2014淮南二模数学理科

淮南市2014届高三第二次模拟考试

数学试题 (理科)

满分150分考试时间120分钟 第 I 卷 (选择题共50分 )

一、选择题(每小题5分,共50分，每小题只有一个选项是符合题目要求的)

1. 已知复数1

23

+=i i z ，则z 的虚部是（ ）. A .

51 B. 51- C. i 51- D. 5

2- 2. 设集合A={x |1x x -＜0},B={x |0＜x ＜3},那么“m ∈A ”是“m ∈B ”的（ ）. A. 充分而不必要条件

B. 必要而不充分条件

C. 充要条件

D. 既不充分也不必要条件

3. 已知函数ππ()sin()(0,)

f x x ωϕωϕ=+>-<<的部分图象如图所示，则ϕ的值为（ ）.

第3题

4. 执行如图中的程序框图，若输出的结果为10,则判断框中应填（ ）. A. i < 3 B. i < 4 C. i < 5 D. i < 6

5．袋中有大小相同的编号为1到8的球各一只，自袋中随机取出两球，设η为取出两球中的较小编号，若k p 表示η取值为k )7,2,1( =k 的概率，则满足8

1>

k p 的k p 个数是（ ）. A. 5 B. 4 C . 3 D.

2 6. 设12,F F 是双曲线22

22:1(0,0)x y C a b a b

-=>>的两个焦点, P 是C 上一点,若126,PF PF a +=且第4题

第 页

2 12PF F ∆的最小内角为30,则C 的离心率为( )

B.

7. 平面上满足线性约束条件⎪⎩

⎪⎨⎧≤--≤+≥01002y x y x x 的点),(y x 形成的区域为M ,区域M 关于直线x y 2=对称的

区域为N ,则区域M ，N 中距离最近的两点间的距离为（ ）

A ．556

B ．5512

C ．538

D ．5

316 8. 已知函数⎩⎨⎧>≤-=)0()0(13)(x e x x x f x ,若方程0)(=-kx x f 恰有两个不同的实根时，则实数k 的取值范

围是（其中e 为自然对数的底数） ( ).

),1.(e A []3,1.B ),3.(+∞C

(]3,.e D 9.已知数列{}n a 的通项公式为),(,1)1(1

*∈+++=N n n n n n a n 其前n 项和为n S ，则在数列

2014

321,,,,S S S S 中，有理项的项数为（ ） A . 42 B. 43 C . 44 D. 45

10.如图，在三棱锥ABC P -中,PC PB PA ,,两两互相垂直，且1,2,3===PC PB PA ,设M 是底面三角形ABC 内一动点，定义：),,()(p n m M f =，其中p n m ,,分别表示三棱锥

PAC M PBC M PAB M ---,,的体积，若),2,21()(y x M f =，且81≥+y

a x 恒成立，则正实数a 的最小值是（ ）

A . 22+

B . 22- C. 223- D. 246-

第 II 卷 (主观题 共100分 )

二、填空题（每小题5分，共25分）

第 页 3 11． 512a x x x x ⎛⎫⎛⎫+- ⎪⎪⎝

⎭⎝⎭的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为 12. 设扇形的圆心角为3

2π，面积为π3，若将它围成一个圆锥，则此圆锥的体积是 13. 在平面直角坐标系中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，两种坐标系取相同的单位

长度．已知曲线 54532:1⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧=+=t y t x C （t 为参数）

和曲线θθρcos 2sin :22=C 相交于A B 、两点，设线段AB 的中点为M ，则点M 的直角坐标为 ．

14. 下表中的数阵为“森德拉姆数筛”，其特点是每行每列都成

等差数列，记第i 行第j 列的数为ij a 则数字73 在表中出现的

次数为

15.考虑向量)1,,(),0,,(d c b a ==，其中12222=+=+d c b a 。如下说法中正确的有

（1）向量n 与z 轴正方向的夹角恒为定值（即与d c ,值无关）；

（2）∙的最大值为2；

（3）><,（,的夹角）的最大值为

43π； （4）bc ad -的值可能为4

5； （5）

若定义><=⨯,

的最大值为2。

则正确的命题是 ．（写出所有正确命题的编号）

三、解答题（本大题6小题，共75分，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤）

16. （本题满分12分）在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边长分别为a 、b 、c ，且1cos 22

A C +=． （1）若3a =

，b =，求c 的值；

（2）若(

))

sin sin f A A

A A =-，求()f A 的取值范围．

17. （本题满分12分）在某次数学复习检测中，老师从做过的B A ,两套试卷中共挑选出6道试题，若这6道试题被随机地平均分给甲、乙、丙三位同学练习，且甲同学至少有一道试题来自A 试卷的概率是

5

3。

第 页 4 （1）求这6道试题来自B A ,试卷各有几道试题；

（2）若随机变量X 表示甲同学的试题中来自A 的试题数，求X 分布列和数学期望。

18. （本题满分12分）如图，在四棱锥ABCD P -中，22===AB CD AD ，,//,CD AB AD PA ⊥,AD CD ⊥E 为PC 的中点，且EC DE =．

（1）求证：ABCD PA 面⊥；

（2）设a PA =，若平面EBD 与平面ABCD 所成锐二面角

)3

,4(ππθ∈，求a 的取值范围． 19. （本题满分12分）已知函数,12)(1+=x x f ))(()(11x f f x f n n =+,且2

)0(1-)0(a +=n n n f f （1）求证:}{a n 为等比数列,并求其通项公式;

（2）设）（，（*1-n 131211)n (2a )1-b N n n

g n n ∈++++== , 求证:22)b (+≥n g n . 20. （本题满分13分）已知椭圆12

:22

=+Γy x ，点B 的坐标为)1,0(-，过点B 的直线交椭圆Γ于另一点A ,且AB 中点E 在直线x y =上，点P 为椭圆Γ上异于B A ,的任意一点。

（1）求直线AB 的方程，;

（2）设A 不为椭圆顶点,又直线BP AP ,分别交直线x y =于N M ,两点,证明：∙为定值.

21. （本题满分14分） 已知函数

()(2)(1)2ln f x a x x =---，()1x g x e x =-+.（a 为常数，e 为自然对数的底）

（1）当1a =时，求()f x 的单调区间；

（2）若函数()f x 在区间10,2⎛

⎫ ⎪⎝⎭

上无零点，求a 的最小值； （3）若对任意给定的(]00,1x ∈，在(]0,e 上总存在两个不同的(1,2)i x i =，使得0()()i f x g x =成立，求a 的取值范围．