【详解】由已知可得直线y x =k =30，因为直线l与y x =30，所以直线l 的倾斜角为0或60，当倾斜角为60时,直线l为)12y x -=-10y -+-=；当倾斜角为0︒时,直线l 为1y =，故答案为：1y =10y -+-=. 【点睛】本题考查直线与直线的夹角，关键点是求出直线30x --=的倾斜角得到l 的倾斜角，考查求直线方程，考查分类讨论思想.16．【分析】利用切线长最短时取最小值找点：即过圆心作直线的垂线求出垂足点就切线的斜率是否存在分类讨论结合圆心到切线的距离等于半径得出切线的方程【详解】设切线长为则所以当切线长取最小值时取最小值过圆心作直解析：3利用切线长最短时，PC 取最小值找点P ：即过圆心C 作直线l 的垂线，求出垂足点()3,3P ．就切线的斜率是否存在分类讨论，结合圆心到切线的距离等于半径得出切线的方程．【详解】设切线长为L ，则21L PC =-，所以当切线长L 取最小值时，PC 取最小值，过圆心()2,0C 作直线l 的垂线，则点P 为垂足点，此时，直线PC 的方程为360x y --=，联立3120360x y x y +-=⎧⎨--=⎩，得33x y =⎧⎨=⎩，点P 的坐标为()3,3.此时22(32)(30)10PC =-+-=，此时，213L PC =-=故答案为：3 【点睛】关键点睛：解题的关键是利用过点的圆的切线方程的求解，在过点引圆的切线问题时，将直线与圆相切转化为圆心到直线的距离等于半径长，即设切线长为L ，则21L PC =-，问题转变为求PC 的最小值，主要考查学生分析问题与解决问题的能力，属于中等题．17．【解析】试题分析：由题意得圆心到直线的距离即为半径此题只要求出半径即可试题解析：22256(1)(3)25x y -+-=【解析】试题分析：由题意得，圆心到直线的距离即为半径，此题只要求出半径即可．试题因为点到直线的距离由题意得圆的半径则所求的圆的方程为考点：1．直线与圆的相切的应用；2．圆的方程；18．9【分析】圆C1C2只有一条公切线则两圆的位置关系为内切由此可以得到ab 的等量关系然后利用均值不等式求的最小值【详解】圆C1：x2＋y2＋4ax ＋4a2－4＝0标准方程：圆C2：x2＋y2－2by ＋【分析】圆C 1、C 2只有一条公切线，则两圆的位置关系为内切，由此可以得到a 、b 的等量关系，然后利用均值不等式求2211a b +的最小值【详解】圆C 1：x 2＋y 2＋4ax ＋4a 2－4＝0 标准方程：22x 2a y 4++=（）圆C 2：x 2＋y 2－2by ＋b 2－1＝0标准方程：22x y b 1+-=（）因为圆C 1 、C 2内切，1=, 即224a b 1+=，（2211a b +）=2222114a b a b++（）（） =2222b 4a 59a b++≥（）当且仅当224a b =时等号成立. 【点睛】本题考查了两圆的位置关系和均值不等式求最值；两圆位置关系有：内含、内切、相交、外切、外离，圆与圆的位置关系也决定了切线的条数，两圆相内切只有一条切线，圆心距和两圆半径的关系是解题的关键，利用该关系可以构造出均值不等式所需要的等式；均值不等式求最值要注意：一正二定三相等.19．【分析】设点的坐标为根据可得点的轨迹方程为然后将问题转化为两圆有公共点的问题解决根据圆心距和半径的关系可得结果【详解】由题意得圆的圆心为半径为1设点的坐标为∵∴整理得故点的轨迹是以为圆心2为半径的圆解析：[0,3]【分析】设点M 的坐标为(),x y ，根据2MA MO =可得点M 的轨迹方程为()2214x y +-=，然后将问题转化为两圆有公共点的问题解决，根据圆心距和半径的关系可得结果．【详解】由题意得圆()()22:21C x a y a -+-+=的圆心为(),2a a -，半径为1．设点M 的坐标为(),x y ， ∵2MA MO =，∴=整理得()2214x y +-=，故点M 的轨迹是以()0,1为圆心，2为半径的圆．由题意得圆C 和点M 的轨迹有公共点， ∴13≤≤，解得03a ≤≤．∴实数a 的取值范围是[]0,3．【点睛】本题考查两圆位置关系的判断和利用，解题的关键是根据题意得到点M 的轨迹方程，然后将问题转化为两圆有公共点的问题出处理，再利用代数法求解可得所求的结果．20．【分析】为使原点到直线距离的最大则应当最小于是应当最小进而得到应当最小然后利用点到直线的距离公式求得的最小值利用直角三角形相似求得原点到直线距离的最大值【详解】为使原点到直线距离的最大则应当最小于是【分析】为使原点O 到直线AB 距离的最大，则AOB ∠应当最小，于是AOP ∠应当最小，进而得到OP 应当最小，然后利用点到直线的距离公式求得OP 的最小值，利用直角三角形相似求得原点O 到直线AB 距离的最大值. 【详解】为使原点O 到直线AB 距离的最大，则AOB ∠应当最小，于是AOP ∠应当最小，∴OA OP应当最大，∴OP 应当最小，当且仅当OP 与直线136x y+=垂直时OP 最小，OP 的最小值为O 到直线136x y +=,即260x y +-=的距离5d ==，设OP 与AB 交于点,Q 则2~,||Rt OQA Rt OAP OQ OP OA ∴⨯=,∴max ||,3OQ ==故答案为：53. 【点睛】本题考查与圆有关的最值问题，属中等难度的题目，关键在于转化为OP 最小，同时注意利用三角形相似进行计算.三、解答题21．（1）2132）4，240x y ++= 【分析】（1）求出动直线所过定点(1,2)P --,当m 变化时，PQ ⊥直线l 时，点()3,4Q 到直线l 的距离的最大．（2）直线l 的斜率k 存在且0k ≠，因此可设直线l 的方程为2(1)y k x +=+，求出直线在x 轴、y 轴的截距．可得AOB 的面积，利用基本不等式的性质即可得出结果．【详解】（1）直线方程为(2) (21) 340m x m y m -++++=，可化为(24)(23)0x y m x y +++-++=对任意m 都成立，所以230240x y x y -++=⎧⎨++=⎩，解得12x y =-⎧⎨=-⎩，所以直线恒过定点(1,2)--.设定点为(1,2)P --,当m 变化时，PQ ⊥直线l 时，点(3,4)Q 到直线的距离最大，可知点Q 与定点(1,2)P --的连线的距离就是所求最大值， 22(31)(42)213+++=（2）由于直线l 经过定点(1,2)P --．直线l 的斜率k 存在且0k ≠，因此可设直线方程为2(1)y k x +=+可得与x 轴、y 轴的负半轴交于21,0A k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，(0,2)B k -两点 ∴20kk-<，20k -<，解得0k <． ∴121221|2|1(2)2224222AOBkS k k k k k -⎛⎫=--=--=++≥+= ⎪-⎝⎭当且仅当2k =-时取等号，面积的最小值为4此时直线l 的方程为：22(1)y x +=-+，化为：240x y ++=．【点睛】关键点点睛：求三角形面积最小时，一般首先表示出三角形的面积，本题利用直线在坐标轴的截距表示可得222k S k -=++-,再根据均值不等式或利用函数求最值，确定最值取得的条件，求解即可.22．（1）证明见解析；（2）2211()(1)(1)24x y x -+-=≠.【分析】（1）确定直线过定点()1,1，计算定点在圆内，得到证明.（2）由已知得点M 在以CP 为直径的圆上，求得圆心和半径可得到答案. 【详解】（1）由已知可得直线 :(1)10l x m y --+=，所以直线l 恒过定点(1,1)P .又()2211115,+-=<所以点P 在圆内，所以对任意的m R ∈，直线l 与圆 C 恒有两个交点.（2）由（1）知，知直线l 恒过定点(1,1)P ，且直线l 的斜率存在. 又M 是AB 的中点，CM MP ∴⊥，所以点M 在以CP 为直径的圆上.又()()0,1,1,1,C P 所以以CP 为直径的圆的方程为2211()(1)24x y -+-=，又直线l 的斜率存在，1x ∴≠，所以点M 的轨迹方程为2211()(1)(1)24x y x -+-=≠.【点睛】方法点睛：求直线恒过点的方法：方法一（换元法）：根据直线方程的点斜式直线的方程变成()y k x a b =-+，将x a =带入原方程之后，所以直线过定点()a b ，；方法二（特殊引路法）：因为直线的中的m 是取不同值变化而变化，但是一定是围绕一个点进行旋转，需要将两条直线相交就能得到一个定点.取两个m 的值带入原方程得到两个方程，对两个方程求解可得定点.23．（1）2c =-；2()2f z z z =+-；（2）9. 【分析】（1）令1m =，0n =代入等式中可求得c .再令m n =-代入得()f z 的解析式；（2）由已知求得直线过圆心()12-，，有1a b +=.由均值不等式得4144()5a b a b a b ab a b b a +⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭，可求和4a bab +的最小值. 【详解】（1）令1m =，0n =代入等式中可得，(0)2f =-，即2c =-.再令m n =-得，(0)()(21)f f n n n n -=--++，2()2f n n n =+-，所以2()2f z z z =+-.（2）因为直线被圆22(1)(2)9x y ++-=截得的弦长为6，所以直线过圆心()12-，，有1a b +=.于是由均值不等式得，414144()559a b a b a b ab a b a b b a +⎛⎫=+=++=++≥+= ⎪⎝⎭，当且仅当4a b b a =，即13a =，23b =时等号成立.故4a b ab +的最小值是9.【点睛】利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.24．（1）224x y +=；（2）k =；（3）(4,0). 【分析】（1）设出圆心(,0)C a ，根据直线与圆C 相切，得到圆心到直线的距离等于4，确定圆心坐标，即可得圆C 的方程.（2）根据垂径定理及勾股定理，由过点(1,1)P 的直线1l 被圆C 截得的弦长等于斜率存在与不存在两种情况讨论，即可求出直线1l 的方程.（3）当AB x ⊥轴时，则x 轴平分ANB ∠，当直线AB 的斜率存在时，设出方程与圆的方程联立，结合AN BN k k =-，即可求出点N 的坐标. 【详解】（1）设圆心5(,0)2C a a ⎛⎫>-⎪⎝⎭，则|410|25a ，解得0a =或5a =-（舍）．故圆C 的方程为224x y +=．（2）由题意可知圆心C 到直线1l 的距离为2sin301．1，解得k =.（3）当直线AB x ⊥轴时，对x 轴正半轴上任意一点,N x 轴平分ANB ∠；当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为()()1122(1)(0),(,0),,,,y k x k N t A x y B x y =-≠，由224,(1)x y y k x ⎧+=⎨=-⎩得()22221240k x k x k +-+-=， 2212122224,11k k x x x x k k -∴+==++ 若x 轴平分ANB ∠，则AN BN k k =-，即12120y yx t x t+=--，即()()1212110k x k x x tx t--+=--，即()12122(1)20x x t x x t -+++=，即()2222242(1)2011k k t t k k -+-+=++，解得4t =．综上，当点N 的坐标为(4,0)时，x 轴平分ANB ∠．【点睛】关键点点睛：本题第二问解题的关键是得到圆心到直线的距离为1，第三问解题的关键是由x 轴平分ANB ∠，得AN BN k k =-，进而利用坐标表示斜率求解. 25．（1）4160x y -+=或390x y +-=；（2）9461020x y -+= 【分析】（1）设出截距式方程，由条件列出式子即可求出；（2）在直线m 上取一点，如()2,0M ，求出()2,0M 关于直线l 的对称点M '，求出m 与l 的交点，即可求出直线方程. 【详解】（1）由已知得直线不过原点，设直线方程为1x y a b+=，则可得34112a b a b -⎧+=⎪⎨⎪+=⎩，解得416a b =-⎧⎨=⎩或93a b =⎧⎨=⎩，则直线方程为1416x y +=-或193x y +=，整理可得4160x y -+=或390x y +-=；（2）在直线m 上取一点，如()2,0M ，则()2,0M 关于直线l 的对称点M '必在直线m '上，设(),M a b '，则2023102202123a b b a ++⎧⨯-⨯+=⎪⎪⎨-⎪⨯=-⎪-⎩，解得630,1313M '⎛⎫ ⎪⎝⎭，设直线m 与l 的交点为N ，则联立方程32602310x y x y --=⎧⎨-+=⎩可解得()4,3N ，则m '的方程为34306341313y x --=--，即9461020x y -+=. 【点睛】方法点睛：关于轴对称问题：（1）点(),A a b 关于直线0Ax By C ++=的对称点(),A m n '，则有1022n b A m a B a m b n A B C ⎧-⎛⎫⨯-=- ⎪⎪⎪-⎝⎭⎨++⎪⋅+⋅+=⎪⎩；（2）直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决.26．（1）2,33ππ；（2）()3,3或33,55⎛⎫ ⎪⎝⎭；（3）⎡⎣ 【分析】（1）设1l 的斜率为tan k α=，则2l 的斜率为3tan kβ-=，两直线的夹角为γ，不妨设0k >，利用两角差的正切公式计算，利用基本不等式求得最值；（2）设直线RP ，PQ ，QR 的斜率分别为123,,k k k ，可得122313149k k k k k k =⎧⎪=⎨⎪=⎩，可解出123,,k k k 的值，进一步求得直线RP 和直线PQ 的方程，联立得点P 的坐标；（3）设()()122:1,:1l y k x l y x k=++=-+，，设原点到两直线距离分别为12,d d ，求出12d d ，然后变形利用基本不等式求解．【详解】解：（1）设1l 的斜率为tan k α=，则2l 的斜率为3tan kβ-=，两直线的夹角为γ，不妨设0k >，则()()313tan tan 132k k k k γβα--⎛⎫=-==+≥ ⎪+-⎝⎭k = 此时3πα=，23πβ=，即两直线倾斜角分别为2,33ππ；（2）设直线RP ，PQ ，QR 的斜率分别为123,,k k k ，则122313149k k k k k k =⎧⎪=⎨⎪=⎩，解得12332,,623k k k ===或12332,,623k k k =-=-=-，当12332,,623k k k ===时，直线RP 的方程为()312y x =-，直线PQ 的方程为213y x =+，联立得()3,3P ，当12332,,623k k k =-=-=-时，直线RP 的方程为()312y x =--，直线PQ 的方程为213y x =-+，联立得33,55P ⎛⎫⎪⎝⎭，故所求为()3,3P 或33,55P ⎛⎫ ⎪⎝⎭；（3）设()()122:1,:1l y k x l y x k=++=-+，设原点到两直线距离分别为12,d d ，则12d d =====，由于22459kk++≥，当且仅当22k=时等号成立，故[)22910,145kk-∈++，12d d⎡∈⎣，即原点到两直线距离之积的取值范围为⎡⎣．【点睛】方法点睛：“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解。

直线与圆的方程测试题含答案

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当F=0时，表示圆心在原点，半径为sqrt(D^2/4 + E^2/4)的圆
圆的参数方程
定义：将圆的坐标表示为参数的函数形式
参数方程的建立：通过圆心和半径确定参数方程
参数方程的应用：解决与圆相关的问题，如轨迹、相切等
参数方程的优缺点：便于计算和可视化，但需要明确参数含义和范围
方程的建立：根据直线的几何意义和已知条件建立直线方程
点斜式：y-y1=m(x-x1)
点斜式和两点式
两点式：y-y1=(y2y1)/(x2-x1)*(x-x1)
截距式
定义：直线在x轴和y轴上的截距的代数和等于零形式：y=kx+b 特点：截距式方程表示的直线与x轴、y轴的交点分别为(-b/k,0)和(0,b) 应用：常用于已知直线与坐标轴的交点时求解直线的方程
圆的标准方程：$(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$
圆的一般方程为：x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0
圆的一般方程
圆心坐标为(-D/2,-E/2)，半径为 sqrt(D^2/4 + E^2/4 - F)
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其中，D、E、F为常数，D^2 + E^2 - 4F > 0
一般式
定义：直线方程的一般式为 Ax + By + C = 0，其中A、 B不同时为0
形式：最简单且常见的一种直线方程形式
适用范围：适用于所有直线方程，无论斜
率是否存在
特点：可以表示所有直线，包括垂直于x轴
的直线
圆心：$(h, k)$

第二章直线和圆的方程专题测试(原卷版+解析版) (人教A版)高二数学选择性必修一

第二章直线和圆的方程专题测试(原卷版+解析版) (人教A版)高二数学选择性必修一第二章直线和圆的方程专题测试注意事项：1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息。

2.请将答案正确填写在答题卡上。

第I卷（选择题）一、单选题（每题只有一个选项为正确答案，每题5分，共40分）1.（2020·福建高二学业考试）已知直线 $ $l_1\parallell_2$，则实数 $k=$（）。

A。

$-2$B。

$-1$C。

$1$D。

$2$2.（2020·XXX高一月考）直线$l_1:(a-2)x+(a+1)y+4=0$，$l_2:(a+1)x+ay-9=0$ 互相垂直，则 $a$ 的值是（）。

A。

$-0.25$B。

$1$C。

$-1$D。

$1$ 或 $-1$3.（2020·XXX高一月考）直线 $l:(m-1)x-my-2m+3=0$（$m\in R$）过定点 $A$，则点 $A$ 的坐标为（）。

A。

$(-3,1)$B。

$(3,1)$C。

$(3,-1)$D。

$(-3,-1)$4.（2020·广东高二期末）设 $a\in R$，则“$a=1$”是“直线$ax+y-1=0$ 与直线 $x+ay+1=0$ 平行”的（）。

A。

充分不必要条件B。

必要不充分条件C。

充分必要条件D。

既不充分也不必要条件5.（2020·黑龙江高一期末）若曲线 $y=4-x^2$ 与直线$y=k(x-2)+4$ 有两个交点，则实数 $k$ 的取值范围是（）。

A。

$\left[\frac{3}{4},1\right]$B。

$\left[\frac{3}{4},+\infty\right)$C。

$(1,+\infty)$D。

$(1,3]$6.（2020·XXX高三其他）已知直线 $x+y=t$ 与圆$x+y=2t-t^2$（$t\in R$）有公共点，则 $\frac{t(4-t)}{9}$ 的最大值为（）。

(完整版)直线与圆综合练习题含答案

直线与圆的方程训练题一、选择题:1．直线1x =的倾斜角和斜率分别是（）A ．B ．C ．，不存在D ．，不存在 2．设直线0ax by c ++=的倾斜角为α，且sin cos 0αα+=，则,a b 满足（） A ．1=+b aB ．1=-b aC ．0=+b aD ．0=-b a3．过点(1,3)P -且垂直于直线032=+-y x 的直线方程为（）A ．012=-+y xB ．052=-+y xC ．052=-+y xD ．072=+-y x 4．已知点(1,2),(3,1)A B ，则线段AB 的垂直平分线的方程是（） A ．524=+y x B ．524=-y x C ．52=+y x D ．52=-y x 5．直线cos sin 0x y a θθ++=与sin cos 0x y b θθ-+=的位置关系是（）A ．平行B ．垂直C ．斜交D ．与的值有关 6．两直线330x y +-=与610x my ++=平行，则它们之间的距离为（）A ．4 BCD7．如果直线l 沿x 轴负方向平移3个单位再沿y 轴正方向平移1个单位后，又回到原来的位置，那么直线l 的斜率是（）A ．-13B ．3-C ．13D ．38．直线l 与两直线1y =和70x y --=分别交于,A B 两点，若线段AB 的中点为(1,1)M -，则直线l 的斜率为（）A ．23 B ．32 C ．32- D ． 23-9．若动点P 到点(1,1)F 和直线340x y +-=的距离相等，则点P 的轨迹方程为（） A ．360x y +-= B ．320x y -+= C ．320x y +-= D ．320x y -+=10．若为圆的弦AB 的中点，则直线AB 的方程是（）A. 03=--y xB. 032=-+y xC. 01=-+y x D . 052=--y x11．圆012222=+--+y x y x 上的点到直线2=-y x 的距离最大值是（） A ．2 B ．21+ C ．221+D ．221+ 12．在坐标平面内，与点(1,2)A 距离为1，且与点(3,1)B 距离为2的直线共有（）0135,1-045,10900180,,a b θ(2,1)P -22(1)25x y -+=A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条 13．圆0422=-+x y x 在点)3,1(P 处的切线方程为（）A ．023=-+y xB ．043=-+y xC ．043=+-y xD ．023=+-y x14．直线032=--y x 与圆9)3()2(22=++-y x 交于,E F 两点，则∆EOF （O 是原点）的面积为（）Ａ．23 Ｂ．43Ｃ．52 Ｄ．55615．已知圆C 的半径为2，圆心在x 轴的正半轴上，直线0443=++y x 与圆C 相切，则圆C 的方程为（）A ．03222=--+x y x B ．0422=++x y xC ．03222=-++x y xD ．0422=-+x y x16．若过定点)0,1(-M 且斜率为k 的直线与圆05422=-++y x x 在第一象限内的部分有交点，则k 的取值范围是（）A. 50<<k B. 05<<-k C. 130<<k D. 50<<k 17．圆：06422=+-+y x y x 和圆：0622=-+x y x 交于,A B 两点，则AB 的垂直平分线的方程是（） A.30x y ++= B ．250x y --= C ．390x y --= D ．4370x y -+=18．入射光线在直线1:23l x y -=上，经过x 轴反射到直线2l 上，再经过y 轴反射到直线3l 上，若点P是1l 上某一点，则点P 到3l 的距离为（）A ．6 B ．3 C D 二、填空题:19．已知直线,32:1+=x y l 若2l 与1l 关于y 轴对称，则2l 的方程为__________; 若3l 与1l 关于x 轴对称，则3l 的方程为_________; 若4l 与1l 关于x y =对称，则4l 的方程为___________;20．点(,)P x y 在直线40x y +-=上，则22x y +的最小值是________________.21．直线l 过原点且平分ABCD 的面积，若平行四边形的两个顶点为(1,4),(5,0)B D ，则直线l 的方程为________________。

高中数学教师资格证笔试练题：第二章直线与圆的方程单元检测卷

高中数学选择性必修第一册第二章直线与圆的方程测试卷一、单选题1．直线l 经过点(3,4)P -且与圆2225x y +=相切，则直线l 的方程为（）A ．44(3)3y x -=-+B ．34(3)4y x -=+C ．44(3)3y x +=--D ．44(3)3y x +=-2．已知直线l 过点(3A ，(3B +，则直线l 的斜率为（）A B C ．D ．3．已知()1,3A ，()3,1B -，则以AB 为直径的圆的方程为（） A ．()()22215x y -+-= B ．()()222120x y -+-= C ．()()22125x y ++-=D ．()()221220x y ++-=4．已知直线1:32l y x =-，直线221:60l x y -+=，则1 l 与2 l 之间的距离为（）AB C D 5．已知直线l 过直线l 1：x －2y ＋3＝0与直线l 2：2x ＋3y －8＝0的交点，且点P (0，4)到直线l 的距离为2，则这样的直线l 的条数为（） A ．0B ．1C ．2D ．36．直线1x y +=与圆221x y +=的位置关系是（） A ．相离 B ．相切 C ．相交且直线经过圆心 D ．相交但直线不经过圆心7．若直线:l y kx =30x y +-=的交点位于第二象限，则直线l 的倾斜角的取值范围是（） A ．3,24ππ⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．3,24ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．3,34ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．3,24ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭8．直线160l x my -+=：和直线()210l mx y m R +-=∈：的位置关系是（）A ．相交且垂直B ．平行C ．相交且不垂直D ．不确定9．已知圆的一条直径的端点分别是()1,0A -，()3,4B -，则该圆的方程为（） A ．()()22128x y ++-= B ．()()22128x y -++= C ．()()221232x y ++-=D ．()()221232x y -++=10．两条直线20x y a ++=和1102x ay a ⎛⎫--=≠- ⎪⎝⎭的交点的轨迹方程是（）A ．212102y xy x y ⎛⎫++-=≠- ⎪⎝⎭B ．212102x xy y x ⎛⎫++-=≠- ⎪⎝⎭C ．221x y x +=-+D ．2121x y x -=+二、填空题11．写出一个圆心在直线340x y +=上，且与x 轴相切的圆的标准方程：___________. 12．经过A （18，8），B （4，﹣4）两点的直线的斜率k ＝__． 13．直线1x =的倾斜角和斜率分别为__________.14．若圆的方程222440x y x y +-++=，则此圆的圆心坐标为___________. 15．已知实数m ，n 满足10m n +-=，则22m n +的最小值为___________.16．若直线l 过点33,2M ⎛⎫-- ⎪⎝⎭且被圆2225x y +=所截得的弦长是8，则l 的方程为________.17．已知圆221:(3)(1)4C x y ++-=，直线:148310l x y +-=，则圆1C 关于直线l 对称的圆2C 的标准方程为______.18．已知点P ，Q 是圆221x y +=上的动点，若直线l ：0x y b ++=上存在点A ，使得π2PAQ ∠=，则b 的取值范围是______．19．已知直线x +y =a 与圆224x y +=交于A ､B 两点，且||||OA OB OA OB +=-，其中O 为坐标原点，则实数a 的值为________.20．已知点(2,0),(2,0),A B -如果直线340(0)x y m m -+=>上有且只有一个点P 使得PA ⊥PB ，那么实数m 的值为________．三、解答题21．求过点(2,1)A -，圆心在直线2y x =-上，且与直线10x y +-=相切的圆的方程． 22．已知圆C 过点()6,0A ，()1,5B ，且圆心在直线:2780l x y -+=上．（1）求圆C 的标准方程；（2）将圆C 向上平移1个单位长度后得到圆1C ，求圆1C 的标准方程． 23．求直线112y x =-关于直线24y x =-对称的直线的一般式方程.24．已知点(P 在以坐标原点为圆心的圆O 上，直线1l 0y +-=与圆O 相交于A ，B 两点，且A 在第一象限（1）求圆O 在点P 处的切线方程；（2）设()()000,1Q x y x ≠±是圆O 上的一个动点，点Q 关于原点O 的对称点为1Q ，点Q 关于x 轴的对称点为2Q ，如果直线1AQ ，2AQ 与y 轴分别交于()0,m 和()0,n 两点，问mn 是否为定值？若是，求出定值；若不是，说明理由.25．已知圆M 过C (1，﹣1)，D (﹣1，1)两点，且圆心M 在x +y ﹣2=0上. （1）求圆M 的方程；（2）设P 是直线3x +4y +8=0上的动点，P A ，PB 是圆M 的两条切线，A ，B 为切点，求四边形P AMB 面积的最小值.参考答案1．B 【详解】由题设，点()3,4-在圆2225x y +=上，易知切线方程的斜率存在，设切线方程的斜率为k ，则切线方程为4(3)y k x -=+，即340kx y k -++=， ⊥圆心(0,0)到切线的距离5d ==，解得34k =，故切线方程为34(3)4y x -=+．2．C 【详解】因为直线l 过点(3A ，(3B +，所以由过两点的直线的斜率公式，得直线l 36-= 3．A 【详解】AB 的中点()2,1为圆心，半径r ==所以所求圆的方程为()()22215x y -+-=. 4．D 【详解】直线1l 的方程可化为6240x y --=，则1l 与2l 之间的距离d =． 5．C 【详解】方法一由2302380x y x y -+=⎧⎨+-=⎩得12x y =⎧⎨=⎩，即直线l 过点(1，2)．设点Q (1，2)，因为PQ 2，所以满足条件的直线l 有2条．方法二依题意，设经过直线l 1与l 2交点的直线l 的方程为2x ＋3y －8＋λ(x －2y ＋3)＝0(λ⊥R )，即(2＋λ)x ＋(3－2λ)y ＋3λ－8＝0.2=，化简得5λ2－8λ－36＝0，解得λ＝－2或185，代入得直线l 的方程为y ＝2或4x －3y ＋2＝0， 6．D 【详解】圆221x y +=的圆心()0,0O ，半径1r =.因为圆心()0,0O 到直线1x y +=的距离1d =，所以直线与圆相交但直线不过圆心. 7．D 【详解】联立方程组30y kx x y ⎧=⎪⎨+-=⎪⎩，解得x y =0<0>，解得1k <-，设直线l 的倾斜角为θ，其中[0,)θπ∈，即tan 1θ<-，解得324ππθ<<，即直线l 的倾斜角的取值范围是3(,)24ππ.8．A 【详解】解：当0m =时，12l l ⊥；当0m ≠时，11k m=，2k m =-，则121k k ，则12l l ⊥．综上，知12l l ⊥， 9．B 【详解】解：由题意可知，()1,0A -，()3,4B -的中点为()1,2-，又圆的半径为12r AB == 故圆的方程为()()22128x y -++=． 10．A 【详解】联立2010x y a x ay ++=⎧⎨--=⎩，解得2121221a x a a y a ⎧-=⎪⎪+⎨+⎪=-⎪+⎩，由221a y a +=-+，得221y a y +=-+，将221y a y +=-+代入2121a x a -=+，可得212102y xy x y ⎛⎫++-=≠- ⎪⎝⎭．11．()()22439x y -++=(答案不唯一) 【详解】设圆的方程为222()()(0)x a y b r r -+-=>，则只要符合340a b r b +=⎧⎨=⎩即可，如433a b r =⎧⎪=-⎨⎪=⎩，故答案为：()()22439x y -++= 12．67【详解】解：经过A （18，8），B （4，﹣4）两点的直线的斜率k ＝8461847+=-，故答案为：67．13．90︒，不存在【详解】直线1x =垂直于x 轴，所以倾斜角为90︒，斜率不存在. 故答案为：90︒；不存在. 14．()1,2- 【详解】解：根据题意，圆的方程是222440x y x y +-++=，即()()22121x y -++=，故其圆心坐标为：()1,2-，故答案为：()1,2- 15．12 【详解】由题意得2222m n +=，所表示的几何意义是点(,)m n 到原点(0,0)的距离的平方，又由原点(0,0)到直线10x y +-=的距离为(),d m n ==在该直线上，，可得22m n +的最小值为212=.故答案为：1216．3x =-或34150x y ++= 【详解】当直线l 不存在斜率时，直线l 过点33,2M ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，所以直线l 的方程为：3x =-，把3x =-代入圆的方程中，得223254y y +=⇒=±，因为4(4)8--=，所以3x =-符合题意；当直线l 存在斜率时，设为k ，因为直线l 过点33,2M ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，所以直线l 的方程为：3(3)226302y k x kx y k +=+⇒-+-=，因为2225x y +=的半径为5，直线l 被圆2225x y +=所截得的弦长是8，所以圆心(0,0)到直线l3，334k =⇒=-，所以332()26()303415044x y x y ⨯--+⨯--=⇒++=，故答案为：3x =-或34150x y ++= 17．22(4)(5)4x y -+-= 【详解】设圆2C 的圆心坐标为(,)m n . 因为直线l 的斜率74k =-，圆221:(3)(1)4C x y ++-=的圆心坐标为(3,1)-，半径2r，所以由对称性知14373114831022n m m n -⎧=⎪⎪+⎨-++⎪⨯+⨯-=⎪⎩，解得4 5m n =⎧⎨=⎩. 所以圆2C 的方程为22(4)(5)4x y -+-=. 故答案为: 22(4)(5)4x y -+-=. 18．[2,2]- 【详解】如图，过圆221x y +=上任意两点P ，Q 分别作与坐标轴平行的直线，两直线交于一点A ，则点A 满足题意，可知正方形区域内（含边界），对于任意两点P ，Q 均存在满足题意的A 点．当直线0x y b ++=过正方形右上顶点时，b 取得最小值2-；当直线0x y b ++=过正方形左下顶点时，b 取得最大值2，故b 的取值范围为[]22-,．故答案为：[2,2]-．19．2± 解. 【详解】因||||OA OB OA OB +=-，由向量加法和减法的几何意义知，以线段OA ，OB 为一组邻边的平行四边形两条对角线长相等，从而这个平行四边形是矩形，即OA OB ⊥，又||||2==OA OB ，则AOB 是等腰直角三角形，于是点O 到直线AB ，=2a =±.故答案为：2± 20．10 【详解】由题意知，点P 的轨迹是以AB 为直径的圆，圆的方程为：x 2+y 2＝4 所以要使得直线3x ﹣4y +m ＝0上有且只有一个点P 使得P A ⊥PB ，则此直线与圆：x 2+y 2＝4相切，圆心()0,0，半径为2， 2916m ，解得m ＝10或-10（舍去）．所以m ＝10. 故答案为：10．21．22(1)(2)2x y -++=．【详解】设圆心坐标为(,)a b ，半径为r ，由题意得：2222(2)(1)b a a b r r⎧⎪=-⎪⎪-+--=⎨=，解得12a b r ⎧=⎪=-⎨⎪=⎩，故所求圆的方程为22(1)(2)2x y -++=．22．（1） ()()223213x y -+-=；（2） ()()223313x y -+-=．【详解】（1）因为直线AB 的斜率为50116-=--，所以线段AB 的垂直平分线m 的斜率为1．又易知线段AB 的中点坐标为75,22⎛⎫⎪⎝⎭，所以直线m 的方程为57122y x ⎛⎫-=⨯- ⎪⎝⎭，即10x y --=．因为圆心在直线l 上，所以圆心是直线m 与直线l 的交点．由102780x y x y --=⎧⎨-+=⎩，解得32x y =⎧⎨=⎩．所以圆心为()3,2C，半径r CA == 所以圆C 的标准方程是()()223213x y -+-=．（2）由（1），知圆C 的圆心坐标为()3,2，将点()3,2向上平移1个单位长度后得到点()3,3，故圆1C 的圆心坐标为()3,3故圆1C 的标准方程为()()223313x y -+-=． 23．112220x y +-=. 【详解】由11224y x y x ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩，可得交点为（2，0），所以可设所求直线的方程为()2y k x =-，即20kx y k --=. 点（3，2）为直线24y x =-=解得12k =（舍去）或112k =-. 所以所求直线的方程为111102x y --+=，即112220x y +-=. 故答案为：112220x y +-=.24．（1）40x +-=；（2）是定值，理由见解析. 【详解】（1）因为OP k ==O 在点P处的切线斜率为所以圆O 在点P处的切线方程为)13y x -=-，即40x -= （2）是定值，理由如下解方程组224y x y +-=+=⎪⎩，可得A ，因为()000,(1)Q x y x ≠±，所以()100,Q x y --，()200,Q x y -，22004x y +=，由10:1)AQ y x -，令0x =，得0m =由20:1)AQ y x =-，令0x =，得0n =∴2020004(1)41x mn x --===-． 25．（1）()()22114x y -+-=；（2）【详解】解：（1）设圆M 的方程为：()()()2220x a y b r r -+-=>，根据题意得222222(1)(1)1(1)(1)1202a b r a a b r b a b r ⎧-+--==⎧⎪⎪--+-=⇒=⎨⎨⎪⎪+-==⎩⎩，故所求圆M 的方程为：()()22114x y -+-= ；（2）如图，答案第11页，共8页四边形PAMB 的面积为PAM PBM S S S =+，即()12S AM PA BM PB =+ 又2,AM BM PA PB ===，所以2S PA =，而PA，即S = 因此要求S 的最小值，只需求PM 的最小值即可， PM 的最小值即为点M 到直线3480x y ++=的距离所以min 3PM ==，四边形PAMB面积的最小值为=。

（完整版）直线与圆的方程测试题（含答案）

（完整版）直线与圆的方程测试题（含答案）直线与圆的方程测试题（本试卷满分150分，考试时间120分钟）一、单项选择题(本大题共18小题，每小题4分，共72分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其选出，错选、多选或未选均无分.1.点M 1(2,-5)与M 2(5,y)之间的距离是5，则y=（）A.-9B.-1C.-9或-1D. 122. 数轴上点A 的坐标是2，点M 的坐标是-3，则|AM|=（）A.5B. -5C. 1D. -13. 直线的倾斜角是32π，则斜率是（） A.3-3B.33C.3-D.34. 以下说法正确的是（）A.任意一条直线都有倾斜角B. 任意一条直线都有斜率C.直线倾斜角的范围是(0,2π) D. 直线倾斜角的范围是(0,π)5. 经过点(4, -3)，斜率为-2的直线方程是（）A. 2x+y+2=0B.2x-y-5=0C. 2x+y+5=0D. 2x+y-5=06. 过点(2,0)且与y 轴平行的直线方程是（）A.x=0B.y=0C.x=2D.y=27. 直线在y 轴上的截距是-2，倾斜角为0°，则直线方程是（） A.x+2=0 B.x-2=0 C.y+2=0 D.y-2=08. “B ≠0”是方程“Ax+By+C=0表示直线”的（）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充分且必要条件D.非充分非必要条件9. 直线3x-y+21=0与直线6x-2y+1=0之间的位置关系是（）A.平行B.重合C.相交不垂直D.相交且垂直10.下列命题错误．．的是（）A. 斜率互为负倒数的两条直线一定互相垂直B. 互相垂直的两条直线的斜率一定互为负倒数C. 两条平行直线的倾斜角相等D. 倾斜角相等的两条直线平行或重合11. 过点(3,-4)且平行于直线2x+y-5=0的直线方程是（）A. 2x+y+2=0B. 2x-y-2=0C. 2x-y+2=0D.2x+y-2=012. 直线ax+y-3=0与直线y=21x-1垂直，则a=（）A.2B.-2C. 21D. 21-13. 直线x=2与直线x-y+2=0的夹角是（）A.30°B. 45°C. 60°D. 90°14. 点P (2,-1)到直线l ：4x-3y+4=0的距离是（）A.1B.511 C.53 D.3 15. 圆心在( -1,0)，半径为5的圆的方程是（）A.(x+1)2+y 2=5B. (x+1)2+y 2=25C. (x-1)2+y 2=5D. (x-1)2+y 2=2516. 直线3x+4y+6=0与圆(x-2)2+(y+3)2=1的位置关系是（）A.相交不过圆心B.相交且过圆心C.相切D.相离17. 方程x 2+y 2-2kx+4y+3k+8=0表示圆，则k 的取值范围是（）A.k<-1或k>4B. k=-1或k=4C. -1<k<4< p="">D. -1≤k ≤418. 直线y=0与圆C:x 2+y 2-2x-4y=0相交于A 、B 两点，则△ABC 的面积是（）A.4B.3C.2D.1二、填空题(本大题共5小题，每小题4分，共20分)请在每小题的空格中填上正确答案。

直线与圆的方程单元测试题含答案

在判断直线与圆的位置关系时，需要注意直线的斜率是否存在以及圆心和半径的取值是否合理。
掌握直线与圆的位置关系判断是解决直线与圆相关问题的基础，对于提高解题能力和数学思维能力有很大的帮助。
定义：直线方程的基本形式是y=kx+b，其中k是斜率，b是截距。
斜率：表示直线与x轴的夹角，当k>0时，夹角为锐角；当k<0时，夹角为钝角。截距：表示直线与y轴的交点，当b>0时，交点在正半轴上；当b<0时，交点在负半轴上。
圆的一般方程：x^2+y^2+Dx+Ey+F=0，其中D、E、F为常数
圆的参数方程：x=a+r*cosθ，y=b+r*sinθ，其中(a,b)为圆心，r为半径，θ为参数
圆的切线方程：在已知圆x^2+y^2+Dx+Ey+F=0上，切线的方程可表示为：D*x*x0+E*y*y0+F*x+E*y+C=0，其中(x0,y0)为切点
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圆的直径的方程：$(x-\frac{x1+x2}{2})^2+(y\frac{y1+y2}{2})^2=(\frac{\sqrt{(x1-x2)^2+(y1-y2)^2}}{2})^2$，其中 $(x1,y1)$和$(x2,y2)$为直径的两个端点
联立方程法：通过将直线方程与圆方程联立，消元求解交点坐标
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01.
02.
03.
定义：表示直线上的点与固定点之间的距离始终等于一个常数形式：Ax + By + C = 0，其中A、B、C为常数，且A和B不同时为0 分类：一般式、点斜式、斜截式、两点式和截距式适用范围：适用于所有直线方程，是直线方程的基本形式

高考直线与圆的方程综合题、典型题

直线与圆的方程综合题、典型题、高考题主讲：曹老师 2012年4月301、已知m ∈R ，直线l ：2(1)4mx m y m -+=和圆C ：2284160x y x y +-++=．（1）求直线l 斜率的取值范围；（2）直线l 能否将圆C 分割成弧长的比值为12的两段圆弧？为什么？解析：（1）直线l 的方程可化为22411m m y x m m =-++，直线l 的斜率21mk m =+，因为21(1)2m m +≤，所以2112m k m =+≤，当且仅当1m =时等号成立．所以，斜率k 的取值范围是1122⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，．（2）不能．由（1）知l 的方程为(4)y k x =-，其中12k ≤．圆C 的圆心为(42)C -，，半径2r =．圆心C 到直线l的距离d =．由12k ≤，得1d >，即2rd >．从而，若l 与圆C 相交，则圆C 截直线l 所得的弦所对的圆心角小于23π．所以l 不能将圆C 分割成弧长的比值为12的两段弧． 2、已知圆C ：044222=-+-+y x y x ，是否存在斜率为1的直线l ，使l 被圆C 截得的弦AB 为直径的圆过原点，若存在求出直线l 的方程，若不存在说明理由。

解析：圆C 化成标准方程为2223)2()1(=++-y x 假设存在以AB 为直径的圆M ，圆心M由于CM ⊥l ，∴k CM ⋅k l = －1 ∴k CM =112-=-+a b ，即a +b +1=0，得b = －a －1 ① 直线l 的方程为y －b =x －a ，即x －y +b －a =0CM=23+-a b∵以AB 为直径的圆M 过原点，∴OM MB MA == 2)3(92222+--=-=a b CMCB MB，222b a OM += ∴2222)3(9b a a b +=+--②把①代入②得 0322=--a a ，∴123-==a a 或当25,23-==b a 时此时直线l 的方程为x －y －4=0；当0,1=-=b a 时此时直线l 的方程为x －y +1=0故这样的直线l 是存在的，方程为x －y －4=0 或x －y +1=0评析：此题用0OA OB =u u u r u u u rg,联立方程组，根与系数关系代入得到关于b 的方程比较简单 3、已知点A(－2，－1)和B(2，3)，圆C ：x 2＋y 2 = m 2，当圆C 与线段．．AB 没有公共点时，求m 的取值范围.解：∵过点A 、B 的直线方程为在l ：x －y ＋1 = 0, 作OP 垂直AB 于点P ，连结OB.由图象得：|m|＜OP 或|m|＞OB 时，线段AB 与圆x 2＋y 2 = m 2无交点.（I ）当|m|＜OP 时，由点到直线的距离公式得：22|m |2|1||m |<⇒<，即22m 22<<-. （II ）当m ＞OB 时,||||m m >>即13m 13m >-<或.∴当22m 22<<-和0m 13m 13m ≠>-<且与时，圆x 2＋y 2 = m 2与线段AB 无交点.4、．已知动圆Q 与x 轴相切，且过点()0,2A .⑴求动圆圆心Q 的轨迹M 方程；⑵设B 、C 为曲线M 上两点，()2,2P ，PB BC ⊥，求点C 横坐标的取值范围.解： ⑴设(),P x y 为轨迹上任一点，则0y =≠ （4分）化简得：2114y x =+ 为求。

《第二章直线和圆的方程》单元检测试卷与答案解析(共四套)

《第二章直线和圆的方程》单元检测试卷（一）第I 卷（选择题）一、单选题（每题只有一个选项为正确答案，每题5分，共40分） 1．已知直线1l ：2y x =-，2l ：y kx =，若12//l l ，则实数k =（） A ．－2 B ．－1 C ．0 D ．12．直线()()1:2140l a x a y -+++=与()2:190l a x ay ++-=互相垂直，则a 的值是（）. A ．-0.25 B ．1 C ．-1 D ．1或-13．直线:l (1)230m x my m ---+=（m R ∈）过定点A ，则点A 的坐标为（） A ．(3,1)- B ．(3,1) C ．(3,1)- D ．(3,1)-- 4．设a R ∈，则“a=1”是“直线ax+y-1=0与直线x+ay+1=0平行”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件,5．若曲线y 与直线y ＝k （x ﹣2）+4有两个交点，则实数k 的取值范围是（） A ．3,14⎛⎤⎥⎝⎦ B ．3,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．（1，+∞）D ．（1，3] 6．已知直线x y t +=与圆()2222x y t tt R +=-∈有公共点，则()4t t -的最大值为（） A ．4 B ．289 C ．329D ．3277．若两平行直线20,(0)x y m m ++=>与30x ny --=则m+n ＝（） A ．0 B ．1 C ．1- D ．2-8．过直线y ＝x 上的一点作圆22(5)(1)2x y -+-=的两条切线l 1，l 2，当直线l 1，l 2关于y ＝x 对称时，它们之间的夹角为（）A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°二、多选题（每题不止有一个选项为正确答案，每题5分，共20分）9．圆221:20x y x O +-=和圆222:240O x y x y ++-=的交点为A ，B ，则有（）A ．公共弦AB 所在直线方程为0x y -= B ．线段AB 中垂线方程为10x y +-=C ．公共弦AB 的长为2D ．P 为圆1O 上一动点，则P 到直线AB 1+ 10．已知直线12:10,:(2)330l x my l m x y +-=-++=，则下列说法正确的是（）A ．若12l l //，则m=-1或m=3B ．若12l l //，则m=3C ．若12l l ⊥，则12m =-D ．若12l l ⊥，则12m = 11．已知直线l 与圆22:240C x y x y a ++-+=相交于,A B 两点，弦AB 的中点为()0,1M ，则实数a 的取值可为（）A ．1B ．2C ．3D ．4 12．下列说法正确的是（）A ．直线32()y ax a a R =-+∈必过定点(3,2)B ．直线32y x =-在y 轴上的截距为2-C 10y ++=的倾斜角为60°D ．过点(1,2)-且垂直于直线230x y -+=的直线方程为20x y +=第II 卷（非选择题）三、填空题(每题5分，共20分）13．圆C 的圆心为(21),-，且圆C 与直线3450x y --=相切，则圆C 的方程为_______. 14．经过点P （2，1）作直线l 分别交x 轴、y 轴的正半轴于A 、B 两点，当△AOB 面积最小时，直线l 的方程为_____.15．在圆22420x y x y +-+=内，过点1,0（）M 的最短弦的弦长为_____；16．圆()()221:29C x m y -++=与圆()()222:14C x y m ++-=内切，则m 的值为____.四、解答题（17题10分，其余12分，共70分） 17．已知圆C 的方程为()()22215x y -+-=．（1）写出圆心C 的坐标与半径长；（2）若直线l 过点()0,1P ，试判断与圆C 的位置关系，并说明理由．18．已知圆C ：（x+2）2+y 2＝5，直线l ：mx ﹣y+1+2m ＝0，m ∈R. （1）判断直线与圆的位置关系，并说明理由；（2）若直线l 与圆C 交于,A B 两点，求弦AB 的中点M 的轨迹方程.19．已知圆()()22:1225C x y -+-=和直线()():211740l m x m y m +++--=.（1）证明：不论 m 为何实数，直线l 都与圆 C 相交于两点；（2）求直线被圆 C 截得的弦长最小时直线l 的方程；（3）已知点P （,x y ）在圆C 上，求22x y +的最大值.20．在平面直角坐标系中，直线＝0与圆C 相切，圆心C 的坐标为(1,-1)．（1）求圆C 的方程；（2）设直线y ＝kx+2与圆C 没有公共点，求k 的取值范围；（3）设直线y ＝x+m 与圆C 交于M ，N 两点，且OM ⊥ON ，求m 的值．21．已知圆C ：2240x y mx ny ++++=关于直线10x y ++=对称，圆心C 在第四象限，半径为1.（1）求圆C 的标准方程；（2）是否存在直线与圆C 相切，且在x 轴，y 轴上的截距相等？若存在，求出该直线的方程；若不存在，说明理由.22．平面直角坐标系xOy 中，已知点()2,4P ，圆22:4O x y +=与x 轴的正半轴的交于点Q ．（1）若过点P 的直线1l 与圆O 相切，求直线1l 的方程；（2）若过点P 的直线2l 与圆O 交于不同的两点A ，B ． ①设线段AB 的中点为M ，求点M 纵坐标的最小值；②设直线QA ，QB 的斜率分别是1k ，2k ，问：12k k +是否为定值，若是，则求出定值，若不是，请说明理由．答案解析第I 卷（选择题）一、单选题（每题只有一个选项为正确答案，每题5分，共40分） 1．已知直线1l ：2y x =-，2l ：y kx =，若12//l l ，则实数k =（） A ．－2 B ．－1 C ．0 D ．1 【答案】D【解析】已知直线1l ：2y x =-，2l ：y kx =，因为12//l l ，所以1k =故选：D2．直线()()1:2140l a x a y -+++=与()2:190l a x ay ++-=互相垂直，则a 的值是（）. A ．-0.25 B ．1 C ．-1 D ．1或-1 【答案】D【解析】当10a +=时，1a =-，此时14:3l x =，2:9l y =-，显然两直线垂直，当0a =时，此时1:240l x y -++=，2:9l x =，显然两直线不垂直，当10a +≠且0a ≠时，因为12l l ⊥，所以()()()2110a a a a -+++=，解得：1a =，综上可知：1a =或1-.故选D.3．直线:l (1)230m x my m ---+=（m R ∈）过定点A ，则点A 的坐标为（） A ．(3,1)- B ．(3,1) C ．(3,1)- D ．(3,1)-- 【答案】B【解析】根据直线(1)230m x my m ---+=得()230m x y x ---+=，故直线过定点为直线20x y --=和30x -+=的交点，联立方程得2030x y x --=⎧⎨-+=⎩，解得31x y =⎧⎨=⎩ ，所以定点A 的坐标为()3,1A .故选：B.4．设a R ∈，则“a=1”是“直线ax+y-1=0与直线x+ay+1=0平行”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件, 【答案】C【解析】若直线ax+y-1=0与直线x+ay+1=0平行，则21a =,且11a-≠解得1a =故选C5．若曲线y 与直线y ＝k （x ﹣2）+4有两个交点，则实数k 的取值范围是（） A ．3,14⎛⎤⎥⎝⎦ B ．3,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．（1，+∞）D ．（1，3] 【答案】A【解析】作出曲线y 的图像，直线y ＝k （x ﹣2）+4恒过定点()2,4，当直线与曲线相切时，原点到直线240kx y k --+=的距离等于22=，解得34k =，由图可知， ()3401422k -<≤=--，故选：A 6．已知直线x y t +=与圆()2222x y t tt R +=-∈有公共点，则()4t t -的最大值为（） A ．4 B ．289 C ．329D ．327【答案】C【解析】因为()2222x y t tt R +=-∈表示圆，所以220->t t ，解得02t <<，因为直线x y t +=与圆()2222x y t tt R +=-∈有公共点，所以圆心到直线的距离d r ≤，即≤403t ≤≤，此时403t ≤≤，因为()()()224424=-=-+=--+f t t t t t t ，在40,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦递增，所以()4t t -的最大值34329⎛⎫= ⎪⎝⎭f . 故选：C7．若两平行直线20,(0)x y m m ++=>与30x ny --=则m+n ＝（） A ．0 B ．1 C ．1- D ．2- 【答案】A【解析】由直线20,(0)x y m m ++=>与30x ny --=平行可得2n -=即2n =-，则直线20,(0)x y m m ++=>与230x y +-=，=2m =或8m =-（舍去），所以()220m n +=+-=.故选：A.8．过直线y ＝x 上的一点作圆22(5)(1)2x y -+-=的两条切线l 1，l 2，当直线l 1，l 2关于y ＝x 对称时，它们之间的夹角为（）A ．30°B ．45°C ．60°D ．90° 【答案】C【解析】如图所示，过圆心C 作CP 垂直直线y x =于点P ，直线,PA PB 分别与圆:C 22(5)(1)2x y -+-=相切，切点分别为,A B ，根据几何知识可知，直线12,l l 也关于直线CP对称，所以直线12,l l 的夹角为APB ∠（或其补角）．在Rt CBP 中，BC =CP ==所以1sin 2BPC ∠=，而BPC ∠为锐角，即有30BPC ∠=，60APB ∠=．故选：C ．二、多选题（每题不止有一个选项为正确答案，每题5分，共20分）9．圆221:20x y x O +-=和圆222:240O x y x y ++-=的交点为A ，B ，则有（）A ．公共弦AB 所在直线方程为0x y -= B ．线段AB 中垂线方程为10x y +-=C ．公共弦AB 的长为2D ．P 为圆1O 上一动点，则P 到直线AB 1+ 【答案】ABD【解析】对于A ，由圆221:20x y x O +-=与圆222:240O x y x y ++-=的交点为A ，B ，两式作差可得440x y -=，即公共弦AB 所在直线方程为0x y -=，故A 正确；对于B ，圆221:20x y x O +-=的圆心为()1,0，1AB k =，则线段AB 中垂线斜率为1-，即线段AB 中垂线方程为：()011y x -=-⨯-，整理可得10x y +-=，故B 正确；对于C ，圆221:20x y x O +-=，圆心1O ()1,0到0x y -=的距离为2d ==，半径1r =所以AB ==C 不正确；对于D ，P 为圆1O 上一动点，圆心1O ()1,0到0x y-=的距离为2d =，半径1r =，即P到直线AB 1+，故D 正确.故选：ABD10．已知直线12:10,:(2)330l x my l m x y +-=-++=，则下列说法正确的是（）A ．若12l l //，则m=-1或m=3B ．若12l l //，则m=3C ．若12l l ⊥，则12m =-D ．若12l l ⊥，则12m = 【答案】BD【解析】直线12l l //，则3(2)0m m --=，解得3m =或1m =-，但1m =-时，两直线方程分别为10x y --=，3330x y -++=即30x y --=，两直线重合，只有3m =时两直线平行，A 错，B 正确；12l l ⊥，则230m m -+=，12m =，C 错，D 正确．故选：BD ．11．已知直线l 与圆22:240C x y x y a ++-+=相交于,A B 两点，弦AB 的中点为()0,1M ，则实数a 的取值可为（）A ．1B ．2C ．3D ．4 【答案】AB【解析】圆C 的标准方程为：()()22125x y a ++-=-，故5a <.又因为弦AB 的中点为()0,1M ，故M 点在圆内，所以()()2201125a ++-<-即3a <. 综上，3a <. 故选：AB.12．下列说法正确的是（）A ．直线32()y ax a a R =-+∈必过定点(3,2)B ．直线32y x =-在y 轴上的截距为2-C 10y ++=的倾斜角为60°D ．过点(1,2)-且垂直于直线230x y -+=的直线方程为20x y += 【答案】ABD【解析】32()y ax a a R =-+∈可化为()23y a x -=-，则直线32()y ax a a R =-+∈必过定点(3,2)，故A 正确；令0x =，则2y =-，即直线32y x =-在y 轴上的截距为2-，故B 正确；10y ++=可化为1y =-，则该直线的斜率为，即倾斜角为120︒，故C 错误；设过点(1,2)-且垂直于直线230x y -+=的直线的斜率为k 因为直线230x y -+=的斜率为12，所以112k ⋅=-，解得2k =- 则过点(1,2)-且垂直于直线230x y -+=的直线的方程为22(1)y x -=-+，即20x y +=，故D 正确；故选：ABD第II 卷（非选择题）三、填空题(每题5分，共20分）13．圆C 的圆心为(21),-，且圆C 与直线3450x y --=相切，则圆C 的方程为_______.【答案】22(2)(1)1x y -++=【解析】圆C 的圆心为(2,1)-，与直线:3450l x y --=相切，圆心到直线的距离等于半径，即1r d ===，∴圆C 的方程为22(2)(1)1x y -++=．故答案为：22(2)(1)1x y -++=．14．经过点P （2，1）作直线l 分别交x 轴、y 轴的正半轴于A 、B 两点，当△AOB 面积最小时，直线l 的方程为_____. 【答案】x+2y ﹣4＝0；【解析】由题意可知，直线的斜率一定存在，故设直线方程y ﹣1＝k （x ﹣2），k ＜0，令x ＝0可得，y ＝1﹣2k ，令y ＝0可得x ＝2﹣1k，则11121222AOBSOA OB k k =⋅=⨯--＝()1114444422k k ⎛⎫--+≥+= ⎪⎝⎭，当且仅当﹣4k ＝﹣1k即k ＝﹣12时取等号，此时直线方程y ﹣1＝﹣12（x ﹣2）,即x+2y ﹣4＝0．故答案为：x+2y ﹣4＝0．15．在圆22420x y x y +-+=内，过点1,0（）M 的最短弦的弦长为_____；【答案】【解析】圆22420x y x y +-+=化简得：()()22215x y -++=，点M 在圆内部，记圆心为()2,1C -，根据几何性质知过M 且与OM 垂直的弦最短，CM =由垂径定理得弦长为==故答案为：16．圆()()221:29C x m y -++=与圆()()222:14C x y m ++-=内切，则m 的值为______.【答案】2-或1-【解析】圆1C 的圆心为(),2m -，半径为13r =，圆2C 的圆心为()1,m -，半径为22r =，所以两圆的圆心距d =，1=，解得2m =-或1m =-.故答案为：2-或1-.四、解答题（17题10分，其余12分，共70分）17．已知圆C 的方程为()()22215x y -+-=．（1）写出圆心C 的坐标与半径长；（2）若直线l 过点()0,1P ，试判断与圆C 的位置关系，并说明理由．【答案】（1）圆心C 的坐标为()2,1，半径长r =（2）相交，理由见解析．【解析】（1）圆心C 的坐标为()2,1，半径长r =（2）当直线l 垂直于x 轴时，直线方程为0x =，与圆有2个交点；当直线l 不垂直于x 轴时，设直线l 的方程为1y kx =+，将1y kx =+代入()()22215x y -+-=整理，得()221410kx x +--=，因为210k +≠，且()216410k∆=++>恒成立，所以直线l 与圆C 相交．综上所述，直线l 与圆C 相交．18．已知圆C ：（x+2）2+y 2＝5，直线l ：mx ﹣y+1+2m ＝0，m ∈R.（1）判断直线与圆的位置关系，并说明理由；（2）若直线l 与圆C 交于,A B 两点，求弦AB 的中点M 的轨迹方程. 【答案】（1）相交，理由见解析；（2）()2211224x y ⎛⎫++-= ⎪⎝⎭ 【解析】（1）直线l ：120mx y m -++=，也即()12y m x -=+，故直线恒过定点()2,1-，又()222215-++<，故点()2,1-在圆C 内，此时直线l 一定与圆C 相交.（2）设点(),M x y ，当直线AB 斜率存在时，12AB y k x -=+，又2MC y k x =+，1AB MC k k ⨯=-，即1122y y x x -⨯=-++，化简可得：()()22112,224x y x ⎛⎫++-=≠- ⎪⎝⎭；当直线AB 斜率不存在时，显然中点M 的坐标为()2,1-也满足上述方程.故M 点的轨迹方程为：()2211224x y ⎛⎫++-= ⎪⎝⎭. 19．已知圆()()22:1225C x y -+-=和直线()():211740l m x m y m +++--=. （1）证明：不论 m 为何实数，直线l 都与圆 C 相交于两点；（2）求直线被圆 C 截得的弦长最小时直线l 的方程；（3）已知点P （ ,x y ）在圆C 上，求22x y +的最大值.【答案】（1）证明见解析；（2）250x y --=；（3）30+【解析】（1）因为()():211740l m x m y m +++--=所以()()2740x y m x y +-++-=令27040x y x y +-=⎧⎨+-=⎩解得31x y =⎧⎨=⎩ 所以直线l 过定点()3,1.而()()22311225-+-<，即点()3,1在圆内部. 所以直线l 与恒交于两点.（2）.过圆心()1,2与点()3,1的直线1l 的方程为1522y x =-+，被圆 C 截得的弦长最小时，直线l 必与直线1l 垂直，所以直线l 的斜率2k =，所以直线l 的方程为()123y x -=-，即250x y --=.（3）因为2222(0)(0)x y x y +-+-=，表示圆上的点(),x y 到()0,0的距离的平方，因为圆心到原点的距离d ==所以2a 2m x 2)(530(+==+x y 20．在平面直角坐标系中，直线＝0与圆C 相切，圆心C 的坐标为(1,-1)．（1）求圆C 的方程；（2）设直线y ＝kx+2与圆C 没有公共点，求k 的取值范围；（3）设直线y ＝x+m 与圆C 交于M ，N 两点，且OM ⊥ON ，求m 的值．【答案】（1）22()(11)9x y -++=；（2）30,4⎛⎫ ⎪⎝⎭；（3）1m =-±【解析】（1）∵直线0x y ++=与圆C 相切，且圆心C 的坐标为(1,1)-，∴圆C的半径3r ==，则圆C 的方程为22()(11)9x y -++=；（2）∵直线y ＝kx+2与圆C 没有公共点，∴点(1,1)C -3>，解得304k <<， ∴k 的取值范围为30,4⎛⎫ ⎪⎝⎭；（3）联立22(1)(1)9y x m x y =+⎧⎨-++=⎩，得2222270x mx m m +++-=，由()2248270m m m ∆=-+->，解得22m --<<-+设()()1122,,,M x y N x y ，则2121227,2m m x x m x x +-+=-=， ∵OM ON ⊥，∴12120OM ON x x y y ⋅=+=，即()()()21212121220x x x m x m x x m x x m +++=+++=，∴2270m m +-=，解得1m =-±∴1m =-±21．已知圆C ：2240x y mx ny ++++=关于直线10x y ++=对称，圆心C 在第四象限，半径为1.（1）求圆C 的标准方程；（2）是否存在直线与圆C 相切，且在x 轴，y 轴上的截距相等？若存在，求出该直线的方程；若不存在，说明理由.【答案】（1）()()22121x y -++=；（2）存在，34y x =-或1y x =--±【解析】（1）将圆C 化为标准方程，得222216()()224m n m n x y +-+++= ∴ 圆心C （,22m n --），半径r =由已知得10222412m n m n ⎧--+=⎪=-⎧⎪⇒⎨=⎩=⎩或42m n =⎧⎨=-⎩ 又C 在第四象限， ∴()1,2C -∴圆C 的标准方程为22(1)(2)1x y -++=（2）当直线过原点时，l 斜率存在，则设:l y kx =314k =⇒=- 此时直线方程为34y x =-；当直线不过原点时，设:0l x y t +-=1= 解得1t =-10x y +++=或10x y ++= 综上，所求直线的方程为：34y x =-或1y x =--±22．平面直角坐标系xOy 中，已知点()2,4P ，圆22:4O x y +=与x 轴的正半轴的交于点Q ．（1）若过点P 的直线1l 与圆O 相切，求直线1l 的方程；（2）若过点P 的直线2l 与圆O 交于不同的两点A ，B ．①设线段AB 的中点为M ，求点M 纵坐标的最小值；②设直线QA ，QB 的斜率分别是1k ，2k ，问：12k k +是否为定值，若是，则求出定值，若不是，请说明理由．【答案】（1）2x =和34100x y -+=；（2）①2 ②是定值，1-．【解析】（1）圆22:4O x y +=的圆心为()0,0，半径为2，若过点()2,4P 直线1l 垂直于x 轴，则方程为2x =，与圆相切，符合题意；若过点()2,4P 直线1l 不垂直于x 轴，设直线1l 的斜率与k ，则直线1l 方程为()42y k x -=-，即240kx y k --+=，因为直线1l 与圆22:4O x y +=相切，所以圆心到直线1l的距离2d ==，解得34k =，所以切线方程为34100x y -+=；综上得：切线1l 的方程为2x =和34100x y -+=；（2）①设点(),M x y ，因为M 为弦AB 中点，所以MO MP ⊥，又因为(),OM x y =，()2,4PM x y =--，所以由OM PM ⊥得(2)(4)0x x y y -+-=化简得22240x y x y +--=．联立22224240x y x y x y ⎧+=⎨+--=⎩得20x y =⎧⎨=⎩或6585x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩；又因为点M 在圆22:4O x y +=内部，所以点M 的轨迹是圆22240x y x y +--=中以点68,55⎛⎫- ⎪⎝⎭和()2,0为端点的一段劣弧（不包括端点），由22240x y x y +--=即()()22125x y -+-=，令1x =得2y =±根据点(1,2在22:4O x y +=内部，所以点M纵坐标的最小值是2-； ②由题意点()2,0Q ,联立224(2)4y k x x y -=-⎧⎨+=⎩得()22214(2)(24)40k x k k x k +--+--=，设()()1122,,,A x y B x y ，则12221224(2)1(24)410k k x x k k x x k -⎧+=⎪+⎪--⎪=⎨+⎪∆>⎪⎪⎩，所以()()121212121224242222k x k x y k k x x x y x -+-++=+=+---- ()()121212214444222224x x k k x x x x x x +-=++=+---++ 22224(2)444(84)1221(24)44(2)162411k k k k k k k k k k k -⎡⎤⋅-⎢⎥++⎣⎦=+=-=-----⋅+++．所以12k k +是定值，定值为1-．《第二章直线和圆的方程》单元检测试卷（二）一、单选题1．直线：的倾斜角为（）A ．B ．C ．D ．2．圆心为，且过原点的圆的方程是（）A ．B ．C ．D ．3．如果直线(2a+5)x+(a －2)y+4=0与直线(2－a)x+(a+3)y －1=0互相垂直，则a 的值等于（）A ．2B ．－2C ．2,－2D ．2,0,－24．圆与直线的位置关系( )A ．相切B ．相离C ．相交D ．不能确定5．从点向圆引切线，则切线长的最小值( )A ．．5 C．6．已知直线在两坐标轴上的截距相等，则实数A ．1B ．C ．或1D ．2或17．若点为圆的弦的中点，则弦所在直线的方程为( )A ．B ．C ．D ．8．过点且倾斜角为的直线被圆所截得的弦长为（） A．1 C．9．已知直线和以，为端点的线段相交，则实数k 的取值范围为（）A ．B ． x y +-0=30︒45︒60︒135︒()2,2()()22228x y -+-=()()22222x y -+-=()()22228x y +++=()()22222x y +++=22(1)5x y +-=120mx y m -+-=(,3)P m 22(2)(2)1x y +++=420ax y a +-+=(a =)1-2-(1,1)P 2240x y x +-=AB AB 20x y +-=0x y -=20x y -+=22(1)5x y +-=()1,030()2221x y -+=20kx y -+=()3,2M -()2,5N 32k ≤32k ≥C ．D ．或 10．已知圆，圆，、分别是圆、上动点，是轴上动点，则的最大值是( )A ． BC ．二、多选题11．在同一直角坐标系中，直线与圆的位置不可能是（） A ． B ． C ．D ． 12．已知点是直线上一定点，点、是圆上的动点，若的最大值为，则点的坐标可以是（）A ．B ．C ．D ． 13．瑞士数学家欧拉（LeonhardEuler ）1765年在其所著的《三角形的几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线.已知的顶点，，其欧拉线方程为，则顶点的坐标可以是（）A ．B ．C ．D ．三、填空题14．直线过定点______；若与直线平行，则______.15．已知以为圆心的圆与圆相内切，则圆C 的方程是______． 16．圆关于直线的对称圆的标准方程为__________．17．已知、为正实数，直线截圆所得的弦长为，则的最大值为__________． 4332k -≤≤43k ≤-32k ≥()()221:231C x y -+-=()()222:349C x y -+-=M N 1C 2C P x PN PM -4+42y ax a =+222()x a y a ++=A :0l x y +=P Q 221x y +=PAQ ∠90A (()1))1,1ABC ∆()4,0-A ()0,4B 20x y -+=C ()2,0()0,2()2,0-()0,2-()1:20l m x y m +--=()m R ∈1l 2:310l x my --=m =()4,3C -22:1O x y +=22230x y y ++-=10x y +-=a b 10x y ++=()()224x a y b -+-=ab四、解答题18．求圆上与直线的距离最小的点的坐标. 19．已知直线过点.（1）若原点到直线的距离为，求直线的方程；（2）当原点到直线的距离最大时，求直线的方程.20．在中，，边上的高所在的直线方程为，边上中线所在的直线方程为.（1）求点坐标；（2）求直线的方程.21．如图，圆，点为直线上一动点，过点引圆的两条切线，切点分别为（1）求证：直线恒过定点，并求出该定点的坐标；（2）若两条切线于轴分别交于两点，求面积的最小值．224x y +=43120x y +-=l (2,1)P -O l 2l O l l ABC ∆(1,2)A -AC BE 74460x y +-=AB CM 211540x y -+=C BC 22:(2)1C x y -+=P :4l x =P C ,AB AB Q ,PA PB y ,M N QMN22．已知点，，直线：，设圆的半径为，圆心在直线上．（1）若圆心也在直线上，过点作圆的切线，求切线的方程；（2）若圆上存在点，使，为坐标原点，求圆心的横坐标的取值范围．23.已知点，点在圆上运动. （1）求过点且被圆截得的弦长为（2）求的最值.答案解析一、单选题1．直线：的倾斜角为（）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】直线的斜率，设直线的倾斜角为，则，所以.故选：D.2．圆心为，且过原点的圆的方程是（）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】根据题意. (4,4)A (0,3)B l 1y x =-C 1C l C 37y x =-A C C M 2MB MO =O C a (2,2),(2,6),(4,2)A B C ----P 22:4E x y +=C E 222||||||PA PB PC ++x y +-0=30︒45︒60︒135︒0x y +-=1k =-0x y +-=1(080)a a ︒≤<︒tan 1α=-135α=︒()2,2()()22228x y -+-=()()22222x y -+-=()()22228x y +++=()()22222x y +++=r ==()()22228x y -+-=故选：.3．如果直线(2a+5)x+(a －2)y+4=0与直线(2－a)x+(a+3)y －1=0互相垂直，则a 的值等于（）A ．2B ．－2C ．2,－2D ．2,0,－2【答案】C【解析】(2a ＋5)(2－a)＋(a －2)(a ＋3)＝0，所以a ＝2或a ＝－2.4．圆与直线的位置关系( )A ．相切B ．相离C ．相交D ．不能确定【答案】C【解析】直线即即直线过点,把点代入圆的方程有,所以点在圆的内部,过点的直线一定和圆相交.故选:C.5．从点向圆引切线，则切线长的最小值( )A ．．5 C．【答案】A【解析】设切线长为,则,故选:A.6．已知直线在两坐标轴上的截距相等，则实数 )A ．1B ．C ．或1D ．2或1【答案】D【解析】由题意，当，即时，直线化为，此时直线在两坐标轴上的截距都为0，满足题意； A 22(1)5x y +-=120mx y m -+-=120mx y m -+-=()12y m x -=-()21，()21，405+<()21，()21，(,3)P m 22(2)(2)1x y +++=4d 2222(2)51(2)24d m m =++-=++min d ∴=20ax y a +-+=(a =1-2-2a 0-+=a 2=ax y 2a 0+-+=2x y 0+=当，即时，直线化为，由直线在两坐标轴上的截距相等，可得，解得；综上所述，实数或．故选：D ．7．若点为圆的弦的中点，则弦所在直线的方程为( ) A ． B ．C ．D ．【答案】B【解析】化为标准方程为.∵为圆的弦的中点,∴圆心与点确定的直线斜率为,∴弦所在直线的斜率为1，∴弦所在直线的方程为,即.故选:B.8．过点且倾斜角为的直线被圆所截得的弦长为（）A ．B ．1 C．【答案】C【解析】根据题意，设过点且倾斜角为的直线为 ,其方程为,即,变形可得，圆的圆心为，半径 ,2a 0-+≠a 2≠ax y 2a 0+-+=122x y a a a+=--2a 2a a-=-a 1=a 2=a 1=(1,1)P 2240x y x +-=AB AB 20x y +-=0x y -=20x y -+=22(1)5x y +-=2240x y x +-=()22-24x y +=()1,1P ()22-24x y +=AB P 01121k -==--AB AB 11y x -=-0x y -=()1,030()2221x y -+=2()1,030l ()tan301y x =-)13y x =-10x -=()2221x y -+=()2,01r =设直线与圆交于点,圆心到直线的距离, 则C. 9．已知直线和以，为端点的线段相交，则实数k 的取值范围为（）A ．B ．C ．D ．或【答案】C【解析】因为直线恒过定点，又因为，，所以直线的斜率k 的范围为．故选：C ． 10．已知圆，圆，、分别是圆、l AB 12d ==2AB ==20kx y -+=()3,2M -()2,5N 32k ≤32k ≥4332k -≤≤43k ≤-32k ≥20kx y -+=()0,2A 43AM k =-32AN k =4332k -≤≤()()221:231C x y -+-=()()222:349C x y -+-=M N 1C上动点，是轴上动点，则的最大值是( )A ． BC ．【答案】D【解析】如下图所示：圆的圆心，半径为，圆的圆心，半径为，，由圆的几何性质可得，，，当且仅当、、三点共线时，.故选：D.二、多选题11．在同一直角坐标系中，直线与圆的位置不可能是（）A ．B ．C ．D ． 2C P x PN PM -4+41C ()12,3C 11r =2C ()23,4C 23r =12C C ==2223PN PC r PC ≤+=+1111PM PC r PC ≥-=-2112444PN PM PC PC C C -≤-+≤+=1C P 2C PN PM -42y ax a =+222()x a y a ++=【答案】ABD【解析】直线经过圆的圆心，且斜率为. 故选项满足题意.故选：.12．已知点是直线上一定点，点、是圆上的动点，若的最大值为，则点的坐标可以是（）A ．B ．C ．D ．【答案】AC【解析】如下图所示：原点到直线的距离为，则直线与圆相切，由图可知，当、均为圆的切线时，取得最大值，连接、，由于的最大值为，且，，则四边形为正方形，所以由两点间的距离公式得整理得，解得，因此，点的坐标为或. 故选：AC. 2y ax a =+222()x a y a ++=(),0a -a ,,A B D ABD A :0l x y +=P Q 221x y +=PAQ ∠90A (()1))1,1l 1d ==l 221x y +=AP AQ 221x y +=PAQ ∠OP OQ PAQ ∠9090APO AQO ∠=∠=1OP OQ ==APOQ OA ==OA ==220t -=0t =A ()13．瑞士数学家欧拉（LeonhardEuler ）1765年在其所著的《三角形的几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线.已知的顶点，，其欧拉线方程为，则顶点的坐标可以是（）A ．B ．C ．D ．【答案】AD【解析】设的垂直平分线为，的外心为欧拉线方程为与直线的交点为，，①由，，重心为，代入欧拉线方程，得，②由 ①②可得或 .故选:AD三、填空题14．直线过定点______；若与直线平行，则______.【答案】【解析】(1),故. 即定点为(2) 若与直线平行,则,故或.当时与直线重合不满足.故. ABC ∆()4,0-A ()0,4B 20x y -+=C ()2,0()0,2()2,0-()0,2-(,),C x y AB y x =-ABC ∆20x y -+=y x =-(1,1)M-22||||(1)(1)10MC MA x y ∴==∴++-=()4,0A -()0,4B ABC ∆44(,)33x y -+20x y -+=20x y --=2,0x y ==0,2x y ==-()1:20l m x y m +--=()m R ∈1l 2:310l x my --=m =()1,23-()1:20(1)20l m x y m m x x y +--=⇒-+-=101202x x x y y -==⎧⎧⇒⎨⎨-==⎩⎩()1,21l 2:310l x my --=()()()()()2310130m m m m +---=⇒-+=1m =3m =-1m =1l 2l 3m =-故答案为：(1) ; (2)15．已知以为圆心的圆与圆相内切，则圆C 的方程是______．【答案】(x －4)2＋(y ＋3)2＝36.【解析】，设所求圆的半径为，由两圆内切的充分必要条件可得：，据此可得：，圆C 的方程是(x －4)2＋(y ＋3)2＝36.16．圆关于直线的对称圆的标准方程为________．【答案】【解析】，圆心为，半径为，设圆心关于直线的对称点为，对称圆的标准方程为.故答案为：.17．已知、为正实数，直线截圆所得的弦长为，则的最大值为__________．【答案】【解析】因为直线截圆所得的弦长为,且圆的半径为2. 故圆心到直线的距离()1,23-()4,3C -22:1O x y +=5=()0r r >15r -=6r =22230x y y ++-=10x y +-=22(2)(1)4x y -+-=2222230(41)x y y x y ++-=⇒+=+∴(0,1)-210x y +-=(,)x y ∴1(1)1,2,1.110,22y x x y x y +⎧⨯-=-⎪=⎧⎪⇒⎨⎨=-⎩⎪+-=⎪⎩∴22(2)(1)4x y -+-=22(2)(1)4x y -+-=a b 10x y ++=()()224x a y b -+-=ab 1410x y ++=()()224x a y b -+-=(),a b d ==,因为、为正实数,故,所以. 当且仅当时取等号. 故答案为：四、解答题18．求圆上与直线的距离最小的点的坐标. 【答案】【解析】过圆心且与直线垂直的直线方程为，联立圆方程得交点坐标为，，又因为与直线的距离最小，所以. 19．已知直线过点.（1）若原点到直线的距离为，求直线的方程；（2）当原点到直线的距离最大时，求直线的方程.【答案】（1）或；（2）=a b 1a b +=2124a b ab +⎛⎫≤= ⎪⎝⎭12a b ==14224x y +=43120x y +-=86,55P ⎛⎫ ⎪⎝⎭43120x y +-=340x y -=224340x y x y ⎧+=⎨-=⎩86,55⎛⎫ ⎪⎝⎭86,55⎛⎫-- ⎪⎝⎭43120x y +-=86,55P ⎛⎫ ⎪⎝⎭l (2,1)P -O l 2l O l l 20x -=34100x y --=250.x y --=【解析】（1）①当直线的斜率不存在时，方程符合题意；②当直线的斜率存在时，设斜率为，则方程为，即，解得，则直线的方程为故直线的方程为或（2）当原点到直线的距离最大时，直线因为，所以直线的斜率所以其方程为，即20．在中，，边上的高所在的直线方程为，边上中线所在的直线方程为.（1）求点坐标；（2）求直线的方程.【答案】（1）（2）【解析】（1）边上的高为，故的斜率为，所以的方程为，即，因为的方程为 l 2x =l k ()12y k x +=-210.kx y k ---=2=34k =l 34100.x y --=l 20x -=34100.x y --=O l .l OP ⊥011022OP k +==--l 2,k =()122y x +=-250.x y --=ABC ∆(1,2)A -AC BE 74460x y +-=AB CM 211540x y -+=C BC ()66C ，2180x y +-=AC 74460x y +-=AC 47AC ()4217y x -=+47180x y -+=CM 211540x y -+=解得所以. （2）设，为中点，则的坐标为，解得，所以，又因为，所以的方程为即的方程为.21．如图，圆，点为直线上一动点，过点引圆的两条切线，切点分别为（1）求证：直线恒过定点，并求出该定点的坐标；（2）若两条切线于轴分别交于两点，求面积的最小值．【答案】（1）见解析，（2【解析】（1）设，则以为直径的圆的方程：21154047180x y x y -+=⎧⎨-+=⎩，，66x y =⎧⎨=⎩()66C ，()00,B x y M AB M 0012,22x y -+⎛⎫ ⎪⎝⎭0000122115402274460x y x y -+⎧-+=⎪⎨⎪+-=⎩0028x y =⎧⎨=⎩()2,8B ()6,6C BC ()866626y x --=--BC 2180x y +-=22:(2)1C x y -+=P :4l x =P C ,A B AB Q ,PA PB y ,M N QMN 5,02Q ⎛⎫⎪⎝⎭(4,)P t CP，与圆，两式相减得：，所以直线恒过定点. （2）设直线与的斜率分别为，与圆，即．所以，，所以面积的最小值为22．已知点，，直线：，设圆的半径为，圆心在直线上．（1）若圆心也在直线上，过点作圆的切线，求切线的方程；（2）若圆上存在点，使，为坐标原点，求圆心的横坐标的取值范围．【答案】（1）或.（2）或.【解析】()22232t x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭⎪⎝⎭22:(2)1C x y -+=:2(2)1AB l x ty -+=5,02Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭AP BP 12,k k (4)y t kx -=-C1=223410k tk t -+-=2121241,33-+=⋅=t t k k k k 14M y t k =-24N y t k =-12||44=-==≥MN k k ()min 152323MNQ S ∆=⨯⨯=3(4,4)A (0,3)B l 1y x =-C 1C l C 37y x =-A C C M 2MB MO =O C a 4x =3440x y -+=22a -≤≤-22a ≤≤(1)由得：，所以圆C ：..当切线的斜率存在时,设切线方程为，由，解得：当切线的斜率不存在时，即也满足所以切线方程为：或. (2)由圆心在直线l ：上，设设点，由化简得：，所以点M 在以为圆心，2为半径的圆上. 又点M 在圆C 上，所以圆C 与圆D 有交点，则即，解得：或. 23.已知点，点在圆上运动. （1）求过点且被圆截得的弦长为（2）求的最值.【答案】(1)或;(2)最大值为88,最小值为72. 【解析】(1)依题意,直线的斜率存在,因为过点且被圆截得的弦长为所以圆心到直线的,设直线方程为,即,解得或所以直线方程为或.(2)设点坐标为则.137y x y x =-⎧⎨=-⎩()3,2C 22(3)(2)1x y -+-=4(4)y k x -=-1d ==34k =4x =4x =3440x y -+=C 1y x =-(,1)C a a -(,)M x y ||2||MB MO ==22(1)4x y ++=(0,1)D -1||3CD ≤≤13≤22a -≤≤-22a ≤≤(2,2),(2,6),(4,2)A B C ----P 22:4E x y +=C E 222||||||PA PB PC ++7100x y ++=20x y +-=C E 2(4)y k x +=-420kx y k ---==17k =-1k =-7100x y ++=20x y +-=P (),x y 224x y +=222222222||||||(2)(2)(2)(6)(4)(2)PA PB PC x y x y x y ++=++++++-+-++()223468804x y y y =+-+=-因为,所以,即的最大值为88,最小值为72.《第二章直线和圆的方程》单元检测试卷（三）一、选择题1．圆心为()1,1且过原点的圆的方程是（）A ．()()22111x y -+-=B ．()()22111x y +++= C ．()()22112x y +++= D ．()()22112x y -+-=2．经过圆2220x x y ++=的圆心C ，且与直线0x y +=垂直的直线方程是（）A ．x ＋y ＋1＝0B ．x ＋y －1＝0C ．x －y ＋1＝0D ．x －y －1＝0 3．平行于直线2x+y+1=0且与圆x 2+y 2=5相切的直线的方程是（） A ．2x+y+5=0或2x+y ﹣5=0 B ．2x+y+=0或2x+y ﹣=0C ．2x ﹣y+5=0或2x ﹣y ﹣5=0D ．2x ﹣y+=0或2x ﹣y ﹣=04．直线:1l y kx =+与圆22:1O x y +=相交于,A B 两点，则"1"k =是“OAB ∆的面积为12”的（） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分又不必要条件 5．（多选题）下列说法中正确的是（） A ．若两条直线互相平行，那么它们的斜率相等B ．方程()()()()211211x x y y y y x x --=--能表示平面内的任何直线C ．圆22240x y x y ++-=的圆心为()1,2-D ．若直线()2320t x y t -++=不经过第二象限，则t 的取值范围是30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦6．（多选题）已知圆O ：224x y +=和圆M ：224240x y x y +-++=相交于A 、B 两22y -≤≤7280488y ≤-≤222||||||PA PB PC ++点，下列说法正确的是（） A ．两圆有两条公切线B ．直线AB 的方程为24y x =+C ．线段ABD ．所有过点A 、B 的圆系的方程可以记为()()()222244240,1xy x y x y R λλλ+-++-++=∈≠-二、填空题7.圆2228130x y x y +--+=的圆心到直线10ax y +-=的距离为1，则a = . 8．如图，已知圆C 与x 轴相切于点，与y 轴正半轴交于两点A ，B （B 在A 的上方），且2AB =．（Ⅰ）圆C 的标准方程为_________；（Ⅱ）圆C 在点B 处的切线在x 轴上的截距为_________．9．若⊙221:5O x y +=与⊙222:()20()O x m y m R -+=∈相交于A 、B 两点，且两圆在点A 处的切线互相垂直，则线段AB 的长度是．10．已知,AC BD 为圆O ：224x y +=的两条互相垂直的弦，且垂足为M ，则四边形ABCD 的面积的最大值为______. 三、解答题11．在平面直角坐标系中，曲线与162+-=x x y 坐标轴的交点都在圆C 上，（1）求圆C 的方程；（2）如果圆C 与直线0=+-a y x 交于A,B 两点，且OB OA ⊥，求a 的值。

直线和圆的方程测试题

直线和圆的方程测试题题目一：直线的方程1. 给定两个点A(2, 3)和B(4, 1)，求过这两个点的直线方程。

解析：首先计算两点的斜率k\[k = \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1} = \frac{1-3}{4-2} = -1\]进一步，我们可以使用点斜式方程:\[y-y_1 = k(x-x_1)\]\[y-3 = -1(x-2)\]\[y-3 = -x+2\]\[x+y = 5\]所以，过点A(2, 3)和B(4, 1)的直线方程为 $x+y = 5$。

题目二：圆的方程2. 以点C(5, 3)为圆心，半径为r = 2的圆，求圆的方程。

解析：对于以点C(x, y)为圆心，半径为r的圆，圆的方程可以表示为：\[(x-x_0)^2 + (y-y_0)^2 = r^2\]将圆心C(5, 3)和半径r=2代入，得到:\[(x-5)^2 + (y-3)^2 = 4\]所以，以点C(5, 3)为圆心，半径为r = 2的圆的方程为 $(x-5)^2 + (y-3)^2 = 4$。

题目三：直线和圆的交点3. 已知直线方程为 $3x-y = 2$，以点D(1, 0)为圆心，半径为r = 1的圆。

求直线和圆的交点坐标。

解析：我们可以使用联立方程的方法来求解直线和圆的交点。

首先，将直线方程转换为一般式方程:\[3x-y-2 = 0\]然后，将直线方程带入圆的方程:\[(x-1)^2 + (y-0)^2 = 1\]通过联立这两个方程，我们可以得到交点的坐标。

将直线方程改写为 $y = 3x-2$，然后代入圆的方程:\[(x-1)^2 + (3x-2-0)^2 = 1\]展开并整理方程，得到二次方程:\[10x^2 - 22x + 11 = 0\]解这个二次方程，可以得到两个解x1和x2:\[x_1 = \frac{11}{10}, \quad x_2 = 1\]将x值代入直线方程，可以得到对应的y值:\[y_1 = 3\left(\frac{11}{10}\right)-2 = \frac{13}{10}, \quad y_2 = 3(1)-2 = 1\]所以，直线 $3x-y = 2$ 和圆 $(x-1)^2 + (y-0)^2 = 1$ 的交点坐标为$\left(\frac{11}{10}, \frac{13}{10}\right)$ 和 (1, 1)。

直线和圆的方程综合能力测试及答案

直线和圆的方程综合能力测试本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。

满分150分。

考试时间120分钟。

第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题(每小题只有一个选项是正确的，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

)1．(2009·湖北荆州质检二)过点P (1,2)，且方向向量v ＝(－1,1)的直线的方程为( )A ．x －y －3＝0B ．x ＋y ＋3＝0C ．x ＋y －3＝0D ．x －y ＋3＝0 答案：C解析：方向向量为v ＝(－1,1)，则直线的斜率为－1，直线方程为y －2＝－(x －1)即x ＋y －3＝0，故选C.2．(2009·重庆市高三联合诊断性考试)将直线l 1：y ＝2x 绕原点逆时针旋转60°得直线l 2，则直线l 2到直线l 3：x ＋2y －3＝0的角为 ( )A ．30°B ．60°C ．120°D ．150° 答案：A解析：记直线l 1的斜率为k 1，直线l 3的斜率为k 3，注意到k 1k 3＝－1，l 1⊥l 3，依题意画出示意图，结合图形分析可知，直线l 2到直线l 3的角是30°，选A.3．(2009·东城3月)设A 、B 为x 轴上两点，点P 的横坐标为2，且|P A |＝|PB |，若直线P A 的方程x －y ＋1＝0，则直线PB 的方程为 ( )A ．2x ＋y －7＝0B ．2x －y －1＝0C ．x －2y ＋4＝0D ．x ＋y －5＝0 答案：D解析：因k P A ＝1，则k PB ＝－1，又A (－1,0)，点P 的横坐标为2，则B (5,0)，直线PB 的方程为x ＋y －5＝0，故选D.4．过两点(－1,1)和(0,3)的直线在x 轴上的截距为 ( )A ．－32 B.32 C ．3 D ．－3答案：A解析：由两点式，得y －31－3＝x －0－1－0，即2x －y ＋3＝0，令y ＝0，得x ＝－32，即在x 轴上的截距为－32.5．直线x ＋a 2y ＋6＝0和(a －2)x ＋3ay ＋2a ＝0无公共点，则a 的值是 ( ) A ．3 B ．0 C ．－1 D ．0或－1 答案：D解析：当a ＝0时，两直线方程分别为x ＋6＝0和x ＝0，显然无公共点；当a ≠0时，－1a 2＝－a －23a，∴a ＝－1或a ＝3.而当a ＝3时，两直线重合，∴a ＝0或－1.6．两直线2x －my ＋4＝0和2mx ＋3y －6＝0的交点在第二象限，则m 的取值范围是( )A ．－32≤m ≤2B ．－32＜m ＜2C ．－32≤m ＜2D ．－32＜m ≤2答案：B解析：由⎩⎪⎨⎪⎧2x －my ＋4＝0，2mx ＋3y －6＝0，解得两直线的交点坐标为(3m －6m 2＋3，4m ＋6m 2＋3)，由交点在第二象限知横坐标为负、纵坐标为正，故3m －6m 2＋3＜0且4m ＋6m 2＋3＞0⇒－32＜m ＜2.7．(2009·福建，9)在平面直角坐标系中，若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≥0，x －1≤0，ax －y ＋1≥0，(a 为常数)所表示的平面区域的面积等于2，则a 的值为( ) A ．－5 B ．1C ．2D ．3答案：D解析：不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≥0，x －1≤0，ax －y ＋1≥0所围成的区域如图所示．∵其面积为2，∴|AC |＝4，∴C 的坐标为(1,4)，代入ax －y ＋1＝0，得a ＝3.故选D. 8．(2009·陕西，4)过原点且倾斜角为60°的直线被圆x 2＋y 2－4y ＝0所截得的弦长为( )A. 3 B ．2 C. 6 D ．2 3 答案：D解析：∵直线的方程为y ＝3x ，圆心为(0,2)，半径r ＝2.由点到直线的距离公式得弦心距等于1，从而所求弦长等于222－12＝2 3.故选D. 9．(2009·西城4月，6)与直线x －y －4＝0和圆x 2＋y 2＋2x －2y ＝0都相切的半径最小的圆的方程是 ( )A ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝2B ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝4 C ．(x －1)2＋(y ＋1)2＝2 D ．(x －1)2＋(y ＋1)＝4 答案：C解析：圆x 2＋y 2＋2x －2y ＝0的圆心为(－1,1)，半径为2，过圆心(－1,1)与直线x －y －4＝0垂直的直线方程为x ＋y ＝0，所求的圆的圆心在此直线上，排除A 、B ，圆心(－1,1)到直线x －y －4＝0的距离为62＝32，则所求的圆的半径为2，故选C.10．(2009·安阳，6)已知直线x ＋y ＝a 与圆x 2＋y 2＝4交于A 、B 两点，且|OA →＋OB →|＝|OA →－OB →|，其中O 为原点，则实数a 的值为 ( )A ．2B ．－2C ．2或－2 D.6或－ 6 答案：C解析：由|OA →＋OB →|＝|OA →－OB →|得|OA →＋OB →|2＝|OA →－OB →|2，OA →·OB →＝0，OA →⊥OB →，三角形AOB 为等腰直角三角形，圆心到直线的距离为2，即|a |2＝2，a ＝±2，故选C.11．(2009·河南实验中学3月)若直线l ：ax ＋by ＝1与圆C ：x 2＋y 2＝1有两个不同交点，则点P (a ，b )与圆C 的位置关系是 ( )A ．点在圆上B ．点在圆内C ．点在圆外D ．不能确定答案：C解析：直线l ：ax ＋by ＝1与圆C ：x 2＋y 2＝1有两个不同交点，则1a 2＋b 2＜1，a 2＋b 2＞1，点P (a ，b )在圆C 外部，故选C.12．(2010·保定市高三摸底考试)从原点向圆x 2＋(y －6)2＝4作两条切线，则这两条切线夹角的大小为 ( )A.π6B.π2 C ．arccos 79 D ．arcsin 229 答案：C解析：如图，sin ∠AOB ＝26＝13，cos ∠BOC ＝cos2∠AOB ＝1－2sin 2∠AOB ＝1－29＝79，∴∠BOC ＝arccos 79，故选C.第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请将答案填在题中的横线上。

《直线和圆的方程》测试卷与答案

《直线和圆的方程》测试卷与答案(时间：120分钟满分：150分)一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分)1．直线x ＋y ＝0的倾斜角为()A ．45°B ．60°C ．90°D ．135°答案D解析因为直线的斜率为－1，所以tan α＝－1，即倾斜角为135°.2．过点(0，－2)且与直线x ＋2y －3＝0垂直的直线方程为()A ．2x －y ＋2＝0B ．x ＋2y ＋2＝0C ．2x －y －2＝0D ．2x ＋y －2＝0答案C解析设该直线方程为2x －y ＋m ＝0，由于点(0，－2)在该直线上，则2×0＋2＋m ＝0，即m ＝－2，即该直线方程为2x －y －2＝0.3．直线3x －4y ＋5＝0关于x 轴对称的直线方程为()A ．3x ＋4y ＋5＝0B ．3x ＋4y －5＝0C ．－3x ＋4y －5＝0D ．－3x ＋4y ＋5＝0答案A解析设所求直线上任意一点(x ，y )，则此点关于x 轴对称的点的坐标为(x ，－y )，因为点(x ，－y )在直线3x －4y ＋5＝0上，所以3x ＋4y ＋5＝0.4．直线x ＋y －1＝0被圆(x ＋1)2＋y 2＝3截得的弦长等于()A.2B ．2C ．22D ．4答案B 解析由题意，得圆心为(－1，0)，半径r ＝3，弦心距d ＝|－1＋0－1|12＋12＝2，所以所求的弦长为2r 2－d 2＝2.5．若点P (1，1)为圆x 2＋y 2－6x ＝0的弦MN 的中点，则弦MN 所在直线的方程为()A ．2x ＋y －3＝0B ．x －2y ＋1＝0C ．x ＋2y －3＝0D ．2x －y －1＝0答案D解析由题意，知圆的标准方程为(x －3)2＋y 2＝9，圆心A (3，0)．因为点P (1，1)为弦MN 的中点，所以AP ⊥MN .又AP 的斜率k ＝1－01－3＝－12，所以直线MN 的斜率为2，所以弦MN 所在直线的方程为y －1＝2(x －1)，即2x －y －1＝0.6．已知直线x －2y ＋m ＝0(m >0)与直线x ＋ny －3＝0互相平行，且它们间的距离是5，则m ＋n 等于()A ．0B ．1C ．－1D ．2答案A解析由题意，所给两条直线平行，所以n ＝－2.由两条平行直线间的距离公式，得d ＝|m ＋3|12＋(－2)2＝|m ＋3|5＝5，解得m ＝2或m ＝－8(舍去)，则m ＋n ＝0.7．若动点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)分别在直线l 1：x ＋y －7＝0和l 2：x ＋y －5＝0上移动，则线段AB 的中点M 到原点的距离的最小值为()A ．23B ．33C ．32D ．42答案C解析由题意，知M 点的轨迹为平行于直线l 1，l 2且到l 1，l 2距离相等的直线l ，故其方程为x ＋y －6＝0，所以M 到原点的距离的最小值为d ＝62＝3 2.8．已知圆C 1：(x －2)2＋(y －3)2＝1，圆C 2：(x －3)2＋(y －4)2＝9，M ，N 分别是圆C 1，C 2上的动点，P 为x 轴上的动点，则|PM |＋|PN |的最小值为()A ．52－4 B.17－1C ．6－22 D.17答案A解析由题意知，圆C 1：(x －2)2＋(y －3)2＝1，圆C 2：(x －3)2＋(y －4)2＝9的圆心分别为C 1(2，3)，C 2(3，4)，且|PM |＋|PN |≥|PC 1|＋|PC 2|－4，点C 1(2，3)关于x 轴的对称点为C (2，－3)，所以|PC 1|＋|PC 2|＝|PC |＋|PC 2|≥|CC 2|＝52，即|PM |＋|PN |≥|PC 1|＋|PC 2|－4≥52－4.二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分)9．等腰直角三角形ABC 的直角顶点为C (3，3)，若点A (0，4)，则点B 的坐标可能是()A ．(2，0)B ．(6，4)C ．(4，6)D ．(0，2)答案AC解析设B 点坐标为(x ，y )，AC ·k BC ＝－1，|＝|AC |，＝(0－3)2＋(4－3)2，＝2，＝0＝4，＝6.10．由点A (－3，3)发出的光线l 经x 轴反射，反射光线与圆x 2＋y 2－4x －4y ＋7＝0相切，则l 的方程为()A ．4x －3y －3＝0B ．4x ＋3y ＋3＝0C ．3x ＋4y －3＝0D ．3x －4y ＋3＝0答案BC 解析已知圆的标准方程是(x －2)2＋(y －2)2＝1，它关于x 轴对称的圆的方程是(x －2)2＋(y ＋2)2＝1，设光线l 所在直线的方程是y －3＝k (x ＋3)(其中斜率k 待定)，即kx －y ＋3k ＋3＝0，由题设知对称圆的圆心C ′(2，－2)到这条直线的距离等于1，即d ＝|5k ＋5|1＋k 2＝1.整理得12k 2＋25k ＋12＝0，解得k ＝－34或k ＝－43.故所求的直线方程是y －3＝－34(x ＋3)或y －3＝－43(x ＋3)，即3x ＋4y －3＝0或4x ＋3y ＋3＝0.11．半径长为6的圆与x 轴相切，且与圆x 2＋(y －3)2＝1内切，则此圆的方程为()A ．(x －4)2＋(y －6)2＝6B ．(x ＋4)2＋(y －6)2＝6C ．(x －4)2＋(y －6)2＝36D ．(x ＋4)2＋(y －6)2＝36答案CD 解析∵半径长为6的圆与x 轴相切，设圆心坐标为(a ，b )，则b ＝6.再由a 2＋32＝5，可以解得a ＝±4，故所求圆的方程为(x ±4)2＋(y －6)2＝36.12．已知点P 在圆(x －5)2＋(y －5)2＝16上，点A (4，0)，B (0，2)，则()A ．点P 到直线AB 的距离小于10B ．点P 到直线AB 的距离大于2C ．当∠PBA 最小时，|PB |＝32D ．当∠PBA 最大时，|PB |＝32答案ACD 解析∵A (4，0)，B (0，2)，∴过A ，B 的直线方程为x 4＋y 2＝1，即x ＋2y －4＝0，圆(x －5)2＋(y －5)2＝16的圆心坐标为(5，5)，圆心到直线x ＋2y －4＝0的距离d ＝|1×5＋2×5－4|12＋22＝115＝1155＞4，∴点P 到直线AB 的距离的范围为1155－4，1155＋4，∵1155＜5，∴1155－4＜1，1155＋4＜10，∴点P 到直线AB 的距离小于10，但不一定大于2，故A 正确，B 错误；如图，当过B 的直线与圆相切时，满足∠PBA 最小或最大(P 点位于P 1时∠PBA 最小，位于P 2时∠PBA 最大)，此时|BC |＝(5－0)2＋(5－2)2＝25＋9＝34，∴|PB |＝|BC |2－42＝18＝32，故C ，D 正确．三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．已知A (0，－1)，点B 在直线x －y ＋2＝0上，若直线AB 平行于直线x ＋2y －3＝0，则B 点坐标为________．答案(－2，0)解析因为直线AB平行于直线x＋2y－3＝0(m≠－3)，所以设直线AB的方程为x＋2y＋m＝0(m≠－3)，又点A(0，－1)在直线AB上，所以0＋2×(－1)＋m＝0，解得m＝2，所以直线AB的方程为x＋2y＋2＝0，－y＋2＝0，＋2y＋2＝0，＝－2，＝0，故B点坐标为(－2，0)．14．过点(1，2)可作圆x2＋y2＋2x－4y＋k－2＝0的两条切线，则实数k的取值范围是________．答案(3，7)解析把圆的方程化为标准方程得(x＋1)2＋(y－2)2＝7－k，∴圆心坐标为(－1，2)，半径r＝7－k，则点(1，2)到圆心的距离d＝2.由题意，可知点(1，2)在圆外，∴d>r，即7－k<2，且7－k>0，解得3<k<7，则实数k的取值范围是(3，7)．15．已知P(a，b)为圆C：x2＋y2－2x－4y＋4＝0上任意一点，则b－1a＋1的最大值为__________．答案43解析圆的方程即(x－1)2＋(y－2)2＝1，圆心坐标为(1，2)，半径为1，代数式b－1a＋1表示圆上的点(a，b)与定点(－1，1)连线的斜率，设过点(－1，1)的直线方程为y－1＝k(x＋1)，与圆的方程联立，可得(k2＋1)x2＋(2k2－2k－2)x＋(k－1)2＝0，考虑临界条件，令Δ＝(2k2－2k－2)2－4(k2＋1)(k－1)2＝0，可得k1＝0，k2＝43，则b－1a＋1的最大值为43.16．集合A＝{(x，y)|x2＋y2＝4}，B＝{(x，y)|(x－3)2＋(y－4)2＝r2}，其中r>0，若A∩B中有且仅有一个元素，则r的值是__________．答案3或7解析∵A∩B中有且仅有一个元素，∴圆x2＋y2＝4与圆(x－3)2＋(y－4)2＝r2相切．当两圆内切时，由32＋42＝|2－r|，解得r＝7(负值舍去)；当两圆外切时，由32＋42＝2＋r，解得r＝3.∴r ＝3或r ＝7.四、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)已知圆C 的圆心为(2，1)，若圆C 与圆O ：x 2＋y 2－3x ＝0的公共弦所在直线过点(5，－2)，求圆C 的方程．解设圆C 的半径长为r ，则圆C 的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝r 2，即x 2＋y 2－4x －2y ＋5＝r 2，圆C 与圆O 的方程相减得公共弦所在直线的方程为x ＋2y －5＋r 2＝0，因为该直线过点(5，－2)，所以r 2＝4，则圆C 的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝4.18．(12分)在x 轴的正半轴上求一点P ，使以A (1，2)，B (3，3)及点P 为顶点的△ABP 的面积为5.解设点P 的坐标为(a ，0)(a >0)，点P 到直线AB 的距离为d ，由已知，得S △ABP ＝12|AB |·d ＝12(3－1)2＋(3－2)2·d ＝5，解得d ＝25.由已知易得，直线AB 的方程为x －2y ＋3＝0，所以d ＝|a ＋3|1＋(－2)2＝25，解得a ＝7或a ＝－13(舍去)，所以点P 的坐标为(7，0)．19．(12分)已知直线l 经过点P (－2，5)，且斜率为－34.(1)求直线l 的方程；(2)若直线m 与l 平行，且点P 到直线m 的距离为3，求直线m 的方程．解(1)由直线方程的点斜式，得y －5＝－34(x ＋2)，整理得所求直线方程为3x ＋4y －14＝0.(2)由直线m 与直线l 平行，可设直线m 的方程为3x ＋4y ＋C ＝0(C ≠－14)，由点到直线的距离公式得|3×(－2)＋4×5＋C |32＋42＝3，即|14＋C |5＝3，解得C ＝1或C ＝－29，故所求直线方程为3x ＋4y ＋1＝0或3x ＋4y －29＝0.20．(12分)红谷隧道是江西南昌穿越赣江的一条过江行车通道，总长2997m ，在南昌大桥和新八一大桥之间，也是国内最大的水下立交系统．如图，已知隧道截面是一圆拱形(圆拱形是取某一圆周的一部分构成巷道拱部的形状)，路面宽为45m ，高4m ．车辆只能在道路中心线一侧行驶，一辆宽为2.5m ，高为3.5m 的货车能否驶入这个隧道？请说明理由．(参考数据：14≈3.74)解如图，建立平面直角坐标系，设圆心M (0，m )，A (25，0)，B (0，4)，由|MA |＝|MB |得，m ＝－12，则圆的方程为x 2，所以当x ＝2.5时，y ＝14－12≈3.24<3.5(y 的负值舍去)．即一辆宽为2.5m ，高为3.5m 的货车不能驶入这个隧道．21．(12分)已知圆M 过C (1，－1)，D (－1，1)两点，且圆心M 在x ＋y －2＝0上．(1)求圆M 的方程；(2)设P 是直线3x ＋4y ＋8＝0上的动点，PA ，PB 是圆M 的两条切线，A ，B 为切点，求四边形PAMB 面积的最小值．解(1)设圆M 的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r >0)，－a )2＋(－1－b )2＝r 2，1－a )2＋(1－b )2＝r 2，＋b －2＝0，＝1，＝1，＝2，故所求圆M 的方程为(x －1)2＋(y －1)2＝4.(2)如图，四边形PAMB 的面积为S ＝S △P AM ＋S △PBM ，即S ＝12(|AM ||PA |＋|BM ||PB |)，又|AM |＝|BM |＝2，|PA |＝|PB |，所以S ＝2|PA |，而|PA |＝|PM |2－4，即S ＝2|PM |2－4.因此要求S 的最小值，只需求|PM |的最小值即可，|PM |的最小值即为点M 到直线3x ＋4y ＋8＝0的距离，所以|PM |min ＝3＋4＋85＝3，四边形PAMB 面积的最小值为2|PM |2－4＝2 5.22．(12分)在直角坐标系Oxy 中，曲线y ＝x 2＋mx －2与x 轴交于A ，B 两点，点C 的坐标为(0，1)．当m 变化时，解答下列问题：(1)能否出现AC ⊥BC 的情况？说明理由；(2)证明过A ，B ，C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为定值．(1)解不能出现AC ⊥BC 的情况．理由如下：设A (x 1，0)，B (x 2，0)，则x 1，x 2满足x 2＋mx －2＝0，所以x 1x 2＝－2.又点C 的坐标为(0，1)，故AC 的斜率与BC 的斜率之积为－1x 1·－1x 2＝－12≠－1，所以不能出现AC ⊥BC 的情况．(2)证明BCBC 的中垂线方程为y －12＝x由(1)可得x 1＋x 2＝－m ，所以AB 的中垂线方程为x ＝－m 2.＝－m 2，－12＝x又x 22＋mx 2－2＝0，＝－m 2，＝－12.所以过A ，B ，C －m2，－r ＝m 2＋92.故圆在y轴上截得的弦长为3，即过A，B，C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值．。

直线与圆的方程基础测试卷含详解

【分析】由两点式方程即可求出. 【详解】••・直线 /经过点 A(L -2), B(-3, 2),故选：A.2. A【分析】先求出砥B ，从而可得关于用的方程，故可求加的值. 【详解】因为 A(-2,3), β(3,-2),故原8=± = T,—5 因为A8,c 三点共线，故33] …=1故加=!，--(-2)2故选：A.3. B【分析】先根据斜率相等判断两直线平行，再根据两平行线间距离公式即可求解. 【详解】由∕∕x+y + 2 =。

可得直线4斜率为一1, 6 ：x+y = 0斜率为一1, 所以乙与4平行，所以乙与4间的距离上雪=√Σ,√12÷12故选：B.・・・直线I 的方程为上修=*整理得χ+y+i = ()∙【分析】由两点式方程即可求出. 【详解】••・直线 /经过点 A(L -2), B(-3, 2),故选：A.2. A【分析】先求出砥B ，从而可得关于用的方程，故可求加的值. 【详解】因为 A(-2,3), β(3,-2),故原8=± = T,—5 因为A8,c 三点共线，故33] …=1故加=!，--(-2)2故选：A.3. B【分析】先根据斜率相等判断两直线平行，再根据两平行线间距离公式即可求解. 【详解】由∕∕x+y + 2 =。

(完整版)直线和圆的方程单元测试题含答案解析.docx

完美 WORD 格式 .整理《直线与圆的方程》练习题1一、选择题1.方程 x2+y2+2ax-by+c=0 表示圆心为 C（ 2， 2），半径为 2 的圆，则 a、 b、c 的值依次为（ B ）（ A）2、 4、 4；（ B）-2 、 4、4；（ C） 2、 -4 、 4；（ D） 2、-4 、 -42.点 (1,1) 在圆 ( x a ) 2( y a ) 2 4 的内部，则a的取值范围是（A）(A)1a1(B)0a1(C)a1或 a 1 (D) a 13.自点A(1,4 ) 作圆 (x 2 ) 2( y 3 ) 21的切线，则切线长为（B）(A)5(B) 3(C)10(D) 54.已知 M (-2,0), N (2,0),则以 MN为斜边的直角三角形直角顶点P 的轨迹方程是 ( D )(A)x 2y 22(B)x 2y 24(C)x 2y 22(x 2 )(D)x 2y 24( x2)5.若圆 x2y 2(1)x2y0 的圆心在直线x 1 左边区域，则的取值范围是2（C）Ａ． (0，+)Ｂ．1，+1(1，∞ )Ｄ． R Ｃ． (0， )56. . 对于圆x2y121上任意一点P( x, y)，不等式x y m0 恒成立，则m的取值范围是BA ．( 2 1，+ )B ．2，C．( 1，+ )D．1，+ 1 +7. 如下图，在同一直角坐标系中表示直线y ＝ax与＝＋，正确的是 (C)y x a完美 WORD 格式 .整理8. 一束光线从点A( 1,1)出发，经x轴反射到圆 C : ( x 2)2( y 3) 2 1 上的最短路径是（ A）A． 4B． 5C．32 1D．269．直线 3 x y 230 截圆x2+y2=4得的劣弧所对的圆心角是( C )A、B、C、D、643210. 如图，在平面直角坐标系中，Ω是一个与 x 轴的正半轴、 y 轴的正半轴分别相切于点C、 D的定圆所围成的区域( 含边界 ) ，、、、是该圆的四等分点．若点 (， ) 、点′( ′，y′)A B C D P x yP x满足 x≤ x′且 y≥ y′，则称 P优于 P′.如果Ω中的点 Q满足：不存在Ω中的其它点优于Q，那么所有这样的点组成的集合是劣弧()QA. ABB. BCC. CDD. DA[ 答案 ]D[ 解析 ]首先若点M 是Ω 中位于直线右侧的点，则过，作与BD平行的直线交于AC M ADC一点 N，则 N 优于 M，从而点 Q必不在直线 AC右侧半圆内；其次，设 E 为直线 AC左侧或直线 AC 上任一点，过 E 作与 AC平行的直线交AD于 F.则 F 优于 E，从而在 AC左侧半圆内及 AC上( A 除外 ) 的所有点都不可能为Q，故 Q点只能在 DA上．二、填空题11. 在平面直角坐标系xoy中，已知圆x2y2 4 上有且仅有四个点到直线12x 5 y c 0 的距离完美 WORD 格式 .整理为 1，则实数 c 的取值范围是( 13,13)．12. 圆：x2y 24x 6 y0和圆： x 2y26x 0 交于 A, B 两点，则AB的垂直平分线的方程是3x y9013. 已知点 A(4,1) ， B(0,4) ，在直线L： y=3x-1 上找一点P，求使 |PA|-|PB|最大时P的坐标是（ 2,5 ）14. 过点A( － 2,0)22→→的直线交圆 x ＋ y ＝1交于 P、Q两点，则 AP· AQ的值为________．[ 答案 ]3[ 解析 ]设 PQ的中点为 M，|OM|＝ d，则| PM|＝| QM|＝ 1－d2AM|2→＝2，|＝ 4－d .∴|AP|4－d－2→221－d， | AQ|＝ 4－d＋ 1－d，∴→·→＝ |→||→|cos0 °＝ ( 4－2－ 1－2)(4－2＋1－2) ＝ (4 －2) － (1 －d2) ＝ 3.AP AQ AP AQ d d d d d15. 如图所示，已知A(4,0)，B(0,4)，从点P(2,0)射出的光线经直线AB反射后再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到P点，则光线所经过的路程是________．[ 答案 ]210[ 解析 ]点P关于直线AB的对称点是 (4,2)，关于直线的对称点是 ( － 2,0) ，从而所求路OB程为(4 ＋ 2) 2＋ 22＝ 2 10.三．解答题16. 设圆 C满足：①截y 轴所得弦长为2；②被x轴分成两段圆弧，其弧长之比为3： 1；③圆心到直线 l : x 2 y 0 的距离为5，求圆 C的方程．5解．设圆心为(a,b) ，半径为r ，由条件①：r 2a2 1 ，由条件②：r 22b2，从而有：2b2a21 ．由条件③：| a2b | 5 | a 2b |2b 2 a 2 1 a 1 1 ，解方程组 2b | 可得：b 155| a 1或a1，所以 r 22b 22 ．故所求圆的方程是 (x1)2 ( y 1)22 或b1(x 1)2 ( y1)2 2 ．17. 已知ABC 的顶点 A 为（ 3，－ 1），AB 边上的中线所在直线方程为 6x 10 y 59 0 ，B的平分线所在直线方程为x 4y 10 0 ，求 BC 边所在直线的方程．解：设 B(4 y 1 10, y 1) ，由 AB 中点在 6x 10 y59 0 上，可得： 6 4y 17 10 y 1 159 0 ， y 1 = 5 ，所以 B(10,5) ．22设 A 点关于 x4 y 10 0 的对称点为 A'( x ', y') ，x3 4 y 4 10A (1,7) . 故 BC : 2x 9 y 650 ．则有2 1 1 2y1x3 418. 已知过点 M3, 3 的直线 l 与圆 x 2y 2 4 y 21 0 相交于 A, B 两点，（ 1）若弦 AB 的长为 2 15 ，求直线 l 的方程；（ 2）设弦 AB 的中点为 P ，求动点 P 的轨迹方程．解：（ 1 ）若直线 l 的斜率不存在，则 l 的方程为 x3 ，此时有 y 24 y 12 0 ，弦| AB | | y A y B | 268 ，所以不合题意．故设直线 l 的方程为 y3 k x 3 ，即 kx y 3k3 0 ．x 2y 220, 2 ，半径 r 5 ．将圆的方程写成标准式得25，所以圆心圆心 0, 2 到直线 l 的距离 d| 3k 1|，因为弦心距、半径、弦长的一半构成直角三角形，k 213k2所以 152120 ，所以 k3 ．k 225，即 k31所求直线 l 的方程为 3xy 12 0 ．（ 2 ）设 P x, y ，圆心 O 1 0, 2 ，连接 O 1 P ，则 O 1 PAB ．当 x 0 且 x3 时，kO PkAB1，又kABkMPy( 3)，x( 3)1则有y2 y3 22x1，化简得x3 y 55．．．．．．（ 1）0 x 3222当 x0 或 x 3时， P 点的坐标为0, 2 , 0, 3 , 3, 2 , 3, 3 都是方程（1）的解，22所以弦 AB 中点 P 的轨迹方程为 x3 y5 5 ．22219. 已知圆 O 的方程为 x 2＋y 2＝ 1，直线 l 1 过点 A (3,0) ，且与圆 O 相切．(1) 求直线 l 1 的方程；(2) 设圆 O 与 x 轴交于 P ，Q 两点， M 是圆 O 上异于 P ， Q 的任意一点，过点A 且与 x 轴垂直的直线为 l 2，直线 PM 交直线 l 2 于点 P ′，直线 QM 交直线 l 2 于点 Q ′. 求证：以 P ′Q ′为直径的圆 C 总过定点，并求出定点坐标[ 解析 ](1) ∵直线 l 1 过点(3,0) ，∴设直线 l 1 的方程为 y ＝ ( x － 3) ，即 kx －－3 ＝ 0，Aky k则圆心 O (0,0) 到直线 l 1 的距离为 d ＝ |3 k | ＝ 1，2k ＋ 12解得 k ＝± 4 .∴直线 l 1 的方程为 y ＝±2 ( x － 3) ．4(2) 在圆 O 的方程 x 2＋ y 2＝ 1 中，令 y ＝ 0 得， x ＝± 1，即 P ( － 1,0) ， Q (1,0)．又直线 l 2 过点tA 与 x 轴垂直，∴直线 l 2 的方程为 x ＝ 3，设 M ( s ， t ) ，则直线 PM 的方程为 y ＝ s ＋ 1( x ＋ 1) ．x ＝ 3 4t解方程组y ＝ t ( x ＋ 1)得， P ′ 3， s ＋ 1 .s ＋ 12 t同理可得 Q ′ 3， s －1 .4t 2t∴以 P ′ Q ′为直径的圆 C 的方程为 ( x －3)( x － 3) ＋ y － s ＋1 y － s －1 ＝ 0，.专业资料分享.又 s 2＋ t 2＝ 1，∴整理得 ( x 2＋ y 2－ 6x ＋1) ＋6s －2y ＝0， t2若圆 C 经过定点，则 y ＝ 0，从而有 x － 6x ＋ 1＝ 0，∴圆 C 总经过的定点坐标为 (3 ±22 ，0) ．20. 已知直线 l :y=k (x+2 2 ) 与圆 O: x 2 y 2 4 相交于 A 、B 两点， O 是坐标原点，三角形 ABO 的面积为 S. （ 1）试将 S 表示成的函数 S （ k ），并求出它的定义域；（ 2）求 S 的最大值，并求取得最大值时k 的值 .【解】： : 如图 ,(1) 直线 l 议程 kx y2 2k 0( k 0),原点 O 到 l 的距离为 oc2 2 k 1 k2弦长 AB2 228K 2 OAOC2 421 K（ 2） ABO 面积S1AB OC4 2 K 2 (1 K 2 )AB 0,1 K1( K0),1K 22S(k ) 4 2 k 2 (1 k 2 )( 1 k 1且K1 k 2(2)令11 t1,1 k 2t,2S(k )4 2 k 2 (1 k 2 )422t 2 3t 14 22(t3) 2 1 .1 k 248当 t=3时 ,13 , k 2 1 , k 3时,Smax241 k2 4 3321. 已知定点A（ 0， 1），B（ 0， -1 ），C（1， 0）．动点P满足：AP BP k | PC |2.（1）求动点P的轨迹方程，并说明方程表示的曲线类型；（2）当kuuur uuur2 时，求| 2AP BP | 的最大、最小值．uuur( x, yuuur uuur(1x, y) ．因为解：（ 1）设动点坐标为P(x, y)，则AP1) ， BP ( x, y1) ， PC AP BP k | PC |2，所以x2y2 1 k[( x 1)2y 2 ] ． (1k) x2(1k ) y22kx k 1 0 ．若 k1，则方程为 x 1 ，表示过点（1， 0）且平行于 y 轴的直线．若 k1，则方程化为 (x k )2y2(1)2．表示以 (k,0) 为圆心，以1为1k1k k1|1 k |半径的圆．（ 2）当k 2 时，方程化为(x2) 2y21，uuur uuur uuur uuur9x29 y2 6 y 1 ．因为 2AP BP(3x,3 y 1) ，所以| 2 AP BP |又 x2y24xuuur uuur6y26 ．3 ，所以| 2 AP BP | 36x因为 ( x 2) 2y 21，所以令 x2cos, y sin，则 36x6y26 6 37 cos()46[46637, 46637] ．uuur uuur46637337 ，所以 | 2AP BP |的最大值为最小值为4663737 3 ．。

2023-2024学年高二数学单元速记——直线与圆的方程(单元重点综合测试)(解析版)

第2章直线与圆的方程（单元重点综合测试）一、单项选择题：每题5分，共8题，共计40分。

1．已知直线方程为sin 60cos6030x y +-= ，则该直线的倾斜角为（）A ．30B ．60C ．120D ．150【答案】C【分析】根据直线方程可整理得到斜率，由斜率和倾斜角关系可求得结果.【详解】由sin 60cos6030x y +-= 得：3tan 60cos 60y x =-⋅+，∴直线的斜率tan 60tan120k =-= ，∴直线的倾斜角为120 .故选：C.2．已知圆C 的方程为22880x y x +++=，则圆C 的半径为（）A B ．2C ．D ．8【答案】C【分析】化圆的一般式为标准式得圆C 的半径.【详解】由圆C 的半径得()2248x y ++=，所以圆C 的半径为，故选：C3．若过点（2，1）的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线230x y --=的距离为（）A B C D 【答案】B【分析】由题意可知圆心在第一象限，设圆心的坐标为(),,0a a a >，可得圆的半径为a ，写出圆的标准方程，利用点()2,1在圆上，求得实数a 的值，利用点到直线的距离公式可求出圆心到直线230x y --=的距离.【详解】由于圆上的点()2,1在第一象限，若圆心不在第一象限，则圆与至少与一条坐标轴相交，不合乎题意，所以圆心必在第一象限，设圆心的坐标为(),a a ，则圆的半径为a ，圆的标准方程为()()222x a y a a -+-=.由题意可得()()22221a a a -+-=，可得2650a a -+=，解得1a =或5a =，所以圆心的坐标为()1,1或()5,5，圆心到直线的距离均为15d =；圆心到直线的距离均为25d =圆心到直线230x y --=的距离均为d ==；所以，圆心到直线230x y --=.故选：B.【点睛】本题考查圆心到直线距离的计算，求出圆的方程是解题的关键，考查计算能力，属于中等题.4．经过点(2,2)A ，且与直线320x y -+=平行的直线方程为（）A ．380x y +-=B ．380x y ++=C ．340x y --=D ．340x y -+=【答案】C【分析】根据题意，直线方程可设为30x y m -+=，代入(2,2)A 即可求解.【详解】与直线320x y -+=平行的直线方程可设为30x y m -+=，代入(2,2)A ，可得3220m ⨯-+=，得4m =-，故所求直线方程为：340x y --=故选：C5．已知P 是直线l ：220x y --=上一点，M ，N 分别是圆1C ：()()22182x y -+-=和2C ：()26x -+()278y -=上的动点，则PM PN +的最小值是（）A ．B ．C ．D ．【答案】A【分析】先由两圆的标准方程，求出圆心和半径，然后判断两圆与直线l 的位置关系，求出圆心()26,7C 关于直线l ：220x y --=的对称点()10,1E -，则当M ，N ，P 三点共线且经过两圆圆心时，PM PN +取最小值，求解即可.【详解】圆1C ：()()22182x y -+-=，则圆心()11,8C ，r圆2C ：()()22678x y -+-=，则圆心()26,7C ，R =因为()(128262720)-⨯-⨯-⨯->，则两圆心在直线l 的同侧.又圆心()11,8C 到直线l的距离1d==>圆心()26,7C 到直线l 的距离2d ==>则两圆在直线l 的同侧且与直线相离，圆心()26,7C 关于直线l ：220x y --=的对称点为(),E a b ，则6722022{726a bb a ++-⨯-=-=--，解得10a =，1b =-，所以()10,1E -，则当M，N ，P三点共线且经过两圆圆心时，PM PN +取最小值，所以PM PN +的最小值为16EC R r --=故选：A.6．已知直线1:0l x ay a +-=和直线2:(23)10l ax a y ---=，若12l l ⊥，则a 的值为（）A ．2B ．3-C ．0或2D ．1或3-【答案】C【分析】由两直线垂直的充要条件建立方程求解即可.【详解】由12l l ⊥，得[]21(23)240a a a a a ⋅+⋅--=-+=，解得0a =，或2a =.故选：C.7．过圆2264x y +=上的动点作圆22:16C x y +=的两条切线，两个切点之间的线段称为切点弦，则圆C 不在任何切点弦上的点形成的区域的面积为（）A ．4πB ．6πC ．8πD ．12π【答案】A【分析】求出切点弦的方程后可求不在任何切点弦上的点形成的区域的面积.【详解】设圆2264x y +=的动点为(),P m n ，过P 作圆C 的切线，切点分别为,A B ，则过,,P A B 的圆是以PO 直径的圆，该圆的方程为：()()0x x m y y n -+-=.由()()22160x y x x m y y n ⎧+=⎪⎨-+-=⎪⎩可得AB 的直线方程为：16mx ny +=.原点到直线16mx ny +=2=，故圆C 不在任何切点弦上的点形成的区域的面积为4π，故选：A.8．若方程3x b +=有两个不等的实根，则实数b 的取值范围为（）A ．(1-+B ．(11]--C ．[1,1-+D ．(1-【答案】B【分析】将3y =化为22(2)(3)4-+-=x y (3y ≤)，作出直线与半圆的图形，利用两个图形有2个公共点，求出切线的斜率，观察图形可得解.【详解】解：由3y =得22(2)(3)4-+-=x y (3y ≤)，所以直线y x b =+与半圆22(2)(3)4-+-=x y (3y ≤)有2个公共点，作出直线与半圆的图形，如图：当直线经y x b =+过点(4,3)时，341b =-=-，当直线与圆22(2)(3)4-+-=x y 2=，解得1b =-或1b =+，由图可知，当直线y x b =+与曲线3y =有2个公共点时，11b -≤-，故选：B.二、多项选择题：每题5分，共4题，共计20分，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的不得分。

(易错题)高中数学选修一第二单元《直线和圆的方程》测试(有答案解析)

一、选择题1．若圆22220x y x y k +---=上的点到直线100x y +-=的最大距离为k 的值是（）A ．2-B ．2C ．2-或2D ．2-或02．两圆222240x y ax a +++-=和2224140x y by b +--+=恰有三条公切线，若a R ∈，b R ∈且0ab ≠，则2211a b+的最小值为（） A ．72B ．4C ．1D ．53．若平面上两点()2,0A -，()10B ,，则l ：()1y k x =-上满足2PA PB =的点P 的个数为（） A ．0 B ．1C ．2D ．与实数k 的取值有关4．直线1ax by +=与圆221x y +=有两个公共点，那么点(),a b 与圆22+1x y =的位置关系是（） A ．点在圆外B ．点在圆内C ．点在圆上D ．不能确定5．已知圆221:4420C x y x y +---=，圆222:2880C x y x y +++-=，则圆1C 与圆2C 的位置关系是（）A ．内切B ．外切C ．相交D ．相离6．已知M (3，)，N (－1，)，F (1，0)，则点M 到直线NF 的距离为（）A B ．C ．D ．7．直线220ax by -+=被222440x y x y ++--=截得弦长为6，则ab 的最大值是（） A ．9B ．4C ．12D ．148．已知1122(,),(,)A x y B x y 是不同的两点，点(cos ,sin )C θθ，且11,33OA OC OB OC ⋅=⋅=，则直线AB 与圆221x y +=的位置关系是（）A ．相离B ．相切C ．相交D ．以上三种情况都有可能9．已知圆222:(1)(1)(0)C x y r r -+-=>，若圆C 上至少有3个点到直线20x y ++=，则实数r 的取值范围为（）A ．(0,B ．C ．)+∞D ．+∞[)10．两圆交于点(1,3)A 和(,1)B m ，两圆的圆心都在直线02cx y -+=上，则m c += . A ．1 B ．2 C ．3 D ．411．111222(,),(,)P a b P a b 是直线1y kx =+(k 为常数)上两个不同的点，则关于x 和y 的方程组112211a x b y a x b y +=⎧⎨+=⎩的解的情况是（）A ．无论12,,k P P 如何，总是无解B ．无论12,,k P P 如何，总有唯一解C ．存在12,,k P P ，使12x y =⎧⎨=⎩是方程组的一组解 D ．存在12,,k P P ，使之有无穷多解12．直线l ：230kx y --=与圆C ：()()22124x y -++=交于A 、B 两点，若ABC的周长为4+k 的值为（） A ．32B ．32-C ．32±D ．12±二、填空题13．点(,)P x y 是直线30kx y ++=上一动点，,PA PB 是圆22:430C x y y +-+=的两条切线，,A B 是切点，若四边形PACB 面积的最小值为2，则k 的值为______. 14．直线:=l y kx O:221x y +=相交于,A B 两点，当AOB ∆的面积达到最大时，k =_______15．过点(5,2)，且在x 轴上的截距是在y 轴上的截距的2倍的直线一般式方程是___________16．已知圆C 的方程是2220x y y +-=，圆心为点C ，直线:20λλ+-=l x y 与圆C 交于A 、B 两点，当ABC 面积最大时，λ=______．17．已知圆C ：()2234x y -+=，线段MN 在直线211y x =-+上运动，点P 是线段MN 上任意一点，若圆C 上存在两点A ，B ，使得PA PB ⊥，则线段MN 长度的最大值是___________．18．过点P （3，1）作⊙22:(1)1C x y -+=的两条切线，切点分别为A 、B ，则弦AB 的长为___________.19．过点P (0,1)作直线l ，使它被直线l 1：2x ＋y －8＝0和l 2：x －3y ＋10＝0截得的线段被点P 平分，则直线l 的方程为_________． 20．已知：()2,0A -，()2,0B ，()0,2C ，()1,0E -，()1,0F ，一束光线从F 点出发发射到BC 上的D 点经BC 反射后，再经AC 反射，落到线段AE 上（不含端点）FD 斜率的范围为____________.三、解答题21．已知ABC 的顶点()5,1A ，B 的平分线所在直线方程为0x y -=，C ∠的平分线所在直线方程为20x -=. （1）求BC 边所在的直线方程；（2）求B .22．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知以M 为圆心的圆M ：221214600x y x y +--+=及其上一点()2,4A .（1）设圆N 与x 轴相切，与圆M 外切，且圆心N 在直线6x =上，求圆N 的标准方程；（2）设平行于OA 的直线l 与圆M 相交于B ，C 两点，且BC OA =，求直线l 的方程；23．已知圆1C ：222280x y x y +++-=与圆2C ：22210240x y x y +-+-=相交于A 、B 两点．（1）求圆心在直线AB 上且经过A ，B 两点的圆P 的方程及弦AB 所在的直线方程；（2）直线l 经过点()2,3M 且被圆1C 所截得的弦长为25l 的方程．24．直线21:20l a x y a ++=，2:10l x ay ++=，圆22:650C x y y +-+=.（1）当a 为何值时，直线1l 与2l 垂直；（2）若圆心C 在直线2l 的左上方，当直线2l 与圆C 相交于P ，Q 两点，且22PQ =求直线2l 的方程.25．已知直线:10l x y +-=与圆22:430C x y x +-+=相交于,A B 两点. （1）求||AB ；（2）若(,)P x y 为圆C 上的动点，求+1yx 的取值范围. 26．已知点E 与两个定点1,0A ，()4,0B 的距离的比为12. （1）记点E 的轨迹为曲线C ，求曲线C 的轨迹方程.（2）过点()2,3G 作两条与曲线C 相切的直线，切点分别为M ，N ，求直线MN 的方程.（3）若与直线1:l y x =-垂直的直线l 与曲线C 交于不同的两点P ，Q ，若POQ ∠为钝角，求直线l 在y 轴上的截距的取值范围.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】将圆的方程化成标准方程，求出圆心及半径r ，圆心到直线的距离为d ，则圆上的点到直线的最大距离为d r + 【详解】圆22220x y x y k +---=化成标准形式()()22112x y k -+-=+，圆心()1,1，半径r =2k >-；圆心()1,1到直线100x y +-=的距离===d圆上的点到直线的最大距离为+==d r=，解得：2k =或2k =-（舍去）故选：B 【点睛】结论点睛：本题考查直线与圆的位置关系，求圆上点到直线的最大距离与最小距离常用的结论：设圆的半径r ，圆心到直线的距离为d ，（1）当dr 时，圆上的点到直线的最大距离为d r +，最小距离为d r -；（2）当d r ≤时，圆上的点到直线的最大距离为d r +，最小距离为0； 2．C解析：C 【分析】由题意可知两圆外切，可得出2249a b +=，然后将代数式2211a b +与2249a b +相乘，展开后利用基本不等式可求得2211a b+的最小值. 【详解】圆222240x y ax a +++-=的标准方程为()224x a y ++=，圆心为()1,0C a -，半径为12r =，圆2224140x y by b +--+=的标准方程为()2221x y b +-=，圆心为()20,2C b ，半径为21r =.由于圆222240x y ax a +++-=和2224140x y by b +--+=恰有三条公切线，则这两圆外切，所以，1212C C r r =+3=，所以，2249a b +=，所以，222222222211411141551999a b a b a b a b b a ⎛⎛⎫+⎛⎫+=+=++≥⨯+= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝，当且仅当222a b =时，等号成立，因此，2211a b +的最小值为1. 故选：C. 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.3．C解析：C 【分析】首先利用直接法求点P 的轨迹方程，则转化为直线()1y k x =-与轨迹曲线的交点个数. 【详解】设(),P x y ，2PA PB =，=整理为：()22224024x y x x y +-=⇔-+=，即点P 的轨迹是以()2,0为圆心，2r为半径的圆，直线():1l y k x =-是经过定点()1,0，斜率存在的直线，点()1,0在圆的内部，所以直线():1l y k x =-与圆有2个交点，则l ：()1y k x =-上满足2PA PB =的点P 的个数为2个. 故选：C【点睛】方法点睛：一般求曲线方程的方法包含以下几种：直接法：把题设条件直接“翻译”成含,x y 的等式就得到曲线的轨迹方程.定义法：运用解析几何中以下常用定义（如圆锥曲线的定义），可从曲线定义出发，直接写出轨迹方程，或从曲线定义出发建立关系式，从而求出轨迹方程.相关点法：首先要有主动点和从动点，主动点在已知曲线上运动，则可以采用此法.4．A解析：A 【分析】直线1ax by +=与圆221x y +=||1<，即为1>，由此可得点与圆的位置关系．【详解】因为直线1ax by +=与圆221x y +=有两个公共点，||1<，1>，因为点(,)b a 与221x y += 圆224x y +=的半径为1，所以点P 在圆外. 故选：A. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是将直线与圆的位置关系的判断式和点与圆的关系的判断式联系起来.5．C解析：C 【分析】把圆的方程化为标准形式，求出圆心和半径，根据两圆的圆心距，大于半径之差，而小于半径之和，可得两个圆位置关系．【详解】解：圆221:4420C x y x y +---=，22(2)(2)10-+-=x y ，()12,2C ，1r =，圆222:2880C x y x y +++-=，22(1)(4)25x y +++=，()21,4C --，25r =，125r r +=，215r r -=12C C ==55-<<+，∴两圆相交.故选：C. 【点睛】方法点睛：先把圆的一般方程化为标准方程，求出圆心和半径，再求出两圆的圆心距、半径之和、半径之差，根据三者之间的大小关系即可得到两圆的位置关系.6．B解析：B 【分析】首先利用题中所给的点N (－1，，F (1，0)，求出直线NF 的方程，之后利用点到直线的距离公式求得结果. 【详解】易知NF 的斜率kNF 的方程为y(x －1)，＋y＝0. 所以M 到NF.故选：B. 【点睛】思路点睛：该题考查的是有关点到直线的距离的问题，解题思路如下：（1）根据题意首先求出直线的方程，可以先求斜率，利用点斜式求，也可以直接利用两点式求；（2）之后利用点到直线的距离公式直接求结果.7．D解析：D 【分析】根据弦长可知直线过圆心，再利用基本不等式求ab 的最大值. 【详解】将222440x y x y ++--=化为标准形式：22(1)(2)9x y ++-=，故该圆圆心为(1,2)-，半径为3. 因为直线截圆所得弦长为6，故直线过圆心，所以2220a b --+=，即1a b +=，所以2124a b ab +⎛⎫≤= ⎪⎝⎭（当且仅当12a b ==时取等号），故选：D. 【点睛】关键点点睛：本题考查直线与圆相交，基本不等式求最值，本题的关键是根据弦长判断直线过圆心，这样问题就变得简单易求.8．C解析：C 【分析】根据题意，可知直线BC 与OC 垂直，且点O 到直线AB 的距离为13，与圆的半径比较大小得到直线与圆的位置关系. 【详解】因为(cos ,sin )C θθ，所以点C 在圆221x y +=上，根据圆的对称性，可知C 点取圆上的任意点都可以，不妨设(1,0)C ，因为11,33OA OC OB OC ⋅=⋅=，所以,OA OB 在OC 上的投影均为13，如图所示：所以有直线AB 与OC 垂直，且O 到直线AB 的距离为113<，所以直线AB 与圆221x y +=的位置关系是相交，故选：C. 【点睛】思路点睛：该题所考查的是有关直线与圆的位置关系的判定，在解题的过程中注意：（1）判断直线与圆的位置关系的关键点是圆心到直线的距离与半径的关系；（2）根据向量数量积的定义式，求得线之间的关系，从而判断出结果.9．D解析：D 【分析】根据题意，得到直线不过圆心，且求得圆心到直线的距离，结合题中条件，得到实数r 的取值范围. 【详解】圆222:(1)(1)(0)C x y r r -+-=>的圆心(1,1)到直线20x y ++=为：11222d ++==，且直线20x y ++=不过圆心，若圆222:(1)(1)(0)C x y r r -+-=>上至少有3个点到直线20x y ++=2，则有22232r ≥=所以实数r的取值范围为+∞[)，故选：D. 【点睛】思路点睛：该题考查的是有关直线与圆的相关问题，解决该题的思路如下：（1）求得圆心到直线的距离，并且发现直线不过圆心；（2）结合题中条件，得到r 的取值范围.10．C解析：C 【分析】由两圆相交且圆心都在直线02c x y -+=上可知线段AB 中点在02cx y -+=上，代入中点坐标整理即可. 【详解】由题意可知：线段AB 的中点1,22m +⎛⎫⎪⎝⎭在直线02c x y -+=上代入得：12022m c+-+= 整理可得：3m c += 本题正确选项：C 【点睛】本题考查两圆相交时相交弦与圆心连线之间的关系，属于基础题.11．B解析：B 【分析】由点在直线上，点的坐标代入直线方程，确定1221a b a b -是否为0，不为0，方程组有唯一解，为0时，再讨论是否有无数解．【详解】由题意112211b ka b ka =+⎧⎨=+⎩，则1221122112(1)(1)a b a b a ka a ka a a -=+-+=-，∵直线1y kx =+的斜率存在，∴12a a ≠，120a a -≠，∴方程组112211a x b y a x b y +=⎧⎨+=⎩总有唯一解．A ，D 错误，B 正确；若12x y =⎧⎨=⎩是方程组的一组解，则11222121a b a b +=⎧⎨+=⎩，则点1122(,),(,)a b a b 在直线21x y +=，即1122y x =-+上，但已知这两个在直线1y kx =+上，这两条直线不是同一条直线，∴12x y =⎧⎨=⎩不可能是方程组的一组解，C 错误．故选：B ．【点睛】本题考查直线方程，考查方程组解的个数的判断．掌握直线方程是解题关键．12．A解析：A 【分析】先根据半径和周长计算弦长AB =即可. 【详解】圆C ：()()22124x y -++=中，圆心是()1,2C -，半径是2r，故ABC的周长为4+24r AB +=+AB =又直线与圆相交后的弦心距d ==，故由2222AB r d ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭得()221434k k +=++，解得32k . 故选：A. 【点睛】本题考查了直线与圆的综合应用，考查了点到直线的距离公式，属于中档题.二、填空题13．【分析】根据圆的切线性质可知四边形的面积转化为直角三角形的面积结合最小值可求的值【详解】由于是圆的两条切线是切点所以当最小时四边形的面积最小而的最小值即为到直线的距离又所以故答案为：解析：2±【分析】根据圆的切线性质可知四边形PACB 的面积转化为直角三角形的面积，结合最小值可求k 的值. 【详解】由于,PA PB 是圆()22:21C x y +-=的两条切线，,A B 是切点，所以2||||2||PACB PAC S S PA AC PA ∆==⋅=== 当||PC 最小时，四边形PACB 的面积最小，而||PC 的最小值即为C 到直线的距离d ，又d =所以224 2.k k =⇒=⇒=± 故答案为：2±.14．【分析】由三角形面积公式可得当时的面积达到最大进而可得圆心到直线的距离即可得解【详解】由圆可得圆心坐标为半径将直线的方程化为因为所以当即时的面积达到最大此时圆心到直线的距离解得故答案为：【点睛】关键解析：【分析】由三角形面积公式可得当2AOB π∠=时，AOB 的面积达到最大，进而可得圆心到直线的距离，即可得解. 【详解】由圆22:1O x y +=可得圆心坐标为()0,0O ,半径1r =，将直线的方程化为:0l kx y -=，因为11sin sin 22AOB S OA OB AOB AOB =⋅∠=∠△，所以当sin 1AOB ∠=即2AOB π∠=时，AOB 的面积达到最大，此时圆心()0,0O 到直线AB 的距离2222211d k k ，解得k =故答案为：【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是利用三角形面积公式转化面积最值为圆心到弦的距离，细心计算即可得解.15．或【分析】当纵截距为时设直线方程为代入点求得的值得解当纵截距不为时设直线的截距式方程代入点求得直线的方程【详解】当轴上的截距时设直线方程为点代入方程得即当时设直线的方程为点代入方程解得即直线方程为即解析：290x y +-=或250x y -= 【分析】当纵截距为0时，设直线方程为y kx =，代入点()5,2求得k 的值得解，.当纵截距不为0时，设直线的截距式方程，代入点()5,2求得直线l 的方程. 【详解】当y 轴上的截距0b =时，设直线方程为y kx =，点()5,2代入方程，得25y x =，即250x y -=.当0b ≠时，设直线的方程为12x y b b +=，点()5,2代入方程，解得92b =，即直线方程为1992x y+=，即290x y +-=.故答案为：250x y -=或290x y +-=【点睛】讨论截距为0或截距不为0是解题关键，否则会漏解，属于基础题.16．或【分析】由三角形面积公式知当面积最大时即为等腰直角三角形再利用点到直线的距离公式和半径的关系可得答案【详解】圆C 的方程即圆心半径由面积公式知当时面积最大即为等腰直角三角形此时圆心C 到直线的距离为则解析：1λ=或17λ=. 【分析】由三角形面积公式in 12s S ab C =知，当ABC 面积最大时，90ACB ∠=，即ABC 为等腰直角三角形，再利用点到直线的距离公式和半径的关系可得答案. 【详解】圆C 的方程即22(1)1x y +=-，圆心(0,1)C ，半径1R =，由面积公式21sin 2ABCSR ACB =∠知，当90ACB ∠=时面积最大，即ABC 为等腰直角三角形，此时圆心C 到直线:20λλ+-=l x y的距离为d =1==，解得1λ=或17λ=，故答案为：1λ=或17λ=. 【点睛】本题考查了直线和圆的位置关系及求三角形面积最大值的问题.17．【分析】题目等同于点P 在已知直线上的轨迹长度考虑边界的情况此时△APC 和△ABC 均为等腰直角三角形先算出进一步求出答案【详解】题目等同于点P 在已知直线上的轨迹长度考虑边界的情况也就是PAPB 分别与圆解析：【分析】题目等同于点P 在已知直线上的轨迹长度，考虑边界的情况，此时△APC 和△ABC 均为等腰直角三角形，先算出2l==.【详解】题目等同于点P 在已知直线上的轨迹长度，考虑边界的情况，也就是PA ，PB 分别与圆相切的情况，此时△APC 和△ABC 均为等腰直角三角形，由题意知，圆心()3,0C ，半径2r线段PC 的长为22r = 圆心到直线的距离22301152+1d -⨯-+== ，根据图像的对称性可知2232lPC d =-=，所以线段MN 长度的最大值为23. 故答案为: 23. 【点睛】本题考查了直线与圆位置关系的应用.本题的难点是分析何时EF 取到最值.根据考虑边界的情况数形结合得出结论.18．【分析】计算出的三边长利用等面积法可求得弦的长【详解】如下图所示：由已知圆半径为由两点间的距离公式得易知为的角平分线且为的中点所以故答案为：【点睛】关键点睛：本题考查求圆的弦长解答本题的关键是由圆的解析：455【分析】计算出Rt PAC △的三边长，利用等面积法可求得弦AB 的长. 【详解】如下图所示：由已知()3,1P 、()1,0C ，圆C 半径为1r =，AC PA ⊥，BC PB ⊥，由两点间的距离公式得PC ==2PA ==，易知PC 为APB ∠的角平分线，且PA PB =，PC AB ∴⊥，M ∴为AB 的中点，所以，22PA ACAB AM PC⋅====.【点睛】关键点睛：本题考查求圆的弦长，解答本题的关键是由圆的几何性质以及圆的切线的几何性质得出PA PC ，的大小，然后得出PC 为APB ∠的角平分线，且PA PB =，PC AB ⊥，再利用等面积法求出弦长，属于中档题.19．x ＋4y －4＝0【分析】设l1与l 的交点为A(a8－2a)求得关于的对称点坐标利用对称点在直线上求得即得点坐标从而得直线方程【详解】设l1与l 的交点为A(a8－2a)则由题意知点A 关于点P 的对称点B解析：x ＋4y －4＝0【分析】设l 1与l 的交点为A (a,8－2a )，求得A 关于P 的对称点坐标，利用对称点在直线2l 上求得a ，即得A 点坐标，从而得直线l 方程．【详解】设l 1与l 的交点为A (a,8－2a )，则由题意知，点A 关于点P 的对称点B (－a,2a －6)在l 2上，代入l 2的方程得－a －3(2a －6)＋10＝0，解得a ＝4，即点A (4,0)在直线l 上，所以直线l 的方程为x ＋4y －4＝0. 故答案为：x ＋4y －4＝0. 【点睛】本题考查求直线方程，解题方法是根据点关于点的对称点求解，直线l 与已知两直线各有一个交点，P 是这两个交点连线段中点，因此可设其中一点坐标，由对称性表示出另一点坐标，代入第二条直线方程可求得交点坐标，从而得直线方程．20．【分析】先作出关于的对称点再作关于的对称点因为光线从点出发射到上的点经反射后反射光线的反向延长线经过关于直线的对称点点又因为再经反射反射光线经过关于直线的对称点所以只需连接交与点连接分别交为点则之间解析：()4,+∞【分析】先作出F 关于BC 的对称点P ，再作P 关于AC 的对称点M ，因为光线从F 点出发射到BC 上的D 点经BC 反射后，反射光线的反向延长线经过F 关于直线BC 的对称点P 点，又因为再经AC 反射，反射光线经过P 关于直线AC 的对称点，所以只需连接,MA ME 交AC 与点N ，连接,PN PA 分别交BC 为点,G H ，则,G H 之间即为点D 的变动范围．再求出直线,FG FH 的斜率即可．【详解】∵(2,0),(2,0),(0,2)A B C -，∴直线BC 方程为20x y +-=，直线AC 方程为20x y -+=,如图，作F 关于BC 的对称点P ，则(2,1)P ，再作P 关于AC 的对称点M ，则(1,4)M -,连接,MA ME 交AC 与点N ，则直线ME 方程为1x =-, ∴(1,1)N -，连接,PN PA 分别交BC 为点,G H ，则直线PN 方程为1y =，直线PA 方程为420x y -+=， ∴64(1,1),,55G H ⎛⎫ ⎪⎝⎭，连接,GF HF ，则,G H 之间即为点D 的变动范围．∵直线FG 方程为1x =，直线FH 的斜率为 454615=-∴FD 斜率的范围为(4,)+∞故答案为：(4,)+∞.【点睛】本题主要考查入射光线与反射光线之间的关系，入射光线与反射光线都经过物体所成的像，据此就可找到入射点的范围，解决此类问题时，关键在于求出点关于直线的对称点，属于中档题.三、解答题21．（1）23y x =+；（2）4arccos 5B ∠=. 【分析】（1）求出点()5,1A 关于直线0x y -=和20x -=对称的点，利用两个对称点都在直线BC 上，即可求得BC 边所在的直线方程；（2）联立直线方程求出,B C 两点的坐标，利用两点间距离公式求出ABC 三条边长，再利用余弦定理即可求得B . 【详解】（1）作点()5,1A 关于B 的平分线0x y -=的对称点()11,5A ，作点()5,1A 关于C ∠的平分线20x -=的对称点()21,1A -，由题意得B ，1A ，2A ，C 四点共线，所以直线BC 的方程为511(1)11y x --=++，即23y x =+；（2）由023x y y x -=⎧⎨=+⎩得()3,3B --，由2023x y x -=⎧⎨=+⎩得()2,7C ，又()5,1A ，所以AB ==AC ==BC ==由余弦定理得2224cos25AB BC AC B AB BC +-===⨯，所以4arccos 5B ∠=. 【点睛】关键点点睛：根据角的两边所在的直线关于角的平分线所在的直线对称，可得BA 与BC 关于直线0x y -=对称，CB 与CA 关于直线20x -=对称，所以点()5,1A 关于直线0x y -=，20x -=对称的点都在直线BC 上，即可求得BC 边所在的直线方程；第二问求角B 要想到利用余弦定理，因此需要求,B C 两点的坐标，利用两点间距离公式求三边长.22．（1）()()22611x y -+-=；（2）250x y -+=或2150x y --=. 【分析】（1）设()06,N y ，由圆与x 轴相切、与圆M 外切可得0075y y -=+，进而可得01y =，即可得解；（2）由直线平行的性质可设直线l 的方程为20x y m -+=，利用垂径定理、点到直线的距离公式即可得解. 【详解】圆M 的标准方程为()()226725x y -+-=，所以圆心()6,7M ，半径为5，（1）由圆心N 在直线6x =上，可设()06,N y . 因为圆N 与x 轴相切，与圆M 外切，所以007y <<，于是圆N 的半径为0y ，从而0075y y -=+，解得01y =，因此，圆N 的标准方程为()()22611x y -+-=；（2）因为直线//l OA ，所以直线l 的斜率为40220-=-，设直线l 的方程为2y x m =+，即20x y m -+=，则圆心M 到直线l 的距离d ==，因为BC OA ===，而2222BC MC d ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以()252555m +=+，解得5m =或15m =-，故直线l 的方程为250x y -+=或2150x y --=.【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是转化直线与圆、圆与圆的位置关系及垂径定理的应用. 23．（1）240x y -+=；()()22215x y ++-=；（2）240x y -+=或112160x y --=．【分析】（1）由已知两圆方程，可得相交弦AB 所在直线的方程，再与其中一圆的方程联立求交点A 、B 坐标，由题意圆P 是以AB 为直径，其中点为圆心的圆，写出圆P 的方程即可.（2）由直线l 过点()2,3M 且被圆1C 所截得的弦长为1C 到直线l 的距离，再讨论直线l 斜率，判断定点1C 到直线l 的距离是否符合要求，进而求直线的方程. 【详解】（1）由22222280210240x y x y x y x y ⎧+++-=⎨+-+-=⎩， ()2222228210240x y x y x y x y +++--+-+-=，即弦AB 所在的直线方程240x y -+=．∴24x y =-，代入圆的方程式，解得40x y =-⎧⎨=⎩或02x y =⎧⎨=⎩. ∴A ，B 两点的坐标分别为()4,-0，()0,2，中点坐标为()2,1P -，则圆P 的半径r PB ===∴圆的方程为()()22215x y ++-=．（2）圆1C ：222280x y x y +++-=方程化为：()()221110x y +++= ∴()11,1C --，半径r =，直线被圆所截得的弦长l =∴弦心距d == 若直线l 的斜率不存在，圆心()11,1C --到直线l ：2x =的距离为3，不合题意． ∴直线l 的斜率存在，设为()32y k x -=-，即320kx y k -+-=圆心()11,1C --到直线l =，即2424110k k -+=，解得12k =或112k =，即有()1322y x -=-或()11322y x -=-，故直线l 的方程为240x y -+=或112160x y --=．【点睛】关键点点睛：（1）由已知两圆的方程求相交弦直线方程，只需将两圆方程左右两边同时相减即可得到，再由直线与圆的关系求交点坐标，写出圆的方程.（2）由直线过定点，且已知与圆的相交弦长，即可得弦心距，讨论直线存在与否，保证弦心距符合要求，确定直线方程.24．（1）0a =或1a =-（2）10x y -+= 【分析】（1）根据两条直线平行的条件列式解得结果即可得解；（2）设圆心(0,3)C 到直线2l 的距离为d ，利用弦长求出d ，根据圆心到直线的距离求出d ，由此可求出a ，再根据圆心C 在直线2l 的左上方，舍去一个值，从而可得直线2l 的方程. 【详解】（1）由直线1l 与2l 垂直得20a a +=，解得0a =或1a =-；（2）圆22:650C x y y +-+=的圆心(0,3)C ，半径为2，设圆心(0,3)C 到直线2l 的距离为d ，则d ==又d ==，所以27610a a +-=，所以17a =或1a =-，当17a =时，21:107l x y ++=，由0x =得73y =-<，此时圆心C 在直线2l 的右上方，不符合题意；当1a =-时，2:10l x y -+=，由0x =得1y =3<，此时圆心C 在直线2l 的左上方；故直线2l 的方程为：10x y -+= 【点睛】结论点睛：根据两条直线的位置关系求参数的结论：若1111:0l A x B y C ++=，2222:0l A x B y C ++=，11,A B 不同为0，22,A B 不同为0，①若12l l //，则12210A B A B -=且12210AC A C -≠或12210B C B C -≠；②若12l l ⊥，则12120A A B B +=.25．（1；（2）44⎡-⎢⎣⎦. 【分析】（1）求出圆的圆心与半径，利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离d，由||AB =.（2）利用+1yx 表示圆上的点与原点构成直线的斜率即可求解. 【详解】（1）()222243021x y x x y +-+=⇒-+=，所以圆心为()2,0，半径1r =，则圆心到直线:10l x y +-=的距离：2d ==，所以||AB ===（2）+1yx 表示圆上的点(),x y 与()1,0-构成直线的斜率，当直线与圆相切时取得最值，设(1),1+1yk y k x x ==-=，，可得2291k k =+，218k =，4k =±，所以，+1y x的取值范围为44⎡-⎢⎣⎦. 【点睛】关键点睛：解题的关键在于利用几何法求弦长以及利用两点求斜率的计算公式得到+1yx 的取值范围26．（1）224x y +=；（2）2340x y +-=；（3）(2,0)(0,2)-【分析】（1）设点E 点坐标为(),x y ，则||1||2EA EB =，利用两点间的距离公式得到方程，整理即可得解；（2）连接OG ，OM ，求出以G 为圆心，||GM 为半径的圆的方程，再跟圆C 求公共弦，即切点弦方程；（3）设直线的方程为：y x b =-+，()11,P x y ，()22,Q x y ，利用根与系数的关系可得P ，Q 两点横坐标的和与积，结合POQ ∠为钝角，得0OP OQ <，即12120x x y y +<，从而可得直线l 的纵截距的取值范围．【详解】解：（1）设点E 点坐标为(),x y ，则||1||2EA EB = 得2222(1)1(4)4x y x y -+=-+ 整理得：2233120x y +-= 曲线C 的方程是224x y +=.（2）过G 点()2,3作两条与曲线C 相切的直线，G 点在圆外，连接OG ，OM ，由题意知22||2313OG =+=，22||3GM OG OM =-=，∴以G 为圆心，||GM 为半径的圆的方程为22(2)(3)9x y -+-=①，又圆C 的方程为224x y +=②，由①-②得直线MN 的方程是2340x y +-=；（3）设直线的方程为：y x b =-+，联立224x y +=得：222240x bx b -+-=，设直线l 与圆的交点()11,P x y ，()22,Q x y 由()22(2)840b b ∆=--->，得28b <，12x x b +=.21242b x x -⋅=因为POQ ∠为钝角，所以0OP OQ ⋅<，即12120x x y y +<，且OP 与OQ 不是反向共线，又11y x b =-+，22y x b =-+，所以()21212121220x x y y x x b x x b +=-++< 12x x b +=，21242b x x -= 222121240x x y y b b b +=--+<得24b <，即22b -<<，当OP 与OQ 反向共线时，直线y x b =-+过原点，此时0b =，不满足题意，故直线l 在y 轴上的截距的取值范围是22b -<<，且0b ≠.【点睛】本题考查直线与圆的位置关系的应用，训练了利用圆系方程求两圆公共弦所在的直线方程，考查了平面向量的数量积运算，对于过圆222()()x a y b r -+-=外一点()00,x y 的切点弦方程为()()()()200x a x a y b y b r --+--=．。

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直线与圆的方程(时间：90分钟__分数：120分)一、选择题(共10小题，每小题5分，共50分)1．(2015·河南安阳期末，3)x cos α＋y sin α＋1＝0，α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2的倾斜角为( )A ．α B.π2＋α C ．π－α D.π2－α 【答案】 B 设直线x cos α＋y sin α＋1＝0的倾斜角为θ，则斜率 k ＝tan θ＝－cos αsin α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α.又α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，所以θ＝π2＋α.2．(2015·山西太原二模，3)“a ＝2”是“直线y ＝－ax ＋2与y ＝a4x －1垂直”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】 A 由a ＝2得两直线斜率满足(－2)×24＝－1，即两直线垂直；由两直线垂直得(－a )×a4＝－1，解得a ＝±2，故选A.3．(2014·吉林长春调研，5)已知直线3x ＋4y －3＝0与直线6x ＋my ＋14＝0平行，则它们之间的距离是( )A.1710B.175 C ．8 D ．2【答案】 D ∵直线3x ＋4y －3＝0与直线6x ＋my ＋14＝0平行，∴63＝m 4≠－143，∴m ＝8，即直线6x ＋my ＋14＝0为3x ＋4y ＋7＝0，∴两平行直线间的距离为|7＋3|32＋42＝2.故选D. 4．(2015·福建泉州一模，5)已知圆C ：x 2＋y 2＝25，直线l 在x 轴、y 轴上的截距分别为6和8，则圆上的点到直线l 的最大值为( )A.245 B ．5 C ．10 D.495【答案】 D 由题意知，直线l 的方程为4x ＋3y －24＝0，则圆心到直线的距离为d ＝|0＋0－24|42＋32＝245.故圆上的点到直线l 的最大值为245＋5＝495.易错点拨：解答本题易求出d 后，误选A.5．(2015·河南南阳一模，5)已知直线Ax ＋By ＋C ＝0(其中A 2＋B 2＝C 2，C ≠0)与圆x 2＋y 2＝4交于M ，N 两点，O 是坐标原点，则OM→·ON →＝( ) A ．－2 B ．－1 C ．1 D ．2 【答案】 A 因为圆心O 到直线Ax ＋By ＋C ＝0的距离为|C |A 2＋B 2＝1，所以∠MON ＝2π3，所以OM→·ON →＝|OM →| |ON →|cos ∠MON ＝2×2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－2. 6．(2014·辽宁沈阳四校联考，8)若直线x cos θ＋y sin θ－1＝0与圆(x －1)2＋(y －sin θ)2＝116相切，且θ为锐角，则该直线的斜率是( )A ．－33B ．－ 3 C.33 D. 3【答案】 A 依题意得，圆心到直线的距离等于半径，即有|cos θ＋sin 2θ－1|＝14，|cos θ－cos 2θ|＝14，所以cos θ－cos 2θ＝14或cos θ－cos 2θ＝－14(不符合题意，舍去)．由cos θ－cos 2θ＝14，得cos θ＝12.又θ为锐角，所以sin θ＝32，故该直线的斜率是－cos θsin θ＝－33，故选A.7．(2015·湖南岳阳一模，6)已知圆C ：x 2＋(y －3)2＝4，过A (－1，0)的直线l 与圆C 相交于P ，Q 两点．若|PQ |＝23，则直线l 的方程为( )A ．x ＝－1或4x ＋3y －4＝0B ．x ＝－1或4x －3y ＋4＝0C ．x ＝1或4x －3y ＋4＝0D ．x ＝1或4x ＋3y －4＝0【答案】 B 当直线l 与x 轴垂直时，易知x ＝－1符合题意；当直线l 与x 轴不垂直时，设直线l 的方程为y ＝k (x ＋1)，由|PQ |＝23，则圆心C 到直线l 的距离d ＝|－k ＋3|k 2＋1＝1，解得k ＝43，此时直线l 的方程为y ＝43(x ＋1)．故所求直线l 的方程为x ＝－1或4x －3y ＋4＝0.思路点拨：解题的关键是用好|PQ |＝23，构建方程求斜率，但要注意斜率不存在的情况． 8．(2015·江西抚州调研，7)已知函数f (x )＝12x 2＋4ln x ，若存在满足1≤x 0≤3的实数x 0，使得曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线与直线x ＋my －10＝0垂直，则实数m 的取值范围是( )A ．[5，＋∞)B ．[4，5] C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤4，133 D ．(－∞，4)【答案】 B 因为f ′(x )＝x ＋4x ，当1≤x 0≤3时，f ′(x 0)∈[4，5]．又因为k ＝f ′(x 0)＝m ，所以m ∈[4，5]．9．(2013·重庆，7)已知圆C 1：(x －2)2＋(y －3)2＝1，圆C 2：(x －3)2＋(y －4)2＝9，M ，N 分别是圆C 1，C 2上的动点，P 为x 轴上的动点，则|PM |＋|PN |的最小值为( )A ．52－4 B.17－1 C ．6－2 2 D.17 【答案】 A 圆C 1，C 2的图象如图所示．设P 是x 轴上任意一点，则|PM |的最小值为|PC 1|－1，同理|PN |的最小值为|PC 2|－3，则|PM |＋|PN |的最小值为|PC 1|＋|PC 2|－4.作C 1关于x 轴的对称点C ′1(2，－3)，连接C ′1C 2，与x 轴交于点P ，连接PC 1，根据三角形两边之和大于第三边可知|PC 1|＋|PC 2|的最小值为|C ′1C 2|，则|PM |＋|PN |的最小值为2－4，故选A.10．(2014·湖北孝感四校联考，10)已知A (－2，0)，B (0，2)，实数k 是常数，M ，N 是圆x 2＋y 2＋kx ＝0上两个不同点，P 是圆x 2＋y 2＋kx ＝0上的动点．如果M ，N 关于直线x －y －1＝0对称，那么△P AB 面积的最大值是( )A ．3－ 2B ．4C ．3＋ 2D ．6【答案】 C 依题意得圆x 2＋y 2＋kx ＝0的圆心⎝ ⎛⎭⎪⎫－k 2，0位于直线x －y －1＝0上，于是有－k 2－1＝0，即k ＝－2，因此圆心坐标是(1，0)，半径是1.由题意可得|AB |＝22，直线AB 的方程是x －2＋y2＝1，即x －y ＋2＝0，圆心(1，0)到直线AB 的距离等于|1－0＋2|2＝322，点P 到直线AB 的距离的最大值是322＋1，∴△P AB 面积的最大值为12×22×32＋22＝3＋2，故选C.二、填空题(共4小题，每小题5分，共20分)11．(2015·安徽淮南一模，13)已知曲线y ＝3x 2＋2x 在点(1，5)处的切线与直线2ax －y －6＝0平行，则a ＝________.【解析】由已知得y ′＝6x ＋2，则曲线y ＝3x 2＋2x 在点(1，5)处的切线的斜率k ＝y ′|x ＝1＝8.根据两直线平行的条件得2a ＝8，故a ＝4.【答案】 412．(2015·天津四校联考，13)过点(1，2)的直线l 将圆(x －2)2＋y 2＝4分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直线l 的斜率k ＝________.【解析】 ∵(1－2)2＋(2)2＝3＜4， ∴点(1，2)在圆(x －2)2＋y 2＝4的内部．当劣弧所对的圆心角最小时，圆心(2，0)与点(1，2)的连线垂直于直线l .∵2－01－2＝－2，∴所求直线l 的斜率k ＝22.【答案】 2213．(2012·江苏，12)在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为x 2＋y 2－8x ＋15＝0，若直线y ＝kx －2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则k 的最大值是________．【解析】 x 2＋y 2－8x ＋15＝0化成标准形式为(x －4)2＋y 2＝1，该圆的圆心为M (4，0)，半径为1.根据题意，只需要圆心M (4，0)到直线y ＝kx －2的距离d ≤1＋1即可，所以有d ＝|4k －2|k 2＋1≤2，化简得k (3k －4)≤0，解得0≤k ≤43，所以k 的最大值是43.【答案】 4314．(2015·福建宁德质检，12)设集合A ＝{(x ，y )|(x －4)2＋y 2＝1}，B ＝{(x ，y )|(x －t )2＋(y －at ＋2)2＝1}．若存在实数t ，使得A ∩B ≠∅，则实数a 的取值范围是________．【解析】集合A ，B 实际上是圆上的点的集合，即A ，B 表示两个圆，A ∩B ≠∅说明这两个圆相交或相切(有公共点)，由于两圆半径都是1，因此两圆的圆心距不大于两圆半径之和2，即（t －4）2＋（at －2）2≤2，整理成关于t 的不等式：(a 2＋1)t 2－4(a ＋2)t ＋16≤0，根据题意此不等式有实解，因此其判别式不小于零，即Δ＝16(a ＋2)2－4(a 2＋1)×16≥0，解得0≤a ≤43.【答案】 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，43三、解答题(共4小题，共50分)15．(12分)(2015·安徽蚌埠质检，18)已知点A (－3，0)，B (3，0)，动点P 满足|P A |＝2|PB |. (1)若点P 的轨迹为曲线C ，求此曲线的方程；(2)若点Q 在直线l 1：x ＋y ＋3＝0上，直线l 2经过点Q 且与曲线C 只有一个公共点M ，求|QM |的最小值．解：(1)设点P 的坐标为(x ，y )，（x ＋3）2＋y 2＝2（x －3）2＋y 2.化简可得(x －5)2＋y 2＝16，则此曲线的方程为(x －5)2＋y 2＝16. (2)曲线C 是以点(5，0)为圆心，4为半径的圆，如图所示．由直线l2是此圆的切线，连接CQ ，则|QM |＝|CQ |2－|CM |2＝|CQ |2－16，当CQ ⊥l 1时，|CQ |取最小值，此时|CQ |＝|5＋3|2＝42，则|QM |的最小值为32－16＝4.16．(12分)(2015·河北唐山调研，18)已知定点M (0，2)，N (－2，0)，直线l ：kx －y －2k ＋2＝0(k 为常数)．(1)若点M ，N 到直线l 的距离相等，求实数k 的值；(2)对于l 上任意一点P ，∠MPN 恒为锐角，求实数k 的取值范围．解：(1)∵点M ，N 到直线l 的距离相等， ∴l ∥MN 或l 过MN 的中点．∵M (0，2)，N (－2，0)， ∴直线MN 的斜率k MN ＝1，MN 的中点坐标为C (－1，1)．又∵直线l ：kx －y －2k ＋2＝0过定点D (2，2)， ∴当l ∥MN 时，k ＝k MN ＝1；当l 过MN 的中点时，k ＝k CD ＝13.综上可知，k 的值为1或13.(2)∵对于l 上任意一点P ，∠MPN 恒为锐角，∴l 与以MN 为直径的圆相离，即圆心到直线l 的距离大于半径， ∴d ＝|－k －1－2k ＋2|k 2＋1＞2，解得k ＜－17或k ＞1. 17．(12分)(2015·山东日照调研，18)已知圆O ：x 2＋y 2＝4和点M (1，a )． (1)若过点M 有且只有一条直线与圆O 相切，求实数a 的值，并求出切线方程； (2)若a ＝2，过点M 的圆的两条弦AC ，BD 互相垂直，求|AC |＋|BD |的最大值．解：(1)由条件知点M 在圆O 上，所以1＋a 2＝4，则a ＝±3.当a ＝3时，点M 为(1，3)， k O M ＝3，k 切＝－33，此时切线方程为y －3＝－33(x －1)，即x ＋3y －4＝0；当a ＝－3时，点M 为(1，－3)，k OM ＝－3，k 切＝33，此时切线方程为y ＋3＝33(x －1)，即x －3y －4＝0. 所以所求的切线方程为x ＋3y －4＝0或x －3y －4＝0. (2)设O 到直线AC ，BD 的距离分别为d 1，d 2(d 1，d 2≥0)，则d 21＋d 22＝OM 2＝3.又有|AC |＝24－d 21，|BD |＝24－d 22，所以|AC |＋|BD |＝24－d 21＋24－d 22.则(|AC |＋|BD |)2＝4×(4－d 21＋4－d 22＋24－d 21·4－d 22)＝4×[5＋216－4（d 21＋d 22）＋d 21d 22] ＝4×(5＋24＋d 21d 22)．因为2d 1d 2≤d 21＋d 22＝3，所以d 21d 22≤94，当且仅当d 1＝d 2＝62时取等号，所以4＋d 21d 22≤52，所以(|AC |＋|BD |)2≤4×⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋2×52＝40.所以|AC |＋|BD |≤210，即|AC |＋|BD |的最大值为210.18．(14分)(2014·江西九江三模，19)已知点P 是圆F 1：(x ＋3)2＋y 2＝16上任意一点，点F 2与点F 1关于原点对称，线段PF 2的中垂线与PF 1交于M 点．(1)求点M 的轨迹C 的方程；(2)设轨迹C 与x 轴的左、右两个交点分别为A ，B ，点K 是轨迹C 上异于A ，B 的任意一点，KH ⊥x 轴，H 为垂足，延长HK 到点Q 使得|HK |＝|KQ |，连接AQ 并延长交过B 且垂直于x 轴的直线l 于点D ，N 为DB 的中点．试判断直线QN 与以AB 为直径的圆O 的位置关系．解：(1)由题意得，F 1(－3，0)，F 2(3，0)，圆F 1的半径为4，且|MF 2|＝|MP |，从而|MF 1|＋|MF 2|＝|MF 1|＋|MP |＝4>|F 1F 2|＝23，∴点M 的轨迹是以F 1，F 2为左、右焦点的椭圆，其中长轴长2a ＝4，焦距2c ＝23，则短半轴长b ＝a 2－c 2＝4－3＝1， ∴点M 的轨迹C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)如图，设K (x 0，y 0)，则x 204＋y 20＝1.∵|HK |＝|KQ |， ∴Q (x 0，2y 0)． ∴|OQ |＝x 20＋（2y 0）2＝2，∴Q 点在以O 为圆心，2为半径的圆上，即Q 点在以AB 为直径的圆O 上．又A (－2，0)，∴直线AQ 的方程为y ＝2y 0x 0＋2(x ＋2)．令x ＝2，得D ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，8y 0x 0＋2. 又B (2，0)，N 为DB 的中点， ∴N ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，4y 0x 0＋2.∴OQ →＝(x 0，2y 0)，NQ →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0－2，2x 0y 0x 0＋2. ∴OQ →·NQ →＝x 0(x 0－2)＋2y 0·2x 0y 0x 0＋2＝x 0(x 0－2)＋4x 0y 20x 0＋2＝x 0(x 0－2)＋x 0（4－x 20）x 0＋2＝x 0(x 0－2)＋x 0(2－x 0)＝0. ∴OQ→⊥NQ →.∴直线QN 与以AB 为直径的圆O 相切．。