八年级数学多边形及其内角和(含解析答案)

多边形和内角和

练习题

温故而知新：

1.多边形

多边形的内角和：n边形内角和等于＿(n-2)·180°＿＿

多边形的外角和：任意多边形外角和等于＿＿360°＿

多边形的对角线：凸n边形共有＿1

(3)

2

n n-＿条对角线。

2.平面镶嵌

定义：用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖，通常把这类问题叫做用多边形覆盖平面（或平面镶嵌）问题.

说明：正三角形、正方形和正六边形可以镶嵌平面图案，正五边形不能镶嵌平面图案.

多边形的对角线

例 1 今年暑假，佳一学校安排全校师生的假期社会实践活动，将每班分成三个组，每组派1名教师作为指导教师，为了加强同学间的联系，学校要求该班每两人之间（包括指导教师）每周至少通一次电话，现知该校七（1）班共有50名学生，那么该班师生之间每周至少要通几次电话？为了解决这一问题，小明把该班师生人数n与每周至少通话次数s之间的关系用下列模型表示，如图。

解析:

师生53人看作是53边形的53个顶点，n边形的对角线条数公式为：1

(3)

2

n n-。

答案：

解：将七（1）班师生53人看作是53边形的53个顶点，由多边形对角线条数公式1

(3)

2

n n-得

1

⨯⨯-=

53(533)1325

2

所以1325+53=1378次。

答：该班每周师生之间至少要通1378次电话

小结：（1）建立数学模型是解决实际问题的基本方法；（2）n边形的对角线的条数公式是

1

(3)

n n-

2

多边形的内角和与外角和

例2 已知一个多边形的外角和等于内角和的1/3，求这个多边形的边数。

解析：

多边形的外角和为360°，根据多边形的内角和及外角和列方程.

答案：

解：设这个多边形的边数为n，根据题意，得

1

n-⨯=

(2)180360

3

解得 n=8

答：这个多边形的边数是8.

小结：

利用方程求解是解决此类问题的一般方法。

例3 如图，小陈从O点出发，前进5米后向右转20°，再前进5米后又向右转20°，……这样一直走下去，他第一次回到出发点O时一共走了（）

A.60米

B.100米

C.90米

D.120米

解析：

根据多边形的外角和求出这个多边形的边数。

答案：

多边形的边数为360°÷20=18，

所以他第一次回到出发点O时一共走了18×5=90（米）．

举一反三：

1、一个多边形截取一个角后，形成的另一个多边形的内角和是1620°，则原来多边形的边数是（）

A、10

B、11

C、12

D、以上都有可能

解析：

设截后的多边形的边数为n，则（n-2)·180°＝1620°，n=11，所以原来的多边形可能是10或11或12边形.故选D.

常见的星形角度和

例4 如图，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7=＿＿＿

解析：

连接DH，则∠3+∠4＝∠KDH+∠KHD,所以∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7的和即为五边形ABGHD 的内角和.

答案：

解：连接DH，则∠3+∠4=∠KDH+∠KHD，

所以∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7的和就等于五边形ABGHD的内角和。

∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7=3×180°=540°

例5 如图所示，CD∥AF，∠CDE=∠BAF,AB⊥BC,∠C=124°，∠E=80°，试求∠F的度数。

发现这个题目直接去解决也不是很容易，我们应该作一条辅助线，这样也许能方便我们解决问题。

答案一：

解：延长CB交FA的延长线于G（如图）

因为CD∥AF，所以∠C+∠G=180°，

所以∠G=180°-∠C=180°-124°=56°，

所以∠BAF=∠G+∠GBA=56°+90°=146°

所以∠D=∠BAF=146°

因为∠FAB+∠ABC+∠C+∠D+∠E+∠F

=（6-2）×180°=720°

所以∠F=720°-90°-124°-2×146°-80°=134°。

答案二：

解：连接AD（如图）

因为CD∥AF，所以∠1=∠2

在四边形ABCD中，AB⊥BC，所以∠B=90°。

所以∠BAD+∠1=∠BAD+∠2=∠BAF

=360°-（90°+124°）=146°

在四边形ADEF中，∠2+∠ADE=∠CDE=∠BAF=146°。

所以∠F=360°-（146°+80°）=134°（四边形内角和等于360°）。

缺角多边形的边数的求法

例6 佳一学校小聪在进行多边形的内角和的计算时，求得内角和为1680°，当他检查时发现答案错了，少加一个内角，你能找出这个内角吗？这个多边形是几边形？

解析：

n 边形的内角和为（n-2)·180°，少加的一个内角度数在0°～180°之间.

答案：

解：设少加的一个内角为x ，依题意有

1680(2)180x n +=-⨯。 解得2040180x n +=

因为0

180x ，又n 为整数，20401801160÷=，所以x=120° 204012012180

n +== 答：这个内角是120°，这是一个12边形。

小结：

本题考查了多边形内角和公式，根据多边形的边数为正整数求解，问题中如果出现两个未知量，但相等关系只有一个，这就需要借助不定方程求解.

下面我们来看检验一下自己的所学；

举一反三：

1、过m 边形的一个顶点有7条对角线，n 边形没有对角线，k 边形共有k 条对角线，则()n m k -=＿＿＿＿

解析：

由m-3=7，得m=10.

n 边形没有对角线，所以n=3.

故原式=125.