第十章 含耦合电感的电路

2
等效电感：
L1L2 M Leq L1 L2 2M

非同名端相连
U j L1I1 jMI 2 U jMI1 j L2 I 2
j ( L2 M ) I1 2 ( L L M 2 ) U 1 2 I j ( L1 M ) U 2 2 2 ( L L M ) 1 2
10-1 耦合电感元件

二端口耦合电感元件 是通过磁场联系相互约束的两电感元件的集合 二端口耦合电感元件的磁通链
1 (t ) 11 (t ) 12 (t ) 2 (t ) 22 (t ) 21 (t )
M
+
11 (t ) 22 (t ) 自感磁通链： 互感磁通链： 12 (t ) 21 (t )
U L1L2 M 2 j L L 2 M 1 2
j ( L1 L2 2M ) I I1 I 2 U 2 2 ( L1L2 M )
2 L L M 1 2 等效电感： L eq L1 L2 2M
L1L2 M 2 0
理想变压器

同名端方向变化后理想变压器的特性方程
u1 nu2 1 i1 i2 n


U1 nU 2 1 I1 I 2 n
n :1
+
i1
u1
－
N1
* *
i2 N2
+
u2
－
实际变压器与理想变压器近似的条件
变压器原、副边线圈自电感 ：L1、L2 耦合电感 ： M k L1L2 近似条件： M k 1 L1、L2很大 L1L2
d 1 (t ) di1 (t ) di2 (t ) u1 (t ) L1 M dt dt dt d 2 (t ) di1 (t ) di2 (t ) u2 (t ) M L2 dt dt dt
M
i2 N2 L2
+
+
i1 L1
u1
－
N1
*
*
u2
－
1 (t ) L1i1 (t ) M i2 (t ) 2 (t ) L2i2 (t ) M i1 (t )
1 M ( L1 L2 ) 2
10-2-2 耦合电感元件的并联

耦合电感元件的并联
I
j M
*
*
j L2
U
I
*
U
j L1
I1
(a)
j L1
I1
(b)
j M
j L2
I2
I2
*
同名端相连
非同名端相连

同名端相连
U j L1I1 jMI 2 U j MI1 j L2 I 2
理想变压器的阻抗变换功能
原边等效阻抗
根据理想变压器工作特性，列出方程
U1 nU 2 nI 2 Z L 1 I1 I 2 n
I1
+
Z1eq
U1 nI 2 Z L n2 Z L 1 I1 I2 n
I1
+
n :1
I2
*
*
+
Zi
U1
－
U2
－
ZL
Zi
U1
－


初级绕组和次级绕组的额定电流值
9600 9600 I1 4A V1 2400
I2
9600 9600 80A V2 120
例题

求负载的端电压 U 2。
U S 100 V
I1 R1
+ +
R1 1
I2
R2 50
I1
+ +
1:10
R1
+
*
*
US
－
U1
－
U2
－
U j L1 I jM I j L2 I jM I j ( L1 L2 2M ) I
等效电感：

Leq L1 L2 2M
反向串联（反接）：两个互耦电感元件的同名端相连。
U j L1 I jM I j L2 I jM I j ( L1 L2 2M ) I 等效电感： Leq L1 L2 2M 0
2
10-3 理想变压器

变压器



利用磁路耦合效应进行“交流信号”的传递、调整、隔离、 阻抗匹配的设备（部件）。 实质上是一种耦合电感元件。 常用变压器：升压变压器、降压变压器、隔离变压器等。 变压器是由两个紧密耦合的线圈组成的，分别称为原边（初 级）线圈、副边（次级）线圈。 原边线圈与信号源连接，构成原边（初级）回路，副边线圈 与负载连接，构成副边（次级）回路。 原边线圈、副边线圈既有自电感又有互耦电感，同时线圈电 阻将引起能量损耗。
d 1 (t ) di1 (t ) di2 (t ) u1 (t ) L1 M dt dt dt d 2 (t ) di2 (t ) di1 (t ) u2 (t ) L2 M dt dt dt
M
M
*
i2 N2 L2
+
+
i1 L1
u2
－
u1
－
N1
*
i2 N2
+
u2
－
* L2
(b)
R2
US
－
U1
－
Ri 2
(a)

(b)
回路分析法
I1 R1 U1 U S I 2 R2 U 2
U1 nU 2 I 2 nI1
U2 33.3V

阻抗变换法
50 Ri 2 n R2 0.5 100 Ri 2 0.5 U1 U S 100 3.33V R1 Ri 2 1 0.5

变压器的结构



理想变压器

理想变压器



从实际变压器抽象出的反映其主要特征的模型 忽略线圈电阻等次要因素，用简单的模型描述原、 副边电压、电流关系。 配合电阻元件等，可模拟实际变压器
理想变压器

理想变压器元件模型


理想变压器是一个二端口元件 理想变压器的变比（匝比）：原边与副边的电压（有效值或峰值） 比值 n，是理想变压器的唯一参数。 理想变压器的（工作）特性方程 注意同名端 变比与原、副边线圈匝数关系： n n1 : n2
a)
10-2 含耦合电感正弦电路的计算

耦合电感元件的相量模型
U1 j L1I1 j MI 2 U 2 j MI1 j L2 I 2
j M
+
I1
U1
－
* j L1
I2 * j L2
+
U2
－
注意同名端的连接方式，以便正确地列出电路方程。
10-2-1 耦合电感元件的串联
u1 (t ) nu2 (t ) 1 i1 (t ) i2 (t ) n
U1 nU 2 1 I1 I 2 n
理想变压器

理想变压器等效受控源模型
+
i1 u1
1 i2 n
i2
*
* +
+

理想变压器的属性
－
1 u1 n －
u2
－
1 u1i1 nu2 i2 u2i2 n
n1 n n2
例题

一个理想变压器的额定值是2400V/120V，9.6kVA且 在次级有50匝。计算：（a）匝数比，（b）初级的匝 数，（c）初级绕组和次级绕组的额定电流值。

原、副边匝比： 初级匝数：
V1 2400 n 20 V2 120
n1 n 50 20 50 1000 匝
i1 (t )
i1 L1
M12 M 21 M
M
耦合系数
M K 1 L1L2

+
u1
－
N1
*
*
i2 N2 L2
+
u2
－
同名端
10-1 耦合电感元件

二端口耦合电感元件的感应电压

取决于同名端和参考方向的关系
1 (t ) L1i1 (t ) M i2 (t ) 2 (t ) M i1 (t ) L2i2 (t )
M L1L2
例题

已知电路及参数如图，试列出该电路的网孔电流方程组
1 1 R1 j L1 jC ) I1 jC j M I 2 U S I
1
1 1 R j L ) I j M 2 2 I1 R2 I1 2 jC jC
内容提要

耦合电感元件 含有耦合电感元件的正弦电路分析 理想变压器
• 对于耦合电感元件，重点掌握之间磁路耦合对感应电压的影响，注意 同名端、参考方向的作用。 • 对于理想变压器重点掌握其原副边电压、电流变比关系、阻抗变换功 能、能量传递功能。 • 在电路分析方法上，前面所学的相量分析法仍然适用。
j ( L2 M ) I1 2 ( L L M 2 ) U 1 2 I j ( L1 M ) U 2 2 2 ( L L M ) 1 2
U L1L2 M 2 j L L 2 M 1 2
j ( L1 L2 2M ) I I1 I 2 U 2 2 ( L1L2 M )
2 2
2
2
输出功率
6 E ' P ' R 72 88mW R r 72 100
n 3.54
2

若使输出功率达到最大，要求阻抗匹配
R' n2 R n2 8Ω 100Ω
2
6 E ' P ' R 100 90mW R r 100 100
1 * U I nU 2 I 2 U 2 I 2 n
* 1 1 *
u1i1 u2i2 0
* U1I1* U 2 I 2 0
理想变压器不再是动态元件，它既不储能也不耗能，只是将原边能量 向副边传递，传递过程中，按变比调整电压和电流。
理想变压器


耦合电感元件的串联
M
+
j M
－
i
* u1 L1
－
+
+
L2 u2 *
+
I
+
U1
U
－ －
* j L1
－
j L2
U2
+
u
－
*
顺接
(a)
(b)
M
+
j M
i
* u1 L1
－
+
* － L2 u2
+
+
I
+
U1
U
－ －
* j L1
j L2
*
－
U2
+
u
－
反接
(a)
(b)

正向串联（顺接）：两个互耦电感元件的非同名端相 连。
2
1 U 2 U1 10U1 33.3V n
例题

已知信号源电动势6V，内阻100欧，扬声器的 电阻8欧。


计算直接把扬声器接在信号源上时的输出功率。 若用匝比为n = 3的变压器耦合，输出功率是多少？ 若使输出功率达到最大，问变压比为多少？此时输 出功率等于多少？
r
R
(a)
r
E
n2 Z L
(a)
(b)
对于变比为
n :1
的理想变压器原边等效阻抗为副边阻抗的 n 倍。
2
理想变压器

若副边负载为电阻R，则原边等效电阻为： 若副边负载为电感L，则原边等效电感为：
R1eq n 2 R
L1eq n 2 L


若副边负载为电容C，则原边等效电阻为：
C1eq
C 2 n
注：利用变压器的阻抗变换功能，可以实现阻抗匹配功能， 以便实现信号功率的有效传输。
j M
I1
R1
*
*

I1
US
j L1
1 jC
j L2
I2
R2



R2 I1
例题

求电路的戴维宁等效电路
U oc U1,2
R1
US R2 jM R1 j ( L1 M ) R2 jM
j M
*
*
1
j L1

j L2

US
R2
等效阻抗： 可用短路电路法、 外施激励法求得。
E
(b)
R

直接连接
E 6 P I R R 8 25mW Rr 8 100
2

2
2
用匝比为n = 3的变压器耦合
扬声器的反射阻抗
N1 300 ' R R 8 72Ω 100 N2
i1 L1
u1
－
N1
*
*
i2 N2 L2
+
u2
－
10-1 耦合电感元件

二端口耦合电感元件的参数

自感（系数）和互感（系数）：单位为-亨利（H）
L1 L2

11 (t )
i1 Βιβλιοθήκη Baidut )
M12 M 21
12 (t )
i2 (t )
22 (t )
i2 (t )
21 (t )