七年级数学(上)思维特训(4)：绝对值与分类讨论(含答案)

思维特训(四) 绝对值与分类讨论

方法点津 ·

1．由于去掉绝对值符号时，要分三种情况：即正数的绝对值是它本身，0的绝对值是0，负数的绝对值是它的相反数，所以涉及绝对值的运算往往要分类讨论．

用符号表示这一过程为：||a ＝⎩⎪⎨⎪⎧a （a >0），0（a ＝0），－a （a <0）.

2．由于在数轴上到原点的距离相等的点(非原点)有两个，一个点表示的数是正数，另一个点表示的数是负数，因此知道某个数的绝对值求该数时，往往需要分两种情况讨论．

用符号表示这个过程为：若||x ＝a (a >0)，则x ＝±a .

3．分类讨论的原则是不重不漏，一般步骤为：①分类；②讨论；③归纳．

典题精练 ·

类型一 以数轴为载体的绝对值的分类讨论

1．已知点A 在数轴上对应的数是a ，点B 在数轴上对应的数是b ，且|a ＋4|＋(b －1)2＝0.现将点A ，B 之间的距离记作|AB |，定义|AB |＝|a －b |.

(1)|AB |＝________；

(2)设点P 在数轴上对应的数是x ，当|P A |－|PB |＝2时，求x 的值．

2．我们知道：点A ，B 在数轴上分别表示有理数a ，b ，A ，B 两点之间的距离表示为

AB ，在数轴上A ，B 两点之间的距离AB ＝|a －b |，所以式子|x －3|的几何意义是数轴上表示有理数3的点与表示有理数x 的点之间的距离．

根据上述材料，回答下列问题：

(1)|5－(－2)|的值为________；

(2)若|x －3|＝1，则x 的值为________；

(3)若|x －3|＝|x ＋1|，求x 的值；

(4)若|x －3|＋|x ＋1|＝7，求x 的值．

类型二 与绝对值化简有关的分类讨论问题

3．在解决数学问题的过程中，我们常用到“分类讨论”的数学思想，下面是运用分类讨论的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答下列问题：

【提出问题】三个有理数a ，b ，c 满足abc ＞0，求|a|a ＋|b|b ＋|c|c

的值． 【解决问题】

解：由题意，得a ，b ，c 三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数．

①当a ，b ，c 都是正数，即a ＞0，b ＞0，c ＞0时，则|a|a ＋|b|b ＋|c|c ＝a a ＋b b ＋c c

＝1＋1＋1 ＝3；②当a ，b ，c 中有一个为正数，另两个为负数时，设a ＞0，b ＜0，c ＜0，则|a|a ＋|b|b ＋|c|c

＝a a ＋－b b ＋－c c

＝1－1－1＝－1. 所以|a|a ＋|b|b ＋|c|c

的值为3或－1. 【探究】请根据上面的解题思路解答下面的问题：

(1)三个有理数a ，b ，c 满足abc ＜0，求|a|a ＋|b|b ＋|c|c

的值； (2)已知|a |＝3，|b |＝1，且a ＜b ，求a ＋b 的值．

4．在有些情况下，不需要计算出结果也能把绝对值符号去掉．例如：

|6＋7|＝6＋7；|6－7|＝7－6；|7－6|＝7－6；|－6－7|＝6＋7.

(1)根据上面的规律，把下列各式写成去掉绝对值符号的形式：

①|7－21|＝________；

②|－12

＋0.8|＝________； ③⎪⎪⎪

⎪717－718＝________． (2)用合理的方法计算：|15－12018|＋|12018－12|－|－12|＋11009

.

5．探索研究：

(1)比较下列各式的大小(填“＜”“＞”或“＝”)：

①|－2|＋|3|________|－2＋3|；

②|－1

2|＋|－

1

3|________|－

1

2－

1

3|；

③|6|＋|－3|________|6－3|；

④|0|＋|－8|________|0－8|.

(2)通过以上比较，请你分析、归纳出当a，b为有理数时，|a|＋|b|与|a＋b|的大小关系．(直接写出结论即可)

(3)根据(2)中得出的结论，解决以下问题：当|x|＋|－2018|＝|x－2018|时，求x的取值范围．

详解详析

1．解：(1)因为|a ＋4|＋(b －1)2＝0，所以a ＝－4，b ＝1，所以|AB |＝|a －b |＝5.

(2)当点P 在点A 左侧时，|P A |－|PB |＝－(|PB |－|P A |)＝－|AB |＝－5≠2，不符合题意； 当点P 在点B 右侧时，|P A |－|PB |＝|AB |＝5≠2，不符合题意．

当点P 在点A ，B 之间时，|P A |＝|x －(－4)|＝x ＋4，|PB |＝|x －1|＝1－x .

因为|P A |－|PB |＝2，所以x ＋4－(1－x )＝2，

解得x ＝－12

. 2．解：(1)7

(2)因为|x －3|＝1，所以x －3＝±1，解得x ＝2或4.故x 的值为2或4.

(3)根据绝对值的几何意义可知，x 必在－1与3之间，故x －3＜0，x ＋1＞0， 所以原式可化为3－x ＝x ＋1，所以x ＝1.

(4)在数轴上表示3和－1的两点之间的距离为4，则满足方程的x 的对应点在－1的对应点的左边或3的对应点的右边．

若x 的对应点在－1的对应点的左边，则原式可化为3－x －x －1＝7，解得x ＝－2.5； 若x 的对应点在3的对应点的右边，则原式可化为x －3＋x ＋1＝7，解得x ＝4.5. 综上可得，x 的值为－2.5或4.5.

3．解：(1)因为abc ＜0，

所以a ，b ，c 都为负数或其中一个为负数，另两个为正数．

①当a ，b ，c 都为负数，即a ＜0，b ＜0，c ＜0时，

则|a |a ＋|b |b ＋|c |c ＝－a a ＋－b b ＋－c c

＝－1－1－1＝－3； ②当a ，b ，c 中有一个为负数，另两个为正数时，设a ＜0，b ＞0，c ＞0， 则|a |a ＋|b |b ＋|c |c ＝－a a ＋b b ＋c c

＝－1＋1＋1＝1.