必修五——线性规划无数个最优解问题、乘1问题-答案

必修五——线性规划无数个最优解问题、乘1问题

答案和解析

【答案】

1.D

2.A

3.C

4.C

5.A

6.B

7.D

8.B

9.C 10.B 11.B

【解析】

1. 解：作出不等式组{x +y ≥1

x −y ≥−12x −y ≤2

表示的平面区域，

得到如图的△ABC 及其内部，其中A （1，0），B （0，1），C

（3，4）

设z =F （x ，y ）=ax +by （a ＞0，b ＞0），将直线l ：z =ax +by

进行平移，

当l 经过点C 时，目标函数z 达到最大值

∴z 最大值=F （3，4）=3a +4b =7，可得17（3a +4b ）=1因此，3a +4b =17

（3a +4b ）（3a +4b ）=17（25+12b a +12a

b ）

∵12b

a +12a

b ≥2√12b

a ⋅12a

b =24∴17（25+24）≥17×49=7，

即当且仅当a =b =1时，3a +4b 的最小值为7故选：D

作出题中不等式组表示的平面区域，得如图的△ABC 及其内部，再将目标函数z =ax +by 对应的直线进行平移，可得当x =3，y =4时，z 最大值为3a +4b =7．然后利用常数代换结合基本不等式，可得当且仅当a =b =1时，3a +4

b 的最小值为7．

本题给出二元一次不等式组，在已知目标函数z =ax +by 最大值为7的情况下求3a +4b 的最小值．着重考查了运用基本不等式求最值和简单的线性规划等知识，属于中档题．

2. 解：满足约束条件{x +y −4＜0y ≥x x ≥0的可行域如下图所示

∵y−5x−1表示可行域内一点（x ，y ）与P （1，5）连线的斜率

又∵k PA =5−41−0=1，k PB =5−22−1=-3，

∴y−5x−1的范围是（-∞，-3）∪（1，+∞）

故选A

画出满足约束条件的可行域，分析目标函数的几何意义，数形结合即可分析出目标函数的取值范围．

本题考查的知识点是简单线性规划的应用，其中分析出目标函数的几何意义是表示可行域内一点（x ，y ）与P （1，5）连线的斜率是解答的关键．

3. 解：由约束条件{y ≥0

y −x +1≤0y −2x +4≥0作出可行域如图，

由z =y -ax （a ≠0），得y =ax +z ，

∵a ≠0，

∴要使z =y -ax （a ≠0）取得的最优解（x ，y ）有无数个，

a 不能为负值，当a ＞0时，直线y =ax +z 与线段AC 所在直线重合时，使z =y -ax 取得最大值的最优解有无数个；

直线y =ax +z 与线段BC 所在直线重合时，使z =y -ax 取得最小值的最优解有无数个．

综上，要使z =y -ax （a ≠0）取得的最优解（x ，y ）有无数个，则a =1或2．

故选：C ．

由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，结合可行域即可看出使z =y -ax （a ≠0）取得的最优解（x ，y ）有无数个的a 值．

本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．

4. 解：依题意，满足已知条件的三角形如下图示：

令z =0，可得直线x +my =0的斜率为-1m ， 结合可行域可知当直线x +my =0与直线AC 平行时，

线段AC 上的任意一点都可使目标函数z =x +my 取得最小值，

而直线AC 的斜率为1−33−1=-1，

所以-1m =-1，解得m =1，

故选C ．

增加网友的解法，相当巧妙值得体会！请看：

依题意，1+3m =5+2m ＜3+m ，或1+3m =3+m ＜5+2m ，或3+m =5+2m ＜1+3m 解得m ∈空集，或m =1，或m ∈空集，

所以m =1，选C ．

评析：此解法妙在理解了在边界处取到最小值这个命题的内蕴，区域的三个顶点中一定有两个顶点的坐标是最优解，故此两点处函数值相等，小于第三个顶点处的目标函数值，本题略去了判断最优解取到位置的判断，用三个不等式概括了三种情况，从而解出参数的范围，此方法可以在此类求参数的题中推广，具有一般性！

将目标函数z =x +my 化成斜截式方程后得：y =-1m x +1m z ，若m ＞0时，目标函数值Z 与直线族：y =-1m x +1m z 截距同号，当直线族y =-1m x +1m z 的斜率与直线AC 的斜率相等时，目标函数z =x +my 取得最小值的最优解有无数多个；若m ＜0时，目标函数值Z 与直线族：y =-1m x +1m z 截距异号，当直线族y =-1m x +1m z 的斜率与直线BC 的斜率相等时，目标函数z =x +my 取得最小值的最优解有无数多个，但此时是取目标函数取最大值的最优解为无数个，不满足条件． 目标函数的最优解有无数多个，处理方法一般是：①将目标函数的解析式进行变形，化成斜截式；②分析Z 与截距的关系，是符号相同，还是相反；③根据分析结果，结合图形做出结论④根据斜率相等求出参数．

5. 解：由题意，使目标函数Z=ax -y （a ＞0）取得最大值，而y =ax -z

即在Y 轴上的截距最小；

所以最优解应在线段AC 上取到，故ax -y =0应与直线AC 平行．

∵k AC =3−14−1=23，

∴a =23，

故选：A ．

由题设条件，目标函数Z=ax -y （a ＞0），取得最大值的最优解有无数个知取得最优解必在