积分中值定理中的极限

积分中值定理中n ξ的极限

杨勇洪

（楚雄师范学院数学系2005级2班）

指导老师 郎开禄

摘要：本文讨论了改进后的积分中值定理中n ξ的极限,获得几个有意义的结果. 关键词：积分；中值定理；极限

The limit of n ξ in integral theorem of mean

Yan zilan

Abstract ：In this paper, we discussed the limit of n ξ in the improvement integral theorem of

mean ， several meaningful results are obtained. Key words ：Integral ；Theorem of mean ；limit

导师评语：

在文[1] ([1].郎开禄.积分中值定理注记[J ].楚雄师范学院学报，2008，23（6）：7-15.)中讨论了改进后的广义积分中值定理中n ξ的极限，并获得了两个基本结果,并讨论了其应用.在文[2] ([2].裘兆泰，王承国，章仰文编.数学分析学习指导[M ].2004：223-226，272.)中讨论了积分中值定理中n ξ的极限,获得了几个基本结果.

受文[1]- [2]的启发，在文[1]- [2]的基础上，杨勇洪同学的毕业论文《积分中值定理 中n ξ的极限》进一步研究改进后的广义积分中值定理中n ξ的极限,获得了的三个结论(定理 8至定理10),并讨论了其应用.

杨勇洪同学的毕业论文《积分中值定理中n ξ的极限》选题具有理论与实际意义,通过深入研究,该论文获得了关于积分中值定理中n ξ的极限的三个结论,并讨论其应用.该论文完成有 一定的技巧性和难度,其结果在理论与实际上都有重要意义.论文语言流畅,打印行文规范 ,是一篇创新型的毕业论文.该同学在作论文过程中，悟性好，爱钻研，能吃苦，独立性强.

积分中值定理中n ξ的极限

前 言

改进后的积分中值定理指出，若)(x F n 在[,]a b 连续，则至少存在一点),(b a n ∈ξ，使得

()()()(1,2)b n n n a

F x dx F b a n ξ=-=⎰

.此时n ξ取值于),(b a 内，但随n 的变化而变化，若

lim n n ξ→∞

存在，则lim n n ξ→∞

有可能等于a ，或b .若这种情况出现，在应用积分中值定理求极限

时应特别小心（见文[1]）.

改进后的广义积分中值定理指出，若)(x F n 在[,]a b 连续，则至少存在一点),(b a n ∈ξ，使得

()()()()(1,2)b b

n n n a

a

F x g x dx F g x dx n ξ==⎰⎰ . 此时n ξ取值于),(b a 内，但随n 的

变化而变化，若lim n n ξ→∞

存在，则lim n n ξ→∞

有可能等于a ，或b .若这种情况出现，在应用积分中值定理求极限时也应特别小心. 在文[2]中，讨论了改进后的积分中值定理中n ξ的极限并获得了几个基本结果，文[1]受文[2]的启发，讨论了改进后的广义积分中值定理中n ξ的极限，获得了两个基本结果.在本文中，我们改进了文[1]中的一个结果的条件，获得了文[1]中同样的结果，并讨论了其应用.

1 积分中值定理

定理1[]

3（积分中值定理）若函数)(x f 在闭区间[,]a b 连续，则至少存在一点],[b a ∈ξ，使得

()()()b a

f x dx f b a ξ=-⎰

.

定理2

[]

3（广义积分中值定理）若函数)(x f 与)(x g 在闭区间[,]a b 连续，且)(x g 在

[,]a b 不改变符号，则至少存在一点],[b a ∈ξ，使得()()()()b

b

a

a

f x

g x dx f g x dx ξ=⎰⎰.

定理1和定理2表明，ξ在闭区间[,]a b 中取到，故就有可能取左端点a ，或取右端点b ，

也有可能在开区间),(b a 中取到.

2 改进后的积分中值定理

定理3

[][]

4,5（积分中值定理）若函数)(x f 在闭区间[,]a b 连续，则至少存在一点

),(b a ∈ξ，使得()()()b a

f x dx f b a ξ=-⎰.

定理4

[][]

4,5（广义积分中值定理）若函数)(x f 与)(x g 在闭区间[,]a b 连续，且)(x g 在

[,]a b 不改变符号，则至少存在一点),(b a ∈ξ，使得()()()()b

b

a

a

f x

g x dx f g x dx ξ=⎰⎰.

定理3和定理4表明，ξ一定能在开区间),(b a 中取到.

3 积分中值定理中n ξ的极限

关于积分中值定理中n ξ的极限，在文[2]中，有下列结果： 定理5

[]

2 (1) 设)(x f 在[,]a b 是非负、严格递增连续函数，记)()(x f x F n n =，由改

进后的积分中值定理，即由定理3，至少存在一点),(b a n ∈ξ，使得

()()()b n n n a

F x dx F b a ξ=-⎰

，

则b n n =∞

→ξlim .

(2) 设)(x f 在[,]a b 是非负、严格递减连续函数，记)()(x f x F n n =，由改进后的积分中值定理，即由定理3，至少存在一点),(b a n ∈ξ，使得

()()()b n n n a

F x dx F b a ξ=-⎰

，

则a n n =∞

→ξlim .

推论

[]

2 设)(x f 在[,]a b 是非负、连续函数，且在[,]a b 有唯一的最大值点0x ，

)()(x f x F n n =，由改进后的积分中值定理，即由定理3，至少存在一点),(b a n ∈ξ，使得

()()()b n n n a

F x dx F b a ξ=-⎰

，

则0lim x n n =∞

→ξ.

关于积分中值定理中n ξ的极限，在文[1]中，有下列结果： 定理6

[]

1 设)(x f 在[,]a b 是连续函数，)(x g 在[,]a b 是非负、严格递减连续函数，则

(1) )0(0)()(lim a b dx

x g dx x g b

a

n b

a n

n -<<=⎰⎰+

∞

→εε

；

(2) 由广义积分中值定理，至少存在一点),(b a n ∈ξ，使得

()()()()b b

n

n n a

a

f x

g x dx f g x dx ξ=⎰

⎰，

则)()(lim a f f n n =∞

→ξ.

定理7

[]

1 设)(x f 在[,]a b 是连续函数，)(x g 在[,]a b 是非负、严格递增连续函数，若

存在[,]a b 上的非负、严格递减连续函数)(x h ，使得

)0)(()(a b a h b g -<<+=-εεε，()()b

b

n

n a

a

g x dx h x dx =⎰⎰，

则

(1) ()lim

0(0)()b n a b n n

a

g x dx

b a g x dx

ε

ε-→∞

=<<-⎰⎰

；

(2) 由广义积分中值定理，至少存在一点),(b a n ∈ξ，使得

()()()()b b

n n n a

a

f x

g x dx f g x dx ξ=⎰

⎰，

则)()(lim b f f n n =∞

→ξ.

关于积分中值定理中n ξ的极限，在本文中，我们去掉了定理7中“若存在[,]a b 上 的非负、严格递减连续函数)(x h ，使得)0)(()(a b a h b g -<<+=-εεε，