八年级数学多边形及其内角和(含解析答案)
11.3 多边形及其内角和(解析版)2021-2022学年八年级数学上册精选新题汇编(人教版)
2021-2022学年人教版数学八年级上册精选新题汇编第十一章《三角形》11.3 多边形及其内角和一、选择题1.（2021八下·瓯海期中）八边形的内角和等于()A.900°B.1080°C.1260°D.1440°【完整解答】B解：八边形的内角和=（8-2）×180°=1080°.故答案为：B.【思路引导】根据n边形的内角和为（n-2）×180°，把n=8代入进行计算，即可得出答案.2.（2020八上·渝北月考）若一个正多边形的每一个外角都等于36°，则它是()A.正九边形B.正十边形C.正十一边形D.正十二边形【完整解答】B解：这个正多边形的边数：360°÷36°=10，故答案为：B.【思路引导】根据多边形的外角和等于360°可求解.3.（2020八上·恩施月考）一个n边形的每一个外角都是72°，则n等于（）A.3B.4C.5D.6【完整解答】C解：∵多边形的每一个外角都是72°，360°÷72°＝5，所以它的边数是5.故答案为：C.【思路引导】根据多边形的外角和等于360°可求解.4.（2020八上·合江月考）一个多边形的外角和是内角和的一半，这个多边形的边数是( )A.4B.5C.6D.8【完整解答】C解：多边形的内角和是：2×360∘=720∘．设多边形的边数是n，则(n−2)·180=720，解得：n=6．即这个多边形的边数是6．故选：C．【思路引导】根据多边形的外角和是360度，即可求得多边形的内角和的度数，依据多边形的内角和公式即可求解．5.（2021八下·苍南期末）五边形的内角和为( )A.180°B.360°C.540°D.720°【完整解答】C解：五边形的内角和为：(5-2)×180°=540°.故答案为：C.【思路引导】n边形的内角和公式：(n-2)×180°，据此计算.6.（2021八下·贵池期末）一个三角形，剪去一个角后所得的多边形内角和的度数是（）A.180°B.360°C.540°D.180°或360°【完整解答】D剪去一个角，若边数不变，则内角和=（3-2）•180°=180°，若边数增加1，则内角和=（4-2）•180°=360°，所以，所得多边形内角和的度数可能是180°，360°．故答案为：D．【思路引导】先求出剪去一个角，若边数不变，则内角和为180°，再求出若边数增加1，则内角和为360°，最后求解即可。
2023-2024学年八年级上数学：多边形及其内角和(精讲教师版)
2023-2024学年八年级上数学：第十一章三角形
11.3
多边形及其内角和
一、多边形及其相关概念
1．多边形：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫
做多边形．多边形按组成它的线段的条数分成三角形、四边形、五边
形……，如果一个多边形由n条线段组成，那么这个多边形就叫做n边
形．
2．相关概念：①多边形相邻两边组成的角叫做它的内角．②多边形
的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角．③连接多边形
不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线．
二、多边形的对角线
1．定义：多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，
叫做多边形的对角线．
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人教版初中八年级上册数学《多边形及其内角和》同步练习含答案解析
《11.3 多边形及其内角和》一、选择题：1．一个多边形的外角中，钝角的个数不可能是（）A．1个B．2个C．3个D．4个2．不能作为正多边形的内角的度数的是（）A．120°B．（128）°C．144°D．145°3．若一个多边形的各内角都相等，则一个内角与一个外角的度数之比不可能是（）A．2：1 B．1：1 C．5：2 D．5：44．一个多边形的内角中，锐角的个数最多有（）A．3个B．4个C．5个D．6个5．四边形中，如果有一组对角都是直角，那么另一组对角一定（）A．都是钝角 B．都是锐角C．是一个锐角、一个钝角 D．互补6．若从一多边形的一个顶点出发，最多可引10条对角线，则它是（）A．十三边形 B．十二边形 C．十一边形 D．十边形7．若一个多边形共有十四条对角线，则它是（）A．六边形B．七边形C．八边形D．九边形8．一个凸多边形除一个内角外，其余各内角的和为2570°，则这个内角的度数等于（）A．90° B．105°C．130°D．120°二、中考题与竞赛题9．若一个多边形的内角和等于1080°，则这个多边形的边数是（）A．9 B．8 C．7 D．6三、填空题：10．多边形的内角中，最多有个直角．11．从n边形的一个顶点出发可以引条对角线，这些对角线将这个多边形分成个三角形．12．如果一个多边形的每一个内角都相等，且每一个内角都大于135°，那么这个多边形的边数最少为．13．已知一个多边形的每一个外角都相等，一个内角与一个外角的度数之比为9：2，则这个多边形的边数为．14．每一个内角都是144°的多边形有条边．四、基础训练：15．如图所示，用火柴杆摆出一系列三角形图案，按这种方式摆下去，当摆到20层（N=20）时，需要多少根火柴？16．一个多边形的每一个外角都等于24°，求这个多边形的边数．五、提高训练17．一个多边形的每一个内角都相等，一个内角与一个外角的度数之比为m：n，其中m，n是互质的正整数，求这个多边形的边数（用m，n表示）及n的值．六、探索发现18．从n边形的一个顶点出发，最多可以引多少条对角线？请你总结一下n边形共有多少条对角线．《11.3 多边形及其内角和》参考答案与试题解析一、选择题：1．一个多边形的外角中，钝角的个数不可能是（）A．1个B．2个C．3个D．4个【考点】多边形内角与外角．【专题】计算题．【分析】根据n边形的外角和为360°得到外角为钝角的个数最多为3个．【解答】解：∵一个多边形的外角和为360°，∴外角为钝角的个数最多为3个．故选D．【点评】本题考查了多边形的外角和：n边形的外角和为360°．2．不能作为正多边形的内角的度数的是（）A．120°B．（128）°C．144°D．145°【考点】多边形内角与外角．【分析】根据n边形的内角和（n﹣2）•180°分别建立方程，求出n，由于n≥3的整数即可得到D 选项正确．【解答】解：A、（n﹣2）•180°=120•n，解得n=6，所以A选项错误；B、（n﹣2）•180°=（128）°•n，解得n=7，所以B选项错误；C、（n﹣2）•180°=144°•n，解得n=10，所以C选项错误；D、（n﹣2）•180°=145°•n，解得n=，不为整数，所以D选项正确．故选D．【点评】本题考查了多边形的内角和定理：n边形的内角和为（n﹣2）•180°．3．若一个多边形的各内角都相等，则一个内角与一个外角的度数之比不可能是（）A．2：1 B．1：1 C．5：2 D．5：4【考点】多边形内角与外角．【分析】多边形的外角和是360°，且根据多边形的各内角都相等则各个外角一定也相等，根据选项中的比例关系求出外角的度数，根据多边形的外角和定理求出边数，如果是≥3的正整数即可．【解答】解：A、外角是：180×=60°，360÷60=6，故可能；B、外角是：180×=90°，360÷90=4，故可能；C、外角是：180×=度，360÷=7，故可能；D、外角是：180×=80°．360÷80=4.5，故不能构成．故选D．【点评】本题主要考查了多边形的外角和定理，理解外角与内角的关系是解题的关键．4．一个多边形的内角中，锐角的个数最多有（）A．3个B．4个C．5个D．6个【考点】多边形内角与外角．【分析】利用多边形的外角和是360度即可求出答案．【解答】解：因为多边形的外角和是360度，在外角中最多有三个钝角，如果超过三个则和一定大于360度，多边形的内角与相邻的外角互为邻补角，则外角中最多有三个钝角时，内角中就最多有3个锐角．故选A．【点评】本题考查了多边形的内角问题．由于内角和不是定值，不容易考虑，而外角和是360度不变，因而内角的问题可以转化为外角的问题进行考虑．5．四边形中，如果有一组对角都是直角，那么另一组对角一定（）A．都是钝角 B．都是锐角C．是一个锐角、一个钝角 D．互补【考点】多边形内角与外角．【分析】由四边形的内角和等于360°，又由有一组对角都是直角，即可得另一组对角一定互补．【解答】解：如图：∵四边形ABCD的内角和等于360°，即∠A+∠B+∠C+∠D=360°，∵∠A=∠C=90°，∴∠B+∠D=180°．∴另一组对角一定互补．故选D．【点评】此题考查了四边形的内角和定理．此题难度不大，解题的关键是注意掌握四边形的内角和等于360°．6．若从一多边形的一个顶点出发，最多可引10条对角线，则它是（）A．十三边形 B．十二边形 C．十一边形 D．十边形【考点】多边形的对角线．【分析】根据多边形的对角线的定义可知，从n边形的一个顶点出发，可以引（n﹣3）条对角线，由此可得到答案．【解答】解：设这个多边形是n边形．依题意，得n﹣3=10，∴n=13．故这个多边形是13边形．故选：A．【点评】多边形有n条边，则经过多边形的一个顶点所有的对角线有（n﹣3）条，经过多边形的一个顶点的所有对角线把多边形分成（n﹣2）个三角形．7．若一个多边形共有十四条对角线，则它是（）A．六边形B．七边形C．八边形D．九边形【考点】多边形的对角线．【分析】根据多边形对角线公式，可得答案．【解答】解：设多边形为n边形，由题意，得=14，解得n=7，故选：B．【点评】本题考查了多边形的对角线，熟记公式并灵活运用是解题关键．8．一个凸多边形除一个内角外，其余各内角的和为2570°，则这个内角的度数等于（）A．90° B．105°C．130°D．120°【考点】多边形内角与外角．【专题】计算题．【分析】可设这是一个n边形，这个内角的度数为x度，利用多边形的内角和=（n﹣2）•180°，根据多边形内角x的范围，列出关于n的不等式，求出不等式的解集中的正整数解确定出n的值，从而求出多边形的内角和，减去其余的角即可解决问题．【解答】解；设这是一个n边形，这个内角的度数为x度．因为（n﹣2）180°=2570°+x，所以x=（n﹣2）180°﹣2570°=180°n﹣2930°，∵0＜x＜180°，∴0＜180°n﹣2930°＜180°，解得：16.2＜n＜17.2，又n为正整数，∴n=17，所以多边形的内角和为（17﹣2）×180°=2700°，即这个内角的度数是2700°﹣2570°=130°．故本题选C．【点评】本题需利用多边形的内角和公式来解决问题．二、中考题与竞赛题9．若一个多边形的内角和等于1080°，则这个多边形的边数是（）A．9 B．8 C．7 D．6【考点】多边形内角与外角．【分析】多边形的内角和可以表示成（n﹣2）•180°，依此列方程可求解．【解答】解：设所求正n边形边数为n，则1080°=（n﹣2）•180°，解得n=8．故选：B．【点评】本题考查根据多边形的内角和计算公式求多边形的边数，解答时要会根据公式进行正确运算、变形和数据处理．三、填空题：10．多边形的内角中，最多有 4 个直角．【考点】多边形内角与外角．【分析】由多边形的外角和为360°可求得答案．【解答】解：当内角和90°时，它相邻的外角也为90°，∵任意多边形的外角和为360°，∴360°÷90°=4．故答案为：4．【点评】本题主要考查的是多边形的内角与外角，明确任意多边形的外角和为360°是解题的关键．11．从n边形的一个顶点出发可以引n﹣3 条对角线，这些对角线将这个多边形分成n﹣2 个三角形．【考点】多边形的对角线．【分析】根据n边形对角线的定义，可得n边形的对角线，根据对角线的条数，可得对角线分成三角形的个数．【解答】解从n边形的一个顶点出发可以引n﹣3条对角线，这些对角线将这个多边形分成n﹣2个三角形，故答案为：n﹣3，n﹣2．【点评】本题考查了多边形的对角线，由对角线的定义，可画出具体多边形对角线，得出n边形的对角线．12．如果一个多边形的每一个内角都相等，且每一个内角都大于135°，那么这个多边形的边数最少为9 ．【考点】多边形内角与外角．【分析】根据多边形的外角和定理，列出不等式即可求解．【解答】解：因为n边形的外角和是360度，每一个内角都大于135°即每个外角小于45度，就得到不等式：，解得n＞8．因而这个多边形的边数最少为9．【点评】本题已知一个不等关系就可以利用不等式来解决．13．已知一个多边形的每一个外角都相等，一个内角与一个外角的度数之比为9：2，则这个多边形的边数为11 ．【考点】多边形内角与外角．【分析】先根据多边形的内角和外角的关系，求出一个外角．再根据外角和是固定的360°，从而可代入公式求解．【解答】解：设多边形的一个内角为9x度，则一个外角为2x度，依题意得9x+2x=180°解得x=（）°360°÷[2×（）°]=11．答：这个多边形的边数为11．【点评】本题考查多边形的内角与外角关系、方程的思想．关键是记住多边形的一个内角与外角互补、及外角和的特征．14．每一个内角都是144°的多边形有10 条边．【考点】多边形内角与外角．【分析】多边形的内角和可以表示成（n﹣2）•180°，因为所给多边形的每个内角均相等，故又可表示成120°n，列方程可求解．此题还可以由已知条件，求出这个多边形的外角，再利用多边形的外角和定理求解．【解答】解：解法一：设所求n边形边数为n，则144°n=（n﹣2）•180°，解得n=10；解法二：设所求n边形边数为n，∵n边形的每个内角都等于144°，∴n边形的每个外角都等于180°﹣144°=36°．又因为多边形的外角和为360°，即36°•n=360°，∴n=10．【点评】本题考查根据多边形的内角和计算公式求多边形的边数，解答时要会根据公式进行正确运算、变形和数据处理．四、基础训练：15．如图所示，用火柴杆摆出一系列三角形图案，按这种方式摆下去，当摆到20层（N=20）时，需要多少根火柴？【考点】规律型：图形的变化类．【分析】关键是通过归纳与总结，得到其中的规律，按规律求解．【解答】解：n=1时，有1个三角形，需要火柴的根数为：3×1；n=2时，有5个三角形，需要火柴的根数为：3×（1+2）；n=3时，需要火柴的根数为：3×（1+2+3）；…；n=20时，需要火柴的根数为：3×（1+2+3+4+…+20）=630．【点评】此题考查的知识点是图形数字的变化类问题，本题的关键是弄清到底有几个小三角形．16．一个多边形的每一个外角都等于24°，求这个多边形的边数．【考点】多边形内角与外角．【分析】根据多边形外角和为360°及多边形的每一个外角都等于24°，求出多边形的边数即可．【解答】解：设这个多边形的边数为n，则根据多边形外角和为360°，可得出：24×n=360，解得：n=15．所以这个多边形的边数为15．【点评】本题考查了多边形内角与外角，解答本题的关键在于熟练掌握多边形外角和为360°．五、提高训练17．一个多边形的每一个内角都相等，一个内角与一个外角的度数之比为m：n，其中m，n是互质的正整数，求这个多边形的边数（用m，n表示）及n的值．【考点】多边形内角与外角．【分析】设多边形的边数为a，多边形内角和为（a﹣2）180度，外角和为360度得到m：n=180（a ﹣2）：360，从而用m、n表示出a的值．【解答】解：设多边形的边数为a，多边形内角和为（a﹣2）180度，外角和为360度，m：n=180（a﹣2）：360a=，因为m，n 是互质的正整数，a为整数，所以n=2，故答案为：，2．【点评】本题考查了多边形的内角与外角，解答本题的关键在于熟练掌握多边形内角和与多边形外角和．六、探索发现18．从n边形的一个顶点出发，最多可以引多少条对角线？请你总结一下n边形共有多少条对角线．【考点】多边形的对角线．【分析】从n边形的一个顶点出发，最多可以引n﹣3条对角线，然后即可计算出结果．【解答】解：过n边形的一个顶点可引出n﹣3条对角线；n边形共有条对角线．【点评】本题主要考查的是多边形的对角线，掌握多边形的对角线公式是解题的关键．作者留言：非常感谢！您浏览到此文档。
2023-2024学年八年级上学期数学：多边形及其内角和(附答案解析)
第1页（共15页）2023-2024学年八年级上数学：第十一章三角形
11.3
多边形及其内角和
一、选择题
1．如果正多边形的一个内角等于135︒，那么这个正多边形的边数是(
)A ．5B ．6C ．7
D ．82．一个正多边形的内角和是900度，则这个多边形是(
)A ．正六边形B ．正七边形C ．正八边形D ．正九边形
3．如果一个正多边形的一个内角为120︒，则这个正多边形为(
)A ．正五边形B ．正六边形C ．正七边形D ．正八边形
4．如果一个多边形的内角和是它的外角和的5倍，则这个多边形是(
)A ．十边形B ．十一边形C ．十二边形D ．十三边形
5．若一个多边形的内角和是1080度，则这个多边形的边数为(
)A ．6B ．7C ．8D ．10
6．若一个多边形的每一个外角都是30︒，则这个多边形的内角和等于(
)A ．1440︒B ．1620︒C ．1800︒
D ．1980︒7．若正n 边形的每个内角都是120︒，则n 的值是(
)A ．3B ．4C ．6
D ．88．下列图形中，具备“对角线相等”的性质的是(
)A ．平行四边形B ．菱形C ．梯形D ．矩形
9．正多边形的一个内角等于135︒，则该多边形是正(
)边形．。
八年级数学上册多边形及其内角和同步练习含解析
多边形及其内角和一、单选题（共10小题）1．设四边形的内角和等于a，五边形的外角和等于b，则a与b的关系是（)A．a〉b B．a=b C．a〈b D．b=a+180°【答案】B【解析】根据多边形的内角和定理与多边形外角的关系即可得出结论．【详解】解：∵四边形的内角和等于a，∴a=（4﹣2）•180°=360°．∵五边形的外角和等于b，∴b=360°，∴a=b．故选B．2．一个六边形的内角和等于( )A．180°B．360°C．540°D．720°【答案】D【解析】试题分析：根据内角和公式可得：(6－2）×180°＝720°，故选D．点睛：此题主要考查了多边形内角和公式，关键是熟练掌握n 边形的内角和为（n－2)•180°（n≥3，且n为整数）．3．如图为矩形ABCD，一条直线将该矩形分割成两个多边形，若这两个多边形的内角和分别为a和b，则a+b不可能是（）A．360°B．540°C．630°D．720°【答案】C【解析】根据多边形的内角和都是180°的倍数即可作出判断．【详解】一条直线将该矩形ABCD分割成两个多边形，每一个多边形的内角和都是180°的倍数,都能被180整除,分析四个答案,只有630不能被180整除，所以a+b不可能是630°.故选:C。
【点睛】此题考查多边形内角（和）与外角（和）,解题关键在于利用三角形内角和定理进行判断4．下列说法正确的是（）A．三角形可以分为等边三角形、直角三角形、钝角三角形B．如果一个三角形的一个外角大于与它相邻的内角，则这个三角形为锐角三角形C．各边都相等的多边形是正多边形D．五边形有五条对角线【答案】D【解析】根据三角形的分类、三角形内外角的关系以及正多边形的定义即可作出判断．【详解】A、三角形可以分为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形，故选项错误；B、任何一个三角形的一定至少有两个外角大于与它相邻的内角,故选项错误；C、各边都相等、各角相等的多边形是正多边形，故选项错误；D、五边形有五条对角线，正确．故选D．【点睛】本题考查了正多边形的定义，三角形的性质以及分类，理解三角形的内角和外角的关系是关键．5．下列说法中错误的是(）A．三角形的中线、角平分线、高都是线段B．任意三角形的内角和都是180°C．多边形的外角和等于360°D．三角形的一个外角大于任何一个内角【答案】D【解析】根据三角形的角平分线、中线和高的定义可对A进行判断；根据三角形内角和定理可对B进行判断；根据多边形和三角形外角的性质可对C、D进行判断．【详解】解：A、三角形的中线、角平分线、高线都是线段,所以A选项的说法正确；B、三角形的内角和为180°，所以B选项的说法正确;C、多边形的外角和等于360°，所以D选项的说法正确；D、三角形的一个外角大于任何一个不相邻的内角，所以C选项的说法错误．故选:D．【点睛】本题考查了三角形内角和定理：三角形的内角和为180°．也考查了三角形的角平分线、中线和高以及三角形外角的性质．6．下列结论中，错误的是( ）A．五边形的内角和为540° B．五边形的每一个内角为108°C．多边形的外角和为360° D．六边形的内角和等于外角和的2倍【答案】B【解析】利用多边形的内角和与外角和对四个选项逐项判断后即可得到答案．【详解】解：A。
人教版 八年级数学 多边形及其内角和讲义 (含解析)
第2讲多边形及其内角和知识定位讲解用时：5分钟A、适用范围：人教版初二，基础一般；B、知识点概述：本讲义主要用于人教版初二新课，本节课我们要学习多边形及其内角和，首先要学会判断凸多边形和凹多边形，然后要学会计算多边形的内角和和外角和，能够处理多边形的一些基础题目。
知识梳理讲解用时：20分钟凸多边形、凹多边形1、多边形：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形。
2、凸多边形：如果把一个多边形的所有边中，有一条边向两方无限延长成为一直线时，其他各边不都在此直线的同旁，那么这个多边形就叫做凹多边形，其内角中至少有一个钝角。
3、凹多边形：如果把一个多边形的所有边中，任意一条边向两方无限延长成为一直线时，其他各边都在此直线的同旁，那么这个多边形就叫做凸多边形，其内角应该全不是钝角，任意两个顶点间的线段位于多边形的内部或边上。
目前我们研究的都是凸多边形1、多边形的内角：多边形相邻两边组成的角叫做它的内角。
2、多边形的外角：多边形的一边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角。
3、多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线。
4、正多边形：在平面内，各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形。
从同一个顶点引出对角线的条数：0 1 2 3 n-3 （n≥3）分割出三角形的个数：0 2 3 4 n-2 （n≥3）多边形内角和：180° 360° 540° 720° (n-2)·180°课堂精讲精练【例题1】设四边形内角和等于，五边形外角和等于，则与之间的关系是（ ） A.B.C.D.【答案】B【解析】四边形的内角和是360°，多边形的内角和也是360°.解：多边形边数为，则内角和为，四边形内角和，多边形外角和为， 五边形外角和， 因此． 故正确答案为：．讲解用时：2分钟解题思路：此题比较简单，熟记多边形的内角和和外角和公式做题即可. 教学建议：掌握多边形的内角和和外角和公式，灵活做题.难度： 3 适应场景：当堂例题 例题来源：无 年份：2018【练习1.1】下列图形中，多边形有（ ）总结：1、多边形对角线的条数：（1）从n 边形的一个顶点出发可以引（n-3）条对角线，把多边形分词（n-2）个三角形。
多边形内角和(7种题型)-2023年新八年级数学核心知识点与常见题型(人教版)(解析版)
多边形内角和（7种题型）【知识梳理】一、多边形内角和n 边形的内角和为(n-2)·180°(n ≥3)．要点诠释：(1)内角和公式的应用：①已知多边形的边数，求其内角和；②已知多边形内角和求其边数；(2)正多边形；二、多边形的外角和多边形的外角和为360°．要点诠释：(1)在一个多边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做多边形的外角和．n 边形的外角和恒等于360°，它与边数的多少无关；(3)多边形的外角和为360°的作用是：①已知各相等外角度数求多边形边数；②已知多边形边数求各相等外角的度数．三．平面镶嵌（密铺）（1）平面图形镶嵌的定义：用形状，大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接．彼此之间不留空隙，不重叠地铺成一片，这就是平面图形的镶嵌．（2）正多边形镶嵌有三个条件限制：①边长相等；②顶点公共；③在一个顶点处各正多边形的内角之和为360°．判断一种或几种图形是否能够镶嵌，只要看一看拼在同一顶点处的几个角能否构成周角，若能构成360°，则说明能够进行平面镶嵌，反之则不能．（3）单一正多边形的镶嵌：正三角形，正四边形，正六边形．（4）两种正多边形的镶嵌：3个正三角形和2个正方形、四个正三角形和1个正六边形、2个正三角形和2个正六边形、1个正三角形和2个正十二边形、1个正方形和2个正八边形等．（5）用任意的同一种三角形或四边形能镶嵌成一个平面图案．180°【考点剖析】题型一：利用内角和求边数例1.一个多边形的内角和为540°，则它是( )A．四边形 B．五边形 C．六边形 D．七边形解析：熟记多边形的内角和公式(n－2)·180°.设它是n边形，根据题意得(n－2)·180＝540，解得n＝5.故选B.方法总结：熟记多边形的内角和公式是解题的关键．【变式1】（2021·河北承德市·八年级期末）一个多边形的内角和是900°，这个多边形的边数是（）A．3 B．4 C．5 D．7【答案】D【分析】根据多边形的内角和公式：（n-2）•180°去求．【详解】解：设该多边形的边数为n则：（n-2）•180°=900°，解得：n=7．故选：D．【点睛】本题考查了多边形的内角和，关键是要记住公式并会解方程【变式2】（2021·浙江省余姚市实验学校八年级期中）若一个多边形的内角和是720°，则这个多边形的边数为（）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】C【分析】根据正多边形的内角和定义（n−2）×180°，先求出边数，再用内角和除以边数即可求出这个正多边形的每一个内角．【详解】解：（n−2）×180°＝720°，∴n−2＝4，∴n＝6．∴这个多边形的边数为6．故选：C．【点睛】考查了多边形内角与外角．解题的关键是掌握好多边形内角和公式：（n−2）×180°．题型二：求多边形的内角和例2.一个多边形的内角和为1800°，截去一个角后，得到的多边形的内角和为( )A．1620° B．1800°C．1980° D．以上答案都有可能解析：1800÷180＝10，∴原多边形边数为10＋2＝12.∵一个多边形截去一个内角后，边数可能减1，可能不变，也可能加1，∴新多边形的边数可能是11，12，13，∴新多边形的内角和可能是1620°，1800°，1980°.故选D.方法总结：一个多边形截去一个内角后，边数可能减1，可能不变，也可能加1.根据多边形的内角和公式求出原多边形的边数是解题的关键．【变式1】（2021·云南临沧·八年级期末）一个八边形的内角和度数为（）A．360°B．720°C．900°D．1080°【答案】D【分析】应用多边形的内角和公式计算即可．【详解】（n﹣2）•180＝（8﹣2）×180°＝1080°．故选：D．【点睛】此题主要考查了多边形内角和定理，关键是熟练掌握计算公式：（n−2）•180 （n≥3）且n为整数）．【变式2】（2021·广西来宾市·八年级期中）已知一个多边形的每一个内角都比它相邻的外角的4倍多30°，求这个多边形是几边形？并求出这个多边形的内角和．【答案】十二边形，1800°【分析】首先设外角为x°，则内角为（4x＋30）°，根据内角与相邻的外角是互补关系可得x＋4x＋30＝180，解方程可得x的值，再利用外角和360°÷外角的度数可得边数，进而求出内角和．【详解】解：设外角为x°，由题意得：x＋4x＋30＝180，解得：x＝30，360°÷30°＝12，∴（12−2）×180＝1800°，∴这个多边形的内角和是1800°，是十二边形．【点睛】本题主要考查多边形内角与外角的知识点，此题要结合多边形的内角和公式以及外角和，构建方程求解即可．【变式3】（2020·南京市宁海中学八年级开学考试）问题1：如图，我们将图（1）所示的凹四边形称为“镖形”．在“镖形”图中，∠AOC与∠A、∠C、∠P的数量关系为∠AOC=∠A+∠C+∠P．问题2：如图（2），已知AP平分∠BAD，CP平分∠BCD，∠B=28°，∠D=48°，求∠P的大小；小明认为可以利用“镖形”图的结论解决上述问题：由问题1结论得：∠AOC=∠PAO+∠PCO+∠APC，所以2∠AOC=2∠PAO+2∠PCO+2∠APC，即2∠AOC=∠BAO+∠DCO+2∠APC；由“”得：∠AOC=∠BAO+∠B，∠AOC=∠DCO+∠D．所以2∠AOC=∠BAO+∠DCO+∠B+∠D．所以2∠APC= ．所以∠APC= ．请帮助小明完善上述说理过程，并尝试解决下列问题（问题1、问题2中得到的结论可以直接使用，不需说明理由）；解决问题1：如图（3）已知直线平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，猜想∠P与∠B、∠D的关系为解决问题2：如图（4），已知直线AP平分∠BAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，则∠P与∠B、∠D的关系为【答案】问题1、问题2答案见解析；解决问题1：∠P=180°－12（∠B＋∠D）；解决问题2：∠P=90°＋12（∠B＋∠D）【分析】问题1：根据三角形的外角的性质即可得到结论；问题2：根据三角形外角的性质和问题1的结论求解即可；解决问题1：根据四边形的内角和等于360°可得（180°-∠1）+∠P+∠4+∠B=360°，∠2+∠P+（180°-∠3）+∠D=360°，然后整理即可得解；解决问题2：根据（1）的结论∠B+∠BAD=∠D+∠BCD，∠PAD+∠P=∠D+∠PCD，然后整理即可得解．【详解】解：问题1：连接PO并延长．则∠1=∠A＋∠2，∠3=∠C＋∠4，∵∠2＋∠4=∠P，∠1＋∠3=∠AOC，∴∠AOC=∠A＋∠C＋∠P；故答案为：∠AOC=∠A＋∠C＋∠P；问题2：如图2，由问题1结论得：∠AOC=∠PAO+∠PCO+∠APC，所以2∠AOC=2∠PAO+2∠PCO+2∠APC，即2∠AOC=∠BAO+∠DCO+2∠APC；由“三角形外角的性质”得：∠AOC=∠BAO+∠B，∠AOC=∠DCO+∠D．所以2∠AOC=∠BAO+∠DCO+∠B+∠D．所以2∠APC=∠B+∠D．所以∠APC= 12（∠B＋∠D）=38°．解决问题1：如图3，∵AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，∴∠1=∠2，∠3=∠4，∴（180°－2∠1）＋∠B=（180°－2∠4）＋∠D，在四边形APCB中，（180°－∠1）＋∠P＋∠4＋∠B=360°，在四边形APCD中，∠2＋∠P＋（180°－∠3）＋∠D=360°，∴2∠P＋∠B＋∠D=360°，∴∠P=180°－12（∠B＋∠D）；解决问题2：如图4，∵AP平分∠BAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，∴∠1=∠2，∠3=∠4，∵（∠1＋∠2）＋∠B=（180°－2∠3）＋∠D，∠2＋∠P=（180°－∠3）＋∠D，∴2∠P=180°＋∠D＋∠B，∴∠P=90°＋12（∠B＋∠D）．故答案为：∠P=90°＋12（∠B＋∠D）．【点睛】本题主要考查了三角形外角的性质，角平分线的性质，四边形的内角和，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.题型三：复杂图形中的角度计算例3.如图，∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＋∠7＝( )A．450° B．540° C．630° D．720°解析：如图，∵∠3＋∠4＝∠8＋∠9，∴∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＋∠7＝∠1＋∠2＋∠8＋∠9＋∠5＋∠6＋∠7＝五边形的内角和＝540°，故选B.方法总结：根据图形特点，将问题转化为熟知的问题，体现了转化思想的优越性．【变式1】（2021·全国八年级单元测试）如图，在五边形ABCDE中，∠D＝120°，与∠EAB相邻的外角是80°，与∠DEA，∠ABC相邻的外角都是60°，则∠C为________度．【答案】80【分析】利用邻补角的定义分别求出∠DEA，∠ABC，∠EAB的度数；再利用五边形的内角和为540毒，可求出∠C的度数．【详解】解：∵与∠EAB相邻的外角是80°，与∠DEA，∠ABC相邻的外角都是60°，∴∠DEA＝180°－60°＝120°，∠ABC＝180°－60°＝120°，∠EAB＝180°－80°＝100°；五边形的内角和为（5－2）×180°＝540°；∴∠C＝540°－120°－120°－120°－100°＝80°．故答案为：80．【点睛】此题考查了多边形内角和的性质，涉及了邻补角的定义，熟练掌握相关基本性质是解题的关键．【变式2】（2020·南京市宁海中学八年级开学考试）如图，五边形ABCDE的两个内角平分线相交于点O，∠1，∠2，∠3是五边形的3个外角，若∠1+∠2+∠3=220°，则∠AOB=___________．【答案】70°【分析】先求出与∠EAB和∠CBA相邻的外角的度数和，然后根据多边形外角和定理即可求解．【详解】如图，∵∠1+∠2+∠3=220°，∴∠4+∠5=360°-220°=140°，∴∠EAB+∠CBA=220°，∵AO，BO分别平分∠EAB，∠ABC，∴∠OAB+∠OBA=110°，∴∠AOB=180°-（∠OAB+∠OBA）=70°．故答案是：70°．【点睛】本题主要考查了多边形外角和定理，三角形的内角和定理，熟练掌握多边形的外角和等于360°是解题的关键．【变式3】（2022春•武冈市期中）如图，求∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7的度数．【分析】利用三角形内角和定理将不规则图形转化成规则图形：五边形．【解答】解：如图，由三角形内角和定理得：∠1+∠5＝∠8+∠9，∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7＝∠1+∠5+∠2+∠3+∠4+∠6+∠7＝∠8+∠9+∠2+∠3+∠4+∠6+∠7＝180°×（5﹣2）＝540°．【点评】本题主要考查多边形内角和，解题关键是利用三角形内角和定理将不规则图形转化成规则图形．【变式4】（2022春•宿城区校级月考）利用“模型”解决几何综合问题往往会取得事半功倍的效果．几何模型：如图（1），我们称它为“A”型图案，易证明：∠EDF＝∠A+∠B+∠C．运用以上模型结论解决问题：（1）如图（2），“五角星”形，求∠A1+∠A2+∠A3+∠A4+∠A5＝？分析：图中A1A3DA4是“A”型图，于是∠A2DA5＝∠A1+∠A3+∠A4，所以∠A1+∠A2+∠A3+∠A4+∠A5＝；（2）如图（3），“七角星”形，求∠A1+∠A2+∠A3+∠A4+∠A5+∠A6+∠A7的度数．【分析】（1）根据三角形外角的性质把5个角转化到一个三角形中可得答案；（2）根据三角形外角的性质把7个角转化到一个三角形中可得答案．【解答】解：（1）如图，由三角形外角的性质可得，∠1＝∠A1+∠A4，∵∠A2DA5＝∠1+∠A3，∴∠A2DA5＝∠A1+∠A4+∠A3，∵∠A2DA5+∠A2+∠A5＝180°，∴∠A1+∠A2+∠A3+∠A4+∠A5＝180°，故答案为：180°；（2）如图，由（1）得，∠1＝∠A1+∠A4+∠A5，∠2＝∠A2+∠A3+∠A6，∵∠1+∠2+∠A7＝180°，∴∠A1+∠A2+∠A3+∠A4+∠A5+∠A6+∠A7＝180°．【点评】本题考查多边形的内角和与三角形外角的性质，能够根据三角形外角的性质进行转化是解题关键．题型四：利用方程和不等式确定多边形的边数例4.一个同学在进行多边形的内角和计算时，求得内角和为1125°，当他发现错了以后，重新检查，发现少算了一个内角，问这个内角是多少度？他求的是几边形的内角和？解析：本题首先由题意找出不等关系列出不等式，进而求出这一内角的取值范围；然后可确定这一内角的度数，进一步得出这个多边形的边数．解：设此多边形的内角和为x ，则有1125°＜x ＜1125°＋180°，即180°×6＋45°＜x ＜180°×7＋45°，因为x 为多边形的内角和，所以它是180°的倍数，所以x ＝180°×7＝1260°.所以7＋2＝9，1260°－1125°＝135°.因此，漏加的这个内角是135°，这个多边形是九边形．方法总结：解题的关键是由题意列出不等式求出这个多边形的边数． 【变式1】．（2023春·全国·八年级专题练习）看图回答问题：(1)内角和为2014°，小明为什么说不可能？(2)小华求的是几边形的内角和？【答案】(1)理由见详解(2)13【分析】（1（2）根据题意设多边形的边数为x ，根据多边形的内角和定理即可求解．【详解】（1）解：∵设多边形的边数为n ，则n 边形的内角和是180(2)n ︒⨯−，∴内角和一定是180︒度的倍数，∵20141801134÷=，∴内角和为2014︒不可能．（2）解：设多边形的边数为x ，∴180(2)2014x ︒⨯−<︒，解得，171390x <， ∴多边形的边数是13，∴小华求的是十三边形的内角和．【点睛】本题主要考查多边形的内角和定理，掌握多边形的内角和定理是解题的关键．【变式2】（2023春·全国·八年级专题练习）解决多边形问题：(1)一个多边形的内角和是外角和的3倍，它是几边形？(2)小华在求一个多边形的内角和时，重复加了一个角的度数，计算结果是1170︒，这个多边形是几边形？【答案】(1)八边形(2)八边形【分析】（1）根据多边形的内角和公式、多边形的外角和等于360︒建立方程，解方程即可得；（2）设这个多边形是n 边形，重复加的一个角的度数为x ，则0180x ︒<<︒，再根据多边形的内角和公式建立等式，结合0180x ︒<<︒建立不等式组，解不等式组即可得．【详解】（1）解：设这个多边形是n 边形，由题意得：()18023360n ︒−=⨯︒，解得8n =，答：这个多边形是八边形．（2）解：设这个多边形是n 边形，重复加的一个角的度数为x ，则0180x ︒<<︒，由题意得：()18021170n x ︒−+=︒，解得1530180x n =︒−︒，则01530180180n ︒<︒−︒<︒，即153018001530180180n n ︒−︒>︒⎧⎨︒−︒<︒⎩，解得151722n <<， n Q 为正整数，8n ∴=，答：这个多边形是八边形．【点睛】本题考查了多边形的内角和与外角和、一元一次不等式组的应用，正确建立方程和不等式组是解题关键．题型五：已知各相等外角的度数，求多边形的边数例5.正多边形的一个外角等于36°，则该多边形是正( )A ．八边形B ．九边形C ．十边形D ．十一边形解析：正多边形的边数为360°÷36°＝10，则这个多边形是正十边形．故选C.方法总结：如果已知正多边形的一个外角，求边数可直接利用外角和除以这个角即可．【变式1】．（2022春·八年级单元测试）已知一个多边形的每个外角都是30︒，那么这个多边形的边数是__________．【答案】12【分析】利用任何多边形的外角和是360︒除以外角度数即可求出答案．÷=，【详解】解：多边形的外角的个数是3603012所以多边形的边数是12，故答案为：12．【点睛】本题主要考查了多边形的外角和定理，已知外角求边数的这种方法是需要熟记的内容．【变式2】（2021·广西八年级期中）己知一个n边形的每一个外角都等于30°．（1）求n的值．（2）求这个n边形的内角和．【答案】（1）12；（2）1800°【分析】（1）用360°除以外角度数可得答案．（2）先求出每个内角的度数，再利用内角度数×内角的个数即可．【详解】解：（1）∵n边形的每一个外角都等于30°∴n＝360°÷30°＝12；（2）∵每个内角=180°-30°=150∴内角和=12×150°＝1800°．【点睛】此题主要考查了多边形的内角和、外角和，关键是掌握多边形的外交和等于360°．题型六：多边形内角和与外角和的综合运用例6.一个多边形的内角和与外角和的和为540°，则它是( )A．五边形 B．四边形 C．三角形 D．不能确定解析：设这个多边形的边数为n，则依题意可得(n－2)×180°＋360°＝540°，解得n＝3，∴这个多边形是三角形．故选C.方法总结：熟练掌握多边形的内角和定理及外角和定理，解题的关键是由已知等量关系列出方程从而解决问题．【变式1】（2021·陕西）一个多边形的内角和与外角和的度数之和为1260︒，求这个多边形的边数．【答案】多边形的边数为7【分析】设这个多边形的边数为n，根据这个多边形的内角和+外角和360°=1800°，列出方程求解即可．【详解】解：设多边形的边数是n，由题意得，()21803601260n−⨯︒+︒=︒，n=．解得：7答：多边形的边数为7．【点睛】本题考查了多边形的内角和与外角和定理，任意多边形的外角和都是360°，与边数无关，熟练多边形的内角和定理是解题的关键．【变式2】（2021·广西来宾市·八年级期中）已知一个多边形的每一个内角都比它相邻的外角的4倍多30°，求这个多边形是几边形？并求出这个多边形的内角和．【答案】十二边形，1800°【分析】首先设外角为x°，则内角为（4x＋30）°，根据内角与相邻的外角是互补关系可得x＋4x＋30＝180，解方程可得x的值，再利用外角和360°÷外角的度数可得边数，进而求出内角和．【详解】解：设外角为x°，由题意得：x＋4x＋30＝180，解得：x＝30，360°÷30°＝12，∴（12−2）×180＝1800°，∴这个多边形的内角和是1800°，是十二边形．【点睛】本题主要考查多边形内角与外角的知识点，此题要结合多边形的内角和公式以及外角和，构建方程求解即可．【变式3】（2021秋•泰州期末）【相关概念】将多边形的内角一边反向延长，与另一条边相夹形成的那个角叫做多边形的外角．如图，将△ABC中∠ACB的边CB反向延长，与另一边AC形成的∠ACD即为△ACB的一个外角．三角形外角和与三角形内角和对应，为与三个内角分别相邻的三个外角的和．【求解方法】借助一组内角与外角的数量关系，可以求出三角形的外角和．如图，△ABC的外角和＝（180°﹣∠ACB）+（180°﹣∠CAB）+（180°﹣∠ABC）＝540°﹣（∠ACB+∠ABC+∠CAB）＝540°﹣180°＝360°．【自主探究】根据以上提示，完成下列问题：（1）将下列表格补充完整．（2）如果一个八边形的每一个内角都相等，请用两种不同的方法求出这个八边形一个内角的度数．【分析】（1）根据n 边形的内角和为（n ﹣2）×180°，n 边形的外角和为360°即可得出答案；（2）根据多边形的内角和公式和多边形的外角和360°即可得出答案．【解答】解：（1）内角和分别为：四边形内角和是：（4﹣2）×180°＝360°，，五边形内角和是：（5﹣2）×180°＝540°，n 边形内角和是：180°（n ﹣2）；外角和分别为：360°、360°、360°；故答案为：360°、540°、180°（n﹣2），360°、360°、360°；（2）这个八边形一个内角的度数是：方法一：（8﹣2）×180°÷8＝135°，方法二：180°﹣360°÷8＝135°．【点评】本题考查了多边形内角与外角：n边形的内角和为（n﹣2）×180°；n边形的外角和为360°．题型七：平面镶嵌例7．（2022春·八年级单元测试）用同一种下列形状的图形地砖不能进行平面镶嵌的是（）A．正三角形B．长方形C．正八边形D．正六边形【答案】C【分析】分别求出各个正多边形的每个内角的度数，结合镶嵌的条件即可求出答案．【详解】解：A．正三角形的每个内角是60︒，能整除360︒，能密铺，故A不符合题意；B．长方形的每个内角是90︒，能整除360︒，能密铺，故B不符合题意；C．正八边形的每个内角为：1803608135︒−︒÷=︒，不能整除360︒，不能密铺，故C符合题意；D．正六边形的每个内角为120︒度，能整除360︒，能密铺，故D不符合题意．故选：C．【点睛】本题主要考查了平面镶嵌，解题的关键是熟练掌握一种正多边形的镶嵌应符合一个内角度数能整除360︒．【变式】（2022春·八年级单元测试）用正多边形来镶嵌平面的原理是共顶点的各个角之和必须等于360︒．现在有七种不同的正多边形：①正三角形、②正方形、③正六边形、④正八边形、⑤正十边形、⑥正十二边形、⑦正十五边形．请你用其中的不同的三种正多边形来镶嵌平面，这三种正多边形可以是：________．（请用序号表示，只需写出两种即可）【答案】①②③或①②⑥或②③⑥【分析】先分别求出正三角形、正方形、正五边形、正六边形、正七边形、正八边形的每个内角，然后根据平面镶嵌的条件解答即可．【详解】解：用公式()1802nn︒⨯−分别计算出正三角形的内角为60︒，正方形的内角为90︒，正六边形的内角为120︒，正八边形内角为135︒，正十边形的内角为144︒，正十二边形的内角为150︒，正十五边形的内角为156︒，∵609090120360︒+︒+︒+︒=︒，∴正三角形、正方形、正六边形可以进行平面镶嵌；∵606090150360︒+︒+︒+︒=︒，∴正三角形、正方形、正十二边形可以进行平面镶嵌；∵90120150360︒+︒+︒=︒，∴正方形、正六边形、正十二边形可以进行平面镶嵌；故答案为：①②③或①②⑥或②③⑥．【点睛】本题主要考查了镶嵌的条件，镶嵌的条件是看位于同一顶点处的几个角之和能否为360︒．【过关检测】一、单选题A．180︒B．360【答案】B【分析】根据多边形的外角和等于360︒解答即可．【详解】解：由多边形的外角和等于360︒可知，123456360∠+∠+∠+∠+∠+∠=︒，故选：B．【点睛】本题考查的是多边形的外角和，掌握多边形的外角和等于360︒是解题的关键．2．（2023春·山东泰安·八年级校考期末）正多边形的内角和为720︒，则这个多边形的一个内角为（）A．90︒B．60︒C．120︒D．135︒【答案】C【分析】由正多边形的内角和为720︒，可得()2180720n−︒=︒，再求解n可得答案．【详解】解：∵正多边形的内角和为720︒，∴()2180720 n−︒=︒，解得：6n=，∴这个多边形的一个内角为720=1206︒︒；故选C【点睛】本题考查的是正多边形的内角和问题，熟记多边形的内角和公式与正多边形的定义是解本题的关键．3．（2023春·浙江·八年级专题练习）一个多边形的内角和是其外角和的2倍，则这个多边形是（）A．六边形B．七边形C．八边形D．九边形【答案】A【分析】设这个多边形的边数为n，根据多边形的内角和公式和多边形的外角和都是360︒，列出方程即可求出结论．【详解】解：设多边形的边数是n，根据题意得，()21802360n−⨯︒=⨯︒，解得：6n=，∴这个多边形为六边形．故选：A．【点睛】本题主要考查了多边形的内角和公式与外角和定理，根据题意列出方程是解题的关键．4．（2023春·浙江·八年级专题练习）一个多边形的每个内角都相等，这个多边形的外角不可能是（）A．30︒B．40︒C．50︒D．60︒【答案】C【分析】根据多边形的每个内角都相等，则这个多边形的每一个外角均相等，根据外角和等于360︒即可求解．【详解】解：由题意得，多边形的每个内角都相等，∴这个多边形的每一个外角均相等．∴每一个外角的度数整除360︒，∵30︒、40︒、60︒均能整除360︒，50︒不能整除360︒，∴选项C 符合题意．故选：C ．【点睛】本题考查了多边形的外角和，熟记知识点是解题关键． 5．（2023春·全国·八年级专题练习）如图，A B C D E F ∠+∠+∠+∠+∠+∠等于（ ）A ．240︒B ．300︒C ．360︒D ．540︒【答案】C 【分析】连接BD ，根据四边形内角和可得360A ABO OBD BDO CDO C ∠+∠++∠+∠+∠=︒，再由“8”字三角形可得OBD ODB E F ∠+∠=∠+∠，进而可得答案．【详解】解：连接BD ，如图，∵360A ABO OBD BDO CDO C ∠+∠+∠+∠+∠+∠=︒，OBD ODB E F ∠+∠=∠+∠，∴360A ABO E F CDO C ∠+∠+∠+∠+∠+∠=︒，故选C ．【点睛】本题考查了多边形的内角和，以及“8”字三角形的特点，正确作出辅助线是解答本题的关键．6．（2022春·八年级单元测试）将一个多边形切去一个角后所得的多边形内角和为2520，则原多边形的边数为（ ）A ．15或16B ．16或17C ．15或16或17D ．16或17或18【答案】C【分析】因为一个多边形截去一个角后，多边形的边数可能增加了一条，也可能不变或减少了一条，根据多边形的内角和即可解决问题．【详解】解：多边形的内角和可以表示成()2180n −⋅︒（3n ≥且n 是正整数），一个多边形截去一个角后，多边形的边数可能增加了一条，也可能不变或减少了一条，根据题意得()21802520n −⋅︒=︒，解得：16n =，则多边形的边数是15或16或17，故C 正确．故选：C ．【点睛】本题主要考查了多边形的内角和定理，本题容易出现的错误是：认为截取一个角后角的个数减少1． 7．（2023秋·广西钦州·八年级统考期末）小红：我计算出一个多边形的内角和为2020︒；老师：不对呀，你可能少加了一个角！则小红少加的这个角的度数是（ ）A ．110︒B ．120︒C ．130︒D ．140︒【答案】D【分析】设这个多边形的边数为n ，少加的角的度数为x ，由多边形内角和定理可得等式：180(2)2020n x −=+，由n 为整数即可确定x 的值．【详解】设这个多边形的边数为n ，少加的角的度数为x ，由题意得：180(2)2020n x −=+，4013180xn +∴=+，由于n 为整数，x 为正数且小于180，40180x ∴+=，则140x =，故选：D ．【点睛】本题考查了多边形内角和定理，关键是设多边形的边数及少加的角的度数，由多边形内角和定理得到等式，根据边数为整数确定少加的角．8．（2023·全国·八年级假期作业）已知一个多边形内角和为1080︒，则这个多边形可连对角线的条数是（ ）A ．10B ．16C ．20D ．40【答案】C【分析】先根据多边形内角和计算公式求出这个多边形是八边形，再根据多边形对角线计算公式求解即可．【详解】解：设这个多边形为n边形，由题意得，()180210802n⨯−=，∴8n=，∴这个多边形为八边形，∴这个多边形可连对角线的条数是()883202⨯−=，故选C．【点睛】本题主要考查了多边形内角和定理，多边形对角线计算公式，熟知n边形的对角线条数是()32 n n−是解题的关键．9．（2023秋·八年级课时练习）一个多边形截去一角后，变成一个八边形，则这个多边形原来的边数是（）A．8或9B．7或8C．7或8或9D．8或9或10【答案】C【分析】画出所有可能的情况，即可作答．【详解】如图所示∴这个多边形原来是7边形或8边形或9边形故选C．【点睛】本题考查的知识点是多边形内角与外角，解题关键是注意分情况作答．二、填空题10．（2023春·安徽淮北·八年级淮北一中校联考阶段练习）若n边形的每个内角都是108，则边数n为___．【答案】5【分析】根据多边形的内角和公式()2180n︒−⋅列方程求解即可．【详解】解：由题意得， ()2180108n n ︒︒−⋅=⋅解得：5n =．故答案为：5．【点睛】本题考查了多边形的内角和，熟记内角和公式并列出方程是解题的关键． 11．（2022春·八年级单元测试）如图是由射线AB 、BC 、CD 、DA 组成的平面图形，则1234∠+∠+∠+∠=______°．【答案】360【分析】根据多边形的外角和为360︒求解即可．【详解】解：由图可知，1∠、2∠、3∠、4∠为组成的四边形的外角，∴1234360∠+∠+∠+∠=︒，故答案为：360．【点睛】本题考查多边形的外角性质，熟知多边形的外角和为360︒是解题的关键．12．（2023春·浙江宁波·八年级校联考期中）一个正n 多边形的一个内角是它的外角的4倍，则n =___________．【答案】10【分析】由多边形的每一个内角与相邻的这个外角互补先求解每一个外角，从而可得答案．【详解】解：∵一个正n 多边形的一个内角是它的外角的4倍，∴正多边形的每一个外角为：180365︒=︒，∴3601036n ︒==︒，故答案为：10．【点睛】本题考查的是正多边形的内角和与外角和的综合，熟记多边形的每一个内角与相邻的这个外角互补是解本题的关键．13．（2023春·全国·八年级专题练习）若一个多边形的每个外角均为36︒，则这个多边形的内角和为_______度．【答案】1440【分析】依据多边形外角和为360︒求得边数，再依据多边形内角和公式代入求解即可．【详解】解：因为多边形的每个外角均为36︒，且外角和为360︒，所以这个多边形边数：3603610︒÷︒=，则这个多边形的内角和为：()1021801440−⨯︒=︒，故答案为：1440．【点睛】本题考查了多边形内角和公式、外角和为360︒；通过外角和求得边数是解题的关键．【答案】12【分析】设这个多边形的边数为n，根据题意得多边形的内角和是外角和的5倍，列出方程求解即可．【详解】解：设这个多边形的边数为n，根据题意得多边形的内角和是外角和的5倍，∴() 36052180n⨯=−⨯，解得：12n=，所以这个多边形的边数为12．故答案为：12．【点睛】题目主要考查一元一次方程的应用及多边形的内角和与外角和等，理解题意，列出方程是解题关键．15．（2023春·陕西西安·八年级西安行知中学校考阶段练习）一个多边形的内角和是外角和的3倍，则它是____________边形．【答案】八【分析】多边形的外角和是360度，多边形的内角和是外角和的3倍，则多边形的内角和是()3603︒⨯度，根据多边形的内角和可以表示成()2180n−⋅︒，依此列方程可求解．【详解】解：设多边形边数为n．则() 36032180n⨯=−⋅，解得8n=．∴这个多边形是八边形．故答案为：八．【点睛】本题主要考查了多边形内角和公式及外角的特征．求多边形的边数，可以转化为方程的问题来解决．16．（2023·全国·八年级假期作业）一个n边形的所有内角和等于540︒，则n的值等于__．【答案】5【分析】已知n边形的内角和为540︒，根据多边形内角和的公式易求解．【详解】解：依题意有()2180540n−⋅︒=︒，解得5n=．故答案为：5．【点睛】主要考查的是多边形的内角和公式，本题的难度简单．掌握多边形的内角和为()2180n−⋅︒是解题的关键．【答案】1080°【分析】连KF，GI，根据n边形的内角和定理得到7边形ABCDEFK的内角和＝（7－2）×180°＝900°，则∠A ＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠K＋（∠1＋∠2）＝900°，由三角形内角和定理可得到∠1＋∠2＝∠3＋∠4，∠5＋∠6＋∠H＝180°，则∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠K＋（∠3＋∠4）＋∠5＋∠6＋∠H＝900°＋180°，即可得到∠A ＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠H＋∠I＋∠K的度数．【详解】解：连KF，GI，如图，。
人教版八年级数学上册金榜名师推荐课时提升作业11.3多边形及其内角和(含答案解析)
课时提高作业 ( 五)多边形及其内角和(30 分钟50分)一、选择题 ( 每题 4 分, 共 12 分)1. 如图 , 以下图形不是凸多边形的是()【分析】选 C.若将侧,有一部分在直线ABAB向双方延伸右边 .,这个图形有一部分在直线AB左【知识概括】多边形的分类多边形有两类 :一类是凸多边形 ,它的每个内角都小于180 °,另一类是凹多边形 ,它的内角中起码有一个大于180°.2.(2014 ·连江理智质检 ) 如下图 , 一个 60°角的三角形纸片 , 剪去这个 60°角后 , 获得一个四边形 , 则∠ 1+∠2 的度数为()A.120 °B.180°C.240°D.300°【分析】选 C.依据三角形的内角和定理得:四边形除掉∠1,∠2 后的两角的度数为180 °-60 °=120 °,则依据四边形的内角和定理得: ∠1+ ∠2=360 °-120 °=240 °.3.多边形的每个内角都等于 150°, 则此后多边形的一个极点出发可作的对角线共有 ()A.8 条B.9条C.10条D.11条【分析】选 B.∵多边形的每个内角都等于 150 °,∴多边形的每个外角都等于180 °-150 °=30 °,∴边数 n=360 °÷30°=12, ∴此后多边形的一个极点出发可作的对角线条数为12-3=9.二、填空题 ( 每题 4 分, 共 12 分)4. 剪掉多边形的一个角 , 则所成的新多边形的内角和.【分析】 n 边形的内角和是 (n-2) ·180 °,因为剪掉一个多边形的一个角,则所得新的多边形的边数可能增添一, 可能不变 ,也可能减少一 , 因此所成的新多边形的内角和增添180°或不变或减少180 °.答案 :增添 180 °或不变或减少180°5.如图 : 小亮从 A 点出发行进 10m,向右转 15°, 再行进 10m,又向右转15° , , 这样向来走下去, 他第一次回到出发点 A 时 , 一共走了m.【分析】此多边形的每个外角均相等,每一条边都相等, 由外角和为360 °,得边数 ==24, 则小亮走的总行程为24 ×10=240(m).答案 :2406. 因为一个多边形的外角最多能有个钝角,所以,一个多边形的内角最多能有个锐角 .【分析】多边形的外角和是360 °,设最多有x 个钝角 ,则 90 °x<360 °,解得 x<4, ∴x 最大取 3,即外角最多有 3 个钝角 .∴内角最多有 3 个锐角 .答案:3 3三、解答题 ( 共 26 分)7.(8分)在一个正多边形中,一个外角的度数等于一个内角度数的,求这个正多边形的边数和它每一个内角的度数.【分析】设这个正多边形的边数为n,由题意得 : (n-2) ×180=360, 解得 :n=9,故每一个内角为180 °-=140 °.答:这个正多边形的边数为 9,每一个内角的度数为 140 °.8.(8 分) 四边形 ABCD中, ∠A=140°, ∠D=80°.(1) 如图 1, 若∠ B=∠C,试求出∠ C的度数 .(2) 如图 2, 若∠ ABC的角均分线 BE交 DC于点 E, 且 BE∥AD,试求出∠ C 的度数 .【分析】 (1)因为∠A+∠B+∠C+ ∠D=360 °,∠B=∠C,所以∠B=∠C===70 °.(2) ∵BE∥AD,∴∠BEC= ∠D=80 °,∠ABE=180 °-∠A=180 °-140 °=40 °.又∵BE 均分∠ABC, ∴∠EBC= ∠ABE=40 °,∴∠C=180 °-∠EBC- ∠BEC=180 °-40 °-80°=60 °.【培优训练】9.(10 分) 小明和小亮分别利用图①、图②的不一样方法求出了五边形的内角和都是 540°. 请你考虑在图③中再用此外一种方法求五边形的内角和 . 并写出求解过程 .【分析】(答案不独一)连结五边形的一对不相邻的极点,获得一个三角形和一个四边形,三角形的内角和是180 °,四边形的内角和是360°,因此五边形的内角和是 180 °+360 °=540 °.。
八年级数学多边形及其内角和(含解析答案)
多边形和内角和练习题温故而知新：1.多边形多边形的内角和：n边形内角和等于＿（n-2)·180°＿＿多边形的外角和：任意多边形外角和等于＿＿360°＿多边形的对角线：凸n边形共有＿1(3)2n n-＿条对角线.2.平面镶嵌定义：用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖，通常把这类问题叫做用多边形覆盖平面(或平面镶嵌）问题.说明：正三角形、正方形和正六边形可以镶嵌平面图案,正五边形不能镶嵌平面图案.多边形的对角线例 1 今年暑假，佳一学校安排全校师生的假期社会实践活动，将每班分成三个组，每组派1名教师作为指导教师，为了加强同学间的联系，学校要求该班每两人之间（包括指导教师）每周至少通一次电话，现知该校七（1）班共有50名学生,那么该班师生之间每周至少要通几次电话?为了解决这一问题，小明把该班师生人数n与每周至少通话次数s之间的关系用下列模型表示，如图。
解析：师生53人看作是53边形的53个顶点，n边形的对角线条数公式为：1(3)2n n-。
答案：解：将七（1）班师生53人看作是53边形的53个顶点,由多边形对角线条数公式1(3)2n n-得1⨯⨯-=53(533)13252所以1325+53=1378次。
答：该班每周师生之间至少要通1378次电话小结：(1)建立数学模型是解决实际问题的基本方法;（2）n边形的对角线的条数公式是1(3)n n-2多边形的内角和与外角和例2 已知一个多边形的外角和等于内角和的1/3，求这个多边形的边数。
解析：多边形的外角和为360°，根据多边形的内角和及外角和列方程。
答案：解:设这个多边形的边数为n，根据题意,得1n-⨯=(2)1803603解得 n=8答：这个多边形的边数是8.小结：利用方程求解是解决此类问题的一般方法.例3 如图,小陈从O点出发,前进5米后向右转20°，再前进5米后又向右转20°，……这样一直走下去，他第一次回到出发点O时一共走了（）A。
八年级数学同步练习-多边形及其内角和
11.3多边形及其内角和1、若一个凸多边形的内角和为720°，则这个多边形的边数为（）．A. 4B. 5C. 6D. 72、若多边形的边数由3增加到n(n为大于3的整数)，则其外角和的度数（）．A. 增加B. 减少C. 不变D. 不能确定3、如果一个多边形的内角和等于它的外角和的2倍，则这个多边形是（）．A. 三角形B. 四边形C. 五边形D. 六边形4、正十边形的每一个内角的度数为（）．A. 120°B. 135°C. 140°D. 144°5、一个多边形的每一个外角都是45°，则这个多边形的边数为（）．A. 6B. 7C. 8D. 96、如图，小明从A点出发，沿直线前进12米后向左转36°，再沿直线前12米，又向左转36°⋯照这样走下去，他第一次回到出发地A点时，一共走了米．7、若一个正多边形的内角和为720°，则这个正多边形的每一个内角是（）．A. 60°B. 90°C. 108°D. 120°8、如果过一个多边形的一个顶点的对角线有6条，则该多边形是（）．A. 九边形B. 八边形C. 七边形D. 六边形9、从n边形的一个顶点作对角线，把这个n边形分成三角形的个数是（）．A. n个B. (n−1)个C. (n−2)个D. (n−3)个10、下面的平面图形中，不能镶嵌平面的图形是（）．A. 正三角形B. 正六边形C. 正四边形D. 正五边形11、如图，将一个长方形剪去一个角，则剩下的多边形为（）．A. 五边形B. 四边形或五边形C. 三角形或五边形D. 三角形或四边形或五边形12、一个多边形截去一个角后，形成另一个多边形的内角和为720°，那么原多边形的边数为（）．A. 5B. 5或6C. 5或7D. 5或6或713、如图，∠1是五边形ABCDE的一个外角，若∠1=65°，则∠A+∠B+∠C+∠D=°．14、如图，∠1，∠2，∠3，∠4是五边形ABCDE的外角，且∠1=∠2=∠3=∠4=70°，则∠AED的度数是．15、若正多边形的内角和是1080°，则该正多边形的边数是．16、一个多边形的每一个外角都等于40°，则它的边数为．17、如果一个多边形的内角和是外角和的3倍，则这个多边形的边数是（）．A. 8B. 9C. 10D. 1118、某多边形的内角和加上其外角和等于1080°，则此多边形的边数是（）．A. 4B. 5C. 6D. 719、一个正多边形的外角与它相邻的内角之比为1:4，那么这个多边形的边数为（）．A. 8B. 9C. 10D. 1220、如图所示，小华从A点出发，沿直线前进10米后左转24°，再沿直线前进10米，又向左转24°，⋅⋅⋅，照这样走下去，他第一次回到出发地A点时，一共走的路程是（）．A. 140米B. 150米C. 160米D. 240米21、经过多边形一个顶点的所有对角线把多边形分成10个三角形，多边形的边数是（）．A. 8条B. 9条C. 12条D. 11条22、如果一个多边形的每个外角是40°，那么从这个多边形的一个顶点出发，可以引出条对角线．23、如果限于用一种正多边形镶嵌，下列正多边形不能镶嵌成一个平面图形的是（）．A. 正三角形B. 正方形C. 正五边形D. 正六边形24、如果一个正方形被截掉一个角后，得到一个多边形，那么这个多边形的内角和是．25、一个多边形截去一个角后，形成另一个多边形的内角和为2520°，则原多边形的边数是（）．A. 17B. 16C. 15D. 16或15或1726、如图，在五边形ABCDE中，∠A+∠B+∠E=300°，DP、CP分别平分∠EDC、∠BCD，则∠P=（）．A. 50°B. 55°C. 60°D. 65°27、如图是由射线AB，BC，CD，DE，EA组成的平面图形，则∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=°．28、如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=°．1 、【答案】 C;【解析】设这个多边形的边数为n，则(n−2)×180°=720°，解得n=6，故这个多边形为六边形．故选C．2 、【答案】 C;【解析】因为多边形外角和固定为360°，所以外角和的度数是不变的．故选：C．3 、【答案】 D;【解析】设多边形为n边形，由题意，得(n−2)⋅180=360×2，解得n=6．故选D．4 、【答案】 D;【解析】方法一 : ∵一个十边形的每个外角都相等，∴十边形的一个外角为360÷10=36°．∴每个内角的度数为180°−36°=144°；故选：D．方法二 : 由多边形的内角和公式可知，正十边形的内角和为180°×(10−2)=1440°．所以每个内角的度数为1440°÷10=144°．故选D．5 、【答案】 C;【解析】由多边形外角和为360°，=8，则边数：360°45°所以多边形为8边形．故选C．6 、【答案】120;【解析】由题意得：360°÷36°=10，则他第一次回到出发地A点时，一共走了12×10=120（米）．7 、【答案】 D;【解析】(n−2)×180°=720°，∴n−2=4，∴n=6．则这个正多边形的每一个内角为720°÷6=120°．故选：D．8 、【答案】 A;【解析】∵过一个多边形的一个顶点的对角线有6条，∴多边形的边数为6+3=9，∴这个多边形是九边形．9 、【答案】 C;【解析】从n边形的一个顶点作对角线，把这个n边形分成(n−2)个三角形．10 、【答案】 D;【解析】 A选项 : 正三角形的一个内角度数为180°−360°÷3=60°，是360°的约数，能镶嵌平面，不符合题意，故A错误；B选项: 正六边形的一个内角度数为180°−360°÷6=120°，是360°的约数，能镶嵌平面，不符合题意，故B错误；C选项 : 正四边形的一个内角度数为180°−360°÷4=90°，是360°的约数，能镶嵌平面，不符合题意，故C错误；D选项 : 正五边形的一个内角度数为180°−360°÷5=108°，不是360°的约数，不能镶嵌平面，符合题意，故D正确；11 、【答案】 D;【解析】沿对角线剪则剩下三角形．剪痕过一个顶点，并与一面相交得四边形．剪痕与相邻的两边相交，得五边形．12 、【答案】 D;【解析】如图：剪切的三种情况：①不经过顶点剪，则比原来边数多1，②只过一个顶点剪，则和原来边数相等，③按照顶点连线剪，则比原来的边数少1，设内角和为720°的多边形的边数是n，则(n−2)⋅180°=720°，解得：n=6，则原多边形的边数为5或6或7，故选：D．13 、【答案】425;【解析】∠A+∠B+∠C+∠D+∠AED=180°×(5−2)=540°，∵∠1+∠AED=180°，∠1=65°，∴∠AED=180°−65°=115°，∴∠A+∠B+∠C+∠D=540°−∠AED=540°−115°=425°．14 、【答案】100°;【解析】如图：∵五边形ABCDE的外角和是360°，∴∠5=360°−70°×4=80°，∴∠AED=180°−80°=100°．15 、【答案】8;【解析】根据n边形的内角和公式，得：(n−2)⋅180=1080，解得n=8．∴这个多边形的边数是8．故答案为：8．16 、【答案】9;【解析】解法一：360°÷40°=9．多边形外角和是360°，边数=外角数=内角数．解法二：∵外角都是40°，∴内角都是140°，设它为n边形则度数总和为140n°，又∵n边形的度数和是(n−2)×180°，所以140n=(n−2)×180，解得n=9．17 、【答案】 A;【解析】设该多边形边数为n，则内角和为180°(n−2)，外角和为360°，∴180°⋅(n−2)=3×360°，解得n=8，故选A．18 、【答案】 C;【解析】多边形外角和为360°，则此多边形内角和为720°，+2=6．∴边数为=720°180°19 、【答案】 C;【解析】由外角与它相邻的内角是邻补角可得：x+4x=180°，一个外角度数x=36°，∴正多边形的边数为360°÷36°=10．20 、【答案】 B;【解析】∵多边形的外角和为360°，而每一个外角为24°，∴多边形的边数为360°÷24°=15，∴小华一共走了：15×10=150米．故选：B．21 、【答案】 C;【解析】从n边形的一个顶点出发可引出(n−3)条对角线，可组成(n−2)个三角形，即可得n−2=10，解得n=12．故选C．22 、【答案】6;【解析】多边形的边数：360°÷40°=9，从一个顶点出发可以引对角线的条数：9−3=6（条）．23 、【答案】 C;【解析】 A选项 : 正三角形每个内角是60°，能整除360°，能镶嵌．B选项 : 正方形每个内角是180°−360°÷4=90°，能整除360°，能镶嵌．C选项 : 正五边形每个内角为180°−360°÷5=108°，不能整除360°，不能镶嵌．D选项 : 正六边形每个内角为180°−360°÷6=120°，能整除360°，能镶嵌．24 、【答案】540°或360°或180°;【解析】n边形的内角和是(n−2)⋅180°，所得新的多边形的边数增加1，则新的多边形的内角和是(4+1−2)×180°=540°，所得新的多边形的边数不变，则新的多边形的内角和是(4−2)×180°=360°，所得新的多边形的边数减少1，则新的多边形的内角和是(4−1−2)×180°=180°，因而所成的新多边形的内角和是540°或360°或180°．25 、【答案】 D;【解析】一个多边形截去一个角后，多边形的边数可能增加了一条，也可能不变或者减少了一条，根据(n−2)×180°=2520°，解得n=16．∴多边形的边数为15，16或17．故选D．26 、【答案】 C;【解析】方法一 : ∵在五边形ABCDE中，∠A+∠B+∠E=300°，∴∠EDC+∠BCD=240°，又∵DP、CP分别平分∠EDC、∠BCD，∴∠PDC+∠PCD=120°，∴△CDP中，∠P=180°−(∠PDC+∠PCD)=180°−120°=60°．方法二 : 五边形的内角和为(5−2)×180°=540°∵∠A+∠B+∠E=300°，∴∠EDC+∠BCD=240°．∵DP、CP分别平分∠EDC，∠BCD，∴∠PDC=12∠EDC，∠PCD=12∠BCD，∴∠PDC+∠PCD=12(∠EDC+∠BCD)=12×240°=120°∴∠P=60°．故选C．27 、【答案】360;【解析】∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=(180°−∠BAE)+(180°−∠ABC)+(180°−∠BCD)+(180°−∠CDE)+(180°−∠DEA)=180°×5−(∠BAE+∠ABC+∠BCD+∠CDE+∠DEA)=900°−(5−2)×180°=900°−540°=360°．故答案为：360°．28 、【答案】360;【解析】如下图所示∵∠AHG=∠A+∠B，∠DNG=∠C+∠D，∠EGN=∠E+∠F，∴∠AHG+∠DNG+∠EGN=∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F，又∵∠AHG、∠DNG、∠EGN是△GHN的三个不同的外角，∴∠AHG+∠DNG+∠EGN=360°，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=360°．故答案为：360．。
11.3多边形及其内角和练习题 ？(含答案)八年级数学
11.3多边形及其内角和练习题一．选择题（共16小题）1．（2013•湛江）已知一个多边形的内角和是540°，则这个多边形是（）A．四边形B．五边形C．六边形D．七边形2．（2013•梅州）若一个多边形的内角和小于其外角和，则这个多边形的边数是（）A．3 B．4 C．5 D．63．（2014•达州）如图，在四边形ABCD中，∠A+∠D=α，∠ABC的平分线与∠BCD的平分线交于点P，则∠P=（）A．90°﹣αB．90°+αC．D．360°﹣α4．（2004•陕西）如图，在锐角△ABC中，CD，BE分别是AB，AC边上的高，且CD，BE相交于一点P，若∠A=50°，则∠BPC=（）A．150°B．130°C．120°D．100°5．（2015•丽水）一个多边形的每个内角均为120°，则这个多边形是（）A．四边形B．五边形C．六边形D．七边形6．（2015•葫芦岛）如图，在五边形ABCDE中，∠A+∠B+∠E=300°，DP、CP分别平分∠EDC、∠BCD，则∠P的度数是（）A．60°B．65°C．55°D．50°7．（2015•莱芜）一个多边形除一个内角外其余内角的和为1510°，则这个多边形对角线的条数是（）A．27 B．35 C．44 D．548．（2015•南宁）一个正多边形的内角和为540°，则这个正多边形的每一个外角等于（）A．60°B．72°C．90°D．108°9．（2014•临沂）将一个n边形变成n+1边形，内角和将（）A．减少180°B．增加90°C．增加180°D．增加360°10．（2016•凉山州）一个多边形切去一个角后，形成的另一个多边形的内角和为1080°，那么原多边形的边数为（）A．7 B．7或8 C．8或9 D．7或8或911．（2015•北仑区一模）一个正多边形的外角与它相邻的内角之比为1：4，那么这个多边形的边数为（）A．8 B．9 C．10 D．1212．（2014•大丰市模拟）如图，已知△ABC为直角三角形，∠C=90°，若沿图中虚线剪去∠C，则∠1+∠2=（）A．90°B．135°C．270°D．315°13．（2015•无锡模拟）如果一个多边形的内角和等于1260°，那么这个多边形的边数为（）A．7 B．8 C．9 D．1014．（2015•重庆）已知一个多边形的内角和是900°，则这个多边形是（）A．五边形B．六边形C．七边形D．八边形15．（2014•莱芜）若一个正n边形的每个内角为156°，则这个正n边形的边数是（）A．13 B．14 C．15 D．1616．（2012秋•渝中区校级期末）从一个七边形的某个顶点出发，分别连接这个点与其余各顶点，可以把一个七边形分割成（）个三角形．A．6 B．5 C．8 D．7二．填空题（共8小题）17．（2015•资阳）若一个多边形的内角和是其外角和的3倍，则这个多边形的边数是．18．（2014•巴中）若一个正多边形的一个内角等于135°，那么这个多边形是正边形．19．（2014•遵义）正多边形的一个外角等于20°，则这个正多边形的边数是．20．（2013•巴中）若一个多边形外角和与内角和相等，则这个多边形是边形．21．（2013•乐山）如图，在四边形ABCD中，∠A=45°．直线l与边AB，AD分别相交于点M，N，则∠1+∠2= ．22．（2015•盘锦二模）如图所示，一个角60°的三角形纸片，剪去这个60°角后，得到一个四边形，则∠1+∠2= ．23．（2016•太原一模）如图，已知正五边形ABCDE，AF∥CD，交DB 的延长线于点F，则∠DFA= 度．24．（2015•崇安区二模）正n边形的一个内角比一个外角大100°，则n 为．三．解答题（共1小题）25．（2015春•沙河市期末）在△ABC中，如果∠A、∠B、∠C的外角的度数之比是4：3：2，求∠A的度数．11.3多边形及其内角和练习题参考答案与试题解析一．选择题（共16小题）1．（2013•湛江）已知一个多边形的内角和是540°，则这个多边形是（）A．四边形B．五边形C．六边形D．七边形【解答】解：根据多边形的内角和可得：（n﹣2）180°=540°，解得：n=5，则这个多边形是五边形．故选B．【点评】本题比较容易，主要考查多边形的内角和公式．2．（2013•梅州）若一个多边形的内角和小于其外角和，则这个多边形的边数是（）A．3 B．4 C．5 D．6【解答】解：设边数为n，根据题意得（n﹣2）•180°＜360°解之得n＜4．∵n为正整数，且n≥3，∴n=3．故选A．【点评】本题考查多边形的内角和与外角和、方程的思想．关键是记住内角和的公式与外角和的特征，还需要懂得挖掘此题隐含着边数为正整数这个条件．本题既可用整式方程求解，也可用不等式确定范围后求解．3．（2014•达州）如图，在四边形ABCD中，∠A+∠D=α，∠ABC的平分线与∠BCD的平分线交于点P，则∠P=（）A．90°﹣αB．90°+αC．D．360°﹣α【解答】解：∵四边形ABCD中，∠ABC+∠BCD=360°﹣（∠A+∠D）=360°﹣α，∵PB和PC分别为∠ABC、∠BCD的平分线，∴∠PBC+∠PCB=（∠ABC+∠BCD）=（360°﹣α）=180°﹣α，则∠P=180°﹣（∠PBC+∠PCB）=180°﹣（180°﹣α）=α．故选：C．【点评】本题考查了多边形的内角和外角以及三角形的内角和定理，属于基础题．4．（2004•陕西）如图，在锐角△ABC中，CD，BE分别是AB，AC边上的高，且CD，BE相交于一点P，若∠A=50°，则∠BPC=（）A．150°B．130°C．120°D．100°【解答】解：∵BE⊥AC，CD⊥AB，∴∠ADC=∠AEB=90°，∴∠BPC=∠DPE=180°﹣50°=130°．故选B．【点评】主要考查了垂直的定义以及四边形内角和是360度．注意∠BPC与∠DPE互为对顶角．5．（2015•丽水）一个多边形的每个内角均为120°，则这个多边形是（）A．四边形B．五边形C．六边形D．七边形【解答】解：外角是180°﹣120°=60°，360÷60=6，则这个多边形是六边形．故选：C．【点评】考查了多边形内角与外角，根据外角和的大小与多边形的边数无关，由外角和求正多边形的边数，是常见的题目，需要熟练掌握．6．（2015•葫芦岛）如图，在五边形ABCDE中，∠A+∠B+∠E=300°，DP、CP分别平分∠EDC、∠BCD，则∠P的度数是（）A．60° B．65° C．55°D．50°【解答】解：∵五边形的内角和等于540°，∠A+∠B+∠E=300°，∴∠BCD+∠CDE=540°﹣300°=240°，∵∠BCD、∠CDE的平分线在五边形内相交于点O，∴∠PDC+∠PCD=（∠BCD+∠CDE）=120°，∴∠P=180°﹣120°=60°．故选：A．【点评】本题主要考查了多边形的内角和公式，角平分线的定义，熟记公式是解题的关键．注意整体思想的运用．7．（2015•莱芜）一个多边形除一个内角外其余内角的和为1510°，则这个多边形对角线的条数是（）A．27 B．35 C．44 D．54【解答】解：设这个内角度数为x，边数为n，∴（n﹣2）×180°﹣x=1510，∵n为正整数，∴n=11，∴=44，故选：C．【点评】此题考查多边形的内角和计算公式以及多边形的对角线条数的计算方法，属于需要识记的知识．8．（2015•南宁）一个正多边形的内角和为540°，则这个正多边形的每一个外角等于（）A．60°B．72°C．90°D．108°【解答】解：设此多边形为n边形，根据题意得：180（n﹣2）=540，解得：n=5，∴这个正多边形的每一个外角等于：=72°．故选B．【点评】此题考查了多边形的内角和与外角和的知识．注意掌握多边形内角和定理：（n﹣2）•180°，外角和等于360°．9．（2014•临沂）将一个n边形变成n+1边形，内角和将（）A．减少180°B．增加90°C．增加180°D．增加360°【解答】解：n边形的内角和是（n﹣2）•180°，n+1边形的内角和是（n﹣1）•180°，因而（n+1）边形的内角和比n边形的内角和大（n﹣1）•180°﹣（n﹣2）•180=180°．故选：C．【点评】本题主要考查了多边形的内角和公式，是需要识记的内容．10．（2016•凉山州）一个多边形切去一个角后，形成的另一个多边形的内角和为1080°，那么原多边形的边数为（）A．7 B．7或8 C．8或9 D．7或8或9【解答】解：设内角和为1080°的多边形的边数是n，则（n﹣2）解得：n=8．则原多边形的边数为7或8或9．故选：D．【点评】本题考查了多边形的内角和定理，一个多边形截去一个角后它的边数可能增加1，可能减少1，或不变．11．（2015•北仑区一模）一个正多边形的外角与它相邻的内角之比为1：4，那么这个多边形的边数为（）A．8 B．9 C．10 D．12【解答】解：设正多边形的每个外角的度数为x，与它相邻的内角的度数为4x，依题意有x+4x=180°，解得x=36°，这个多边形的边数=360°÷36°=10．故选：C．【点评】本题考查了多边形的外角定理：多边形的外角和为360°．也考查了邻补角的定义．12．（2014•大丰市模拟）如图，已知△ABC为直角三角形，∠C=90°，若沿图中虚线剪去∠C，则∠1+∠2=（）A．90°B．135°C．270°D．315°【解答】解：∵∠C=90°，∴∠A+∠B=90°．∵∠A+∠B+∠1+∠2=360°，∴∠1+∠2=360°﹣90°=270°．故选：C．【点评】本题考查了直角三角形的性质和四边形的内角和定理．知道剪去直角三角形的这个直角后得到一个四边形，根据四边形的内角和定理求解是解题的关键．13．（2015•无锡模拟）如果一个多边形的内角和等于1260°，那么这个多边形的边数为（）A．7 B．8 C．9 D．10【解答】解：根据题意，得（n﹣2）•180=1260，解得n=9，故选C．【点评】本题考查了多边形的内角和，已知多边形的内角和求边数，可以转化为方程的问题来解决．14．（2015•重庆）已知一个多边形的内角和是900°，则这个多边形是（）A．五边形B．六边形C．七边形D．八边形【解答】解：设这个多边形是n边形，则（n﹣2）•180°=900°，解得：n=7，即这个多边形为七边形．故本题选C．【点评】根据多边形的内角和定理，求边数的问题就可以转化为解方程的问题来解决．15．（2014•莱芜）若一个正n边形的每个内角为156°，则这个正n边形的边数是（）A．13 B．14 C．15 D．16【解答】解：∵一个正多边形的每个内角都为156°，∴这个正多边形的每个外角都为：180°﹣156°=24°，∴这个多边形的边数为：360°÷24°=15，故选：C．【点评】此题考查了多边形的内角和与外角和的知识．此题难度不大，注意掌握多边形的外角和定理是关键．16．（2012秋•渝中区校级期末）从一个七边形的某个顶点出发，分别连接这个点与其余各顶点，可以把一个七边形分割成（）个三角形．A．6 B．5 C．8 D．7【解答】解：从一个七边形的某个顶点出发，分别连接这个点与其余各顶点，可以把一个七边形分割成7﹣2=5个三角形．故选：B．【点评】本题考查的知识点为：从n边形的一个顶点出发，可把n边形分成（n﹣2）个三角形．二．填空题（共8小题）17．（2015•资阳）若一个多边形的内角和是其外角和的3倍，则这个多边形的边数是8 ．【解答】解：设多边形的边数为n，根据题意，得（n﹣2）•180=3×360，解得n=8．则这个多边形的边数是8．【点评】已知多边形的内角和求边数，可以转化为方程的问题来解决．18．（2014•巴中）若一个正多边形的一个内角等于135°，那么这个多边形是正八边形．【解答】解：∵内角与外角互为邻补角，∴正多边形的一个外角是180°﹣135°=45°，∵多边形外角和为360°，∴360°÷45°=8，则这个多边形是八边形．故答案为：八．【点评】根据外角和的大小与多边形的边数无关，由外角和求正多边形的边数，是常见的题目，需要熟练掌握．19．（2014•遵义）正多边形的一个外角等于20°，则这个正多边形的边数是18 ．【解答】解：因为外角是20度，360÷20=18，则这个多边形是18边形．故答案为：18【点评】根据外角和的大小与多边形的边数无关，由外角和求正多边形的边数，是常见的题目，需要熟练掌握．20．（2013•巴中）若一个多边形外角和与内角和相等，则这个多边形是四边形．【解答】解：设这个多边形的边数是n，则（n﹣2）•180°=360°，解得n=4．故答案为：四．【点评】本题考查了多边形的内角和公式与多边形的外角和定理，需要注意，多边形的外角和与边数无关，任何多边形的外角和都是360°．21．（2013•乐山）如图，在四边形ABCD中，∠A=45°．直线l与边AB，AD分别相交于点M，N，则∠1+∠2= 225°．【解答】解：∵∠A=45°，∴∠B+∠C+∠D=360°﹣∠A=360°﹣45°=315°，∴∠1+∠2+∠B+∠C+∠D=（5﹣2）•180°，解得∠1+∠2=225°．故答案为：225°．【点评】本题考查了多边形的内角和公式，熟记多边形的内角和为（n ﹣2）•180°是解题的关键，整体思想的利用也很重要．22．（2015•盘锦二模）如图所示，一个角60°的三角形纸片，剪去这个60°角后，得到一个四边形，则∠1+∠2= 240°．【解答】解：根据三角形的内角和定理得：四边形除去∠1，∠2后的两角的度数为180°﹣60°=120°，则根据四边形的内角和定理得：∠1+∠2=360°﹣120°=240°．故答案为：240°．【点评】主要考查了三角形及四边形的内角和是360度的实际运用与三角形内角和180度之间的关系．23．（2016•太原一模）如图，已知正五边形ABCDE，AF∥CD，交DB 的延长线于点F，则∠DFA= 36 度．【解答】解：∵正五边形的外角为360°÷5=72°，∴∠C=180°﹣72°=108°，∵CD=CB，∴∠CDB=36°，∵AF∥CD，∴∠DFA=∠CDB=36°，故答案为：36．【点评】本题考查了多边形的内角和外角及平行线的性质，解题的关键是求得正五边形的内角．24．（2015•崇安区二模）正n边形的一个内角比一个外角大100°，则n 为9 ．【解答】解：设内角为x°，则外角为（x﹣100）°，根据题意得：x+x﹣100=180，解得：x=140，所以外角为40°，∴360°÷40°=9，故答案为：9．【点评】本题考查了多边形的内角与外角，解题的关键是知道多边形的外角和为360°．三．解答题（共1小题）25．（2015春•沙河市期末）在△ABC中，如果∠A、∠B、∠C的外角的度数之比是4：3：2，求∠A的度数．【解答】解：设∠A、∠B、∠C的外角分别为∠1=4x度、∠2=3x度、∠3=2x度．（1分）因为∠1、∠2、∠3是△ABC的三个外角，所以4x+3x+2x=360，解得x=40．（2分）所以∠1=160°、∠2=120°、∠3=80°．（1分）因为∠A+∠1=180°，（1分）所以∠A=20°．（1分）【点评】本题主要考查三角形的外角性质及三角形的内角和定理，解题的关键是熟练掌握三角形的外角性质定理，即三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和．。
11.3 多边形及其内角和(基础训练)(解析版)
11.3 多边形及其内角和【基础训练】一、单选题1．若一个正多边形的每个内角为144︒，则这个正多边形的边数是（）A．7B．10C．12D．14【答案】B【分析】根据多边形的内角和公式，可得答案．【详解】解：设正多边形是n边形，由内角和公式得（n-2）180°=144°×n，解得n=10，故选：B．【点睛】本题考查了多边形内角与外角，由内角和得出方程是解题关键．2．一个正多边形的一个内角是150︒，则这个正多边形的边数为（）A．2B．3C．9D．12【答案】D【分析】一个正多边形的每个内角都相等，根据内角与外角互为邻补角，因而就可以求出外角的度数．根据任何多边形的外角和都是360度，利用360除以外角的度数就可以求出外角和中外角的个数，即多边形的边数．【详解】解：外角是：180°-150°=30°，360°÷30°=12．则这个正多边形是正十二边形．故选：D．【点睛】本题考查了多边形内角与外角，根据外角和的大小与多边形的边数无关，由外角和求正多边形的边数是解题关键．3．一个n边形的各内角都等于120 ，则n等于（）A．5B．6C．7D．8【答案】B【分析】首先求出外角度数，再用360°除以外角度数可得答案．【详解】解：∵n边形的各内角都等于120°，∵每一个外角都等于180°-120°=60°，∵边数n=360°÷60°=6．故选：B．【点睛】此题主要考查了多边形的外角和定理，外角与相邻的内角的关系，关键是掌握各知识点的计算公式．4．如图，在∵ABC中，∵A＝90°，若沿图中虚线截去∵A，则∵1+∵2的度数为（）A．90°B．180°C．270°D．300°【答案】C【分析】在∵ABC中，利用三角形内角和定理可求出∵B+∵C的度数，再利用四边形内角和为360°，即可求出∵1+∵2的度数．【详解】解：在∵ABC中，∵A＝90°，∵A+∵B+∵C＝180°，∵∵B+∵C＝180°﹣90°＝90°，又∵∵1+∵2+∵B+∵C＝360°，∵∵1+∵2＝360°﹣90°＝270°．故选：C．【点睛】本题考查三角形和四边形内角和的性质，熟知：“三角形内角和为180°，四边形内角和为360°”是解答本题的关键．5．下列多边形中，内角和为360°的图形是（）A．B．C．D．【答案】B【分析】若多边形的边数是n，则其内角和计算公式为（n﹣2）•180°，据此进行解答即可.【详解】解：由多边形内角和公式可得，（n﹣2）•180°=360°，解得n=4，是四边形，故选择B.【点睛】本题考查了多边形的内角和计算，牢记其公式是解题关键.6．若一个正多边形的内角和等于其外角和的3倍，则这个正多边形是（）A．5边形B．6边形C．7边形D．8边形【答案】D【分析】设多边形的边数是n，根据多边形的外角和是360°，以及多边形的内角和公式列出方程即可求解．【详解】解：设多边形的边数是n，则180（n﹣2）=3×360，解得：n=8．故选:D．【点睛】本题考查了多边形的内角和公式以及外角和定理，根据多边形的内角和公式以及外角和定理列出方程是解题关键．7．某校初一数学兴趣小组对教材《多边形的内角和与外角和》的内容进行热烈的讨论，甲说：“∵∵∵∵∵∵∵∵∵1，则内角和增加180°”；乙说：“∵∵∵∵∵∵∵∵∵1，则外角和增加180°”；丙说：“∵∵∵∵∵∵∵∵∵∵∵∵∵∵”；丁说：“∵∵∵∵∵∵，外角和都是360°”∵∵∵∵∵∵∵∵( )A ．甲和丁B ．乙和丙C ．丙和丁D ．以上都不对【答案】A【分析】根据多边形的内角和与外角和逐个判断即可．【详解】多边形的内角和公式为180(2)n ︒-，n 为多边形的边数当n 增加1，则内角和增加180︒，甲说法正确任意多边形的外角和都等于360︒，则乙说法错误，丁说法正确当3n =时，多边形的内角和为180︒，外角和为360︒，则丙说法错误综上，说法正确的是甲和丁故选：A ．【点睛】本题考查了多边形的内角和与外角和，熟记多边形的内角和与外角和是解题关键．8．如图，七边形ABCDEFG 中，AB 、ED 的延长线交于点O ，若1∠，2∠，3∠，4∠相邻的外角的和等于210，则BOD ∠的度数是（ ）A ．30B ．35C ．40D ．45【答案】A【分析】 由外角和内角的关系可求得∵1、∵2、∵3、∵4的和，由五边形内角和可求得五边形OAGFE 的内角和，则可求得∵BOD ．【详解】解：∵∵1、∵2、∵3、∵4的外角的角度和为210°，∵∵1＋∵2＋∵3＋∵4＋210°＝4×180°，∵∵1＋∵2＋∵3＋∵4＝510°，∵五边形OAGFE 内角和＝（5−2）×180°＝540°，∵∵1＋∵2＋∵3＋∵4＋∵BOD＝540°，∵∵BOD＝540°−510°＝30°，故选A．【点睛】本题主要考查多边形的内角和，利用内角和外角的关系求得∵1、∵2、∵3、∵4的和是解题的关键．9．若一个多边形的内角和为外角和的3倍，则这个多边形为（）A．八边形B．九边形C．十边形D．十二边形【答案】C【分析】设多边形的边数为n，而多边形的内角和公式为180（n-2)度，外角和为360度，则有：180（n-2)=360×4，解方程可得．【详解】解：设多边形的边数为n,而多边形的内角和公式为180（n-2)度，外角和为360度，则有：180（n-2)=360×4n-2=8解得：n=10所以，这是个十边形故选C．【点睛】本题考核知识点，多边形的内角和外角.解题关键点，熟记多边形内角和计算公式．10．五边形的外角和等于（）A．180°B．360°C．540°D．720°【答案】B【详解】根据多边形的外角和等于360°解答．解：五边形的外角和是360°．故选B．本题考查了多边形的外角和定理，多边形的外角和与边数无关，任意多边形的外角和都是360°．11．在某广场整修工程中，计划采用同一种正多边形地板砖铺设地面．则下列满足要求的地板砖是（）A．正五边形B．正六边形C．正七边形D．正八边形【答案】B【分析】平面图形镶嵌的条件：判断一种图形是否能够镶嵌，只要看一看拼在同一顶点处的几个角能否构成周角．若能构成360°，则说明能够进行平面镶嵌；反之则不能．【详解】解：∵用一种正多边形镶嵌，只有正三角形，正四边形，正六边形三种正多边形能镶嵌成一个平面图案，∵用同一种正多边形铺满地面，则可供选择的正多边形是正六边形．故选：B．【点睛】此题主要考查了平面镶嵌，用一种正多边形镶嵌，只有正三角形，正四边形，正六边形三种正多边形能镶嵌成一个平面图案．12．一个多边形的内角和是外角和的2倍，这个多边形是（）A．三角形B．四边形C．五边形D．六边形【答案】D【分析】根据多边形的内角和公式（n-2）•180°和外角和定理列出方程，然后求解即可．【详解】解：设多边形的边数为n，由题意得，（n-2）•180°=2×360°，解得n=6，所以，这个多边形是六边形．故选：D．【点睛】本题考查了多边形的内角与外角，熟记内角和公式和外角和定理并列出方程是解题的关键．13．一个五边形截去个角后剩下的多边形内角和是（）A．360︒B．540︒C．720︒D．360︒或540︒或720︒【答案】D【分析】一个五边形剪去一个角后，分三种情况：∵边数可能减少1，∵边数可能增加1，∵边数可能不变；然后分别求出每一种情况下的多边形的内角和．【详解】解：一个五边形剪去一个角后，分三种情况：∵边数可能减少1，∵边数可能增加1，∵边数可能不变；∵四边形的内角和为：360°；∵六边形的内角和为：（6-2）×180°=720°；∵五边形的内角和为：（5-2）×180°=540°；故选D．【点睛】此题主要考查了多边形内角和公式，解题的关键是：根据题意，讨论出剪去一个角后的各种情况．∠+∠=（）14．如图三角形纸片，剪去60︒角后，得到一个四边形，则12A．120︒B．180︒C．240︒D．300︒【答案】C【分析】三角形纸片中，剪去其中一个60°的角后变成四边形，则根据多边形的内角和等于360度即可求得∵1+∵2的度数．【详解】解：根据三角形的内角和定理得：四边形除去∵1，∵2后的两角的度数为180°-60°=120°，则根据四边形的内角和定理得：∵1+∵2=360°-120°=240°．故选：C．【点睛】本题主要考查四边形的内角和，解题的关键是掌握四边形的内角和为360°及三角形的内角和为180°．15．一个多边形的每一个外角都等于36°，则该多边形的内角和等于（）A ．360°B ．1080°C ．1260°D ．1440°【答案】D【分析】 根据外角和以及每一个外角确定出多边形的边数，即可求出内角和．【详解】解：根据题意得：360°÷36°=10，（10-2）×180°=1440°，则该多边形的内角和等于1440°，故选：D ．【点睛】此题考查了多边形的内角与外角，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．16．如图，B E F ∠+∠+∠等于（ ）A ．360°B ．335°C ．385°D ．405°【答案】C【分析】根据多边形的内角和公式解答即可．【详解】解：由多边形的内角和公式可得：()62180720-⨯︒=︒，∵72012012590385B E F ∠+∠+∠=︒-︒-︒-︒=︒，【点睛】本题考查多边形的内角和，掌握多边形的内角和公式是解题的关键．17．下列说法中，正确的个数有（）∵若三条线段中有两条线段之和大于第三条线段，则以这三条线段为边可作一个三角形；∵一个三角形中，至少有一个角不小于60°；∵三角形的外角大于与它不相邻的任意一个内角；∵一个多边形的边数每增加一条，这个多边形的内角和就增加180°；A．1个B．2个C．3个D．4【答案】C【分析】分别根据三角形的三边关系，三角形的内角和定理，三角形的外角性质以及多边形的内角和公式逐一判断即可．【详解】解：∵若三条线段中有两条线段之和大于第三条线段，则以这三条线段为边可作一个三角形，说法错误；改正为：若任意两条线段之和大于第三条线段，则以这三条线段为边可作一个三角形；∵一个三角形中，至少有一个角不小于60°，说法正确；∵三角形的外角大于与它不相邻的任意一个内角，说法正确；∵一个多边形的边数每增加一条，这个多边形的内角和就增加180°，说法正确．所以正确的个数有3个．故选：C．【点睛】本题主要考查了三角形的三边关系，三角形的内角和定理，多边形的内角与外角以及三角形的外角性质，熟记相关知识是解答本题的关键．18．一个多边形的每个内角都相等，已知它的一个外角为20°，那么这个多边形是一个（）A．正十八边形B．正十六边形C．正十四边形D．正十二边形【答案】A【分析】根据多边形的外角和为360°，而多边形每个外角都等于20°，可求多边形外角的个数，确定多边形的边数．解：∵多边形的外角和为360°，360°÷20°=18，∵这个多边形是正十八边形，故选：A．【点睛】本题考查了多边形内角与外角．关键是利用多边形的外角和为360°的性质，求多边形的边数．19．科技馆为某机器人编制了一个程序，如果机器人在平地上按照图中所示的步骤行走，那么该机器人所走的总路程为（）A．12米B．16米C．18米D．20米【答案】C【分析】先判断出机器人所走过的路线是正多边形，然后用多边形的外角和除以每一个外角的度数求出多边形的边数，再根据周长公式列式进行计算即可得解．【详解】解：根据题意得，机器人所走过的路线是正多边形，∵每一次都是左转20°，∵多边形的边数=360°÷20°=18，周长=18×1=18（米），故选：C．【点睛】本题考查了多边形的内角与外角，判断出走过的路线是正多边形是解题的关键．20．如图，有一个正五边形木框，若要保证它不变形，需要再钉的木条根数至少是（）A．1B．2C．3D．4【答案】B【分析】根据三角形具有稳定性，钉上木条后把五边形分成三角形即可．【详解】解：如图，要保证它不变形，至少还要再钉上2根木条．故选：B．【点睛】本题考查了三角形具有稳定性，当三角形三边的长度确定后，三角形的形状和大小就能唯一确定下来，故三角形具有稳定性．21．内角和为720°的多边形是（）．A．三角形B．四边形C．五边形D．六边形【答案】D【分析】根据多边形内角和的计算方法（n-2）•180°，即可求出边数．【详解】解：依题意有（n-2）•180°=720°，解得n=6．该多边形为六边形，【点睛】本题考查了多边形的内角和，利用多边形的内角和计算公式正确计算是解题关键．22．若一个多边形的每个内角都等于160°，则这个多边形的边数是（）A．18B．19C．20D．21【答案】A【分析】设多边形的边数为n，然后根据多边形的内角和公式（n−2）•180°列方程求解即可．【详解】设多边形的边数为n，由题意得，（n−2）•180＝160•n，解得：n＝18，故选：A．【点睛】本题考查了多边形内角和公式，熟记多边形的内角和公式是解题的关键．23．如图，在五边形ABCDE中，AB∵CD，∵A＝135°，∵C＝60°，∵D＝150°，则∵E的大小为（）A．60°B．65°C．70°D．75°【答案】D【分析】先根据多边形的内角和公式求出五边形的内角和，根据AB∵CD得到∵B+∵C=180°，即可求出∵E的大小．【详解】解：由五边形的内角和公式得（5-2）×180°=540°，∵AB∵CD，∵∵B+∵C=180°，∵∵E=540°-∵A-∵B-∵C-∵D=540°-135°-180°-150°=75°．【点睛】本题考查了多边形的内角和公式，平行线的性质，熟练掌握多边形的内角和公式是解题关键．24．如图，四边形ABCF ≅四边形EDCF ，若150AFC DCF ∠+∠=︒，则A B D E ∠+∠+∠+∠的大小是( )A ．240︒B ．300︒C ．420︒D ．460︒【答案】C【分析】 根据全等的性质得到300AFE BCD ∠+∠=，再根据六边形的内角和即可求解．【详解】解：∵四边形ABCF ≅四边形EDCF ，150AFC DCF ∠+∠=，∵150EFC DCF ∠+∠=，∵300AFE BCD ∠+∠=．又∵六边形的内角和为()62180720-⨯=，∵720300420A B D E ∠+∠+∠+∠=-=．故选C ．【点睛】此题主要考查多边形的角度求解，解题的关键是熟知多边形的内角和的求解公式．25．如图的七边形ABCDEFG 中，AB 、ED 的延长线相交于O 点．若图中1∠、2∠、3∠、4∠的外角的角度和为220︒，则BOD ∠的度数为（ ）A ．40︒B ．35︒C ．80︒D ．20︒【答案】A【分析】 根据外角和内角的关系可求得∵1、∵2、∵3、∵4的和，由五边形内角和可求得五边形OAGFE 的内角和，则可求得∵BOD ．【详解】解：∵∵1、∵2、∵3、∵4的外角的角度和为220°，∵∵1＋∵2＋∵3＋∵4＋220°＝4×180°，∵∵1＋∵2＋∵3＋∵4＝500°，∵五边形OAGFE 内角和＝（5﹣2）×180°＝540°，∵∵1＋∵2＋∵3＋∵4＋∵BOD ＝540°，∵∵BOD ＝540°﹣500°＝40°.故选：A.【点睛】本题主要考查的是多边形内角与外角的知识点，熟练掌握多边形内角与外角的关系是本题的解题关键. 26．一副三角板如图所示摆放，则α∠与β∠的数量关系为（ ）A ．180αβ∠+∠=︒B ．225αβ∠+∠=︒C ．270αβ∠+∠=︒D ．αβ∠=∠【答案】B【分析】先根据对顶角相等得出1α∠=∠，2β∠=∠，再根据四边形的内角和即可得出结论【详解】解： ∵219045360∠+∠++=︒︒︒；∵21225∠+∠=︒；∵1α∠=∠，2β∠=∠；∵225αβ∠+∠=︒故选：B【点睛】本题考查了四边形的内角和定理，和对顶角的性质，熟练掌握相关的知识是解题的关键27．如图，已知∵ABC 为直角三角形，90B ∠=︒，若沿图中虚线剪去∵B ，则∵1+∵2等于( )A ．315°．B ．180°C ．270°D ．135°．【答案】C【分析】 根据三角形的内角和定理及四边形的内角和定理进行计算即可得解.【详解】∵90B ∠=︒，180A B C ∠+∠+∠=︒，∵90A C ∠+∠=︒，∵12360A C ∠+∠+∠+∠=︒,∵1236090270∠+∠=︒-︒=︒，故选：C.【点睛】本题主要考查了三角形的内角和定理及四边形的内角和定理，熟练掌握相关角的计算是解决本题的关键. 28．如图，∵1，∵2，∵3是五边形ABCDE 的3个外角，若∵A+∵B ＝220°，则∵1+∵2+∵3＝( )A．140°B．180°C．220°D．320°【答案】C【分析】根据∵A+∵B＝220°，可求∵A、∵B的外角和，再根据多边形外角和360°，可求∵1+∵2+∵3的值．【详解】解：根据∵A+∵B＝220°，可知∵A的一个邻补角与∵B的一个邻补角的和为360°﹣220°＝140°．根据多边形外角和为360°，可知∵1+∵2+∵3＝360°﹣140°＝220°．故选C．【点睛】本题主要考查多边形的外角和公式，内外角的转化是解题的关键．29．如图，五边形ABCDE中，AB∵CD，∵1、∵2、∵3分别是∵BAE、∵AED、∵EDC的外角，则∵1+∵2+∵3等于A．90°B．180°C．210°D．270°【答案】B【详解】试题分析：如图，如图，过点E作EF∵AB，∵AB∵CD ，∵EF∵AB∵CD ，∵∵1=∵4，∵3=∵5，∵∵1+∵2+∵3=∵2+∵4+∵5=180°，故选B30．已知一个多边形的内角和等于900º，则这个多边形是（ ∵A ．五边形B ．六边形C ．七边形D ．八边形【答案】C【详解】试题分析：多边形的内角和公式为（n －2）×180°，根据题意可得：（n －2）×180°=900°，解得：n=7． 考点：多边形的内角和定理．二、填空题31．如图：在六边形ABCDEF 中，//,//,//,150AB DE BC EF CD AF A ∠=︒，则C E ∠+∠=__________．【答案】210°【分析】连接DE ，利用平行线的性质证明∵ABC =∵DEF ，∵A =∵D ，∵C =∵F ，再计算出六边形内角和，结合∵A 的度数可得结果．【详解】解：如图，连接DE，∵AB∵DE，BC∵EF，∵∵1=∵2，∵3=∵4，∵∵1+∵4=∵2+∵3，即∵ABC=∵DEF，同理：∵A=∵D，∵C=∵F，∵∵A+∵C+∵D+∵F+∵ABC+∵DEF=（6-2）×180°=720°，∵∵A+∵C+∵DEF=360°，∵∵A=150°，∵∵C+∵DEF=210°，故答案为：210°．【点睛】本题考查了平行线的性质，多边形内角和，作出辅助线，证明∵ABC=∵DEF是解题的关键．∠+∠+∠+∠+∠+∠=______．32．一个不规则的图形如右图所示，那么A B C D E F【答案】360°【分析】根据三角形外角的性质，可得∵1与∵E、∵AFE的关系，∵1、∵2、∵D的关系，根据多边形的内角和公式，可得答案．【详解】解：如图延长AF交DC于G点，由三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，得∵1＝∵E+∵AFE，∵2＝∵1+∵D，等量代换，得∵2＝∵E+∵F+∵D，∵A+∵B+∵C+∵D+∵E+∵AFE＝∵A+∵B+∵2+∵C＝（4﹣2）×180°＝360°．故答案为：360°．【点睛】本题考查的是三角形外角的性质及四边形的内角和，熟知三角形外角的性质和多边形内角和公式是解答此题的关键．33．如图的七边形ABCDEFG中，AB、ED的延长线相交于O点．若图中∵1、∵2、∵3、∵4的外角的角度和为220°，则∵BOD的度数为__________．【答案】40【分析】由外角和内角的关系可求得∵1、∵2、∵3、∵4的和，由五边形内角和可求得五边形OAGFE的内角和，则可求得∵BOD．【详解】解：∵∵1、∵2、∵3、∵4的外角的角度和为220°，∵∵1+∵2+∵3+∵4+220°=4×180°，∵∵1+∵2+∵3+∵4=500°，∵五边形OAGFE内角和=（5-2）×180°=540°，∵∵1+∵2+∵3+∵4+∵BOD =540°，∵∵BOD =540°-500°=40°，故答案为：40°．【点睛】本题主要考查多边形的内角和，利用内角和外角的关系求得∵1、∵2、∵3、∵4的和是解题的关键． 34．一个正多边形的每一个内角比每一个外角的5倍还小60°，则这个正多边形的内角和是______．【答案】1260°【分析】设这个正多边形的外角为x ，则内角为5x ﹣60，根据内角和外角互补可得x +5x ﹣60＝180，解可得x 的值，再利用外角和360°÷外角度数可得边数，根据内角和公式：（n ﹣2）×180°计算内角和即可．【详解】解：设这个正多边形的外角为x ，则内角为5x ﹣60°，由题意得：x +5x ﹣60＝180，解得：x ＝40，360°÷40°＝9．（9﹣2）×180°＝1260°故答案为：1260°．【点睛】此题主要考查了多边形的内角和外角，关键是计算出外角的度数，进而得到边数．35．如图，一个直角三角形纸板的直角边,AC BC 分别经过正八边形的两个顶点，则图中12∠+∠=____【答案】180º【分析】利用∵C=90︒，求得∵3+∵4=90︒，利用公式求出正八边形的每个内角的度数=(82)1801358-⨯︒=︒，即可求出答案．【详解】解：如图，∵∵C=90︒，∵∵3+∵4=90︒，∵正八边形的每个内角的度数=(82)1801358-⨯︒=︒，∵∵1+∵2=135290︒⨯-︒=180︒，故答案为：180︒．【点睛】此题考查直角三角形两锐角互余的性质，正多边形内角和公式，熟记正多边形内角和公式是解题的关键．三、解答题36．一个正多边形的一个外角的度数等于它的一个内角度数的13，求这个正多边形的边数．【答案】8【分析】首先设正多边形的一个外角等于x°，则内角为3x°，即可得方程：x+3x＝180，解此方程得到外角度数，再根据外角和求边数即可．【详解】解：设正多边形的一个外角等于x°，∵外角等于它的一个内角的13，∵这个正多边形的一个内角为：3x°，∵x+3x＝180，解得：x＝45，∵这个多边形的边数是：360°÷45°＝8．【点睛】此题考查了多边形的内角和与外角和的知识．此题难度不大，注意掌握方程思想的应用．37．一个多边形的内角和比外角和的13多780︒，它是几边形？【答案】它是七边形【分析】根据多边形的内角和公式(n-2)•180°和外角和等于360°列方程求解即可．【详解】解：设这个多边形边数为n，依题意得：()121803607803n-⋅︒=︒⨯+︒，解得：7n=，答：它是七边形．【点睛】本题考查了多边形的内角和与外角和，只要结合多边形的内角和公式与外角和的关系来寻求等量关系，构建方程即可求解．38．（1）计算：()2 031220183-⎛⎫+---⎪⎝⎭（2）若一个多边形的内角和与它的外角和相等，求这个多边形边数．【答案】（1）0；（2）4.【分析】（1）先分别计算乘方，再计算加减法.（2）多边形内角和公式为(2)180n-⨯，外角和为360，由此设边数列方程解答即可.【详解】（1）()2031220183-⎛⎫+--- ⎪⎝⎭ =8+1-9=0；（2）设这个多边形的边数为n ，(2)180360n -⨯=，n=4，.【点睛】此题（1）考查实数的运算，正确理解正指数幂、零次幂、负指数幂的计算方法是解题的关键；（2）考查多边形的内角和公式与外角和，熟记公式即可正确列式计算.39．已知n 边形的内角和()2180n θ=-⨯︒.（1）当900θ=︒时，求出边数n ；（2）小明说，θ能取800︒，这种说法对吗？若对，求出边数n ；若不对，说明理由.【答案】（1）7n =；（2）不能取800︒.∵∵∵∵∵.【分析】（1）将900θ=︒代入内角和公式计算即可得；（2）将800θ=︒代入内角和公式计算n 的值，如果n 是正整数，则说法对；如果n 不是整数，则说法不对.【详解】（1）()9002180n ︒=-⨯︒，整理得25n -=，解得7n =；（2）小明的说法不对，理由如下：当θ取800︒时，()8002180n ︒=-⨯︒，解得589n = n 为正整数，θ∴不能取800︒.【点睛】本题考查了多边形的内角和公式，依据题意正确求解是解题关键.40．如图，已知四边形ABCD 中，∵A=∵D ，∵B=∵C ，试判断AD 与BC 的关系，并说明理由．【答案】AD∵BC ，理由见解析【分析】根据四边形的内角和是360°，结合已知条件得到∵A+∵B=180°，根据同旁内角互补，两直线平行得AD∵BC ．【详解】解：AD 与BC 的关系是：AD∵BC ．理由：∵四边形ABCD 的内角和是360°，∵∵A+∵B+∵C+∵D=360°，∵∵A=∵D ，∵B=∵C ，∵∵A+∵B+∵B+∵A=360°，∵∵A+∵B=180°，∵AD∵BC （同旁内角互补，两直线平行）．【点睛】本题考查四边形的内角和，平行线的判定，解题的关键是熟记四边形的内角和是360°．41．如图，在∵ABC 中，AB ＝AC ，BD 、CE 是高，BD 与CE 相交于点O ．（1）求证：OB ＝OC ；（2）若∵BAC ＝80°，求∵BOC 的度数．【答案】（1）见解析；（2）∵BOC ＝100°．【分析】（1）证明∵ABD∵∵ACE （AAS ），即可得出BD ＝CE ；（2）利用四边形内角和定理即可解决问题；【详解】（1）证明：∵BD 、CE 是高，∵∵ADB ＝∵AEC ＝90°，在∵ABD 和∵ACE 中，ADB AEC BAD CAE AB AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∵∵ABD∵∵ACE（AAS），∵BD＝CE．（2）解：∵∵A＝80°，∵ADB＝∵AEC＝90°，∵∵BOC＝360°﹣∵BAC﹣∵AEC﹣∵ADB，＝360°﹣80°﹣90°﹣90°＝100°．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、四边形内角和定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．42．画出图中多边形的所有对角线。
多边形及其内角和八年级数学人教版(附答案)
多边形及其内角和中考频度：★★★☆☆难易程度：★★☆☆☆1．如图，下列图形不是凸多边形的是A．B．C．D．2．n边形的每个外角都为72°，则边数n为A．5 B．6 C．7 D．83．从五边形的一个顶点，可以引几条对角线A．2 B．3 C．4 D．54．如图，在△ABC中，∠C=70°，沿图中虚线截去∠C，则∠1＋∠2=A．250°B．360°C．180°D．140°5．一个凸多边形的内角和等于540°，则这个多边形的边数是A．5 B．6 C．7 D．86．一个多边形的内角和与它的外角和的比为5∶2，则这个多边形的边数为A．8 B．7 C．6 D．57．从一个十边形的某个点出发，分别连接这个顶点与其余各顶点，可以把这个多边形分割成三角形A．10个B．9个C．8个D．7个8．一个多边形截去一个角（不过顶点）后，形成的多边形的内角和是2520°，那么原多边形的边数是A．13 B．14 C．15 D．13或159．当一个多边形的边数增加时，其外角和A．增加B．减少C．不变D．不能确定10．已知一个多边形的每一个外角都等于36°，下列说法错误的是A．这个多边形是十边形B．这个多边形的内角和是1800°C．这个多边形的每个内角都是144°D．这个多边形的外角和是360°11．如图，在五边形ABCDE中，∠A+∠B+∠E=300°，DP、CP分别平分∠EDC、∠BCD，则∠P的度数是A．50°B．55°C．60°D．65°12．如图所示，小华从A点出发，沿直线前进10米后左转20︒，再沿直线前进10米，又向左转20︒，…，照这样走下去，他第一次回到出发地A点时，一共走的路程是A．200米B．180米C．160米D．140米13．马小虎在计算一个多边形的内角和时，由于粗心少算了2个内角，其和等于830︒，则该多边形的边数是A．7 B．8 C．7或8 D．无法确定14．设四边形的内角和等于a，五边形的外角和等于b，则a与b的关系是A．a>b B．a=bC．a<b D．b=a+180°15．如图，在△ABC中，∠B=63º，∠C=45º，DE⊥AC于E，DF⊥AB于F，那么∠EDF=__________．16．一个多边形的每个内角都等于135°，则这个多边形是__________边形．17．一个四边形截去一个角后变成__________．18．如图，∠2+∠3+∠4=320°，则∠1=__________．19．n边形一共有__________条对角线．学-科网20．一个凸多边形的一个内角的外角与其他内角的和为500°，求这个多边形的边数．21．已知：如图，五边形ABCDE中，AB∥CD，求图形中∠AED的值．22．某同学在求多边形的内角和时，多算了一个内角的度数，求得内角和为1560°，问这个内角是多少度？这个多边形的边数是多少？23．如图，小东在足球场的中间位置，从A点出发，每走6 m向左转60°，已知AB=BC=6 m．（1）小东是否能走回A点，若能回到A点，则需走几米，走过的路径是一个什么图形？为什么？（路径A到B到C到……）（2）求出这个图形的内角和．24．某同学采用把多边形内角逐个相加的方法计算多边形的内角和，求得一个多边形的内角和为1520°，当他发现错了以后，重新检查，发现少加了一个内角．问：这个内角是多少度？他求的这个多边形的边数是多少？1．【答案】C【解析】选项A、B、D中，画出这个多边形的任意一条边所在的直线，整个多边形都在这条直线的同一侧，所以都是凸多边形，只有C不符合凸多边形的定义，不是凸多边形．故选C．4．【答案】A【解析】∵在△ABC中，∠C=70°，∴∠A+∠B=180°–70°=110°，又∵∠A+∠B+∠1+∠2=360°，∴∠1+∠2=360°–110°=250°．故选A．5．【答案】A【解析】因为多边形内角和公式是：(2)180n -⨯︒，所以(2)180540n -⨯︒=︒，解得5n =，故选A ． 6．【答案】B【解析】设多边形的边数是n ，则（n –2）•180°∶360°=5∶2，整理得n –2=5，解得n =7．故选B ． 7．【答案】C【解析】从一个十边形的某个顶点出发，分别连接这个点与其余各顶点，可以把一个十边形分割成10-2=8个三角形．故选C ．学科=网 8．【答案】C【解析】设内角和是2520°的多边形边数是n ，∵（n -2）·180°=2520°，∴n =16，则原多边形的边数是16-1=15．故选C ． 9．【答案】C【解析】任何多边形的外角和都为360°，则多边形的边数增加时，其外角和是不变的．故选C ．12．【答案】B【解析】∵多边形的外角和为360°，而每一个外角为20°，∴多边形的边数为360°÷20°=18，∴小华一共走了：18×10=180米．故选B ． 13．【答案】C【解析】设少加的2个内角和为x 度，边数为n ．则（n -2）×180=830+x ，即（n -2）×180=4×180+110+x ， 因此x =70，n =7或x =250，n =8．故该多边形的边数是7或8．故选C ． 14．【答案】B【解析】∵四边形的内角和等于a ，∴a =（4–2）×180°=360°．∵五边形的外角和等于b ，∴b =360°， ∴a =b ．故选B ． 15．【答案】108°【解析】∵DE⊥AC，DF⊥AB，∴∠BFD=∠CED=90°，∴∠BDF=180°–∠B–∠BFD=27°，∠CDE=180°–∠C–∠CED=45°．∵∠BDF+∠EDF+∠CDE=180°，∴∠EDF=180°–∠BDF–∠CDE=108°．故答案为：108°．16．【答案】八【解析】∵一个正多边形的每个内角都为135°，∴这个正多边形的每个外角都为：180°–135°=45°，∴这个多边形的边数为：360°÷45°=8．故这个多边形是八边形．故答案为：八．17．【答案】三角形或四边形或五边形【解析】一个四边形截去一个角可以截去两条边，得到三角形（如图1）；也可以截去一条边，得到四边形（如图2）；也可以直接新增一条边，变为五边形（如图3）．故答案为：三角形或四边形或五边形．18．【答案】40°【解析】∵∠1+∠2+∠3+∠4=360°，∠2+∠3+∠4=320°，∴∠1=40°，故答案为：40°．19．【答案】(3)2n n-【解析】n边形总共有(3)2n n-条对角线．故答案为(3)2n n-．20．【解析】设这个多边形的边数为n，这个内角的度数为x．则有180°–x+[(n–2)×180°–x]=500°，化简，得（n–2）×180°=320°+2x．令n–2=2，即n=4，则有x=20°；令n–2=3，即n=5，则有x=110°．所以当这个内角是20°时，边数为4；当这个内角是110°时，边数为5．故这个多边形是四边形或五边形．21．【解析】∵AB∥CD，∴∠B=180°-∠C=120°，∵五边形ABCDE内角和为（5-2）×180°=540°，∴在五边形ABCDE 中，∠AED =540°-150°-120°-60°-160°=50°．23．【解析】（1）∵从A 点出发，每走6 m 向左转60°，∴360606︒÷︒=，∴走过的路径是一个边长为6的正六边形． （2）正六边形的内角和为：（6-2）×180°=720°． 24．【解析】设此多边形的内角和为x ︒，则有152********x <<+， 即1808801809100x ⨯+<<⨯+，因为x ︒为多边形的内角和，所以它是180︒的倍数， 所以18091620x =⨯=．所以9211+=，16201520100︒-︒=︒．因此，漏加的这个内角是100︒，这个多边形的边数是11．。
人教版八年级上册_多边形及其内角和(解析版)
多边形的内角和与外角和1. 多边形的相关概念（1）多边形的定义：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形．（2）内角：多边形相邻两边组成的角叫做它的内角．（3）外角：多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角（4）对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线．（5）凸多边形：如果整个多边形都在其任何一边所在直线的同一侧的多边形．2. 内角和与外角和如下图，边形的内角和为，多边形的外角和都是．3. 正多边形正多边形：各个角相等，且各条边都相等的多边形叫做正多边形.考点：1. 对角线条数；2.内角和与外角和；3. 正多边形重难点：1. n边形形的对角线：一个顶点有条对角线，共有条对角线．2. 要计算正多边形的内角度数，除了可以拿内角和（）除以边数（n）以外，还可以通过利用外角和（）除以边数（n），得到一个顶点处外角的度数，再拿180减去它即可.易错点：每个多边形在其一个顶点处对应的外角也都只有一个，它们的和等于.题模一：对角线条数例1.1.1若一个正n边形的每个内角为144°，则这个正n边形的所有对角线的条数是（）A.7B.10C.35D.70例1.1.2若从一个多边形的一个顶点出发，最多可以引10条对角线，则它是__________边形例1.1.3从一个9边形的某个顶点出发，分别连接这个点与其他顶点可以把这个9边形分割成三角形的个数是____个．例1.1.4观察下面图形，并回答问题．（1）四边形有_______条对角线，五边形有_______条对角线，六边形有_______条对角线；（2）根据规律七边形有_______条对角线，n边形有___________条对角线．例1.1.5一个多边形的对角线的条数与它的边数相等，这个多边形是______边形题模二：内角和与外角和例1.2.1一个多边形从某一个顶点出发截去一个角后所形成的新的多边形的内角和是1980°，则原多边形的边数为（）A.11或12B.12或13C.13或14D.12或13或14题模三：正多边形例1.3.1已知一个正多边形的每个外角等于60°，则这个正多边形是（）A.正五边形B.正六边形C.正七边形D.正八边形例1.3.2已知正n边形的一个内角为135°，则边数n的值是（）A.6B.7C.8D.10例1.3.3如图所示，小华从A点出发，沿直线前进10米后左转24，再沿直线前进10米，又向左转24°，…，照这样走下去，他第一次回到出发地A点时，一共走的路程是（）A.140米B.150米C.160米D.240米随练1.1如果一个多边形的边数增加1倍后，它的内角和是2160︒，那么原来多边形的边数是______随练 1.2一个多边形的每一个内角都是140°，那么，从这个多边形的一个顶点出发的对角线的条数是_______随练1.3一个多边形截去一个角后，形成另一个多边形的内角和为720°，那么原多边形的边数为（）A.5 B.5或6 C.5或7 D.5或6或7∠3=32°，那么∠1+∠2=____度．随练1.5请总结规律，完成下表：拓展1下列说法中错误的有（）①各边都相等的多边形是正多边形．②多边形的外角和是指多边形所有外角相加的和．③四个内角均为直角的四边形是正四边形．④多边形的内角和与外角和均与边数有关．⑤正多边形的内角度数与边数无关．⑥多边形的内角和与外角和加起来，应为边数与180°的乘积．A.2个B.3个C.4个D.5个拓展2一个多边形，把一个顶点与其它各顶点连接起来，把这个多边形分成了12个三角形，则这个多边形的边数__________拓展3一个多边形切去一个角后，形成的另一个多边形的内角和为1080°，那么原多边形的边数为（）A.7 B.7或8 C.8或9 D.7或8或9拓展4如图，小明从点A出发，向前走2米，左拐20︒，再向前走2米，再左拐20︒，如此下去，小明能否回到出发点A ？如果能，第一次回到出发点共走了多少路程？拓展5 如图，∠1=m°，∠2+∠4+∠6+∠8=n°，则∠3+∠5+∠7的大小是__．A222220︒20︒20︒答案解析多边形的内角和与外角和题模一：对角线条数例1.1.1【答案】C【解析】∵一个正n边形的每个内角为144°，∵144n=180×（n﹣2），解得：n=10．这个正n边形的所有对角线的条数是：==35．例1.1.2【答案】13【解析】该题考查的是多边形对角线计算公式．从一个多边形的一个顶点出发，最多可以引()3n-条对角线，（n为多边形边数）．本题中，设这个多边形是n边形．代入公式，得310n-=，∴13n=．例1.1.3【答案】7【解析】从一个9边形的某个顶点出发，分别连接这个点与其他顶点可以把这个9边形分割成三角形的个数是7个例1.1.4【答案】（1）2；5；9，（2）14；(3)2n n-【解析】（1）四边形有2条对角线；五边形有5条对角线；六边形有9条对角线；（2）七边形有14条对角线，n边形有(3)2n n-条对角线．例1.1.5【答案】5【解析】设多边形有n 条边，则根据题意可列：(3)2n nn -=，解得15n =，20n =（舍） 故多边形的边数为5题模二：内角和与外角和 例1.2.1 【答案】C【解析】该题考查的是多边形的角度计算．多边形内角和公式为()2180n -⨯︒，外角度数和为定值360︒， 本题中，()21801980n -⨯︒=︒，解得13n =而多边形从某一个顶点出发截去一个角，边数有两种可能，一种是边数不变，一种是边数减少1条，所以原来的多边形边数可能是13或14，故答案是C ．题模三：正多边形 例1.3.1 【答案】B【解析】设所求正n 边形边数为n ， 则60°•n=360°， 解得n=6．故正多边形的边数是6． 故选B ． 例1.3.2 【答案】C【解析】本题考查了多边形的外角，利用多边形的边数等于外角和除以每一个外角的度数是常用的方法，求出多边形的每一个外角的度数是解题的关键．根据多边形的相邻的内角与外角互为邻补角求出每一个外角的度数，再根据多边形的边数等于外角和除以每一个外角的度数进行计算即可得解． ∠正n 边形的一个内角为135°，∠正n 边形的一个外角为180°-135°=45°， n=360°÷45°=8． 故选C ． 例1.3.3 【答案】B【解析】∵多边形的外角和为360°，而每一个外角为24°， ∴多边形的边数为360°÷24°=15，∴小明一共走了：15×10=150米． 随练1.1【答案】7【解析】设原来多边形的边数是n ，则()221802160n -⨯︒=︒，解得7n = 随练1.2 【答案】6【解析】由于一个多边形的每一个内角都是140°，因此其外角都是40°，则这个多边形的边数为360940=，因此从九边形的每一个顶点出发的对角线的条数为936-= 随练1.3 【答案】D【解析】本题考查了多边形的内角和定理，理解分三种情况是关键． 首先求得内角和为720°的多边形的边数，即可确定原多边形的边数． 设内角和为720°的多边形的边数是n ，则（n -2）•180=720， 解得：n=6．则原多边形的边数为5或6或7． 故选：D ． 随练1.4 【答案】70∠∠3=32°，正三角形的内角是60°，正四边形的内角是90°，正五边形的内角是108°， ∠∠4=180°-60°-32°=88°， ∠∠5+∠6=180°-88°=92°， ∠∠5=180°-∠2-108° ∠， ∠6=180°-90°-∠1=90°-∠1 ∠，∠∠+∠得，180°-∠2-108°+90°-∠1=92°， 即∠1+∠2=70°． 故答案为：70°． 随练1.5【答案】见下表：【解析】n 边形过一个顶点可作()3n -条对角线，而n 边形共有n 个顶点，则共可作()3n n -条对角线，而这()3n n -条对角线中，有一半是重复计算的，抛去重复的这一半对角线，共有()32n n -条对角线．拓展1 【答案】D【解析】只有⑥是正确的，其余说法均错误 拓展2【答案】14【解析】从n 边形的一个顶点作对角线，把这个n 边形分成()2n -个三角形．根据题意可知，这个多边形的边数是12214+= 拓展3 【答案】D【解析】设内角和为1080°的多边形的边数是n ，则（n ﹣2）•180°=1080°，解得：n=8． 则原多边形的边数为7或8或9． 拓展4【答案】能回到出发点，第一次回到出发点共走了36m ． 【解析】根据题意可知，小明所走的路线为一个正多边形，其边数为3601820=，即左拐18次后回到出发点．因此小明从点A 出发，第一次回到出发点共走了18236⨯=（m ）． 拓展5【答案】m°+n°【解析】如图，连结AB 、BC 、CD ．∵（∠3+∠9+∠10）+（∠5+∠11+∠12）+（∠7+∠13+∠14）=180°×3=540°，∴（∠3+∠5+∠7）+（∠9+∠10+∠11+∠12+∠13+∠14）=540°，∴∠3+∠5+∠7=540°﹣（∠9+∠10+∠11+∠12+∠13+∠14），∵五边形ABCDE的内角和为（5﹣2）×180°=540°，∴540°=∠1+∠2+∠9+∠10+∠4+∠11+∠12+∠6+∠13+∠14+∠8=（∠1+∠2+∠4+∠6+∠8）+（∠9+∠10+∠11+∠12+∠13+∠14）=（m°+n°）+（∠9+∠10+∠11+∠12+∠13+∠14），∴∠9+∠10+∠11+∠12+∠13+∠14=540°﹣（m°+n°）．∴∠3+∠5+∠7=540°﹣[540°﹣（m°+n°）]=m°+n°．。
北师版八年级下册6.4多边形及内角和(含答案详解)
北师版八年级下册6.4多边形及其内角和１基本概念⑴多边形的定义：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形．⑵多边形的边：组成多边形的各条线段叫做多边形的边．⑶多边形的顶点：每相邻两边的公共端点叫做多边形的顶点．⑷多边形的对角线：在多边形中，连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线．⑸多边形的内角：多边形相邻两边组成的角叫做它的内角．⑹多边形的外角：多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角．⑺正多边形：各个角相等，且各条边都相等的多边形叫做正多边形．⑻凸多边形：如果多边形的任何一边所在直线都使余下的边都在这条直线的同一侧的多边形．２基本性质⑴稳定性．⑵内角和与外角和定理．如下图，n边形的内角和为(2)180n≥，多边形的外角和都是360︒．n-⨯︒(3)⑶ n 边形的对角线：一个顶点有(3)n -条对角线，共有(3)2n n-条对角线． ⑷ 不特别强调多边形都指凸多边形，凸多边形的每个内角都小于180︒．模块一 多边形的对角线【例1】 如果一个多边形共有27条对角线，则这个多边形的边数是 ． 【解析】略 【答案】9．【巩固】已知从n 边形的一个顶点出发共有4条对角线，其周长为56，且各边长是连续的自然数，求这个多边形的各边之长．【解析】提示：根据对角线条数先判断边数，在设未知数列方程求解． 【答案】567891011，，，，，，．【巩固】已知一个多边形的对角线的条数为边数的2倍，求该多边形的边数． 【解析】提示：设边数为x ，则()322x xx -=．【答案】7【例2】 一个多边形的对角线的条数与它的边数相等，这个多边形是（ ）边形．分割成(n-2)个三角形求内角和n 个平角-内角和【解析】设多边形有n条边，则根据题意可列：(3)2n nn-=，解得n1=5，n2=0（舍去），故多边形的边数为5．【答案】C．【巩固】一个n边形的边数增加一条，那么它的对角线增加条．【解析】略【答案】1；【例3】从n边形的一个顶点作对角线，把这个n边形分成三角形的个数是（）【解析】从n边形的一个顶点作对角线，把这个n边形分成三角形的个数是（n-2）．【答案】C【巩固】一个多边形，把一个顶点与其它各顶点连接起来，把这个多边形分成了12个三角形，则这个多边形的边数（）【解析】通过分析可知，n-2=12，则n=14．【答案】A．模块二多边形的内角和与外角和内角和【例4】已知一个多边形的内角和是540︒，则这个多边形是( )A．四边形B．五边形C．六边形D．七边形【解析】略【答案】Ｂ．【巩固】一个多边形共有14条对角线，则它的内角和为___________.【解析】一个n 边形，从一个顶点出发，有()3n -条对角线，故共有()132n n -条对角线，于是有()13142n n -=，从而7n =，∴这个三角形的内角和为()72180900-⋅︒=︒【答案】900︒【例5】 在四边形ABCD 中，60D ∠=︒，B ∠比A ∠大20︒，C ∠是A ∠的2倍，求A ∠，B ∠，C ∠的大小． 【解析】设(度)，则，．根据四边形内角和定理得，． 解得，，∴，，．【答案】，，【巩固】如图，已知在一次科技活动中，需要将一张面积为210cm 的四边形四角都剪去一个扇形的区域，扇形的半径均为1cm ，求剩余纸张的面积．【解析】四边形ABCD 的内角和为360︒，故四个扇形的面积和等于π，∴剩余纸张的面积为10π-． 【答案】10π-【例6】 一个凸多边形的内角中，最多有 个锐角．x A =∠20+=∠x B x C 2=∠360602)20(=++++x x x 70=x ︒=∠70A ︒=∠90B ︒=∠140C ︒=∠70A ︒=∠90B ︒=∠140C DCB A【答案】3【巩固】如果一个多边形的边数增加1倍后，它的内角和是2160︒，那么原来多边形的边数是 ． 【解析】略 【答案】7【巩固】如下图中每个阴影部分是以多边形各顶点为圆心，1为半径的扇形，并且所有多边形的每条边长都大于2，则第n 个多边形中，所有扇形面积之和是 (结果保留π)．【解析】略 【答案】π2n ． 外角和【例7】 若一个正多边形的一个外角是40︒，则这个正多边形的边数是( )A ．10B ．9C ．8D ．6【解析】略 【答案】Ｂ【答案】已知一个五边形的外角度数之比为1:2:3:4:5，求它的内角大小．第3个第2个第1个【答案】60︒，84︒，108︒，132︒，156︒；【例8】 如右图，小明从点A 出发，向前走2米，左拐20︒，再向前走2米，再左拐20︒，如此下去，小明能否回到出发点A ？如果能，第一次回到出发点共走了多少路程？【解析】略【答案】能，36m ．【例1】 如图，讲六边形ABCDEF 沿直线GH 折叠，使点A B ，落在六边形CDEFGH 内部，则下列结论正确的是（ ）A ．()129002C D E F ∠+∠=︒-∠+∠+∠+∠B ．()1210802CDEF ∠+∠=︒-∠+∠+∠+∠ C ．()12720C D E F ∠+∠=︒-∠+∠+∠+∠ D ．()1123602C D E F ∠+∠=︒-∠+∠+∠+∠ 【解析】如图，设FA 的延长线与CB 的延长线交于点P ，'GA 的延长线与'HB 的延长线交于点'P ，连接'PP ，由对称性知，12'22'APP BPP ∠=∠∠=∠，，A222220︒20︒20︒B'A'21FEDC BA∴122APB ∠+∠=∠， 又∵()540APB C D E F ∠=︒-∠+∠+∠+∠，∴()1210802C D E F ∠+∠=︒-∠+∠+∠+∠．【答案】B模块三 正多边形与镶嵌知识点播：几何图形镶嵌成平面的关键是：围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角．【例9】 下列多边形中，不能够单独铺满地面的是（ ）A .正三角形B .正方形C .正五边形D .正六边形【解析】用一种正多边形镶嵌，只有正三角形，正方形，正六边形三种正多边形能镶嵌成一个平面图案．不能铺满地面的是正五边形．【答案】C ．【巩固】若限于用同一种正多边形磁砖镶嵌（要求镶嵌的正多边形的边必须与另一正多边形的边重合），则不能镶嵌成一个平面的正多边形磁砖的形状是（ ） A 、正三角形 B 、正方形 C 、正六边形 D 、正八边形【解析】A 、正三角形的每个内角是60°，能整除360°，能密铺；B 、正方形的每个内角是P'PB'A'21FEDCB A90°，4个能密铺；C、正六边形的每个内角是120°，能整除360°，能密铺；D、正八边形的每个内角为：180°-360°÷8=135°，不能整除360°，不能密铺．【答案】D．【例10】有下列五种正多边形地砖：①正三角形；②正方形；③正五边形；④正六边形；⑤正八边形，现要用同一种大小一样、形状相同的正多边形地砖铺设地面，其中能做到此之间不留空隙、不重叠地铺设的地砖有（）A.4种B.3种C.2种D.1种【解析】①正三角形的每个内角是60°，能整除360°，能够铺满地面；②正方形的每个内角是90°，能整除360°，能够铺满地面；③正五边形每个内角是180°-360°÷5=108°，不能整除360°，不能够铺满地面；④正六边形的每个内角是120°，能整除360°，能够铺满地面；⑤正八边形的每个内角为：180°-360°÷8=135°，不能整除360°，不能够铺满地面．【答案】B．【巩固】下列平面图形中，不能镶嵌平面的图形是（）A.任意一种三角形B.任意一种正方形C.任意一种正五边形D.任意一种正六边形【解析】∵用一般凸多边形镶嵌，用任意的同一种三角形或四边形能镶嵌成一个平面图案，∴A、B能镶嵌平面的图形；C、任意一个正五边形的内角为108°，不能镶嵌平面的图形；∵用一种正多边形镶嵌，只有正三角形，正四边形，正六边形三种正多边形能镶嵌成一个平面图∴D能镶嵌平面的图形．【答案】C．【例11】下述美妙的图案中，是由正三角形、正方形、正六边形、正八边形中的三种镶嵌而成的为（）A、B、C、D、【解析】A、从一个顶点处看，由正六边形和正三角形镶嵌而成的；B、从一个顶点处看，由正方形和正三角形镶嵌而成的；C、从一个顶点处看，由正六边形和正方形镶嵌而成的；D、从一个顶点处看，由正三角形、正方形、正六边形三种镶嵌而成的．【答案】D．【巩固】张明同学设计了四种正多边形的瓷砖图案，在这四种瓷砖图案中，不能铺满地面的是（）A、B、C、D、【解析】∵能够铺满地面的图形是内角能凑成360°，∵正三角形一个内角60°，正方形一个内角90°，正五边形一个内角108°，正六边形一个内角120°，只有正五边形无法凑成360°．【答案】C．【巩固】小莹家的地面是由一个小正方形和四个等腰梯形这样的正方形地板砖镶嵌而成的，小莹发现地板上有正八边形图案，那么地板上的两个正八边形图案需要这样的地板砖至少（）A.8B.9C.11D.12【解析】由于正方形的一个内角为90°，同一顶点处等腰梯形的一个内角为：（360-90）÷2=135°，而八边形的内角为：180-360÷8=135°，那么小正方形的边长即为八边形的边长，画图如下．【答案】A．【例12】黑色正三角形与白色正六边形的边长相等，用它们镶嵌图案，方法如下：白色正六边形分上下两行，上面一行的正六边形个数比下面一行少一个，正六边形之间的空隙用黑色的正三角形嵌满．按第1，2，3个图案（如图）所示规律依次下去，则第n个图案中，黑色正三角形和白色正六边形的个数分别是（）A、n2+n+2，2n+1B、2n+2，2n+1C、4n，n2-n+3D、4n，2n+1【解析】第1个图案中，黑色正三角形和白色正六边形的个数分别是4，2×1+1=3；第2个图案中，黑色正三角形和白色正六边形的个数分别是2×4=8，2×2+1=5；第3个图案中，黑色正三角形和白色正六边形的个数分别是3×4=12，2×3+1=7；…第n个图案中，黑色正三角形和白色正六边形的个数分别是4n，3+（n-1）×2=2n+1．【答案】D．1. 请你分别在下列多边形的同一顶点出发画对角线：想一想：依此规律可以把10边形分成（）个三角形．【解析】四边形可分割成4-2=2个三角形；五边形可分割成5-2=3个三角形；六边形可分割成6-2=4个三角形；七边形可分割成7-2=5个三角形，同理，10边形可分割成10-2=8个三角形【答案】82. 一凸n边形最小的内角为95︒，其它内角依次增加10︒，则n=_________．【解析】这个凸n边形的内角由小到大依次为95105115125︒︒︒︒⋅⋅⋅⋅⋅⋅，，，，它的外角依次为857565554535︒︒︒︒︒︒⋅⋅⋅⋅⋅⋅，，，，，而这六个外角之和为857565554535360︒+︒+︒+︒+︒+︒=︒∴6n=．【答案】63. 已知小娟家的地板全由同一形状且大小相同的地砖紧密地铺成．若此地砖的形状是一正多边形，则下列何者不可能是此地砖的形状（）课后作业A.正三角形B.正方形C.正五边形D.正六边形【解析】A、正三角形的每个内角是60°，能整除360°，能密铺；B、正方形的每个内角是90°，4个能密铺；C、正五边形每个内角是180°-360°÷5=108°，不能整除360°，不能密铺；D、正六边形的每个内角是120°，能整除360°，能密铺．【答案】C．。
人教版2021-2022学年八年级数学 《多边形的内角和》含答案解析
专题03 多边形的内角和一、单选题1．（2020·重庆市第二十九中学校八年级月考）某多边形的内角和是其外角和的4倍，则此多边形的边数是（）A．10B．9C．8D．7【答案】A【分析】任何多边形的外角和是360°，即这个多边形的内角和是4×360°．n边形的内角和是(n﹣2)•180°，如果已知多边形的边数，就可以得到一个关于边数的方程，解方程就可以求出多边形的边数．【详解】解：设多边形的边数为n，根据题意，得(n﹣2)•180＝4×360，解得n＝10．则这个多边形的边数是10．故选：A．【点睛】本题考查了多边形的内角和与外角和，解答本题的关键是根据多边形内角和公式与外角和定理，利用方程法求边数．2．（2021·四川七年级期末）某校新建的科技馆准备用正多边形地砖铺设地面，下列组合中能铺满地面的是（）A．正方形和正六边形B．正三角形和正六边形C．正五边形和正八边形D．正方形和正十边形【答案】B【分析】正多边形的组合能否铺满地面，看位于同一顶点处的几个角之和能否为360°进行判定即可．【详解】解：A、正方形和正六边形内角分别为90°、120°，显然不能构成360°的周角，故不能铺满；B、正三角形和正六边形内角分别为60°、120°，显然能构成360°的周角，故能铺满；C、正五边形和正八边形内角分别为108°、135°，显然不能构成360°的周角，故不能铺满．D、正方形和正十边形内角分别为90°、144°，显然不能构成360°的周角，故不能铺满．故选B．【点睛】本题主要考查了平面几何图形镶嵌，解题的关键是明确围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角．3．（2021·全国八年级课前预习）下列叙述正确的是（ ）A ．每条边都相等的多边形是正多边形；B ．如果画出多边形某一条边所在的直线，这个多边形都在这条直线的同一侧，那么它一定是凹多边形；C ．每个角都相等的多边形叫正多边形；D ．每条边、每个角都相等的多边形叫正多边形【答案】D 【详解】由题意可知，A 、B 、Cj 均不正确，只有D 是正确的。
人教版初中八年级数学多边形及其内角和选择题练习含答案
人教版初中八年级数学多边形及其内角和选择题练习含答案1.一个正多边形的外角与其相邻的内角之比为1:5，那么这个多边形的边数为( )A.8B.9C.10D.12【答案】D【解答】解：设正多边形的每个外角的度数为x，与它相邻的内角的度数为5x，依题意有x+ 5x=180∘，解得x=30∘，这个多边形的边数=360∘÷30∘=12．故选D．2. 某个人从多边形一个顶点出发引对角线可以把这个多边形分成八个三角形，这个多边形是（）边形．A.六B.八C.十D.十一【答案】C【解答】解：这个多边形的边数是8−1+3=10.故选C．3.（2020-2021·宁夏·月考试卷）如图，⊙A，⊙B，⊙C，⊙D，⊙E相互外离，它们的半径都是1，顺次连接五个圆心得到五边形ABCDE，则图中五个扇形（阴影部分）的面积之和是( )A.πB.1.5πC.2πD.2.5π【答案】B【解答】解：∵ 五边形的内角和是：(5−2)×180∘=540∘，∴ 阴影部分面积之和=540π×12=1.5π．故选B．3604. 如图，四边形ABCF≅四边形EDCF，若∠AFC+∠DCF=150∘，则∠A+∠B+∠D+∠E 的大小是()A.240∘B.300∘C.420∘D.460∘【答案】C【解答】解：∵ 四边形ABCF≅四边形EDCF，∠AFC+∠DCF=150∘，∴ ∠EFC+∠DCF=150∘，∴ ∠AFE+∠BCD=300∘.又∵ 六边形的内角和为(6−2)×180∘=720∘，∴ ∠A+∠B+∠D+∠E=720∘−300∘=420∘.故选C．5. 如图，木工师傅从边长为90cm 的正三角形木板上锯出一正六边形木板，那么正六边形木板的边长为( )A.34cmB.30cmC.32cmD.28cm【答案】B【解答】解：图中三个小三角形也是正三角形，且边长等于正六边形的边长，所以正六边形的周长是大正三角形周长的23，正六边形的周长为90×3×23=180(cm)， 所以正六边形的边长是180÷6=30(cm)．故选B ．6. 如图，若干全等正五边形排成环状，图中所示的其中3个正五边形，要完成这一圆环需要正五边形的个数为( ).A.7B.8C.9D.10【答案】D【解答】解：五边形的内角和为(5−2)×180∘=540∘，所以正五边形的每一个内角为540∘÷5=108∘.如图，延长正五边形的两边相交于点O ，则∠1=360∘−108∘×3=360∘−324∘=36∘，360∘÷36∘=10，即完成这一圆环共需10个五边形．故选D .7. 如果一个多边形的内角和是外角和的3倍，则这个多边形的边数是( )A.8B.9C.10D.11【答案】A【解答】解：多边形的外角和是360∘，根据题意，得180∘×(n −2)=3×360∘，解得n =8．故选A .8. 若过n 边形的一个顶点的所有对角线正好将该n 边形分成8个三角形，则n 的值是( )A.7B.8C.9D.10【答案】D【解答】解：经过n边形的一个顶点的所有对角线把多边形分成(n−2)个三角形，由题意，得n−2=8，解得n=10．故选D．。
人教版八年级数学上册专题03 多边形及其内角和(解析版)
专题03 多边形及其内角和一、多边形1．下列选项中不是凸多边形的是(D)A B C D2．下列命题正确的是(D)A．各角都相等的多边形为正多边形B．各边都相等的多边形为正多边形C．经过n边形的一个顶点可引(n－2)条对角线D．正方形是正多边形3．如图11－3－1，五边形ABCDE是一个__凸__五边形，∠E是它的一个__内角__，∠F AE是它的一个__外角__，AD是它的一条__对角线__．图11－3－14．过四边形一个顶点的对角线可以把四边形分成两个三角形；过五边形的一个顶点的对角线有__2__条，可以把五边形分成__3__个三角形；过n边形的一个顶点的对角线有多少条，可以把n边形分成多少个三角形？(用含n的代数式表示)【解析】运用不完全归纳法，从特例出发，进行归纳和小结(如答图所示)．第4题答图解： 如答图，从n 边形的一个顶点出发可以画(n －3) 条对角线，它们把n 边形分成(n －2) 个三角形． 5．若一个多边形从一个顶点可以引5条对角线，则它是( D ) A ．五边形 B ．六边形 C ．七边形D ．八边形【解析】 设它是n 边形，则从一个顶点可以引(n －3) 条对角线，∴n －3＝5，∴n ＝8.6．从一个n 边形的同一个顶点出发，分别连接这个顶点与其余各顶点，若把这个多边形分割成6个三角形，则n 的值是( C ) A ．6B ．7C ．8D ．9【解析】 根据从一个n 边形的某个顶点出发，可以引(n －3) 条对角线，把n 边形分为(n －2) 个三角形，则n －2＝6，解得n ＝8.7．P n 表示n 边形的对角线的交点个数(指落在其内部的交点)，如果这些交点都不重合，那么P n 与n 的关系式是P n ＝n （n －1）24·(n 2－an ＋b )(其中a ，b 是常数，n ≥4)．(1)通过画图，可得四边形时，P 4＝__1__(填数字)；五边形时，P 5＝__5__(填数字)； (2)请根据四边形和五边形对角线交点的个数，结合关系式，求a ，b 的值． 解： (1)如答图，第7题答图当n ＝4时，P 4＝1；当n ＝5时，P 5＝5； (2)将上述数值代入公式，得⎩⎨⎧4×（4－1）24×（16－4a ＋b ）＝1，①5×（5－1）24×（25－5a ＋b ）＝5，②解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5，b ＝6.8．你会用画多边形的对角线来解决生活中的数学问题吗？比如，学校举办足球赛，共有5个班级的足球队参加，每个队都要和其他各队比赛一场，最后根据积分排列名次．请问学校一共要安排多少场比赛？我们画出5个点，每个点各代表一个足球队，两个队之间比赛一场就用一条线段把它们连接起来．由于每个队都要与其他各队比赛一场，这样每个点与另外4个点都会有一条线段连接，如图11－3－2所示．现在我们只要数一数五边形的边数和它的对角线条数就可以了．由图可知，五边形的边数和对角线条数都是5，所以学校一共要安排10场比赛．同学们，请用类似的方法来解决下面的问题：姣姣、林林、可可、飞飞、红红和娜娜六人参加一次会议，见面时他们相互握手问好．已知姣姣已握了5次手，林林已握了4次手，可可已握了3次手，飞飞已握了2次手，红红握手1次，请推算出娜娜目前已和哪几个人握了手．图11－3－2 第8题答图解：先画出6个点，A，B，C，D，E，F各个点依次代表姣姣、林林、可可、飞飞、红红和娜娜，凡是两人之间握过手，就把代表他们的这两点用一条线段连接起来，如答图所示．先看姣姣A和红红E，姣姣已握手5次，说明姣姣与另外5人都握了手，因此代表姣姣的A点与B，C，D，E，F这5点都有一条线段连接；红红握手1次，他只能是与姣姣握的手了，所以E点只能与A点之间有线段连接，与其他各点没有线段连接；然后看林林B，林林已握手4次，由于他不可能与红红握过手，所以只能是与剩下的四个人姣姣、可可、飞飞和娜娜握过手了，因此，点B与A，C，D，F四点之间有线段连接；再看飞飞D，飞飞已握手2次，而代表飞飞的D点已与A，B两点有线段连接了，所以D点与其他的点不再有线段连接；最后看可可C，可可与3人握了手，但不是与飞飞和红红握手，所以代表可可的点C只能与A，B，F三点有线段连接．现在观察图形，与代表娜娜的点F连接的线段有3条，即AF，BF和CF，这说明姣姣、林林和可可三人已与娜娜握了手．新人教部编版初中数学“活力课堂”精编试题二、多边形的内角和1．一个五边形的内角和为( A ) A ．540° B ．450° C ．360°D ．180°2．一个多边形的内角和比其外角和的2倍多180°，则该多边形的对角线的条数是( C ) A ．12B ．13C ．14D ．15【解析】 设多边形的边数是n ，据题意，得(n －2)×180°＝2×360°＋180°，解得n ＝7.七边形的对角线的条数是7×（7－3）2＝14.3．如图11－3－3，一个含60°角的三角形纸片，剪去这个60°角后，得到一个四边形，则∠1＋∠2的度数为( C )图11－3－3 A ．120° B ．180° C ．240°D ．300°【解析】 ∠1＋∠2＝360°－(180°－60°)＝240°.4．如图11－3－4，小华从A 点出发，沿直线前进10 m 后左转24°，再沿直线前进10 m ，又向左转24°…照这样走下去，他第一次回到出发地A 点时，一共走的路程是( B )图11－3－4A ．140 mB ．150 mC ．160 mD ．240 m【解析】 ∵多边形的外角和为360°，而每一个外角为24°，∴多边形的边数为360°÷24°＝15，∴一共走的路程是15×10＝150(m)．5．若正多边形的内角和是1 080°，则该正多边的边数是__8__．6．若正多边形的每一个内角为135°，则这个正多边形的边数是__8__．7．一个正多边形的每个外角为60°，那么这个正多边形的内角和是__720°__．8．一个多边形的内角和是其外角和的3倍，则这个多边形的边数是__8__．【解析】设边数为n，则(n－2)×180°＝360°×3，解得n＝8.9．通过画出多边形的对角线，可以把多边形内角和问题转化为三角形的内角和问题．如果从某个多边形的一个顶点出发的对角线共有2条，那么该多边形的内角和是__540__°.【解析】由从某个多边形的一个顶点出发的对角线共有2条，可知将此多边形分成3个三角形，故其内角和为3×180°＝540°.10．如果一个正方形被截掉一个角后，得到一个多边形，那么这个多边形的内角和是__180°或360°或540°__．【解析】如答图，一个正方形被截掉一个角后，可能得到如下的多边形：第10题答图∴这个多边形的内角和是180°或360°或540°.11．一个多边形，它的内角和比外角和的4倍多180°，求这个多边形的边数及内角和度数．解：设这个多边形的边数为n.根据题意，得(n－2)×180°＝360°×4＋180°，解得n＝11，(n－2)×180°＝1 620°.答：这个多边形的边数是11，内角和是1 620°.12．已知n边形的内角和θ＝(n－2)×180°.(1)甲同学说，θ能取360°；而乙同学说，θ也能取630°.甲、乙的说法对吗？若对，求出边数n.若不对，请说明理由；(2)若n边形变为(n＋x)边形，发现内角和增加了360°，用列方程的方法确定x.解：(1)∵把θ＝360°代入公式可解得n＝4，而把θ＝630°代入公式解得n不是正整数，∴甲的说法对，乙的说法不对，甲同学说的边数n 是4；(2)根据题意，得(n ＋x －2)×180°－(n －2)×180°＝360°，解得x ＝2.13．一个多边形切去一个角后，形成的另一个多边形的内角和为1 080°，那么原多边形的边数为( D ) A ．7 B ．7或8 C ．8或9D ．7或8或9【解析】 设内角和为1 080°的多边形的边数是n ， 则(n －2)×180°＝1 080°，解得n ＝8. ∴原多边形的边数为7或8或9.14．边长相等的正五边形和正六边形如图11－3－5所示拼接在一起，则∠ABC ＝__24__°.图11－3－5【解析】 正六边形的一个内角＝16×(6－2)×180°＝120°.正五边形的一个内角＝15×(5－2)×180°＝108°.∴∠BAC ＝360°－(120°＋108°)＝132°. ∵两个正多边形的边长相等，即AB ＝AC ， ∴∠ABC ＝12×(180°－132°)＝24°.15．如图11－3－6，将一块正六边形硬纸片，做成一个底面仍为正六边形且高相等的无盖纸盒(侧面均垂直于底面，如图②)，需在每一个顶点处剪去一个四边形，如图①中的四边形AGA ′H ，那么∠GA ′H 的大小是__60°__．图11－3－6【解析】 由题图可知A ′H 与A ′G 重合，纸盒的六个侧面均为矩形，即当∠A ′HA ＝∠A ′GA ＝90°时才能满足这个条件．∵∠A′HA＋∠A′GA＋∠HAG＋∠GA′H＝360°，6∠HAG＝(6－2)×180°＝720°，∴∠HAG＝120°，∴∠GA′H＝60°.16．如图11－3－7，在四边形ABCD中，∠A与∠C互补，BE平分∠ABC，DF平分∠ADC，若BE∥DF，求证：△DCF为直角三角形．图11－3－7证明：∵在四边形ABCD中，∠A与∠C互补，∴∠ABC＋∠ADC＝360°－180°＝180°，∵BE平分∠ABC，DF平分∠ADC，∴∠CDF＋∠EBF＝90°，∵BE∥DF，∴∠EBF＝∠DFC，∴∠CDF＋∠DFC＝90°，∴△DCF为直角三角形．17．(1)阅读理解：如图11－3－8①是二环三角形，可得S＝∠A2A1A6＋∠A2＋…＋∠A6＝360°.图11－3－8①理由：连接A1A4，∵∠1＋∠2＋∠A1OA4＝180°，∠A5＋∠A6＋∠A5OA6＝180°，又∵∠A1OA4＝∠A5OA6，∴∠1＋∠2＝∠A5＋∠A6，∴∠A2＋∠3＋∠1＋∠2＋∠4＋∠A3＝360°，∴∠A2＋∠3＋∠A5＋∠A6＋∠4＋∠A3＝360°，即S＝360°；(2)延伸探究：图11－3－8②图11－3－8③Ⅰ.如图②是二环四边形，可得S＝∠A1＋∠A2＋…＋∠A8＝720°，请你加以证明；Ⅱ.如图③是二环五边形，可得S＝__1__080°__，聪明的你，请根据以上的规律直接写出二环n边形(n≥3的整数)中，S＝__(n－2)×360__°.(用含n的代数式表示最后的结果)解：(2)Ⅰ.如答图①所示，第17题答图则S＝∠A2A1A8＋∠A2＋…＋∠A8＝∠A1＋∠A2＋…＋∠A4A5A6＋∠M＋∠1＋∠2＝(6－2)×180°＝720°；Ⅱ.如答图②，当是二环五边形时，S为(5＋5－2) 边形内角和，即S＝(5＋5－2－2)×180°＝1 080°.以此类推，当是二环n边形时，补全图形后，S相当于补全图形的内角和，该图形原有n条边，补全后增加了(n－2) 条边，为(n＋n－2) 边形，即S＝(n＋n－2－2)×180°＝(n－2)×360°.。
人教版八年级数学上册《第十一章11.3多边形及内角和》课后练习(含答案)
八年级数学上册《第十一章11.3多边形及其内角和》课后练习一、单选题1．一个n边形的内角和为360°，则n等于（）A．3 B．4 C．5 D．62．正十边形的外角和为（）A．180°B．360°C．720°D．1440°3．如图，足球图片正中的黑色正五边形的内角和是( )．A．180°B．360°C．540°D．720°4．已知正多边形的一个外角为36°，则该正多边形的边数为( ).A．12 B．10 C．8 D．65．一个多边形切去一个角后，形成的另一个多边形的内角和为1080°，那么原多边形的边数为（）A．7 B．7或8 C．8或9 D．7或8或96．一个多边形的每个内角都等于144°，那么这个多边形的内角和为（）A．1980°B．1800°C．1620°D．1440°7．如图，在五边形ABCDE中，∠A+∠B+∠E＝300°，DP、CP分别平分∠EDC、∠BCD，则∠P的度数是（）A．50°B．55°C．60°D．65°二、填空题∠=_______°．8．如图，六边形ABCDEF的内角都相等，//AD BC，则DAB9．用一条宽度相等的足够长的纸条打一个结（如图1所示），然后轻轻拉紧、压平就可∠=____度．以得到如图2所示的正五边形ABCDE．图中，BAC10．图1是我国古代建筑中的一种窗格，其中冰裂纹图案象征着坚冰出现裂纹并开始消溶，形状无一定规则，代表一种自然和谐美．图2是从图1冰裂纹窗格图案中提取的由五条线段组成的图形，则∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=度．11．通过画出多边形的对角线，可以把多边形内角和问题转化为三角形内角和问题．如果从某个多边形的一个顶点出发的对角线共有2条，那么该多边形的内角和是_____度．12．如图，正方形MNOK和正六边形ABCDEF的边长相等，边OK与边AB重合．将正方形在正六边形内绕点B顺时针旋转，使边KM与边BC重合，则KM旋转的度数是______ °.三、解答题13．（1）若多边形的内角和为2340°，求此多边形的边数．（2）一个多边形的每个外角都相等，如果它的内角与外角的度数之比为13：2，求这个多边形的边数．14．已知n边形的内角和θ=（n-2）×180°.（1）甲同学说，θ能取360°；而乙同学说，θ也能取630°.甲、乙的说法对吗？若对，求出边数n.若不对，说明理由；（2）若n边形变为（n+x）边形，发现内角和增加了360°，用列方程的方法确定x.∠+∠+∠+∠+∠+∠的度数.15．如图所示，求A B C D E F16．如图，五边形ABCDE的内角都相等，且∠1=∠2，∠3=∠4．求∠CAD的度数．∠的变化情况,解答下列问题:17．观察每个正多边形中α(1)将下面的表格补充完整:(2)根据规律，是否存在一个正n边形，使其中的∠α=21°？若存在，直接写出n的值；若不存在,请说明理由.18．（1）已知：如图1，P为△ADC内一点，DP、CP分别平分∠ADC和∠ACD，如果∠A=90°，那么∠P=______°；如果∠A=x°，则∠P=____________°；（答案直接填在题中横线上）（2）如图2，P为四边形ABCD内一点，DP、CP分别平分∠ADC和∠BCD，试探究∠P与∠A+∠B的数量关系，并写出你的探索过程；（3）如图3，P为五边形ABCDE内一点，DP、CP分别平分∠EDC和∠BCD，请直接写出∠P与∠A+∠B+∠E的数量关系：________________；（4）若P为n边形A1A2A3…A n内一点，PA1平分∠A n A1A2，PA2平分∠A1A2A3，请直接写出∠P与∠A3+A4+A5+…∠A n的数量关系：__________________________．（用含n 的代数式表示）答案：1．B 2．B 3．C 4．B 5．D 6．D 7．C．8．60°．9．36°. 10．360°．11．540 12．30. 13．解：(1)设边数为n，则解得：n=15，答：边数为15；(2)每个外角度数为180°×=24°，∴多边形边数为=15，答：边数为15．14．解：（1）甲对，乙不对.∵θ=360°，∴（n-2）×180°=360°，解得n=4.∵θ=630°，∴（n-2）×180°=630°，解得n=.∵n为整数，∴θ不能取630°.（2）由题意得，（n-2）×180+360=（n+x-2）×180，解得x=2.15．解：∵∠1=∠A+∠B，∠2=∠C+∠D，∠3=∠E+∠F，又∵∠1+∠2+∠3=360°，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=360°．16．解：∵五边形的内角和是540°，∴每个内角为540°÷5＝108°，∴∠E＝∠B＝∠BAE＝108°，又∵∠1＝∠2，∠3＝∠4，由三角形内角和定理可知，∠1＝∠2＝∠3＝∠4＝（180°－108°）÷2＝36°，∴∠CAD＝∠BAE－∠1－∠3＝108°－36°－36°＝36°．17．解：(1)正三角形中∠α=60°，正四角形中∠α=45°，正五角形中∠α=36°，正六角形中∠α=30°，(2)18021oo n，解得n 不是整数，所以不存在这样的n 值. 18．解：（1）∵DP 、CP 分别平分∠ADC 和∠ACD ，∴∠PDC=12∠ADC ，∠PCD=12∠ACD ， ∴∠DPC=180°﹣∠PDC ﹣∠PCD=180°﹣12∠ADC ﹣12∠ACD =180°﹣12（∠ADC+∠ACD ） =180°﹣12（180°﹣∠A ） =90°+ 12∠A ， ∴如果∠A=90°，那么∠P=135°；如果∠A=x°，则∠P=（90+2x ）°； （2）∵DP 、CP 分别平分∠ADC 和∠BCD ，∴∠PDC=12∠ADC ，∠PCD=12∠BCD ， ∴∠DPC=180°﹣∠PDC ﹣∠PCD=180°﹣12∠ADC ﹣12∠BCD =180°﹣12（∠ADC+∠BCD ） =180°﹣12（360°﹣∠A ﹣∠B ） =12（∠A+∠B ）； （3）五边形ABCDEF 的内角和为：（5﹣2）•180°=540°，∵DP 、CP 分别平分∠EDC 和∠BCD ，∴∠PDC=12∠EDC ，∠PCD=12∠BCD ， ∴∠P=180°﹣∠PDC ﹣∠PCD=180°﹣12∠EDC ﹣12∠BCD =180°﹣12（∠EDC+∠BCD ） =180°﹣12（540°﹣∠A ﹣∠B ﹣∠E ） =12（∠A+∠B+∠E ）﹣90°， 即∠P=1（∠A+∠B+∠E ）﹣90°；（4）同（1）可得，∠P=12（∠A 3+∠A 4+∠A 5+…∠A n ）﹣（n ﹣4）×90°． 故答案为：（1）如果∠A=90°，那么∠P=135°；如果∠A=x°，则∠P=（90+2x ）°（2）∠P=180°﹣∠PDC ﹣∠PCD=12（∠A+∠B ）（3）∠P=12（∠A+∠B+∠E ）﹣90°（4）∠P=12（∠A 3+∠A 4+∠A 5+…∠A n ）﹣（n ﹣4）×90°人教版八年级数学上册《第十一章11.3多边形及内角和》课后练习（含答案）。
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多边形和内角和
练习题
温故而知新：
1.多边形
多边形的内角和：n边形内角和等于＿(n-2)·180°＿＿
多边形的外角和：任意多边形外角和等于＿＿360°＿
多边形的对角线：凸n边形共有＿1
(3)
2
n n-＿条对角线。
2.平面镶嵌
定义：用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖，通常把这类问题叫做用多边形覆盖平面（或平面镶嵌）问题.
说明：正三角形、正方形和正六边形可以镶嵌平面图案，正五边形不能镶嵌平面图案.
多边形的对角线
例 1 今年暑假，佳一学校安排全校师生的假期社会实践活动，将每班分成三个组，每组派1名教师作为指导教师，为了加强同学间的联系，学校要求该班每两人之间（包括指导教师）每周至少通一次电话，现知该校七（1）班共有50名学生，那么该班师生之间每周至少要通几次电话？为了解决这一问题，小明把该班师生人数n与每周至少通话次数s之间的关系用下列模型表示，如图。
解析:
师生53人看作是53边形的53个顶点，n边形的对角线条数公式为：1
(3)
2
n n-。
答案：
解：将七（1）班师生53人看作是53边形的53个顶点，由多边形对角线条数公式1
(3)
2
n n-得
1
⨯⨯-=
53(533)1325
2
所以1325+53=1378次。
答：该班每周师生之间至少要通1378次电话
小结：（1）建立数学模型是解决实际问题的基本方法；（2）n边形的对角线的条数公式是
1
(3)
n n-
2
多边形的内角和与外角和
例2 已知一个多边形的外角和等于内角和的1/3，求这个多边形的边数。
解析：
多边形的外角和为360°，根据多边形的内角和及外角和列方程.
答案：
解：设这个多边形的边数为n，根据题意，得
1
n-⨯=
(2)180360
3
解得 n=8
答：这个多边形的边数是8.
小结：
利用方程求解是解决此类问题的一般方法。
例3 如图，小陈从O点出发，前进5米后向右转20°，再前进5米后又向右转20°，……这样一直走下去，他第一次回到出发点O时一共走了（）
A.60米
B.100米
C.90米
D.120米
解析：
根据多边形的外角和求出这个多边形的边数。
答案：
多边形的边数为360°÷20=18，
所以他第一次回到出发点O时一共走了18×5=90（米）．
举一反三：
1、一个多边形截取一个角后，形成的另一个多边形的内角和是1620°，则原来多边形的边数是（）
A、10
B、11
C、12
D、以上都有可能
解析：
设截后的多边形的边数为n，则（n-2)·180°＝1620°，n=11，所以原来的多边形可能是10或11或12边形.故选D.
常见的星形角度和
例4 如图，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7=＿＿＿
解析：
连接DH，则∠3+∠4＝∠KDH+∠KHD,所以∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7的和即为五边形ABGHD 的内角和.
答案：
解：连接DH，则∠3+∠4=∠KDH+∠KHD，
所以∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7的和就等于五边形ABGHD的内角和。
∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7=3×180°=540°
例5 如图所示，CD∥AF，∠CDE=∠BAF,AB⊥BC,∠C=124°，∠E=80°，试求∠F的度数。
发现这个题目直接去解决也不是很容易，我们应该作一条辅助线，这样也许能方便我们解决问题。
答案一：
解：延长CB交FA的延长线于G（如图）
因为CD∥AF，所以∠C+∠G=180°，
所以∠G=180°-∠C=180°-124°=56°，
所以∠BAF=∠G+∠GBA=56°+90°=146°
所以∠D=∠BAF=146°
因为∠FAB+∠ABC+∠C+∠D+∠E+∠F
=（6-2）×180°=720°
所以∠F=720°-90°-124°-2×146°-80°=134°。
答案二：
解：连接AD（如图）
因为CD∥AF，所以∠1=∠2
在四边形ABCD中，AB⊥BC，所以∠B=90°。
所以∠BAD+∠1=∠BAD+∠2=∠BAF
=360°-（90°+124°）=146°
在四边形ADEF中，∠2+∠ADE=∠CDE=∠BAF=146°。
所以∠F=360°-（146°+80°）=134°（四边形内角和等于360°）。
缺角多边形的边数的求法
例6 佳一学校小聪在进行多边形的内角和的计算时，求得内角和为1680°，当他检查时发现答案错了，少加一个内角，你能找出这个内角吗？这个多边形是几边形？
解析：
n 边形的内角和为（n-2)·180°，少加的一个内角度数在0°～180°之间.
答案：
解：设少加的一个内角为x ，依题意有
1680(2)180x n +=-⨯。
解得2040180x n +=
因为0
180x ，又n 为整数，20401801160÷=，所以x=120° 204012012180
n +== 答：这个内角是120°，这是一个12边形。
小结：
本题考查了多边形内角和公式，根据多边形的边数为正整数求解，问题中如果出现两个未知量，但相等关系只有一个，这就需要借助不定方程求解.
下面我们来看检验一下自己的所学；
举一反三：
1、过m 边形的一个顶点有7条对角线，n 边形没有对角线，k 边形共有k 条对角线，则()n m k -=＿＿＿＿
解析：
由m-3=7，得m=10.
n 边形没有对角线，所以n=3.
故原式=125.
2、如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G的度数。
解析：
观察图形可得，题图由一个四边形和一个三角形构成，可根据四边形和三角形的内角和定理求度数之和.
答案：
解：因为∠A+∠C+∠E=180°,
又因为∠B+∠D+∠F+∠G=360°,
所以∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G=540°.。