数值计算方法第八章 非线性方程求解
非线性方程求解
牛顿法
牛顿法也称为牛顿-拉普森法或者切线法。由 于这个方法的计算结果颇佳，而计算过程也比 较简单，所以被普遍采用。
牛顿法的核心内容是通过泰勒级数将非线性方 程式转化为线性方程式，然后用迭代法求解。
牛顿法原理
设方程式 f x 0 的近似根为 x0
数值计算的误差
模型误差
误 差 观测误差
的
分 类
截断误差
计算时只截 ln(x 1) x 1 x2 1 x3 1 x4 (1)n1 1 xn
取有限项
234
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
n
舍入误差
计算机对所 储存的数据 位数有限制
误差的分类 有效数字
绝对误差 相对误差
(x) x*x
(x)
二分法 不动点迭代 牛顿法
二分法
若函数f(x)在区间[a,b]内单调连续，且f(a)f(b)<0， 则在闭区间[a,b]内必然存在方程f(x)=0的根x*
二分法的图形解释
二分法的MATLAB程序
function x=mabisec(fun,a,b,ep)
x=(a+b)/2.0; k=0;
课堂练习
某蒸馏釜的操作压力位106.7kpa，其中溶液含苯摩尔分 数为0.2，甲苯为0.8，求此溶液的泡点和平衡的气相组 成。
苯甲苯溶液可以看做理想溶液，组分蒸汽压为：a为苯， b为甲苯
log Pa 6.301 1211 t 220.8
log Pb 6.080 1345 t 219.5
{ x0, x1, x2, …, xk, … }
如果这个数列有极限，则迭代格式是收敛的。
非线性方程求解
⾮线性⽅程求解基于MATLAB的⾮线性⽅程的五种解法探讨摘要：本⽂利⽤matlab软件对⾮线性⽅程解法中的⼆分法、简单迭代法、⽜顿法、割线法以及Steffensen法的数值分析⽅法的算法原理及实现⽅法进⾏了探讨。
对f x x x=+-()2ln2的零点问题，分别运⽤以上五种不同的⽅法进⾏数值实验，⽐较⼏种解法的优缺点并进⾏初步分析评价。
关键词：⼆分法、简单迭代法、⽜顿法、割线法、Steffensen法1、引⾔在很多实际问题中，经常需要求⾮线性⽅程f(x) =0的根。
⽅程f(x) =0的根叫做函数f(x)的零点。
由连续函数的特性知：若f(x)在闭区间[a,b ]上连续,且()()0f a f b<.则f(x) =0在开区间(a,b)内⾄少有⼀个实根。
这时称[a,b]为⽅程f(x) =0的根的存在区间。
本⽂主要对⾮线性⽅程的数值解法进⾏分析，并介绍了⾮线性⽅程数值解法的五种⽅法。
并设=+-.f x x x()2ln2f x在[1,2]上的图形，如图1：. 显然，函数在[1,2]之间有⼀个零点。
⾸先画出()2、计算机配置操作系统Windows 7 旗舰版内存2GB处理器AMD 4核 A6-3400M APU 1.4GHz图.13、⼆分法⼆分法的基本思想是将⽅程根的区间平分为两个⼩区间,把有根的⼩区间再平分为两个更⼩的区间,进⼀步考察根在哪个更⼩的区间内。
如此继续下去,直到求出满⾜精度要求的近似值。
设函数()f x 在区间[a,b ]上连续,且f(a)·f(b) <0，则[a,b ]是⽅程f(x) =0的根的存在区间，设其内有⼀实根，记为x*。
取区间[a,b ]的中点()2k a b x +=并计算1()f x ,则必有下列三种情况之⼀成⽴： (1) 1()f x =0，x1就是⽅程的根x*;(2)()f a .1()f x <0,⽅程的根x*位于区间[a, 1x ]之中,此时令111,a a b x ==; (3)1()f x .()f b <0,⽅程的根x*位于区间[1x ,b ]之中,此时令11a x =,1b b =。
非线性方程数值方法
非线性方程数值方法1、 固定点迭代：求解方程)(x g x =的近似值，初始值为0x ，迭代式为)(1n n x g x =+ function [k,x1,err,x]=fixpt(g,x0,tol,maxl)%Input-g is the iteration function input as a string 'g' % -x0 is the initial guess for the fixed point % -tol is the tolerance% -maxl is the maximum number of iterations%Output-k is the number of iteration that were carried out % -x1 is the approximation to the fixed point % -err is the error in the approximation % -x contains the sequence {xn} x(1)=x0;for k=2:maxlx(k)=feval(g,x(k-1)); err=abs(x(k)-x(k-1));relerr=err/(abs(x(k))+eps); x1=x(k);if(err<tol)|(relerr<tol),break;end endif k==maxldisp('maximum number of iterations exceeded') end x=x';例如 g=inline('exp(-x)');[k,p,err,P]=fixpt(g,0.5,0.01,20)2、 二分法：求解方程0)(=x f 在区间],[b a 内的一个根。
前提条件是)(x f 是连续的，且)(a f 与)(b f 的符号相反。
非线性方程的数值解法
计算方法—非线性方程求解
计算方法—非线性方程求解计算方法是数学中的一个重要分支，它研究如何利用计算机和数值方法解决各种数学问题。
在实际应用中，非线性方程是一个常见的问题。
非线性方程是指其表达式中包含一个或多个非线性项的方程。
与线性方程相比，非线性方程更加复杂，通常不能通过代数方法直接求解。
因此，我们需要借助计算方法来求解非线性方程。
常见的非线性方程求解方法包括迭代法、牛顿法和二分法等。
首先，迭代法是一种基本的非线性方程求解方法。
它的基本思想是通过不断迭代逼近方程的根。
迭代法的一般步骤如下：1.选取一个初始值x0；2.利用迭代公式x_{n+1}=g(x_n)，计算下一个值x_{n+1}；3.不断重复步骤2，直到计算出满足精度要求的解为止。
其中，g(x)是一个逼近函数，通常是通过原方程进行变形得到的。
在实际应用中，迭代法的关键是选择适当的初始值x0和逼近函数g(x)。
如果选取的初始值离方程的根较远，可能会导致迭代结果不收敛；如果逼近函数不恰当，迭代结果也可能不收敛。
因此，在使用迭代法时需要注意这些问题。
其次，牛顿法是一种较为高效的非线性方程求解方法。
它的基本思想是通过线性近似来逼近方程的根。
牛顿法的一般步骤如下：1.选取一个初始值x0；2.利用泰勒展开将原方程线性化，得到一个线性方程；3.解线性方程，计算下一个值x_{n+1}；4.不断重复步骤2和步骤3，直到计算出满足精度要求的解为止。
在实际应用中，牛顿法的关键是计算线性方程的解。
通常可以通过直接求解或迭代方法求解线性方程。
此外，牛顿法还需要注意选择适当的初始值x0，特别是对于多根方程需要选择不同的初始值。
最后，二分法是一种简单但较为稳定的非线性方程求解方法。
它的基本思想是通过区间缩减来逼近方程的根。
二分法的一般步骤如下：1.选取一个包含根的初始区间[a,b]；2.计算区间的中点c=(a+b)/2；3.判断中点c的函数值与0的关系，从而确定下一个区间；4.不断重复步骤2和步骤3，直到计算出满足精度要求的解为止。
非线性方程组数值解法-非线性方程组数值解法
非线性方程组数值解法-非线性方程组数值解法非线性方程组数值解法-正文n个变量n个方程(n >1)的方程组表示为(1)式中ƒi(x1,x2,…,x n)是定义在n维欧氏空间R n的开域D上的实函数。
若ƒi中至少有一个非线性函数，则称(1)为非线性方程组。
在R n中记ƒ＝则(1)简写为ƒ(尣)=0。
若存在尣*∈D，使ƒ(尣*)＝0，则称尣*为非线性方程组的解。
方程组(1)可能有一个解或多个解，也可能有无穷多解或无解。
对非线性方程组解的存在性的研究远不如线性方程组那样成熟，现有的解法也不象线性方程组那样有效。
除极特殊的方程外，一般不能用直接方法求得精确解，目前主要采用迭代法求近似解。
根据不同思想构造收敛于解尣*的迭代序列{尣k}(k=0，1，…)，即可得到求解非线性方程组的各种迭代法，其中最著名的是牛顿法。
牛顿法及其变形牛顿法基本思想是将非线性问题逐步线性化而形成如下迭代程序：(2)式中是ƒ(尣k)的雅可比矩阵,尣0是方程(1)的解尣*的初始近似。
这个程序至少具有2阶收敛速度。
由尣k算到尣k+的步骤为:①由尣k算出ƒ(尣k)及;②用直接法求线性方程组的解Δ尣k；③求。
由此看到迭代一次需计算n个分量函数值和n2个分量偏导数值，并求解一次n阶线性方程组。
为了评价非线性方程组不同迭代法的优劣，通常用效率作为衡量标准,其中P为迭代法的收敛阶,W为每迭代步计算函数值ƒi及偏导数值的总个数（每迭代步中求一次逆的工作量相同,均不算在W内）。
效率e越大表示此迭代法花费代价越小,根据效率定义，牛顿法(2)的效率为。
牛顿法有很多变形,如当奇异或严重病态时，可引进阻尼因子λk，得到阻尼牛顿法，即式中I是单位矩阵。
牛顿法是局部收敛方法,因而对初始近似尣0限制较严，为放宽对尣0的要求,扩大收敛范围,通常可引进松弛因子ωk，得到牛顿下降法：(3)式中ωk的选择应使成立。
为减少解线性方程组次数，提高效率，可使用修正牛顿程序(4)这种算法也称为萨马斯基技巧，它的收敛阶为 p =m+1，由尣k计算的工作量为W =n2+mn，于是该法的效率。
数值计算方法—非线性方程求解.cpp
#include <stdio.h>#include <math.h>#include <stdlib.h>#define precision pow(10,-6) //根的精度double f(double x)/*定义f函数，求f(x)=x3-x-1 的值*/{return( x * x * x - x - 1 ) ;}void Dichotomy() //二分法{double x2 , x1 , x ;//上届，下届，根double fx2 , fx1 , fx ; //上届、下届、根对应的函数值printf("请输入该函数的存根区间的下界和上届，用空格分隔:\n"); scanf("%lf%lf",&x1,&x2);if( f(x2) * f(x1) > 0 ) //判断输入的区间是否满足条件{printf("错误输入!");system("pause");system("cls");Dichotomy();}printf("二分法求根过程如下：\n");do //二分替代，循环执行{x=(x2+x1)/2.0;printf("%f\n",x);fx=f(x);fx2=f(x2);fx1=f(x1);if(fx2 * fx > 0)x2 = x ;elsex1 = x ;//fx2 * fx > 0 ? x2 = x : x1 = x ;}while( fabs( x2 - x1 ) > precision && fabs( fx )> precision );printf("\n\t函数的根为:%f\n",x);void Iteration()//迭代法{double x,fx;printf("请输入一个数：");scanf("%lf",&x);printf("\n迭代法求根过程如下：\n");fx=pow((x+1),1.0/3);while(( fabs( fx > precision ) ) && ( fabs( fx - x ) > precision)){printf("%f\n",x);x=fx;fx=pow((x+1),1.0/3);}printf("\n\t函数的根为:%f\n",x);}void newton()//牛顿法{double temp,x;printf("请输入一个数：");scanf("%lf",&temp);printf("\n牛顿迭代法求根过程如下：\n");do{printf("%f\n",temp);temp = x;x = temp - f(temp) / ( 3 * temp * temp - 1 );}while((fabs( f(x) ) > precision )&&( fabs( x - temp ) > precision )); printf("\n\t函数的根为:%f\n",x);}void xianjiefa()//弦截法{double x1,x2,x,temp;//区间，上届，下届，根，零时根double fx1,fx2,fx; //上届、下届、根对应的函数值printf("请输入该函数的存根区间的下界和上届，用空格分隔:\n");scanf("%lf%lf",&x1,&x2);if(f(x1)*f(x2)>0) //判断输入的区间是否满足条件{printf("错误输入");system("pause");system("cls");xianjiefa();}printf("双点弦截法求根过程如下：\n");while((fabs( f(x) ) > precision ) && ( fabs(x2-x1) > precision )) {fx2=f(x2);fx1=f(x1);x = x2-fx2 * ( x2 - x1 ) / ( fx2 - fx1 );printf("%f\n",x);fx = f(x);if(fx2 * fx > 0)x2 = x ;elsex1 = x ;//fx * fx1 > 0 ? x1 = x: x2 = x ;}printf("\n\t函数的根为:%lf\n",x);}int main(){double a,b;int xz;while(1){printf("\t\t\t****************************\n");printf("\t\t\t**** \t 1.二分法 ****\n");printf("\t\t\t**** \t 2.迭代法 ****\n");printf("\t\t\t**** \t 3.牛顿法 ****\n");printf("\t\t\t**** \t 4.弦截法 ****\n");printf("\t\t\t**** \t 5.退出 ****\n");printf("\t\t\t****************************\n");printf("\t 函数方程为: x3-x-1 = 0\n\n");printf("\t请根据相应的代号，从上述方法中选择其一： ");scanf("%d",&xz);switch(xz){case 1: Dichotomy();break;case 2: Iteration();break;case 3: newton();break;case 4: xianjiefa();break;case 5: exit(0);default:printf("\n\t错误输入o(︶︿︶)o 唉！\n\n");break;}system("pause");system("cls");}}。
非线性方程数值求解法总结
（一）非线性方程的迭代解法1.非线性方程的一般形式：f(x)=02.非线性方程的分类：⎩⎨⎧=为其他函数。
超越方程，次代数多项式；为代数方程，)()(0)(x f n x f x f 3.方程的根：若存在常数s 使f(s)=0，则称s 是方程(4.1)的根，又称s 是函数f(x)的零点。
4.重根：若f(x)能分解为)()()(x s x x f m ϕ-= 则称s 是方程(4.1)的m 重根和f(x)的m 重零点。
当m=1时，s 称为方程(4.1)的单根和f(x)的单零点。
5.结论：(1)零点存在定理：设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，且f(a)•f(b)<0，那么在开区间（a,b ）内至少有一点ξ，使f(ξ)=0.(2)根的唯一性判别：一阶导数不变号且不为零(3)n 次代数方程在复数域上恰有n 个根(4)高于4次的代数方程没有求根公式6.方法：(1)搜索根方法：①作图法：②逐步搜索法：确定方程根的范围的步骤：步骤1 取含f(x)=0根的区间[a,b]，即f(a)•f(b)<0；步骤2 从a 开始，按某个预定的步长h ，不断地向右跨一步进行一次搜索， 即检查kh a x k +=上的函数)(k x f 值的符号。
若0)()(1<•-k k x f x f ，则可以确定一个有根区间],[1k k x x -.步骤3 继续向右搜索，直到找出[a,b]上的全部有根区间],[1k k x x -（k=1,2,…,n).(2)二分法①基本思想：含根区间逐次分半缩小，得到一个区间长度以1/2的比例减小的含根区间序列 {}k I ,在给定根的误差界时，利用长度趋于零的特点，可得到在某个区间中满足要求的近似根。
②迭代终止的条件ε<)(k x fε2<-k k a b或者ε<-≤-2k k k a b s x(3)简单迭代法及其收敛性)(0)(x x x f ϕ=⇔=,2,1,0),(1==+k x x k k ϕ迭代法是一种逐次逼近法,用某个固定公式反复校正根的近似值,使之逐 步精确化,最后得到满足精度要求的解。
非线性方程数值解法详解课件
例如，对于求解非线性方程$f(x)=0$的 应用实例中需要注意选择合适的初始近
根，可以先选择一个初始近似解$x_0$， 似解和设置合适的精度要求，以确保算
然后按照弦截法的迭代过程逐步逼近方
法能够快速收敛到真实解。
程的真实解。
05 共轭梯度法
共轭梯度法的原理
它利用共轭方向的概念，通过迭代过程中不断更新搜 索方向，使得函数值逐渐减小，最终找到方程的解。
牛顿法的实现步骤
确定初始点x0，计算f(x0)和f'(x0)，如果f(x0)不等于0，则按照牛顿法的迭代公式 进行迭代，直到满足精度要求。
1. 选取初始点x0；2. 计算函数值f(x0)和导数值f'(x0)；3. 如果f(x0)不等于0，则 按照牛顿法的迭代公式x1=x0-f(x0)/f'(x0)进行迭代；4. 重复步骤2和3，直到满 足精度要求。
以求解非线性方程为例，通过选择合 适的迭代法和初值，可以有效地求解 非线性方程的近似解。
03 牛顿法
牛顿法的原理
01
基于函数f(x)的泰勒级数的前两项， 通过迭代的方式逼近方程f(x)=0 的解。
02
牛顿法的基本思想是通过泰勒级 数的近似，将非线性方程f(x)=0 转化为线性方程，然后利用线性 方程的解来逼近非线性方程的解。
当达到预设的迭代次数或满足一定的收敛 条件时，停止迭代，输出结果。
共轭梯度法的收敛性分析
共轭梯度法具有全局收敛性和局部收敛性，即只要初始点 选择得当，算法能够找到方程的解，且在局部范围内具有 快速收敛的特点。
收敛性分析主要涉及算法的迭代矩阵和函数的性质，如连 续性和可微性等。
共轭梯度法的应用实例
牛顿法的收敛性分析
在一定的条件下，牛顿法是收敛的， 且具有二阶收敛速度。
非线性方程组数值解法课件
目 录
• 非线性方程组概述 • 迭代法求解非线性方程组 • 牛顿法求解非线性方程组 • 拟牛顿法求解非线性方程组 • 非线性方程组数值解法的应用
01
非线性方程组概述
非线性方程组的定义与分类
定义
非线性方程组是由多个非线性方 程组成的数学模型，描述了多个 变量之间的关系。
在工程问题中的应用
航空航天工程
土木工程
非线性方程组数值解法用于设计和优 化飞行器、卫星和火箭的结构和性能。
在建筑设计、桥梁和高层建筑的结构 分析中，非线性方程组数值解法用于 模拟结构的承载能力和稳定性。
机械工程
在机械设计中，非线性方程组数值解 法用于分析复杂机械系统的动力学特 性和稳定性。
在金融问题中的应用
拟牛顿法的收敛性分析主要基于Hessian 矩阵的条件数和近似矩阵的误差界。在适 当的条件下，拟牛顿法能够保证全局收敛 性和局部超线性收敛性。
拟牛顿法的实现
总结词
拟牛顿法的具体实现可以通过不同的算法实 现，如DFP算法和BFGS算法等。
详细描述
DFP算法（Davidon-Fletcher-Powell）和 BFGS算法（Broyden-Fletcher-GoldfarbShanno）是两种常见的拟牛顿算法。它们 的主要区别在于近似矩阵的更新方式。DFP 算法采用三对角化方法更新近似矩阵，而 BFGS算法采用迭代更新的方式。在实际应 用中，BFGS算法通常比DFP算法更受欢迎， 因为它在大多数情况下都能提供更好的收敛 效果。
05
非线性方程组数值解法的 应用
在物理问题中的应用
量子力学方程
非线性方程组数值解法在 量子力学中用于描述微观 粒子的行为和相互作用。
数值分析(24) 非线性方程的数值方法
数值分析
定义1 若有x* 满足 (x*)=0 ， 则称x*为方程
的根或函数f(x)的零点，特别地，如果函数f(x)可分
解为
f(x) =(x x*)mg(x) 且 g(x* )0,
则称x*是f(x)的m重零点或f(x) =0的m重根。
当m=1时，称x*是f(x)的单根 或单零点。
数值分析
数值分析
0.3732
x3
0.3753
x4
0.3757
数值分析
数值分析
若从任何可取的初值出发都能保证收敛，则称它 为大范围收敛。如若为了保证收敛性必须选取初值充 分接近于所要求的根，则称它为局部收敛。
通常局部收敛方法比大范围收敛方法收敛得快。 因此，一个合理的算法是先用一种大范围收敛方法求 得接近于根的近似值（如二分法），再以其作为新的 初值使用局部收敛法（如迭代法）。
h=0.8 -1.377160000000e+002 -81.95600000000002 -43.34800000000001 -18.81999999999999 -5.30000000000000 0.28400000000000 1.06000000000000 0.50000000000000 -0.31600000000000 1.68400000000000 9.57200000000000 26.42000000000000
这里讨论迭代法的收敛性时，均指的是局部收敛 性。
数值分析
数值分析
定理2（收敛定理） 考虑方程 x = φ (x), φ(x)C[a, b], 若
( I ) 当 x[a, b] 时， φ(x)[a, b]；
( II )对 x[a, b],有 | φ’(x) | L < 1 成立。
非线性方程的求解和分析
非线性方程的求解和分析近年来，随着科技的飞速发展，各个领域中越来越多的问题需要用到求解非线性方程的方法。
这些非线性方程指的是方程中包含有一个或多个未知数的嵌套函数的方程。
解非线性方程是现代数学、物理和工程等领域中获得解析解的一个重要问题。
本文将讨论非线性方程的求解和分析方法。
一、牛顿迭代法牛顿迭代法是一种求解非线性方程的基本方法。
它的原理是利用函数的导数逼近函数的根。
其算法如下:(1) 选一个初始值 $x_0$(2) 迭代公式: $x_{n+1} = x_n-\dfrac{f(x_n)}{f'(x_n)}$其中，$f(x)$ 为非线性方程， $f'(x)$ 表示 $f(x)$ 在 $x$ 处的导数。
(3) 若 $|f(x_{n+1})|<\epsilon$（$\epsilon$ 为给定的精度），则停止计算，$x_{n+1}$ 为 $f(x)=0$ 的一个近似解。
否则，令$n=n+1$，返回第（2）步进行迭代。
值得注意的是，在实际计算中，可能存在导数 $f'(x_n)$ 为零，或者非线性函数的导数求解过于复杂的情况。
对于这些问题，可以使用牛顿迭代法的改进方法来解决。
二、牛顿-拉夫逊法牛顿-拉夫逊法是一种解决在牛顿迭代法中遇到的问题的改良方法之一。
它通过在公式中引入一个阻尼系数 $\lambda$ 来避免除以零和产生振荡。
公式如下：$x_{n+1}=x_n-\dfrac{f(x_n)}{f'(x_n)+\lambda f''(x_n)}$其中，$f''(x)$ 表示 $f(x)$ 的二阶导数。
通过引入阻尼系数，可以避免迭代过程中 $f'(x)$ 零点附近的振荡，并且当 $f'(x)$ 接近零时，阻尼系数会变得更大，以减小振荡的影响。
三、拟牛顿法拟牛顿法（Quasi-Newton Method）是一种利用 Broyden-Fletcher-Goldfarb-Shanno（BFGS）公式来近似牛顿法中的 Hessian 矩阵的方法。
非线性方程的数值解法
xk
x* ) p
根据已知条件得
(xk ) (x*)
1
p!
(
p
)
(
)(
xk
x*) p
由迭代公式 xk1 (xk ) 及 x* (x* ) 有
x k 1
x*
( p) ( )
p! (xk
x*) p
lim ek1 ( p) (x* ) 0
取一个初值 x0 , 代入式 x (x) 的右端, 得到
x1 (x0 )
再将 x1 代入式 x (x) 的右端, 得到 x2 (x1) , 依此类推, 得到一个数列 x3 (x2 ) …， 其一般表示
xk1 (xk ) (k 0,1,2,) (2.4)
2.3.1 迭代法的基本思想
为求解非线性方程f(x)=0的根，先将其写成便
于迭代的等价方程
x (x)
其中 (x) 为x的连续函数
(2.3)
例4 用迭代法求方程 x3 x 1 0
在x=1.5附近的一个根 解 将方程改写成如下两种等价形式
x 1 (x ) 3 x 1 x 2 (x ) x3 1
x6、x7重合，所以迭代公式（1）是收敛的，x*≈0.3758。 用迭代公式（2） xk1 10xk 2 , x0=1, 算得
x1=10-2=8, x2=108-2≈108, x3=10108-2≈ 10108，…… 迭代公式（2）发散。
}
2.3.3 迭代法收敛的条件 对方程f(x)=0可以构造不同的迭代公式, 但
证:由于 (x*) 1 ,存在充分小邻域△: x x* ,使成 立 (x* ) L 1 这里L为某个定数,根据微分中值定 理 (x) (x* ) ( )( x x* ) 由于 (x* ) x*,又当 x 时 ,故有 (x) x* L x x* x x* 由定理2.1知 xk1 (xk ) 对于任意的 x0 都收敛
数值计算方法第08章非线性方程及非线性方程组解法
下文中, 设 x* 是方程 f (x)=0的根.
8
ab , 不妨设 f (a) <0, f (b) >0. 取 x0 2
* x x0 ; 则 ① 若 f ( x0 ) 0,
② 若 f ( x0 ) 0, 取 a1 x0 , b1 b ;
③ 若 f ( x0 ) 0, 取 a1 a , b1 x0 . 以 [a1, b1 ] 作为新的有根区间继续迭代, 得有根区间序列
f ( x n)
对分法的优缺点
对分法的优点是计算简单， 方法可靠，容易估计误差。 但它收敛较慢，不能求偶次 重根，也不能求复根。 因此，一般在求方程近似根 时，很少单独使用，常用于为其 他高速收敛算法（如牛顿法）提 供初值。
§8.2 迭代法
迭代法是求解方程f (x) = 0
的根的一种主要方法。它是利 用同一个迭代公式，逐次逼近 方程的根，使其得到满足预先 给定精度要求的近似值。
13
f ( x ) x 3 10 x 20 0 计算结果如下表:
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
N
1 1.5 1.5 1.5 1.5625 1.59375 1.59375 1.59375 1.59375 1.59375 1.59375 1.5942383 1.5944824 1.5944824 1.5945436
2. 逐次对分区间： 3. 取根的近似值:
10
停机准则
a x0 a x*
x1 b
b
xk 1 xk ε1 或 f ( xk 1 ) ε2
不能保证 x 的精度
2
x* x
11
误差 分析：
非线性方程数值解法
非线性方程的数值解法
根的概念
给定方程f(x)=0，如果有α使得f(α)=0， 则称α为f(x)=0的根或f(x)的零点. 设有正整数m使得f(x)=(x-α)mg(x) 且g(α)0 ，则当m2时，称α为f(x)=0的 m重根；当m=1时，称为f(x)=0的单根. 本章只讨论实根的求法.
例 研究求 a的Newton公式,证明：对一切 k 1,2,, xk a ， Newton公式产生的序列 {xk}是单调递减的，从而迭代过程收敛 .
其Newton公式为 证 因a>0，x0>0，故xk >0 (k=1,2,)
xk 1 1 a ( xk ) 2 xk 1 a 2 ( xk ) a a 2 xk
迭代法的局部收敛性
如果存在α的某个邻域: x-α，迭代过程 xk+1=(xk)对任意初值x0均收敛，则称迭代 过程xk+1=(xk)是局部收敛的.
定理3 设(x)在方程x=(x)的根α邻近有一阶连 续的导数. 若'(α) <1, 则迭代过程xk+1=(xk)具有局部收敛 性 若'(α) >1,则迭代过程xk+1=(xk)发散. 证 由于' (α) <1 ，存在充分小邻域: x-α,使 成立' (x)L<1．当x 时，由微分中值定理有 (x)–α=(x)–(α)=' ()x-α＜x-α 故(x)，由定理１知对任意初值x0 均收敛
级数
x0+(x1-x0) +(x2 –x1) ++(xk+1-xk)+收敛.即有
lim xk ，α[a, b] k 下面证α是原方程的根．由(x) 可导， 故(x)在[a, b]上连续，对等式xk+1=(xk)两边同时 取极限得α =(α)，即α是原方程的根．
数值分析教案_非线性方程的数值解法
数值分析教案_非线性方程的数值解法教学目标：1.了解非线性方程的概念及其数值解法的重要性；2.掌握二分法、牛顿法和割线法的原理和计算步骤；3.综合运用不同的数值解法，求解非线性方程的近似解。
教学内容：一、非线性方程的概念1.如何判断一个方程是线性方程还是非线性方程；2.非线性方程的形式及其在实际问题中的应用。
二、二分法1.基本原理：介绍二分法的基本原理和思想；2.计算步骤：具体说明通过二分法求解非线性方程的计算步骤；3.算法实现：利用计算机编程实现二分法的算法。
三、牛顿法1.基本原理：介绍牛顿法的基本原理和思想；2.计算步骤：具体说明通过牛顿法求解非线性方程的计算步骤；3.算法实现：利用计算机编程实现牛顿法的算法。
四、割线法1.基本原理：介绍割线法的基本原理和思想；2.计算步骤：具体说明通过割线法求解非线性方程的计算步骤；3.算法实现：利用计算机编程实现割线法的算法。
五、综合应用1.比较三种方法的优缺点和适用范围；2.综合运用不同的数值解法，求解复杂非线性方程的近似解；3.解决实际问题：通过例题和练习，让学生能够将所学知识应用到实际问题的求解中。
教学方法：1.教师讲授：通过课堂讲解，介绍非线性方程的概念、三种数值解法的原理和步骤，并演示相关例题的解法；2.计算机实践：利用计算机编程实现二分法、牛顿法和割线法的算法，进行数值计算，加深学生对这些方法的理解和掌握；3.讨论与互动：通过小组讨论和学生提问，共同探讨解决非线性方程问题的思路和方法。
教学资源：1.教材：选择理论详细、实例丰富的数值分析教材；2.计算机：提供计算机实践环境，用于实现数值解法的算法；3.课件和PPT：用于展示教学内容和示例问题的解法；4.练习题和作业：用于巩固和检测学生对数值解法的理解和应用能力。
教学评估：1.课堂练习：通过课堂上的小组讨论和问题回答，检测学生对非线性方程和数值解法的理解程度；2.作业评估：布置相应的练习题和编程作业，检验学生独立解决非线性方程问题的能力。
非线性方程的数值解法课件
弦截法
弦截法是一种改进的迭代方法 ，通过将非线性方程转化为线 性方程来求解根。
弦截法的迭代公式为 $x_{n+1}=x_nfrac{f(x_n)}{f(x_n)-f(x_{n-1})}$ ，其中$f(x)$为非线性方程。
弦截法的优点是无需计算函数 的导数，但收敛速度较慢，且 需要选择合适的迭代初值。
04
迭代法的优点是简单易 行，但收敛速度较慢， 且需要选择合适的迭代 初值。
牛顿法
牛顿法是一种基于泰勒级数的迭代方 法，通过线性化非线性方程来求解根 。
牛顿法的收敛速度较快，但需要计算 函数的导数，且在接近根时可能会产 生震荡。
牛顿法的迭代公式为$x_{n+1}=x_nfrac{f(x_n)}{f'(x_n)}$，其中$f(x)$为 非线性方程。
步长与收敛性的关系
深入研究步长与算法收敛性的关系，以找到最佳的步长调整策略。
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感谢您的观看
这类方程在某些区间上具 有不同的非线性性质，例 如 $|x| = y$。
非线性方程的特性
不存在通用解法
与线性方程不同，非线性 方程没有统一的解法，需 要根据具体方程的特点选 择合适的解法。
解的复杂性
非线性方程的解通常比线 性方程复杂，可能存在多 个解或不存在解，也可能 存在混沌解。
对初值和参数敏感
线性方程
如果一个方程中未知数的最高次 幂为一次，并且没有未知数的幂 ，那么这个方程就是线性方程。
非线性方程的分类
01
02
03
代数非线性方程
这类方程中包含未知数的 幂，例如 $x^2 + y^3 = 1$。
超越非线性方程
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0.42
0.4
4
6
8
10
12 k
14
16
18
20
22
定理8.2（局部收敛性定理） 若函数 ( x) 在
x
*
的邻域 U ( x* , ) 连续可微，x *
是方程 x ( x) 的解，且 ( x) 1，则存在正数
* , 使得对任意 x0 [ x* , x* ], 迭代序列
eps=5e-5;dx=1;x0=0.4;k=4; fprintf('It.no=%2d x[%2d]=%10.6f',k,k,x0) plot(k,x0,'r*') hold on while(dx>eps) k=k+1; x=1/(x0+1)^2; dx=abs(x-x0)/(1+abs(x)); plot(k,x0,'r*') fprintf('It.no=%2d x[%2d]=%10.6f',k,k,x) if mod(k+1,3)==0,fprintf('\n'),end x0=x; end fprintf('\n满足精度要求的迭代次数k=%2d',k) x
x0 [a, b]
迭代序列
x n 1 g ( x n ), (n 0,1, )
都收敛于x*，并有
Ln x * xn x1 x0 1 L
(8-2-2)
注：用定理8、2比定理8、1方便。 如上面的函数取
20 40 g ( x) 2 g ( x) 2 , 2 x 10 ( x 10) 40 x 80 ( x) 2 x [1,2] g 2 1 2 ( x 10) 11 迭代收敛。 误差估计式表明L越小迭代收敛越快。
第八章 非线性方程及非线性方程组的解法
主要内容： 1、对分区间法 2、简单迭代法 3、牛顿法与弦截法 4、抛物线法 5、非线性方程组的解法
研究对象：迭代方法、收敛条件、收敛速度
k-重零点:
若x=a处f(x)满足f(a)=0,f(L)(a)=0,(L=1,2,--,k-1) ,f(L)(a)=/=0(k=1,2,---) （8-1-1） 则称x=a为f(x)的k-重零点（方程f(x)=0的k-重根）. 方程f(x)=0有k-重根等价函数可分解为
f ( x) ( x a) k ( x), (a) 0
(8-1-2)
8-1、对分区间法
对分法的基本思想：
通过计算隔根区间的中点，逐步将隔根 区间缩小，从而可得方 程的近似根数列{xn }.
设f(x)在区间[a,b]上连续，有f(a)f(b)<0 则由连续函数的介值定理，f(x)在(a,b)必有 零点，称(a,b)为方程f(x)=0的有根区间.
例2、用对分区间法求f(x)的唯一实根，其误 差不超过 1 4
2 10
其中 解：
f ( x) x3 10 x 20 0
易知
f (1) 12 10 20 0
f (2) 2 2 20 20 0
f ( x) 3x 2 10 0, x (, ) f ( x)
function [x_star,k]=bisect923(fun,a,b,ep) % 二分法解f(x)=0 %fun(x)为求根的函数f(x),a,b为初值区间的端点 %ep为精度（默认值为1e-5），当(b-a)/2<ep时终止计算 %x_star为迭代成功时的方程的根，k表示迭代次数 %当输出迭代次数k为0时表示在此区间没有根存在 if nargin<4 ep=1e-5;end fa=feval(fun,a);fb=feval(fun,b); if fa*fb>0 x_star=[fa,fb];N=0;return;end k=1; while abs(b-a)/2>ep x=(a+b)/2;fx=feval(fun,x); if fx*fa<0 b=x;fb=fx; else a=x;fa=fx; end k=k+1; end x_star=(a+b)/2;
单调增的， f ( x) x 2 10 x 20 0 有唯一实根，且在[1，2]内。
对分区间的次数
1 ln(2 1) ln( 10 4 ) 2 n 1 13.28 n 14 ln 2
x （计算结果见教材） 14 1.5945741 即为所求。
fun=inline('x^3+10*x-20','x'); [x,k]=bisect923(fun,1,2,0.0005) x= k= 1.5942 11
It.no= 4 ， x[ 4]= 0.400000， It.no= 5， x[ 5]= It.no= 6， x[ 6]= 0.438459， It.no= 7， x[ 7]= It.no= 8 ， x[ 8]= 0.454516， It.no= 9， x[ 9]= It.no=10 ，x[10]= 0.461090，It.no=11， x[11]= It.no=12， x[12]= 0.463759，It.no=13， x[13]= It.no=14 ，x[14]= 0.464839，It.no=15， x[15]= It.no=16， x[16]= 0.465276，It.no=17 ，x[17]= It.no=18， x[18]= 0.465452，It.no=19 ，x[19]= It.no=20， x[20]= 0.465523，It.no=21， x[21]= It.no=22 ，x[22]= 0.465552 满足精度要求的迭代次数k=22 x = 0.4656
lim a n lim bn x *
n n
且x =x*是方程f(x)=0的根。取xn=(an+bn)/2为 近似根，其误差为
bn a n b a （8-1-3） x xn n 1 2 2 上述方法求非线性方程f(x)=0近似根称为---对分区间法. 算法：8-1（见教材186页）
8-2、简单迭代法
已知方程的根得近似值，由递推公式
xn 1 g ( xn )
产生序列逼近真值。 f ( x) 0 x ( x),
若 xn 收敛于x* , ( x)在x*处连续
x* lim xn 1 lim ( xn ) ( x* )
n n
k
7 8
xk
f ( xk )符号
隔根区间
[1.359375,1.375] [1.359375,1.3671875]
1.3671875 1.36328125
+ -
所以有 1 * x (1.359375 1.3671875) 1.363 2
fun=inline('x^3+4*x^2-10','x'); [x,k]=bisect923(fun,1,2,0.005) x= k= 1.3633 8
x [a, b]
a g ( x) b;
（2）存在常数0<L<1，使
x, y [a, b]
g ( x) g ( y ) L x y
则方程x=g(x)在[a,b]内有唯一根x*，且对 x0 [a, b] ，迭代序列
x n 1 g ( x n ), (n 0,1, )
例3
已知方程10 x x 2 0在[0.3,0.4]内有
k
一根，用两种不同的迭代公式 (1)xk 1 10 x 2 (2)xk 1 lg( xk 2) 进行迭代，观察所得序列的收敛性。
解： 计算结果如下表：
k 0 1 2 3 4 (1)xk
0.3 -0.0047 -1.0108
xn 1 ( xn )
收敛于 x 证明思路：1）迭代函数在邻域内是收敛的；2）迭代 函数在正方形内。 ----------迭代函数满足压缩映象原理的两个条件。
*
1 迭代法的收敛速度(收敛阶) ）
(2)xk
0.3 0.3617 0.3732 0.3753 0.3757
例3‘用不动点迭代格式
xk 1 1/ ( xk 1)2 , (k 0,1, 2,)
求解方程
f ( x) x( x 1)2 1 0
在区间[0，1]的一个实根，初始值x0=0.4, 精确到4位有效数字
即为所求。（称为简单迭代法）
注：在例1中取
x x 3 11x 20 等价方程
3 n
x0 1.5 ，若改写原方程为
xn 1 x 11xn 20
x1 0.125, x2 21.376953, x3 10023.861, 迭代序列发散！ 20 若改写原方程为等价方程 xn 1 x 2 10 n
设f(a)<0，f(b)>0.取x0=(a+b)/2 若f( x0)=0，则x=x0是方程f(x)=0的解。 否则若f( x0) <0，取a=x0, b1=b; 若f( x0) >0，取a1=a, b1= x0,有
ba [a1 , b1 ] [a, b], b1 a1 2
且f(x)在区间[a1,b1]上连续，满足(a1)f(b1)<0.
*
注：给定误差限，可求对分区间的次数。
ba ln(b a) ln x xn n 1 n 1 ln 2 2
*
（8-1-4）
例1、
用二分法求方程 x 3 x 2 10 0在
[1 2]内根的近似值，要求绝 对误差不超过 ， 1 102. 2 解： f ( x) x 3 4 x 2 10在[1 2]上 ，