重庆大学数值分析试卷
数值分析期末试题及答案
数值分析期末试题及答案试题一：1. 简答题（共10分）a) 什么是数值分析？它的主要应用领域是什么？b) 请简要解释迭代法和直接法在数值计算中的区别。
2. 填空题（共10分）a) 欧拉方法是一种______型的数值解法。
b) 二分法是一种______法则。
c) 梯形法则是一种______型的数值积分方法。
3. 计算题（共80分）将以下函数进行数值求解：a) 通过使用二分法求解方程 f(x) = x^3 - 4x - 9 = 0 的近似解。
b) 利用欧拉方法求解微分方程 dy/dx = x^2 + 2x + 1, y(0) = 1 在 x = 1 处的解。
c) 使用梯形法则计算积分∫[0, π/4] sin(x) dx 的近似值。
试题二：1. 简答题（共10分）a) 请解释什么是舍入误差，并描述它在数值计算中的影响。
b) 请解释牛顿插值多项式的概念及其应用。
2. 填空题（共10分）a) 数值稳定性通过______号检查。
b) 龙格－库塔法是一种______计算方法。
c) 零点的迭代法在本质上是将方程______转化为______方程。
3. 计算题（共80分）使用牛顿插值多项式进行以下计算：a) 已知插值节点 (-2, 1), (-1, 1), (0, 2), (1, 4)，求在 x = 0.5 处的插值多项式值。
b) 已知插值节点 (0, 1), (1, 2), (3, 7)，求插值多项式，并计算在 x = 2 处的值。
c) 使用 4 阶龙格－库塔法求解微分方程 dy/dx = x^2 + 1, y(0) = 1。
答案：试题一：1. a) 数值分析是研究使用数值方法解决数学问题的一门学科。
它的主要应用领域包括数值微积分、数值代数、插值和逼近、求解非线性方程、数值积分和数值解微分方程等。
b) 迭代法和直接法是数值计算中常用的两种方法。
迭代法通过反复迭代逼近解，直到满足所需精度为止；而直接法则通过一系列代数运算直接得到解。
重庆大学数学分析2002-2014
重庆大学2002数学分析重庆大学2003数学分析重庆大学2006年硕士研究生入学考试试题 科目代码:329科目名称:数学分析特别提醒考生:答题一律做在答题纸上(包括填空题包括填空题、、选择题选择题、、改错题等)，直接做在试题上按零分计分计。
第一部分 计算题计算题（（共70分）一、（10分）求极限xx x x sin 1sin lim 20→， 并说明能否使用洛必达法则，为什么？ 二、（10分）设)(x y y =是由方程y x xy e 32=确定的隐函数，计算.)(2)2ln (2y y y ′−′′−三、（10分）应用定积分求极限∑=∞→+n i n i n n 122lim 。
四、（10分）讨论函数43)1()3()(+−=x x x f 的严格单调区间与极值。
五、（10分）判断函数列),3,2,1()(2 ===n nxe x f nx n 在区间[]1,0上的一致收敛性，并说明理由。
六、（10分）计算不定积分∫++dx x x 1142 七、（10分）化二重积分xdy d y x f D∫∫+)(为单积分，其中D ：1≤+y x 。
第二部分 证明题证明题（（共80分）八、（18分）写出极限)(lim x f x ∞→存在（有限）的柯西收敛法则及其否定叙述，并据此证明下述结论：（1）极限xx x cos lim +∞→存在（有限）；（2）极限x x sin lim +∞→不存在。
九、（12分）叙述函数)(x f 闭区间[]b a ,上可积的定义，并据此证明函数−=11)(x f Qx Q x ∉∈，Q 是有理数集在闭区间[]b a ,上不可积。
第 2 页 共 2 页十、（12分）设函数)(x f 在闭区间[]b a ,上连续且变号（即非恒正，也非恒负），在开区间()b a ,二阶可导，且,0)()(==b f a f 证明：至少存在一点()0)(,,<′′∈ξξf b a 使得。
数值分析期末试题及答案
数值分析期末试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 在数值分析中，下列哪个算法不是用于求解线性方程组的？A. 高斯消元法B. 牛顿法C. 雅可比法D. 追赶法答案：B2. 插值法中，拉格朗日插值法属于：A. 多项式插值B. 样条插值C. 线性插值D. 非线性插值答案：A3. 以下哪个选项不是数值分析中的误差来源？A. 截断误差B. 舍入误差C. 计算误差D. 测量误差答案：C4. 在数值积分中，梯形法则的误差项是：A. O(h^2)B. O(h^3)C. O(h)D. O(1)答案：A二、填空题（每题5分，共20分）1. 牛顿插值法中，插值多项式的一般形式为：______。
答案：f(x) = a_0 + a_1(x-x_0) + a_2(x-x_0)(x-x_1) + ...2. 牛顿迭代法求解方程的根时，迭代公式为：x_{n+1} = x_n -f(x_n) / __________。
答案：f'(x_n)3. 在数值分析中，______ 用于衡量函数在区间上的近似积分值与真实积分值之间的差异。
答案：误差4. 线性方程组的解法中，______ 法是利用矩阵的LU分解来求解。
答案：克兰特三、解答题（每题10分，共60分）1. 给定函数f(x) = e^(-x)，使用拉格朗日插值法，求x = 0.5时的插值值。
解答：首先选取插值节点x_0 = 0, x_1 = 0.5, x_2 = 1，对应的函数值分别为f(0) = 1, f(0.5) = e^(-0.5), f(1) = e^(-1)。
拉格朗日插值多项式为：L(x) = f(0) * (x-0.5)(x-1) / (0-0.5)(0-1) + f(0.5) * (x-0)(x-1) / (0.5-0)(0.5-1) + f(1) * (x-0)(x-0.5) / (1-0)(1-0.5)将x = 0.5代入得：L(0.5) = 1 * (0.5-0.5)(0.5-1) / (0-0.5)(0-1) + e^(-0.5) * (0.5-0)(0.5-1) / (0.5-0)(0.5-1) + e^(-1) * (0.5-0)(0.5-0.5) / (1-0)(1-0.5)计算得L(0.5) = e^(-0.5)。
数值分析试卷及答案
数值分析试卷及答案数值分析试卷一、选择题（共10题，每题2分，共计20分）1. 数值分析的研究内容主要包括以下哪几个方面？A. 数值计算方法B. 数值误差C. 数值软件D. 数学分析答：A、B、C2. 下列哪种方法不属于数值积分的基本方法？A. 插值法B. 微积分基本公式C. 数值微积分D. 数值积分公式答：A3. 数值积分的目的是求解什么？A. 函数的导数B. 函数的原函数C. 函数的极值D. 函数的积分答：D4. 数值微分的目的是求解什么？A. 函数的导数B. 函数的原函数C. 函数的极值D. 函数的积分答：A5. 数值微分的基本方法有哪几种？A. 前向差分B. 后向差分C. 中心差分D. 插值法答：A、B、C6. 用数值方法求解方程的基本方法有哪几种？A. 迭代法B. 曲线拟合法C. 插值法D. 数值积分法答：A、B、C7. 用迭代法求方程的根时，当迭代结果满足何条件时可停止迭代？A. 当迭代结果开始发散B. 当迭代结果接近真实解C. 当迭代次数超过一定阈值D. 当迭代结果在一定范围内波动答：B8. 下列哪种插值方法能够确保经过所有给定数据点？A. 拉格朗日插值B. 牛顿插值C. 三次样条插值D. 二次插值答：A、B、C9. 数值解线性方程组的基本方法有哪几种？A. 直接法B. 迭代法C. 插值法D. 拟合法答：A、B10. 下列哪种方程求解方法适用于非线性方程？A. 直接法B. 迭代法C. 插值法D. 曲线拟合法答：B二、填空题（共5题，每题4分，共计20分）1. 数值积分的基本公式是_________。
答：牛顿-科特斯公式2. 数值微分的基本公式是_________。
答：中心差分公式3. 数值积分的误差分为_________误差和_________误差。
答：截断、舍入4. 用插值法求解函数值时，通常采用_________插值。
答：拉格朗日5. 数值解线性方程组的常用迭代法有_________方法和_________方法。
数值分析考试题
山东科技大学2008-2009学年第一学期《数值分析》考试一、设x =9.1234, y =10.486均具有5位有效数字。
试分析x - y和x3 y啲绝对误差限和相对误差限。
二、求一条拟合3点A(0,1), B(1,3),C(2,2)的直线。
三、设n _ 2为正整数，c为正数，记x*二n.c1) 说明不能用下面的迭代格式1 _nx k 1 = cx k ,k =Q1,2：= = " =求x*的近似值。
2) 构造一个可以求x*的迭代格式，证明所构造迭代格式的收敛性，并指出收敛阶数四、给定线性方程组_4 -1 0卩1 一2〕-1 a 1 x2 = 64」］X3」：2J】0 1其中a为非零常数。
1) 写出Jacobi迭代格式与Gauss-Seidel迭代格式并分析其收敛性。
2) 分析a在什么范围取值时以上迭代格式收敛。
五、做一个5次多项式H (x)使得H(1) =3,H (2) = —1, H(4) =3,H'(1) =2, H'(2) =1, H *(2) =2,六、求f (x) =x2在区间0,1上的一次最佳一致逼近多项式。
七、给定积分公式:1f(x)d x ：Af (-1) Bf (0) f (1)■ -41) 试确定求积系数A,B,C，使其具有尽可能高的代数精度，并指出其代数精度。
2) 试判断该求积公式是否为高斯型求积公式，并说明理由。
3) ................................................................................................ 将区间-1,作n等分，并记h=2,X j =-1 ih,i =0,1,............................................................ ，n,利用该求积公式n 构造一个复化求积公式。
数值分析报告试卷及问题详解
模拟试卷（一）—、填空题（每小题3分，共30分）1•有3个不同节点的高斯求积公式的代数精度是次的.■ 1 5 -2' ，2 .设A = -2 1 0 / x =-4_ 1 -4 2. 12 > ，则⑷J—,同广14 is 913 •已知尸心）的均差（差商）/[如,％]“] = —, f[x x yX] = — , f[x,x^x\ =—,8/ [x o,x2,x3 ] = —#那么均差 / [x4,X2^Y3]=4.已知n=4时Newton - Cotes求积公式的系数分别是：C計=[,C；“ =^,C列=丄,7 \J 1 J 1 J则C『）二5・解初始值问题＜y = f（X，y）的改进的Euler方法是.）心0）=儿阶方法；6.求解线性代数方程组＜5%| - 3X2-0.1X3 = 3-2x, + 6X2+ 0.7® = 2的高斯一S德尔迭代公式为Xj +2X2+3.5X3 = 1若取捫＞=（1,71）,则利）=7•求方程x = f（x）根的牛顿迭代格式是 ____________ .8. f0（A）, £（x）,…,仁（X）是以整数点兀），西,…,俎，为节点的Lagrange插值基函数,则1＞0（忑）= ___________ •1-010・设/（・1） = 1J（O） = OJ（1） = 1J（2） = 5 ,则/（X）的三次牛顿插值多项式为 __________________ ，其误差估计式为______________________ .二.综合题（每题10分，共60分）1 .求一次数不超过4次的多项式“(X)满足："⑴=15 , "(1) = 20 , /「(1) = 30 p(2) = 57 , p‘⑵= 72.其代数精度.3 .用Newton法求方程x-Inx = 2在区间(2,s)的根要求忙 #I <10-8. 1^14・用最小二乘法求形如y = a + hx2的经验公式拟合以下数据：5・用矩阵的直接三角分解法解方程组y f = f(\ y)6试用数值积分法建立求解初值问题•小、丿的如下数值求解公式卜(0)=儿儿+1 = y»-i + - (£+1 + 4人 + A-i)，其中ft = /(兀,X), i = n-1,”，n + \.三.证明题(10分)设对任意的;V ,函数/(X)的导数广w都存在且0v/S广(QSM,对于满足2OvQv三的彳壬意几，迭代格式仏严九一兄/(忑)均收敛于/(%) = 0的根x・参考答案—s填空题1.5;2. & 9;3. — ;4. 一 ; 5•二;1545尤严)=(3 + 3 时)+o.lxf )/5 6. < 垮刖=(2 + 2屮初 _0.7歧))/6 ,(0.02,0.22,0.1543)£Z=(l — x ；Z —2x ；z)*2/7 • ■7・汕=入 _；二：］8-厂；° 以3) vl;10. —.V + x" —x, f (f)(x + 1)X (A * — l)(x — 2)/ 24 c s (—1,2) 6 6二综合题1・差商表：p{x) = 15 + 20(x -1) +15(x -1)2 + 7(x -1)' + (x - l)3(x - 2) = 5 + 4x + 3x 2 +2x 3+x其他方法：设 p(x) = 15 + 20(x 一 1) +15(x -1)2 + 7(x 一 1尸 + (x -1)3 (ax+b) 令 “(2) = 57 r⑵=72 ,求出 a 和b.2・取f(x) = 1, x ,令公式准确成立，得：2809I寸Eomom寸COMN CM"61II -二比三Eds H e•寸心Ix 三Ix H(X)J®Y寸・0)叵凶股皿眉•巾卑◎—€□((s 叵凶田ss H m ・m.^n s s gs ...寸r I S寸"H -WPQ 石 X H (X)： iH p -W ^gH<+<1・ I H<+<-0-£3启孑刃咲&讯篠世迎ffl®議・s•§38.O H ^・zzr,肖6・0口9去监s §s .o「991寸In -11解下三角方程组;有” =5 ,匕=3 ,1 >'23 2 1 V3171 0 17解初值问题等价于如下形式y （x ）=y （兀1）+匸几不）'，取 Y =耳+i ，有 y(©+i ) = yCji)+「z fa 、y(x)\ix f 利用辛卜森求积公式可得儿+严畑+ g （/；1+1 + 4/；_ + /；,_.）.三.证明题 证明 将 f(x) = 0 写成 x = x-/Lf(x) =(p(x) t 由于 ^(x) = [x-2/(x)r = l-2/r (x),所以 10(力曰1 一/lf(x)lvl 所以迭代格式札| =忑- A fM 均收敛于/(x) = 0的根F ・模拟试卷（二）一.填空题（每小题3分，共30分）1 .分别用2.718281和2.718282作数〔的近似值，则具有效位数分别有 _______ 位和再解上三角方程组得原方程组的解为“ 10 2 0'丁1 0 1 v 23 2 1兀362. 兰4.4=1 t = 1 t X3 =2 t X4 = 2 ・10 -2"2 .设4 =1 1 0 ■ x = 33-821>?3 =6，>4 =4・位；3•对于方程组Jacobi迭代法的迭代矩阵是G,=〔10刁-4七=3 J4.设f(jv) = H+x_l，则差商/[0,1,2,3]= _______________ , /[0, 1, 2, 3,4]= _________ •1 25・已知A=() ] f贝ij条件数Co认(A) ______________ ・6.为使两点的数值求积公式[f(x)dx = f(x0) + /(x,)具有最高的代数精确度,则具求积基点应为X。
重庆大学研究生数值分析试题解析
算精度为=10-2的近似根; (3)此迭代法的收敛阶是多少?说明之.
解 (1)因为0<x1时,(x)<0,x2时,(x)>0,所以(x)仅在(1,2)内有零点,而当1<x<2 时,(x)>0,故(x)单调.因此方程(x)=0有唯一正根,且在区间(1,2)内.
(3)因为0<</2,所以() 故,此迭代法线性收敛(收敛阶为1).
0
cos / 2 1 sin
三、(14分)设线性方程组
4x1 x2 2x3 1 x1 5x2 x3 2 2x1 x2 6x3 3
(1)写出Jacobi法和SOR法的迭代格式(分量形式); (2)讨论这两种迭代法的收敛性. (3)取初值x(0)=(0,0,0)T,若用Jacobi迭代法计算时, 预估误差x*-x(10) (取三位有效数字).
R(பைடு நூலகம்) f (4) ( x ) x(x 1)2 (x 2)
4!
五、(12分)试确定参数A,B,C及,使数值积分公式
2
2
f
(x)dx
Af
( )
Bf
(0)
Cf
( )
有尽可能高的代数精度,并问代数精度是多少?它是否是Gauss公式?
解 令公式对(x)=1,x,x2,x3,x4都精确成立,则有 4=A+B+C, 0=A-C, 16/3=A2+C2, 0=A3-C3 64/5=A4+C4 ,解得:A=C=10/9,B=16/9,=(12/5)1/2
考试题解析
数值分析试题及答案
数值分析试题及答案一、选择题（每题2分，共20分）1. 以下哪个算法是数值分析中用于求解线性方程组的直接方法？A. 牛顿法B. 高斯消元法C. 梯度下降法D. 蒙特卡洛方法答案：B2. 插值法中，拉格朗日插值法和牛顿插值法的共同点是：A. 都是多项式插值B. 都使用差商C. 都只适用于等距节点D. 都需要预先知道所有数据点答案：A3. 在数值积分中，辛普森(Simpson)公式比梯形公式的误差：A. 更大B. 更小C. 相同D. 无法比较答案：B4. 以下哪个是数值稳定性分析中常用的方法？A. 条件数B. 收敛性C. 收敛速度D. 误差分析答案：A5. 在求解常微分方程的数值解时，欧拉方法属于：A. 单步法B. 多步法C. 隐式方法D. 显式方法答案：A6. 以下哪个是数值分析中求解非线性方程的迭代方法？A. 高斯-约当消元法B. 牛顿-拉弗森方法C. 雅可比迭代法D. 高斯-赛德尔迭代法答案：B7. 线性插值公式中，如果给定两个点\( (x_0, y_0) \)和\( (x_1, y_1) \)，插值多项式是：A. \( y = y_0 + \frac{y_1 - y_0}{x_1 - x_0}(x - x_0) \)B. \( y = y_0 + \frac{y_1 - y_0}{x_0 - x_1}(x - x_0) \)C. \( y = y_0 + \frac{x - x_0}{x_1 - x_0}(y_1 - y_0) \)D. \( y = y_1 + \frac{x_1 - x}{x_1 - x_0}(y_0 - y_1) \)答案：C8. 以下哪个是数值分析中用于求解特征值问题的算法？A. 幂法B. 共轭梯度法C. 牛顿法D. 欧拉法答案：A9. 在数值微分中，使用有限差分法来近似导数时，中心差分法的误差：A. 与步长成正比B. 与步长的平方成正比C. 与步长的立方成正比D. 与步长的四次方成正比答案：B10. 以下哪个是数值分析中用于求解线性最小二乘问题的算法？A. 梯度下降法B. 牛顿法C. 奇异值分解法D. 共轭梯度法答案：C二、简答题（每题10分，共30分）1. 简述数值分析中病态问题的特点及其对算法的影响。
数值分析试题与答案
试题__2009___年~__2010___年第 一学期课程名称： 数值分析 专业年级： 2009级（研究生） 考生学号： 考生姓名： 试卷类型： A 卷 √ B 卷 □ 考试方式: 开卷 √ 闭卷 □………………………………………………………………………………………………………一. 填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）1.设有节点012,,x x x ，其对应的函数()y f x =的值分别为012,,y y y ，则二次拉格朗日插值基函数0()l x 为 。
2.设()2f x x =，则()f x 关于节点0120,1,3x x x ===的二阶向前差分为 。
3.设110111011A -⎡⎤⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥-⎣⎦，233x ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，则1A ＝ ，1x = 。
4. 1n +个节点的高斯求积公式的代数精确度为 。
二．简答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）1. 哪种线性方程组可用平方根法求解？为什么说平方根法计算稳定？2. 什么是不动点迭代法？()x ϕ满足什么条件才能保证不动点存在和不动点迭代序列收敛于()x ϕ的不动点？3. 设n 阶矩阵A 具有n 个特征值且满足123n λλλλ>≥≥≥，请简单说明求解矩阵A 的主特征值和特征向量的算法及流程。
三．求一个次数不高于3的多项式()3P x ，满足下列插值条件：i x 1 2 3 i y 2 4 12 i y '3并估计误差。
（10分）四．试用1,2,4n =的牛顿-科特斯求积公式计算定积分1011I dx x=+⎰。
（10分） 五．用Newton 法求()cos 0f x x x =-=的近似解。
（10分） 六．试用Doolittle 分解法求解方程组：12325610413191963630x x x -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎣⎦⎣⎦⎣⎦ （10分） 七．请写出雅可比迭代法求解线性方程组123123123202324812231530x x x x x x x x x ++=⎧⎪++=⎨⎪-+=⎩ 的迭代格式，并判断其是否收敛？（10分）八．就初值问题0(0)y yy y λ'=⎧⎨=⎩考察欧拉显式格式的收敛性。
(完整)数值分析学期期末考试试题与答案(A),推荐文档
期末考试试卷( A 卷)2007 学年第二学期 考试科目： 数值分析 考试时间： 120 分钟学号 姓名 年级专业100011. 用计算机求11000时，应按照 n 从小到大的顺序相加。
n1n2. 为了减少误差 ,应将表达式 2001 1999 改写为 2进行计算。
( )2001 19993. 用数值微分公式中求导数值时，步长越小计算就越精确。
( )4. 采用龙格－库塔法求解常微分方程的初值问题时， 公式阶数越高，数值解越精确。
( )5. 用迭代法解线性方程组时， 迭代能否收敛与初始向量的选择、 系数矩阵及其演变方式有关，与常数项无关。
( ) 二、填空每空 2 分，共 36 分)1. 已知数 a 的有效数为 0.01 ，则它的绝对误差限为 _______ ，相对误差限为 _1 0 1 02. 设 A0 2 1 ,x 5 ,则 A 1____________________________ _， x 2 ______ ，Ax1 3 0 13. 已知 f (x) 2x 54x 35x,则 f[ 1,1,0] , f[ 3, 2, 1,1,2,3] .14. 为使求积公式 f (x)dx A 1f ( 3) A 2f (0) A 3f ( 3)的代数精度尽量高，应使13 3A 1 ， A 2 ， A 3，此时公式具有 次的代数精度。
5. n 阶方阵 A 的谱半径 ( A)与它的任意一种范数 A 的关系是 .6. 用迭代法解线性方程组 AX B 时，使迭代公式 X (k 1)MX (k)N (k 0,1,2,K )产 生的向量序列X (k)收敛的充分必要条件是 .7. 使用消元法解线性方程组AX B时，系数矩阵A可以分解为下三角矩阵L 和上三角矩阵U 的乘积，即A LU. 若采用高斯消元法解AX B，其中A 4 2，则21L ___________ ，U ____________ ；若使用克劳特消元法解AX B ，则u11 _______ ；若使用平方根方法解AX B，则l11与u11的大小关系为（选填：＞，＜，=，不一定）。
数值分析课程考试试卷(A)及答案
《 数值分析 》课程考试试卷（A ）考试形式：闭卷√□、开卷□，允许带 计算器 入场考生姓名： 学号： 专业： 班级：一、填空（每个空3分，共30分）1，设 *3.1415, 3.141x x ==，则*x 有__________位有效数字。
2，*3587.6x =是经四舍五入得到的近似值，则其相对误差≤*r e ___________. 3，已知=⎪⎭⎫⎝⎛-=1,4032A A 则_______， =∞A _______.4，设0)(≥''x f , 则由梯形公式计算的近似值T 和定积分⎰=badx x f I )(的值的大小关系为___________.（大于或者小于）5, 已知,3,2,1,03210====x x x x 4,5.2,1.1,03210====f f f f ，则均差],,,[3210x x x x f _______________.6, 已知A=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2021012a a ，为使A 可分解为TLL A =，其中L 为对角线元素为正的下三角形矩阵，则a 的取值范围为_______________，如果a =1，则L =______________.7，若b a ,满足的正规方程组为：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+∑∑∑∑∑=====n i n i ni i i i i n i ni i i y x b x a x y b x na 1112111 则x y 与之间的关系式为______________________8，若1λ是1-A 的按模最大的特征值，则A 的按模最小的特征值为___________二、设(1)0,(0)2,(1)4f f f -===，求 )(x p 使 )()(i i x f x p =,)2,1,0(=i ；又设 M x f ≤''')( ，则估计余项 )()()(x p x f x r -= 的大小 。
数值分析试题及答案
数值分析试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列关于数值分析的说法，错误的是（）。
A. 数值分析是研究数值方法的科学B. 数值分析是研究数值方法的数学理论C. 数值分析是研究数值方法的误差分析D. 数值分析是研究数值方法的数学理论、误差分析及数值方法的实现答案：B2. 在数值分析中，插值法主要用于（）。
A. 求解微分方程B. 求解积分方程C. 求解线性方程组D. 通过已知数据点构造一个多项式答案：D3. 线性方程组的解法中，高斯消元法属于（）。
A. 直接方法B. 迭代方法C. 矩阵分解方法D. 特征值方法答案：A4. 牛顿法（Newton's method）是一种（）。
A. 插值方法B. 拟合方法C. 迭代方法D. 优化方法答案：C5. 在数值分析中，下列哪种方法用于求解非线性方程的根？A. 高斯消元法B. 牛顿法C. 雅可比方法D. 斯托尔-温格尔方法答案：B6. 下列关于误差的说法，正确的是（）。
A. 绝对误差总是大于相对误差B. 相对误差总是小于绝对误差C. 误差是不可避免的D. 误差总是可以消除的答案：C7. 在数值分析中，下列哪个概念与数值稳定性无关？A. 条件数B. 截断误差C. 舍入误差D. 插值多项式的阶数答案：D8. 用泰勒级数展开函数f(x)=e^x，下列哪一项是正确的？A. f(x) = 1 + x + x^2/2! + x^3/3! + ...B. f(x) = 1 - x + x^2/2! - x^3/3! + ...C. f(x) = x + x^2/2 + x^3/6 + ...D. f(x) = x - x^2/2 + x^3/6 - ...答案：A9. 插值多项式的次数最多为（）。
A. n-1B. nC. n+1D. 2n答案：B10. 下列关于数值积分的说法，错误的是（）。
A. 梯形法则是一种数值积分方法B. 辛普森法则是一种数值积分方法C. 龙格法则是数值积分方法中的一种D. 数值积分方法总是精确的答案：D二、填空题（每题3分，共15分）1. 在数值分析中，条件数是衡量问题的______。
数值分析试题及答案
数值分析试题及答案一、单项选择题（每题3分，共30分）1. 线性代数中，矩阵A的逆矩阵记作（）。
A. A^TB. A^-1C. A^+D. A*答案：B2. 插值法中，拉格朗日插值多项式的基函数是（）。
A. 多项式B. 指数函数C. 正弦函数D. 余弦函数答案：A3. 在数值积分中，梯形规则的误差是（）阶的。
A. O(h^2)B. O(h^3)C. O(h)D. O(1/h)答案：A4. 求解线性方程组时，高斯消元法的基本操作不包括（）。
A. 行交换B. 行乘以非零常数C. 行加行D. 行除以非零常数答案：D5. 非线性方程f(x)=0的根的迭代法中，收敛的必要条件是（）。
A. f'(x)≠0B. f'(x)=0C. |f'(x)|<1D. |f'(x)|>1答案：C6. 利用牛顿法求解非线性方程的根时，需要计算（）。
A. 函数值B. 函数值和导数值C. 函数值和二阶导数值D. 函数值、一阶导数值和二阶导数值答案：B7. 矩阵的特征值和特征向量是（）问题中的重要概念。
A. 线性方程组B. 特征值问题C. 线性规划D. 非线性方程组答案：B8. 在数值分析中，条件数是衡量矩阵（）的量。
A. 稳定性B. 可逆性C. 正交性D. 稀疏性答案：A9. 利用龙格现象说明，高阶插值多项式在区间端点附近可能产生（）。
A. 振荡B. 收敛C. 稳定D. 单调答案：A10. 雅可比迭代法和高斯-塞德尔迭代法都是求解线性方程组的（）方法。
A. 直接B. 迭代C. 精确D. 近似答案：B二、填空题（每题4分，共20分）11. 线性代数中，矩阵A的行列式记作________。
答案：det(A) 或 |A|12. 插值法中，牛顿插值多项式的基函数是________。
答案：差商13. 在数值积分中，辛普森规则的误差是________阶的。
答案：O(h^4)14. 求解线性方程组时，迭代法的基本思想是从一个初始近似解出发，通过不断________来逼近精确解。
《数值计算试卷》重庆大学_2012-2013版本2
重庆大学试卷 教务处07版 第 1 页 共 1 页重庆大学《数值计算》课程试卷2012 ~2013 学年 第1学期开课学院：数统学院 课程号：考试日期：考试方式：考试时间120 分钟一、 填空题（3分/每空，共24分）1、精确值461972.2*=x ，近似值462041.2=x ，则x 有 位有效数字。
2、Simpson 公司的代数精度为。
3、若)(x f 在),(b a 上有连续的二阶导数，则梯形求积公式的截断误差为4、已知矩阵 A=250276428⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭，则 A ∞= 。
5.)1(>>x 改变为 使得到的结果更有效。
6、解非线性方程0)(=x f 的牛顿迭代法，在单实根附近具有 阶收敛。
7、若线性方程组b Ax=的系数矩阵A 为严格对角占优阵，则雅可比迭代法_____8、迭代过程（k=1,2,…）收敛的充要条件是。
二、（18分）对方程组1231231234232622252x x x x x x x x x -+=⎧⎪-+-=⎨⎪--+=⎩用Gauss-Seidel 迭代法求解是否收敛？取初值()1,1,1T，并求出用Gauss-Seidel 迭代3次后的值(3)x 。
三.（16分）用经典的四阶R-K 方法求初值问题'2(0)1y x yy ⎧=+⎨=⎩的解在x ＝0.2处的值，取步长h ＝0.1四.(16分) 已知：5====，（1） 构造差商表；（2的近似值五.（12分）用逐次分半的复化梯形法公式计算积分⎰+=10211dx x I 要求精确至3位有效数。
六．试对矩阵A 进行Doolittle 分解 (14分)623251139A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦命题人：组题人：审题人：命题时间：教务处制学院 专业、班 年级 学号 姓名公平竞争、诚实守信、严肃考纪、拒绝作弊封线密。
重庆大学研究生数值分析期末考试试卷
重庆大学研究生数值分析课程试卷A卷B卷2012 ~2013 学年 第 1学期开课学院：数统学院 课程号:考试日期：考试方式：开卷闭卷 其他 考试时间 120 分钟注：1.大标题用四号宋体、小标题及正文推荐用小四号宋体；2。
按A4纸缩小打印一、 选择题（3分/每小题，共15分）1、以下误差公式不正确的是（ A ）A. ()()()1212x x x x εεε-=- B 。
()()()1212x x x x εεε+=+C ．()()()122112x x x x x x εεε=+ D. ()()22x x x εε=2、通过点()00,x y ，()11,x y 的拉格朗日插值基函数()0l x ，()1l x 满足（C ）A. ()000l x =，()110l x =B. ()000l x =,()111l x = C 。
()001l x =,()111l x = D. ()001l x =,()110l x =3、已知等距节点的插值型求积公式 ()()352k k k f x dx A f x =≈∑⎰，则3k k A ==∑（ C )A. 1B. 2C. 3 D 。
44、解线性方程组Ax b =的简单迭代格式()()1k k x Bx f +=+收敛的充要条件是（ B ) A 。
()1A ρ< B. ()1B ρ< C 。
()1A ρ> D 。
()1B ρ>5、已知差商021[,,]5f x x x =，402[,,]9f x x x =,234[,,]14f x x x =，032[,,]8f x x x =，则420[,,]f x x x =（ B ）A. 5B. 9C. 14D. 8二、 填空题（3分/每小题，共15分）1取 3.141592x =作为数3.141592654...的近似值,则x 有____6____位有效数字 2、Cotes 求积公式的代数精度为 5学院 专业、班 年级 学号 姓名公平竞争、诚实守信、严肃考纪、拒绝作弊封线密3、若()2[,]f x C a b ∈，则梯形求积公式的截断误差为：3''()()2b a f η--4、迭代法()1n n x x ϕ+=收敛的充分必要条件是：()'1x ϕ<5。
研究生《数值分析》试卷(带答案)
一.(6分) 已知描述某实际问题的数学模型为xy y x y x u 223),(+=，其中，y x ,由统计方法得到，分别为4,2==y x ,统计方法的误差限为0.01,试求出u 的误差限)(u ε和相对误差限)(u r ε.解：)(23)(6)(),()(),()(222y x y x x x y xy y y y x u x x y x u u εεεεε⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∂∂+∂∂≈6.016.044.001.0)412(01.0)448(=+=⨯++⨯-=0.010714566.03)()(22=≈+=xy y x u u r εε 二.(6分) 已知函数13)(3+=x x f 计算函数)(x f 的2阶均差]2,1,0[f ,和4阶均差]4,3,2,1,0[f .解：21142512)1()2(]2,1[,311401)0()1(]1,0[=-=--==-=--=f f f f f f9232102]1,0[]2,1[]2,1,0[=-=--=f f f0!4)(]4,3,2,1,0[)4(==ξf f三.(6分)试确定求积公式: )]1(')0('[121)]1()0([21)(10f f f f dx x f -++≈⎰的代数精度. 解：记⎰=10)(dx x f I )]1(')0('[121)]1()0([21f f f f I n -++=1)(=x f 时：1110==⎰dx I 1]00[121]2[21=-+=n Ix x f =)(时：2110==⎰xdx I 21]11[121]1[21=-+=n I2)(x x f =时：31102==⎰dx x I 31]20[121]1[21=-+=n I3)(x x f =时：41103==⎰dx x I 41]30[121]1[21=-+=n I4)(x x f =时：51104==⎰dx x I 61]40[121]1[21=-+=n I求积公式)]1(')0('[121)]1()0([21)(1f f f f dx x f -++≈⎰具有3次代数精度. 四.(12分) 已知函数122)(23-++=x x x x f 定义在区间[-1,1]上,在空间},,1{)(2x x Span x =Φ上求函数)(x f 的最佳平方逼近多项式.其中,权函数1)(=x ρ,154))(),((,1532))(),((,34))(),((210-==-=x x f x x f x x f ϕϕϕ. 解：0))(),(())(),((21))(),((1101101100=====⎰⎰--dx x x x x x dx x x ϕϕϕϕϕϕ32))(),(())(),(())(),((112110220====⎰-dx x x x x x x x ϕϕϕϕϕϕ0))(),(())(),((1131221===⎰-dx x x x x x ϕϕϕϕ52))(),((11422==⎰-dx x x x ϕϕ解方程组⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1541532345203203203202210a a a 得⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛15161210a a a 则)(x f 的最佳平方逼近多项式为：1516)(2-+=x x x p 五.(16分) 设函数)(x f 满足表中条件:(1) 填写均差计算表((2) 分别求出满足条件22k k k k 的 2次 Lagrange 和 Newton 差值多项式.(3) 求出一个四次插值多项式)(4x H ,使其满足表中所有条件.并用多项式降幂形式表示.解：12)12)(02()1)(0()20)(10()2)(1()(22+-=----+----=x x x x x x x L12)1)(0(1)0)(1(1)(22+-=--+--+=x x x x x x N 令)2)(1()(12)(24--+++-=x x x b ax x x x H则)2()()2)(1)(()2)(1(22)('4-++--++--+-=x x b ax x x b ax x x ax x x H)1()(-++x x b ax由 ⎩⎨⎧-=+=+⇒⎩⎨⎧=-++-=-=-++-=1220)12(2)2(24)2('2)21)((22)1('44b a b a b a H b a H 解得 5,3=-=b a因此1820143)2)(1()53(12)(23424++-+-=--+-++-=x x x x x x x x x x x H 六.(16分)(1). 用Romberg 方法计算⎰31dx x ,将计算结果填入下表(*号处不填).(2). 试确定三点 Gauss-Legender 求积公式⎰∑-=≈11)()(k k k x f A dx x f 的Gauss 点k x 与系数k A ,并用三点 Gauss-Legender 求积公式计算积分: ⎰31dx x .解：过点（1，-1）和点（3，1）作直线得 y t x +=所以积分⎰⎰-+=11312dt t dx x由三次Legendre 多项式 )35(21)(33x x x p -= 得得Gauss 点：,515,0,515210==-=x x x再由代数精度得 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==+==+-==++⎰⎰⎰---32535305155152111220112011210dt x A A dt x A A dt A A A即 ⎪⎩⎪⎨⎧=+=-=++9/10022020210A A A A A A A解得 ,95,98,95210===A A A所以三点Gauss-Legendre 求积公式为：()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-≈⎰-5159509851595)(11f f f dx x f 因此 79746.2515295298515295211=+++-≈+=⎰-dx t I 七.(14分)(1) 证明方程02ln =--x x 在区间(1,∞)有一个单根.并大致估计单根的取值范围. (2) 写出Newton 迭代公式,并计算此单根的近似值.(要求精度满足: 5110||-+<-k k x x ). 解：令 2ln )(--=x x x f),1(,011)('∞∈>-=x xx f > 即)(x f 在区间 ),1(∞ 单调增 又 04)(,02ln )2(22>-=<-=e e f f 所以 02ln =--x x 在区间 ),1(∞有一单根 ),1(20e x ∈Newton 迭代公式为1ln 112ln 1-+=----=+k kk k kk k k k x x x x x x x x x 令 20=x 计算得八. (12分) 用追赶法求解方程组:⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛022112111131124321x x x x 的解.解： 由计算公式 ⎪⎩⎪⎨⎧-===+====-1,,2,,,2,,111111n i c n i b a c b i i ii i i i i i βααβγγβαα得 ,2,1,1,21,1,24321111======γγγββαα25211322212=⨯-=⇒=+ααβγb 52222222==⇒=αββαc c 53521133323=⨯-=⇒=+ααβγb 35333333==⇒=αββαc c 37352144434-=⨯-=⇒=+ααβγb因此 ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛135152121137253125121211113112 即 LU A = 令 b Ly = 解 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-022137253125124321y y y y 得⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛23753214321y y y y令 y Ux =解 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛237532113515212114321x x x x 得⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛21104321x x x x九. (12分) 设求解初值问题⎩⎨⎧==00)(),('y x y y x f y 的计算格式为:)],(),([111--+++=n n n n n n y x bf y x af h y y ,假设11)(,)(--==n n n n y x y y x y ,试确定参数b a ,的值,使该计算格式的局部截断误差为二阶,即截断部分为: )(3h o .（注：原题中)(2h o 错误）解：)],(),([111--+++=n n n n n n y x bf y x af h y y )](')('[)(1-++=n n n x by x ay h x y])('''21)('')('[)(')(2++-++=n n n n n x y h x hy x y hb x hay x y ++-++=)('''21)('')(')()(32n n n n x by h x by h x y b a h x y 对比 ++++=+)('''61)(''21)(')()(321n n n n n x y h x y h x hy x y x y 得 ⎩⎨⎧==+2/11b b a ， 即 2/1==b a 时该计算格式具有二阶精度.。
数值分析考试卷及详细答案解答汇总
姓名 __________ 班级 ___________ 学号 _____________一、选择题i.F （2,5,-3,4）表示多少个机器数（C ）.A 64B 129C 257D 256 2. 以下误差公式不正确的是（D ）A ・ £（迎 *一七 *）« 5（Xj*）+£（£ *） c ，£（“*•£ *）«|^2 *k （-'l*） + |时住2 *）3. 设° =（、任_1）6,从算法设计原则上定性判断如下在数学上等价的表达式，哪一个在数值计算上将给出°较好的近似值？ （D ）A ———B 99-70V2C （3-2V2）3D —— （V2 +1）6 （3 + 204. 一个30阶线性方程组，若用Crammer 法则来求解，则有多少次乘法？（A ） A31X29X30! B 30X30X30! C31X30X31! D 31X29X29!5. 用一把有亳米的刻度的米尺来测量桌子的长度，读出的长度1235mm,桌子的精确长度 记为（D ） A 1235mm B 1235-0.5mm C 1235+0.5nun D 1235±0.5mm二、填空1. 构造数值算法的基本思想是 近似替代、离散化、递推化 。
2. 十进制123.3转换成二进制为1111011.0而1。
3. 二进制110010.1001转换成十进制为 50.5625 。
4. 二进制o.ioi 转换成十进制为-o75.已知近似数X *有两位有效数字，则其相对误差限 5%。
6.1112=0.69314718...,精确到 10一’的近似值是 0.693。
* *7. x = ;r = 3.1415926・・・，则“ =3.1416 , =3.141的有效数位分别为5 和 3 __________ o8. 设卅=2.001,严=-0.8030是由精确值x 和y 经四舍五入得到的近似值，则兀* +y *的误差限____________________ o9.设x = 2.3149541•…，取5位有效数字，则所得的近似值卅二2.3150 。
重庆大学《数值分析》期末考试真题及答案讲课讲稿
重庆大学《数值分析》期末考试真题及答案一.填空题:1． 若求积公式对任意不超过 m 次的多项式精确成立,而对 m+1 次多项式不成立,则称此公式的代数精度为m 次.2． 高斯消元法求解线性方程组的的过程中若主元素为零会发生 计算中断 ;.主元素的绝对值太小会发生 误差增大 .3． 当A 具有对角线优势且 不可约 时，线性方程组Ax=b 用简单迭代法和塞德尔迭代法均收敛.4． 求解常微分方程初值问题的欧拉方法是 1 阶格式; 标准龙格库塔法是 4 阶格式.5． 一个n 阶牛顿-柯特斯公式至少有 n 次代数精度,当n 偶数时,此公式可以有n+1 次代数精度.6． 相近数 相减会扩大相对误差,有效数字越多,相对误差 越大 .二计算题: 1. 线性方程组:⎪⎩⎪⎨⎧-=++-=+-=++5.1526235.333321321321x x x x x x x x x 1) 对系数阵作LU 分解,写出L 阵和U 阵；⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=79/123/5413314/33/113/11U L 2) 求出此方程组的解.)5.0,1,2('-=x2. 线性方程组:⎪⎩⎪⎨⎧=++-=++=++332212325223321321321x x x x x x x x x 1)对系数阵作LU 分解,写出L 阵和U 阵；⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=573235223152321321//////U L2)求出此方程组的解.),,('-=133x3) 此方程组能否用用简单迭代法和高斯塞德尔迭代法求解.0732223222305322303>=>=>,,A 对称正定,用高斯-塞德尔迭代法收敛;..,.,//////)(,6667033331027163432323232323232131=-==+-=-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+-=-λλλλλJ J B I U L D B 用简单迭代法不收敛3. 设f (x )= x 4, 以-1,0,1,2为插值节点,1) 试写出f (x )的三次拉格朗日插值多项式P 3(x )及其插值余项R 3(x );6)2)(1())()(())()(()(3020103210---=------=x x x x x x x x x x x x x x x x l 2)2)(1)(1())()(())()(()(3121013201--+=------=x x x x x x x x x x x x x x x x l 2)2)(1())()(())()(()(3212023102-+-=------=x x x x x x x x x x x x x x x x l 6)1)(1())()(())()(()(2313032103-+=------=x x x x x x x x x x x x x x x x l )(8)()()(3203x l x l x l x P ++=())2)(1)(1()2)(1()1(!4)()4(43--+=--+=x x x x x x x x x x R 2) 求出f (1.5)的近似值,并估计误差.0625.55.1)5.1(4==f-0.93755.05.05.25.1)2)(1)(1()5.1(3=-⨯⨯⨯=--+=x x x x R 6)9375.0(0625.5)5.1(3=--=P或:0.3125610.9375 0625.0)5.1(8)5.1()5.1()5.1(3203⨯++=++=l l l P =6 -0.937560625.5)5.1()5.1()5.1(33=-=-=P f R4 设x x f ln )(=, 以1,2,3为插值节点,1) 试写出f (x )的二次拉格朗日插值多项式P 2(x )及其插值余项R 2(x );2322010210))(())(())(()(--=----=x x x x x x x x x x x l ))(())(())(()(312101201---=----=x x x x x x x x x x x l2211202102))(())(())(()(--=----=x x x x x x x x x x x l98080124711438009861693102212...)(.)(.)(-+-=+=x xx l x l x P 23112312333ln ()()()()()()()!R x x x x x x x ξξ'''=---=---2) 求出)(ln e p e 2≈的近似值,与精确值1比较,并用误差公式估计误差限.0135010135122.,ln ,.)(===R e e p231123123331171830718302817011593ln ()()()()()()()!..(.).R e e e e e e e ξξ'''=---=---≤⨯⨯⨯-=5 有积分公式()()2)0(2)(33f c f b f a dx x f ⨯+⨯+-⨯=⎰-，c b a ,,是待定参数，试确定c b a ,,，使得上述公式有尽可能高的代数精度,并确定代数精度为多少.⎰⎰⎰---==+==+-==++==332333318)(40)(2612,1,0,)(dx x b a xdx b a dx c b a k x x f k)]()()([)(/,/33023343234933f f f dx x f c b a ++-====∴⎰- 至少有2次代数精度.[][]10872072435486,024024430,)(33433343=++≠==++-===⎰⎰--dx x dx x x x x f此公式代数精度为3. 6 有积分公式)]2(3)0(2)2(3[43)(33f f f dx x f ++-=⎰- 1) 试确定代数精度为多少;2) 用它计算⎰-33dx e x,精确到2位小数,与3333---=⎰e e dx e x 作比较.[][][][][]10872072435486,02402443012012431860643032343614,3,2,1,0,)(3343333323333=++≠==++-==++==++-==++====⎰⎰⎰⎰⎰-----dx x dx x dx x xdx dx k x x f k代数精度为3.04.2043.18]323[43333320332=-==++≈⎰⎰----e e dx e e e e dx e x x7. 某企业产值与供电负荷增长情况如下表：1) 试用一次多项式拟合出经验公式bx a y +=；⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛415521186062625..b a 解之: 0006101811.,.ab =-=0061018110..-=x y8. 测试某型号水泵得到扬程(米)和出水量(立米/小时)的对照表如下:1)试用一次多项式拟合出经验公式x ba y +=；bX a y x X +==,/1⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛12365491404514515....b a 解之: 59953043864.,.ba ==-38644953059./.-=x y2) 计算拟合值填入上表的空格，看是否与实际值基本吻合； 3) 某用户使用此型号水泵时扬程为2.6米,试估计此时出水量?67183864462953059.../.=-=y9 方程01=-+-x xe x有一个实根：1)用区间对分法搜索确定根所在的区间 (a,b )，使 b-a ≤0.2;(0.6,0.8)1) 用某种迭代法求出此正根,精确到5位有效数字65905.0*≈x10 方程x e x-=1) 证明它在(0,1)区间有且只有一个实根； 2) 证明Λ,,,101==-+k e x k x k ，在(0,1)区间内收敛；3) 用牛顿迭代法求出此根,精确到5位有效数字1),.)(,)(,)(063201100>=-==-=-f f e x x f x(0,1)区间有一个实根；)(,)(x f e x f x 011>>+='-是严格增函数，只有一个实根。
数值分析试题库与答案解析
y1
y0
h( 2
k1
k2)
2 0. 1 ( 0. 5 0. 5 7 1 4 2 9 )
2. 1 0 7 1 4 2 9
33 5 3 解 设3 5 9
5 9 17
1
d1
1 l21 l31
l21 1
d2
1 l32
l31 l32 1
d3
1
利用矩阵乘法可求得
2
5
d1 3 ， d 2 2 ， d3
， l 21 1 ， l31
7. xk 1 xk xk f (xk ) ; 8. x j ; 9. 1 f (xk)
(B) 1;
10. 1 x3
x2
1 x,
f (4) ( )( x 1)x( x 1)(x 2) / 24
6
6
( 1,2)
二、综合题
1．差商表：
1 15
20
1 15
15
20
7
1 15
22
1
42
8
2 57
30
72
2 57
＝
.
5．解初始值问题
y f ( x, y)
的改进的 Euler 方法是
y(x0) y0
阶方法；
5 x1 3 x2 0.1x3 3
6．求解线性代数方程组
2 x1 6 x2 0.7 x3 2 的高斯—塞德尔迭代公式为
，
x1 2 x2 3.5x3 1
若取 x (0) (1, 1,1) , 则 x(1)
.
7．求方程 x f ( x) 根的牛顿迭代格式是
， l 32 2
3
3
解方程组
1
y1
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1
1
1
3
0
f
( x)dx
A0
f
( ) 4
A1 f
( ) 2
A2
f
() 4
解：令 f (x) 1, f (x) x, f (x) x2 对求积公式准确成立，则
A0 A1 A2 1
1
4
A0
1 2
A1
3 4
A2
1 2
1 16
A0
1 4
A1
9 16
A2
1 3
解该线性方程组得：
A0
2, 3
A1
则 f [x4 , x2 , x0 ] （ B ） A. 5 B. 9 C. 14
D. 8
二、 填空题（3 分/每小题，共 15 分）
1 取 x 3.141592 作为数 3.141592654... 的近似值，则 x 有____6____位有效数字
2、Cotes 求积公式的代数精度为
5
3、若 f x C2[a,b] ，则梯形求积公式的截断误差为： (b a)3 f '' ()
1、求出系数矩阵的 1 范数。2、作系数矩阵的 Doolittle 分解并求解这个方程组。
1 2 3
令 A 2 5
8
，则
A 1 25
3 8 14
四、 用牛顿法求 f x x3 3x 1 0 在 x0 2 附近的实根，精确到四位有效数
字（8 分）
解：由 f x x3 3x 1 0 ，得 f ' x 3x2 3
f
( x0
0.05,
y0
0) 2
0.1 0.051
0.005
K3
0.1
f
( x0
0.05,
y0
0.005) 2
0.1
0.05 1.0025
0.0050125
K4 0.1 f (x0 0.1, y0 0.005012) 0.1 0.11.005012 0.01005012
y1
y0
1 6
(K1
故
xk 1
xk
f (xk )
f xk
=
xk
x3 k
3xk
1
3x2 3
k
将 x0 2 代入迭代格式得
k xk
0
2
1
1.8889
2
1.8795
3
1.8794
4
1.8794
五、 用经典的四阶 R-K 方法求初值问题 y' xy y(0) 1
在 x＝0.2 处的值，取步长 h＝0.1（13 分） 1
2K2
2K3
K4)
=1
1 6
(0
0.01
0.010025
0.01005012)
=1.00501
同理可算出 y2
六、 已知连续函数 y f x 的如下数值表
xi
0.10
0.19
0.26
0.31
f xi
1.280
2.011
2.351
3.000
试构造差商表，并求 f 0.23 的近似值（小数点后保留 5 位）（12 分）
一、 选择题（3 分/每小题，共 15 分）
1、以下误差公式不正确的是（ A ）
A. x1 x2 x1 x2
B. x1 x2 x1 x2
封
C． x1x2 x2 x1 x1 x2
D. x2 2 x x
2、通过点 x0, y0 ， x1, y1 的拉格朗日插值基函数 l0 x ， l1 x 满足（C）
重庆大学数值分析课程试卷
A卷
B卷
2012 ~2013 学年 第 1 学期
姓名
公平竞争、诚实守信、严肃考纪、拒绝作弊
学号
开课学院：数统学院 课程号：
考试日期：
考试方式： 开卷 闭卷 其他
考试时间 120 分钟
密
总 题号 一 二 三 四 五 六 七 八 九 十
分
得分
注：1.大标题用四号宋体、小标题及正文推荐用小四号宋体；2.按 A4 纸缩小打印
yi1 yi 6 (K1 2K2 2K3 K4 )
K1 hf (xi , yi )
K2
hf
xi
h 2
,
yi
K1 2
K3
hf
xi
h 2
,
yi
K2 2
K4 hf (xi h, yi K3 )
代x0入公0,式y得0 ：1
K1 0.1 f (x0 , y0 ) 0
K2
0.1
A. l0 x0 0 , l1 x1 0
B. l0 x0 0 , l1 x1 1
C. l0 x0 1, l1 x1 1
D. l0 x0 1, l1 x1 0
年级
专业、班
3、已知等距节点的插值型求积公式
5 f xdx
2
3
Ak f xk ，则
2
4、迭代法 xn1 xn 收敛的充分必要条件是： ' x 1
5.
方程组
5x1x13xx22
1 的 3
Jacobi
迭代格式为：
x1(k 1)
x(k 2
1)
3x(k) 1 2
5x(k) 3 1
三、 已知线性方程组
1 2 3 x1 2
2
5
8
x2
5
3 8 14 x3 9
3
Ak （
C
）
k 0
k 0
线 A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
4、解线性方程组 Ax b 的简单迭代格式 xk1 Bxk f 收敛的充要条件是（ B ）
学院
A. A 1 B. B 1 C. A 1 D. B 1
5、已知差商 f [x0 , x2 , x1] 5 ， f [x4 , x0 , x2 ] 9 ， f [x2 , x3, x4 ] 14 ， f [x0 , x3, x2 ] 8 ，
七、 用 n=5 的复化梯形公式计算积分 I 1 xdx （小数点后保留 4 位）（7 分）。 0
解：
x0
0，
x1
1 5
，
x2
2 5
，
x3
3 5
，
x4
4 5Βιβλιοθήκη ，x51h 1 5
I5
h 2
h0
h5
2 h1
h2
h3
h4
=
1 10
0
1
2
1 5
2 5
3 5
4 5
1 2
八、 确定下列公式的待定参数，使其代数精度尽可能的高，并指明求积公式的 代数精度(12 分)
1, 3
A2
2 3
所以得： 1 f (x)dx 2 f (1) 1 f (1) 2 f ( 3)
0
3432 34
令 f (x) x3 ，准确成立 令 f (x) x4 ，不成立，故代数精度为 3