2020年高考圆锥曲线知识点总结

轴长
短轴的长 2b 长轴的长 2a
焦点 焦距
F1 c, 0 、 F2 c, 0
F1 0, c 、 F2 0, c
F1F2 2c c2 a2 b2
对称性
关于 x 轴、 y 轴、原点对称
离心率
e c a
1
b2 a2
0
e
1
e
越小，椭圆越圆；e
越大，椭圆越扁
-1-
二、双曲线
1、定义：平面内与两个定点 F1 ， F2 的距离之差的绝对值等于常数（小于 F1 F2 ）的点的轨迹称为双曲线．即：|| MF1 | | MF2 || 2a, (2a | F1F2 |) 。
x2 2 py
p 0
x2 2 py
p 0
范围
x0
x0
y0
y0
顶点
0, 0
对称轴
x轴
y轴
焦点 准线方程 离心率
F
p 2
,
0
F
p 2
,
0
F
0
,
p 2
F
0
,
p 2
x p 2
x p 2
y p 2
y p来自百度文库2
e 1 ， p 越大，抛物线的开口越大
焦半径 M (x0, y0 )
MF
x0
高中数学圆锥曲线选知识点总结
一、椭圆
1、定义：平面内与两个定点 F1 ， F2 的距离之和等于常数（大于 F1 F2 ）的点 的轨迹称为椭圆．
即：| MF1 | | MF2 | 2a, (2a | F1F2 |) 。 这两个定点称为椭圆的焦点，两焦点的距离称为椭圆的焦距．
2、椭圆的几何性质：
焦点的位置
2 ⑸ 1 1 2.
| FA | | FB | P
四、直线与圆锥曲线的位置关系
几何角度(主要适用于直线与圆的位置关系)
1.直线与圆锥曲线直线与圆锥曲线的位置关系代数角度（适用于所有直线与圆锥曲线位置关系）
直线与圆锥曲线相交的弦长问题利 利用 用两 一点 般间 弦距 长离 公公 式式 （（ 容繁 易琐 ））
根据根与系数的关系，进行整体代入。即当直线 斜率为k 与圆锥曲线交于点
Ax1, y1 ， Bx 2 , y2 时，则
AB = 1 k 2 x1 x2 = 1 k 2 x1 x2 2 4x1x2
=
1 1 k2
y1 y2 =
1 1 k2
y1 y2 2 4 y1 y2
-4-
这两个定点称为双曲线的焦点，两焦点的距离称为双曲线的焦距．
2、双曲线的几何性质：
焦点的位置
焦点在 x 轴上
焦点在 y 轴上
图形
标准方程
x2 a2
y2 b2
1 a
0,b 0
y2 a2
x2 b2
1 a
0,b
0
范围
x a 或 x a ， y R
y a 或 y a ， x R
顶点
A1 a, 0 、 A2 a, 0
当圆锥曲线是抛物线时，直线 L 与抛物线的对称轴平行或重合。
②.若 a 0 ，设 b2 4ac 。 a . 0 时，直线和圆锥曲线相交于不同两点，相交。
b. 0 时，直线和圆锥曲线相切于一点，相切。c. 0 时，直线和圆锥曲线没有公
共点，相离。
五、弦长问题：
直线与圆锥曲线相交时的弦长问题是一个难点，化解这个难点的方法是：设而不求，
2.直线与圆锥曲线的位置关系：
⑴.从几何角度看：（特别注意）要特别注意当直线与双曲线的渐进线平行时，直线与 双曲线只有一个交点；当直线与抛物线的对称轴平行或重合时，直线与抛物线也只有 一个交点。
⑵.从代数角度看：设直线 L 的方程与圆锥曲线的方程联立得到 ax 2 bx c 0 。
①. 若 a =0，当圆锥曲线是双曲线时，直线 L 与双曲线的渐进线平行或重合；
p 2
MF
x0
p 2
MF
y0
p 2
MF
y0
p 2
通径
过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦称为通径： HH 2 p
焦点弦长 公式
AB x1 x2 p
AB y1 y2 p
3、过抛物线的焦点作垂直于对称轴且交抛物线于 A 、 两点的线段 A ，称为 抛物线的“通径”，即 A 2 p ．
焦点在 x 轴上
焦点在 y 轴上
图形
标准方程
x2 a2
y2 b2
1 a
b 0
y2 a2
x2 b2
1a b 0
范围
a x a 且 b y b
b x b 且 a y a
A1 a, 0 、 A2 a, 0
顶点
1 0, b 、 2 0,b
A1 0, a 、 A2 0, a 1 b, 0 、 2 b, 0
ybx a
yax b
5、实轴和虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线．
三、抛物线
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1、定义：平面内与一个定点 F 和一条定直线 l 的距离相等的点的轨迹称为抛 物线．定点 F 称为抛物线的焦点，定直线 l 称为抛物线的准线．
2、抛物线的几何性质：
标准方程
y2 2 px
p 0
y2 2 px
p 0
A1 0, a 、 A2 0, a
轴长
虚轴的长 2b 实轴的长 2a
焦点 焦距
F1 c, 0 、 F2 c, 0
F1 0, c 、 F2 0, c
F1F2 2c c2 a2 b2
对称性
关于 x 轴、 y 轴对称，关于原点中心对称
离心率 渐近线方程
e c a
1
b2 a2
e
1
，e
越大，双曲线的开口越阔
4、关于抛物线焦点弦的几个结论：
设 AB 为过抛物线 y 2 2 p x ( p 0 ) 焦点的弦， A(x1, y1) 、B(x2 , y2 ) ，直线 AB 的倾斜角为 ，则
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⑴
x1x2
p2 4 , y1 y2
p2;
⑵
AB
2p sin2
;
⑶ 以 AB 为直径的圆与准线相切； ⑷ 焦点 F 对 A 、B 在准线上射影的张角为 ；