高二数学下学期入学考试试题
2022-2023学年四川省内江市高二下学期入学考试数学(理)试题【含答案】
2022-2023学年四川省内江市高二下学期入学考试数学（理）试题一、单选题1．已知三维数组(2,1,0)a =- ，(1,,7)b k = ，且a b ⊥，则实数k 的值为（）A ．-2B ．2C ．27D ．-9【答案】B【分析】根据两个向量垂直可得其数量积为0，然后解方程即可【详解】根据a b ⊥，可得：0a b ⋅= 则有：20k -=解得：2k =故选：B2．从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是（）A ．至少有一个黑球与都是红球B ．至少有一个红球与都是红球C ．至少有一个红球与至少有1个黑球D ．恰有1个红球与恰有2个红球【答案】D【分析】A.至少有一个黑球与都是红球,是对立关系，因此能判断A 不符合要求；B.至少有一个红球包括两球都是红球，二者不互斥，不符合要求；C.至少有一个红球与至少有1个黑球，含有同时发生的情况，不符合要求；D.恰有1个红球与恰有2个红球，二者符合题目要求.【详解】A.至少有一个黑球与都是红球,二者不会同时发生，是互斥关系，任取2个球时，这两个事件又一定会有一个发生，因此二者又是对立事件，不符合题目要求；B.至少有一个红球包括两球都是红球，因此二者会同时发生，不是互斥关系，不符合要求；C.至少有一个红球与至少有1个黑球，二者都含有恰有一个红球和一个黑球的情况，会有同时发生的可能，不是互斥关系，不符合要求；D.恰有1个红球与恰有2个红球，二者不会同时发生，是互斥事件，但二者有可能都不会发生，比如取到的两球都是黑球，故二者不是对立事件，符合题目要求.故选：D3．设α、β是两个不同的平面，m 、n 是两条不同的直线，且m α⊂，n β⊂，下列命题正确的是（）A ．如果//m β，那么//αβB ．如果//αβ，那么//m nC ．如果m β⊥，那么αβ⊥D ．如果αβ⊥，那么m β⊥【答案】C【分析】根据已知条件判断线线、线面以及面面位置关系，可判断ABD 选项的正误，利用面面垂直的判定定理可判断C 选项的正误.【详解】对于A 选项，因为m α⊂，n β⊂，//m β，则α、β平行或相交，A 错；对于B 选项，因为m α⊂，n β⊂，//αβ，则m 、n 平行或异面，B 错；对于C 选项，因为m α⊂，n β⊂，m β⊥，由面面垂直的判定定理可知αβ⊥，C 对；对于D 选项，因为m α⊂，n β⊂，αβ⊥，则//m β或m β⊂或m 与β相交，D 错.故选：C.4．设a R ∈，若直线1:280l ax y +-=与直线2:(1)50l x a y +++=平行，则a 的值为（）A ．1B ．2-C ．1或2-D ．23-【答案】C【分析】根据直线的一般式判断平行的条件进行计算.【详解】10a +=时，容易验证两直线不平行，当10a +≠时，根据两直线平行的条件可知：28115a a -=≠+，解得1a =或2a =-.故选：C.5．过点(1,1)P 可以向圆222420x y x y k ++-+-=引两条切线，则k 的范围是（）A ．2k >B ．07k <<C ．7k <D ．27k <<【答案】D【分析】过点(1,1)P 可以向圆222420x y x y k ++-+-=引两条切线，即点(1,1)P 在圆外，即P 到圆心的距离大于圆的半径，则把圆的方程化为标准方程后，找出圆的圆心和半径，利用两点间的距离公式求出点(1,1)P 到圆心的距离，由d r >且70k ->，即可求解.【详解】把圆的方程化为标准方程得()()22127x x k ++-=-，即圆心坐标为()1,2-，半径为7r k =-，点(1,1)P 到圆心的距离为()()221+1+125d =-=，∵P 在圆外时，过点P 可以向圆222420x y x y k ++-+-=引两条切线，∴d r >，即57k >-,且70k ->，解得27k <<，故选：D .6．如图所示，在三棱柱111ABC A B C -中，ABC 是等边三角形，1AA ⊥平面ABC ，12AA AB ==，D ，E ，F 分别是1BB ，1AA ，11AC 的中点，则直线EF 与CD 所成角的余弦值为（）A ．12B ．22C ．12-D ．0【答案】D【分析】方法一：根据异面直线夹角的定义，延长11,AC AC ，使111,C M AC CN AC ==，连接111,,,,,AC CM DM B M B F MN ，分析图形结合余弦定理可求直线EF 与CD 所成角的余弦值；方法二：将三棱柱补成四棱柱，结合异面直线夹角的定义确定夹角，根据余弦定理与勾股定理可求得直线EF 与CD 所成角的余弦值；方法三：根据三棱柱的几何性质，建立空间直角坐标系，按照空间坐标运算求解直线EF 与CD 所成角的余弦值即可.【详解】解：方法一：延长11,AC AC ，使111,C M A C CN AC ==，连接111,,,,,AC CM DM B M B F MN ，如图所示．在三棱柱111ABC A B C -中，ABC 是等边三角形，1AA ⊥平面ABC ，12AA AB ==，易知1////,5,22EF AC CM CD CM ==，22222222111113313DM B D B M B D B F FM =+=++=++=．设直线EF 与CD 所成角为θ，易知()22222252213cos cos 022522DC CM DMDCM DC CMθ+-+-=∠===⋅⨯⨯，∴直线EF 与CD 所成角的余弦值为0．故选：D ．方法二：如图，将三棱柱补成四棱柱，其中两个三棱柱全等．取PB 中点Q ，连接DQ ，由棱柱性质易知//EF DQ ，∴CDQ ∠为EF 与CD 所成角或其补角．连接CQ ，由题知2,1,1BC BQ BD ===，∴5,2CD DQ ==，又120CBQ ∠=︒，∴在CBQ △中由余弦定理可得2222212cos 1221272CQ BQ BC BQ BC CBQ ⎛⎫=+-⋅⋅∠=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭∴7CQ =在CDQ 中，2227CQ CD DQ =+=，∴90CDQ ∠=︒∴直线EF 与CD 所成角的余弦值为0．故选：D ．方法三：如图，取AC 中点为O ，连接,OB OF ，在三棱柱111ABC A B C -中，ABC 是等边三角形，1AA ⊥平面ABC ，12AA AB ==，易得FO ⊥平面ABC ，则,FO OB FO AC ⊥⊥，又2AB BC ==，O 为AC 中点，所以OB AC ⊥，则以O 为原点，以,,OB OC OF 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系．所以()()()()()0,0,0,0,1,0,3,0,1,0,0,2,0,1,1O C DF E -，则()()0,1,1,31,1EF CD ==-，，所以011cos ,025EF CD EF CD EF CD⋅-+===⨯⋅∴直线EF 与CD 所成角的余弦值为0．故选：D ．7．甲､乙两人在相同条件下各打靶10次，每次打靶的成绩情况如图所示：下列说法错误的是（）A ．从平均数和方差相结合看，甲波动比较大，乙相对比较稳定B ．从折线统计图上两人射击命中环数走势看，甲更有潜力C ．从平均数和命中9环及9环以上的次数相结合看，甲成绩较好D ．从平均数和中位数相结合看，乙成绩较好【答案】D【分析】由图找出甲乙打靶的成绩，分别计算出甲乙的平均数、方差、中位数，结合折线图逐项分析可得答案.【详解】由图可知，甲打靶的成绩为2，4，6，8，7，7，8，9，9，10，甲的平均数为24687789910710甲+++++++++==v ，甲的方差为()()()()()()()222222222747672772872971075.410甲-+-+-+⨯-+⨯-+⨯-+-==s乙打靶的成绩为9，5，7，8，7，6，8，6，7，7，乙的平均数为9578768677710乙+++++++++==v ，乙的方差为()()()()()2222229757267477287 1.210乙-+-+⨯-+⨯-+⨯-==s ，所以22乙甲<s s ，从平均数和方差相结合看，甲波动比较大，乙相对比较稳定，故A 正确；从两人射击命中环数折线统计图走势看，在后半部分，甲呈上升趋势，而乙呈下降趋势，甲更有潜力，故B 正确；甲打靶的成绩为2，4，6，7，7，8，8，9，9，10，中位数为7.5，乙打靶的成绩为5，6，6，7，7，7，7，8，8，9，中位数为7，甲9环及9环以上的次数3次，甲9环及9环以上的次数1次，甲乙二人的打靶命中环数的平均数相同，故从平均数和命中9环及9环以上的次数相结合看，甲成绩较好，故C 正确；甲乙二人的打靶命中环数的平均数相同，甲的中位数7.5大于乙的中位数7，从平均数和中位数相结合看，甲成绩较好，故D 错误.故选：D.8．图1中的机械设备叫做“转子发动机”，其核心零部件之一的转子形状是“曲侧面三棱柱”，图2是一个曲侧面三棱柱，它的侧棱垂直于底面，底面是“莱洛三角形”，莱洛三角形是以正三角形的三个顶点为圆心，正三角形的边长为半径画圆弧得到的，如图3．若曲侧面三棱柱的高为10，底面任意两顶点之间的距离为20，则其侧面积为（）A ．100πB ．600C ．200πD ．300π【答案】C【分析】由莱洛三角形是以正三角形的三个顶点为圆心，正三角形的边长为半径画圆弧得到的，结合已知可得半径为20，由弧长公式求得底面周长，进而可求得结果.【详解】莱洛三角形由三段半径为20，圆心角为π3的圆弧构成，所以该零件底面周长为π32020π3⨯⨯=，故其侧面积为200π．故选：C.9．已知三棱锥S ABC -所有顶点都在球O 的球面上，且SA ⊥平面ABC ，若1SA AB AC BC ====，则球O 的表面积为（）A ．52πB ．5πC ．53πD ．73π【答案】D【分析】设O '为ABC 的外接圆的圆心，取SA 的中点E ，求得ABC 的外接圆的半径33r =，且12O A '=，得到三棱锥S ABC -外接球的半径，结合球的表面积公式，即可求解.【详解】如图所示，设O '为ABC 的外接圆的圆心，取SA 的中点E ，分别连接OO '和OE ，则OO '⊥平面ABC ，OE ⊥SA ，因为SA ⊥平面ABC ，若1SA AB AC BC ====，可得ABC 的外接圆的半径33r O A '==，且12O O AE '==，在直角O OA '△中，可得22222317()()3212OA OO O A ''=+=+=，即三棱锥S ABC -外接球的半径为2712R =，所以球O 的表面积为2743S R ππ==.故选：D.10．若直线y kx =与圆22(2)(1)1x y ++-=的两个交点关于直线20x y b -+=对称，则k ，b 的值分别为（）A ．12k =-，5b =B ．12k =，3b =-C ．12k =-，4b =-D ．2k =，5b =【答案】A【分析】由题意分析得知直线20x y b -+=经过圆心求出b ；由直线y kx =与直线20x y b -+=垂直求出k 即可.【详解】因为直线y kx =与圆22(2)(1)1x y ++-=的两个交点关于直线20x y b -+=对称，所以直线20x y b -+=经过圆心()21，-，且直线y kx =与直线20x y b -+=垂直，所以()221021⎧⨯--+=⎨=-⎩b k 解得：512=⎧⎪⎨=-⎪⎩b k ，故选：A.11．已知直线:10l x y -+=，点(),0A a -、()(),00B a a >，若直线l 上存在点P 满足90APB ∠= ，则实数a 的取值范围为（）A ．2,2⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭B ．2,2⎡⎫+⎪⎢⎪⎣⎭∞C ．()1,+∞D ．[)1,+∞【答案】B【分析】设点(),P x y ，由勾股定理可得出222x y a +=，则直线l 与圆222x y a +=有公共点，利用点到直线的距离公式可求得实数a 的取值范围.【详解】设点(),P x y ，因为90APB ∠= ，则222PA PB AB +=，即()()222224x a y x a y a +++-+=，整理可得222x y a +=，所以，点P 既在直线l 上，又在圆222x y a +=上，所以，直线l 与圆222x y a +=有公共点，因为0a >，且圆222x y a +=的圆心为原点，半径为a ，所以，()22111a ≤+-，可得22a ≥，故实数a 的取值范围为2,2⎡⎫+⎪⎢⎪⎣⎭∞.故选：B.12．在正方体1111ABCD A B C D -中，P 为线段1A B 上的动点（不包含端点），若正方体棱长为1，则下列结论正确的有（）①直线1D P 与AC 所成角的取值范围是ππ,62⎛⎫⎪⎝⎭②存在P 点，使得平面1APD ∥平面1C BD③三棱锥1D CDP -的体积为16④平面1APD 截正方体所得的截面可能是直角三角形A ．①③B ．②④C ．③④D ．②③【答案】D【分析】①建立平面直角坐标系，利用异面直线所称角的向量坐标法，即可求解；②当点P 为中点时，即可判断面面平行；③结合等体积转化11D CDP P CDD V V --=，即可求解；④讨论点P 的位置，作出截面，即可判断.【详解】①如图，连结1,AC D P ，以点D 为原点，建立空间直角坐标系，则()1,0,0A ，()1,1,0B ，()11,0,1A ，()0,0,0D ，()10,0,1D ，()0,1,0C ，则有()1,1,0AC =- ，设11A P A B λ= ，()()()11111,0,00,1,11,,D P D A A B λλλλ=+=+-=-，()01λ∈，，所以()212211cos ,42221AC D P λλλλ--+==++，令()()22142f λλλ-=+，()0,1λ∈，则()()()()()22222421184404242f λλλλλλλ+---'==<++，所以()()22142f λλλ-=+在()0,1上单调递减，因为()102f =，()10f =，设直线1D P 与AC 所成角为α，所以120cos cos ,2AC D P α<=< ，又π0,2α⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,故直线1D P 与AC 所成角的取值范围是ππ,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦，故①错误；②当点P 为1A B 的中点时，有1//AP C D ，AP ⊄平面1C BD ，1C D ⊂平面1C BD ，所以//AP 平面1C BD ，同理，1//AD 平面1C BD ，且1AD AP A = ，1,AD AP ⊂平面1APD ，所以平面11//APD C BD ，故②正确；③三棱锥1D CDP -的体积11111111113326D CDP P CDD CDD V V S AD --==⨯⨯=⨯⨯⨯⨯= ，故③正确；④设1A B 的中点为O ，连结11,,AP AD D P ，当点P 在线段OB （不包括端点）上时，此时平面1APD 截正方体所得的截面为梯形1AEFD ，如图，当点P 在O 点时，此时平面1APD 截正方体所得的截面为正三角形11AB D ,如图，当点P 在线段1OA （不包括端点）时，此时平面1APD 截正方体所得的截面为等腰三角形1AD G ，如图，12AD =，11D G AG =>，所以22211D G AG AD +>，1AGD ∠为锐角，该等腰三角形不可能为直角三角形，综上，可得④错误.故选：D二、填空题13．某创新企业为了解新研发的一种产品的销售情况，从编号为01，02，…，80的80个专卖店销售数据中，采用系统抽样的方法抽取一个样本，若样本中的个体编号依次为03，13，…则样本中的最后一个个体编号是_______.【答案】73【分析】以系统抽样抽取样本规则解之即可.【详解】由抽取样本中的个体编号依次为03，13，…，可知抽取的两个相邻号码之差为10.说明样本以10个为一组，被分成了8组.抽出的编号依次为：3，13，23，33，43，53，63，73.则样本中的最后一个个体编号是73.故答案为：7314．若实数x 、y 满足约束条件131x y x y x -≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，则31z x y =++的最小值是______．【答案】４【分析】按照简单的线性规划步骤逐步进行即可.对于可行域为封闭三角形，目标函数为截距型时，可用交点代入法求解.【详解】作出可行域，令Z =0，作直线l 0：310x y ++=，易知，将直线l 0平移过点A 时Z 取得最小值，将A 点坐标(1,0)代入目标函数得min 4Z =.故答案为：415．如图所示，在棱长为3的正方体1111ABCD A B C D -中，E 在棱1DD 上，12DE ED =，F 是侧面11CDD C 上的动点，且1//B F 平面1A BE ，则F 在侧面11CDD C 上的轨迹的长度为__________．【答案】2【分析】设H 在棱1CC 上，且12CH HC =，I 在棱11C D 上，且112D I IC =，G 在棱CD 上，且2DG GC =，根据面面平行的判定定理，可得平面1//A BGE 平面1B HI ，结合已知中1//B F 平面1A BE ，可得F 落在线段HI 上，则答案可求.【详解】解：设H 在棱1CC 上，且12CH HC =，I 在棱11C D 上，且112D I IC =，G 在棱CD 上，且2DG GC=连接1B I ，1B H ，IH ，1CD ，EG ，BG ，则11////A B CD GE ，所以1A ，B ，E ，G 四点共面，由11//B H A E ，1A E ⊄平面1B HI ，1B H ⊂平面1B HI ，所以1//A E 平面1B HI ，同理1//A B 平面1B HI ，又111A B A E A = ，11,A B A E ⊂平面1A BGE ，所以平面1//A BGE 平面1B HI ，又因为1//B F 平面1A BE ，所以F 落在线段HI 上，因为正方体1111ABCD A B C D -的棱长为3，所以1132233HI CD ===，即F 在侧面11CDD C 上的轨迹的长度是2．故答案为：2.16．若,A B 是圆()()()22:240C x y m m -+-=>上两点，且23AB =，若存在R a ∈，使得直线1:0l ax y -=与2:240l x ay a ++-=的交点P 恰为AB 的中点，则实数m 的取值范围为______.【答案】52,5⎡⎤-⎣⎦【分析】由直线与圆相交以及弦长23AB =，可得M 点的轨迹方程，又直线1:0l ax y -=与2:240l x ay a ++-=相交，可得交点P 的轨迹方程，由已知可得圆M 与圆P 有公共点，根据圆与圆的位置关系列出不等式，解出实数m 的取值范围．【详解】圆()()()22:240C x y m m -+-=>的半径2r =，M 为AB 的中点，且22223AB r MC=-=，解得1MC =，M ∴点的轨迹方程为()()()22210x y m m -+-=>，又直线1:0l ax y -=过定点()0,0Q ，2:240l x ay a ++-=即()420x a y -++=过定点()4,2S -，且12l l ⊥，则P 点是两垂线的交点，所以P 点在以QS 为直径的圆上，圆心为()2,1-，半径为11164522QS =+=，P ∴的轨迹方程为()()22215x y -++=，由于1l 的斜率存在，所以点P 的轨迹要去掉点()0,2-，由已知可得：圆M 与圆P 有公共点，5151MP ∴-≤≤+，即51151m -≤+≤+，又0m >，所以51151m -≤+≤+，解得525m -≤≤，故答案为：52,5⎡⎤-⎣⎦三、解答题17．已知直线()():231370l a x a y a +--++=，R a ∈.(1)证明直线l 过定点A ，并求出点A 的坐标；(2)在（1）的条件下，若直线l '过点A ，且在y 轴上的截距是在x 轴上的截距的12，求直线l '的方程.【答案】(1)定点A 的坐标为()2,1--(2)12y x =或122y x =--【分析】（1）整理方程为()23370x y a x y -++++=，然后解方程组230370x y x y -+=⎧⎨++=⎩可得答案；（2）设出直线方程，求出截距，利用截距之间的关系列方程求解.【详解】（1）直线()():231370l a x a y a +--++=可化为()23370x y a x y -++++=，则230370x y x y -+=⎧⎨++=⎩，解得21x y =-⎧⎨=-⎩，∴直线l 过定点，且定点A 的坐标为()2,1--；（2） 直线l '过点()2,1--，且在y 轴上的截距是在x 轴上的截距的12，则当直线l '过坐标原点时，符合题意，此时直线方程为12y x =，即20x y -=；当直线l '的横纵截距均不为零时，设直线l '的方程为112x y a a +=，代入点()2,1--，得21112a a --+=，解得4a =-，此时直线l '的方程为142x y +=--，即240x y ++=，综上，直线l '的方程为20x y -=或240x y ++=.18．某小型企业甲产品生产的投入成本x （单位：万元）与产品销售收入y （单位：万元）存在较好的线性关系，下表记录了最近5次该产品的相关数据.x （万元）357911y （万元）810131722（1）求y 关于x 的线性回归方程；（2）根据（1）中的回归方程，判断该企业甲产品投入成本12万元的毛利率更大还是投入成本15万元的毛利率更大（毛利率=-收入成本收入100%⨯）？相关公式：()()()1122211ˆ=nniii ii i nniii i x x y y x y nx ybx x xnx====---=--∑∑∑∑，ˆˆay bx =-.【答案】（1）ˆ 1.75 1.75y x =+；（2）12万元的毛利率更大【分析】（1）根据题意代入数值分别算出ˆb与ˆa 即可得解；（2）分别把12x =与15x =代入线性回归方程算出ˆy再算出毛利率即可得解.【详解】（1）由题意7x =，14y =.()()()()()()()()5137814571014771314iii x x yy =--=--+--+--∑()()971714+--()117+-()221470-=，()()()()()()522222213757779711740i i x x=-=-+--+-+-=+∑，()()()51521ˆ 1.75iii ii x x y y bx x ==--==-∑∑，ˆ147 1.75 1.75a=-⨯=故y 关于x 的线性回归方程为ˆ 1.75 1.75yx =+.（2）当12x =时，ˆ22.75y=，对应的毛利率为22.7512100%47.3%22.75-⨯≈，当15x =时，ˆ28y=，对应的毛利率为2815100%46.4%28-⨯≈，故投入成本12万元的毛利率更大.【点睛】本题考查了线性回归方程的求解和应用，考查了计算能力，属于基础题.19．如图，在四棱锥P ABCD -中，PC ⊥底面,ABCD ABCD 是直角梯形，,//AD DC AB DC ⊥，222AB AD CD ===，点E 在线段PB 上且12PE EB =.(1)证明直线//PD 平面AEC ;(2)证明直线BC ⊥平面PAC .【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）作辅助线，即连接BD 交AC 于点O ，连接OE ,利用△DOC ∽△BOA 及12PE EB =，证明//PD OE ，利用线面平行的判定定理证明即可；（2）通过计算证明AC BC ⊥，由PC ⊥平面ABCD 得到PC BC ⊥，利用线面垂直的判定定理证明即可.【详解】（1）证明：连接BD 交AC 于点O ，连接OE ,∵//AB DC ，2AB CD =,∴△DOC ∽△BOA ,即12DO DC OB AB ==，又∵12PE EB = ，∴12DO PE OB EB ==∴//PD OE又∵OE AEC ⊂面、PD AEC ⊄面∴//PD AEC面（2）∵PC ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，∴PC BC ⊥，又∵2,1,AB AD CD AD DC ===⊥，且ABCD 是直角梯形，∴2AC BC ==，即222AC BC AB +=，∴AC BC ⊥，又∵PC AC C ⋂=，且,PC AC ⊂平面PAC ，∴BC ⊥平面PAC .20．某中学举行了一次诗词竞赛.组委会在竞赛后，从中抽取了部分选手的成绩（百分制）作为样本进行统计，作出了茎叶图和频率分布直方图均受到不同程度的破坏，但可见部分信息如下，据此解答如下问题：(1)求样本容量n 、抽取样本成绩的中位数及分数在[)80,90内的人数；(2)若从分数在[50,60)和[80,90)内的学生中任选两人进行调研谈话，求至少有一人分数在[50,60)内的概率．【答案】(1)25n =，中位数为73，4人(2)35【分析】（1）根据频率分布直方图可知组的频率等于该组的频数除以总的样本量，各个组的频率之和为1，根据茎叶图的特点直接可获得中位数所在位置；（2）总的事件总数是从分数在[50,60)和[80,90)内的学生中任选两人，待求的是至少有一人分数在[50,60)内，则分别计算出总的基本事件个数和至少有一人分数在[50,60)内的基本事件个数即可，然后根据概率的定义求出即可.【详解】（1）分数在[)50,60内的频数为2，由频率分布直方图可以看出，分数在[]90,100内同样有2人.由2100.008n=⨯解得：25n =根据茎叶图可知：抽测成绩的中位数为73分数在[80,90)之间的人数为：()25271024-+++=综上可得：样本容量25n =，中位数为73，分数在[80,90)内的人数为4人（2）设“若从分数在和内的学生中任选两人进行调研谈话，至少有一人分数在[50,60)内”为事件M .将[80,90)内的4人编号为a b c d ,,,；[50,60)内的2人编号为,A B 则在[50,60)和[80,90)内的任取两人的基本事件为：,,,,,,,,,,,,,,ab ac ad aA aB bc bd bA bB cd cA cB dA dB AB ，共15个其中，至少有一人分数在[50,60)内的基本事件：,,,,,,,,aA aB bA bB cA cB dA dB AB ，共9个.故所求的概率得：93M =155P =()21．如图，直三棱柱111ABC A B C -的体积为4，1A BC 的面积为22.(1)求A 到平面1A BC 的距离；(2)设D 为1AC 的中点，1AA AB =，平面1A BC ⊥平面11ABB A ，求二面角1A A C B --的大小.【答案】(1)2(2)π3【分析】（1）由等体积法运算即可得解；（2）由面面垂直的性质及判定可得BC ⊥平面11ABB A ，建立空间直角坐标系，利用空间向量法即可得解.【详解】（1）在直三棱柱111ABC A B C -中，设点A 到平面1A BC 的距离为h ，则111111112211433333A A BC A A ABC A ABC AB BC C C B V S h h V S A A V ---=⋅===⋅== ，解得2h =，所以点A 到平面1A BC 的距离为2；（2）取1A B 的中点E ,连接AE ，如图，因为1AA AB =，所以1AE A B ⊥,又平面1A BC ⊥平面11ABB A ，平面1A BC ⋂平面111ABB A A B =，且AE ⊂平面11ABB A ，所以⊥AE 平面1A BC ，在直三棱柱111ABC A B C -中，1BB ⊥平面ABC ，由BC ⊂平面1A BC ，BC ⊂平面ABC 可得AE BC ⊥，1BB BC ⊥，又1,AE BB ⊂平面11ABB A 且相交，所以BC ⊥平面11ABB A ，所以1,,BC BA BB 两两垂直，以B 为原点，建立空间直角坐标系，如图，由（1）得2AE =，所以12AA AB ==，122A B =，所以2BC =，则()()()()10,2,0,0,2,2,0,0,0,2,0,0A A B C ，则1A B 的中点()0,1,1E ，所以()0,1,1AE =- ,()10,0,2AA =，()2,2,0AC =- ，设平面1AAC 的法向量为(),,n x y z =，则120220n AA z n AC x y ⎧⋅==⎪⎨⋅=-=⎪⎩ ，解得0x y z =⎧⎨=⎩，取1x y ==，则平面1AAC 的一个法向量为()1,1,0n =r，由⊥AE 平面1A BC 可知，AE为平面1A BC 的一个法向量，设二面角1A A C B --为θ，则11cos cos ,222n AE n AE n AEθ⋅=<>===⨯⋅，且观察图可知，二面角1A A C B --为锐二面角，所以1cos 2θ=，则π3θ=，所以二面角1A A C B --的大小为π3.22．已知点()0,2P ，设直线l ：y =kx +b （b ，R k ∈）与圆22:4C x y +=相交于异于点P 的A ，B 两点.(1)若PA PB ⊥，求b 的值；(2)若||23AB =，且直线l 与两坐标轴围成的三角形的面积为233，求直线l 的斜率k 的值；(3)当||||4PA PB ⋅=时，是否存在一定圆M ，使得直线l 与圆M 相切?若存在，求出该圆的标准方程；若不存在，请说明理由.【答案】(1)0(2)3k =±或33k =±(3)存在，定圆22:(2)1M x y +-=.【分析】（1）根据PA PB ⊥可知直线l 过圆224x y +=的圆心(0,0)，可得0b =；（2）由||23AB =得原点(0,0)O 到直线l 的距离为1，得221b k =+，再根据面积得243||3b k =，联立消去2b 可得k 的值；（3）联立直线与圆224x y +=，化为关于x 的一元二次方程，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，根据韦达定理可得12y y +和12y y ，利用12y y +和12y y ，将||||4PA PB ⋅=化为2243k b b =-+，利用2243k b b =-+求出点(0,2)P 到直线y kx b =+的距离为1，由此可得结果.【详解】（1）因为PA PB ⊥，又(0,2)P 在圆224x y +=上，所以直线l 过圆224x y +=的圆心(0,0)，所以0b =.（2）因为||23AB =，圆224x y +=的半径为2，所以圆心(0,0)到直线l 的距离24(3)1d =-=，由点到直线的距离公式可得2||11b d k==+，得221b k =+，当0k =时，直线l 与坐标轴不能围成三角形，故0k ≠，在y kx b =+中，令0x =，得y b =；令0y =，得bx k =-，所以123||||23b b k ⋅-=，得243||3b k =，所以2431||3k k +=，解得||3k =或3||3k =，所以3k =±或33k =±.（3）联立224x y y kx b ⎧+=⎨=+⎩，消去y 并整理得222(1)240k x kbx b +++-=，222244(1)(4)0k b k b ∆=-+->，即2244b k <+，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则12221kb x x k +=-+，212241b x x k -=+，所以2121222()221k b y y k x x b b k +=++=-++221b k =+，2212121212()()()y y kx b kx b k x x kb x x b =++=+++2222222(4)211k b k b b k k -=-+++22241b k k -=+，所以||||PA PB ⋅22221122(2)(2)4x y x y =+-⋅+-=，所以222211224(2)4(2)16y y y y ⎡⎤⎡⎤-+-⋅-+-=⎣⎦⎣⎦，所以12(84)(84)16y y --=，所以12(2)(2)1y y --=，所以12122()30y y y y -++=，所以2222443011b k b k k --+=++，即2243k b b =-+，所以点(0,2)P 到直线y kx b =+的距离为2|2|1b k -++2|2|431b b b -=-++2|2|1(2)b b -==-，所以直线y kx b =+与以(0,2)P 为圆心，1为半径的圆相切，所以存在一个定圆22:(2)1M x y +-=，使得直线l 与圆22:(2)1M x y +-=相切.。
高二数学下学期开学考试试题含解析
卜人入州八九几市潮王学校第二二零二零—二零二壹高二数学下学期开学考试试题〔含解析〕一、单项选择题〔每一小题5分，一共60分〕 1.实数x ，y 满足41x y -≤-≤-，145x y -≤-≤，那么9x y -的取值范围是〔〕A.[7,26]-B.[1,20]-C.[4,15]D.[1,15]【答案】B 【解析】 【分析】令m x y =-，4n x y =-，得到关于,x y 的二元一次方程组，解这个方程组，求出9x y -关于,m n 的式子，利用不等式的性质，结合,m n 的取值范围，最后求出9x y -的取值范围.【详解】解：令m x y =-，4n x y =-，,343n m x n m y -⎧=⎪⎪⇒⎨-⎪=⎪⎩,那么855520941,33333z x y n m m m =-=--≤≤-∴≤-≤又884015333n n -≤≤∴-≤≤，因此80315923z x y n m -=-=-≤≤，故此题选B. 【点睛】此题考察了利用不等式的性质，求不等式的取值范围问题，利用不等式同向可加性是解题的关键. 2.3x >，13y x x =+-，那么y 的最小值为〔〕. A.2 B.3C.4D.5【答案】D 【解析】 【分析】由3x >，即30x ->，那么113333y x x x x =+=-++--，再结合重要不等式求最值即可. 【详解】解：因为3x >，所以30x ->，那么11333533y x x x x =+=-++≥=--， 当且仅当133x x -=-，即4x =时取等号， 应选C.【点睛】此题考察了重要不等式的应用，重点考察了观察、处理数据的才能，属根底题.3.函数()f x =的定义域是R ，那么实数a 的取值范围是()A.a >13B.－12<a ≤0 C －12<a <0 D.a ≤13【答案】B 【解析】 【分析】 由题意可知230ax ax +-≠对于一实在数都成立，分类讨论，求出实数a 的取值范围.【详解】由题意可知230ax ax +-≠对于一实在数都成立,当a ＝0时，不等式成立，即符合题意；当0a≠时，要想230ax ax +-≠对于一实在数都成立，只需24(3)0a a ∆=-⨯-<，解得－12<a <0,综上所述，实数a 的取值范围是－12<a ≤0，故此题选B. 【点睛】此题考察了不等式恒成立问题，考察了分类思想.4.如图是某工厂对一批新产品长度(单位:mm )检测结果的频率分布直方图.估计这批产品的平均数与中位数分别为() A. 20 B.222.75C.252D.2525【答案】C【解析】 由题意，这批产品的平均数为()50.0212.50.0417.50.0822.50.0327.50.0332.522.75x =⨯⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，其中位数为()00.50.020.0452022.50.08x -+⨯=+=.应选C.5.某家庭连续五年收入x 与支出y 如下表：画散点图知：y 与x 线性相关，且求得的回归方程是y bx a =+，其中0.76b =，那么据此预计该家庭2021年假设收入15万元，支出为〔〕万元. A. B.C.D.【答案】B 【解析】 【分析】回归方程一定经过样本中心点()x y ，求出样本中心点，代入方程可以求出a ，然后令15x =，可以解出答案． 【详解】10,8,x y ==y bx a ∴=+由得80.7610a =⨯+0.40.760.4a y x 得，回归方程为=∴=+,.应选:B【点睛】此题主要考察了线性回归方程的样本中心点，属于根底题．6.从数字0，1，2，3，4中任取两个不同的数字构成一个两位数，那么这个两位数大于30的概率为〔〕A.720B.716C.1320D.916【答案】B【解析】【分析】直接利用古典概型的概率公式求解.【详解】从数字0，1，2，3，4中任取两个不同的数字构成一个两位数有10，12，13，14，20，21，23，24，30，31，32，34，40，41，42，43，一共16个，其中大于30的有31，32，34，40，41，42，43，一共7个，故所求概率为716 P ．应选B【点睛】此题主要考察古典概型的概率的计算，意在考察学生对该知识的理解掌握程度，属于根底题.7.我国古代有着辉煌的数学研究成果，其中的周髀算经、九章算术、海岛算经、孙子算经、缉古算经，有丰富多彩的内容，是理解我国古代数学的重要文献．这5部专著中有3部产生于汉、魏、晋、南北朝时期．某拟从这5部专著中选择2部作为“数学文化〞校本课程学习内容，那么所选2部专著中至少有一部是汉、魏、晋、南北朝时期专著的概率为〔〕A.35B.710C.45D.910【答案】D【解析】【分析】利用列举法，从这5部专著中选择2部作为“数学文化〞校本课程学习内容，根本领件有10种情况，所选2部专著中至少有一部是汉、魏、晋、南北朝时期专著的根本领件有9种情况，由古典概型概率公式可得结果.【详解】周髀算经、九章算术、海岛算经、孙子算经、缉古算经，这5部专著中有3部产生于汉、魏、晋、南北朝时期．记这5部专著分别为,,,,a b c d e ，其中,,a b c 产生于汉、魏、晋、南北朝时期．从这5部专著中选择2部作为“数学文化〞校本课程学习内容，根本领件有,,,,,,,,,,ab ac ad ae bc bd be cd ce de 一共10种情况，所选2部专著中至少有一部是汉、魏、晋、南北朝时期专著的根本领件有,,,,,,,,,ab ac ad ae bc bd be cd ce ，一共9种情况，所以所选2部专著中至少有一部是汉、魏、晋、南北朝时期专著的概率为910m Pn ==．应选D ． 【点睛】此题主要考察古典概型概率公式的应用，属于根底题，利用古典概型概率公式求概率时，找准根本领件个数是解题的关键，根本亊件的探求方法有(1)枚举法：适宜给定的根本领件个数较少且易一一列举出的；(2)树状图法：适宜于较为复杂的问题中的根本亊件的探求.在找根本领件个数时，一定要按顺序逐个写出：先11(,)A B ，12(,)A B ….1(,)n A B ，再21(,)A B ，22(,)A B …..2(,)n A B 依次31(,)A B 32(,)A B ….3(,)n A B …这样才能防止多写、漏写现象的发生.8.椭圆22:13x C y +=内有一条以点1(1,)3P 为中点的弦AB ，那么直线AB 的方程为〔〕 A.3320x y +-= B.3320x y ++= C.3340x y +-= D.3340x y ++=【答案】C 【解析】 【分析】设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，那么由中点坐标公式可求12x x +，12y y +，由A ，B 在椭圆上可得221113x y +=，222213x y +=，两式相减可得，结合1212AB y y K x x -=-，代入可求直线AB 的斜率，进而可求直线AB 的方程.【详解】设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，那么1212x x +=，1212y y+=由A ，B 在椭圆上可得221113x y +=，222213x y +=, 两式相减可得，12121212()()()()031x x x x y y y y -+-++=直线AB 的方程为11(1)3y x -=--即3340.x y +-=故答案为C【点睛】此题主要考察理解析几何中的点差法和设而不求，意在考察学生对这些知识的理解才能掌握程度和应用才能. 9.点(0,1)A -是抛物线22xpy =的准线上一点，F 为抛物线的焦点，P 为抛物线上的点，且PF m PA =，假设双曲线C 中心在原点，F 是它的一个焦点，且过P 点，当m 取最小值时，双曲线C的离心率为〔〕11【答案】C 【解析】 由于A 在抛物线准线上,故2p =,故抛物线方程为24x y =,焦点坐标为()0,1.当直线PA 和抛物线相切时,m获得最小值,设直线PA 的方程为1y kx =-,代入抛物线方程得2440x kx -+=,判别式216160k -=,解得1k =±,不妨设1k =,由2440x x -+=,解得2x =,即()2,1P .设双曲线方程为22221y x a b-=,将P 点坐标代入得22141a b-=,即222240b a a b --=,而双曲线1c =,故22221,1a b b a =+=-,所以()22221410a a a a ----=,解得1a =,故离心率为1c a ==,应选C. 【点睛】本小题主要考察直线和抛物线的位置关系,考察直线和双曲线的位置关系,考察直线和抛物线相切时的代数表示方法,考察双曲线的离心率求解方法.在有关椭圆,双曲线和抛物线等圆锥曲线有关的题目时,一定要注意焦点在哪个坐标轴上,比方此题中,抛物线的焦点在y 轴上,而双曲线的焦点也在y 轴上.10.直三棱柱ABC —A′B′C′中，AC ＝BC ＝AA′，∠ACB＝90°，E 为BB′的中点，异面直线CE 与C A '所成角的余弦值是〔〕B.5-【答案】D 【解析】 【分析】以C 为原点，CA 为x 轴，CB 为y 轴，CC '为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线CE 与C A '所成角的余弦值．【详解】直三棱柱ABC A B C -'''中，AC BC AA =='，90ACB ∠=︒，E 为BB '的中点．以C 为原点，CA 为x 轴，CB 为y 轴，CC '为z 轴，建立空间直角坐标系，设2AC BC AA =='=，那么(0C ，0，0)，(0E ，2，1)，(0C '，0，2)，(2A ，0，0)，(0CE =，2，1)，(2C A '=，0，2)-，设异面直线CE 与C A '所成角为θ，那么||210cos 10||||58CE C A CE C A θ'==='∴异面直线CE 与C A '．应选：D ．【点睛】此题考察异面直线所成角的余弦值的求法，考察空间中线线、线面、面面间的位置关系等根底知识，考察运算求解才能，是根底题． 11.在长方体1111ABCD A B C D -中，2AB BC ==，11AA =，那么直线1BC 与平面11BB DD 所成角的正弦值为〔〕A.63B.102C.155D.105【答案】D 【解析】 【分析】由题意，由于图形中已经出现了两两垂直的三条直线,所以可以利用空间向量的方法求解直线与平面所成的夹角．【详解】解：以D 点为坐标原点，以1,,DA DC DD 所在的直线为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系，那么1(2,0,0),(2,2,0),(0,2,0),A B C C (0,2,1),1(2,0,1),(2,2,0),BC AC AC ∴=-=-为平面11BB D D 的一个法向量． 110cos ,58BC AC ∴<>==⋅．∴直线1BC 与平面11BB DD 10应选：D ．【点睛】此题重点考察了利用空间向量，抓住直线与平面所成的角与该直线的方向向量与平面的法向量的夹角之间的关系,利用向量方法解决立体几何问题．12.p ：[1,2)x ∃∈-，2()40f x x ax =-++≤〕A.03a ≤<B.0<<3aC.3a <D.0a>【答案】B 【解析】 【分析】p 的等价条件，结合充分不必要条件的定义转化为集合真子集关系进展求解即可．【详解】p ：[1,2)x ∃∈-，2()40f x x ax =-++≤p ⌝：[1,2)x ∀∈-，2()40f x x ax =-++>那么(1)0(2)0f f ->⎧⎨≥⎩，即(1)140(2)4240f a f a -=--+>⎧⎨=-++≥⎩，解得03a ≤<，p 的等价条件为03a ≤<，那么对应的充分不必要条件为[0,3)的一个真子集，应选：B ．【点睛】此题主要考察充分条件和必要条件的应用，求出p 的等价条件，结合充分条件和必要条件的定义转化为集合真子集关系是解决此题的关键． 二、填空题〔每一小题5分，一共20分〕 13.假设关于x 的不等式20ax bx c ++<的解集是()(),31,-∞-⋃+∞，那么关于x 的不等式20cx bx a ++>的解集是______.【答案】()1,1,3⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭【解析】 【分析】 由不等式20ax bx c ++<的解集求出a 、b 、c 的关系，再把不等式20cx bx a ++>化为可以解答的一元二次不等式，求出解集即可．【详解】关于x 的不等式20ax bx c ++<的解集是()(),31,-∞-⋃+∞，∴关于x 的方程20ax bx c ++=有两个实数根是3x =-或者1x =；0a ∴<且23bac a⎧-=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩， 所以23b a c a=⎧⎨=-⎩；∴关于x 的不等式20cx bx a ++>可化为2320ax ax a -++>，即23210x x -->；解得1x >或者13x <-， 故答案为()1,1,3⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭.【点睛】此题主要考察一元二次不等式的解法，意在考察学生对这些知识的理解掌握程度.14.从2名男同学和1名女同学中任选2名同学参加社区效劳，那么选中的2人恰好是1名男同学和1名女同学的概率是__________． 【答案】23【解析】 【分析】将2名男同学分别记为,x y ，1名女同学分别记为a ，写出所有情况和满足条件的情况，相除得到答案. 【详解】将2名男同学分别记为,x y ，1名女同学分别记为a .所有可能情况有：{},x y ，{},x a ，{},y a ，一共3种.合题意的有{},x a ，{},y a ，2种.所以23p =. 故答案为23【点睛】此题考察了概率的计算，属于根底题型.15.在正方体1111ABCD A B C D -中，点,E F 分别是1BB ，CD 的中点，那么异面直线1D F 与DE 所成角的大小为___________. 【答案】90 【解析】 【分析】以D 为坐标原点建立空间直角坐标系，利用直线1D F 和直线DE 的方向向量，计算出线线角的余弦值，由此求得线线角的大小. 【详解】以D为坐标原点建立空间直角坐标系如以下图所示，设正方体边长为2，故()()()12,2,1,0,0,2,0,1,0E D F ，所以()10,1,2D F =-，设直线1D F 和直线DE 所成角为θ，那么11cos 0D F DE D F DEθ⋅==⋅，所以90θ=.【点睛】本小题主要考察利用空间向量法求异面直线所成的角，考察空间向量的运算，属于根底题. 16.集合1{|0}1x A x x -=<+，{|}B x x a =<，假设A 是B 的充分不必要条件，那么实数a 的取值范围是______． 【答案】[)1,+∞【解析】 【分析】根据充分条件和必要条件的定义建立条件关系即可求出a 的取值范围． 【详解】解：1{|0}{|11}1x A x x x x -=<=-<<+， 假设A 是B 的充分不必要条件， 那么AB ，那么1a ≥，故答案为：[)1,+∞.【点睛】此题主要考察充分条件和必要条件的应用，列出不等关系是解决此题的关键． 三、解答题 17.()()()222f x x m x m m R =+--∈ (1)()f x 在[]2,4上是单调函数,求m 的取值范围； (2)求()0f x <的解集.【答案】(1)6m ≤-或者2m ≥-；(2)当2m =-时,不等式()0f x <的解集为空集；当2m >-时,不等式()0f x <的解集为{}2x m x -<<； 当2m <-时,不等式()0f x <的解集为{}2x x m <<-.【解析】 【分析】(1)求出函数的对称轴,然后根据二次函数的单调性,由题意分类讨论即可求m 的取值范围； (2)根据一元二次方程根之间的大小关系进展分类讨论求出()0f x <的解集.【详解】(1)函数()()()222f x x m x m m R =+--∈的对称轴为：22mx -=因为()f x 在[]2,4上是单调函数,所以有：242m -≥或者222m-≤,解得 6m ≤-或者2m ≥-；(2)方程()2220xm x m +--=的两个根为：2,m -.当2m =-时,不等式()0f x <的解集为空集；当2m >-时,不等式()0f x <的解集为{}2x m x -<<； 当2m <-时,不等式()0f x <的解集为{}2x x m <<-.【点睛】此题考察了函数单调性求参数问题,考察了求解一元二次不等式的解集,考察了分类讨论思想. 18.某校高二期中考试后，教务处方案对全年级数学成绩进展统计分析，从男、女生中各随机抽取100名学生，分别制成了男生和女生数学成绩的频率分布直方图，如以下图.〔2〕在〔1〕中的优秀学生中用分层抽样的方法抽取5人，从这5人中任意任取2人，求至少有1名男生的概率．【答案】〔1〕男30人，女45人〔2〕710【解析】 【分析】〔1〕根据频率分布直方图求出男、女生优秀人数即可；〔2〕求出样本中的男生和女生的人数，写出所有的根本领件以及满足条件的根本领件的个数，从而求出满足条件的概率即可．【详解】〔1〕由题可得，男生优秀人数为()1000.010.021030⨯+⨯=人，女生优秀人数为()1000.0150.031045⨯+⨯=人；〔2〕因为样本容量与总体中的个体数的比是51304515=+，所以样本中包含男生人数为130215⨯=人，女生人数为145315⨯=人．设两名男生为1A ，2A ，三名女生为1B ，2B 3B ．那么从5人中任意选取2人构成的所有根本领件为：{}12,A A ，{}11,A B ，{}12,A B ，{}13,A B ，{}21,A B ，{}22,A B ，{}23,A B ，{}12,B B ，{}13,B B ，{}23,B B 一共10个，记事件C ：“选取的2人中至少有一名男生〞， 那么事件C 包含的根本领件有：{}12,A A ，{}11,A B ，{}12,A B ，{}13,A B ，{}21,A B ，{}22,A B ，{}23,A B 一共7个．所以()710PC =． 【点睛】此题考察了频率分布问题，考察了古典概型概率问题，是一道中档题．19.将边长为2的正方形ABCD 沿对角线BD 折叠,使得平面ABD ⊥平面CBD ,AE ⊥平面ABD ,F是BD 的中点,且AE =(1)求证：DEAC ⊥；(2)求二面角B EC F --的大小． 【答案】(1)见解析；(2)45︒ 【解析】 【分析】 (1)以A 为坐标原点,,,AB AD AE 所在的直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系,求出点,,E B D 三点的坐标,通过F 是BD 的中点,可得CFBD ⊥,利用面面垂直的性质定理可得CF ⊥平面BDA ,进而可以求出点C 的坐标,最后利用向量法可以证明出DE AC ⊥；(2)分别求出平面BCE 、平面FCE 的法向量,最后利用空间向量夹角公式求出二面角B EC F --的大小．【详解】(1)证明：以A 为坐标原点,,,AB AD AE 所在的直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系,如以下图,那么(E,()2,0,0B ,()0,2,0D取BD 的中点F 并连接,CF AF . 由题意得,CF BD ⊥又平面BDA ⊥平面BDC ,CF ∴⊥平面BDA ,(C ∴,(0,DE ∴=-,(AC =,(0,DE AC ⋅=-⋅(0=,DE AC ∴⊥.(2)解：设平面BCE 的法向量为()111,,n x y z =,那么(2,0,EB =,(BC =-,令(1,1,n =-.平面FCE 的法向量为()222,,m x y z =,()1,1,0F所以()1,1,0EC=，(FC =,由2220000x y EC m z FC m +=⎧⎧⋅=⇒⎨⎨=⋅=⎩⎩得()1,1,0m =-.设二面角B EC F --为θ,那么2cos cos ,2n m θ==所以二面角B EC F --的大小为45︒.【点睛】此题考察了用空间向量的知识解决线线垂直、二面角的问题,正确求出相关点的坐标是解题的关键. 20.曲线Γ上任意一点P到两个定点()1F 和)2F 的间隔之和为4．〔1〕求曲线Γ的方程； 〔2〕设过()0,2-的直线l 与曲线Γ交于C 、D 两点，且0OC OD ⋅=〔O 为坐标原点〕，求直线l 的方程．【答案】(1)2214x y +=；(2)直线l 的方程是22y x =-或者22y x =--．【解析】【详解】〔1〕根据椭圆的定义，可知动点M的轨迹为椭圆， 其中2a=，c =，那么1b ==．所以动点M 的轨迹方程为2214x y +=．〔2〕当直线l 的斜率不存在时，不满足题意． 当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为2y kx =-，设11(,)C x y ，22(,)D x y ，∵0OC OD ⋅=，∴．∵112y kx =-，222y kx =-，∴21212122()4y y k x x k x x =⋅-++．∴21212(1)2()40kx x k x x +-++=．①由方程组221,{4 2.x y y kx +==-得()221416120k xkx +-+=．那么1221614k x x k +=+，1221214x x k ⋅=+，代入①，得()222121612401414k k k k k +⋅-⋅+=++． 即24k =，解得，2k =或者2k =-．所以，直线l 的方程是22y x =-或者22y x =--．21.如图，在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，14AA =，2AB =，点M 是BC 的中点．〔1〕求异面直线1AC 与DM 所成角的余弦值； 〔2〕求直线1AC 与平面1A DM所成角的正弦值．【答案】30 (2)56. 【解析】【详解】分析：〔1〕直接建立空间直角坐标系，求出1A C ，，D ，M四点的坐标写出对于的向量坐标，然后根据向量的夹角公式求解即可；〔2〕先根据坐标系求出平面1A DM 的法向量，然后写出1AC 向量，在根据向量夹角公式即可求解.详解： 在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，以D 为原点，DA 、DC 、1DD 分别为x 轴、y 轴、z 轴建立如以下图空间直角坐标系D xyz -． 因为()1,2,0M，()2,0,0A ，()10,2,4C ，所以()1,2,0DM=，()12,2,4AC =-，所以1121122204cos ,1DM AC DM AC DMAC ⨯-+⨯+⨯⋅===⨯，所以异面直线1AC 与DM 所成角的余弦值为30．(2)()12,0,4DA =，设平面1A DM的一个法向量为(),,nx y z =．那么100DA n DM n ⎧⋅=⎨⋅=⎩，得24020x z x y +=⎧⎨+=⎩，取1y =，得2x =-，1z =，故平面1A DM的一个法向量为()2,1,1n=-．于是(1112221415cos ,6n AC n AC n AC -⨯-+⨯+⨯⋅===⨯-，所以直线1AC 与平面1A DM所成角的正弦值为56．点睛：考察线线角，线面角对于好建空间坐标系的立体几何题那么首选向量做法，直接根据向量求解解题思路会比较简单，但要注意坐标的准确性和向量夹角公式的熟悉，属于根底题. 22.在平面直角坐标系中，N 为圆C ：22(1)16x y ++=上的一动点，点D 〔1,0〕，点M 是DN 的中点，点P 在线段CN 上，且0MP DN⋅=.〔Ⅰ〕求动点P 表示的曲线E 的方程； 〔Ⅱ〕假设曲线E 与x 轴的交点为,A B ，当动点P 与A ，B 不重合时，设直线PA 与PB 的斜率分别为12,k k ，证明：12k k 为定值；【答案】〔Ⅰ〕22143x y +=；〔Ⅱ〕证明见解析过程. 【解析】 【分析】〔Ⅰ〕根据点M 是DN 的中点，又0MP DN ⋅=，可知PM 垂直平分DN .所以PN PD=，又PC PN CN+=，所以4PC PD +=.这样利用椭圆的定义可以求出椭圆的HY 方程；〔Ⅱ〕设000(,)(0)P x y y ≠，那么2200143x y +=，利用斜率公式，可以证明出12k k ⋅为定值.【详解】〔Ⅰ〕由点M 是DN 的中点，又0MP DN⋅=，可知PM 垂直平分DN .所以PN PD =，又PC PN CN+=，所以4PC PD +=.由椭圆定义知，点P 的轨迹是以C ，D 为焦点的椭圆.设椭圆方程为22221(0)x y a b a b+=>>. 又24,22,ac ==可得224, 3.a b ==所以动点P 表示的曲线E 的方程为22143x y +=.〔Ⅱ〕证明：易知A 〔-2,0〕，B 〔2,0〕.设000(,)(0)P x y y ≠，那么2200143x y +=，即2200314x y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，那么0102y k x =+，0202y k x =-， 即20220012222000331(4)4344444x x y k k x x x ⎛⎫- ⎪--⎝⎭⋅====----， ∴12k k ⋅为定值34-．【点睛】此题考察了椭圆的定义，考察了斜率的公式，考察了数学运算才能.。
高二数学下学期入学考试试题含解析试题
智才艺州攀枝花市创界学校雅礼二零二零—二零二壹高二数学下学期入学考试试题〔含解析〕时量：120分钟分值：150分一、选择题：本大题一一共12个小题，每一小题5分，一共60分，在每一小题给出的四个选项里面，只有一项为哪一项哪一项符合题目要求的.421i z i+=+〔i 为虚数单位〕，那么复数z 在复平面内对应的点位于〔〕A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】D 【解析】 【分析】利用复数的除法运算化简出3322zi =-，即可得出对应点，便可得所在象限. 【详解】解：∵41i =，∴复数()()()31213311122i zi i i i -+===-++-， 即3322z i =-，那么对应点坐标为33,22⎛⎫- ⎪⎝⎭，位于第四象限. 应选：D.【点睛】此题考察复数的除法运算，复数的代数表示法及其几何意义，属于根底题.2.小敏翻开计算机时，忘记了开机密码的前两位，只记得第一位是,M I N ，中的一个字母，第二位是1,2,3,4,5中的一个数字，那么小敏输入一次密码可以成功开机的概率是 A.815B.18C.115D.130【解析】 试题分析：开机密码的可能有(,1),(,2),(,3),(,4),(,5),(,1),(,2),(,3),(,4),(,5)M M M M M I I I I I ，(,1),(,2),(,3),(,4),(,5)N N N N N ，一共15种可能，所以小敏输入一次密码可以成功开机的概率是115，应选C ． 【考点】古典概型【解题反思】对古典概型必须明确两点：①对于每个随机试验来说，试验中所有可能出现的根本领件只有有限个；②每个根本领件出现的可能性相等．只有在同时满足①、②的条件下，运用的古典概型计算公式()mP A n=〔其中n 是根本领件的总数，m 是事件A 包含的根本领件的个数〕得出的结果才是正确的． 3()2f x x ax a =-+在(0,1)内有极小值，那么实数a 的取值范围为〔〕A.(0,3)B.(,3)-∞C.(0,)+∞D.【答案】D 【解析】试题分析：对于函数，求导可得，∵函数在〔0，1〕内有极小值，∴，那么其有一根在〔0，1〕内，a ＞0时，3x 2-2a=0两根为±，假设有一根在〔0，1〕内，那么0＜＜1，即0＜a ＜．a=0时，3x 2-3a=0两根相等，均为0，f 〔x 〕在〔0，1〕内无极小值．a ＜0时，3x 2-3a=0无根，f 〔x 〕在〔0，1〕内无极小值，综合可得，0＜a ＜．考点：考察利用导数研究函数的极值问题，表达了转化的思想方法． 4.2:0p x x -<p 的一个必要不充分条件是〔〕A.01x <<B.11x -<<C.1223x << D.122x <<【解析】【详解】解:p ：x 2－x <0的充要条件为0<x<1,那么比该集合大的集合都是符合题意的，所以选择B 5.在由0,1,2,3,4,5所组成的没有重复数字的四位数中,能被5整除的有() A.512个 B.192个 C.240个 D.108个【答案】D 【解析】试题分析：由于能被5整除的数，其个位必为0或者5，由此分两类：第一类：个位为0的，有个；第二类：个位为5的，再分两小类：第1小类：不含0的，有个，第2小类：含0的，有个，从而第二类一共有48个；故在由数字0,1,2,3,4,5所组成的没有重复数字的四位数中，能被5整除的个数有60+48=108个，应选D ． 考点：排列组合．()22cos f x x x =+，假设()f x '是()f x 的导函数，那么函数()f x '的图象大致是〔〕A. B.C. D.【答案】A 【解析】 【分析】先求导数，再利用二次求导研究导函数零点以及对应区间导函数符号，即可判断选择. 【详解】()()()22cos 22sin 22cos 0f x x x f x x x f x x '''=+∴=-∴=-≥因此当0x=时，()0f x '=；当0x >时，()()00f x f ''>=；当0x <时，()()00f x f ''<=；应选：A【点睛】此题考察利用导数研究函数单调性以及零点，考察根本分析判断才能，属中档题.M 的焦点12,F F 在x 轴上，直线730x y +=是双曲线M 的一条渐近线，点P 在双曲线M 上，且120PF PF ⋅=，假设抛物线216y x =的准线经过双曲线M 的一个焦点，那么12||||PF PF ⋅=〔〕A.21B.14C.7D.0【答案】B 【解析】试题分析：因为双曲线M 的焦点12,F F 在x 轴上，所以设双曲线方程为，因为抛物线的准线过双曲线的焦点，且一条渐近线方程为730x y +=，所以，解得；因为点P 在双曲线M 上，且120PF PF ⋅=，所以，解得；应选B ．考点：1.双曲线的定义和几何性质；2.抛物线的几何性质．8.有六名同学参加演讲比赛，编号分别为1，2，3，4，5，6，比赛结果设特等奖一名，A ，B ，C ，D四名同学对于谁获得特等奖进展预测.A 说：不是1号就是2号获得特等奖；B 说：3号不可能获得特等奖；C 说：4，5，6号不可能获得特等奖；D 说：能获得特等奖的是4，5，6号中的一个.公布的比赛结果说明，A ，B ，C ，D 中只有一个判断正确.根据以上信息，获得特等奖的是〔〕号同学.A.1B.2C.3D.4，5，6号中的一个 【答案】C 【解析】 【分析】因为只有一人猜对，而C ，D 互相否认，故C ，D 中一人猜对，再分类讨论，综合分析即可得出结论. 【详解】解：因为C ，D 互相否认，故C ，D 中一人猜对，假设D 对，那么B 也对与题干矛盾，故D 错，猜对者一定是C ，于是B 一定猜错，A 也错，那么获得特等奖的是：3号同学. 应选：C.【点睛】此题考察合情推理的应用，同时考察推理才能、分析和解决问题的才能，属于根底题.9.ABC 的内角A B C ，，的对边分别为a ，b ，c ，假设ABC 的面积为2224a b c +-，那么C =A.π2B.π3C.π4D.π6【答案】C 【解析】分析：利用面积公式12ABCSabsinC =和余弦定理2222a b c abcosC +-=进展计算可得． 详解：由题可知222124ABCa b c SabsinC +-==所以2222absinC a b c +-=由余弦定理2222a b c abcosC +-=所以sinC cosC =应选C.点睛：此题主要考察解三角形，考察了三角形的面积公式和余弦定理．()f x 、()g x 分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，当0x <时，()()()()''0f x g x f x g x ->，且()03g =，那么不等式()()0f x g x <的解集是〔〕A.()()3,03,-⋃+∞B.()()3,00,3-C.()(),33,-∞-+∞D.()(),30,3-∞-【答案】A 【解析】 【分析】构造函数()()()g x Fx f x =，根据条件，可判断出()Fx 的奇偶性和单调性，且()()330F F =-=，将求不等式()()0f x g x <的解集，转化成求()0F x <的解集，即可得出答案.【详解】解：根据题意，设函数()()()g x Fx f x =，由于当0x <时，()()()()''0f x g x f x g x ->，即：()()()()''0g x f x g x f x -<所以()()()()()()2'0'g x f x g x f F x f x x '=<⎡⎤⎣⎦-，那么()F x 在(),0-∞上为减函数，因为()f x 、()g x 分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，那么()()()()()()g x g x Fx F x f x f x -===---，所以()Fx 在R 上为奇函数，那么()F x 在()0,+∞上也为减函数，由于()03g=，所以()()()3303g F f ==，即()30F=，()30F -=，因为()()()()()()()22g x f x g x f x f x F x f x =⋅=⋅， 要求不等式()()0f x g x <，即求()0F x <，解得：30x -<<或者3x >，那么不等式()()0f x g x <的解集为：()()3,03,-⋃+∞.应选：A.【点睛】此题考察利用导数研究函数的单调性，结合运用函数的奇偶性解不等式，还考察构造函数的思想及等价转化思想，属于中档题.11.某公司消费某种产品，固定本钱为20000元，每消费一单位产品，本钱增加100元，总收益R 与产量x 的关系式为R(x)=21400x ,0400,{?280000,400,x x x -≤≤>那么总利润最大时，每年消费的产品是() A.100单位 B.150单位C.200单位D.300单位【答案】D 【解析】 【分析】利用总收益与本钱的差可得总利润关于x 的解析式，利用分段函数的性质，分别求出两段函数的最值，从而可得结果.【详解】设总本钱为C 元，总利润为P 元，那么C=20000+100x ，P=R-C=2x 30020000,0400,{260000100,400,x x x x --≤≤->所以P′=300,0400,{100,400,x x x -≤≤-> 令P′=0，得x=300．当0<x<300时，P′>0；当x>300时，P′<0．所以当x=300时，P 获得最大值，应选D ． 【点睛】此题考察的是函数模型的应用．解决函数模型应用的解答题，要注意以下几点：①读懂实际背景，将实际问题转化为函数模型．②对涉及的相关公式，记忆要准确．③在求解的过程中计算要正确．另外需要纯熟掌握求解方程、不等式、函数最值的方法，才能快速正确地求解．2222:1(0)x y C a b a b +=＞＞F 且斜率为(0)k k ＞的直线与C 相交于A B 、两点．假设3AF FB =，那么k =A.1D.2【答案】B 【解析】因为c e a ==c =，从而22224a b a c =-=，那么椭圆方程为222241x y a a+=．依题意可得直线方程为()y k x =-，联立2222()2{41y k x a x y a a =-+=可得22222(14)(31)0k x ax k a +-+-=设,A B 坐标分别为1122(,),(,)x y x y，那么2212122(31)14k ax x x x k-+==+ 因为3AF FB =，所以1122(,)3(,)22a x y x a y --=-，从而有123x x +=① 再由3AF FB =可得3AF FB =，根据椭圆第二定义可得12()3()2323a x x -=⋅-，即2133x x a -=②由①②可得12,39x a x a ==，所以2221225(31)914k a x x a k -⋅==+，那么22(31)5149k k -=+，解得k =0k >，所以k =B二、填空题：本大题一一共4小题，每一小题5分，一共20分，把答案填在对应题号后的横线上.221x y -=的离心率为【答案】2【解析】思路分析：由题可得，故离心率考点：此题考察双曲线离心率的计算.点评：简单题，知道离心率的计算公式即可解答. 14.如图，平面PAD ⊥平面ABCD ，ABCD 为正方形，90PAD ∠=︒，且2PA AD ==，E ，F分别是线段PA ，CD 的中点，那么异面直线EF 与BD 所成角的余弦值为______.【答案】36【解析】 【分析】根据题意，建立空间直角坐标系，求出()1,2,1EF =-，()2,2,0BD =-，再利用向量法求异面直线的夹角公式求出结果. 【详解】以A 为坐标原点，AB ，AD ，AP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如下列图空间直角坐标系Axyz ，那么()0,0,1E ，()1,2,0F ，()2,0,0B ，()0,2,0D .()1,2,1EF =-，()2,2,0BD =-，故243cos,62243EF BD EF BD EF BD⋅-+====⨯⋅. 故答案为：36.【点睛】此题考察利用空间向量法求异面直线的夹角，属于根底题.15.有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排，要求甲、乙必须相邻，丙、丁不能相邻，有______种不同的站法. 【答案】24【解析】 【分析】利用捆绑法，将甲和乙捆绑排列，再把甲乙当成一个整体与戊排列，再利用插空法将丙丁插入3个空位中，便可算出结果.【详解】解：由题知，5名同学站成一排， 要求甲、乙必须相邻，丙、丁不能相邻， 故有22222324A A A =〔种〕不同的方法.故答案为：24.【点睛】此题考察排列的应用，利用捆绑法和插空法解决相邻和不相邻问题，属于中档题.211()2()x x f x x x a e e --+=-++有唯一零点，那么a =________【答案】12【解析】 【分析】 令1t x =-，得到()f t 的解析式，判断出()f t 是偶函数，从而得到()f x 的图像关于1x =成轴对称，根据函数()f x 有唯一零点，得到()10f =，从而得到a 的方程，解出a 的值. 【详解】()()()()221111211x x x x f x x x a e e x a e e --+--+=-++=--++设1t x =-，那么()()21t t f t t a e e -=-++定义域为R ， 所以()f t 为偶函数，所以()f x 的图像关于1x =成轴对称 要使()f x 有唯一零点，那么只能()10f =，即()2001210a e e -⨯++= 解得12a=， 故答案为：12.【点睛】此题考察判断函数奇偶性，根据函数的零点求参数的值，属于中档题.三、解答题：本大题一一共6小题，一共70分.解容许写出文字说明、证明过程或者演算步骤.{}n a 中,11a =,且2a 是1a 和31a -的等差中项.〔1〕求数列{}n a 的通项公式;〔2〕假设数列{}n b 满足()*21n n b n a n N =-+∈,求{}n b 的前n 项和n S .【答案】(1)12nn a (2)nS 221n n =+-【解析】 【分析】(1)由题意结合等差数列的性质得到关于公比的方程，解方程求得公比的值，然后结合首项求解数列的通项公式即可.(2)结合(1)的结果首先确定数列{}n b 的通项公式，然后分组求和即可求得数列{}n b 的前n 项和n S .【详解】(1)设等比数列{}n a 的公比为q ,那么2a q =,23a q =,∵2a 是1a 和31a -的等差中项,∴()21321a a a =+-,即()2211q q =+-, 解得2q =,∴12n n a -=.(2)121212n nn b n a n -=-+=-+,那么()()11321122n nS n -⎡⎤=+++-++++⎣⎦()12112212n n n ⎡⎤+--⎣⎦=+-. 221n n =+-.【点睛】数列求和的方法技巧：(1)倒序相加：用于等差数列、与二项式系数、对称性相关联的数列的求和． (2)错位相减：用于等差数列与等比数列的积数列的求和．(3)分组求和：用于假设干个等差或者等比数列的和或者差数列的求和．()()22sin cos cos x x f x x x R x --∈=.〔1〕求23f π⎛⎫ ⎪⎝⎭的值. 〔2〕求()f x 的单调递增区间.【答案】〔1〕223f π⎛⎫= ⎪⎝⎭〔2〕2,63k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦ 【解析】 【分析】〔1〕()f x 的解析式，代入23x π=，直接算出23f π⎛⎫ ⎪⎝⎭的值； 〔2〕利用二倍角公式和辅助角公式化简得()2sin 26f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，结合正弦函数的单调性，即可求出()f x 的单调递增区间.【详解】解：〔1〕由2sin3π=21cos 32π=-， 222112322f π⎛⎫⎛⎫⎛⎫=----= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 即：223f π⎛⎫= ⎪⎝⎭.〔2〕由22cos 2cos sin x x x =-与sin 22sin cos x x x =得()cos 222sin 26x x f x x π⎛⎫=--=-+ ⎪⎝⎭，由正弦函数的性质得3222262k x k πππππ+≤+≤+，k Z ∈， 解得263k x k ππππ+≤≤+，k Z ∈， 所以()f x 的单调递增区间是2,63k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦. 【点睛】此题考察正弦型函数的单调性，还运用二倍角正弦和余弦公式、辅助角公式、特殊角的三角函数值化简求值，属于根底题.19.HY 道路交通平安法第47条的相关规定：机动车行经人行道时，应当减速慢行；遇行人正在通过人行道，应当停车让行，俗称“礼让斑马线〞HY 道路交通平安法第90条规定：对不礼让行人的驾驶员处以扣3分，罚款505个月内驾驶员不“礼让斑马线〞行为统计数据：〔1〕请利用所给数据求不“礼让斑马线〞驾驶员人数y 与月份x 之间的回归直线方程ˆˆˆy bx a =+，并预测该路口9月份的不“礼让斑马线〞驾驶员人数；〔2〕假设从表中1月份和4月份的不“礼让斑马线〞驾驶员中，采用分层抽样方法抽取一个容量为7的样本，再从这7人中任选2人进展交规调查，求抽到的两人恰好来自同一月份的概率.参考公式：()()()1122211ˆn ni iiii i nniii i x y nx y x x y y bxnx x x ====---==--∑∑∑∑，ˆˆa y bx=-. 参考数据：511415i ii x y==∑.【答案】〔1〕8.5125.5y x =-+，49人；〔2〕37. 【解析】 【分析】(1)先求得3x =,100y =,再代入公式计算即可.(2)利用枚举法将根本领件全部列出再求概率即可. 【详解】〔1〕由表中数据知,3x =,100y =, 122114151500ˆ8.55545ni ii nii x y nx ybxnx ==--===---∑∑,ˆˆ125.5a y bx =-=, ∴所求回归直线方程为8.5125.5y x =-+.令9x=,那么8.591ˆ25.549y=-⨯+=人. 〔2〕由可得：1月份应抽取4位驾驶员,设其编号分别为1a ,2a ,3a ,4a ,4月份应抽取3位驾驶员,设其编号分别为1b ,2b ,3b ,从这7人中任选2人包含以下根本领件,()12,a a ,()13,a a ,()14,a a ,()11,a b ,()12,a b ,()13,a b ,()23,a a ,()24,a a ,()21,a b ,()22,a b ,()23,a b ,()34,a a ,()31,a b ,()32,a b ,()33,a b ,()41,a b ,()42,a b ,()43,a b ,()12,b b ,()13,b b ,()23,b b 一共21个根本领件；设“抽到的两人恰好来自同一月份〞为事件A ,那么事件A 包含的根本领件是()12,a a ,()13,a a ,()14,a a ,()23,a a ,()24,a a ,()34,a a ,()12,b b ,()13,b b ,()23,b b ,一共有9个根本领件,()93217P A ==. 【点睛】此题主要考察了线性回归方程的求解与古典概型求解概率的方法.属于根底题. 20.如图，在边长为4的菱形ABCD 中,60DAB ∠=，点,E F 分别是,CD CB 的中点，AC EF O ⋂=，沿EF 将CEF ∆翻折到PEF ∆，连接,,PA PB PD ，得到如图的五棱锥P ABFED -，且PB =〔1〕求证：BD ⊥平面POA 〔2〕求二面角--B AP O 的余弦值.【答案】〔1〕见解析〔2〕3913， 【解析】试题分析：〔1〕先证明//,,BD EF BD AC EF AC ⊥⊥，从而,EF AO EF PO ⊥⊥，根据线面垂直的断定定理可证明BD ⊥平面POA ；〔2〕设AO BD H ⋂=，连接BO ，由〔1〕可得EF PO ⊥，根据勾股定理可得BO PO ⊥,根据线面垂直的断定定理可得PO ⊥平面BFED ，以O 为原点，OF 在直线为x 轴，AO 所在直线y 轴，OP 所在直线为z 轴，建立空间直角坐标系O xyz -，分别求出平面BAP 与平面APO 的一个法向量，根据空间向量夹角余弦公式，可得结果.试题解析：〔1〕点分别是的中点菱形的对角线互相垂直〔2〕设，连接ABD ∴∆为等边三角形，，在中，在中，，BO ⊂平面BFED以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，那么设平面PAB 的法向量为，由,n AP n AB ⊥⊥得令得3,3z x =-=-∴平面PAB 的一个法向量为()3,1,3n =--，由〔1〕知平面PAO 的一个法向量为，设求二面角B AP O --的平面角为θ，那么2cos cos ,13||n BH n BHn BH θ⋅====⋅ ∴二面角B AP O --的余弦值为13【方法点晴】此题主要考察线面垂直的断定定理以及利用空间向量求二面角，属于难题.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：〔1〕观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；〔2〕写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；〔3〕设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；〔4〕将空间位置关系转化为向量关系；〔5〕根据定理结论求出相应的角和间隔.21.如下列图，在直角坐标系xOy 中，点11,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭到抛物线C ：()220y px p =>的准线的间隔为54.点(),1Mt 是C 上的定点，A ，B 是C 上的两动点，且线段AB 的中点(),Q m n 在直线OM 上.〔1〕求曲线C 的方程及点M 的坐标；〔2〕记()dm =，求弦长AB 〔用m 表示〕；并求d 的最大值.【答案】〔1〕2y x =.()1,1M .〔2〕A B=d 的最大值为1.【解析】 【分析】〔1〕根据抛物线的定义，求出12p =，即可得出抛物线的方程，便得出点M 的坐标； 〔2〕由点()1,1M，得出(),Q m m ，利用点差法求出直线AB 的斜率，得出直线AB 的方程为()12y m x m m-=-，直线方程与抛物线方程联立，写出韦达定理，利用弦长公式求出弦长AB ，通过根本不等式求得d 的最大值. 【详解】解：〔1〕()220y px p =>的准线为2p x =-， ∴5124p ⎛⎫--= ⎪⎝⎭，∴12p =， ∴抛物线C 的方程为2y x =.又点(),1M t 在曲线C 上，∴1t =.故()1,1M.〔2〕由〔1〕知，点()1,1M ，从而nm =，即点(),Q m m ，依题意，直线AB 的斜率存在，且不为0，设直线AB 的斜率为()0k k ≠，且()11,A x y ，()22,B x y ，由211222y x y x ⎧=⎨=⎩，得()()121212y y y y x x -+=-，故21k m ⋅=， 所以直线AB 的方程为()12y m x m m-=-， 即2220x my m m -+-=.由22220x my m m y x⎧-+-=⎨=⎩，消去x ， 整理得22220y my m m -+-=，所以2440m m ∆=->，122y y m +=，2122y y m m =-.从而12A y B y =-∴()11d m m ==≤+-=，当且仅当1m m =-，即12m =时，上式等号成立， 又12m=满足2440m m ∆=->. ∴d 的最大值为1.【点睛】此题考察利用定义法求抛物线的HY 方程和直线与抛物线的位置关系，还运用点差法、联立方程组、韦达定理以及弦长公式，还利用根本不等式求出最值，同时考察解题才能和计算才能.()(2)(1)2ln f x a x x =---，1()x g x xe -=，〔,a R e ∈为自然对数的底数〕.〔1〕假设不等式()0f x >对于一切1(0,)2x ∈恒成立，求a 的最小值；〔2〕假设对任意的0(0,]x e ∈，在(0,]e 上总存在两个不同的i x (1,2)i =，使0()()i f x g x =成立，求a 的取值范围.【答案】〔1〕24ln 2-〔2〕3(,2]1a e ∈-∞-- 【解析】【详解】〔1〕由题意得(2)(1)2ln 0a x x--->在1(0,)2恒成立，即2ln 21x a x >--在1(0,)2恒成立.令2ln 1()2,(0,)12x h x x x =-∈-，那么222ln 21(),(0,)(1)2x x h x x x +∈'-=- 设21()2ln 2,(0,)2x x x x ϕ=+-∈，那么222()0x x x ϕ'=-< 所以11()()2ln 20,()022x h x ϕϕ>=+>>'，因此1()()24ln 2,24ln 22h x h a <=-≥-即a 的最小值为24ln 2- (2)1()(1)x g x x e -=-'，所以1()x g x xe -=在(0,1)递增，在(1,)e 递减，由2(0)0,(1)1,()(0,1)e g g g e e -===∈得1()x g x xe -=在(0,]e 上值域为(0,1]因为(2)2()a x f x x --'=，所以2a ≥时()f x 在(0,]e 上单调递减，222a e-≤<时()f x 在(0,]e 上单调递减，不合题意，因此22a e <-，此时()f x 在2(0,)2a-上单调递减，在2(,)2e a -上单调递增，令22()()2ln ,()222am a f a m a a a a-==-'=---，即()m a 在(,0)-∞上单调递增，在2(0,2)e-上单调递减，max ()(0)0,m a m ≤=∴欲使对任意的0(0,]x e ∈上总存在两个不同的(1,2)i x i =，使0()()i f x g x =成立，那么需满足()1f e ≥，即321a e ≤--， 又∵2322(2)01(1)e e e e e +---=>--，∴23221e e ->--，∴321a e ≤--， 综上所述，3(,2]1a e ∈-∞--.1 考点：不等式恒成立问题，利用导数求存在性问题【名师点睛】利用导数确定三次式、分式、以e 为底的指数式、对数式及三角式方程根的个数或者函数零点的方法〔1〕构建函数g 〔x 〕〔要求g′〔x 〕易求,g′〔x 〕=0可解〕,转化为确定g 〔x 〕的零点个数问题求解,利用导数研究函数的单调性、极值,并确定定义区间端点值的符号〔或者变化趋势〕等,画出g 〔x 〕的图像草图,数形结合求解.〔2〕利用零点存在性定理:先用该定理判断函数在某区间上有零点,然后利用导数研究函数的单调性、极值〔最值〕及区间端点值的符号,进而判断函数在该区间上零点的个数.。
高二数学下学期开学考试试题文含解析试题
卜人入州八九几市潮王学校云天化二零二零—二零二壹高二数学下学期开学考试试题文〔含解析〕第一卷〔选择题〕一、选择题:〔每一小题5分，一共30分．每一小题只有一个选项符合题意．〕 1.在复平面内，复数21zi=-对应的点到直线1y x =+的间隔是〔〕A.12D.1【答案】B 【解析】 【分析】化简复数得出对应点，根据点到直线间隔公式即可求解.【详解】22(1)11(1)(1)i i i i i +==+--+,所以复数21i-对应的点为(1，1)，点(1，1)到直线y ＝x ＋1=. 应选:B ．【点睛】此题考察复数的根本运算，根据复数的几何意义得其在平面内对应点，根据点到平面间隔公式求解. 2.,a b 为实数，那么方程30x ax b ++=至少有一个实根〞时，要做的假设是〔〕A.方程30x ax b ++=没有实根B.方程30x ax b ++=至多有一个实根C.方程30x ax b ++=至多有两个实根D.方程30x ax b ++=恰好有两个实根【答案】A 【解析】30x ax b ++=没有实根．详解：结论“方程30x ax b ++=至少有一个实根〞的假设是“方程30x ax b ++=没有实根．〞 点睛：3.ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .假设()226,c a b =-+,3C =那么ABC 的面积为〔〕A.3D.【答案】C 【解析】 【分析】根据条件进展化简，结合三角形的面积公式，即可求解，得到答案. 【详解】由()226c a b =-+，整理得22226c a ab b =-++，即22226a b c ab +-=-，又因为3C π=，由余弦定理可得222261cos 3222a b c ab ab ab π+--===，解得6ab =，所以三角形的面积为11sin 62222S ab C ==⨯⨯=. 应选：C .【点睛】此题主要考察理解三角形的余弦定理的应用，以及三角形面积的计算，其中解答中根据余弦定理求得6ab =是解答此题的关键，着重考察了推理与运算才能. 4.假设将函数()sin 2cos 2f x x x =+的图象向右平移φ(0)φ>个单位，所得图象关于y 轴对称，那么φ的最小值是〔〕A.8πB.38π C.4π D.34π 【答案】B 【解析】 【分析】把函数的解析式利用辅助角公式化成余弦型函数解析式形式，然后求出向右平移φ(0)φ>个单位后函数的解析式，根据题意，利用余弦型函数的性质求解即可.【详解】()sin 2cos 2())4f x x x f x x π=+⇒=-，该函数求出向右平移φ(0)φ>个单位后得到新函数的解析式为：())]2)44g x x x ππφφ=--=--，由题意可知：函数()2)4g x x πφ=--的图象关于y 轴对称，所以有2()()0428k k k Z k Z πππφπφφ--=∈⇒=--∈>∴当1k =-时，φ有最小值，最小值为min (1)3288πππφ-⋅=--=. 应选：B【点睛】此题考察了余弦型函数的图象平移，考察了余弦型函数的性质，考察了数学运算才能.5.某调查了200名学生每周的自习时间是〔单位：小时〕，制成了如下列图的频率分布直方图，其中自习时间是的范围是1，30]，样本数据分组为1，20〕，20，2〕，2,25〕，25，2〕，2，30〕.根据直方图，这200名学生中每周的自习时间是不少于2小时的人数是〔〕 A.56 B.60C.140D.120【答案】C 【解析】【详解】试题分析：由题意得，自习时间是不少于22.5小时的频率为(0.160.080.04) 2.50.7++⨯=，故自习时间是不少于22.5小时的频率为0.7200140⨯=，应选C. 考点：频率分布直方图及其应用．6.〔2021全国卷Ⅲ文科〕椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左、右顶点分别为A 1，A 2，且以线段A 1A 2为直径的圆与直线20bx ay ab -+=相切，那么C 的离心率为A.3B.3C.3D.13【答案】A 【解析】 以线段12A A 为直径的圆的圆心为坐标原点()0,0，半径为r a =，圆的方程为222x y a +=，直线20bx ay ab -+=与圆相切，所以圆心到直线的间隔等于半径，即d a ==，整理可得223a b ，即()2223,a a c =-即2223a c =，从而22223c e a ==，那么椭圆的离心率3c e a ===，应选A.【名师点睛】解决椭圆和双曲线的离心率的求值及取值范围问题，其关键就是确立一个关于,,a b c 的方程或者不等式，再根据,,a b c 的关系消掉b 得到,a c 的关系式，而建立关于,,a b c 的方程或者不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.第II 卷〔非选择题〕二、填空题：〔每一小题5分，一共20分．〕 7.观察以下等式照此规律，第n 个等式为__________． 【答案】()221n -【解析】 【分析】根据式子的开场项和中间一项及右边结果的特点得出. 【详解】根据题意，由于观察以下等式照此规律，等式左边的第一个数就是第几行的行数，且相加的连续自然数的个数是中间数字，右边是最中间数字的平方，故第n 个等式为()()()()2123221n n n n n +++++⋯+-=-.【点睛】此题考察了归纳推理，属于中档题．8.〔2021全国II 理科〕等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，33a =，410S =，那么11nk kS ==∑____________． 【答案】21nn + 【解析】设等差数列的首项为1a ，公差为d ，由题意有1123434102a d a d +=⎧⎪⎨⨯+=⎪⎩，解得111a d =⎧⎨=⎩， 数列的前n 项和()()()111111222nn n n n n n S na d n --+=+=⨯+⨯=， 裂项可得12112()(1)1k S k k k k ==-++，所以1111111122[(1)()()]2(1)223111nk knS n n n n ==-+-++-=-=+++∑． 点睛:等差数列的通项公式及前n 项和公式，一共涉及五个量a 1，a n ，d ，n ，S n ，知其中三个就能求另外两个，表达了用方程的思想解决问题．数列的通项公式和前n 项和公式在解题中起到变量代换作用，而a 1和d 是等差数列的两个根本量，用它们表示和未知是常用得方法．使用裂项法求和时，要注意正、负项相消时消去了哪些项，保存了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点．9.复数512iz i=+〔i 是虚数单位〕，那么||z =________．【解析】 【分析】化简复数，根据模长公式求解.【详解】5(12)2(12)(12)i i z i i i -==++-，所以||z =【点睛】此题考察复数的根本运算，关键在于纯熟掌握复数的运算法那么，根据模长公式计算模长. 10.记函数()f x =的定义域为D ,在区间[]4,5-上随机取一个数x ，那么x D ∈的概率是________． 【答案】59【解析】 由260x x +-≥，即260x x --≤，得23x -≤≤，根据几何概型的概率计算公式得x D ∈的概率是()()325549--=--，故答案为59. 三、解答题：(解容许写出文字说明、证明过程或者演算步骤．其中第11题15分，12每一小题15分，13每一小题20分一共50分．)11.海水养殖场进展某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量比照，收获时各随机抽取了100个网箱，测量各箱水产品的产量〔单位：kg〕得频率分布直方图如下：〔1〕设两种养殖方法的箱产量互相HY，记A表示事件：“旧养殖法的箱产量低于50kg，新养殖法的箱产量不低于50kg〞，估计A的概率；〔2〕填写上下面22⨯列联表，并根据联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关：附：()()()()()22n ad bcKa b c d a c b d-=++++〔3〕根据箱产量的频率分布直方图，求新养殖法箱产量的中位数的估计值〔准确到〕【答案】〔1〕0.4092〔2〕填表见解析，有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关〔3〕()52.35kg 【解析】【分析】〔1〕利用HY事件概率公式求得事件A的概率估计值；〔2〕写出列联表计算215.705K≈，得到答案.〔3〕结合频率分布直方图估计中位数计算得到答案..【详解】〔1〕记B表示事件“旧养殖法的箱产量低于50kg〞，C表示事件“新养殖法的箱产量不低于50kg〞，由题意知()()()()P A P BC P B P C==，旧养殖法的箱产量低于50kg 的频率为()0.0120.0140.0240.0340.04050.62++++⨯=，故()P B 的估计值为0.62.新养殖法的箱产量不低于50kg 的频率为()0.0680.0460.0100.00850.66+++⨯=，故()P C 的估计值为0.66. 因此事件A 的概率估计值为0.620.660.4092⨯=.〔2〕根据箱产量的频率分布直方图得列联表()222006266343815.70510010096104K ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯.由于15.705 6.635>，故有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关.〔3〕因为新养殖法的箱产量频率分布直方图中，箱产量低于50kg 的直方图面积为()0.0040.0200.04450.340.5++⨯=<，箱产量低于55kg 的直方图面积为()0.0040.0200.0440.06850.680.5+++⨯=>，故新养殖法箱产量的中位数的估计值为()0.50.345052.35kg 0.068-+≈.【点睛】此题考察了概率的计算，HY 性检验，中位数，意在考察学生的计算才能和应用才能.12.如图，A ，B 是海面上位于东西方向相距(53海里的两个观测点，现位于A 点北偏东45°，B 点北偏西60°的D 点有一艘轮船发出求救信号，位于B 点南偏西60°且与B 点相距C 点的救援船立即即前往营救，其航行速度为30海里/小时，该救援船到达D 点需要多长时间是？【答案】救援船到达D点需要1小时．【解析】【详解】5(33)906030,45,105sin sin•sin5(33)?sin455(33)?sin 45sin sin105sin45?cos60sin60?cos45 ABDBA DABADBDB ABDABDAB ADBAB DABDBADB=+∠=︒-︒=︒∠=︒∴∠=︒∆=∠∠∠+︒+︒∴===∠︒︒︒+︒︒解：由题意知海里，在中，由正弦定理得海里又海里中，由余弦定理得,海里，那么需要的时间是答：救援船到达D点需要1小时13.如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥面ABCD，AB=BC=2，AD=CD=，PA=，∠ABC=120°，G为线段PC 上的点．〔Ⅰ〕证明：BD⊥平面PAC；〔Ⅱ〕假设G是PC的中点，求DG与PAC所成的角的正切值；〔Ⅲ〕假设G满足PC⊥面BGD，求的值．【答案】〔1〕见解析〔2〕〔3〕【解析】试题分析：〔Ⅰ〕利用直线和平面垂直的断定定理证得BD⊥面PAC．〔Ⅱ〕由三角形的中位线性质以及条件证明∠DGO为DG与平面PAC所成的角，求出GO和AC的值，可得OC、OD的值，再利用直角三角形中的边角关系求得tan∠DGO的值．〔Ⅲ〕由△COG∽△CAP，可得，解得GC的值，可得PG=PC﹣GC的值，从而求得的值．考点：直线与平面垂直的断定；直线与平面所成的角．点评：此题考察了直线和平面垂直的断定定理的应用，求直线和平面所成的角的求法．。
学年高二下学期入学考试数学(附答案)
高二数学第I 卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．数列{}a n 的通项公式是a n ＝1n ＋n ＋1，若前n 项和为10，则项数n 为A ．11B ．99C ．120D ．121 2．函数)12lg(21)(-+-=x xx f 的定义域为A ．),21(+∞ B ．)2,21( C ．)1,21(D ．)2,(-∞3．下列命题中正确的是 A ．当2lg 1lg ,10≥+≠>x x x x 时且B ．当0>x ，21≥+xxC ．当20πθ≤<，θθsin 2sin +的最小值为22D ．当xx x 1,20-≤<时无最大值 4．2x 2－5x －3＜0的一个必要不充分条件是A ．－21＜x ＜3 B ．－21＜x ＜0 C ．－3＜x ＜21D ．－1＜x ＜6 5.过抛物线y 2=4x 的焦点作直线，交抛物线于A(x 1, y 1) ，B(x 2, y 2)两点，如果x 1+ x 2=6，那么|AB |= A ．8B ．10C ．6D ．46.设Sn 是等差数列{a n }的前n 项和，若9535=a a ，则 59s s等于 A.1 B.-1 C.2 D21 7．在命题“若抛物线2y ax bx c =++的开口向下，则{}2|0x ax bx c φ++<≠”的逆命题、否命题、逆否命题中结论成立的是A ．都真B ．都假C ．否命题真D ．逆否命题真8.已知F 是抛物线y 2=x 的焦点，A 、B 是该抛物线上的两点，|AF |+|BF |=3，则线段AB 的中点到y 轴的距离为A.34 B.1 C. 54 D. 749．已知正六边形ABCDEF ，在下列表达式①++；②+2；③+；④-2中，等价的有 A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个10. 在等差数列{}n a 中，公差1d =，98137s =，则24698a a a a ++++ 等于 A. 91 B. 92 C . 93 D . 9411. 等比数列}{n a 中，0>n a ，且362867564=++a a a a a a ,则75a a +的值为A ．6B ．12C ．18D ．2412. 已知P 是抛物线2y x =上任意一点，则当P 点到直线20x y ++=的距离最小时，P 点与该抛物线的准线的距离是A ．2B ．1C ．21D ．41第II 卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。
高二数学下学期入学考试试题
双峰县第一中学2021-2021学年高二数学下学期入学考试试题考试时间是是：120分钟；满分是：150分一、选择题〔每一小题5分，一共60分〕1、一个三层书架，分别放置语文书12本，数学书14本，英语书11本，从中任取一本，那么不同的取法一共有( )A．37种B．1 848种 C．3种D．6种2、以下函数中，既是偶函数又存在零点的是( )A．2||y log x＝ B．y＝2x－1 C．y＝ln x D．y＝x2＋13、 8名同学争夺3项冠HY，获得冠HY的可能性有〔〕A、38B、83C、38AD、38C4、6个人站成一排，甲、乙、丙3人必须站在一起的所有排列的总数为( )A．A66 B．3A33 C．A33·A33 D．A44·A335、从1、2、3、4、5中任取两个不同的数，事件A为“取到的两个数之和为偶数〞，事件B为“取到的两个数均为偶数〞，那么()P B A ( )A、18B、14C、25D、126、9件产品中，有4件一等品，3件二等品，2件三等品，如今要从中抽出4件产品，抽出产品中至少有2件一等品的抽法种数为( )A．81 B．60 C．6 D．11创作；朱本晓创作；朱本晓7、天气预报，在假期甲地的降雨概率是，乙地的降雨概率是，假设在这段时间是内两地是否降雨互相之间没有影响，那么这两地中恰有一个地方降雨的概率为〔 〕A 、0.2B 、0.3C 、0.38D 、8、某群体中的每位成员使用挪动支付的概率都为p ，各成员的支付方式互相HY ，设X 为该群体的10位成员中使用挪动支付的人数，D (x)＝，P (X ＝4)＜P (X ＝6)，那么p ＝〔 〕A 、0.7B 、0.6C 、0.4D 、9、n +x （1）的展开式中第9项、第10项、第11项的二项式系数成等差数列，那么n 的值是〔 〕 A 、14 B 、10 C 、14或者23D 、10或者23 10、[2021·全国卷Ⅱ]函数f (x )＝e x －e －x x2的图象大致为( ) A B C D11、函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －x 2＋2x ，x ≤0，ln x ＋1，x >0.假设|f (x )|≥ax ，那么a 的取值范围是( )A ．(－∞，0]B ．(－∞，1]C ．[－2,1]D ．[－2,0]12、函数12,0()21,0x e x f x x x x -⎧>⎪=⎨--+≤⎪⎩，假设关于x 的方程23())0()(f f x a x a -+=∈R 有创作；朱本晓8个不等的实数根，那么a 的取值范围是〔 〕A ．10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭ B ．1,33⎛⎫ ⎪⎝⎭ C ．(1,2) D ．92,4⎛⎫ ⎪⎝⎭二、填空题〔每一小题5分，一共20分〕13、6个人排成一行，其中甲、乙两人不相邻的不同排法一共有________种．(用数字答题)14、在18x （9展开式中，常数项为展开式的第 项15、书架上某层有6本书，新买3本插进去，要保持原有6本书的顺序，有 种不同的插法〔详细数字答题〕16、定义在R 上的函数()f x 满足()()f x f x -=，且对任意的不相等的实数1x ，[)20,x ∈+∞有()()12120f x f x x x -<-成立，假设关于x 的不等式()2ln 32f mx x --≥()3f -()2ln 3f mx x -++在[]1,3x ∈上恒成立，那么实数m 的取值范围________.三、解答题〔17题10分，其余各题12分，一共70分〕17、一台机器在一天内发生故障的概率为0.1.假设这台机器在3个工作日内，不发生故障，可获利5万元；发生1次故障可获利万元；发生2次故障的利润为0元；发生3次故障要亏损1万元.这台机器在3个工作日内可能获利的均值是多少？创作；朱本晓18、在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且向量(2,)m a c b =-与向量(cos ,cos )n C B =一共线.〔1〕求B ；〔2〕假设37b =，3a =，且2AD DC =，求BD 的长度.19、如图，在三棱柱111ABC A B C -中，11AAC C 是边长为4的正方形，平面ABC ⊥平面11AAC C ，3AB =，5BC =.〔1〕求证：1AA ⊥平面ABC ；〔2〕求二面角111A BC B --的余弦值.20、2021年世界海洋日暨全国海洋宣传日主场活动在举行，此次活动主题为“珍惜海洋资源保护海洋生物多样性〞，旨在进一步进步公众对节约利用海洋资源、保护海洋生物多样性的认识，为保护蓝色家园做出奉献.结合国于第63届结合国大会上将每年的6月8日确定为“世界海洋日〞，为了响应世界海洋日的活动，2021年12月某高校行政主管部门从该大学随机抽取局部大学生进展一次海洋知识测试，并根据被测验学生的成绩〔得分都在区间[]50,100内〕绘制成如下图的频率分布直方图.假设学生的得分成绩不低于80分的认为是“成绩优秀〞，如今从认为“成绩优秀〞的学生中根据原有分组按照分层抽样的方法抽取10人进展奖励，最后再从这10人中随机选取3人作为优秀代表发言.〔1〕求所抽取的3人不属于同一组的概率；〔2〕记这3人中，ξ为测试成绩在[]90,100内的人数，求ξ的分布列和数学期望.21、椭圆2222:1(0)x yC a ba b+=>>的焦距为2，点31,2⎛⎫⎪⎝⎭在C上.〔1〕求C的方程；〔2〕过原点且不与坐标轴重合的直线l与C有两个交点,A B，点A在x轴上的射影为M，线段AM的中点为N，直线BN交C于点P，证明：直线AB的斜率与直线AP的斜率乘积为定值.创作；朱本晓创作；朱本晓22、函数(1)()ln ,1a x f x x x R x -=-∈+ ． 〔1〕假设x =2是函数f 〔x 〕的极值点，求曲线y =f 〔x 〕在点〔1,f 〔1〕〕处的切线方程； 〔2〕假设函数f 〔x 〕在(0,)+∞ 上为单调增函数，求a 的取值范围；〔3〕设m ，n 为正实数，且m>n ，求证：ln ln 2m n m n m n-+<- ．答案1、选A 根据分类加法计数原理，得不同的取法为N ＝12＋14＋11＝37(种)．2、选A 由于y ＝2x －1，y ＝ln x 是非奇非偶函数，y ＝x 2＋1是偶函数但没有零点，只有y ＝log 2|x |是偶函数又有零点，应选A. 3、选A 冠HY 不能重复，但同一个学生可获得多项冠HY ，把8名学生看作8家“店〞，3项冠HY 看作3个“客〞，他们都可能住进任意一家“店〞，每个“客〞有8种可能，因此一共有38种不同的结果。
湖南省长沙市2023-2024学年高二下学期入学考试数学试题含答案
湖南2023-2024学年度高二第二学期入学考试数学（答案在最后）时量：120分钟满分：150分得分：______一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}1,2,3,4A =，{}1,2,3,4,5A B = ，{}1,2A B = ，则B =（）A ．{}1,2,3B ．{}1,2,4C ．{}1,2,5D ．{}2,3,52．已知复数z 满足()1i 2i z -=，则复数z 在复平面内对应的点Z 的坐标是（）A ．()1,1B ．()1,1-C ．()1,1--D ．()1,1-3．某中学高二1班共有50名同学，其中男生30名，女生20名，采用按比例分层随机抽样方法，从全班学生中抽取20人测量其身高（单位：cm ）．已知在抽取的样本中，男生的平均身高为cm a ，女生的平均身高为cm b ，由此估计该班全体学生的平均身高约为（）A ．cm 2a b+B ．32cm 2a b+C ．23cm 5a b+D ．32cm 5a b+4．92x ⎫-⎪⎭的展开式中常数项为（）A ．84-B ．672-C ．84D ．6725．函数()()esin cos xf x x x =-的极值点是（）A ．()x k k π=∈Z B ．()2x k k ππ=+∈Z C ．()2k x k π=∈Z D ．()4x k k ππ=+∈Z 6．如图，在下列各正方体中，l 为正方体的一条对角线，M 、N 分别为所在棱的中点，则满足MN l ⊥的是（）A ．B ．C ．D ．7．直线()21210a x ay +-+=的倾斜角的取值范围是（）A ．0,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．3,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．30,,44πππ⎡⎤⎡⎫⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭8．在数学和许多分支中都能见到很多以瑞士数学家欧拉命名的常数、公式和定理，如：欧拉函数()()*n n ϕ∈N的函数值等于所有不超过正整数n 且与n 互素的正整数的个数，（互素是指两个整数的公约数只有1），例如：()11ϕ=；()32ϕ=（与3互素有1、2）；()96ϕ=（与9互素有1、2、4、5、7、8）．记n S 为数列(){}3nn ϕ⋅的前n 项和，则10S =（）A ．10191322⨯+B ．10211322⨯+C ．11193344⨯+D ．11211344⨯+二、选择题：本大题共4个小题，每小题5分，满分20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．下列结论正确的是（）A ．椭圆22143x y +=的焦点坐标是()1,0±B ．双曲线22145y x -=的顶点坐标是()2,0±C ．抛物线212y x =-的准线方程是3x =D ．直线3410x y -+=与圆()()22124x y ++-=相交10．已知函数()2sin cos 2f x x x x =-+，则（）A ．()f x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增B ．()f x 的值域是[]1,1-C ．()f x 的图象关于点,06π⎛⎫⎪⎝⎭对称D ．12f x π⎛⎫-⎪⎝⎭为偶函数11．已知定义在0,2π⎡⎫⎪⎢⎣⎭上的函数()f x 的导函数为()f x '，且()00f =，()()cos sin 0f x x f x x +<'，则下列判断中正确的是（）A ．624f f ππ⎛⎫⎛⎫<⎪⎪⎝⎭⎝⎭B ．ln03f π⎛⎫> ⎪⎝⎭C ．263f f ππ⎛⎫⎛⎫>⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．43f ππ⎛⎫⎛⎫>⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭12．在正方体1111ABCD A B C D -中，1AB =，点P 满足1CP CD CC λμ=+，其中[]0,1λ∈，[]0,1μ∈，则下列结论正确的是（）A ．当1B P ∥平面1A BD 时，1B P 不可能垂直1CD B ．若1B P 与平面11CCD D 所成角为4π，则点P 的轨迹长度为2πC ．当λμ=时，1DP A P + 的最小值为252D ．当1λ=时，正方体经过点1A 、P 、C 的截面面积的取值范围为62⎣⎦三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知a ，b 为单位向量，且1a b +=，则a b ⋅= ______．14．某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有______种（用数字作答）．15．已知圆锥的底面半径为6，侧面积为60π，则该圆锥的内切球（圆锥的侧面和底面都与球相切）的体积为______．16．已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>，1F ，2F 分别是双曲线的左、右焦点，M 是双曲线右支上一点，连接1MF 交双曲线C 左支于点N ，若2MNF △是以2F 为直角顶点的等腰直角三角形，则双曲线的离心率为______．四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（本小题满分10分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足11a =，12n n S na +=，*n ∈N ．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设数列{}n b 满足11b =，22b =，22n n b b +=，*n ∈N ，按照如下规律构造新数列{}n c ：1a ，2b ，3a ，4b ，5a ，6b ，7a ，8b ，…，求数列{}n c 的前2n 项和．18．（本小题满分12分）2023年底，某商业集团总公司根据相关评分细则，对其所属25家商业连锁店进行了年度考核评估，将各连锁店的评估分数按[)60,70，[)70,80，[)80,90，[]90,100分成4组，其频率分布直方图如图所示．总公司还依据评估得分，将这些连锁店划分为A 、B 、C 、D 四个等级，等级评定标准如表所示．评估分数[)60,70[)70,80[)80,90[]90,100评定等级DCBA（1）估计该商业集团各连锁店评估得分的第64百分位数；（2）从评估分数不小于80的连锁店中随机抽取2家介绍营销经验，求至少抽到1家A 等级的概率．19．（本小题满分12分）在直三棱柱111ABC A B C -中，90ACB ∠=︒，2AC BC ==，M 为1CC 的中点，1120A MB ∠︒=．求：（1）1CC 的长；（2）二面角M AB C --的余弦值．20．（本小题满分12分）在平面几何中，通常将完全覆盖某平面图形且直径最小的圆，称为该平面图形的最小覆盖圆．最小覆盖圆满足以下性质：①线段AB 的最小覆盖圆就是以AB 为直径的圆；②锐角ABC △的最小覆盖圆就是其外接圆．已知曲线W ：2416x y +=，()0,A t ，()4,0B ，()0,2C ，()4,0D -为曲线W 上不同的四点．（1）求实数t 的值及ABC △的最小覆盖圆的方程；（2）求四边形ABCD 的最小覆盖圆的方程；（3）求曲线W 的最小覆盖圆的方程．21．（本小题满分12分）已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>与抛物线M ：24y x =有公共的焦点，且抛物线的准线被椭圆截得的弦长为3．（1）求椭圆C 的方程；（2）过椭圆C 的右焦点作一条斜率为()0k k ≠的直线交椭圆于A ，B 两点，交y 轴于点E ，P 为弦AB 的中点，过点E 作直线OP 的垂线交OP 于点Q ，问是否存在一定点H ，使得QH 的长度为定值？若存在，则求出点H ；若不存在，请说明理由．22．（本小题满分12分）已知函数()()22ln 2f x x ax x a =+-∈R ．（1）若函数()f x 存在单调递减区间，求实数a 的取值范围；（2）设1x ，()212x x x <是函数()f x 的两个极值点，证明：()()121221f x f x a x x ->--．湖南2023-2024学年度高二第二学期入学考试数学参考答案一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．题号12345678答案CBDBACCA1．C 【解析】由已知，1,2,5B ∈，且3,4B ∉，所以{}1,2,5B =．2．B 【解析】由已知，()()()()2i 1i 2i i 1i 1i 1i 1i 1i z +===+=-+--+，则点Z 的坐标是()1,1-．3．D 【解析】因为抽样比例为25，则样本中男生有230125⨯=人，女生有22085⨯=人，所以样本的平均身高为12832205a b a b ++=，由此估计该班全体学生的平均身高约为32cm5a b+．4．B 【解析】92x ⎫-⎪⎭的展开式的通项为()93921992C 2C rr rr rrr T x x --+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，令930r -=，得3r =，所以常数项为()3392C 672-=-．5．A 【解析】()()()esin cos e cos sin 2e sin xx x f x x x x x x =-++='，令()0f x '=，则sin 0x =，得()x k k π=∈Z ．6．C 【解析】如图，在正方体中，BC DE ⊥，BC EF ⊥，则BC ⊥平面DEF ，所以BC l ⊥．同理，AC l ⊥，所以l ⊥平面ABC．若MN l ⊥，则MN ∥平面ABC ．在A ，B ，D 中，MN 都与平面ABC 相交，在C 中，MN ∥平面ABC ．所以MN l ⊥．7．C 【解析】①当0a =时，斜率不存在，倾斜角为2π；②当0a >时，斜率21121222a a a k a ++===，倾斜角范围为,42ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭；③当0a <时，斜率21121222a a a k a ++==--=- ，倾斜角范围为3,24ππ⎛⎤⎥⎝⎦．综上，直线的倾斜角的取值范围为3,44ππ⎡⎤⎢⎣⎦．8．A 【解析】因为与3n互素的数为1，2，4，5，7，8，10，11， (31)-，共有123n -⨯，所以()1323nn ϕ-=⨯，则()1323nn n n ϕ-⋅=⨯，于是012123436323n n S n -=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯①，123323436323n n S n =⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯②，由①-②得0121132232323232322313n n nn n S n n ---=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯-⨯=⋅-⨯-，则211322n n n S -=⋅+，于是1010191322S =⨯+．二、选择题：本大题共4个小题，每小题5分，满分20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．题号9101112答案ACBCDCDBD9．AC 【解析】在椭圆22143x y +=中，因为24a =，23b =，则1c ==，且焦点在x 轴上，A 正确．双曲线22145y x -=的顶点在y 轴上，B 错误．抛物线212y x =-开口向左，6p =，准线为32px ==，C 正确．圆心()1,2-到直线3410x y -+=的距离38125d r --+===，则直线与圆相切，D 错误．10．BCD 【解析】由已知，()()21sin cos 2cos 12cos 2sin 22223f x x x x x x x π⎛⎫=--=-=- ⎪⎝⎭．当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，22,333x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，则()f x 不单调；因为()max 1f x =，()min 1f x =-，则()f x 的值域是[]1,1-；因为06f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，则()f x 的图象关于点,06π⎛⎫ ⎪⎝⎭对称；sin 2sin 2cos2121232f x x x x ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦为偶函数．11．CD 【解析】令()()cos f x g x x=，0,2x π⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，因为()()cos sin 0f x x f x x +<'，则()()()2cos sin 0cos f x x f x xg x x='+<'，故()g x 在0,2π⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递减，因为()00f =，则()0g x ，结合选项可知，64g g ππ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭643222f f ππ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪>624f f ππ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故A 错误，因为ln 03π>，结合()g x 在0,2π⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递减可知，ln 03g π⎛⎫< ⎪⎝⎭，从而有ln 30cos ln 3f ππ⎛⎫⎪⎝⎭<⎛⎫ ⎪⎝⎭，由cos ln 03π⎛⎫> ⎪⎝⎭可得ln 03f π⎛⎫< ⎪⎝⎭，故B 错误；63g g ππ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，从而有631322f f ππ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭>，且03f π⎛⎫< ⎪⎝⎭，即2633f f πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．故C 正确；43g g ππ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，从而有431222f f ππ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭>，即43f ππ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．故D 正确．12．BD 【解析】A 选项：建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -，则()0,0,0A ，()1,0,0B ，()0,1,0D ，()1,1,0C ，()10,0,1A ，()11,1,1C ，()10,1,1D ，()11,0,1B ，所以()11,0,1CD =- ，()1111,1,1B P B C CP B C CD CC λμλμ=+=++=--，则()11,0,1BA =- ，()1,1,0BD =- ，设平面1A BD 的法向量为(),,n x y z =，所以10,0,BA n x z BD n x y ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩令1x =，则1y z ==，即平面1A BD 的一个法向量为()1,1,1n =．若1B P ∥平面1A BD ，则10n B P ⋅= ，即λμ=，111B P CD λμ⋅=+-，令110B P CD ⋅= ，解得12λμ==．即P 为1CD 中点时，有1B P ∥平面1A BD ，且11B P CD ⊥，故A 错误；B 选项：因为11BC ⊥平面11CCD D ，连接1C P ，则11B PC ∠即为1B P 与平面11CC D D 所成角，若1B P 与平面11CC D D 所成角为4π，则11111tan 1B C B PC C P∠==，所以1111C P B C ==，即点P 的轨迹是以1C 为圆心，以1为半径的14个圆，于是点P 的轨迹长度为2π，故B 正确；C 选项：如图，将平面1CD D 与平面11BCD A 沿1CD 展成平面图形，线段1A D 即为1DP A P +的最小值，利用余弦定理可知222111111132cos24A D A D DD A D DD π=+-⋅⋅=+1A D =C 错误；D 选项：正方体经过点1A 、P 、C 的截面为平行四边形1A PCH ，以A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -，则()0,0,0A ，()1,1,0C ，()10,0,1A ，()0,1,P μ，所以()1,0,PC μ=- ，()11,1,1A C =- ，11PC A C μ⋅=+，PC =，1A C = ，所以点P 到直线1A C的距离为d =12μ=时，1PA C △的面积取最小值，此时截面面积为2；当0μ=或1时，1PA C △的面积取最大值，此时截面面积为，故D 正确．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．12-【解析】由已知，21a b += ，即2221a a b b +⋅+= ．因为1a b == ，则12a b ⋅=- ．14．64【解析】若选2门，则只能各选1门，有1144C C 16=种，若选3门，则分体育类选修课选2门，艺术类选修课选1门，或体育类选修课选1门，艺术类选修课选2门，则有12214444C C C C 242448+=+=，综上共有164864+=种不同的方案．15．36π【解析】作轴截面图如图．由已知，6AC =，660PA ππ⨯⨯=，则10PA =，10PB =，在Rt PCA △中，8PC ==．设内切球半径为R ，由等面积法，得1283101012AB PC R PA PB AB ⨯⨯===++++，所以内切球体积34363V R ππ==．16【解析】设2MF m =，因为2MNF △是以2F为直角顶点的等腰直角三角形，所以MN =，2NF m =，由双曲线的定义知，122MF MF a -=，212NF NF a -=，所以12MF a m =+，12NF m a =-，又11MN MF NF =-，所以()()224a m m a a =+--=，即m =，在12MF F △中，由余弦定理知，222121212122cos F F MF MF MF MF F MF ∠=+-⋅，所以()()()222224222cos4544222c a m m a m m a am m m a m =++-+⋅︒=++-+，即()()22244422222222c a a a aa a a =+⋅+⋅-+，整理得，223c a =，即3c a =，所以离心率3c e a==．四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．【解析】（1）当1n =时，有122S a =，得2122a a ==，当2n 时，由12n n S na +=，得()121n n S n a -=-，两式相减得，()121n n n a na n a +=--，整理得，()121n n a a n n n +=+ ，所以212n a a n ==，即()2n a n n = ，当1n =时，11a =，满足上式，所以n a n =，*n ∈N ．（2）因为22b =，()*22n n b n b +=∈N ，所以数列{}n b 的偶数项构成以2为首项，2为公比的等比数列，所以数列{}n c 的前2n 项和：()()()()122132124221212122212nn n n n n nT a a a b b b n +--+-=++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+=+--．18．【解析】（1）直方图中从左至右第一、三、四个小矩形的面积分别为0.28，0.16，0.08，则第二个小矩形的面积为10.280.160.080.48---=．因为0.280.480.760.64+=>，则第64百分位数位于区间[)70,80内．设第64百分位数为70x +，则0.640.280.75100.48x -==，得7.5x =．所以第64百分位数估计为77.5分．（2）由直方图知，A 等级的频数为250.082⨯=，B 等级的频数为250.164⨯=．从这6家连锁店中任选2家，共有2665C 152⨯==种选法，则()Ω15n =．设事件E =“至少抽到1家A 等级”，因为选1家A 等级和1家B 等级的选法有248⨯=种，选2家A 等级的选法只有1种，则()819n E =+=．所以()()()3Ω5n E P E n ==，即至少抽到1家A 等级的概率为35．19．【解析】（1）以C 为坐标原点，CA ，CB ，1CC所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，设1CC n =，则()2,0,0A ，()12,0,A n ，10,0,2M n ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()0,2,0B ，则112,0,2MA n ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ，10,2,2MB n ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ，所以1111cos 2MA MB A MB MA MB∠⋅==-⋅ ，2142n -=-，解得4n =（负值舍去），故1CC 的长为4．（2）设平面ABM 的法向量为(),,m x y z = ，由题意知()2,2,0AB =- ，()2,0,2AM =- 则由220,220,m AB x y m AM x z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ 令1x =，可得1y z ==，所以平面ABM 的一个法向量为()1,1,1m = ，易得平面ABC 的一个法向量为()10,0,4CC = ，则11cos ,3C m C m C m C ⋅===⋅ ，所以二面角M AB C --的余弦值为33．20．【解析】（1）由题意，2t =-，由于ABC △为锐角三角形，外接圆就是ABC △的最小覆盖圆．设ABC △外接圆方程为220x y Dx Ey F ++++=，则420,1640,420,E F D F E F -+=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩解得3,0,4.D E F =-⎧⎪=⎨⎪=-⎩所以ABC △的最小覆盖圆的方程为22340x y x +--=．（2）因为DB 的最小覆盖圆就是以DB 为直径的圆，所以DB 的最小覆盖圆的方程为2216x y +=．又因为24OA OC ==<，所以点A ，C 都在圆内．所以四边形ABCD 的最小覆盖圆的方程为2216x y +=．（3）由题意，曲线W 为中心对称图形．设()00,P x y ，则240016x y +=．所以22200OP x y =+，且022y - ．故2222422000001651624OP x y y y y ⎛⎫=+=-+=--+ ⎪⎝⎭，所以当2012y =时，max 2OP =，所以曲线W 的最小覆盖圆的方程为22654x y +=．21．【解析】（1）抛物线M ：24y x =的焦点为()1,0，可得221a b -=①，抛物线的准线1x =-被椭圆截得的弦长为3，由1x =-代入椭圆方程可得2b y a =±，即有223b a=②，解①②可得2a =，b =，所以椭圆C 的方程为22143x y +=．（2）设直线AB ：()1y k x =-，()11,A x y ，()22,B x y ，联立直线与椭圆方程()221,3412,y k x x y ⎧=-⎨+=⎩消去y 可得()22223484120k x k x k +-+-=，则2122834k x x k +=+，212241234k x x k-=+，所以21224234x x k k +=+，21212224311223434y y x x k k k k k k⎛⎫++-⎛⎫=-=-= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭，所以22243,3434k k P k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭，直线OP ：34y x k =-③，直线AB 的方程()1y k x =-中，令0x =可得y k =-，所以()0,E k -，因为直线EQ OP ⊥，所以直线QE 的方程为43k y x k =-④，将③④联立相乘得到2234y x x =-+，即2239864x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，所以点Q 的轨迹为以3,08⎛⎫ ⎪⎝⎭为圆心，38为半径的圆（去掉与x 轴的两个交点），所以存在定点3,08H ⎛⎫⎪⎝⎭，使得QH 的长为定值38．22．【解析】（1）由题意()2222222ax x f x ax x x-+=+-='，因为函数()f x 存在单调递减区间，所以()0f x '<在()0,+∞上有解，因为0x >，设()2222x ax x ϕ=-+，则()020ϕ=>，所以只需0a 或0,10,2Δ4160,a a a >⎧⎪⎪>⎨⎪=->⎪⎩解得0a 或104a <<，所以实数a 的取值范围为1,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭．（2）证明：由（1）可知，()2222ax x f x x-+='，因为()f x 有两个极值点1x ，()212x x x <，所以1x ，2x 是22220ax x -+=的根，则12121,1,x x a x x a ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以()()()()222212111222ln 2ln 2f x f x x ax x x ax x -=+--+-()()221121222ln 2x a x x x x x =+---()22112122122ln 2x x x x x x x x -=+--+()11222ln x x x x =--，因为210x x >>，所以要证()()121221f x f x a x x ->--即证()()()()121221f x f x a x x -<--，即()()()1121222ln 21x x x a x x x --<--，即证()1122ln x a x x x <-，即证112212lnx x x x x x -<+，即证1121221ln 1x x x x x x -<+，令12(01)x t t x =<<，即证明1ln 1t t t -<+．令()1ln 1t h t t t -=-+，则()()22101t h t t t +=>+'，所以()h t 在()0,1上单调递增，则()()10h t h <=，即1ln 1t t t -<+，所以原不等式()()121221f x f x a x x ->--成立．。
2019-2020学年高二数学下学期开学考试试题(含解析)
2019-2020学年高二数学下学期开学考试试题（含解析）一、单项选择题（本题共10个小题，每小题5分，共50分，每小题的四个选项中，只有一个是正确的）1.复数等于（）A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析：，故选C．考点：复数的运算．2.已知随机变量服从二项分布，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由二项分布的公式即可求得时概率值.【详解】由二项分布公式：.故选A.【点睛】本题考查二项分布的公式，由题意代入公式即可求出.3.已知函数则的单调减区间是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】试题分析：对函数求导得，单调减区间即，解得．考点：利用导数解决函数的单调性问题．4. 高三某6个班级从“照母山”等6个不同的景点中任意选取一个进行郊游活动，其中1班、2班不去同一景点且均不去“照母山”的不同的安排方式有多少种（）A. B. C. D.【答案】D【解析】试题分析：1班、2班的安排方式有种，剩余4个班的安排方式有种，所以共有各安排方式，故选D．考点：计数原理．5.已知某批零件的长度误差（单位：毫米）服从正态分布，从中随机取一件，其长度误差落在区间（3,6）内的概率为（）（附：若随机变量ξ服从正态分布，则，．）A. 4.56%B. 13.59%C. 27.18%D. 31.74%【答案】B【解析】试题分析：由题意故选B．考点：正态分布6.函数的图象在处的切线斜率为（）A. 3B.C.D. e【答案】B【解析】【分析】求出函数的导数，将代入即可求解切线的斜率．【详解】，所以.故选：B【点睛】本题考查函数的导数的应用，意在考查求导运算，是基础题．7.在掷一枚图钉的随机试验中，令，若随机变量X 的分布列如下：03则（）A. 0.21B. 0.3C. 0.5D. 0.7【答案】D【解析】【分析】先由概率和为1，求出，然后即可算出【详解】因为，所以所以故选：D【点睛】本题考查的是离散型随机变量的分布列的性质及求由分布列求期望，较简单.8.在个排球中有个正品，个次品.从中抽取个，则正品数比次品数少的概率为（）A. B. C. D.【解析】分析：根据超几何分布，可知共有种选择方法，符合正品数比次品数少的情况有两种，分别为0个正品4个次品，1个正品3个次品，分别求其概率即可．详解：正品数比次品数少，有两种情况：0个正品4个次品，1个正品3个次品，由超几何分布的概率可知，当0个正品4个次品时当1个正品3个次品时所以正品数比次品数少的概率为所以选A点睛：本题考查了超几何分布在分布列中的应用，主要区分二项分布和超几何分布的不同．根据不同的情况求出各自的概率，属于简单题．9.函数f(x)＝的图象大致是A. B. C.D.【解析】【分析】先研究时，的函数值的正负，再研究的正负，从而排除错误选项，得到答案.【详解】由x＞1时f(x)<0，排除B、D，又，排除A故选C【点睛】本题考查通过函数值判断函数的图象，属于简单题.10.已知为函数的极小值点，则=（）A. -2B.C. 2D. -【答案】B【解析】【分析】求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，求出函数的极值点即可．【详解】f′（x）＝3x2﹣6，令f′（x）＞0，解得：x＞或x＜﹣，令f′（x）＜0，解得：﹣＜x＜，故f（x）在（﹣∞，﹣）递增，在（﹣，）递减，在（，+∞）递增，故是极小值点，故a＝，故选B．【点睛】本题考查了函数的单调性、极值问题，考查导数的应用，是一道基础题．二、多选题（本题共2个小题，每小题5分，共10分，每小题的四个选项中，至少有一个是正确的，少答3分，多答错答0分）11.设离散型随机变量的分布列为若离散型随机变量满足，则下列结果正确的有（）A. B. ，C. ，D. ，【答案】CD【解析】【分析】根据概率的性质列方程可得，根据期望和方差公式可得，根据和分别可得和，由此可得答案.【详解】由概率的性质可得，解得，，，，,故选：CD【点睛】本题考查了概率的性质，考查了离散型随机变量的期望和方差公式，属于基础题.12.下列说法中正确的是（）A. 对具有线性相关关系的变量有一组观测数据，其线性回归方程是，且，则实数的值是B. 正态分布在区间和上取值的概率相等C. 若两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数的值越接近于1D. 若一组数据的平均数是2，则这组数据的众数和中位数都是2【答案】ABD【解析】【分析】由已知求出可得，代入可解得，即可判断A；根据正态分布的对称性，即可判断选项B；若两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于1，可得C答案错误；由一组数据的平均数是2算出，即可判断D答案正确.【详解】由可得，代入可解得，故A答案正确；因为区间和关于对称，所以正态分布在区间和上取值的概率相等，故B答案正确；若两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于1，故C答案错误；若一组数据的平均数是2，即解得，所以这组数的众数和中位数都是2，故D答案正确故选：ABD【点睛】本题考查的知识点有：线性回归分析、正态分布、平均数、中位数和众数，属于基础题.第Ⅱ卷（共90分）三、填空题（本大共4小题，每小题5分，满分20分）13.若，则__________．【答案】【解析】【分析】利用排列数和组合数的计算公式化简已知条件，由此求得的值.【详解】由得，解得故答案为：【点睛】本小题主要考查排列数和组合数的计算，属于基础题.14.二项式的展开式中的常数项是__________．【答案】【解析】【分析】根据二项式展开式的通项公式，计算出常数项.【详解】二项式展开式的通项公式为，令，解得，故常数项为故答案为：【点睛】本小题主要考查二项式展开式中常数项的计算，属于基础题.15.若随机变量ξ的概率分布密度函数是，x∈R，则__________．【答案】【解析】【分析】根据密度函数求得，也即求得，由此求得.【详解】由可知，也即，所以.故答案为：【点睛】本小题主要考查正态分布密度函数，属于基础题. 16.已知某公司生产一种零件的年固定成本为5万元，每生产1千件，成本再增加3万元．假设该公司年内共生产该零件千件并且全部销售完，每1千件的销售收入为万元，且，为使公司获得最大利润，则应将年产量定为____________千件（注：年利润=年销售收入—年总成本）．【答案】【解析】【分析】求得年利润的解析式，结合导数和基本不等式，求得当为何值时，年利润最大.【详解】设年利润为，则.当时，，所以在上递增，在上递减，最大值为万元.当时，，当且仅当时，等号成立.综上所述，当千件时，年利润最大.故答案为：【点睛】本小题主要考查函数在实际生活中的应用，考查利用导数求最值，考查利用基本不等式求最值，属于中档题.四、解析题（共70分．解析须写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.已知，计算：（1）展开式二项式系数之和；（2）展开式各项系数之和；（3）；（4）．【答案】（1）；（2）；（3）；（4）.【解析】【分析】（1）根据二项式系数和公式，计算出二项式系数和.（2）令，求得展开式各项系数之和.（3）利用赋值法，求得所求表达式的值.（4）利用赋值法，求得所求表达式的值.【详解】（1）二项式展开式二项式系数之和为.（2）令得展开式各项系数之和为①.（3）令得.（4）令得，即，由①得.【点睛】本小题主要考查二项式展开式的二项式系数和、各项系数和，考查利用赋值法进行计算，属于基础题.18.以下问题最终结果用数字表示(1)由0、1、2、3、4可以组成多少个无重复数字的五位偶数？(2)由1、2、3、4、5组成多少个无重复数字且2、3不相邻的五位数？(3)由1、2、3、4、5组成多少个无重复数字且数字1,2,3必须按由大到小顺序排列的五位数？【答案】（1）60 （2）72 （3）20【解析】【分析】（1）五位偶数，要求末位必须是0，2，4，分类求出满足条件的结果．(2)可以求出一共能组成多少个五位数，然后再求出2、3相邻的五位数的个数，两数相减．（3）确定数字4，5的排法，然后数字1，2，3按照3，2，1的顺序插入．【详解】（1）偶数末位必须为0，2，4对此进行以下分类：当末位是0时，剩下1，2，3，4进行全排列，=24当末位是2时，注意0不能排在首位，首位从1，3，4选出有种方法排在首位，剩下的三个数可以进行全排列有种排法，所以当末位数字是2时有=18个数．同理当末位数字是4时也有18个数，所以由0、1、2、3、4可以组成无重复数字的五位偶数有24+18+18=60个.（2）由1、2、3、4、5组成五位数一共有个．第一步，把2.3捆定，有种排法；第二步，捆定的2，3与1，4，5一起全排列，共有个数，根据分步计数原理，2，3相邻的五位数共有=48个数，因此由1、2、3、4、5组成无重复数字且2、3不相邻的五位数共有个数．（3）把五位数每个数位看成五个空，数字4，5共有个，然后把数字1，2，3按照3，2，1的顺序插入，只有一种方式，根据分步计数原理，可知由1、2、3、4、5组成无重复数字且数字1,2,3必须按由大到小顺序排列的五位数为个．【点睛】解决此类问题首先要考虑的是分步还是分类问题，是排列还是组合问题．一般的策略是先考虑没有要求的元素的排法，再考虑特殊元素的要求．19.一台机器每周生产4天，在一天内发生故障的概率为0.1．若这台机器一周内不发生故障，则可获利4万元；发生1次故障仍可获利2万元；发生2次故障的利润为0元，发生3次或4次故障则要亏损1万元；如果请专业人员每天对机器进行维护，则可保证机器正常工作，但每周需增加4千元的维护经费．如果你是老板，你会请专业人员来维护机器吗？请说明理由．【答案】会，理由见解析.【解析】【分析】求得一周获利的期望值，由此判断出是否请专业人员来维护机器.【详解】设每周利润为，则的可能取值为，则的分布列为：即所以万元.若请专业人员来维护机器，则一周获利为万元.，所以会请专业人员来维护机器.【点睛】本小题主要考查数学期望的应用，属于中档题.20.下表为年至年某百货零售企业的线下销售额（单位：万元），其中年份代码年份．年份代码线下销售额（1）已知与具有线性相关关系，求关于的线性回归方程，并预测年该百货零售企业的线下销售额；（2）随着网络购物的飞速发展，有不少顾客对该百货零售企业的线下销售额持续增长表示怀疑，某调查平台为了解顾客对该百货零售企业的线下销售额持续增长的看法，随机调查了位男顾客、位女顾客（每位顾客从“持乐观态度”和“持不乐观态度”中任选一种），其中对该百货零售企业的线下销售额持续增长持乐观态度的男顾客有人、女顾客有人，能否在犯错误的概率不超过的前提下认为对该百货零售企业的线下销售额持续增长所持的态度与性别有关？参考公式及数据：．【答案】（1），万元；（2）能.【解析】【分析】（1）先求出，，利用给出的公式求出，可得线性回归方程.代入可得年该百货零售企业的线下销售额.（2）先根据题设中的数据得到列联表，再根据公式算出的值，最后根据表中数据可得在犯错误的概率不超过的前提下认为对该百货零售企业的线下销售额持续增长所持的态度与性别有关.【详解】（1）由题易得，，，，所以，所以，所以y关于x的线性回归方程为．由于，所以当时，，所以预测年该百货零售企业的线下销售额为万元．（2）由题可得列联表如下：男顾客女顾客故的观测值，由于，所以可以在犯错误的概率不超过的前提下认为对该百货零售企业的线下销售额持续增长所持的态度与性别有关．【点睛】本题考查线性回归方程的计算和独立性检验，此类问题属于基础题，解题时注意公式的正确使用.21.已知函数.（1）当时，若，求函数的最值；（2）若函数在处取得极值，求实数的值.【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）当时，，求导得到的单调性，利用单调性求得最值；（2）由题意，解方程得到，要注意检验.【详解】（1）当时，，，当时，，函数在区间上单调递增，当时，，.（2），.又函数在处取得极值，，.经验证知，满足题意.综上，所求实数的值是.【点睛】本题考查利用导数求函数的最值以及已知函数的极值点求参数，考查学生的逻辑推理能力，数学运算能力，是一道中档题.22.，.（1）求函数的极大值和极小值；（2）若函数在上有两个零点，求的取值范围．【答案】（1）极大值为，极小值为；（2）.【解析】【分析】（1）对函数求导，令，求得函数极值点，并利用导数分析函数的单调性，进而可求得函数的极大值和极小值；（2）根据（1）的结果得函数在上的单调性，再结合条件在上有两个零点，判断和的符号，得到不等式组，从而解得的取值范围.【详解】（1）因为，所以令，得或，因，所以当和时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减.所以当时，取得极大值，当时，取得极小值；（2）由（1）知：函数在上单调递减，且在时取得极小值，又，所以若函数在上有两个零点，则，即，则，解得：，所以的取值范围为.【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性和极值，利用导数解决函数零点问题，属于中档题.2019-2020学年高二数学下学期开学考试试题（含解析）一、单项选择题（本题共10个小题，每小题5分，共50分，每小题的四个选项中，只有一个是正确的）1.复数等于（）A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析：，故选C．考点：复数的运算．2.已知随机变量服从二项分布，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由二项分布的公式即可求得时概率值.【详解】由二项分布公式：.故选A.【点睛】本题考查二项分布的公式，由题意代入公式即可求出.3.已知函数则的单调减区间是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】试题分析：对函数求导得，单调减区间即，解得．考点：利用导数解决函数的单调性问题．4. 高三某6个班级从“照母山”等6个不同的景点中任意选取一个进行郊游活动，其中1班、2班不去同一景点且均不去“照母山”的不同的安排方式有多少种（）A. B. C. D.【答案】D【解析】试题分析：1班、2班的安排方式有种，剩余4个班的安排方式有种，所以共有各安排方式，故选D．考点：计数原理．5.已知某批零件的长度误差（单位：毫米）服从正态分布，从中随机取一件，其长度误差落在区间（3,6）内的概率为（）（附：若随机变量ξ服从正态分布，则，．）A. 4.56%B. 13.59%C. 27.18%D. 31.74%【答案】B【解析】试题分析：由题意故选B．考点：正态分布6.函数的图象在处的切线斜率为（）A. 3B.C.D. e【答案】B【解析】【分析】求出函数的导数，将代入即可求解切线的斜率．【详解】，所以.故选：B【点睛】本题考查函数的导数的应用，意在考查求导运算，是基础题．7.在掷一枚图钉的随机试验中，令，若随机变量X的分布列如下：03则（）A. 0.21B. 0.3C. 0.5D. 0.7【答案】D【解析】【分析】先由概率和为1，求出，然后即可算出【详解】因为，所以所以故选：D【点睛】本题考查的是离散型随机变量的分布列的性质及求由分布列求期望，较简单.8.在个排球中有个正品，个次品.从中抽取个，则正品数比次品数少的概率为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：根据超几何分布，可知共有种选择方法，符合正品数比次品数少的情况有两种，分别为0个正品4个次品，1个正品3个次品，分别求其概率即可．详解：正品数比次品数少，有两种情况：0个正品4个次品，1个正品3个次品，由超几何分布的概率可知，当0个正品4个次品时当1个正品3个次品时所以正品数比次品数少的概率为所以选A点睛：本题考查了超几何分布在分布列中的应用，主要区分二项分布和超几何分布的不同．根据不同的情况求出各自的概率，属于简单题．9.函数f(x)＝的图象大致是A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先研究时，的函数值的正负，再研究的正负，从而排除错误选项，得到答案.【详解】由x＞1时f(x)<0，排除B、D，又，排除A故选C【点睛】本题考查通过函数值判断函数的图象，属于简单题.10.已知为函数的极小值点，则=（）A. -2B.C. 2D. -【答案】B【解析】【分析】求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，求出函数的极值点即可．【详解】f′（x）＝3x2﹣6，令f′（x）＞0，解得：x＞或x＜﹣，令f′（x）＜0，解得：﹣＜x＜，故f（x）在（﹣∞，﹣）递增，在（﹣，）递减，在（，+∞）递增，故是极小值点，故a＝，故选B．【点睛】本题考查了函数的单调性、极值问题，考查导数的应用，是一道基础题．二、多选题（本题共2个小题，每小题5分，共10分，每小题的四个选项中，至少有一个是正确的，少答3分，多答错答0分）11.设离散型随机变量的分布列为若离散型随机变量满足，则下列结果正确的有（）A. B. ，C. ，D. ，【答案】CD【解析】【分析】根据概率的性质列方程可得，根据期望和方差公式可得，根据和分别可得和，由此可得答案.【详解】由概率的性质可得，解得，，，，,故选：CD【点睛】本题考查了概率的性质，考查了离散型随机变量的期望和方差公式，属于基础题.12.下列说法中正确的是（）A. 对具有线性相关关系的变量有一组观测数据，其线性回归方程是，且，则实数的值是B. 正态分布在区间和上取值的概率相等C. 若两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数的值越接近于1D. 若一组数据的平均数是2，则这组数据的众数和中位数都是2【答案】ABD【解析】【分析】由已知求出可得，代入可解得，即可判断A；根据正态分布的对称性，即可判断选项B；若两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于1，可得C 答案错误；由一组数据的平均数是2算出，即可判断D答案正确.【详解】由可得，代入可解得，故A答案正确；因为区间和关于对称，所以正态分布在区间和上取值的概率相等，故B答案正确；若两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于1，故C答案错误；若一组数据的平均数是2，即解得，所以这组数的众数和中位数都是2，故D答案正确故选：ABD【点睛】本题考查的知识点有：线性回归分析、正态分布、平均数、中位数和众数，属于基础题.第Ⅱ卷（共90分）三、填空题（本大共4小题，每小题5分，满分20分）13.若，则__________．【答案】【解析】【分析】利用排列数和组合数的计算公式化简已知条件，由此求得的值.【详解】由得，解得故答案为：【点睛】本小题主要考查排列数和组合数的计算，属于基础题.14.二项式的展开式中的常数项是__________．【答案】【解析】【分析】根据二项式展开式的通项公式，计算出常数项.【详解】二项式展开式的通项公式为，令，解得，故常数项为故答案为：【点睛】本小题主要考查二项式展开式中常数项的计算，属于基础题.15.若随机变量ξ的概率分布密度函数是，x∈R，则__________．【答案】【解析】【分析】根据密度函数求得，也即求得，由此求得.【详解】由可知，也即，所以.故答案为：【点睛】本小题主要考查正态分布密度函数，属于基础题.16.已知某公司生产一种零件的年固定成本为5万元，每生产1千件，成本再增加3万元．假设该公司年内共生产该零件千件并且全部销售完，每1千件的销售收入为万元，且，为使公司获得最大利润，则应将年产量定为____________千件（注：年利润=年销售收入—年总成本）．【答案】【解析】【分析】求得年利润的解析式，结合导数和基本不等式，求得当为何值时，年利润最大.【详解】设年利润为，则.当时，，所以在上递增，在上递减，最大值为万元.当时，，当且仅当时，等号成立.综上所述，当千件时，年利润最大.故答案为：【点睛】本小题主要考查函数在实际生活中的应用，考查利用导数求最值，考查利用基本不等式求最值，属于中档题.四、解析题（共70分．解析须写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.已知，计算：（1）展开式二项式系数之和；（2）展开式各项系数之和；（3）；（4）．【答案】（1）；（2）；（3）；（4）.【解析】【分析】（1）根据二项式系数和公式，计算出二项式系数和.（2）令，求得展开式各项系数之和.（3）利用赋值法，求得所求表达式的值.（4）利用赋值法，求得所求表达式的值.【详解】（1）二项式展开式二项式系数之和为.（2）令得展开式各项系数之和为①.（3）令得.（4）令得，即，由①得.【点睛】本小题主要考查二项式展开式的二项式系数和、各项系数和，考查利用赋值法进行计算，属于基础题.18.以下问题最终结果用数字表示(1)由0、1、2、3、4可以组成多少个无重复数字的五位偶数？(2)由1、2、3、4、5组成多少个无重复数字且2、3不相邻的五位数？(3)由1、2、3、4、5组成多少个无重复数字且数字1,2,3必须按由大到小顺序排列的五位数？【答案】（1）60 （2）72 （3）20【解析】【分析】（1）五位偶数，要求末位必须是0，2，4，分类求出满足条件的结果．(2)可以求出一共能组成多少个五位数，然后再求出2、3相邻的五位数的个数，两数相减．（3）确定数字4，5的排法，然后数字1，2，3按照3，2，1的顺序插入．【详解】（1）偶数末位必须为0，2，4对此进行以下分类：当末位是0时，剩下1，2，3，4进行全排列，=24当末位是2时，注意0不能排在首位，首位从1，3，4选出有种方法排在首位，剩下的三个数可以进行全排列有种排法，所以当末位数字是2时有=18个数．同理当末位数字是4时也有18个数，所以由0、1、2、3、4可以组成无重复数字的五位偶数有24+18+18=60个.（2）由1、2、3、4、5组成五位数一共有个．第一步，把2.3捆定，有种排法；第二步，捆定的2，3与1，4，5一起全排列，共有个数，根据分步计数原理，2，3相邻的五位数共有=48个数，因此由1、2、3、4、5组成无重复数字且2、3不相邻的五位数共有个数．（3）把五位数每个数位看成五个空，数字4，5共有个，然后把数字1，2，3按照3，2，1的顺序插入，只有一种方式，根据分步计数原理，可知由1、2、3、4、5组成无重复数字且数字1,2,3必须按由大到小顺序排列的五位数为个．【点睛】解决此类问题首先要考虑的是分步还是分类问题，是排列还是组合问题．一般的策略是先考虑没有要求的元素的排法，再考虑特殊元素的要求．19.一台机器每周生产4天，在一天内发生故障的概率为0.1．若这台机器一周内不发生故障，则可获利4万元；发生1次故障仍可获利2万元；发生2次故障的利润为0元，发生3次或4次故障则要亏损1万元；如果请专业人员每天对机器进行维护，则可保证机器正常工作，但每周需增加4千元的维护经费．如果你是老板，你会请专业人员来维护机器吗？请说明理由．【答案】会，理由见解析.【解析】【分析】求得一周获利的期望值，由此判断出是否请专业人员来维护机器.【详解】设每周利润为，则的可能取值为，则的分布列为：即所以万元.若请专业人员来维护机器，则一周获利为万元.，所以会请专业人员来维护机器.【点睛】本小题主要考查数学期望的应用，属于中档题.20.下表为年至年某百货零售企业的线下销售额（单位：万元），其中年份代码年份．年份代码线下销售额（1）已知与具有线性相关关系，求关于的线性回归方程，并预测年该百货零售企业的线下销售额；（2）随着网络购物的飞速发展，有不少顾客对该百货零售企业的线下销售额持续增长表示怀疑，某调查平台为了解顾客对该百货零售企业的线下销售额持续增长的看法，随机调查了位男顾客、位女顾客（每位顾客从“持乐观态度”和“持不乐观态度”中任选一种），其中对该百货零售企业的线下销售额持续增长持乐观态度的男顾客有人、女顾客有人，能否在犯错误的概率不超过的前提下认为对该百货零售企业的线下销售额持续增长所持的态度与性别有关？参考公式及数据：．【答案】（1），万元；（2）能.【解析】【分析】（1）先求出，，利用给出的公式求出，可得线性回归方程.代入可得年该百货零售企业的线下销售额.（2）先根据题设中的数据得到列联表，再根据公式算出的值，最后根据表中数据可得在犯错误的概率不超过的前提下认为对该百货零售企业的线下销售额持续增长所持的态度与性别有关.【详解】（1）由题易得，，，，所以，所以，所以y关于x的线性回归方程为．由于，所以当时，，所以预测年该百货零售企业的线下销售额为万元．（2）由题可得列联表如下：。
高二数学(下)入学测试卷(难)
高二数学（下）入学测试卷 （时间：100分钟，满分120分）姓名： 总分： 一、单项选择题：（10个小题，共计30分）1．一个与球心距离为1的平面截球所得的圆面面积为π，则球的表面积为 （ ）A ．8π2B ．8πC ．4π2D ．4π4．已知一元二次不等式()<0f x 的解集为{}1|<-1>2x x x 或，则(10)>0x f 的解集为（A ）{}|<-1>lg2x x x 或 （B ）{}|-1<<lg2x x （C ） {}|>-lg2x x （D ）{}|<-lg2x x5．设函数))((R x x f ∈满足.sin )()(x x f x f +=+π当π<≤x 0时，0)(=x f ，则=)623(πf （ ） A.21 B. 23 C.0 D.21-7．设10<<a ，函数)22(log )(2--=x x a a a x f ，则使x x f 的0)(<取值范围是（ ） A ．)0,(-∞ B ．),0(+∞ C ．)3log ,(a -∞ D ．),3(log +∞a 8. 在ABC ∆中，已知C BA sin 2ta n=+，给出以下四个论断：①1cot tan =⋅B A ②2sin sin 0≤+<B A③1cos sin 22=+B A ④C B A 222sin cos cos =+其中正确的是（ ）A ．①③B ．②④C ．①④D ．②③9. 已知△ABC 的周长为9，且4:2:3sin :sin :sin =C B A ，则cosC 的值为 （ ）A ．41-B ．41C ．32-D ．32第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分．12．若向量a ，b 满足12a b ==，，且a 与b 的夹角为3π，则a b -= ． 13．若正整数m 满足)3010.02.(lg ________,102105121≈=<<-m m m 则．14．已知函数)sin()(φx ωA x f +=)22,0,0(πφπωA <<->>一个周期的图象如图所示．则函数)(x f 的表达式为 ．x1-y 712π12πO15．.数列{}a n 是等差数列，若1a 1+，3a 3+，5a 5+构成公比为q 的等比数列，则q =________. 16．在正方体ABCD —A ′B ′C ′D ′中，过对角线BD ′的一个平面交AA ′于E ，交CC ′于F ，则 ①四边形BFD ′E 一定是平行四边形.②四边形BFD ′E 有可能是正方形.③四边形BFD ′E 在底面ABCD 内的投影一定是正方形. ④平面BFD ′E 有可能垂直于平面BB ′D.以上结论正确的为 .（写出所有正确结论的编号）17. 已知△ABC 的三边分别是a 、b 、c ，且面积4222c b a S -+=，则角C=____________．三、解答题：本大题共5小题，共62分．18．（本小题满分12分）设向量(2,4)a =，(,1)b m =-． （Ⅰ）若a b ⊥，求实数m 的值； （Ⅱ）若5a b +=，求实数m 的值．19．已知函数()4cos sin (0)4f x x x πϖϖϖ⎛⎫=⋅+>⎪⎝⎭的最小正周期为π。
高二数学下学期开学考试试题含解析 试题
智才艺州攀枝花市创界学校鸡泽县第一二零二零—二零二壹高二数学下学期开学考试试题〔含解析〕一．选择题〔一共12小题〕 1.“00x ∃>，20010x x ++<〞的否认是〔〕A.0x ∀>，210x x ++≥B.0x ∀≤，210x x ++<C.0x ∀>，210x x ++<D.0x ∀≤，210x x ++≥【答案】A 【解析】 【分析】的关系，准确改写，即可求解.【详解】“00x ∃>，20010x x ++<〞的否认为：“0x ∀>，210x x ++≥〞.应选：A . 【点睛】. 2.设()ln(21)f x x =-，假设()f x 在0x 处的导数0()1f x '=，那么0x 的值是〔〕A.12e + B.32C.1D.34【答案】B 【解析】 【分析】直接求出原函数的导函数，由0()1f x '=列式求解0x 的值．【详解】由()ln(21)f x x =-，得(212)f x x =-'． 由002()121f x x '==-，解得：032x =． 应选：B ．【点睛】此题考察了简单的复合函数求导，关键是不要忘记对内层函数求导，是根底题． 3.某射手射击所得环数ξ的分布列如下：ξ的数学期望()8.9E ξ=，那么y 的值是〔〕A. B. C. D.【答案】C 【解析】 【分析】根据分布列的概率之和为1得,x y 的一个关系式，由变量的期望值得,x y 的另一个关系式，联立方程，求解y 的值.【详解】解：由表格可知：0.10.31780.190.3108.9x y x y +++=⎧⎨+⨯+⨯+⨯=⎩， 解得0.4y =.应选：C ．【点睛】此题考察根据分布列和期望值求参数，熟记概念即可，属于常考题型.4.从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区效劳，那么选中的恰有一名女同学的概率为〔〕 A.B.C.D.【答案】D 【解析】 【分析】设2名男生为,a b ，3名女生为,,A B C ，那么任选2人的种数一共10种，其中恰有一名女同学一共6种，根据古典概型概率计算公式，即可求出结果. 【详解】设2名男生为,a b，3名女生为,,A B C，那么任选2人的种数为ab aA aB aC bA bB Bc AB AC BC ,,,,,,,,,一共10种，其中全是女生为aA aB aC bA bB Bc ,,,,,一共6种，故恰有一名女同学的概率60.610P ==. 应选：D ．【点睛】此题考察概率的求法，考察古典概型概率计算公式等根底知识，考察运算求解才能，考察函数与方程思想，是根底题．5.某人进展投篮训练100次，每次命中的概率为0.8〔互相HY 〕，那么命中次数的HY 差等于〔〕 A.20 B.80C.16D.4【答案】D 【解析】 【分析】先分析出变量服从二项分布，再直接带入公式即可. 【详解】命中次数服从ξ～B 〔100，〕；∴命中次数的HY =4.应选：D ．【点睛】此题考察服从二项分布的变量的HY 差，考察计算才能，属于根底题. 6.如图是函数()y f x =的导数()'y f x =的图象，那么下面判断正确的选项是〔〕A.在()3,1-内()f x 是增函数B.在1x =时()f x 获得极大值C.在()4,5内()f x 是增函数D.在2x=时()f x 获得极小值【答案】C 【解析】 【分析】 根据导函数()y f x ='的图象，分别判断函数的单调区间和极值．【详解】对A ，由导函数()y f x ='的图象可知，在区间(3,1)-内函数先减后增，∴在(3,1)-不单调，故A 错误； 对B ，当1x =时，'(1)0f ≠，此时(1)f 不是极大值，故B 错误；对C ，在(4,5)内()0f x '>，此时函数单调递增，故C 正确．对D ，当2x=时，'(2)0f =，但此时(2)f 不是极小值，而是极大值，故D 错误；应选：C ．【点睛】此题考察函数单调性和极值与导数之间的关系，考察函数与方程思想、转化与化归思想、数形结合思想，求解时注意从图形中提取信息. 7.设函数2()5cos xf x e x x =--，那么函数()f x 的图象大致为〔〕A. B. C.D.【答案】B 【解析】 【分析】根据函数解析式判断奇偶性，结合极限和特殊值进展排除选项，即可得解. 【详解】依题意，函数()f x 的定义域为R ，关于原点对称， 且()()()225cos 5cos ()xxf x ex x e x x f x --=----=--=，故函数()f x 为偶函数，图象关于y 轴对称，排除C ；当x →+∞时，()f x →+∞排除D ；225cos 222f e ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭2202e ππ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，排除A. 应选：B【点睛】此题考察根据函数解析式选择适宜的函数图象，关键在于纯熟掌握函数性质，结合特殊值与极限求解，此类问题常用排除法解决.8.α为第二象限的角，且3tan 4α=-，那么sin cos αα+=() A.75-B.34-C.15-D.15【答案】C 【解析】 【分析】由sin 3tan cos 4ααα==-，①，22sin cos 1a a +=，②，联立①②，再结合条件即可求出sin , cos αα的值，那么答案可求．【详解】解：sin 3tan cos 4ααα==-，①，22sin cos 1a a +=，②，又α为第二象限的角，sin 0,cos 0αα∴><，联立①②，解得34sin ,cos 55αα==-， 那么1sin cos 5αα+=-．应选：C ．【点睛】此题考察了三角函数的化简求值，考察了同角三角函数根本关系，是根底题．9.集合{}2230A x x x =--<，122x Bx ⎧⎫=≥⎨⎬⎩⎭，那么“x B ∈〞是“x A ∈〞的〔〕A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】 【分析】 解出集合A 、B 中的不等式即可判断出答案.【详解】因为{}{}223013A x x x x x =--<=-<<，{}1212x B x x x ⎧⎫=≥=≥-⎨⎬⎩⎭所以假设x A ∈，那么x B ∈，反之不成立 所以“x B ∈〞是“x A ∈〞的必要不充分条件 应选：B【点睛】此题考察的是一元二次不等式和指数不等式的解法，考察了必要不充分条件的判断，属于根底题. 10.函数()ln f x x ax =-恰有两个零点1x ，2x ，且12x x <，那么1x 所在区间为〔〕A.310,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭B.2311,e e ⎛⎫⎪⎝⎭C.211,e e ⎛⎫⎪⎝⎭D.1,1e ⎛⎫⎪⎝⎭【答案】D 【解析】 【分析】结合导数分析函数的特征性质，然后结合函数图象的根本趋势及零点断定定理进展求解即可．【详解】当0a ≤时不符合题意；当0a>时，考察函数()ln g x x =与()h x ax =图象易知，()gx 与()h x 图象在区间()0,1上必有一个交点那么在区间()1,+∞上有且仅有一个公一共点， 当()1,x ∈+∞时，()ln f x x ax =-，()1ax f x x ='-，那么()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减， 所以()max 11ln 1f x f a a ⎛=⎫=- ⎪⎝⎤⎣⎦⎭⎡，那么只需1ln10a -=，故1ea =， 当()0,1x ∈时，()1ln ef x x x =--， 易知21110e e f ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，()110f e =-<，可知11,1e x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.应选：D【点睛】此题考察对数函数的概念与性质，考察学生的逻辑推理才能、运算求解才能以及综合运用数学知识灵敏解决问题的才能，考察数形结合的思想. 11.以下说法正确的选项是〔〕 A.21x =，那么1x ≠21x =，那么1x =〞B.0x R ∃∈，2000x x -＜〞的否认是“x R ∀∈，20x x -＞〞C.“()y f x =在0x 处有极值〞是“0()0f x '=〞的充要条件D.2()1f x x ax =-+有零点，那么“2a ≥或者2a ≤-【答案】D 【解析】 【分析】 选项ABC ，()y f x =在0x 处有极值，既要满足0()0f x '=，也要满足函数在0x 两边的单调性要相反；选项D ，假设函数2()1f x x ax =-+有零点，等价于0∆≥【详解】选项A“假设21x =，那么1x ≠〞21x ≠，那么1x =〞，错误；选项B“0x R ∃∈，2000x x -＜〞的否认是“x R ∀∈，20x x -≥〞，错误；选项C ，0()0f x '=不能得到()y f x =在0x 处有极值，例如3()f x x =在0x =时，导数为0，但0x =不是函数极值点，错误；选项D ，假设函数2()1f x x ax =-+有零点，即方程210x ax -+=有解，所以0∆≥，解得2a ≥或者2a ≤-2a ≥或者2a ≤-【点睛】12.函数()232,3,x x x mf x x x m⎧-+≤=⎨-+>⎩，假设()f x 恰好有2个零点，那么m 的取值范围是〔〕A.(]2,3B.[)2,3C.[)[)1,23,+∞D.(][)1,23,+∞【答案】C 【解析】 【分析】 根据题意，作出函数21232,3y x x y x =-+=-+的图象，利用数形结合的思想求出使()f x 恰好有2个零点的m 的取值范围即可.【详解】令21232,3y x x y x =-+=-+，因为方程2320x x -+=的两根为121,2x x ==，所以在同一直角坐标系下作出函数21232,3y x x y x =-+=-+的图象如下列图：由图可知，当12m ≤<时，函数()f x 恰有两个零点，图象如下列图：当3m ≥时，函数()f x 恰有两个零点，图象如下列图： 综上可知，所务实数m 的取值范围为[)[)1,23,+∞.应选：C【点睛】此题考察利用分段函数的图象和函数零点的个数求参数的取值范围；考察运算求解才能和数形结合思想；纯熟掌握分段函数图象的画法和零点的概念是求解此题的关键；属于中档题. 二．填空题〔一共4小题〕13.假设1cos 3α=，那么sin()2πα-=________. 【答案】13- 【解析】 【分析】根据诱导公式可知sin cos 2παα⎛⎫-=- ⎪⎝⎭ 【详解】1sin cos 23παα⎛⎫-=-=- ⎪⎝⎭ 故答案为13-. 【点睛】此题考察根据诱导公式求值，属于简单题型. 14.函数1()()1x f x x R x -=∈+的图象对称中心是___． 【答案】(1,1)- 【解析】【分析】 首先将函数变形为211y x --=+，设1y y '=-，1x x '=+，得到2y x -'='，根据反比例函数和奇函数的性质即可求出答案. 【详解】因为12()111x y f x x x -===-++， 即211y x --=+，可设1y y '=-，1x x '=+，得到2y x -'='， 所以y '与x '成反比例函数关系且为奇函数，那么对称中心为(0,0)，即0y '=，0x '=，得到1y =，1x =-所以函数()y f x =的对称中心为(1,1)-.故答案为：(1,1)-【点睛】此题主要考察学生灵敏运用奇偶函数对称性的才能，同时考察学生推理才能，属于中档题. 15.()()7210axa ->的展开式中第6项的系数为-189，那么展开式中各项的系数和为______.【答案】128 【解析】 【分析】根据二项展开式的通项公式得出77717(1)kkk k k T aC x ---+=-，从而得出第六项系数57527(1)189a C --=-，求出3a =，最后利用赋值法求展开式中各项的系数和. 【详解】解：由题意，通项为：7777177()(1)(1)kkk k k k k k T C ax a C x ----+=-=-，由于()()7210axa ->的展开式中第6项的系数为-189，那么第六项系数为：57527(1)189a C --=-，解得：3a =，故该二项式为27(31)x -，令1x =得展开式各项系数的和为：72128=．故答案为：128．【点睛】此题考察二项展开式的通项公式得应用和指定项的系数，以及利用赋值法求展开式中各项的系数和. 16.函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且对于任意x ∈R ，恒有(1)(1)f x f x -=+成立，当[]1,0x ∈-时，()21x f x =-，那么(2013)f =___．【答案】12【解析】 【分析】根据抽象函数关系式可确定函数周期，结合奇偶性可知()()()201311f f f ==--，利用解析式求得()1f -后即可得到结果.【详解】由()()11f x f x -=+得：()()2f x f x +=，即函数()f x 的周期是2，()()()20132100611f f f ∴=⨯+=， ()f x 是定义在R 上的奇函数，()()11f f ∴-=-，又当[]1,0x ∈-时，()21x f x =-，()111121122f -∴-=-=-=-， ()()1112f f ∴=--=，()()1201312f f ∴==． 故答案为：12． 【点睛】此题考察利用函数奇偶性和周期性求解函数值的问题，关键是可以利用奇偶性和周期性将所求自变量转化到解析式的自变量所在区间内. 三．解答题〔一共6小题〕17.函数()32134132f x x x x =--+.〔1〕求函数()f x 的单调区间；〔2〕当[]25x ∈-，时，求函数()f x 的最大值和最小值. 【答案】〔1〕单调递增区间是(),1-∞-和()4,+∞；单调递减区间是()1,4-〔2〕最大值为196，最小值为533-. 【解析】 【分析】 〔1〕先求导，()()()41f x x x '=-+，那么0fx 的解集对应的是增区间，0f x 的解集对应的是减区间.〔2〕根据〔1〕知，当[]2,1x ∈--时，0fx，当[]1,4x ∈-时，0fx，当[]4,5x ∈时，0f x ，求出极值点，再加上端点值，其中最大的为最大值，最小的为最小值.【详解】〔1〕()()()41f x x x '=-+，当1x <-或者4x >时，0fx ，当14x -<<时，0f x ，所以函数()f x 单调递增区间是(),1-∞-和()4,+∞，函数()f x 单调递减区间是()1,4-.〔2〕由〔1〕知，当[]2,1x ∈--时，0fx ，当[]1,4x ∈-时，0fx，当[]4,5x ∈时，0fx，所以()123f -=，()1916f -=，()5343f =-，()8956f =-， 当1x =-时，函数()f x 的最大值为196，当4x =时，函数()f x 的最小值为533-. 【点睛】此题主要考察了导数法研究函数的单调性与最值问题，还考察了数形结合的思想和运算求解的才能，属于中档题.18.随着新高考HY 的不断深化，高生生涯规划越来越受到社会的关注.一些高中已经开场尝试开设学生生涯规划选修课程，并获得了一定的成果.下表为某高中为了调查学生成绩与选修生涯规划课程的关系，随机抽取50名学生的统计数据.〔Ⅰ〕根据列联表运用HY 性检验的思想方法分析：能否有99%的把握认为“学生的成绩是否优秀与选修生涯规划课有关〞，并说明理由；〔Ⅱ〕假设从全校选修生涯规划课的学生中随机地抽取3名学生，求抽到成绩不够优秀的学生人数ξ的分布列和数学期望〔将频率当作概率计算〕. 参考附表：参考公式()()()()()22n ad bc Ka b a c b d c d -=++++，其中n a b c d =+++.【答案】〔Ⅰ〕有把握，理由见解析；〔Ⅱ〕分布列见解析，65. 【解析】 【分析】〔Ⅰ〕根据题中所给的公式求出2K 的值，然后根据参考附表进展判断即可；〔Ⅱ〕由题意可以求出在全校选修生涯规划课的学生中随机抽取1名学生成绩优秀的概率，成绩不优秀的概率，可以判断ξ可取值为0，1，2，3，根据二项分布的性质进展求解即可.【详解】〔Ⅰ〕由题意知，2K 的观测值()2501519610 6.650 6.63521292525k ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯. 所以有99%的把握认为“学生的成绩优秀与是否选修生涯规划课有关〞.〔Ⅱ〕由题意知在全校选修生涯规划课的学生中随机抽取1名学生成绩优秀的概率为35，成绩不优秀的概率为25， ξ可取值为0，1，2，3.所以ξ的分布列为2~3,5B ξ⎛⎫⎪⎝⎭，26355E ξ∴=⨯=.【点睛】此题考察了2K 的计算，考察了二项分布的性质应用，考察了离散型随机变量分布列和数学期望，考察了数学运算才能.19.根据某地某条河流8月份的水文观测点的历史统计数据所绘制的频率分布直方图如图〔甲〕所示；根据当地的地质构造，得到水位与灾害等级的频率分布条形图如图〔乙〕所示． 〔1〕以此频率作为概率，试估计该河流在8月份发生1级灾害的概率；〔2〕该河流域某企业，在8月份，假设没受1、2级灾害影响，利润为500万元；假设受1级灾害影响，那么亏损100万元；假设受2级灾害影响那么亏损1000万元． 现此企业有如下三种应对方案：试问，如仅从利润考虑，该企业应选择这三种方案中的哪种方案？说明理由． 【答案】〔1〕0.155〔2〕应选方案二．【解析】【详解】〔1〕根据甲图，记该河流8月份“水位小于40米〞为事件1A ，“水位在40米至50米之间〞为事件2A ，“水位大于50米〞为事件3A ，它们发生的概率分别为：()()()()120.020.050.0650.65,0.040.0250.30P A P A =++⨯==+⨯=， ()30.0150.05P A =⨯=．记该地8月份“水位小于40米且发生1级灾害〞为事件1B ，“水位在40米至50米之间且发生1级灾害〞为事件2B ，“水位大于50米且发生1级灾害〞为事件3B ， 所以()()()1230.1,0.2,0.6PB P B P B ===．记“该河流在8月份发生1级灾害〞为事件B ．那么0.650.100.300.200.050.600.155=⨯+⨯+⨯=．估计该河流在8月份发生1级灾害的概率为0.155． 〔2〕以企业利润为随机变量， 选择方案一，那么利润1X 〔万元〕的取值为：500,100,1000--，由〔1〕知()110000.6500.300.050.050.400.035P X =-=⨯+⨯+⨯=．1X 的分布列为那么该企业在8月份的利润期望()()()15000.811000.15510000.035354.5E X =⨯+-⨯+-⨯=〔万元〕．选择方案二，那么2X 〔万元〕的取值为：460,1040-，由〔1〕知，()()224600.810.1550.965,10400.035P X P X ==+==-=，2X 的分布列为：那么该企业在8月份的平均利润期望()()24600.96510400.035407.5EX =⨯+-⨯=〔万元〕选择方案三，那么该企业在8月份的利润为：()3500100400EX =-=〔万元〕由于()()()231E X E X E X >>，因此企业应选方案二．20.函数()22ln f x x a x x=++，a R ∈． 〔Ⅰ〕假设4a =-，求曲线()y f x =在点()()1,1A f 处的切线方程；〔Ⅱ〕假设函数()f x 在[)1,+∞上单调递增，务实数a 的取值范围． 【答案】〔I 〕470x y +-=；〔Ⅱ〕[)0,+∞．【解析】 【分析】 〔I 〕对函数()f x 进展求导得到()f x '，把4a =-和1x =分别代入()f x 和()f x '，求出()1f 、()1f '，利用导数的几何意义即可求解；〔Ⅱ〕对函数()f x 进展求导，再由()0f x '≥在[)1,+∞上恒成立得到关于a 的不等式，利用别离参数法和构造函数法求出实数a 的取值范围即可.【详解】〔I 〕因为函数()22ln f x x a x x =++，a R ∈，所以()222a f x x x x'=-+， 当4a =-时，()224ln f x x x x=+-，()11203f =+-=. ()2242f x x x x'=--，()12244f '=--=-． ∴曲线()y f x =在点()()1,1A f 处的切线方程为()341y x -=--，所以470x y +-=即为所求；〔Ⅱ〕函数()f x 在[)1,+∞上单调递增，()2220a f x x x x'∴=-+≥，可得222a x x ≥-， 令()222x x gx -=，[)1,x ∈+∞， 因为函数2y x=为[)1,+∞上的减函数，函数22y x =为[)1,+∞上的增函数，所以，函数()gx 在[)1,+∞上单调递减．当1x =时，函数()gx 获得最大值为()10g =，因此，实数a 的取值范围为[)0,+∞．【点睛】此题考察利用导数的几何意义求函数在某点处的切线方程、利用导数判断函数的单调性求参数的取值范围，考察运算求解才能和转化与化归才能，纯熟掌握导数的几何意义和利用导数判断函数的单调性的方法是求解此题的关键，属于中档题、常考题型.21.2020年1月10日，引发新冠肺炎疫情的COVID -9病毒基因序列公布后，科学家们便开场了病毒疫苗的研究过程.但是类似这种病毒疫苗的研制需要科学的流程，不是一朝一夕能完成的，其中有一步就是做动物试验.一个科研团队用小白鼠做接种试验，检测接种疫苗后是否出现抗体.试验设计是：每天接种一次，312，假设每次接种后当天是否出现抗体与上次接种无关. 〔1〕求一个接种周期内出现抗体次数k 的分布列； 〔2〕每天接种一次花费100元，现有以下两种试验方案：①假设在一个接种周期内连续2次出现抗体即终止本周期试验，进展下一接种周期，试验持续三个接种周期，设此种试验方式的花费为X元；②假设在一个接种周期内出现2次或者3次抗体，该周期完毕以后终止试验，试验至多持续三个接种周期，设此种试验方式的花费为Y 元. 比较随机变量X 和Y 的数学期望的大小.【答案】〔1〕分布列答案见解析.〔2〕()()E X E Y >【解析】 【分析】〔1〕由题意可知，随机变量k 服从二项分布13,2B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，故3311()(0,1,2,3)22k kkP k C k -⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，然后列出分布列即可 〔2〕根据题意分别算出X 和Y 的期望即可.【详解】〔1〕由题意可知，随机变量k 服从二项分布13,2B ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 故3311()(0,1,2,3)22kkk P k C k -⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.那么k 的分布列为〔2〕①设一个接种周期的接种费用为ξ元，那么ξ可能的取值为200，300，因为1(200)4P ξ==，3(300)4P ξ==， 所以13()20030027544E ξ=⨯+⨯=.所以三个接种周期的平均花费为()3()3275825E X E ξ==⨯=.②随机变量Y 可能的取值为300，600，900，设事件A 为“在一个接种周期内出现2次或者3次抗体〞，由〔1〕知，311()882P A =+=.所以1(300)()2P Y P A ===，1(600)[1()]()4P Y P A P A ==-⨯=，1(900)[1()][1()]14P Y P A P A ==-⨯-⨯=，所以111()300600900525244E Y =⨯+⨯+⨯=.所以()()E X E Y >.【点睛】此题考察二项分布以及离散型随机变量的分布列与数学期望，属于根底题.22.函数)f x =（a e 2x +(a ﹣2)e x ﹣x .〔1〕讨论()f x 的单调性；〔2〕假设()f x 有两个零点，求a 的取值范围. 【答案】〔1〕见解析；〔2〕(0,1). 【解析】试题分析：〔1〕讨论()f x 单调性，首先进展求导，发现式子特点后要及时进展因式分解，再对a 按0a ≤，0a >进展讨论，写出单调区间；〔2〕根据第〔1〕问，假设0a ≤，()f x 0a >，当ln x a =-时，()f x 获得最小值，求出最小值1(ln )1ln f a a a-=-+，根据1a =，(1,)∈+∞a ，(0,1)a ∈进展讨论，可知当(0,1)a ∈()f x 在(,ln )a -∞-有一个零点；设正整数0n 满足03ln(1)n a>-，那么00000000()e (e 2)e 20n n n n f n a a n n n =+-->->->.由于3ln(1)ln a a->-，因此()f x 在(ln ,)a -+∞a 的取值范围为(0,1).试题解析：〔1〕()f x 的定义域为(),-∞+∞，()()()()2221121x x x x f x ae a e ae e =+---'=+，〔ⅰ〕假设0a ≤，那么()0f x '<，所以()f x 在(),-∞+∞单调递减.〔ⅱ〕假设0a >，那么由()0f x '=得ln x a =-.当(),ln x a ∈-∞-时，()0f x '<；当()ln ,x a ∈-+∞时，()0f x '>，所以()f x 在(),ln a -∞-单调递减，在()ln ,a -+∞单调递增.〔2〕〔ⅰ〕假设0a ≤，由〔1〕知，()f x 至多有一个零点.〔ⅱ〕假设0a>，由〔1〕知，当ln x a =-时，()f x 获得最小值，最小值为()1ln 1ln f a a a-=-+.①当1a =时，由于()ln 0f a -=，故()f x 只有一个零点；②当()1,a ∈+∞时，由于11ln 0a a-+>，即()ln 0f a ->，故()f x 没有零点； ③当()0,1a ∈时，11ln 0a a-+<，即()ln 0f a -<.又()()4222e 2e 22e 20f a a ----=+-+>-+>，故()f x 在(),ln a -∞-有一个零点.设正整数0n 满足03ln 1n a ⎛⎫>- ⎪⎝⎭，那么()()00000000e e 2e 20n n n n f n a a n n n =+-->->->.由于3ln 1ln a a ⎛⎫->-⎪⎝⎭，因此()f x 在()ln ,a -+∞有一个零点. 综上，a 的取值范围为()0,1.()f x 有2个零点求参数a 的取值范围，第一种方法是别离参数，构造不含参数的函数，研究其单调性、极值、最值，判断y a =与其交点的个数，从而求出a 的取值范围；第二种方法是直接对含参函数进展研究，研究其单调性、极值、最值，注意点是假设()f x 有2个零点，且函数先减后增，那么只需其最小值小于0，且后面还需验证最小值两边存在大于0的点.。
开学入学考试高二数学试卷含详解答案
含1980 年与1989 年)出生， 90 后是指在1990 1999 年(包含1990 年与1999 年)出生，
80 前是指在1979 年及以前出生)（ ）
A．互联网行业从业人员中 80 后的人数不超过一半 B．互联网行业中 90 后从事技术岗位的人数超过所有年龄从业者总人数的 20%
试卷第 2页，总 6页
x2 2 ，则 t
2
，
f
(t)
t
1
，
t
设 t1 t2
2
，所以
f
(t1 )
f
(t2 )
t1
1 t1
t2
1 t2
t1
t2
t1t2 1 ， t1t2
因为 t1 t2
0 ， t1t2
1
0 ，所以 t1
t2
t1t2 t1t2
1
0，
f
(t1 )
f
(t2 ) ，
所以 f (t) 在 t 2 上是单调递增函数，所以 f (t) f 2 3 2 ， 2
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这
个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.
3．B
【分析】
设直角三角形较短的直角边长为 a ，可得出较长直角边长为 a ，由此可计算出小正方形 tan
和大正方形的边长，进而可得出关于 的三角等式，进而可解得 tan 的值.
的 2 2 列联表.请将列联表补充完整，并判断是否有 99% 的把握认为选择科目与性别有
关，说明理由； （3）在抽取的选择地理的学生中用分层抽样的方法再抽取 6 名学生，然后从这 6 名学 生中抽取 2 名学生了解学生对地理的选课意向情况，求这 2 名学生中至少有 1 名男生的 概率.
高二下入学考试
高二下入学考试数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题，共60分）1.“x ＞﹣2”是“（x+2）（x ﹣3）＜0”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件2.口袋内装有一些大小相同的红球、白球和黒球，从中摸出1个球，摸出红球的概率是0.42，摸出白球的概率是0.28，那么摸出黒球的概率是（ ） A ．0.42 B ．0.28 C ．0.3 D ．0.73.求经过圆1)1(22=++y x 的圆心，且与直线x+y=0垂直的直线方程是（ ） A ．x ﹣y+1=0 B ．x ﹣y ﹣1=0 C ．x+y ﹣1=0D ．x+y+1=04．有四个游戏盘，将它们水平放稳后，在上面扔一颗玻璃小球，若小球落在阴影部分，则可中奖，小明要想增加中奖机会，应选择的游戏盘是（ ）A ．B ．C ．D ．5．执行如图所示的程序框图，若输出的值S=16，则输入自然数n 的最小值应等于（ ）A ．7B ．8C ．9D ．106.圆0422=-+x y x 过点)3,1(P 处的切线方程为（ ）A ．023=-+y xB ．043=-+y xC ．043=+-y xD ．023=+-y x7．已知椭圆C ： +=1（a ＞b ＞0）的左、右焦点为F 1、F 2，离心率为，过F 2的直线l 交C 于A 、B 两点，若△AF 1B 的周长为4，则C 的方程为（ ）A． +=1 B． +y2=1 C． +=1 D． +=18．为了从甲乙两人中选一人参加数学竞赛，老师将二人最近6次数学测试的分数进行统计，甲乙两人的平均成绩分别是、，则下列说法正确的是（）A．＞，乙比甲成绩稳定，应选乙参加比赛B．＞，甲比乙成绩稳定，应选甲参加比赛C．＜，甲比乙成绩稳定，应选甲参加比赛D．＜，乙比甲成绩稳定，应选乙参加比赛9．如图，A1B1C1﹣ABC是直三棱柱，∠BCA=90°，点D1、F1分别是A1B1、A1C1的中点，若BC=CA=CC1，则BD1与AF1所成角的余弦值是（）A．B．C．D．10．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（）A．B．C．D．11．三棱锥P﹣ABC的四个顶点均在半径为2的球面上，且AB=BC=CA=2，平面PAB⊥平面ABC，则三棱锥P﹣ABC的体积的最大值为（）A．4 B．3 C．4 D．312．F1，F2分别是双曲线﹣=1的左、右焦点，A是其右顶点，过F2作x轴的垂线与双曲线的一个交点为P，G是△PF1F2的重心，若•=0，则双曲线的离心率是（）A．2 B．C．3 D．二、填空题13．某校选修“营养与卫生”课程的学生中，高一年级有30名，高二年级有40名．现用分层抽样的方法从这70名学生中抽取一个样本，已知在高二年级的学生中抽取了8名，则在该校高一年级的学生中应抽取的人数为 ．14．双曲线的离心率为2，有一个焦点与抛物线y 2=4x 的焦点重合，则mn 的值为 ．15．若双曲线x 2﹣=1（b ＞0）的一条渐近线与圆x 2+（y ﹣2）2=1至多有一个公共点，则双曲线离心率的取值范围是 ． 16．△ABC 中，AB=9，AC=15，∠BAC=120°，它所在平面外一点P 到△ABC 三个顶点的距离是14，那么点P 到平面ABC 的距离是： ． 三、解答题17. (本小题满分12分)设有两个命题：:p 关于x 的不等式x 2＋2ax ＋4>0对一切x ∈R 恒成立；:q 函数f (x )＝－(4－2a )x在(－∞，＋∞)上是减函数．若命题p q ∨为真，p q ∧为假，则实数a 的取值范围是多少？18 (本小题满分12分) 已知点A 的坐标为)0,23(，点B 在圆7:22=+y x O 上运动，以点B为一端点作线段BM ，使得点A 为线段BM 的中点. （1）求线段BM 端点M 轨迹C 的方程；（2）已知直线0=-+m y x 与轨迹C 相交于两点Q P ,，以PQ 为直径的圆经过坐标原点O ，求实数m 的值19． (本小题满分12分)某公司的管理者通过公司近年来科研费用支出x （百万元）与公司所获得利润y （百万元）的散点图发现，y 与x 之间具有线性相关关系，（1）求y 关于x 的回归直线方程；（2）若该公司的科研投入从2011年开始连续10年每一年都比上一年增加10万元，预测2017年该公司可获得的利润约为多少万元？（注：线性回归直线方程系数公式==，=．）20． (本小题满分12分)某城市100户居民的月平均用电量（单位：度），以[160，180），[180，200），[200，220），[220，240），[240，260），[260，280），[280，300）分组的频率分布直方图如图． （1）求直方图中x 的值；（2）求月平均用电量的众数和中位数；（3）在月平均用电量为，[220，240），[240，260），[260，280），[280，300）的四组用户中，用分层抽样的方法抽取11户居民，则月平均用电量在[220，240）的用户中应抽取多少户？21． (本小题满分12分)如图所示三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，AA 1⊥平面ABC ，四边形ABCD 为平行四边形，AD=2CD ，AC ⊥CD ．（Ⅰ）若AA 1=AC ，求证：AC 1⊥平面A 1B 1CD ；（Ⅱ）若A 1D 与BB 1所成角的余弦值为，求二面角C ﹣A 1D ﹣C 1的余弦值．22.（本题满分12分）已知椭圆C ：12222=+by a x （a ＞b ＞0）的两个焦点分别为F 1，F 2，离心率为21．设过点F 2的直线与椭圆C 相交于不同两点A ，B ，1ABF ∆周长为8． （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）已知点T （4，0），证明：当直线变化时，总有TA 与TB 的斜率之和为定值．。
2022-2023学年湖南省株洲市第二中学高二下学期入学考试数学试题(解析版)
2022-2023学年湖南省株洲市第二中学高二下学期入学考试数学试题一、单选题1．已知集合{}12A x x =-≤，{}2|60B x x x =∈--≤N ，则A B ⋂=（ ）A ．[]1,3-B ．{2,1,0,1,2,3}--C ．{0,1,2,3}D ．{1,2,3}【答案】C【分析】解一元二次不等式求出集合,A B ，根据交集运算求解. 【详解】解：因为{}{}[]122121,3A x x x x =-≤=-≤-≤=-， 260x x --≤解得23x -≤≤，且x N ∈，所以0,1,2,3x =，所以{}0,1,2,3B =，所以A B ⋂={0,1,2,3}. 故选：C.2．已知复数z 满足()1i sin icos z αα+=+（i 是虚数单位），则z =（ ）A ．12B C D ．1【答案】B【分析】利用复数的除法运算求得z ，再求模. 【详解】因为()1i sin icos z αα+=+，所以()()()()sin icos 1i sin icos sin cos sin cos i 1i 1i 1i 22z αααααααα+-++-+===+++-，解得z ==故选：B3．“m>2”是“方程22121x y m m -=--表示双曲线”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】方程22121x y m m -=--表示双曲线等价于()()210m m --<，求解判断即可【详解】方程22121x y m m -=--表示双曲线等价于()()210m m --<，即1m <或m>2，故“m>2”是“方程22121x y m m -=--表示双曲线”的充分不必要条件.故选：A4．已知222:O x y r += ，直线223l x y r +=：，若l 与⊙O 相离，则（ ） A ．点(2,3)P 在l 上 B ．点(2,3)P 在O 上 C ．点(2,3)P 在O 内 D ．点(2,3)P 在O 外【答案】C【分析】根据l 与O 相离,2r >，即可推出||r OP >，即可得答案.【详解】由已知l 与O 相离,可知圆心到直线的距离大于半径，不妨设r 为222:O x y r +=22r =>，故r >，由于(2,3)P ，则OP =||r OP >, 则点(2,3)P 在O 内， 故选：C ．5．已知三角形中三边长为a ，b ，c ，若lg a ，lg b ，lg c 成等差数列，则直线ax by a +=与直线bx cy b+=的位置关系为（ ） A ．平行 B ．相交但不垂直 C ．垂直 D ．重合【答案】D【分析】根据等差中项的性质及对数的运算可得2ac b =，再根据两直线的位置关系判断即可. 【详解】解：因为lg a ，lg b ，lg c 成等差数列，所以lg lg 2lg a c b +=，即2ac b =， 对于直线ax by a +=与直线bx cy b +=，满足a b a b c b==， 所以直线ax by a +=与直线bx cy b +=重合. 故选：D6．在流行病学中，基本传染数0R 是指在没有外力介入，同时所有人都没有免疫力的情况下，一个感染者平均传染的人数.0R 一般由疾病的感染周期､感染者与其他人的接触频率､每次接触过程中传染的概率决定.假设某种传染病的基本传染数0 3.8R =，平均感染周期为7天，那么感染人数由1个初始感染者增加到1000人大约需要（ ）轮传染？(初始感染者传染0R 个人为第一轮传染，这0R 个人每人再传染0R 个人为第二轮传染……) A ．4 B ．5 C ．6 D ．7【答案】B【分析】根据题意列出方程，利用指数运算性质求解即可.【详解】感染人数由1个初始感染者增加到1000人大约需要n 轮传染, 则每轮新增感染人数为0nR ， 经过n 轮传染，总共感染人数为：1200000111n nR R R R R +-++++=-即11 3.8=10001 3.8n +--，解得 4.94n ≈， 所以感染人数由1个初始感染者增加到1000人大约需要5轮传染， 故选：B【点睛】等比数列基本量的求解是等比数列中的一类基本问题，解决这类问题的关键在于熟练掌握等比数列的有关公式并能灵活运用，尤其需要注意的是，在使用等比数列的前n 项和公式时，应该要分类讨论，有时还应善于运用整体代换思想简化运算过程．7．用半径为R 的圆形铁皮剪出一个圆心角为α的扇形，制成一个圆锥形容器，当该圆锥形容器的容积最大时，扇形的圆心角α为（ ） A ．2π3BCD【答案】D【分析】设圆锥的底面半径为r ，高为h ，体积为V ，求出222r h R +=，表示出体积表达式223111333V r h R h h πππ==-（0h R <<），利用导数求出函数的最大值，得到结果．【详解】设圆锥的底面半径为r ，高为h ，体积为V ，那么222r h R +=因此，223111333V r h R h h πππ==-（0h R <<）2213V R h ππ'∴=-令0V '=得h R =当0h <<时，0V '>h R <<时，0V '<h R ∴=时，V 取得极大值，并且这个极大值是最大值．把h =代入222r h R +=，得r =由2R r απ=，得α即圆心角α弧度时，漏斗容积最大 故选：D.8．1sin0.1a =+，0.1e b =，1716c =，则,,a b c 的大小关系为（ ）. A ．b c a >> B ．b a c >> C ．a b c >> D ．c b a >>【答案】B【分析】分别构造函数证明e 1,(0)x x x >+>与sin ,(0)x x x >>，利用这两个不等式可判断b a >；构造函数()5πsin 086h x x x x ⎛⎫=-<< ⎪⎝⎭，可证得5sin 8x x >，即可判断a c >，从而得出答案.【详解】令()e 1),(0)(x f x x x +-=>，则e ()10x f x '=->，则()f x 在(0,)+∞上单调递增，故()(0)0f x f >=，则e 1,(0)x x x >+>． 令()sin ,(0)g x x x x =->，则()1cos 0g x x '=-≥，则()g x 在(0,)+∞上单调递增，故()(0)0g x g >=，则sin ,(0)x x x >>． 所以0.1e 10.11sin 0.1>+>+，即b a >；令()5πsin 086h x x x x ⎛⎫=-<< ⎪⎝⎭，则()5cos 8h x x '=-，因为π06x <<cos 1x <<，则5cos 8x >>，故()0h x '>， 所以()h x 在π0,6⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，则()()00h x h >=，即5sin 8x x >，易知π0.10,6⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以51sin 0.10.1816>⨯=，则1171sin 0.111616+>+=，即a c >；综上：b a c >>. 故选：B.二、多选题9．如图是函数()y f x =的导函数的图象，对于下列四个判断，其中正确的是（ ）A ．()f x 在()2,1--上是增函数B ．()f x 在()2,4上是减函数C ．当=1x -时，()f x 取得极小值D ．当1x =时，()f x 取得极大值 【答案】BC【分析】根据导数与原函数关系解决.【详解】从导函数图像可以看出函数()f x 在()()2,1,2,4--上为单调减函数；()f x 在()()1,2,4,5-上为增函数，故A 错B 对，C 对D 错.故选：BC10．已知正四棱柱1111ABCD A B C D -的底面边为1，侧棱长为a ，M 是1CC 的中点，则（ ）A ．任意0a >，1A M BD ⊥B ．存在0a >，直线11AC 与直线BM 相交 C ．平面1A BM 与底面1111D C B A 5D ．当2a =时，三棱锥11B A BM -外接球表面积为3π 【答案】AC【分析】对于A ，由题意可得BD ⊥平面11ACC A ，从而可得1BD A M ⊥，即可判断； 对于B ，根据异面直线的定义可得；对于C ，根据题意找出交线，然后求出交线长即可；对于D ，根据外接球与正四棱柱的位置关系，找出球心，进而求出半径，即可得出表面积. 【详解】解：对于A ，BD AC ⊥，1BD AA ⊥，1AA AC A =，1AA ，AC ⊂平面11ACC A ，BD ∴⊥平面11ACC A ，1A M ⊂平面11ACC A ，1BD A M ⊥，故正确；对于B ，因为B ∈平面11A BC ，M ∉平面11A BC ， 所以BM ⊄平面11A BC ，BM ∴与11A C 异面，故不相交，故错误；对于C ，延长BM ，11B C 交于N 点，连接1A N 交11D C 于P ，M 为1CC 中点，1()NC M BCM ASA ≅，所以1NC CB =, 所以1112,1NB A B ==, 所以15NA 平面1A BM平面11111A B C D A N =，平面1A BM 与底面1111D C B A 交线为1A P ， 其中P 为11C D 中点，所以15A P =对于D ，2a =，11A B B △是直角三角形，外接圆是以1A B 为直径的圆，圆心设为P '，半径152=A B 取1BB 中点Q ，则MQ ⊥平面11ABB A ，12P Q '=， 所以2222541(1)4P O R P O R⎧+=⎪⎪⎨''⎪-+=⎪⎩，所以254R =， 24π5π3πR =≠，故错误.故选：AC ．11．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11a =，12n n a a n ++=则（ ） A ．618S =B ．,1,n n n a n n ⎧=⎨-⎩为奇数为偶数C ．数列{}n a 为等差数列D ．n 为奇数时，()212nn S n -=+【答案】ABD【分析】利用并项求和法可判断AD 选项；利用等差数列的定义可判断BC 选项. 【详解】对于A 选项，()()()()6123456213518S a a a a a a =+++++=⨯++=，A 对； 对于B 选项，因为122a a +=，则2121a a =-=，对任意的N n *∈，由12n n a a n ++=可得()2121n n a a n +++=+， 上述两个等式作差可得22n n a a +-=，所以，数列{}n a 中的奇数项成以1为首项，公差为2的等差数列， 数列{}n a 中的偶数项成以1为首项，公差为2的等差数列，当n 为奇数时，设()21N n k k *=-∈，则()2112121n k a a a k k n -==+-=-=，当n 为偶数时，设()2N n k k *=∈，则()221211n a a k k n =+-=-=-，综上所述，,1,n n n a n n ⎧=⎨-⎩为奇数为偶数，B 对；对于C 选项，32211a a a a -=≠-，故数列{}n a 不是等差数列，C 错；对于D 选项，当n 为奇数时，设()21N n k k *=-∈，则12n k +=， 则()()()2212342122n k k k k k S S a a a a a a a a -=-=++++++-()()()()221212132121212212k k k k k k k +-=+++---=--=-+⎡⎤⎣⎦()()2221112112222n n n n n -+⎛⎫=⨯-++=+=+ ⎪⎝⎭，D 对. 故选：ABD.12．设O 为坐标原点， F 为抛物线C ：22(0)x py p =>的焦点，过焦点F 且倾斜角为θ的直线l 与抛物线C 交于M ，N 两点（点M 在第二象限），当30θ=时，||2MF =，则下列说法正确的是（ ） A ．3p =B ．△MON 的面积的最小值为92C ．存在直线l ，使得90OMF ONF ∠∠>＋D ．分别过点M ，N 且与抛物线相切的两条直线互相垂直 【答案】ABD【分析】根据抛物线定义结合三角函数可求3p =，通过设直线l 的方程为32y kx =+，与抛物线联立则得到韦达定理式，而面积表达式121322MONSx x =⨯-，韦达定理式代入上式即可求出面积最值，求出0OM ON ⋅<则可判断C ，利用导数的几何意义即可得到两切线斜率之积为12119x x =-，则可判断D.【详解】作出如图所示图形：对A ，由抛物线定义及题意得222sin 302M M p y p y ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，即2212M M p y p y ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，解得3p =，故A 正确；对B ，3p =，则30,2F ⎛⎫⎪⎝⎭，当直线l 的斜率不存在时，显然不合题意，设()()1122,,,M x y N x y设直线l 的方程为32y kx =+，联立抛物线22x py =得2690x kx --=，则12126,9x x k x x +==-，12139222MONSx x =⨯-=， 当且仅当0k =时等号成立，故B 正确；对C ，121212123322OM ON x x y y x x kx kx ⎛⎫⎛⎫⋅=+=+++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭()()()221212393927191624244k x x k x x k k k =++++=-++⋅+=-，故MON ∠为钝角，则不存在直线l ，使得90OMF ONF ︒∠+∠>，故C 错误； 对D ，26x y =，即216y x =，故13y x '=， 故在点M 处的切线斜率为113x ，在点N 处的切线斜率为213x ,故斜率之积为12119x x =-，故相切的两条直线互相垂直，故D 正确.故选：ABD.三、填空题13．已知()1,5,2a =-，(),2,2b m m =+，若a b ⊥，则m 的值为______. 【答案】6【分析】根据向量垂直于向量数量积之间的关系解方程即可. 【详解】解：∵a b ⊥，∴0a b ⋅=，即()()1,5,2,2,20m m -⋅+=， ∴10240m m +--=，解得6m =.故答案为：6.14．记Sn 为等差数列{an }的前n 项和，12103a a a =≠，，则105S S =___________. 【答案】4.【分析】根据已知求出1a 和d 的关系，再结合等差数列前n 项和公式求得结果. 【详解】因213a a =，所以113a d a +=，即12a d =，所以105S S =11111091010024542552a d a a a d⨯+==⨯+． 【点睛】本题主要考查等差数列的性质、基本量的计算．渗透了数学运算素养．使用转化思想得出答案．15．若椭圆22221x y a b +=的焦点在x 轴上，过点（1，12）作圆22+=1x y 的切线，切点分别为A,B ，直线AB 恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是 ______________【答案】22154x y += 【详解】∵点(1，12)在圆外，过点(1，12)与圆相切的一条直线为x ＝1，且直线AB 恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，∴椭圆的右焦点为(1,0)，即c ＝1，设点P(1，12)，连接OP ，则OP ⊥AB ，∵k OP ＝12，∴k AB ＝－2．又直线AB 过点(1,0)，∴直线AB 的方程为2x ＋y －2＝0，∵点(0，b)在直线AB 上，∴b ＝2，又c ＝1，∴a 2＝5，故椭圆方程是25x ＋24y ＝1．16．如图所示，平面直角坐标系xOy 中，四边形ABCD 满足AB AD ⊥，CB CD ⊥，20BA BC DA DC ⋅+⋅=，若点A ，C 分别为椭圆E ：22218x y b+=（0b >）的上､下顶点，点B 在椭圆E上，点D 不在椭圆E 上，则椭圆E 的焦距为___________.【答案】4【分析】先由AB AD ⊥，CB CD ⊥判断出A ，B ，C ，D 四点共圆，再由题设求出圆心，表示出圆的方程，将()0,b 代入椭圆及圆的方程，可求出2b ，即可求得焦距. 【详解】由题意得()0,A b ，()0,C b -，设()11,B x y ，()22,D x y .连接BD ，由AB AD ⊥，CB CD ⊥，可知A ，B ，C ，D 在以BD 为直径的圆M 上，且πABC ADC ∠+∠=， 又原点O 为圆M 的弦AC 的中点，所以圆心在AC 的垂直平分线上，即在x 轴上，则120y y +=，又20BA BC DA DC ⋅+⋅=， 所以cos 2cos 0BA BC ABC DA DC ADC ∠+∠=， 因为πABC ADC ∠+∠=，所以cos cos 0ABC ADC ∠+∠=， 所以()2cos 0BA BC DA DC ADC -∠⋅=， 当cos 0ADC ∠≠时，则2BA BC DA DC -=0，若cos 0ADC ∠=，则四边形ABCD 为矩形，则点D 也在椭圆E 上，与点D 不在椭圆E 上矛盾， 所以2ABCADCSS=，所以122x x =-，故圆M 的圆心坐标为1,04x ⎛⎫⎪⎝⎭， 所以圆M 的方程为22221119416x x y x y ⎛⎫-+=+ ⎪⎝⎭，将()0,b 代入可得2221112b x y =+，又2211218x y b +=，所以24b =，故椭圆E 的焦距为2284b -=. 故答案为：4.【点睛】关键点点睛：“AB AD ⊥，CB CD ⊥，20BA BC DA DC ⋅+⋅=”的化简､转化，由此得到A ，B ，C ，D 在以BD 为直径的圆M 上以及该圆的方程.四、解答题17．已知数列{}n a 的首项123a =，且满足121n n n a a a +=+. (1)求证：数列11n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭为等比数列；(2)若121112023na a a +++<，求满足条件的最大整数n . 【答案】(1)证明见解析 (2)2022【分析】（1）先取倒数，然后通过构造法可证；（2）由（1）求数列11n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭的通项，然后可得1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的通项，最后分组求和可得.【详解】（1）由题设可得111111222n n n na a a a ++==+⨯， 所以1111112n n a a +⎛⎫-=- ⎪⎝⎭. 又1111,2a -= 所以11n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是以12首项，12为公比的等比数列（2）由（1）可得111()2n n a -=，即1112n n a =+，所以212111111112222nn n n n a a a ⎛⎫+++=++++=+- ⎪⎝⎭显然右边112nn +-是递增数列， 易知，当2022n =时，202212022120232+-<，2023n =时，202312023120232+->不满足题意，所以满足条件的最大整数是2022.18．已知曲线3y ax b =+（a ，b 为常数）在2x =处的切线方程为440x y --=. （1）求a ，b 的值；（2）求曲线过点()2,4P 的切线方程.【答案】（1）13a =，43b =；（2）44y x =-或2y x =+.【分析】（1）求出导函数，由22324x y a ==⨯='，解出a ，再由()2,4在切线上可求b .（2）设切点()00,x y ，求出在切点处的导数值，根据切点()00,x y 既在切线上，也在曲线上，代入曲线方程与切线方程，联立求切点，代入切线方程即可求解.【详解】（1）23y ax '=，依题意可得22324x y a ==⨯='，∴13a =，当2x =，代入直线方程得4y =，将点()2,4代入曲线方程，求得43b =； （2）设切点()00,x y ，则020x x k y x =='=，切线方程为()2042y x x -=-，切点()00,x y 既在切线上，也在曲线上， 从而有()200042y x x -=-，①3001433y x =+，② 联立①②消去0y ，整理可得3200340x x -+=，()()()()()23222000000000240222210x x x x x x x x x --+=⇒--+-=-+=，解得0024x y =⎧⎨=⎩或0011x y =-⎧⎨=⎩，切点为()2,4或()1,1-，从而切线方程为44y x =-或2y x =+.19．在ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，cos cos b C c B c -=. (1)证明：2B C =.(2)若ABC 为锐角三角形，且1c =，求a 的取值范围. 【答案】(1)证明见解析； (2)()1,2【分析】(1)由已知可得出cos cos b C c B c -=，利用正弦定理化简得出()sin sin B C C -=，求出B C -的取值范围，讨论B C -与C 的关系，可证得结论成立；(2)由ABC 为锐角三角形求出C 的取值范围，利用正弦定理化简得出a 关于C 的函数关系式，结合余弦函数的基本性质可求得a 的取值范围.【详解】（1）因为cos cos b C c B c -=，由正弦定理可得： sin cos sin cos sin B C C B C -=，则()sin sin B C C -=.因为0πB <<，0πC <<，所以，ππB C -<-<， 因为()sin sin 0B C C -=>，则0πB C <-<. 所以，B C C -=或πB C C -+=（舍去），即2B C =.（2）由ABC 为锐角三角形，可得π02π02π02A B C ⎧<<⎪⎪⎪<<⎨⎪⎪<<⎪⎩，即π0π32π022π02C C C ⎧<-<⎪⎪⎪<<⎨⎪⎪<<⎪⎩，解得ππ64C <<，所以，ππ232C <<，则10cos 22C <<， 由正弦定理可得sin sin a c A C=， 则()sin sin sin cos cos sin sin 2cos cos 2sin sin sin sin sin B C A B C B C C C C Ca C C C C+++====()222sin cos cos 2sin 2cos cos 22cos 211,2sin C C C C C C C C+==+=+∈.故a 的取值范围是()1,2.20．如图1，在等腰直角三角形ABC 中，4AC BC ==，D 是AC 的中点，E 是AB 上一点，且DE AB ⊥.将ADE 沿着DE 折起，形成四棱锥-P BCDE ，其中点A 对应的点为点P ，如图2.(1)在图2中，在线段PB 上是否存在一点F ，使得CF ∥平面PDE ？若存在，请求出PFPB的值，并说明理由；若不存在，请说明理由；(2)在图2中，平面PBE 与平面PCD 所成的锐二面角的大小为3π，求四棱锥-P BCDE 的体积. 【答案】(1)当13PF PB =时，CF ∥平面PDE ，理由见解析 (2)289【分析】（1）利用线线平行即可证得平行.（2）利用向量法求得四棱锥的高即可求得四棱锥的体积. 【详解】（1）当13PF PB =时，CF ∥平面PDE .理由如下：过点C 作CH ED ⊥，垂足为H ，在PE 上取一点M ，使得13PM PE =，连接HM ，FM ，因为13PM PE =，13PF PB =，所以FM ∥EB ，且FM =13EB因为D 是AC 的中点，且DE AB ⊥，所以CH ∥EB ，且CH =13EB 所以CH ∥FM 且CH =FM ，CFMH 是平行四边形，即CF ∥HM ，又因为CF ⊄平面PDE ，HM ⊂平面PDE ，所以CF ∥平面PDE ； （2）易知DE PE ⊥，DE BE ⊥，且2PE DE ==，作EN ⊥平面EBCD ，以向量,,DE EB EN 为x ，y ，z 轴的正方向， 建立空间直角坐标系，设PEB θ∠=，则()2,0,0D ，()22,2,0C -，()22P θθ， 则()2,2,0DC =-，()2,22DP θθ=，设平面PCD 的法向量为(),,m x y z =， 则220,2220,m DC x y m DP x y z θθ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=⋅⋅=⎪⎩取sin x θ=，则sin y θ=，cos 1z θ=--， 所以()sin ,sin ,cos 1m θθθ=--，易知平面PBE 的法向量()1,0,0n =，设平面PBE 与平面PCD 所成锐二面角为α， 由题意可知，()2221cos 2sin sin cos 1m n m nαθθθ⋅===⋅++--，整理得23cos 2cos 10θθ+-=，解得1cos 3θ=或cos 1θ=-（舍去）.所以sin θ=所以四棱锥-P BCDE的高43h θ==， 又四边形BCDE的面积22114722S =⨯-⨯=，所以四棱锥-P BCDE 的体积14287339V =⨯⨯=. 21．已知双曲线2222:1x y C a b-=（0a >，0b >）的渐近线方程为y =，(1)求双曲线C 的方程；(2)设A ，B 是双曲线C 右支上不同的两点，线段AB 的垂直平分线l 交AB 于M ，点M 的横坐标为2，则是否存在半径为1的定圆P ，使得l 被圆P 截得的弦长为定值，若存在，求出圆P 的方程；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)2213y x -=； (2)存在，定圆P ：22(8)1x y -+=【分析】（1）设双曲线的右焦点()2,0F c ，利用焦点到渐近线的距离求出c ，再根据渐近线方程及222c a b =+，求出b ，a ，即可得解；（2）先利用“点差法”写出直线AB 的方程，再写出AB 的中垂线l 的方程，求出l 所过的定点即为圆P 的圆心，然后写出圆的方程即可.【详解】（1）设双曲线的右焦点()2,0F c ，则点()2,0F c0y +=即d ==2c =，又渐近线方程为y =，即b a =222c a b =+，解得b =1a =，所以双曲线方程为2213y x -=. （2）设1122(,),(,)A x y B x y ，AB 的中点为00(,)M x y ， 由AB 中点的横坐标为2可得120120222x x x y y y +⎧==⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，因为A ，B 是双曲线C 上不同的两点，所以221122221313y x y x ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩①② ，①-②得()()()()1212121203y y y y x x x x +-+--=，当AB k 存在时，12121212003()3462ABy y x x k x x y y y y -+⨯====-+， 因为AB 的中垂线为直线l ，所以00(2)6y y y x -=--，即0:(8)6yl y x =--， 所以l 过定点(8,0)T ，当AB k 不存在时，A ，B 关于x 轴对称，AB 的中垂线l 为x 轴，此时l 也过(8,0)T ， 所以存在定圆P ：22(8)1x y -+=，使得l 被圆P 截得的弦长为定值2.【点睛】方法点睛：点差法是解决弦的中点问题的常用方法，设而不求法是解决直线与椭圆相交时交点坐标相关问题的常用方法 22．已知函数()e -=x kf x x．(1)若()f x 在()0,∞+上单调递增，求实数k 的取值范围；(2)若()()ln g x f x k x =-存在极小值，且极小值等于()2ln k -，求证：ln 2e k k +>．【答案】(1)1k ≥； (2)证明见解析.【分析】（1）由条件可得()()2e e 0x x x kf x x --'=≥在()0,∞+上恒成立，然后可得()e 1xk x ≥-，然后利用导数求出()()=e 1xx x ϕ-的最大值即可；（2）求出()g x '，分1k ≤、1k e <<、e =k 、e k >四种情况讨论()g x 的单调性，然后可得ln ln e e ett t t t t ==，令()()ln 1x h x x x =>、()()()()2e ln ln 2e 1e G x x x x x x =---<<，然后利用()h x 、()G x 的单调性可证明.【详解】（1）因为()e -=x kf x x在()0,∞+上单调递增，所以()()2e e 0x x x kf x x--'=≥在()0,∞+上恒成立，且()f x '不恒等于0，由()()2e e 0x x x kf x x --'=≥可得()e 1xk x ≥-，令()()=e 1x x x ϕ-，则()()=e 1e =e 0x x xx x x ϕ'---<，所以()()=e 1xx x ϕ-在()0,∞+上单调递减，所以()01k ϕ≥=；（2）因为()()ln g x f x k x =-，其定义域为()0,∞+，所以()()()()2e 1x k x k g xf x x x--''=-=， ①当1k ≤时，e 0x k -≥，所以当()0,1x ∈时()0g x '<，()g x 单调递减， 当()1,x ∈+∞时()0g x '>，()g x 单调递增，所以()g x 的极小值为()1e 0g k =->，而()2ln 0k -≤，不合题意，②当1k e <<时，由()0g x '=可得ln x k =或1x =， 当()0,ln x k ∈时，()0g x '>，()g x 单调递增， 当()ln ,1x k ∈时，()0g x '<，()g x 单调递减， 当()1,x ∈+∞时，()0g x '>，()g x 单调递增，所以()g x 的极小值为()1e 0g k =->，而()20ln k -<，不合题意，③当e =k 时，()0g x '≥，()g x 在()0,∞+上单调递增，不合题意， ④当e k >时，由()0g x '=可得ln x k =或1x =， 当()0,1x ∈时，()0g x '>，()g x 单调递增， 当()1,ln x k ∈时，()0g x '<，()g x 单调递减， 当()ln ,x k ∈+∞时，()0g x '>，()g x 单调递增， 所以()g x 的极小值为()()()2ln ln ln ln g k k k k =-=-，令()ln 1,t k =∈+∞，则2e ln t t t =，所以ln ln e e ett t t t t ==， 令()()ln 1x h x x x=>，则()()e t h t h =，()21ln xh x x -'=， 所以()h x 在()1,e 上单调递增，在()e,+∞上单调递减，所以1e e t t <<<， 令()()()()2e ln ln 2e 1e G x x x x x x =---<<，则()()2e ln ln 2e 2e x xG x x x x x-'=-+--+- ()()2222e 2e ln 2e ln e e ln e 202e 2e x x x x x x x x x x x--⎡⎤=--++=---+++>-+=⎡⎤⎣⎦⎣⎦--所以()G x 在()1,e 上单调递增，所以()()e 0G x G <=， 所以当()1,e x ∈时有()ln 2e ln 2e x x x x-<-，因为1e e tt <<<，所以()ln 2e ln e ln e 2e t t t t t t-=<-， 又因为()h x 在()e,+∞上单调递减，所以e 2e t t >-， 所以e 2e t t +>，即ln 2e k k +>.。
2024湖南省天一名校联盟高二入学考试数学试卷答案
B ) １－
(
所以 P (
B )＝
３
１
＝ , ６ 分
４
８
)
１
, ７ 分
２
所以乙、丙各自解出该题的概率为
１ ３
, ． ８ 分
２ ４
(
２)设“甲、乙、丙 ３ 人中至少有 １ 人解出该题”为事件 D ,
【高二数学试题参考答案 第
３ 页(共 ５ 页)】
＝A
B
C
, ９ 分
则D
因为 P (
A )＝
)＝
所以 P (
A
２
１
３
,
P(
B )＝ ,
５－x)]
＋ [(
２－x)－ (
２x－１)]
＝ １４x２ －３２x＋１９
＝ １４ x－
(
当 x＝
８
７
)
２
＋
５
, １１ 分
７
８
３５
时,AB 有最小值
． １３ 分
７
７
a＋i (
b２ ≥ ＋２,
a b
b
a b
a
２
a ３
b ２a ３
b
２
a ３
b
＝２ ６(当且仅当 ２a＝ ３b 时取等号),
∴a２ ＋b２ ≥３＋ ＋ ,又 ＋ ≥２
b a
b a
b a
１ ２ １
３ ２ ２
∴a２ ＋b２ ≥３＋２ ６,故 C 正确;∵a≥ ＋ ＞ ,∴a＞１,∵b≥ ＋ ＞ ,∴b＞ ２,故 D 正确,故选 CD．
１２
１２
１２ １２ ２ ２
|ω|
π
高二数学下学期入学试题 理含解析 试题
卜人入州八九几市潮王学校十八中二零二零—二零二壹高二数学下学期入学试题理〔含解析〕一、选择题〔此题包括12小题．每一小题只有一个选项符合题意．每一小题5分，一共60分〕 1.假设集合A ＝{x |﹣2＜x ＜1}，B ＝{x |x ＜﹣1或者x ＞3}，那么A ∩B ＝〔〕 A.{x |﹣2＜x ＜﹣1} B.{x |﹣2＜x ＜3}C.{x |﹣1＜x ＜1}D.{x |1＜x ＜3}【答案】A 【解析】 【分析】根据交集的性质求解即可. 【详解】{21}{1A B x x x x =-<<<-∣∣或者{}3}21x x x >=-<<-应选：A【点睛】此题主要考察了集合的交集运算，属于根底题. 2.p ：∀x ∈R ，cos x ＞1，那么p ⌝是〔〕 A.∃x ∈R ，cos x ＜1 B.∀x ∈R ，cos x ＜1 C.∀x ∈R ，cos x ≤1 D.∃x ∈R ，cos x ≤1【答案】D 【解析】 【分析】根据否认的定义求解即可. 【详解】:p ⌝,cos 1x R x ∃∈≤应选：D 【点睛】.3.以下复数中虚部最大的是〔〕A.92i +B.34i -C.()23i +D.()45ii +【答案】C 【解析】对于A ，虚部是2；对于B ，虚部是4-；对于C ，2(3)96186i i i+=+-=+，虚部是6；对于D ，(45)54i i i +=-+，虚部是4.∴虚部最大的是C 应选C.4.变量x ，y 满足约束条件x 2y 1x y 1y 10+≥⎧⎪-≤⎨⎪-≤⎩，那么z=x-2y 的最大值为〔〕A.3-B.1C.3D.0【答案】B 【解析】 【分析】作出题中不等式组表示的平面区域，得到如图的△ABC 及其内部，再将目的函数z ＝x ﹣2y 对应的直线进展平移，可得当x ＝1，y ＝0时，z 获得最大值1．【详解】作出不等式组21110x y x y y +≥⎧⎪-≤⎨⎪-≤⎩表示的平面区域，得到如图的△ABC 及其内部，其中A 〔﹣1，1〕，B 〔2，1〕，C 〔1，0〕 设z ＝F 〔x ，y 〕＝x ﹣2y ，将直线l ：z ＝x ﹣2y 进展平移， 当l 经过点C 时，目的函数z 到达最大值 ∴z 最大值＝F 〔1，0〕＝1 应选B ．【点睛】此题给出二元一次不等式组，求目的函数z ＝x ﹣2y 的最大值，着重考察了二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识，属于根底题．5.假设角α的终边经过点(-，那么tan 3πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭〔〕A.7-B.7-C.5D.5【答案】B 【解析】由题意可得：tan α==-那么：tan tan3tan 371tan tan 3παπαπα+⎛⎫+===- ⎪⎝⎭-. 此题选择B 选项.6.()712x x-的展开式中2x 的系数为〔〕A.84-B.84C.280-D.280【答案】C 【解析】由题意，根据二项式定理展开式的通项公式1C k n k kk n T ab -+=，得()712x -展开式的通项为()172kk kk T C x +=-，那么()712x x-展开式的通项为()1172k k k k T C x -+=-，由12k -=，得3k =，所以所求2x 的系数为()3372280C -=-.应选C.点睛：此题主要考察二项式定理的通项公式的应用，以及组合数、整数幂的运算等有关方面的知识与技能，属于中低档题，也是常考知识点.在二项式定理的应用中，注意区分二项式系数与系数，先求出通项公式1C r n r rr n T ab -+=，再根据所求问题，通过确定未知的次数，求出r ，将r 的值代入通项公式进展计算，从而问题可得解. 7.函数()f x 在(),-∞+∞单调递减，且为奇函数．假设()11f =-，那么满足1(2)1f x -≤-≤的x 的取值范围是〔〕A.[]22-,B.[]1,1-C.[]0,4D.[]1,3【答案】D 【解析】 【分析】由奇函数的性质可得出()11f -=，由此可将所求不等式化为()()()111f f x f ≤-≤-，由函数()y f x =在(),-∞+∞上的单调性可得出关于x 的不等式，解出即可.【详解】解：由函数()f x 为奇函数，得(1)(1)1f f -=-=，不等式1(2)1f x -≤-≤即为(1)(2)(1)f f x f ≤-≤-，又()f x 在(,)-∞+∞单调递减，所以得121x ≥-≥-，即13x ≤≤，应选：D ．【点睛】此题考察利用函数的奇偶性与单调性解函数不等式，在解函数不等式时，要将不等式转化为()()12f x f x <，借助函数的单调性脱去f，考察分析问题和解决问题的才能，属于中等题.8.沿一个正方体三个面的对角线截得的几何体如下列图，那么该几何体的正视图、侧视图与俯视图分别为() A.②①① B.②①②C.②④①D.③①①【答案】A 【解析】由可得正视图应当是②，排除D ；侧视图是一个正方形，中间的棱在侧视图中表现为一条对角线，对角线的方向应该从左上到右下，即侧视图应当是①，排除C ；俯视图应当是①，排除B.应选A.点睛：作三视图时，首先要掌握三视图的规律，其次要掌握根本几何体的三视图．要注意三视图是由正投影得出的，其中看见的线用实线，看不见〔被面遮住的轮廓线〕用虚线表示． 9.执行如下列图的程序框图，那么输出S 的值是() A.4097 B.9217C.9729D.20481【答案】B阅读流程图可知，该流程图的功能是计算：229122232102S =⨯+⨯+⨯++⨯，那么234102122232102S=⨯+⨯+⨯++⨯，以上两式作差可得：102310111012222210210212S --=++++-⨯=-⨯-，那么：109219217S=⨯+=.此题选择B 选项.10.设双曲线C ：22221x y a b-=(a>0，b>0)的一条渐近线与抛物线y 2＝x 的一个交点的横坐标为x 0，假设x 0>1，那么双曲线的离心率e 的取值范围是A.1,2⎛ ⎝⎭B.)+∞C.(D.2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【答案】C 【解析】试题分析：联立双曲线渐近线和抛物线方程，消去y 得：222b x x a =，由01x >知221b a <，即2221c a a -<，故22e <，又1e >，所以1e <<C ．考点：双曲线的几何性质的应用．11.定义在R 上的函数()f x ，()g x ，其中()g x 为偶函数，当0x>时，'()0g x >恒成立；且()f x 满足：①对x R ∀∈，都有((f x f x +=；②当[x ∈时，3()3f x x x =-.假设关于x 的不等式2[()](2)g f x g a a ≤-+对3322x ⎡∀∈---⎢⎣恒成立，那么a 的取值范围是〔〕A.RB.[0,1]C.112424⎡--+⎢⎣⎦D.(,0][1,)-∞⋃+∞【解析】∵函数()g x 满足：当0x >时，()0g x '>恒成立，∴函数()g x 为R 上的偶函数，且在[0)+∞，上为单调递增函数，且有(||)()g x g x =，∴2[()](2)g f x g a a ≤-+，33232322x ⎡⎤∈---⎢⎥⎣⎦，恒成立2|()||2|f x a a ⇔-+≤恒成立，只要使得定义域内2max min |()||2|f x a a -+≤，由(3)(3)f x f x +=，得(3)()f x f x +=，即函数()f x 的周期23T =，∵[33]x ∈-，时，3()3f x x x =-，求导得2()333(1)(1)f x x x x '=-=+-，该函数过点(30)(00)(30)-，，，，，如图，且函数在1x =-处获得极大值(1)2f -=，在1x =处获得极小值(1)2f =-，即函数()f x 在R 上的最大值为2，∵33232322x ⎡∈---⎢⎣，，函数的周期是333232322x ⎡∈---⎢⎣，时，函数()f x 的最大值为2，由22|2|a a -+≤，即222a a -+≤，那么20-≥a a ，解得1a ≥或者0a ≤.应选D ．【点睛】此题考察了利用导函数求得函数在定义域上为单调递增函数，还考察了函数的周期的定义，及利用周期可以求得[33]x ∈，时，3()3f x x x =-的值域为[22]-，，还考察了函数恒成立． 12.在三棱锥P ABC -中，90BAC∠=，4AB AC ==，10PA =2PC =PAC ⊥底面ABC ，那么三棱锥P ABC -外接球的外表积为〔〕A.24πB.28πC.32πD.36π【答案】D 【解析】如图，取BC 的中点D ，连接AD ，过P 作PE ⊥平面ABC ，交AC于点E，过E 作//EF BC ，交AD 于点F ，以D 为原点，DB 为x 轴，AD 为y 轴，过D 作平面ABC 的垂线为z 轴，建立空间直角坐标系，那么11616222DA DB DC ==+，22AP AE -22PC CE =-，即22102(4)AE AE ---3AE =，1CE =，1PE =，32AF EF ==(2200)B ，，，322122P ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭，设球心(00)O t ，，，那么OB OP =22(220)(0)t -+-22232200(1)22t ⎛⎫⎛⎫=++++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得1t =-，∴三棱锥P ABC -的外接球的半径R =22(220)(01)3-++=，∴三棱锥P ABC -外接球的外表积为244936S R =π=π⨯=π.应选D ．二、填空题：〔本大题一一共4小题，每一小题5分〕 13.假设向量()21,m k k =-与向量()4,1n =一共线，那么k =__________．【答案】12- 【解析】 因为向量()21,m k k =-与向量()4,1n =一共线，所以12140,.2kk k --==-14.假设在区间2,2⎡⎤⎣⎦上随机取一个数k ，那么“直线3y kx =+222x y +=相交〞的概率为______.【答案】22-【解析】 【分析】根据直线与圆的位置关系，即可求得k 的取值范围，结合几何概型的概率求解，即可容易求得.【详解】因为直线3y kx =+与圆222x y +=相交，故可得2321k <+，故可得212k >，解得22k >或者22k <-. 又k ∈2,2⎡⎤-⎣⎦，故可得222,,222k ⎡⎫⎛⎤∈--⋃⎪ ⎢⎥⎪ ⎣⎭⎝⎦. 由几何概型的概率求解，那么满足题意的概率2222222222222P -+-===-++. 故答案为：22-.【点睛】此题考察由直线与圆的位置关系求参数范围，涉及几何概型的概率求解，属综合根底题.15.f (x )＝23,123,1x x x x x +≤⎧⎨-++>⎩，那么函数g (x )＝f (x )－e x的零点个数为________． 【答案】2 【解析】 【详解】把函数的零点个数转化为方程解的个数转化为两个函数图象与象交点的个数，在同一坐标系中画出这两个函数的图象，由图象可知，函数g (x )＝f (x )－e x的零点个数为2. 16.记{}ave,,a b c 表示实数a ，b ，c 的平均数，{}max ,,a b c 表示实数a ，b ，c 的最大值，设11ave 2,,122A x x x ⎧⎫=-++⎨⎬⎩⎭，11max 2,,122M x x x ⎧⎫=-++⎨⎬⎩⎭，假设31M A =-，那么x 的取值范围是__________． 【答案】{|4x x =-或者}2x ≥．【解析】【详解】作出112122Mmax x x x ⎧⎫=-++⎨⎬⎩⎭，的图象如下列图由题意113A x =+，故0310x x A x x x -<⎧-==⎨≥⎩，，∴当0x <时，122x x -=-+，得4x =- 当01x ≤<时，122x x =-+，得43x =，舍去当12x ≤<时，112x x =+，得2x =，舍去当2x ≥时，xx =，恒成立综上所述，x 的取值范围是{}|42x x x =-≥或三、解答题：〔此题包括6题，一共70分〕解容许写出文字说明、证明过程或者演算步骤． 17.等差数列{a n }的公差d ≠0，它的前n 项和为S n ，假设S 5＝70，且a 2，a 7，a 22成等比数列． 〔1〕求数列{a n }的通项公式；〔2〕设数列{1nS }的前n 项和为T n ，求证：1368n T < 【答案】〔1〕()*42n a n n N =+∈〔2〕证明见解析【解析】 【分析】〔1〕根据等差数列的通项公式、求和公式以及等比数列的性质，列出方程组，求解即可；〔2〕由111142n S n n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭，结合裂项相消法求出n T ，最后由不等式的性质以及数列的单调性证明即可. 【详解】〔1〕因为数列{}n a 为等差数列，所以1(1)n a a n d =+-，1(1)2n n n S na d -=+依题意，有52722270S a a a =⎧⎨=⎩，即()()()1211151070621a d a d a d a d +=⎧⎪⎨+=++⎪⎩ 解得16,4a d ==或者114,0a d ==(舍)综上，数列{}n a 的通项公式为()*42n a n n N =+∈〔2〕由〔1〕可知，224nS n n =+所以2111111242(2)42n S n n n n n n ⎛⎫===- ⎪+++⎝⎭所以123111111nn nT S S S S S -=+++++ 因为111308412nT n n ⎛⎫-=-+< ⎪++⎝⎭，所以38n T < 因为11110413n nT T n n +⎛⎫-=-> ⎪++⎝⎭，所以{}n T 是递增数列 所以116n T T ≥=，即1368n T ≤< 【点睛】此题主要考察了求等差数列的通项公式，裂项相消法求数列的和，证明不等式，属于中档题. 18.点1)，Q(cosx ，sinx)，O 为坐标原点，函数()f x OP QP =⋅.(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)假设A 为△ABC 的内角，f(A)＝4，BC ＝3，△ABC 的面积为4，求△ABC 的周长． 【答案】〔1〕2π；〔2〕3+【解析】【详解】(1)由题易知，()3,1OP=，()3cos ,1sin QP x x=-，所以())cos 1sin 42sin 3f x x x x π⎛⎫=+-=-+ ⎪⎝⎭，所以()f x 的最小正周期为2π.(2)因为()4f A =，所以sin 03A π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，那么3x k ππ+=，k Z ∈，即,3xk k Zππ=-∈，因为0A π<<，所以23A π=，因为ABC 的面积1sin 2S bc A ==，所以3bc =.由2222cos a b c bc A =+-，可得226b c +=，所以222()212b c b c bc +=++=，即b c +=ABC 的周长为3+19.根据某电子商务平台的调查统计显示，参与调查的1000位上网购物者的年龄情况如下列图．〔1〕[30，40〕，[40，50〕，[50，60〕三个年龄段的上网购物者人数成等差数列，求,a b 的值；〔2〕该电子商务平台将年龄在[30，50〕内的人群定义为高消费人群，其他年龄段的人群定义为潜在消费人群，为了鼓励潜在消费人群的消费，该平台决定发放代金券，高消费人群每人发放50元的代金券，潜在消费人群每人发放100元的代金券，现采用分层抽样的方式从参与调查的1000位上网购物者中抽取10人，并在这10人中随机抽取3人进展回访，求此3人获得代金券总和X〔单位：元〕的分布列与数学期望．【答案】〔1〕0.035,0.025；〔2〕见解析 【解析】 【分析】 〔1〕根据题意[)[)[)30,40,40,50,50,60三个年龄段的上网购物者人数成等差数列，列出方程组，即可求解；〔2〕利用分层抽样的方法，从中取出三人，得出三人所获得代金券的总和X的取值，求得相应的概率，列出分布列，利用期望的公式，即可求解. 【详解】〔1〕由题意知[)[)[)30,40,40,50,50,60三个年龄段的上网购物者人数成等差数列，所以(0.0150.0150.010)10120.015a b b a ++++⨯=⎧⎨=+⎩，解得0.035,0.025a b ==.〔2〕利用分层抽样从样本中抽取10人，其中属于高消费人群的为6人属于潜在消费人群的为4人，从中取出三人，并计算三人所获得代金券的总和X，那么X的所有可能取值为：150,200,250,300，32166433101011(150),(200)62C C C P X P X C C ======，12364433101031(250),(300)1030C C C P X P X C C ======，∴X的分布列为1131()150200250300210621030E X =⨯+⨯+⨯+⨯=.【点睛】此题主要考察了离散型随机变量的分布列及数学期望的求解，对于求离散型随机变量概率分布列问题首先要清楚离散型随机变量的可能取值，计算得出概率，列出离散型随机变量概率分布列，最后按照数学期望公式计算出数学期望，其中列出离散型随机变量概率分布列及计算数学期望是理科高考数学必考问题.20.如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是直角梯形，//AD BC ，36AD BC ==，PB =M 在线段AD 上，且4MD =，AD AB ⊥，PA ⊥平面ABCD .〔1〕求证：平面PCM⊥平面PAD ；〔2〕当四棱锥P ABCD -的体积最大时，求平面PCM 与平面PCD 所成二面角的余弦值.【答案】〔1〕见解析;〔2〕55. 【解析】 【详解】〔1〕由6,4AD DM ==可得2AM =，易得四边形ABCM 是矩形，∴CM AD ⊥，又PA ⊥平面ABCD ，CM ⊂平面ABCD ，∴PA CM ⊥，又PM AD M ⋂=，,PM AD ⊂平面PAD ，∴CM ⊥平面PAD ， 又CM⊂平面PCM ，∴平面PCM ⊥平面PAD〔2〕四棱锥P ABCD -的体积为()114323VAD BC AB PA AB PA =⋅⋅+⋅⋅=⋅⋅， 要使四棱锥P ABCD -的体积取最大值，只需AB PA ⋅获得最大值.由条件可得22272PA AB PB +==，∴722PA AB ≥⋅，即36PA AB ⋅≤， 当且仅当6PA AB ==时，PA AB ⋅获得最大值36.分别以,,AP AB AD 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系A xyz -.那么()6,0,0P，()0,6,2C ，()0,0,6D ，()0,0,2M ，()6,6,2PC =-，()6,0,6PD =-，()6,0,2PM =-，设平面PCD 的一个法向量为()1111,,n x y z =，由10n PC ⋅=，10n PD ⋅=可得111116620660x y z x z -++=⎧⎨-+=⎩，令12y =可得()13,2,3n =， 同理可得平面PCM 的一个法向量为()21,0,3n =，设平面PCM 与平面PCD 所成二面角为θ，121210n n cos n nθ⋅===⋅由于平面PCM 与平面PCD . 21.椭圆E:2213x y t +=的焦点在x 轴上，A 是E 的左顶点，斜率为k〔k>0〕的直线交E 于A ，M 两点，点N 在E 上，MA⊥NA. 〔Ⅰ〕当t=4，AM AN=时，求△AMN 的面积；〔Ⅱ〕当2AM AN=时，求k 的取值范围.【答案】〔Ⅰ〕14449；〔Ⅱ〕)2.【解析】试题分析：〔Ⅰ〕先求直线AM 的方程，再求点M 的纵坐标，最后求AMN 的面积；〔Ⅱ〕设()11,M x y ，写出A 点坐标，并求直线AM 的方程，将其与椭圆方程组成方程组，消去y ，用,t k 表示1x ，从而表示AM，同理用,t k 表示AN ，再由2AM AN=及t 的取值范围求k 的取值范围.试题解析：〔Ⅰ〕设()11,M x y ，那么由题意知10y >，当4t =时，E 的方程为22143x y +=，()2,0A -.由及椭圆的对称性知，直线AM 的倾斜角为4π.因此直线AM 的方程为2y x =+. 将2x y =-代入22143x y +=得27120y y -=.解得0y =或者127y =，所以1127y =.因此AMN 的面积AMNS11212144227749=⨯⨯⨯=. 〔Ⅱ〕由题意3t >，0k >，()A .将直线AM的方程(y k x =+代入2213x y t +=得()22222330tk x x t k t +++-=.由(221233t k tx tk -⋅=+得)21233tk xtk -=+，故1AM x ==.由题设，直线AN 的方程为(1y x k=-，故同理可得AN ==，由2AM AN=得22233ktk k t=++，即()()32321kt k k -=-.当k=因此()33212k k tk -=-.3t >等价于()()232332122022k k k k k k k -+-+-=<--， 即3202k k -<-.由此得320{20k k ->-<，或者320{20k k -<->2k <<.因此k 的取值范围是)2.【考点】椭圆的性质，直线与椭圆的位置关系【名师点睛】由直线〔系〕和圆锥曲线〔系〕的位置关系，求直线或者圆锥曲线中某个参数〔系数〕的范围问题，常把所求参数作为函数值，另一个元作为自变量求解． 22.函数2()(23)e =+--x f x x ax a ．〔1〕假设2x=是函数()f x 的一个极值点，务实数a 的值．〔2〕设0a <，当[1,2]x ∈时，函数()f x 的图象恒不在直线2e y =的上方，务实数a 的取值范围．【答案】〔1〕5a =-；〔2〕[2,0)--e ． 【解析】 【详解】〔1〕由()()223e x f x x ax a =+--可得()()()()222e 23e 23e x x xf x x a x ax a x a x a ⎡⎤=+++--=++--⎣⎦'，∵2x =是函数()f x 的一个极值点，∴()20f '=，∴()25e 0a +=，计算得出5a =-．代入()()()()()31e 21e x x f x x a x x x =++=--'-， 当12x <<时，()0f x '<；当2x >时，()0f x '>，∴2x=是()f x 的极值．∴5a =-． 〔2〕当[]1,2x ∈时，函数()f x 的图象恒不在直线2e y =上方，等价于[]1,2x ∈，()2e f x ≤恒成立，即[]1,2x ∈，()2max e f x ≤恒成立，由〔1〕知，()()()31e x f x x a x =++-'，令()0f x '=，得13x a =--，21x =，当5a ≤-时，32a --≥， ∴()f x 在[]1,2x ∈单调减，()()()2max 12e e f x f a ==--≤，e 2a ≥--与5a ≤-矛盾，舍去．当54a -<<-时，132a <--<，()f x 在()1,3x a ∈--上单调递减，在()3,2x a ∈--上单调递增，∴()max f x 在()1f 或者()2f 处取到，()()12f a e =--，()22f e =，∴只要()()212e f a e =--≤，计算得出e 24a --≤<-． 当40a -≤<时，31a --≤，()f x 在[]1,2x ∈上单调增，()()max 2x f x f e ==，符合题意，∴实数a 的取值范围是[)e 2,0--．。
2023-2024学年桂林市高二数学下学期入学联考试卷附答案解析
2023-2024学年桂林市高二数学下学期入学联考试卷2024.02注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.4.本试卷主要考试内容：北师大版选择性必修第一册.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．甲同学计划分别从3份不同的语文试卷、5份不同的数学试卷中各任选1份试卷练习，则不同的选法共有（）A ．8种B ．15种C ．53种D ．35种2．双曲线E ：22136x y -=的渐近线方程为（）A0y ±=B ．0x =Cy ±=D ．0x =3．下列四对向量中，垂直的是（）A ．()2,0,1a =，()1,1,2b =-- B ．()2,1,3a =，()1,1,1b =-- C ．()4,0,6a = ，()2,0,3b = D ．()3,1,1a = ，()1,2,2b =-- 4．9212x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，常数项为（）A ．672-B ．672C ．144-D ．1445．对两个变量的三组数据进行统计，得到以下散点图，关于两个变量相关系数的比较，正确的是（）A ．123r r r >>B ．231r r r >>C ．132r r r >>D ．321r r r >>6．在四面体ABCD 中，2,BM MC AN ND == ，则MN =（）A ．121332AB AC AD++B ．121332AB AC AD+-C ．121332AB AC AD --+ D ．121332AB AC AD -++ 7．从甲、乙等12人中任选5人，则甲、乙至多有1人被选中的选法共有（）A ．252种B ．420种C ．672种D ．10080种8．已知直线1l ：40mx y ++=与直线2l ：640x my m ---=交于点()00,P x y ，则2200x y +的最大值为（）A ．4B ．8C ．32D ．64二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9．已知随机变量()212,X N σ~，且()100.2P X <=，则下列说法正确的是（）A ．()140.2P X >=B ．()10140.6P X ≤≤=C ．若31Y X =+，则36EY =D ．若31Y X =+，则29DY σ=10．已知直线l ：()00x c c +=≠，O 为坐标原点，则（）A ．直线l 的倾斜角为120︒B ．若O 到直线l 的距离为1，则c ＝2C ．过O 且与直线l 平行的直线方程为0x +=D ．过O 且与直线ly -=11．若曲线1:2C y k x =+与曲线22:12xC y y +=有6个公共点，则k 的值可能是（）A ．B ．C ．D ．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12．直线1l ：230ax y +-=，2l ：250x ay a +++=，若12//l l ，则a =.13．已知抛物线2:8E y x =的焦点为F ，()00,M x y 是E 上一点，且043x MF =，则0x =．14．20242被9除的余数为.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．已知圆C 上有两个点A ()2,3，B ()4,9，且AB 为直径．(1)求圆C 的方程；(2)已知P ()0,5，求过点P 且与圆C 相切的直线方程．16．下表是某社区男、女居民对附近商场体验感评价的调查结果（单位：人）.评价居民评价高评价一般总计男居民30女居民35总计45100(1)完善上述表格数据，试问是否有99%的把握判断体验感评价与性别有关？(2)从评价高的居民中按性别采用分层随机抽样的方法选取6人，再从这6人中任选3人进行深度调查，记进行深度调查的男居民的人数为X ，求X 的分布列与期望.附：()()()()()22n ad bc a b c d a c b d χ-=++++，n a b c d =+++.当2 2.706χ≤时，没有充分的证据判断变量A ，B 有关联，可以认为变量A ，B 是没有关联的；当2 2.706χ>时，有90%的把握判断变量A ，B 有关联；当2 3.841χ>时，有95%的把握判断变量A ，B 有关联；当2 6.635χ>时，有99%的把握判断变量A ，B 有关联.17．如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是平行四边形，PAB 是边长为2的正三角形，平面PAB ⊥平面π,,4,3ABCD ABC BC E ∠==为棱PD 的中点．(1)证明：AC ⊥平面PAB ．(2)求直线BE 与平面PAC 所成角的正弦值．18．已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率为33，且椭圆C 的短轴长为26(1)求椭圆C 的方程．(2)设P 是椭圆C 上第一象限内的一点，A 是椭圆C 的左顶点，B 是椭圆C 的上顶点，直线PA 与y 轴相交于点M ，直线PB 与x 轴相交于点N ．记ABN 的面积为1S ，AMN 的面积为2S ．证明：12S S -为定值．19．某学校食堂每天中午为师生提供了冰糖雪梨汤和苹果百合汤，其均有止咳润肺的功效．某同学每天中午都会在两种汤中选择一种，已知他第一天选择冰糖雪梨汤的概率为23，若前一天选择冰糖雪梨汤，则后一天继续选择冰糖雪梨汤的概率为13，而前一天选择苹果百合汤，后一天继续选择苹果百合汤的概率为12，如此往复．(1)求该同学第二天中午选择冰糖雪梨汤的概率．(2)记该同学第n 天中午选择冰糖雪梨汤的概率为n P ，证明：37n P ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭为等比数列．(3)求从第1天到第10天中，该同学中午选择冰糖雪梨汤的概率大于苹果百合汤概率的天数．1．B【分析】利用分步乘法计数原理进行求解即可.【详解】根据分步乘法计数原理，不同的选法共有3515⨯=种.故选：B.2．A【分析】根据双曲线渐近线方程即可计算.【详解】由题意得3a =6b ，则其渐近线方程为2b y x a=±=±，0y ±=，故选：A.3．B【分析】根据两向量垂直的判定方法计算即可.【详解】对A ，因为2240a b ⋅=--=-≠，故两向量不垂直，故A 错误；对B ，因为2130a b ⋅=--+=，故两向量垂直，故B 正确；对C ，因为818260a b ⋅=+=≠，故两向量不垂直，故C 错误；对D ，因为32230a b ⋅=--+=-≠，故两向量不垂直，故D 错误；故选：B.4．A【分析】利用二项式展开式的通项公式，令x 的指数等于0，即可求得答案.【详解】9212x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的通项是()()92391991C 22·C ·,0,1,2,,9kkkk kk k T x xk x --+⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭，令390k -=，解得3k =，所以常数项为()333192C 672T +=-=-,故选：A ．5．C【分析】根据散点图中点的分布的特征，确定3个图对应的相关系数的正负以及大小关系，可得答案.【详解】由散点图可知第1个图表示的正相关，故10r >；第2，3图表示的负相关，且第2个图中的点比第3个图中的点分布更为集中，故23,0r r <，且23r r >，故230r r <<，综合可得231r r r <<，即132r r r >>，故选：C 6．C【分析】根据题意，结合空间向量的线性运算法则，准确计算，即可求解.【详解】如图所示，四面体ABCD 中，满足2,BM MC AN ND ==，可得()11113232MN MC CD DN BC AD AC AD AC AB AD AC=++=+--=-+- 121332AB AC AD =--+．故选：C.7．C【分析】分甲和乙其中一人被选中和甲乙均未被选中两种情况讨论即可.【详解】当甲和乙其中一人被选中的情况数共有12140C C ⋅种当甲或乙两人均未被选中的情况数共有510C 种不同挑选方法；则甲、乙至多有1人被选中的选法共有12101504C 2C C 22125267⋅+=⨯+=种不同挑选方法，故选：C ．8．D【分析】首先根据已知条件得到直线1l 恒过定点(0,4)B ，直线2l 恒过定点4(6,)A -，且12l l ⊥，根据交点()00,P x y 得到点P 在以AB 为直径的圆上，再利用点与圆的位置关系即可得到最值.【详解】由题知：直线10:4l mx y ++=恒过定点()0,4B -.直线2:640l x my m ---=化简为：(4)60x m y -+-=，当4y=-时，6x =，直线恒过点4(6,)A -.当0m =时，直线2l 的斜率不存在，直线1l 的斜率10k =，则12l l ⊥.当0m ≠时，1k m =-，21k m=，121k k ×=-，则12l l ⊥.综上：直线1l 恒过定点()0,4B -，直线2l 恒过定点4(6,)A -，且12l l ⊥.因为直线1l 与直线2l 交于点00(,)P x y ，所以点P 在以AB 为直径的圆上，线段AB 的中点坐标为()3,4C -，且6AB =，则其轨迹方程为()()22349x y -++=（除点()0,4-外），圆的半径3r =，因为2200x y +表示圆上的点到原点距离的平方，设d =则max 8d r OC =+=，所以2200x y +的最大值为64.故选：D.9．ABD【分析】根据正态分布的对称性即可判断AB ，根据正态分布的均值与方差的性质即可判断CD.【详解】对A ，由题意得()()14100.2P X P X >=<=，故A 正确；对B ，()()101412100.6P X P X ≤≤=-<=，故B 正确；对C ，12EX =，因为31Y X =+，则123137EY =⨯+=，故C 错误；对D ，因为31Y X =+，则22293DY σσ==，故D 正确；故选：ABD.10．CD【分析】根据直线l 方程，得直线的倾斜角，可判断A ；根据点到直线的距离公式计算可判断B ，根据与知直线平行或垂直的直线方程求法可判断CD .【详解】直线l 可化为：y x =，所以斜率3k =-，得倾斜角为150︒，故A 错误；由点到直线的距离公式得1d =，得2c =，所以2c =±，故B 错误；设与直线l平行的直线方程为0x n +=，因为平行直线方程经过原点，所以0n =，即平行直线方程为0x =，故C 正确；设与直线l0y m -+=,因为垂直直线方程经过原点，所以0m =，0y -=，故D 正确.故选：CD .11．ACD【分析】首先根据22:12x C y y +=，确定2C 是由椭圆2212x y +=的上半部分与双曲线2212x y -=的下半部分组合而成的，然后根据直线与曲线有6个公共点，结合图象求解即可.【详解】当0y ≥时，2212x y +=，当0y ≤时，2212xy -=，所以2C 是由椭圆2212x y +=的上半部分与双曲线2212x y -=的下半部分组合而成的．1C 过定点()0,2．如图，由222,1,2y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()2212860k x kx +++=，由()22Δ6424120k k =-+=，得2k =±．由222,1,2y kx x y =+⎧⎪⎨-=⎪⎩得()22128100k x kx ---=，由()22Δ6440120k k =+-=，得k =因为1C 与2C 有6个公共点，所以0k <，由图可知，k的取值范围为⎛ ⎝⎭．故选：ACD.12．2【分析】根据两直线平行，列式计算.【详解】因为12l l //，所以2325a a a -=≠+，解得2a =或2-（舍），2a ∴=.故答案为：2.13．6【分析】根据抛物线的定义及焦半径公式计算即可.【详解】由题可知()00042,0263x F MF x x ⇒=+=⇒=．故答案为：614．4【分析】整理变形得2024674248=⨯，再根据674(91)-的展开式通项即可得到答案.【详解】()67420242367422248=⨯=⨯，6746746741673167316736746748(91)9C 9(1)C 9(1)1=-=+-++-+ ，故20242被9除的余数为4.故答案为：4.15．(1)()()223610x y -+-=(2)35y x =-+【分析】（1）由中点坐标公式求出圆心C 坐标，再求出半径，即可得到圆的方程；（2）先判断点P 在圆C 上，再求得直线PC 的斜率，从而得到切线的斜率，即可求解.【详解】（1）因为圆C 的直径为AB ，故其圆心为C ()3,6，其半径为12AB ==故圆C 的方程为：()()223610x y -+-=．（2）因为()()22035610-+-=，故P 在圆C 上，连接PC ，而直线PC 的斜率：561033PC k -==-，故圆C 在P 处的切线的斜率为3k =-，故所求切线的方程为：35y x =-+．16．(1)有关(2)分布列见解析，数学期望为2.【分析】（1）根据独立性检验的基本思想需要计算2χ的值并与6.635比较得出结论；（2）由分层抽样可知6名居民中男的有4人，女的有2人，分别计算1),2),3)P X P X P X (=(=(=，列出分布列并求均值.【详解】（1）评价居民评价高评价一般总计男居民302050女居民153550总计455510022100(30352015)1009.091 6.6355050455511χ⨯-⨯==≈>⨯⨯⨯ ，∴99%的把握判断体验感评价与性别有关；（2）评价高的居民男女比例为2:1，则6人中，男居民4人，女居民2人，则X 的可能取值为1,2,3，124236C C 411)C 205P X (====，214236C C 1232)C 205P X (====，3436C 413)C 205P X (====，故随机变量X 的分布列为：X 123P 153515131)1232555E X (=⨯+⨯+⨯=．17．(1)证明见解析【分析】（1）根据余弦定理，结合勾股定理的逆定理、面面垂直的性质定理进行证明即可；（2）建立空间直角坐标系，利用空间夹角公式进行求解即可.【详解】（1）22212cos 416224122AC AB BC AB BC ABC =+-⋅⋅∠=+-⨯⨯⨯= ，222AC AB BC ∴+=，即AC AB ⊥．平面PAB ⊥平面ABCD ，平面PAB ⋂平面ABCD AB =，AC ⊂平面ABCD ，AC ∴⊥平面PAB ．（2）如图，分别取,AB BC 的中点,O F ，连接,OP OF ．,OF AC OF ∴⊥ //平面PAB ．以O 为坐标原点，,,OBOF OP 的方向分别为,,x y z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则()(()()1,0,0,,1,0,0,1,2B P A C --，()333,,3,22D E ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭，(()51,0,,0,,,22PA AC BE ⎛=-==- ⎝⎭ ．设(),,n x y z = 是平面PAC的法向量，则0,0,n PA x n AC ⎧⋅=-=⎪⎨⋅==⎪⎩，令1z =，得x =()n = ．故直线BE 与平面PAC所成角的正弦值为cos ,BE n BE n BE n ⋅= ．18．(1)22196x y +=(2)证明见解析【分析】（1）根据题意，列出关于,,a b c 的方程，代入计算，即可求得结果；（2）根据题意，分别表示出点,M N 的坐标，从而表示出12,S S ，然后结合椭圆的方程，代入计算，即可证明.【详解】（1）由题可知，2222c a b a b c ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得3a b c =⎧⎪⎨⎪=⎩故椭圆C 的方程为22196x y +=．（2）证明：设()00,P x y ，则直线PA 的方程为()0033y y x x =++，令0x =，得0030,3y M x ⎛⎫ ⎪+⎝⎭．直线PB的方程为00y y x x =，令0y =，得N ⎫⎪⎪⎭．112S AN OB =2132S =，012031323y S S x -=-+=由2200196x y +=，得22006954x y +=，==故12S S -为定值．19．(1)718；(2)证明见解析；(3)同学只有1天中午选择冰糖雪梨汤的概率大于苹果百合汤的概率.【分析】（1）利用条件概率公式计算即得.（2）利用全概率公式列式，再利用构造法证明即得.（3）由（2）求出数列的通项公式，再分奇偶解不等式得解.【详解】（1）设1A 表示第一天中午选择冰糖雪梨汤，2A 表示第二天中午选择冰糖雪梨汤，则1A 表示第一天中午选择苹果百合汤.根据题意得()()()()11212121111,,|,|133322P A P A P A A P A A ====-=，()()()()()212112121117||333218P A P A P A A P A P A A =+=⨯+⨯=.（2）设n A 表示第n 天中午选择冰糖雪梨汤，则()(),1n n n n P P A P A P ==-，根据题意得()()11111|,|1322n n n n P A A P A A ++==-=，由全概率公式得()()()()()()11111||132n n n n n n n n n P A P A P A A P A P A A P P +++=+=+-1162n P =-+，即11162n n P P +=-+，不妨设()116n n P P λλ++=-+，即11166n n P P λλ+=---，所以1162λλ--=，解得37λ=-，则1313767n n P P +⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，又1350721P -=≠，所以37n P ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是以521为首项，16-为公比的等比数列.（3）由（2）得，13517216n n P -⎛⎫=+⨯- ⎪⎝⎭.由题意，只需1n n P P >-，即1(1,2,,10)2n P n >= ，则1351172162n -⎛⎫+⨯-> ⎪⎝⎭，即113(1,2,,10)610n n -⎛⎫->= ⎪⎝⎭ .显然n 必为奇数，偶数不成立.当1,3,5,7,9n =时，有111136610n n --⎛⎫⎛⎫-=> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.当1n =时，显然成立.当3n =时，2130610⎛⎫-< ⎪⎝⎭，所以当3n =时不成立.因为116n y -⎛⎫= ⎪⎝⎭单调递减，所以5,7,9n =也不成立.综上，该同学只有1天中午选择冰糖雪梨汤的概率大于苹果百合汤的概率.【点睛】关键点点睛：利用全概率公式求随机事件B 的概率问题，把事件B 分拆成两个互斥事件AB 与AB 的和，再利用条件概率公式计算是解决问题的关键.。
四川省绵阳2023-2024学年高二下学期入学考试 数学含答案
2024年2月绵阳2024年春高2022级高二下入学考试试题数学（答案在最后）命题人：一、选择题：本题共8小题，每题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.1.在空间直角坐标系O-xyz 中，点M (2,−3,1)关于原点对称的点的坐标为（）A.(−2,−3,−1)B.(2,3,−1)C.(−2,3,1)D.(−2,3,−1)2.等差数列{a n }中，若a 1=−1，a 4=5，则公差d=（）A ．2B ．3C ．4D ．53.圆22(3)(2)1x y -++=与圆22(7)(1)16x y -+-=的位置关系是（）A.相交B.内切C.外切D.内含4.若双曲线的虚轴长是实轴长的3倍，且与椭圆22195x y +=有公共焦点，则该双曲线的标准方程为（）A.2213y x -= B.2213x y -= C.22126x y -= D.22162x y -=5.已知数据1210,,,x x x 的平均数为a ，标准差为b ，中位数为c ，极差为d ．由这组数据得到新数据1210,,,y y y ，其中()211,2,,10i i y x i =+= ，则下列命题中错误的是（）A ．新数据的平均数是21a +B ．新数据的标准差是4bC ．新数据的中位数是21c +D ．新数据的极差是2d6.如图，已知四面体ABCD 的棱长都是2，点M 为棱AD 的中点，则AB CM ⋅的值为（）A.1B.1- C.2- D.27.连续两次抛掷一枚质地均匀的骰子，观察它落地时朝上面的点数.事件1A =“第一次得到的数字是2”；事件2A =“第二次得到的数字是奇数”；事件3A =“两次得到数字的乘积是奇数”；事件4A =“两次得到数字的和是6”.则（）A.事件1A 和事件2A 对立B.事件2A 和事件4A 互斥C.事件1A 和事件4A 相互独立D.()()232P A A P A =8.抛物线2:4C y x =的焦点为,F N 为C 上一点，且N 在第一象限，直线FN 与C 的准线交于点M ，过点M 且与x 轴平行的直线与C 交于点P ，若||2||MN NF =，则MPF △的面积为（）A ．8B ．12C ．D ．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.在男子跳水10米台比赛中，某运动员发挥出色.在他的第一跳中，10位裁判给出的分数为：9.3，9.0，9.1，10，9.5，9.5，10，9.7，9.9，10，对该组数据下列说法正确的有（）A.众数为10B.平均数为9.5C.极差为9D.中位数为9.610.下面四个结论正确的是（）A ．数列的项数是无限的B ．数列的图像是一系列孤立的点C ．数列1，2，3，4和数列1，3，4，2是相同的数列D ．数列可以看作是一个定义在正整数集（或它的有限子集{1,2,3,…,n }）上的函数11.已知ABC 的顶点()5,1A ，边AB 上的中线CM 所在直线方程为250x y --=，边AC 上的高BH 所在直线方程为250x y --=，则下列说法正确的有（）A.直线AC 的方程为2110x y +-=B.过点A 且平行于CM 的直线的方程为290x y --=C.点C 的坐标为()4,3 D.边AC 的垂直平分线的方程为210x y --=12.双曲线2221(0)16x y a a -=>的左、右焦点分别为12,F F ，下列说法正确的有（）A.若双曲线的一条渐近线过圆x 2+y 2-6x+8y=0的圆心，则3=aB.若双曲线的焦距为10，N 为双曲线上一点，且17=NF ，则21=NF C.若点M 为该双曲线上的一点，且122MF MF MO -=，则1216F MF S =△D.过双曲线的右焦点2F 引圆x 2+y 2=a 2的切线，切点为P ，延长2F P 交双曲线左支于Q ，若22QP PF =,则双曲线的离心率为2三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡上.13.高二年级选择“理化生”，“理化地”，“史政地”和“史政生”组合的学生人数分别为480，40，120和80，现采用分层抽样的方法从这些学生中选出72人参加一项活动，则“史政生”组合中选出的学生人数______.14.如图所示，圆锥的轴截面是边长为2的正三角形，F 为A 的中点，E 为SB 的中点，则直线SA 与EF 所成角的大小为______.15.九宫格的起源可以追溯到远古神话中的洛书，洛书上的图案正好对应着从1到9九个数字，并且纵向、横向、斜向三条线上的三个数字的和（这个和叫做幻和）都等于15，即现代数学中的三阶幻方，已知幻和等于15的九宫格共有8种.根据洛书记载：“以五居中，五方皆为阳数，四隅为阴数”，其意思为：九宫格中5位于居中位置，四个顶角为偶数，其余位置为奇数.如图所示，若随机填写一组幻和等于15的九宫格数据，记事件“8=+≥A a c ”，则()P A 的值为______.16.已知椭圆2214x y +=的左、右顶点分别为,A B ，动点()()1122,,,P x y Q x y 均在椭圆上，O 是原点，记OP 和OQ 的斜率分别为12,k k ；OBP 与OAQ 的面积分别为12,S S .若1212k k =-，则12S S 的最大值为______.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.等级排名占比13%，赋分分数区间是41－55现从全年级的生物成绩中随机抽取100名学生的原始成绩（未名学生的原始成绩的中位数（中位数结果保留两位小数）；用样本估计总体的方法，估计该校本次生物成绩原始分至少多少分才能达到赋分后的B 等级及以上(含18.(12分)已知()()2,4,1,1,A B O -为坐标原点，圆C 为AOB 的外接圆.(1)求圆C 的标准方程；(2)过原点的直线l 被圆C 截得的弦长为l 的方程.19.(12分)已知数列{}n a 为等差数列，且479,6a a =-=-.(1)求{}n a 的通项公式；(2)记n S 为{}n a 的前n 项和，若13n S >，求n 的最小值.20.(12分)如图，在三棱台111ABC A B C -中，若1A A ⊥面ABC ，111,3,1AB AC AB AC AA AC ⊥====，空间中,D E 两点分别满足12112,3233AD AC AA AE AB AC =+=+ .(1)证明：//DE 平面11ABB A ；(2)求平面11ABB A 与平面ADE 的夹角的余弦值.21.(12分)某企业为了推动技术革新，计划升级某电子产品，该电子产品核心系统的某个部件G 由2个电子元件组成.如图所示，部件G 是由元件A 与元件B 组成的串联电路，已知元件A 正常工作的概率为23，元件B 正常工作的概率为45，且元件,A B 工作是相互独立的.(1)求部件G 正常工作的概率；(2)为促进产业革新，该企业计划在核心系统中新增两个另一产地的电子元件，使得部件G 正常工作的概率增大.已知新增元件正常工作的概率为(0.81)p p ≤<，且四个元件工作是相互独立的.现设计以下三种方案：方案一：新增两个元件都和元件A 并联后，再与B 串联；方案二：新增两个元件都和元件B 并联后，再与A 串联；方案三：新增两个元件，其中一个和元件A 并联，另一个和元件B 并联，再将两者串联.则该公司应选择哪一个方案，可以使部件G 正常工作的概率达到最大?22.(12分)已知抛物线22(0)y px p =>上一点D 到焦点F 的距离为3，点D 到y 轴的距离恰为p .(1)求点D 的坐标；(2)过点()5,2M -的直线与抛物线相交于,A B 两点，抛物线上是否存在一定点P ，使得点P 始终在以线段AB 为直径的圆上?若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由绵阳2024年春高2022级高二下入学考试参考答案数学命题人：一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.1.D2.A3.C4.A5.B6.B7.D8.C二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.AD10.BD11.ABC12.ACD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡上.13.814.π415.3416.23四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18.(12分)解：(1)设AOB 的外接圆的方程为220x y Dx Ey F ++++=.,,A B O 均在圆C 上，416240,110,0.D E F D E F F ++++=⎧⎪∴+-++=⎨⎪=⎩ (3)解得2,40.D E F =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩，所以圆C 的方程为22240x y x y +--= (5)所以圆C 的标准方程为22(1)(2)5x y -+-=.……………………………………6(2)由（1）知圆心()1,2Cl 被圆C截得的弦长为，所以点C 到直线l的距离为22d ==.………………………………8当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y kx =，2=，两边同时平方得2244112k k k -+=+，解得1k =或7k =.……10当直线l 的斜率不存在时，不满足条件.所以直线l 的方程为0x y -=或70x y -= (12)20.(12分)解：(1)132AD AC AA =+ ，33AE AB AC=+11211211323323ED AD AE AC AA AB AC AA AB ⎛⎫∴+-==+= ⎪⎝--⎭， (2)由向量共面的充要条件可知，向量1,,ED AA AB共面，又DE ⊄平面11ABB A ， (4)//DE ∴平面11ABB A ； (5)(2)1AA ⊥ 平面ABC ，,AB AC ⊂平面ABC .11,AA AB AA AC ∴⊥⊥.又因为AB AC ⊥，所以1,,AB AC AA 两两互相垂直.以A 为坐标原点，1,,AB AC AA 所在直线分别为,,x y z 轴建立如图所示空间直角坐标系-A xyz (7)于是()()10,0,0,(0,0,3),(3,0,0),0,3,0A A B C ，则()1((3,0,00,0,3),0,3,0,),A C B AA A ===因为1213(0,3,0)(0,0,3)(0,2,)3222132AD AC AA ==++= ，12(3,0,0)(0,3,0)(1,2,0)331233AE AB AC ===++ ,取平面11ABB A 的一个法向量为()0,3,0AC =.……………………………………9设平面ADE 的法向量(),,m x y z =，平面11ABB A 与平面ADE 的夹角为θ，由00m AD m AE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，得320220y z x y ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩，令4z =，得6,3x y ==-，则()6,3,4m =- (119361)cos cos ,61361AC m AC m AC mθ⋅-∴====⋅ .所以，平面11ABB A 与平面ADE 的夹角的余弦值为36161.……………………1221.(12分)解：(1)记事件11,A B 分别表示元件,A B 正常工作，则()()1124,35P A P B ==，…………………………………………………………2事件E 表示G 正常工作，由元件,A B 工作是相互独立的.则()()()()11112483515P E P A B P A P B ===⨯=.…………………………………4(2)设方案一、二、三正常工作的概率分别为123,,P P P ，设新增的两个元件为元件,C D ，记事件11,C D 分别表示新增的两个元件正常工作，则()()11P C P D p ==.事件1111,,,C A B D 分别表示元件,,,A B C D 不正常工作，由于四个元件工作相互独立，则()()()111111111P P A C D B P A C D P B ==⎡⎤⎣⎦()()()()()()1111111111P P B P P A P C D A C D P B ⎡⎤⎡⎤=-=-⎣⎦⎣⎦.所以22114441(1)(1)35515P p p ⎡⎤=-⨯-⨯=--⎢⎥⎣⎦；………………………………6同理得：22221221(1)(1)35315P p p ⎡⎤=⨯--=--⎢⎥⎣⎦；……………………………8()()()()31111111243515P p p p p ⎡⎤⎡⎤=--⨯--=++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ (10)又因为212220.81,(1)01515p P P p ≤<-=-->，()21312152031515P P p p p p -=-+=-+<，所以选择方案三可以使部件G 正常工作的概率最大.……………………………1222.(12分)解：(1)设()00,D x y ，焦点,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，由题可知0032p x x p⎧+=⎪⎨⎪=⎩，……………………………………………………………2解得02x p ==，所以208y =，所以点D的坐标为(2,± (3)(2)由（1）知抛物线的方程为24y x =，设22212120,,,,,444y y y A y B y P y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，因为直线AB 的倾斜角不为0，设直线AB 的方程为()52x t y -=+，如下图所示：由()2524x t y y x⎧-=+⎨=⎩消去x ，得()248200y ty t --+= (5)()()22Δ16482016250t t t t =++=++>则()12124,820y y t y y t +==-+ (6)由以线段AB 为直径的圆与该抛物线交于点200,4y P y ⎛⎫⎪⎝⎭，当P 与,A B 之一重合时，满足题意；当P 与,A B 均不重合时，则,PA PB 的斜率均存在，记为12,k k ，且满足121k k ×=-.101221010444y y k y y y y -==+-，同理2204k y y =+，所以()122102012012044161k k y y y y y y y y y y ⋅=⋅==-+++++.即()2120120160y y y y y y ++++=.…………………………………………………9又因为()12124,820y y t y y t +==-+，所以2008204160t ty y --+++=.整理得()2004240t y y -+-=.当02y =时，上式恒成立，即P 为定点.................................................11所以存在抛物线上的定点()1,2P 始终在以线段AB 为直径的圆上. (12)。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
新津中学高2015级高二（下）入学考试（数学）
一、选择题（每题5分，共60分） 1.下列命题中是假命题的是（ ） A.若a b ⋅=0（a 0≠，0b ≠），则a b ⊥ B.若|a |=|b |，a b = C.若ac 2
>bc 2
，则a>b
D.5>3
2.将十进制数93化为二进制数为（ ） A.1110101（2）
B.1010101（2）
C.1111001（2）
D.1011101（2）
3.袋中有2个白球，2个黑球，从中任意摸出2个，则至少摸出1个黑球的概率是（ ） A.
3
4
B.
56
C.
16
D.
13
4.经过椭圆2
212
x y +=的一个焦点作倾斜角为45。
的直线l 交椭圆于A 、B 两点两点，设O 为坐标原点，则OA OB ⋅=（ ） A.-3
B.-
13 C.-1
3
或-3 D. 1
3
±
5.直线x+(a 2
+1)y+1=0(a ∈R)的倾斜角的取值范围是（ ）
A.[0，4π
] B.[
34
π
，π） C.[0，4π]⋃（2
π
，π）
D.[ 4π，2π）⋃[34
π，π）
6.在直平面直角坐标系中，若不等式组101010x y x ax y +-≥⎧⎪
-≤⎨⎪-+≥⎩
（a 为常数）所表示的平面区域的面积为2，
则a 的值为（ ） A.-5
B.1
C.2
D.3
7. 有五条线段长度分别为1,3,5,7,9，从这5条线段中任取3条，则所取3条线段能构成一个三角形的概率为（ ）
A ．
101 B ．103 C ．21 D ．10
7 8.已知点A （1，1）和直线l ：x+y-2=0，那么到定点A 的距离和到定直线l 距离相等的点的轨迹为（ ） A.椭圆
B.双曲线
C.抛物线
D.直线
9.已知圆C ：(x-1)2
+(y-2)2
=25及直线l ：(2m+1)x+(m+1)y=7m+4(m ∈R)，则直线l 过的定点及直线与
圆相交得的最短弦长分别为（ ） A.（3，1），45
B.（2，1），45
C.（-3，1），43
D.（2，-1），33
10.已知双曲线2222x y a b -=1（a>0,b>0）的右焦点F ，直线x=2a c
与其渐近线交于A 、B 两点，与x 轴
交于D 点，且ABF 为钝角三角形，则离心率取值范围是（ ） A.（3，+∞）
B.（1，3）
C. （2，+∞）
D.（1，2）
11.已知直线1l ：4x -3y+6=0和直线2l ：x=-1抛物线y 2
=4x 上一动点P 到直线1l 和直线2l 的距离之和的最小值是（ ） A.2
B.3
C.
11
5
D.
(HA)C(OH )
-c(A )
c -•
12. 若在曲线f （x ，y ）=0上两个不同点处的切线重合，则称这条切线为曲线f （x ，y ）=0的“自公切线”。
下列方程： ①2
2
1x y -=；
②2
||y x x =-，
③3sin 4cos y x x =+； ④2||14x y +=
-
对应的曲线中存在“自公切线”的有（ ） A ．①② B ．②③ C ．①④ D ．③④
二、填空题（共16分）
13.已知命题P ：“[0,1]x ∀∈，a e x ≤”，命题q ：“x R ∃∈，x 2
+4x+a=0”，若命题“P q ∧”是真命题，则实数a 的取值范围是 .
14.在区间[0，2]上随机地取一个数x ，则事件“-1≤1
()
2
1
2log x +≤1”
发生的概率为 .
15.执行如图所示的程序框图，若输入n 的 值为8，则输出S 的值为 .
16.设P 是抛物线y 2
=4x 上的一动点，B （3，2）则|PB|+|PF|的最小值为 . 三、解答题（共74分）
17.已知P：2x2-3x-2≥0，q：x2-2(a-1)x+a(a-2)≥0，若P是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围。
18.求下列在直线l的方程
（1）过点A（0，2），它的倾斜角为正弦值是3
5
；
（2）过点A（2，1），它的倾斜角是直线
1
l：3x+4y+5=0的倾斜角的一半；（3）过点A（2，1）和直线x-2y-3=0与2x-3y-2=0的交点。
19.已知动点P与平面上的两点A（2，0）,B2，0）连线的斜率的积为定值-1
2
，
（1）试求动点P的轨迹方程C；
（2）设直线l：y=kx+1与曲线C交于M、N两点当42
时，求直线l的方程。
20. （本题满分12分）某市为增强市民的环境保护意识，面向全市征召义务宣传志愿者。
把符合条件的1000名志愿者按年龄分组：第1组［20,25）、第2组［25,30）、
第3组［30,35）、第4组［35,40）、第5组［40,45），得到的频
率分布直方图如图所示：
（1）分别求第3,4，5组的频率；
（2）若从第3、4、5组中用分层抽样的方法抽取6名志愿者参
加广场的宣传活动，应从第3、4、5组各抽取多少名志愿者？
（3）在（2）的条件下，该市决定在这6名志愿者中随机抽取2名志愿者介绍宣传经验求第4组至少有一名志愿者被抽中的概率；
21.已知双曲线
22
22
x y
a b
=1（a>0,b>0）的离心率为3，且过点（2，2）
（1）求双曲线C的方程；
（2）已知直线x-y+m=0与双曲线c交于不同的两点A、B，且线段AB的中点在圆x2+y2=5上，求m 的值。
22. 已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为1
2
，以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆
与直线0x y -=相切，过点P （4，0）且不垂直于x 轴直线l 与椭圆C 相交于A 、B 两点。
（1）求椭圆C 的方程； （2）求⋅的取值范围；
（3）若B 点在于x 轴的对称点是E ，证明：直线AE 与x 轴相交于定点。
高2015级高二（下）入学考试（数学）答案
一、选择题
123456789101112
B D B B B D B D A D A B
二、填空题
13.[e,4] 14. 3
4
15. 8 16. 4
三、解答题。