高中数学人教A版选修21之222椭圆几何性质
高二数学人教A版选修2-1课件：2.2.2 椭圆的简单几何性质 第1课时 椭圆的简单几何性质
F1 o
F2
x
说明椭圆的对称性不随位置的改变而改变．
3.顶点与长短轴： 椭圆与它的对称轴的四个 交点——椭圆的顶点. 椭圆顶点坐标为：
A1(－a，0)，A2(a，0)，
B1(0，－b)，B2(0，b).
回顾： 焦点坐标(±c，0)
x2 a2
y2 b2
=1（a＞b＞0）
y
B2(0,b)
固化
模式
拓展
小思 考
TIP1：听懂看到≈认知获取；
TIP2：什么叫认知获取：知道一些概念、过程、信息、现象、方法，知道它们 大 概可以用来解决什么问题，而这些东西过去你都不知道；
TIP3：认知获取是学习的开始，而不是结束。
为啥总是听懂了， 但不会做，做不好？
高效学习模型-内外脑 模型
2
内脑- 思考内化
学习知识的能力 （学习新知识 速度、质量等）
长久坚持的能力 （自律性等）
什么是学习力-常见错误学 习方式
案例式
学习
顺序式 学习
冲刺式 学习
什么是学习力-高效学习必
备习惯
积极
以终
主动
为始
分清 主次
不断 更新
高效学习模型
高效学习模型-学习的完
整过程
方向
资料
筛选
认知
高效学习模型-学习的完
整过程
消化
思维导图& 超级记忆法& 费曼学习法
1
外脑- 体系优化
知识体系& 笔记体系
内外脑高效学习模型
超级记忆法
超级记忆法-记忆 规律
记忆前
选择记忆的黄金时段
前摄抑制：可以理解为先进入大脑的信息抑制了后进 入大脑的信息
人教A版高中数学选修2-1《2.2椭圆》复习教案
1. 一、知识要点: 椭圆、双曲线、抛物线的标准方程与椭圆、双曲线、抛物线的标准方程与几何几何性质 椭圆椭圆 双曲线双曲线 抛物线抛物线定义定义 1．到两定点F 1,F 2的距离之和为定值2a(2a>|F 1F 2|)的点的轨迹轨迹 1．到两定点F 1,F 2的距离之差的绝对值为定值2a(0<2a<|F 1F 2|)的点的轨迹的点的轨迹2．与定点和直线的距离之比为定值e 的点的轨迹.（0<e<1） 2．与定点和直线的距离之比为定值e 的点的轨迹.（e>1）与定点和直线的距离相等的点的轨迹. 图形图形方程 标准方程方程 12222=+b y a x (b a >>0) 12222=-by a x (a>0,b>0) y 2=2px 参数方程 为离心角）参数q q q (sin cos îíì==b y a x 为离心角）参数q q q (tan sec îíì==b y a x îíì=y pt x 22(t 为参数) 范围范围 ─a £x £a ，─b £y £b |x| ³ a，y ÎR x ³0 中心中心 原点O （0，0） 原点O （0，0） 顶点 (a,0), (─a,0), (0,b) , (0,─b) (a,0), (─a,0) (0,0) 对称轴x 轴，y 轴；轴； 长轴长2a,短轴长2b x 轴，y 轴; 实轴长2a, 虚轴长2b. x 轴 焦点焦点 F 1(c,0), F 2(─c,0) F 1(c,0), F 2(─c,0) )0,2(p F 焦距 2c （c=22b a -） 2c （c=22b a +）离心率 )10(<<=e a c e )1(>=e a c ee=1 准线准线x=c a 2± x=ca 2±2p x -=渐近线y=±abx 焦半径 ex a r ±= )(a ex r ±±=2px r += 通径通径a b 22 a b 22 2p 焦参数焦参数ca 2ca 2P (1))0(12222>>=+b a b y a x ,焦点:F 1(-c,0),F 2(c,0),其中c=22b a -. (2))0(12222>>=+b a a y b x ,焦点:F 1(0,-c),F 2(0,c),其中以标准方程)0(12222>>=+b a by a x 为例: ①范围:|x|≤a,|y|≤b;②对称性:对称轴x=0,y=0,对称中心为O(0,0);③顶点A(a,0),A′(A(a,0),A′(--a,0),B(0,b),B′(0,a,0),B(0,b),B′(0,-b);-b);长轴|AA′|=2a,短轴|BB′|=2b;④离心率:e=ac,0<e<1;⑤准线x=±ca 2;⑥焦半径:|PF 1|=a+ex,|PF 2|=a-ex,其中P(x,y)是椭圆上任意一点. 二、基本训练1．设一动点P 到直线3x =的距离与它到点A （1，0）的距离之比为3，则动点P的轨迹方程是的轨迹方程是 （ ）()A 22132x y += ()B 22132x y -=()C 22(1)132x y ++=()D 22123x y +=2．与曲线)9(192522<=-+-k ky k x 之间具有的等量关系之间具有的等量关系（ ）()A 有相等的长、短轴有相等的长、短轴 ()B 有相等的焦距有相等的焦距()C 有相等的离心率有相等的离心率()D 有相同的准线有相同的准线3．已知椭圆的长轴长是短轴长的3倍，长、短轴都坐标上，且过点(3,0)A ，则椭圆的方程是圆的方程是 ，1.椭圆的定义: 第一种定义:平面内与两个定点F 1、F 2的距离之和等于的距离之和等于常数常数(大于｜F 1F 2｜)的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做焦距焦距. 第二种定义:平面内一个动点到一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是小于1的正常数,这个动点的轨迹叫椭圆,定点是椭圆的焦点,定直线叫做椭圆的准线. 2.椭圆的标准椭圆的标准方程方程: c=22b a -. 3.椭圆的参数方程:îíì==q qsin cos b y a x ,(参数θ是椭圆上任意一点的是椭圆上任意一点的离心率离心率). 4.椭圆的几何性质:曲线192522=+y x ．4．底面．底面直径直径为12cm 的圆柱被与底面成30的平面所截，的平面所截，截口是一个椭圆，这个椭圆的长截口是一个椭圆，这个椭圆的长y xOF 1F 2P αβyO x1lF 2 F 1 A 2 A 1 PMl短轴长短轴长 221(0)x y a b a b +,+=>>，P 为椭圆上除长轴端点外的任一点，12,F F 为椭圆的两个焦点，（1）若a =Ð21F PF ，21PF F b Ð=，求证：离心率2cos2cosb a ba -+=e ；（2）若q 221=ÐPF F ，求证：21PF F D 的面积为2t a n b q ×．例4设椭圆2211x y m +=+的两个焦点是12(,0),(,0)(0)F c F c c ->，且椭圆上存在点P ，使得直线1PF 与直线2PF 垂直．（1）求实数m 的取值范围；（2）设l 是相应于焦点2F 的准线，直线2PF 与l 相交于点Q ，若22||23||QF PF =-，求直线2PF 的方程．程．，离心率 ．5．已知．已知椭圆椭圆22=>>的离心率为35，若将这个椭圆绕着它的右焦点按逆时针方向逆时针方向旋转旋转2p后，所得新椭圆的一条准线后，所得新椭圆的一条准线方程方程是163y =，则原来的椭，则原来的椭圆方程圆方程是 ；新椭圆方程是；新椭圆方程是 ． 三、例题分析 例1(05浙江) ．如图，已知椭圆的中心在坐标原点，焦点F 1，F 2在x 轴上，长轴A 1A 2的长为4，左准线l 与x 轴的轴的交点交点为M ，|MA 1|∶|A 1F 1|＝2∶1． (Ⅰ)求椭求椭圆的方程圆的方程；(Ⅱ)若直线l 1：x ＝m (|m |＞1)，P 为l 1上的动点，使∠F 1PF 2最大的点P 记为Q ，求点Q 的坐标(用m 表示)．例2设A B 是两个定点，且||2AB =，动点M 到A 点的距离是4，线段MB 的垂直平分线l 交MA 于点P ，求动点P 的轨迹方程．例3．已知椭圆22221(0)x y a b a bïîïíì³<<+)4(2)40(442b bbb ；(B) ïîïíì³<<+)2(2)20(442b bbb ；(C) 442+b ；(D) 2b2. P A 3316 ()B )32(4- ()C )32(16+ ()D 163．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为的左焦点为 F ，(,0),(0,)A a B b -为椭圆的两个顶点，若F 到AB A 777- ()B 777+ ()C 12()D 454．（05天津卷）从集合{1,2,3…，11}例5（05上海）点A 、B 分别是分别是椭圆椭圆1203622=+y x 长轴的左、右端点，点F 是椭圆的右焦点，点P 在椭圆上，且位于x 轴上方，PF PA ^。
高中数学人教A版选修2-1第二章椭圆及其标准方程精讲讲义
当 PF1 PF 2 2a F1F 2 时, P 的轨迹为 以 F1、F2 为端点的线段
2.椭圆的方程与几何性质:
标准方程
x2 y 2 1(a b 0) a2 b2
参数关系
性
焦点
(c,0), (c,0)
质
焦距
范围
| x | a,| y | b
a2 b2 c2 2c
y2 a2
x2 b2
举一反三：【变式 1】两焦点的坐标分别为 0,4，0，- 4，且椭圆经过点（5,0）。
【变式 2】已知一椭圆的对称轴为坐标轴且与椭圆 x 2 y 2 1有相同的焦点，并且经过点（3， 94
－2），求此椭圆的方程。
2
类型三：求椭圆的离心率或离心率的取值范围 例 3．椭圆 x 2 y 2 1(a>b>0)的半焦距为 c，若直线 y=2x 与椭圆的一个交点的横坐标为 c，求 a2 b2
(Ⅰ)求以 A、B 为焦点，且过 C、D 两点的椭圆的标准方程;
5：直线与椭圆问题（韦达定理的运用）
弦长公式：若直线 l : y kx b 与圆锥曲线相交与 A 、 B 两点， A（x1, y1), B(x2 , y2 ) 则
弦长 AB (x1 x2 )2 ( y1 y2 )2 (x1 x2 )2 (kx1 kx2 )2 1 k 2 x1 x2
5
举一反三【变式 1】已知直线 l：y=2x+m 与椭圆 C： x2 y2 1 交于 A、B 两点 54
(1) 求 m 的取值范围
(2) 若|AB|= 5 15 ，求 m 的值 6
例 9、已知椭圆 C： x2 y2 1 ，直线 l:y=kx+1,与 C 交于 AB 两点，k 为何值时，OA⊥OB. 4
人教A版高中数学选修2-2课件(文)第二章2.1.2第一课时椭圆的简单几何性质
b2＝81－9＝72. 答案：A
返回
2．已知椭圆10x－2 m＋my－2 2＝1，长轴在 y 轴上．若焦距为 4，
则 m 等于
()
A．4
B．5
C．7
D．8
解析：由题意得 m－2>10－m 且 10－m>0，于是 6<m<10，再
由(m－2)－(10－m)＝22，得 m＝8.
答案：D
返回
3．椭圆 x2＋4y2＝16 的短轴长为________． 解析：由1x62＋y42＝1 可知 b＝2， ∴短轴长 2b＝4. 答案：4
2a＝5×2b， a02＋2b52 ＝1，
解得ab＝＝255. ，
故所求椭圆的标准方程为6y225＋2x52 ＝1 综上所述，所求椭圆的标准方程为2x52＋y2＝1 或6y225＋2x52＝1.
返回
(2)由 e＝ac＝35，2c＝12，得 a＝10，c＝6， 则 b2＝a2－c2＝64. 当焦点在 x 轴上时，所求椭圆的标准方程为 1x020＋6y42 ＝1； 当焦点在 y 轴上时，所求椭圆的标准方程为 1y020＋6x42 ＝1. 综上所述，所求椭圆的标准方程为 1x020＋6y42 ＝1 或1y020＋6x42＝1.
∠OF2B＝60°，∴acos 60°＝c，
∴ac＝12，即椭圆的离心率 e＝12，故选 A.
D.
6 4
答案：A
返回
4.忽视椭圆焦点位置致误 [典例] 已知椭圆的中心在原点，对称轴是坐标轴，离心 率 e＝ 23，且过 P(2,3)，求此椭圆的标准方程．
返回
[解] (1)当焦点在 x 轴上时， 设椭圆的标准方程为ax22＋by22＝1(a>b>0)．
ac＝ 23， 由题意知a42＋b92＝1，
人教A版高二数学选修2-1第二章第二节椭圆的简单几何性质
令 y=0，得 x=？, 说明椭圆与 x轴的交点（±a, 0 ）。
*顶点：椭圆与它的对称轴
的四个交点，叫做椭圆的顶 点。
y B1(0,b)
*长轴、短轴： 线段A1A2、 B1B2分别叫做椭圆的长轴和
A1
短轴。长轴长2a,短轴长2b.
o
A2(a,0) x
a、b分别叫做椭圆的长半轴 长和短半轴长。
- B2(0, b)
性质4.椭圆的离心率
椭圆的焦距与长轴长的比 c 叫做椭圆的离心率,用e
表示，即 e c .
a
y
a
因为a>c>0，所以0 < e <1.
当e c 1, c a, a
b a2 c2 0, 椭圆 扁
b
x
●c
a
O
当e c 0, c 0, a
b a2 c2 a,椭圆 圆
当且仅当a=b时，c=0，这时两个焦点重
(2)已知椭圆x2 + (m+3)y2 =m(m>0)的离心率为 3
2
求m的值及椭圆长轴和短轴的长、焦点和顶点坐标.
题型二：利用椭圆的性质求标准方程
例2．过合适下列条件的椭圆的标准方程：
（1）经过点P(3,、0) Q(0；, 2)
3
（2）长轴长等于 20,离心率等于 ．5
解:（1）由题意， a 3 ,b又∵2长轴在
A2 123 4 5 x
-2
-3 B1
-4
题型一：椭圆方程的基本计算问题
例１求椭圆16x2+25y2=400的长轴和短轴的长、离 心率、焦点和顶点的坐标．
解：把已知方程化成标准方程
x2 52
y2 42
1，
人教版-高中数学选修2-1 222_椭圆的简单几何性质2)
l：4x - 5y 40 0
椭圆上是否存在一点，它到直线l的距离最小，
最小距离是多少？
y
解：
设直线m平行于l， 则l可写成：4x 5y k 0
o
x
4x 5y k 0
由方程组
x2 25
y2 9
1
消去y，得25x2 8kx k 2 - 225 0
练习：已知直线y=x- 1 与椭圆x2+4y2=2 ，判断它们的位
置关系. 解：联立方程 组 y x1
2
2
消去y
由韦达定理
x1 x1
x2 x2
4
5 1
5
5x2 4x 1 0 ----- (1)
x2+4y2=2
因为 ∆>0 所以，方程（１）有两个根， 则原方程组有两组解….
通法
9
直线与椭圆的位置关系
种类:
相离(没有交点) 相切(一个交点)
相交(二个交点)
10
直线与椭圆的位置关系的判定
代数方法
Ax+By+C=0
由方程组：
x2 y2 a2 + b2 = 1
mx2+nx+p=0（m≠ 0）
= n2-4mp
>0
பைடு நூலகம்
方程组有两解
两个交点
相交
=0
方程组有一解
一个交点
相切
<0
方程组无解
长半轴长为a,短 半轴长为b. a>b
e c a
a2=b2+c2
x2 y2 b2 a2 1(a b 0)
人教A版高中数学选修2-1课件高二《2.2.2椭圆的简单几何性质(1)》
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复习导入：
1. 椭圆的定义，椭圆的焦点坐标，焦距. 把平面内与两个定点 F1，F2 的距离之
和等于常数（大于| F1F2|）的点的轨迹叫做 椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点 间的距离叫做椭圆的焦距.
复习导入：
1. 椭圆的定义，椭圆的焦点坐标，焦距. 把平面内与两个定点 F1，F2 的距离之
4.离心率——刻画椭圆的扁平程度.把椭圆的
c
焦点与长轴长的比
a
称为离心率.记 e
c a
.
可以理解为在椭圆的长轴长不变的前提下，
两个焦点离开中心的程度.
举例应用
例 1 求椭圆 16x2+25y2=400 的长轴和短轴的 长，离心率，焦点和定点坐标.
练习
1、求椭圆 x2+4y2=16 和椭圆 9x2+y2=81 的长 轴和短轴长，离心率，焦点坐标，定点坐标.
和等于常数（大于| F1F2|）的点的轨迹叫做 椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点 间的距离叫做椭圆的焦距.
2.椭圆的标准方程.
x2 y2 a2 b2 1
讲授新课 椭圆的几何性质
讲授新课
椭圆的几何性质
1.范围——变量 x，y 的取值范围，亦即曲线 的取值范围：横坐标-a<x<a；纵坐标-b<x<b .
练习
1、求椭圆 x2+4y2=16 和椭圆 9x2+y2=81 的长 轴和短轴长，离心率，焦点坐标，定点坐标.
2、求适合下列条件的椭圆的标准方程.
⑴ 经过点 P(3,0),Q(0,2) 3 ⑵ 长轴长是 20，离心率等个更圆， 哪一个更扁？
（1）9 x2 y2 36与 x2 y2 1 16 12
高二数学教案：《椭圆的简单几何性质》(人教A版选修)
§2.1.2椭圆的简单几何性质1
【学情分析】：
学生对于椭圆及其标准方程都有了一定的认识，本节课通过学生对椭圆图形的直观观察，探索发现应该关注椭圆的哪些性质，以及其性质在代数方面上的反映。
【三维目标】：
1、知识与技能：
①熟练掌握椭圆的范围，对称性，顶点等简单几何性质。
②掌握标准方程中a,b,c的几何意义
③通过对椭圆的研究，加强学生对学习“圆锥曲线”的方法（用代数来研究几何）的理解。
2、过程与方法：
通过学生对椭圆的图形的研究，加深对“数形结合法”的理解
3、情感态度与价值观：
通过“数形结合法”的学习，培养学生辨证看待问题。
【教学重点】：
知识与技能①②③
【教学难点】：
知识与技能③
【课前准备】：
课件学案。
数学选修21~222椭圆的简单几何性质PPT课件
答案： x 2 y 2 1 或 x 2 y 2 1
9
9 81
7
示例1. 已知椭圆的中心在原点，焦点在坐标轴上, 长轴是短轴的三倍,且椭圆经过点P(3,0),求椭圆的 方程。
解(1)若焦点在x轴上，则由题意可知a=3,b=1,
所以椭圆的标准方程为 x2 y2 1
9
(2)若焦点在y轴上,则由题意可知b=3,a=9,
(c,0)、(-c,0)
长半轴长为a, 短半轴长为b,且 a>be >0 c
a
关于x轴、y轴成轴对称； 关于原点成中心对称
(b,0)、(-b,0)、 (0,a)、(0,-a)
(0 , c)、(0, -c)
长半轴长为a, 短半轴长为b,且a>b>0
e c a
a 、 b 、 c 关 系 a2=b2+c2
a
a,b,c关系
a2=b2+c2且a>b>0,a>c>0
2
标准方程
范
围
x2 a2
y2 b2
1(ab0)
|x|≤ a, |y|≤ b
x2 y2 b2 a2 1(ab0)
|x|≤ b, |y|≤ a
对称性 顶点坐标 焦点坐标 半轴长 离心率
关于x轴、y轴成轴对称； 关于原点成中心对称
(a,0)、(-a,0)、 (0,b)、(0,-b)
4.方 程x2
y2
1表示焦点 y上在 的轴 椭 , 圆
15k k9
则 实k的 数取 值 范 __围 (_1_2是 ,_1_5_)________;
5.椭圆的长短轴之和为18，焦距为6，则椭圆 的标准方程为__x 2_25 __y 1_2_6__1_或 __1 x_2_6__y 2_25 __1_______;
人教A版高中数学选修2-1课件：2.2.2《椭圆的几何性质》(新人教版)
[5] 2a 和 2b是什么量？
B1(0,b)
a和 b是什么量？
[6] 关于离心率讲了几点？ A
回顾 1
o
A2 x
B2(0,-b)
例1 求椭圆 16 x2 + 25y2 =400的长轴和短轴的长、离 心率、焦点和顶点坐标，并作出简图。
解：把已知方程化成标准方程
x2 52
y2 42
1
这里， a 5, b 4, c 25 16 3
y2 b2
1(a b 0)
中，令 x=0，得 y=？，说明椭圆与 y轴的交点？
令 y=0，得 x=？说明椭圆与 x轴的交点？
*顶点：椭圆与它的对称轴 的四个交点，叫做椭圆的 顶点。
y B1(0,b)
*长轴、短轴：线段A1A2、 B1B2分别叫做椭圆的长轴
A1
和短轴。
a、b分别叫做椭圆的长半 轴长和短半轴长。
因此，椭圆的长轴长和短轴长分别是 2a 10,2b 8
离心率
F1(3,0), F2 (3,0)
四个顶点坐标是
A1(5,0), A2 (5,0), B1(0,4), B2 (0,4)
例1 求椭圆 16 x2 + 25y2 =400的长轴和短轴的长、离 心率、焦点和顶点坐标，并作出简图。
（1）根据已知条件，求出表示平面曲线的方程 （2）通过方程，研究平面曲线的性质
问题：
椭圆的轨迹定义、标准方程、几何性质
一、椭圆的范围
x2 由 a2
y2 b2
1
x2 a2
1和
y2 b2
1
即 x a和 y b
y
a x a 即和b yb
中国人民大学附属中学高二数学新课标人教A版选修2-1：2.2.2椭圆的几何性质 课件
由已知，
得a－c=|FA|=6371+212=6583，
a+c=|FB|=6371+41981=48352， 解得a=27467.5，c=20884.5.
b a2 c2 (a c)(a c)
48352 6583 17841.0
因此，所求的卫星运行轨道的近似方程为
x2 27467.52
于是在椭圆的方程①中，a，b分别是椭圆 的长半轴的长和短半轴的长，
又设椭圆的焦距为2c，则c是椭圆的半焦 距。
第七页，编辑于星期日：二点 十二分。
由a，b，c满足关系式a2=b2+c2.
可知长度分别为a，b，c的三条线段构成 一个直角三角形，长度为a的线段是斜边。
B1 y
ba
A1 x
c O
F1
第八页，编辑于星期日：二点 十二分。
3．顶点： 在方程①中，令y=0，得x=±a，可知椭圆C
与x轴有两个交点，分别是A1(－a，0), A2(a，0)， 如果令x=0，得y=±b，可知椭圆C与y轴也有
两个交点B1(0，－b),B2(0，b),这四个点叫做椭 圆的顶点。
第六页，编辑于星期日：二点 十二分。
在a>b>0的条件下，线段A1A2叫做椭圆的 长轴，它的长等于2a，线段B1B2叫做椭圆的 短轴，它的长等于2b. 显然，椭圆的两个焦 点在
所以椭圆方程为
x2 y2 1
148 37
第十八页，编辑于星期日：二点 十二分。
又设椭圆的标准方程为
y2 a2
x2 b2
1
因为长轴是短轴的2倍，所以a=2b，又椭圆
过点(2，－6)，
所以
36
a
2
4 b2
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c
a
• 分析解答： • 在已知直角坐标系中，设 • M(x，y)为轨迹上任意一点。
y
x= a—c2
M
•
N
• —(x—-c—)2+—y2= —c | —ac2 - x| a
• (a2-c2)x2+a2 y2=a2(a2-c2)
o
•
F
x
• 设b2=a2-c2代入，两边同除a2b2得标准方程 —x2 + —y2 =1
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a2 b122
(四)椭圆的第二定义
1．定义 平面内点M与一个定点的距离和它到一定直线的距离 的比是常数 线叫做椭圆的准线，常数e是椭圆的离心率．
2．说明
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13
e的几何意义是：
椭圆上一点到焦点的距离和它到 准线的距离的比
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14
练习
已 知 a x2 2椭 b y2 2 圆 1(ab0)上 一 P 的点 横x 坐 0,
解：2a22b a2b
当焦点在 x轴上时，设椭圆方程为
x2 4b2
y2 b2
1，
椭圆过 (2点 ， 4)
4 4b2
1b261，
b2
17，椭圆方6x程 281y为 271.
当焦点在 y轴上时，设椭圆方程为
x2 b2
y2 4b2
1，
椭圆过 (2点 ， 4)
4 b2
16 4b2
1，
b2
8，
椭圆方x8程 23y为 221.
A2
o c F2 x
5、a、b、c的关系 a2=b2+c2
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B1
x2 y2 1ab0
a2 b2
2
-
表 2 标准方程 几 何图 象 性 质范 围
对称性 顶点坐标 焦点坐标 半轴长
焦距
a,b,c关系
离心率
x2 a2
by22
1(ab0)
x2 b2
ay22
1(ab0)
|x|≤ a,|y|≤ b
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19
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4
练习3:求离心率
1、若椭圆的焦距长等于它的短轴长，则其离心率
2
为 2。
2、若椭圆的两个焦点及一个短轴端点构成正三角形，
则其离心率为
1
2。
3、若椭圆的 的两个焦点把长轴分成三等分，则其
离心率为
1 3
。
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5
4、若某个椭圆的长轴、短轴、焦距依次成等差数列，
3 则其离心率e=_____5 _____
F1、 F2分别是椭圆的左、右焦 点，且
P1F a ex0 ,P2F a ex0。
e为离心率
Y
，则
P
说明：
(第二定义)
F1 O F2
X
x2 a2
y2 b2
1（a>b>x00PF）1ac2左 焦ac 点为F1，右焦点为F2，P0（x0,y0）为椭圆上一点，
则|PFay221|=bxa22 +（e1 xa0，> b|P >P0F1F ）2 |=a c下a(-x焦e0x点0ac。2)为其a F中1，e|P0 xF上1|焦、点|P为F2F|叫2，焦P半0（径x.0,y0）为椭圆上一点，
5、以椭圆的焦距为直径并过两焦点的圆，交椭圆于 四个不同的点，顺次连接这四个点和两个焦点恰好组
成一个正六边形，那么这个椭圆的离心率 3 1 。
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6
例1.求适合下列条件的椭圆的标准方程
（1）经过点P（-3，0），Q（0，-2）
3
（2）长轴长等于20，离心率等于
5
解：（1）由椭圆几何性质知，点P、Q均为椭圆顶点
程。
x2
y2
1或x2
y2
1
10 5
5 10
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18
小结-重点
1. 椭圆几何性质: 范围、对称性、顶点、离心率等 2. 标准方程中a,b,c几何意义 3. 可根据椭圆几何性质解题 4. 求标准方程时注意:
1) 求标准方程,关键求a、b (定义法,待定系数法) 2) 不知道焦点位置, 应分类讨论
动 点 ， 当F1PF2为 钝 角 时 ， 则 点P的 横 坐 标 的 取 值 范 围
是 ____________.
设 P(x,y)，则| PF1 | a ex 3
5 3
x，| PF2
|
a
ex
3
5x 3
由余弦定理,有 cosF1PF2
|
PF1
|2 | PF2 |2 | F1F2 2 | PF1 | | PF2 |
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9
例4 求动点轨迹
一个动点M(x,y)与定点F(4，0)的距离和它与直线
x= 2 5 的距离的比是常数 4 , 求点M的轨迹
4
5
解 :设 d是 点 M 到 直 线 l:x=2 5 5的 距 离 , y
由 题 意 ,点 M 的 轨 迹 满 足
M• d
H
|MF | 4 d5
o
•
F
x
由此得 (x4)2 y2 4
| 25 x|
5
4
化 简 得 9x225y2225, 即
x2
y2
1
25 9
所以,点M的轨迹是长完轴整版长课件为ppt 10,短轴长为6的椭圆10
5
y
x= a—c2
M
•
N
o
•
F
x
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11
推广: 椭圆第二定义
•
一个动点M与定点F(c，0)的距离和它与直线
• x= —a2 的距离的比是常数 —c (a>c>0)。求点M的轨迹。
2
(2)焦距为6,四个顶点围成的四边形的面积为40
( 1 ) 可 设 m x2 n y2 1(为 什 么 ? )x42
y2 9
1
(2)注意有两解 x2 y2 1 , x2 y2 1 25 16 16 25
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8
例3 已知椭圆长轴长是短轴长的2倍，且椭圆过
点(-2，-4) ，求椭圆标准方程 注意分类
2.2.2 椭圆的简单几何性质2
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1
一. 椭圆的几何性质
1、范围： -a≤x≤ a ， -b≤y≤ b
2、顶点: (-a,0)、(a,0)、(0,-b)、(0,b)
3、对称性4、离心率:e=
c
1
a ( 0 <e< )
F1
y
B2 M
b
a
a3， b2
x2 9
y2 4
1 为所求
法 二 . 可 设 m x 2 n y 2 1 (为 什 么 ? )
(2)由已 2a 知 2， 0 ea c5 3， a1， 0 c6.
b2a2c264.
所以椭圆 x2方 y2程 1或 为 y2 ： x21
10064 10064
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7
例2. 求适合条件的椭圆标准方程 (1) 经过点P(2, 0)、Q(1, 3 3 )
轴都对称的是（ D）
A、x2＝y
B、x2＋2xy＋y＝0
C、x2－4y2＝5x
D、9x2＋y2＝4
练习2 椭圆4x2 + y2 = 1的长轴长为__2_____ 短轴长为___1__ ,离心率为___3___ 焦点坐标为__(0_,___2 3__)_______2 ___ 顶点坐标为_( _ _12 __, _0_)、___(_0_, _±__1_) __
的坐标可由
x2 9
y2 4
1
解得xP1
3 55 ，xP2
35 5
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17
变式练习
1 若椭圆的一个焦点与长轴的两个端点的距离之比 为2：3，则椭圆的离心率为（ D ） （A）2/3 （B）1/3 （C） 3 3 （D）1/5
2 椭圆的焦点与长轴较近端点的距离为 10 5，焦
点与短轴两短点的连线互相垂直，求椭圆的标准方
则练|习PF：1|=a已+e知y同0，椭理|:P圆Fac2P2|xF=2x2a0-eyac0y。2其中1|,PPF为1|、椭|P圆F2在|叫第焦半一径象. 限内的点，它
与两焦点的连P线2F 互4a c5(相ac2 垂2x00)直a，完e求整0 x版P课点件p的pt 坐标。
15
思 考 :椭 圆x92y42 1的 焦 点 为 F1、 F2 ， 点P为 其 上 的
|2
5 x2 1 9 2(9 5 x2)
9
5 x2 1
F1PF2为钝角
1
cos F1 PF2
0，即
1
9 2(9
5x2
)
0
9
解之得 3 5 x 3 5 .
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16
55
法二
法二:(数形结合)以 F1F2 为直径的圆交椭圆于 P1，P2
x2 y2 5
xP1
xP
xP2，而P1、P2
|x|≤ b,|y|≤ a
关于x轴、y轴成轴对称,关于原点成中心对称 (± a ,0),(0, ± b) (±b,0),(0,±a)
( ± c,0)
(0, ± c)
长半轴长为a,短半轴长为b.
焦距为2c
a2=b2+c2
e c ( 0 < e < 1)
a 完整版课件ppt
3
练习1 在下列方程所表示的曲线中，关于x轴、y