考点：直线与圆的方程综合测试(教师版)

直线与圆的方程

(时间：90分钟__分数：120分)

一、选择题(共10小题，每小题5分，共50分)

1．(2015·河南安阳期末，3)x cos α＋y sin α＋1＝0，α∈⎝

⎛

⎭⎪⎫0，π2的倾斜角为( )

A ．α B.π2＋α C ．π－α D.π

2－α 【答案】 B 设直线x cos α＋y sin α＋1＝0的倾斜角为θ， 则斜率 k ＝tan θ＝－cos αsin α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪

⎫π2＋αcos ⎝ ⎛⎭

⎪⎫

π2＋α＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫

π2＋α.

又α∈⎝

⎛

⎭⎪⎫0，π2，所以θ＝π2＋α.

2．(2015·山西太原二模，3)“a ＝2”是“直线y ＝－ax ＋2与y ＝a

4x －1垂直”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件

【答案】 A 由a ＝2得两直线斜率满足(－2)×2

4＝－1，即两直线垂直；由两直线垂直得(－a )×a

4＝－1，解得a ＝±2，故选A.

3．(2014·吉林长春调研，5)已知直线3x ＋4y －3＝0与直线6x ＋my ＋14＝0平行，则它们之间的距离是( )

A.1710

B.17

5 C ．8 D ．2

【答案】 D ∵直线3x ＋4y －3＝0与直线6x ＋my ＋14＝0平行，

∴63＝m 4≠－14

3，∴m ＝8，即直线6x ＋my ＋14＝0为3x ＋4y ＋7＝0，∴两平行直线间的距离为|7＋3|

32＋42

＝2.故选D. 4．(2015·福建泉州一模，5)已知圆C ：x 2＋y 2＝25，直线l 在x 轴、y 轴上的截距分别为6和8，则圆上的点到直线l 的最大值为( )

A.245 B ．5 C ．10 D.495

【答案】 D 由题意知，直线l 的方程为4x ＋3y －24＝0，则圆心到直线的距离为d ＝

|0＋0－24|

42＋32

＝245.故圆上的点到直线l 的最大值为245＋5＝495.

易错点拨：解答本题易求出d 后，误选A.

5．(2015·河南南阳一模，5)已知直线Ax ＋By ＋C ＝0(其中A 2＋B 2＝C 2，C ≠0)与圆x 2＋y 2＝4交于M ，N 两点，O 是坐标原点，则OM

→·ON →＝( ) A ．－2 B ．－1 C ．1 D ．2 【答案】 A 因为圆心O 到直线Ax ＋By ＋C ＝0的距离为|C |

A 2＋

B 2

＝1，所以∠MON ＝

2π3，所以OM

→·ON →＝|OM →| |ON →|cos ∠MON ＝2×2×⎝ ⎛⎭

⎪⎫－12＝－2. 6．(2014·辽宁沈阳四校联考，8)若直线x cos θ＋y sin θ－1＝0与圆(x －1)2＋(y －sin θ)2＝1

16

相切，且θ为锐角，则该直线的斜率是( )

A ．－33

B ．－ 3 C.3

3 D. 3

【答案】 A 依题意得，圆心到直线的距离等于半径，即有|cos θ＋sin 2θ－1|＝1

4，|cos θ－cos 2

θ|＝14，所以cos θ－cos 2θ＝14或cos θ－cos 2

θ＝－14(不符合题意，舍去)．由cos θ－cos 2θ

＝14，得cos θ＝12.又θ为锐角，所以sin θ＝32，故该直线的斜率是－cos θsin θ

＝－3

3，故选A.

7．(2015·湖南岳阳一模，6)已知圆C ：x 2＋(y －3)2＝4，过A (－1，0)的直线l 与圆C 相交于P ，Q 两点．若|PQ |＝23，则直线l 的方程为( )

A ．x ＝－1或4x ＋3y －4＝0

B ．x ＝－1或4x －3y ＋4＝0

C ．x ＝1或4x －3y ＋4＝0

D ．x ＝1或4x ＋3y －4＝0

【答案】 B 当直线l 与x 轴垂直时，易知x ＝－1符合题意；当直线l 与x 轴不垂直时，设直线l 的方程为y ＝k (x ＋1)，由|PQ |＝23，则圆心C 到直线l 的距离d ＝

|－k ＋3|k 2＋1

＝1，解得k ＝4

3，此时直线l 的方程为y ＝4

3(x ＋1)．故所求直线l 的方程为x ＝－1或4x －3y ＋4＝0.

思路点拨：解题的关键是用好|PQ |＝23，构建方程求斜率，但要注意斜率不存在的情况． 8．(2015·江西抚州调研，7)已知函数f (x )＝12x 2

＋4ln x ，若存在满足1≤x 0≤3的实数x 0，使得曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线与直线x ＋my －10＝0垂直，则实数m 的取值范围是( )

A ．[5，＋∞)

B ．[4，5] C.⎣⎢⎡

⎦

⎥⎤4，133 D ．(－∞，4)

【答案】 B 因为f ′(x )＝x ＋4

x ，当1≤x 0≤3时，f ′(x 0)∈[4，5]．又因为k ＝f ′(x 0)＝m ，所以m ∈[4，5]．

9．(2013·重庆，7)已知圆C 1：(x －2)2＋(y －3)2＝1，圆C 2：(x －3)2＋(y －4)2＝9，M ，N 分别是圆C 1，C 2上的动点，P 为x 轴上的动点，则|PM |＋|PN |的最小值为( )

A ．52－4 B.17－1 C ．6－2 2 D.17 【答案】 A 圆C 1，C 2的图象如图所示．

设P 是x 轴上任意一点，则|PM |的最小值为|PC 1|－1，同理|PN |的最小值为|PC 2|－3，则|PM |＋|PN |的最小值为|PC 1|＋|PC 2|－4.作C 1关于x 轴的对称点C ′1(2，－3)，连接C ′1C 2，与x 轴交于点P ，连接PC 1，根据三角形两边之和大于第三边可知|PC 1|＋|PC 2|的最小值为|C ′1C 2|，则|PM |＋|PN |的最小值为2－4，故选A.

10．(2014·湖北孝感四校联考，10)已知A (－2，0)，B (0，2)，实数k 是常数，M ，N 是圆x 2＋y 2＋kx ＝0上两个不同点，P 是圆x 2＋y 2＋kx ＝0上的动点．如果M ，N 关于直线x －y －1＝0对称，那么△P AB 面积的最大值是( )

A ．3－ 2

B ．4

C ．3＋ 2

D ．6

【答案】 C 依题意得圆x 2＋y 2＋kx ＝0的圆心⎝ ⎛⎭

⎪⎫

－k 2，0位于直线x －y －1＝0上，于是有－k 2－

1＝0，即k ＝－2，因此圆心坐标是(1，0)，半径是1.由题意可得|AB |＝22，直线AB 的方程是x －2＋

y

2＝1，即x －y ＋2＝0，圆心(1，0)到直线AB 的距离等于

|1－0＋2|2

＝32

2，点P 到直线AB 的距离的最大值是322＋1，∴△P AB 面积的最大值为1

2×22×32＋22＝3＋2，故选C.

二、填空题(共4小题，每小题5分，共20分)

11．(2015·安徽淮南一模，13)已知曲线y ＝3x 2＋2x 在点(1，5)处的切线与直线2ax －y －6＝0平行，则a ＝________.

【解析】 由已知得y ′＝6x ＋2，则曲线y ＝3x 2＋2x 在点(1，5)处的切线的斜率k ＝y ′|x ＝1＝8.根