积分中值定理中的极限
积分中值定理及定积分极限
第十二专题讲座-----积分中值定理及定积分极限题型2009智 轩一、完整的积分中值定理包含下列全部内容1．函数平均值 []()1ba M f f x dxb a=-⎰ 2．第一中值定理()1如果函数在积分区间[],a b 上连续，则()()()ba ab f x dx f b a ξξ∃≤≤⇒=-⎰。
（教材上的描述） ()2如果函数()(), f x x ϕ在积分区间[],a b 上连续，且当a x b <<时，()x ϕ不变号，则则()()()()b baaa b f x x dx f x dx ξϕξϕ∃≤≤⇒=⎰⎰。
3． 第二中值定理（★超纲内容，仅仅作为理解用）()1若函数()(), f x x ϕ在积分区间[],a b 上有界并可积，当且当a x b <<时，()x ϕ单调，则()()()()()()00bbaaf x x dx a a f x dx b f d b x x ξξϕξϕϕ∃≤-≤=++⇒⎰⎰⎰。
()2若函数()(), f x x ϕ在积分区间[],a b 上有界并可积，当且当a x b <<时，()x ϕ单调递减（广义上），且为非负数，则()()()()0b aaa b f x x dx a f x dx ξξϕϕ∃≤≤⇒=+⎰⎰。
()3若函数()(), f x x ϕ在积分区间[],a b 上有界并可积，当且当a x b <<时，()x ϕ单调递增（广义上），且为非负数，则()()()()0b baa b f x x dx b f x dx ξξϕϕ∃≤≤⇒=-⎰⎰。
二、与积分有关的求极限问题【例1】求极限110lim 1nn x I dx x→∞=+⎰ 解：110011010100111lim 01n n nn n n x x x x dx x dx x x n xI dx x→∞≤≤⇒≤≤⇒≤≤=+++⇒==+⎰⎰⎰ 【例2】求极限220lim sin n n I xdx π→∞=⎰解：对任意给定的0ε>，且设2πε<，则22202200sin sin sin 22sin 1lim sin 02220, sin 220sin 2lim sin 0nnn n n n n n n xdx xdx N n N xdx I xdx ππεππππεεεεπππεεεππεεεε-→∞→∞⎛⎫⎛⎫≤≤+≤--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫-<⇒--= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⇔∃>>--< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⇒≤≤⇒==⎰⎰⎰⎰当时， 有【例3】求极限()3sin lim 0n pnn xI dx p x+→∞=>⎰ 解：当n x n p ≤≤+，有3sin 1sin sin lim 0n pn p nn n x x px dx I dx x nx n x++→∞≤⇒≤⇒==⎰⎰【例4】求极限14200lim 1dxI x εε→+=+⎰ 解：()())114220000100lim lim111arctanlim arctan|lim1ddxIxεεεεε→+→+→+→+==++===⎰⎰【例5】求极限()5lim baf xI dxxεεε→+=⎰，已知()[]0,1, 0, 0f x C a b∈>>。
积分中值定理与推广积分中值定理区间问题
积分中值定理与推广积分中值定理区间问题一、积分中值定理的基本概念1.1 积分中值定理的定义积分中值定理是微积分中的重要定理之一，它是对函数在闭区间上的平均值与极限值之间的关系进行了精确的描述。
积分中值定理的内容主要包括了两个部分：第一部分是零点定理，即如果函数在闭区间上连续，并且在该闭区间上取得了最大值和最小值，那么在该闭区间上一定存在至少一个点使得函数的导数等于零；第二部分是平均值定理，即如果一个函数在一个闭区间上连续，那么一定存在至少一个点，使得该点的导数等于函数在该区间上的平均增量。
积分中值定理的内容简单而深刻，它为我们理解函数在闭区间上的性质提供了重要的依据。
1.2 积分中值定理的应用积分中值定理在实际问题中有着广泛的应用，它不仅可以帮助我们理解函数的性质，还可以为我们提供在实际问题中对函数的特定取值进行估计的依据。
比如在物理学中，积分中值定理可以用来描述物体在某一时刻的速度与位移之间的关系；在经济学中，积分中值定理可以用来解释市场上产品的供求关系；在生物学中，积分中值定理可以用来分析生物体在生长过程中的变化规律等等。
积分中值定理是微积分中的基础定理之一，它在我们的日常生活和各个学科领域中都有着重要的地位。
二、推广积分中值定理区间问题2.1 区间问题的提出在积分中值定理的基础上，我们可以进一步进行推广，即考虑函数在开区间上的性质。
具体来说，我们可以考虑以下问题：如果一个函数在一个开区间上连续，那么它在该开区间上是否一定存在着一个点，使得该点的导数等于函数在该开区间上的平均增量呢？这个问题就是推广积分中值定理区间问题。
2.2 区间问题的解决针对区间问题，我们可以通过微积分中的基本原理进行研究。
我们可以利用函数的连续性和导数的存在性来证明函数在开区间上的平均增量一定存在，然后利用积分中值定理的零点定理和平均值定理来证明在该开区间上一定存在着一个点，使得该点的导数等于函数在该开区间上的平均增量。
微积分中的积分中值定理与极限定理的应用
微积分中的积分中值定理与极限定理的应用微积分是数学中的一个重要分支，它研究的是函数的导数和积分，以及两者之间的关系。
微积分在很多领域都有广泛的应用，比如物理、工程、经济学等。
在微积分中，积分中值定理和极限定理是非常重要的概念。
它们不仅是理论基础，而且在实际应用中也具有重要作用。
本文将重点介绍积分中值定理和极限定理的应用。
一、积分中值定理的应用积分中值定理是微积分中一条重要的定理，它是求解积分的一种方法。
在积分运算中，很多时候我们需要求解一个函数在一定区间的平均值。
这个平均值可以用积分中值定理来得到。
积分中值定理有两种形式：拉格朗日中值定理和柯西中值定理。
下面我们分别来介绍一下它们的应用。
1. 拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理又称为第一中值定理，它是由法国数学家拉格朗日（Lagrange）在18世纪发现的。
该定理的表述如下：如果函数f(x)在区间[a,b]上连续，且在(a,b)内可导，那么存在一个点c∈(a,b)，使得f(b)-f(a)=f'(c)(b-a)这里的c就是在区间[a,b]上的某个中间值。
我们可以通过拉格朗日中值定理来求一个函数在某个区间上的平均值。
例如，假设我们要求函数y=√x在区间[1,4]上的平均值。
首先，我们可以将该函数在该区间上的积分表示出来：∫1^4√xdx然后，我们可以用拉格朗日中值定理求出积分的值。
根据该定理，存在一个点c∈(1,4)，使得：∫1^4√xdx=√4-√1/(4-1)=√3因此，y=√x在区间[1,4]上的平均值为√3。
2.柯西中值定理柯西中值定理是由法国数学家柯西（Cauchy）在19世纪发现的，它是拉格朗日中值定理的推广。
该定理的表述如下：如果函数f(x)和g(x)在区间[a,b]上连续，且在(a,b)内可导，且g(x)≠0，那么存在一个点c∈(a,b)，使得(f(b)-f(a))/g(b)-g(a)=f'(c)/g'(c)这里的c仍然是在区间[a,b]上的某个中间值。
积分中值定理求极限的条件(二)
积分中值定理求极限的条件(二)积分中值定理求极限的条件引言积分中值定理是微积分中非常重要的定理之一，它为我们求解函数的积分提供了一种便捷的方法。
在某些情况下，我们可以利用积分中值定理来求解函数在某一区间上的极限。
本文将探讨积分中值定理求极限的条件。
什么是积分中值定理？积分中值定理是微积分中的基本定理之一，它指出在某一区间上，如果一个函数连续，那么它一定存在一个点，使得在该点处的导数等于函数在整个区间上的平均变化率。
这一点被称为积分中值点。
积分中值定理有两个重要的特殊情况，即拉格朗日中值定理和柯西中值定理。
拉格朗日中值定理的条件拉格朗日中值定理是积分中值定理的一个特殊情况，它要求函数在某一闭区间上连续，在该闭区间的内部可导。
具体来说，拉格朗日中值定理的条件包括：•函数f(x)在闭区间[a,b]上连续；•函数f(x)在开区间(a,b)内可导。
柯西中值定理的条件柯西中值定理是积分中值定理的另一个特殊情况，它要求函数在某一闭区间上连续，并且存在一个非零的数c，使得c与函数f(x)在闭区间[a,b]上的导数f′(c)成比例。
具体来说，柯西中值定理的条件包括：•函数f(x)和g(x)在闭区间[a,b]上连续；•函数g(x)在闭区间[a,b]上不变为零。
积分中值定理求极限的条件在使用积分中值定理求解函数在某一区间上的极限时，我们需要注意以下条件：1.函数在该区间上连续：这是积分中值定理的基本条件，只有函数在该区间上连续，我们才能够使用积分中值定理来求取极限。
2.函数在该区间的导数存在：只有函数在该区间内可导，我们才能够确定存在积分中值点，进而利用中值定理来求解极限。
结论积分中值定理为我们求解函数的积分提供了一种便捷的方法，并且在某些情况下，我们可以利用积分中值定理来求解函数在某一区间上的极限。
但是，在使用积分中值定理求解极限时，我们需要满足函数在该区间上连续以及在该区间的导数存在这两个条件。
只有在满足这些条件的情况下，我们才能够得出准确的结果。
积分中值定理在求极限中的应用_王欣
已 知 函 数 f （ x ） 连 续，且 lim
1
f（ x） = 2 ，设 x
由积分中值定理知
∫
0
f（ xt） dt， 求 φ' （ x） ．
lim
∫
n +p
sinξn sinx dx = lim （ n + p － n） = 0， n， n + p］ ． ξn ∈［ n→ɕ ξn x
∫
＇由改进的积分中值定理知
1
lim
∫
x n sinxdx = lim ξ n 1） ． ξ n ∈（ 0 ， n sinξ n = 0 ，
n→ ɕ
{
x ≠ 0， ∫ f（ u） du，
0
x
注 存在．
此题不能使用定理 1 ． 因为若不排除 ξ n 取端点值
情况， 则 极 限 值 不 能 确 定． 但 不 能 由 此 判 断 此 极 限 值 不
∫ f（ x） dx =
a
b
注
（ 2 ） 两种结果． 当然， （ 1 ） 是错误 这里出现了 （ 1 ） ，
的． 原因是（ 1 ） 中的最后一个等号是不成立的 ， 大家注意这 样一个事实： ξ 与 x 有关但未必等价． 当 x→0 时， ξ x →0 ， 初学 者易认为两者等价， 从而lim 例 4 φ（ x） = 解 ξx 导致错误． 2 = 1， x→0 x
0， x = 0，
x
解
分段函数在分段点处的导数 ， 用导数定义来求． f（ x） － f（ 0 ） = lim x→0 x→0 x －0
f' （ 0 ） = lim
∫（e
0
t2
－ 1 ） dt
含有积分的一些极限问题的解法
1
4Πt5
f
x 2+ y 2+ z 2≤t2
(x 2 +
y2 +
z 2) dx dy dz 1
解 作球面坐标变换 x = rsinΥco sΗ, y = rsinΥsinΗ, z = rco sΥ, 有
µ ∫∫∫ lim
t→0+
1
4Πt5
f
x 2+ y 2+ z 2≤t2
(x 2 +
y2 +
z2) dx dy dz =
若满足 0 0
(或∞∞) 型未定式,
则可用罗必达法则来求其极限 1
这也是处理含有变上限积分极限的一般方法 1
∫x 2 f (t) d t
∫ 例 7 设 f ′(x ) 连续, f (0) =
0,
且f
′(0)
≠ 0,
求 lim x →0
0
x
x2 f
1 (t) d t
0
解 所求极限满足
0 0
型未定式,
运用罗必达法则,
有
∫ 原式 =
lim
x →0
x 2f
f (x 2) (x ) + 2x
2x
x
f
= (t) d t
0
lim
x →0
f
(x )
2f ′(x 2) + x f ′(x )
2x + 2f
(x )
=
lim
x →0
3f
4f ′(x 2)
(x ) x
+
f ′(x )
=
11
五、 利用不等式估计
若被积函数较容易放缩, 则可以先利用不等式放缩, 得到被积函数的不等式, 然后再用两边
积分中值定理求极限公式
积分中值定理求极限公式
极限中值定理（The Mean Value Theorem）是数学中一个重要的定理，它可以用来求极限
结果。
极限中值定理指出，在特定的条件下，在某一段曲线位置上下文存在一个唯一的中
值点，即极限值。
理解极限中值定理需要先熟悉它的基本定义。
极限中值定理的基本定义是：若一个函数f的定义域上的每个部分段断定义，并且该函数
在这段曲线上有定义，则存在一个中值x0，使得f'（x0）与从a到b的定义域的极限值
等同。
极限中值定理可以用来求极限值。
方法是使用中值定理来找到极限中值点，然后利用这个
中值点计算出相应的极限值。
例如求f（x）=3x－2在x=2处的极限，首先可以算出f'（x）=3，然后可以确定极限中值x0为2，因此极限值f（2）=f（x0）=3x0-2=2。
极限中值定理是一个重要的定理，它可以被用来验证函数被定义在某一区间内的性质。
如
果函数在一个区间内满足极限中值定理，则该区间上的函数是连续的，且f（x）在该区间的极限存在。
此外，极限中值定理还可以用来求极限值。
极限中值定理是数学中一个重要的定理，它可以用来求出极限结果，也可以用来验证和求
函数某一区间的连续性。
它的使用也几乎涵盖对函数的所有分析。
极限中值定理因其易
理解、实用性强而广受欢迎。
数学分析 第八讲 微分积分中值定理和极值
第八讲 微分与积分中值定理和函数极值§8.1 微分与积分中值定理一、知识结构 1、微分中值定理(1) 罗尔（Rolle ）中值定理 若函数)(x f 满足下列条件:(i) )(x f 在闭区间[]b a ,上连续;(ii) )(x f 在开区间()b a ,内可导;(iii))()(b f a f =,则在()b a ,内至少存在一点ξ,使得0=')(ξf .(2)拉格朗日(Lagrange)中值定理 若函数)(x f 满足下列条件:(i) )(x f 在闭区间[]b a ,上连续;(ii) )(x f 在开区间()b a ,内可导,则在()b a ,内至少存在一点ξ,使得ab a f b f f --=')()()(ξ.(3)柯西中值(Cauchy)定理 若函数)(x f 和)(x g 满足下列条件:(i) )(x f 和)(x g 在闭区间[]b a ,上连续; (ii) )(x f 和)(x g 在开区间()b a ,内可导,(iii))(x f '和)(x g '不同时为零; (iv))()(b g a g ≠,则在()b a ,内至少存在一点ξ,使得)()()()()()(a g b g a f b f g f --=''ξξ.2、积分中值定理 (1)积分第一中值定理若函数)(x f 在[]b a ,上连续,则至少存在一点[]b a ,∈ξ,使得()⎰-=baa b f dx x f )()(ξ.(2)推广的积分第一中值定理若函数)(),(x g x f 在[]b a ,上连续,且)(x g 在[]b a ,上不变号，则至少存在一点[]b a ,∈ξ,使得⎰⎰=babadx x g f dx x g x f )()()()(ξ.3、积分第二中值定理 若函数)(x f 在[]b a ,上连续,(i)若函数)(x g 在[]b a ,上单调递减, 且0≥)(x g , 则存在[]b a ,∈ξ,使得⎰⎰=baadx x f a g dx x g x f ξ)()()()(.(ii)若函数)(x g 在[]b a ,上单调递增, 且0≥)(x g , 则存在[]b a ,∈η,使得⎰⎰=ba bdx x f b g dx x g x f η)()()()(.3、泰劳公式（微分中值定理的推广）麦克劳林公式 (1) 一元函数)(x f y =泰劳公式泰劳公式产生的背景: 将函数)(x f ()(x f 在含有0x 的某个开区间()b a ,内具有直到1+n 阶的导数) 近似的表示为关于)(0x x -的一个n 次多项式,由于多项式的算法是好算法,我们可以用关于)(0x x -的一个n 次多项式来求函数)(x f 在某点(()b a x ,∈)的近似值.定理1 如果函数)(x f 在含有0x 的某个开区间()b a ,内具有直到1+n 阶的导数,则当()b a x ,∈时, )(x f 可以表示为)(0x x -的一个n 次多项式与一个余项)(x R n 之和:(x)R )x (x n!)(x f)x )(x (x f )f(x f(x)n n(n)+-++-'+=00000!11 ,其中()()()()101!1)(++-+=n n n x x n fx R ξ(拉格朗日型余项)，这里ξ是属于x 与0x 之间的某个值.或, 如果函数)(x f 在含有0x 的某个开区间()b a ,内具有直到1+n 阶的导数,则当()b a x ,∈时, )(x f 可以表示为)(0x x -的一个n 次多项式与一个当0x x →时的n)x (x 0-的高阶无穷小之和:()()nn(n)x x o )x (x n!)(x f)x )(x (x f )f(x f(x)000000!11-+-++-'+=其中()n )x (x o 0-为当0x x →时n)x (x 0-的高阶无穷小.（2）麦克劳林公式定理2 如果函数)(x f 在含有0的某个开区间()b a ,内具有直到1+n 阶地导数,则当()b a x ,∈时, )(x f 可以表示为x 的一个n 次多项式与一个余项)(x R n 之和:(x)R x n!)(x fx !)(f )x (f )f(f(x)n n(n)+++''+'+=022000 ,其中()()()11!1)(+++=n n n x n x fx R θ，(10<<θ).2、二元函数),(y x f z =的泰劳公式和麦克劳林公式 （1）泰劳公式定理3 如果函数),(y x f 在含有()00,y x 的某一领域内连续且有直到1+n 阶的连续偏导数,()k y h x ++00,为此邻域内任一点，则有()200000000100001,,,,2!11,,,1nn f(x h y k)f(x y )h k f(x y )h k f(x y )x y x y h k f(x y )h k f(x h y k)n!x y n !xy θθ+⎛⎫⎛⎫∂∂∂∂++=++++ ⎪ ⎪∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫∂∂∂∂+++++++ ⎪ ⎪∂∂+∂∂⎝⎭⎝⎭ 其中10<<θ，记号()()000000,,,y x kf y x hf )y f(x y k xh y x +=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+∂∂， ()()()00200002002,,2,,y x f k y x hkf y x f h )y f(x y k x h yy xy xx ++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂， ……)y f(x yx kh C)y f(x y k x h pm pm pm p mp pmm00000,,--=∂∂∂=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂∑,()k)y h f(x y k x h !n x R n n θθ++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+=+001,11)(, 10<<θ 称为拉格朗日型余项.（2）麦克劳林公式定理4 如果函数),(y x f 在含有()0,0的某一领域内连续且有直到1+n 阶的连续偏导数,()k h ,为此邻域内任一点，则有+⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+=)f y y x x )f(y y x x )f(y)f(x 0,0!210,00,0,2()y)x f(y y x x !n )f(y y x x n!n n θθ,110,011+⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+∂∂++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+，其中10<<θ.二、解证题方法 1、微分中值定理例1 (山东师范大学2006年)设)(x P 为多项式函数,试证明:若方程0=')(x P 没有实根,则0=)(x P 至多有一个实根.证明 用反证法.因为)(x P 为多项式函数, 所以)(x P 在()+∞∞-,上连续并且可导. 如果0=)(x P 至少有两个实根, 不妨设为21ξξ<,则021==)()(ξξP P .在闭区间上用罗尔定理得,存在()21ξξη,∈,使得0=')(ηP . 这与方程0=')(x P 没有实根发生矛盾, 所以0=)(x P 至多有一个实根.例2 (河北大学2005年)设)(x f 可导,λ为常数,则)(x f 的任意两个零点之间必有0='+)()(x f x f λ的根.证明 不妨设)(x f 的任意两个零点为ηξ<. 令xex f x F λ)()(=,则0==)()(ηξF F . 因为)(x F 在[]ηξ,上连续, 在()ηξ,内可导,且0==)()(ηξF F , 所以, 由罗尔定理得:存在()ηξ,∈x ,使得0=')(x F ,即0='+='xxe xf ex f x F λλλ)()()(,进而有0='+)()(x f x f λ, 所以()ηξ,∈x 是0='+)()(x f x f λ的根.例3(电子科技大学2002年))(x f 在[]10,上二次可导,010==)()(f f ,试证明：存在()10,∈ξ，使得()())(ξξξf f '-=''211.证明 因为)(x f 在[]10,上连续, )(x f 在()10,内可导, 且010==)()(f f ,所以由罗尔定理得:存在()10,∈ξ,使得0=')(ξf .令⎪⎩⎪⎨⎧=∈'=-101011x x ex f x g x ,),[,)()(. 因为)(x g 在[]10,上连续,在()10,内可导, 且()()01==g g ξ, 所以由罗尔定理知, 存在()1,ξξ∈', 使得()0='ξg ,即()())(ξξξf f '-=''211.例4(山东科技大学2005年)设()x f 在整个数轴上有二阶导数,且00=→xx f x )(lim,01=)(f ,试证明: 在()10,内至少存在一点β,使得()0=''βf .证明 因为()x f 在整个数轴上有二阶导数，所以()x f 在整个数轴上连续. 进而0lim )(lim )(lim )(lim )0(0000=⋅=⎥⎦⎤⎢⎣⎡==→→→→x x x f x x x f x f f x x x x . 又因为01=)(f , 所以函数在()10,内满足罗尔定理的条件, 进而存在()10,∈α,使得0=')(αf . 又因00000=-=-='→→xx f xf x f f x x )(l i m)()(l i m)(, 并且()x f '在[]α,0上连续, 在()α,0内可导, 所以()x f '在[]α,0上满足罗尔定理的条件, 进而存在()αβ,0∈,使得()0=''βf .例5(汕头大学2005年) 设()x f 在闭区间[]b a ,上有二阶导数,且)()(b f a f 、均不是)(x f 在闭区间[]b a ,上最大值和最小值, 试证明: 存在()b a ,∈ξ,使得0='')(ξf .证明 由于)(x f 在[]b a ,上连续, 所以)(x f 在[]b a ,上取得最大值和最小值. 又因为)()(b f a f 、均不是)(x f 在闭区间[]b a ,上最大值和最小值, 所以存在()b a ,,∈21ξξ, 不妨设21ξξ<,使得()21ξξf f ),(是)(x f 在[]b a ,上的最大值和最小值. 进而()021='='ξξf f )(.由()x f 在闭区间[]21ξξ,上有二阶导数, 所以()x f '在闭区间[]21ξξ,上连续, 在开区间()21ξξ,内可导. 由罗尔定理知, 存在()21ξξξ,∈,使得0='')(ξf . 进而存在()b a ,∈ξ,使得0='')(ξf .例6(北京工业大学2005年)设)(x f 在()+∞∞-,上可导, 试证明:0=')(x f 当且仅当)(x f 为一常数.证明 (1)充分性 因为)(x f 为一常数C , 所以()0000==∆-=∆-∆+='→∆→∆→∆x x x xC C xx f x x f x f lim lim)(lim)(.(2)必要性对任意的()+∞∞-∈,,21x x , 不妨设21x x <. 显然()x f 在闭区间[]21x x ,上满足拉格朗日中值定理的条件, 所以存在()21x x ,∈ξ, 使得()()()()2121x f x f x x f -=-'ξ.因为()0='ξf , 所以()()21x f x f =. 进而)(x f 为一常数.例7(南京大学2001年)设)(x f 在()10,内可导, 且1<')(x f , ()10,∈x .令⎪⎭⎫⎝⎛=n f x n 1(2≥n ), 试证明n n x ∞→lim 存在且有限.分析 ()1111n m n m x x x x f f f n m n m εξ⎛⎫⎛⎫⎛⎫'-<⇐-=-=-⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()11111n f nmnmnmmξε'=-<-<=<.证明 对0>∀ε, 存在⎥⎦⎤⎢⎣⎡=11,εN ,当N m n >>时, 有ε<=<-=-=-mnmn nmm n mn x x m n 111, 所以()()εξξ<=<-<-'=⎪⎭⎫ ⎝⎛-'=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=-m nm n m n m n f m n f m f n f x x m n 111111111,进而由柯西收敛准则知, n n x ∞→lim 存在且有限.例8(华东师范大学2001年)证明: 若函数)(x f 在有限区域()b a ,内可导, 但无界,则其导函数)(x f '在()b a ,内必无界. 证明 用反证法 若函数)(x f '在()b a ,内有界, 则存在正数M ,使得M x f ≤')(,()b a x ,∈. 由拉格朗日中值定理得:⎪⎭⎫⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+-≤⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=22)(22)()(b a f b a f x f b a f b a f x f x f ()()⎪⎭⎫⎝⎛+++≤⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+-'=2222b a f b a M b a f b a x f ξ,所以函数)(x f 在有限区域()b a ,内有界. 与已知矛盾.例9(天津工业大学2005年)设R x n ∈, ()1arctan -=n n ky y (10<<k ), 证明: (1)11-+-≤-n n n n y y k y y ; (2)n n y ∞→lim 收敛.证明 (1)令kx x f arctan )(=, ()+∞∞-∈,x ,则221xk k x f +=')(,于是kx f ≤')(,从而由拉格朗日中值定理得:()()1111---+-≤-'=-=-n n n n n n n n y y k y y f y f y f y y ξ)()(, 其中ξ介于1-n y ,n y 之间.(2)由(1)的递推关系知,011y y ky y nn n -≤-+,又因为级数∑∞=-101n ny y k收敛,所以由比较判别法知, 级数()∑∞=+-11n n n y y 绝对收敛,所以n n S ∞→lim 收敛, 其中()1111y y y yS k nk k k n -=-=+=+∑, 进而n n y ∞→lim 收敛.例10(湖南师范大学2004年)设)(x f 在),[+∞0上连续, 在()+∞,0内可导且00=)(f , )(x f '在()+∞,0内严格单调递增, 证明:xx f )(在()+∞,0内内严格单调递增.分析 关键是证明02>-'='⎪⎭⎫⎝⎛x x f x f x x x f )()()(. 证明 因为()[]000>'-'=⎥⎦⎤⎢⎣⎡---'=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-'=-'ξf x f x x f x f x f x x x f x f x x f x f x )()()()()()()()(, 其中()+∞∈,0x , ()x ,0∈ξ, 所以xx f )(在()+∞,0内内严格单调递增.练习[1](辽宁大学2005年)设)(x f 在],[b a 上可导，且b x f a <<)(，1)(≠'x f . 证明: 方程x x f =)(在()b a ,内存在惟一的实根.[2] (南京农业大学2004年) 设函数)(x f 在]1,0[上可微, 0)0(=f , 当10<<x 时, 0)(>x f , 证明: 存在()1,0∈ξ,使得)1()1()()(2ξξξξ--'='f f f f .[3] (陕西师范大学2002年,武汉大学2004年) 设)(x f ,)(x g 是[]b a ,上的可导函数, 且0)(≠'x g . 证明: 存在()b a c ,∈使得)()()()()()(c g c f b g c g c f a f ''=--.[4] (西南师范大学2005年)设函数)(x f 在()+∞∞-,内可导,)(2)(x f x x f -=', 0)0(=f .证明: 42)(xex f -=,()+∞∞-∈,x .[5] (北京工业大学2004年)设函数)(x f 在0x 的某邻域)(0x N 内连续, 除0x 外可导，若l x f x x ='→)(lim 0，则)(x f 在0x 可导且l x f =')(0.[6] (辽宁大学2004年) 设函数)(x f 在()+∞∞-,内可导, 且0)0(>f ,1)(<≤'k x f ,证明: 方程x x f =)(有实根.[7] (厦门大学2004年) 设函数)(x f 在),[+∞a 上二阶可微, 且0)(>a f ,0)(<'a f , 当a x >时, 0)(<''x f . 证明: 方程0)(=x f 在),[+∞a 上有惟一的实根.[8] (北京化工大学2004年) 设函数)(x f 在]1,0[上连续, 在()1,0内可导,0)0(=f , 1)1(=f . 证明: 对于∀的正数a 和b , 存在()1,0,21∈ξξ, 使得()()b a f b f a +='+'21ξξ.[9] (中科院武汉物理与数学研究所2003年) 设函数)(x f 在闭区间[]b a ,上连续, 在开区间()b a ,内可微, 并且)()(b f a f =. 证明: 若函数)(x f 在闭区间[]b a ,上不等于一个常数, 则必有两点()b a ,,∈ηξ, 使得()0>'ξf , ()0<'ηf .[10] (中山大学2006年) 证明: 当0≥x 时, 存在()1,0)(∈x θ, 使得)(211x x x x θ+=-+, 并且)(lim 0x x θ+→和)(lim x x θ+∞→（答案：41)(lim 0=+→x x θ，21)(lim =+∞→x x θ ）.2、积分中值定理例1(上海大学2005年)已知)(),(x g x f 在[]b a ,上连续,0>)(x f ,)(x g 不变号,求⎰∞→bann dx x g x f )()(lim.解 因为)(),(x g x f 在[]b a ,上连续, )(x g 在[]b a ,上不变号,所以由积分第一中值定理得⎰⎰=banb andx x g f dx x g x f )()()()(ξ,其中[]b a ,∈ξ. 又因为()0>ξf , 所以1=∞→nn f )(li m ξ,进而⎰⎰⎰=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=∞→∞→baba n n bann dx x g dx x g f dx x g x f )()()(lim )()(limξ.例2(河北大学2005年)证明:dx xx dx xx ⎰⎰+≤+222211ππcos sin .分析0111222222≤+-⇐+≤+⎰⎰⎰dx xx x dx xx dx xx πππcos sin cos sin .证明 当⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈4,0πx 时, 0≤-x x cos sin 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡4,0π上不变号,当⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,4ππx 时, 0≥-x x cos sin 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,4ππ上不变号. 由推广的积分第一中值定理得：dx xx x dx xx x dx x x x ⎰⎰⎰+-++-=+-24242221cos sin 1cos sin 1cos sin ππππ()()dx x x dx x x ⎰⎰-++-+=242402cos sin11cos sin11πππηξ01121121121212222≤+--+-=+-++-=ξηηξ,其中⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈40πξ,, ⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈24ππη,, 进而dx xx dx x x ⎰⎰+≤+2220211ππcos sin .例3(电子科技大学2005年)设)(x f 在[]10,上可导,且⎰-=211221dx ex f f x)()(,证明: 存在()10,∈ξ,使得())(ξξξf f 2='.证明 令2)()(x e x f x F -=, []10,∈x . 由积分中值定理知, 存在⎪⎭⎫ ⎝⎛∈210,η,使得()⎰--=⎪⎭⎫ ⎝⎛-211122021dx ex f ef x)(ηη即()⎰--=211122)(2dx ex f ef xηη. 因为⎰-=2101221dx ex f f x)()(, 所以())(121f ef =-ηη, 进而()112--=ef ef )(ηη. 又因为112--==e f e f F )()()(ηηη, 111-=ef F )()(, 所以, 在区间[]1,η上由微分中值定理(罗尔)得:()0='ξF , 其中()1,ηξ∈. 因为222ξξξξξξ---'='ef ef F )()()(,所以())(ξξξf f 2='.例4(山东科技大学2004年)设()x f 在[]π,0上连续, 在()π,0内可导, 且()⎰-=ππππ1dx x f ef x)(,证明: 至少存在一点()πξ,0∈, 使得()()ξξf f ='.证明:令)()(x f e x F x -=,由()⎰-=ππππ1)(dx x f ef x和)()(πππf eF -=，得:()()⎰⎰⎰====----πππππππππππ111)()()(dx x F dx x f edx x f eef eF xx.由积分中值定理: ()()11()0()F F x dx F F ππππηηπ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭⎰,其中⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈πξ10,.在()πη,内应用微分中值定理(罗尔)得: 0=')(ξF ,其中()πηξ,∈.由)()(x f e x F x -=得: )()()(ξξξξξf e f e F '+-='--,所以()()ξξf f ='.例5(西安电子科技大学2003年)设()x f 在[]b a ,上二阶连续可导, 证明:存在()b a ,∈ξ使得()()()32412a b f b a f a b dx x f ba -''+⎪⎭⎫⎝⎛+-=⎰ξ)(. 证明: 由分部积分公式得⎰⎰⎰+++=baba ab b a dx x f dx x f dx x f 22)()()(()()⎰⎰++-+-=22)()(ba ab b a b x d x f a x d x f()[]()()[]()⎰⎰++++'---+'---=bb a b ba ba ab a adxx f b x x f b x dx x f a x x f a x 2222)()()()(()()()⎰⎰++-'--'-⎪⎭⎫⎝⎛+-=b b a ba ab x d x f a x d x f b a f a b 22222)(2)(2()()()⎰++''-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡'--⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=2222)(22)(2ba aba adx x f a x x f a x b a f a b()()⎰++''-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡'--bba bb a dx x f b x x f b x 2222)(22)(()()()⎰⎰++''-+''-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=b b a ba adx x f b x dx x f a x b a f a b 2222)(2)(22()()())(2)(2)(2222221积分中值定理⎰⎰++-''+-''+⎪⎭⎫⎝⎛+-=bba b a a dx b x c f dx a x c f ba f a b()()[]312()()()248b a a bb a f fc f c -+⎛⎫''''=-++⎪⎝⎭介值性定理()()3()224b a a bb a f fc -+⎛⎫''=-+⎪⎝⎭,其中c 介于21c c ,之间. 即()b a c ,∈. 3、泰劳公式（微分中值定理的推广）例1（西安电子科技大学2004年） 设)(x f 在[]1,0上有二阶导数，且满足条件a x f ≤)(，b x f ≤'')(，a 和b 为非负常数，证明不等式22)(b a x f +≤'， )1,0(∈x .分析：要熟练运用Taylor 展开. 证明：在)1,0(∈x 处做Taylor 展开有21)1(2)()1)(()()1(x f x x f x f f -''+-'+=ξ，222)()()()0(x f x x f x f f ξ''+'-=上面两式相减有 22212)()1(2)()0()1()(x f x f f f x f ξξ''+-''--='，所以[]22)1(22)(22b a xx b a x f +≤+-+≤'.例2（陕西师范大学2003年，中国地质大学2004年）设函数f 在区间[]b a ,上有二阶导数且,0)()(='='-+b f a f 则必存在一点),(b a ∈ξ使得)()()(4)(2a fb f a b f --≥''ξ.分析：关键是做Taylor 展开. 证明：应用Taylor 公式，将)2(b a f +分别在b a 、点展开，注意0)()(='='-+b f a f ，故存在1ξ和2ξ，b b a a <<+<<212ξξ，使得212)(21)(2⎪⎭⎫⎝⎛-''+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+a b f a f b a f ξ,222)(21)(2⎪⎭⎫⎝⎛-''+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+a b f b f b a f ξ.两式相减得: []0)()()(81)()(221=-''-''+-a b f f a f b f ξξ, 故[])()()(21)()()(4212ξξξf f f a f b f a b ''≤''+''≤--.其中 ⎩⎨⎧''<''''≥''=)()(,)()(,212211ξξξξξξξf f f f .例3(北京交通大学2005年)设函数)(x f 在区间),0(+∞内有二阶函数，0)(lim =+∞→x f x ，并当),0(+∞∈x 时，有1)(≤''x f . 证明：0)(lim ='+∞→x f x .分析：关键是做Taylor 展开.证明：要证明0)(lim ='+∞→x f x ，即要证明对任意的0>ε，存在0>A ，当A x >时有ε<')(x f . 利用Taylor 公式，对任意的0>h ，有2)(21)()()(h f h x f x f h x f ξ''+'+=+, ()h ,0∈ξ,即[]h f x f h x f hx f )(21)()(1)(ξ''--+='. 从而[]hx f h x f hhf x f h x f hh f x f h x f hx f 21)()(1)(21)()(1)(21)()(1)(+-+≤''+-+≤''--+='ξξ, 取ε<h , 因为0)(li m =+∞→x f x , 所以021)()(1lim )(lim0=⎭⎬⎫⎩⎨⎧+-+≤'≤+∞→+∞→h x f h x f hx f x x , 其中2)()(ε<-+x f h x f . 即0)(lim ='+∞→x f x .例4（上海大学2005年、中国科学院2007年）设函数)(x f 在[]20，上有1)(≤x f ，1)(≤''x f . 证明：2)(≤'x f .分析：关键是做Taylor 展开. 证明：在)2,0(∈x 处做Taylor 展开有212)()()()0(xf x x f x f f ξ''+'-=,22)2(2)()2)(()()2(x f x x f x f f -''+-'+=ξ，将上面两式相减有[]21224)()2(4)()0()2(21)(x f x f f f x f ξξ''+-''--='，所以[][][].21)1(211)2(411)(4)2()(4)0()2(21)(22222212≤+-+≤+-+≤''-+''++≤'x xx f x f x f f x f ξξ.例5（江苏大学2004年）已知函数)(x f 在区间()1,1-内有二阶导数，且0)0()0(='=f f , )()()(x f x f x f '+≤'', 证明：存在0>δ，使得在()δδ,-内0)(≡x f .分析：关键是做Taylor 展开.证明：将)()()(x f x f x f '+≤''右端的)(x f ,)(x f '在0=x 处按Taylor 公式展开. 注意到0)0()0(='=f f ，有222)(2)()0()0()(x f x f x f f x f ξξ''=''+'+=, x f f x f )()0()(η''+'=',其中ηξ,是属于0与x 之间的某个值.从而x f x f x f x f )(2)()()(2ηξ''+''='+.现令⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈41,41x ，则由)()(x f x f '+在⎥⎦⎤⎢⎣⎡-41,41上连续知，存在⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈41,410x ，使得{}M x f x f x f x f xx ='+='+≤≤-)()(max )()(14100.下面只要证明0=M 即可. 事实上⎥⎦⎤⎢⎣⎡''+''≤''+''='+=)(2)(41)(2)()()(000020000ηξηξf f x f x f x f x f M ()()()()[]000041ηηξξf f f f +'++'≤（由()()x f x f x f x f ηξ''+''='+22)()(）11242M M ≤⋅=，即M M 20≤≤, 所以0=M . 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡-41,41上0)(≡x f . 例6（辽宁大学2005年）求⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞→x x x x 1sin1lim 2. 分析：利用Taylor 展开式计算函数极限. 解： 将x1sin展开成带Peano 余项的二阶Taylor 公式⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=3316111s i n x o x x x ，则 ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞→→∞→332216111lim 1sin 1lim x o x x x x x x x x x x ()61161lim 16111lim 322=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅-+-=∞→∞→o x o x x x x x . 例7（山东师范大学2006年）求422cos limxex xx -→-.分析：利用Taylor 展开式计算函数极限. 解 进行带Peano 余项的Taylor 展开()5422421cos xo xxx ++-=, )(82154222x o xxex++-=-,所以)(12cos 5422x o xex x+-=--, 进而121cos lim422-=--→xex xx .例8（浙江大学2005年、华南理工大学2005年）设)(x f 在),[+∞a 上有连续的二阶导数，且已知(){}+∞∈=,0)(sup 0x x f M 和(){}+∞∈''=,0)(sup 2x x f M 均为有限数. 证明：(1)2022)(M t tM t f +≤' ，对任意的0>t ，),0(+∞∈x 成立；(2){}),0()(sup 1+∞∈'=x x f M 也是有限数，且满足不等式2012M M M ≤ .分析：Taylor 展开式.证明(1)考虑)(t x f + 在t 处的Taylor 展开式，,2)()()()(2>''+'+=+t t f t t t t f t t f ξ，则t f tt f t f t f 2)()()2()(ξ''--='，所以++≤'tt f t f t f )()2()(2)(ξf ''t ，有题设条件可得t M tM t f 22)(2+≤' .(2)同理由Taylor 展开式知，t M tM t f 22)(2+≤'成立，从而t M tM M 2221+≤，取202M M t = 即得证.例9（哈尔滨工业大学2006年）设)(x f 在[)+∞,0内二阶可微，0)(lim =+∞→x f x ，但)(lim x f x '+∞→不存在.证明：存在00>x ，使1)(0>''x f .分析 Taylor 展开式.证明 反证法，设对任意的),0(+∞∈x ，均有1)(≤''x f .利用Taylor 展开式，对任意的0>h ，有2)(21)()()(h f h x f x f h x f ξ''+'+=+，因此有2)()(1)(h x f h x f hx f +-+≤' ，取ε=h ，由0)(lim =+∞→x f x 知，存在0>A ，当A x > 时，有4)(2ε≤'x f ，于是ε<')(x f ，A x > ，即0)(lim ='+∞→x f x ，矛盾.例10 （华中科技大学2007年）设 )(x f 在（0,1） 上二阶可导且满足1)(≤''x f ，10(≤≤x ，又设)(x f 在()1.0 内取到极值41 .证明：1)1()0(≤+f f .分析 极值点，Taylor 展开式.证明 因为)(x f 在)1,0(上二阶可导，假设ξ在极值点，则41)(=ξf 、0)(='ξf .对)(x f 关于0=x 、1=x 在ξ点Taylor 展开有21)(2)())(()()0(ξηξξξ-''+-'+=f f f f ，)1,(2ξη∈.又有2)1(2)()1)(()()1(ξηξξξ-''+-'+=f f f f ，)1,(2ξη∈.所以有2221)1(2)(0)(2)(0)()1()0(ξηξξηξ-''+++''++=+f f f f f f[]2221)1()()(21)(2ξηξηξ-''+''+≤f f f[]22)1(121ξξ-++≤12121=+≤.这里另22)1()(x x x g -=，)1,0(∈x ，则最大值1)1(=g . 练习[1]（华中科技大学2005年）设)(x f 在[]1,0上有二阶连续导数，0)1()0(==f f ，58)(≤''x f ，58)(≤'x f ，给出)10()(≤≤x x f 的一个估计.[2]（华中科技大学2004年）设)10(,2)(,0)1()0(≤≤≤''==x x f f f ，证明：1)(≤'x f .[3]（北京航空航天大学2005年）证明：对任意的n ，有)!1(1!)1(!31211+<⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⋅⋅⋅+---n n en. [4]（华南理工大学2004年）设)(x f 在[]1,1-上三次可微，1)1(,0)0()0()1(=='==-f f f f .证明：存在)1,1(-∈x ，使得3)()3(≥x f.[5]（大连理工大学2006年） 将2)1(1)(x x f += 在0=x 展开成Taylor 级数.[6]（同济大学1999年）求⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-→)11ln(lim 20x x x x (答案：21).[7]（大连理工大学2004年）设)(x f 在[]1,0上二阶可导，且有,0)1()0(==f f []21)(m i n 1,0-=∈x f x ，证明：存在)1,0(∈ξ，使得4)(≥''ξf .[8] （东南大学2004年）（1）设)(x f 在[]2.0上二阶可导，0)2()0(='='f f .证明：存在)2,0(∈ξ使得[])(4)2()0(3)(320ξf f f dx x f ''++=⎰.（2）若在（1）中只假定)(x f 在[]2,0上存在二阶导数而不要求二阶导数连续，那么（1）的结论是否成立？[9]（东南大学2003年） 求42cos lim2xx exx --→(答案：81-).[10]（同济大学1999年）求xx x x x x x arcsin )1ln(cos sin lim2220+-→(答案：61).§8.2 函数的极值和最值 函数的凸性与拐点一、知识结构 1、函数的极值和最值函数)(x f y =的极值是一个局部概念，而函数)(x f y =的最值是一个整体概念. 如函数)(x f y =在区间[]b a ,上有定义, 如果[]b a x ,0∈的某个邻域),(0δx U 内有)()(0x f x f ≤()()(0x f x f ≥), 则我们称函数)(x f y =在点0x 取得极大值(极小值). 函数)(x f y =在区间[]b a ,上的最大值)(0x f 满足)()(0x f x f ≥, 其中[]b a x ,∈.函数)(x f y =在区间[]b a ,上的最小值)(0x f 满足)()(0x f x f ≤, 其中[]b a x ,∈.(1) 一元函数)(x f y =的极值和最值定理1（必要条件） 设函数)(x f 在点0x 处可导，且在0x 处取得极值，那未这函数在0x 处的导数为零，即0)(0='x f .定理2（第一种充分条件） 设函数)(x f 在点0x 的一个邻域内可导且0)(0='x f .（1）如果当x 取0x 左侧邻近的值时，)(x f '恒为正；当x 取0x 右侧邻近的值时，)(x f '恒为负，那未函数)(x f 在0x 处取极大值；（2）如果当x 取0x 左侧邻近的值时，)(x f '恒为负；当x 取0x 右侧邻近的值时，)(x f '恒为正，那未函数)(x f 在0x 处取极小值；（3）如果当x 取0x 左右两侧邻近的值时，)(x f '恒为正或恒为负；那未函数)(x f 在0x 处没有极值.定理3 （第二种充分条件）设函数)(x f 在点0x 处具有二阶导数且0)(0='x f 0)(0≠''x f ，那么（1）当0)(0<''x f 时，函数)(x f 在点0x 处取极大值； （2）当0)(0>''x f 时，函数)(x f 在点0x 处取极小值. 一元函数)(x f y =在闭区间[]b a ,上的最值：（1）一元函数)(x f y =在()b a ,内的极大值与)(),(b f a f 中最大的为一元函数)(x f y =在闭区间[]b a ,上的最大值;（2）一元函数)(x f y =在()b a ,内的极小值与)(),(b f a f 中最小的为一元函数)(x f y =在闭区间[]b a ,上的最小值.(2) 二元函数()y x f z ,=的极值和最值定理1(必要条件) 设函数),(y x f 在点()00,y x 处可导，且在()00,y x 处取得极值，那未这函数在()00,y x 处的偏导数为零，即0),(00=y x f x ，0),(00=y x f y .定理2 (充分条件)设函数),(y x f 在点()00,y x 某邻域内连续且有一阶、二阶连续偏导数，又0),(00=y x f x ，0),(00=y x f y ，令A y x f xx =),(00，B y x f xy =),(00，C y x f yy =),(00，则函数),(y x f 在点()00,y x 是否取得极值的条件如下：（1）02>-B AC 时具有极值， 且当0<A 时有极大值，当0>A 时有极小值；（2）02<-B AC 时没有极值；（3）02=-B AC 时可能有极值，也可能没有极值，还需另作讨论. 利用拉格朗日函数求极值和最值(条件极值)求函数),(y x f z =的极值，其中()y x ,满足条件0),(=y x F . 构造拉格朗日函数),(),(),,(y x F y x f y x L λλ+=, 解方程⎪⎩⎪⎨⎧===0),,(0),,(0),,(λλλλy x L y x L y x L y x 得⎪⎩⎪⎨⎧===000λλy y x x ，则()00,y x 为函数),(y x f z =的极值点(根据实际问题确定)，进而求得函数),(y x f z =的极值),(00y x f z =.2、函数的凸性与拐点定义1 若曲线)(x f y =在某区间内位于其切线的上方, 则称该曲线在此区间内是凸的, 此区间称为凸区间. 若曲线位于其切线的下方, 则称该曲线在此区间内是凹的, 此区间称为凹区间.定义 2 设函数)(x f y =在区间I 上连续，如果对区间I 上任意两点21,x x ，恒有2)()(22121x f x f x x f +<⎪⎭⎫⎝⎛+，那么称)(x f y =在区间I 的图形是（向上）凹（或凹弧）；如果恒有2)()(22121x f x f x x f +>⎪⎭⎫⎝⎛+，那么称)(x f y =在区间I 的图形是（向上）凸（或凸弧）.定理1 设函数)(x f y =在区间[]b a ,上连续，在()b a ,内具有一阶和二阶导数，那么(1) 若在()b a ,内0)(>''x f ，则)(x f y =在区间[]b a ,的图形是凹的； (2) 若在()b a ,内0)(<''x f ，则)(x f y =在区间[]b a ,的图形是凸的. 3、函数)(x f y =图像的描绘主要用函数)(x f y =的一阶导数)(x f y '='和二阶导数)(x f y ''=''的性质和曲线)(x f y =的渐进线描绘函数)(x f y =图像.如果0)(>''x f , ()b a x ,∈, 则函数)(x f y =图像在区间()b a ,内向下凸. 如果0)(<''x f , ()b a x ,∈, 则函数)(x f y =图像在区间()b a ,内向上凸. 如果0)(0=''x f , 且)(x f ''在()0,x a ,()b x ,0上异号, 则0x 为函数)(x f y =图像的拐点.如果0)(>'x f , ()b a x ,∈, 则函数)(x f y =在区间()b a ,内单调递增. 如果0)(<'x f , ()b a x ,∈, 则函数)(x f y =在区间()b a ,内单调递减.二、解证题方法 1、函数的极值和最值例1（南京大学2003年）对任意00>y , 求)1()(00x x y x y -=ϕ在()1,0中的最大值, 并证明该最大值对任意00>y , 均小于1-e .解 由于000120)1()(y y xy x xy x --='-ϕ ，令0)1()(000120=--='-y y xy x xy x ϕ得函数)(x ϕ的稳定点100+=y y x , 所以函数)(x ϕ的最大值为10000111)1(+⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-=+y y y y ϕ.因为()x x -<-1ln , 10<<x , 所以()11111000000111)1(-⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-++<=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-=+eey y y y y y ϕ .例2（复旦大学2000年, 北京理工大学2003年）在下列数,,,4,3,2,143n n 中，求出最大的一个数.解 构造辅助函数xx x f =)(, 1≥x , 则222ln 1ln 1ln 1ln 1)(xxx x x x x e e x f xxx x x x -=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-='⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=', 令0)(='x f 得函数xx x f =)(, 1≥x 的稳定点e x =. 当e x <≤1, 0)(>x f ,当e x ≥,0)(<x f , 所以函数)(x f 在点e x =取得最大值ee . 从而下列数,,,4,3,2,143n n 中最大的一个数只可能是33,2中的一个, 又因332<, 所以下列数 ,,,4,3,2,143n n 中最大的一个数是33.例3（北京化工大学2004年）在下列数,2004,,4,3,2,12004242322中，求出最大的一个数.解 构造辅助函数xxx f 2)(=, 1≥x , 则22222ln 2ln 1ln 222ln 2)(x x x x x x x e e x f x x x x x x ⋅-⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-='⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=', 令0)(='x f 得函数xxx f 2)(=, 1≥x 的稳定点e x =. 当e x <≤1,0)(>x f ,当e x ≥, 0)(<x f , 所以函数)(x f 在点e x =取得最大值ee 2.从而下列数 ,2004,,4,3,2,12004242322中最大的一个数只可能是3223,2中的一个,又因32232<,所以下列数,2004,,4,3,2,12004242322中最大的一个数是323.例4（中山大学2006年）设S 为由两条抛物线12-=x y 与12+-=x y 所围成的闭区域,椭圆12222=+by ax 在S 内, 确定b a ,(0>b a 、), 使椭圆的面积最大.解 两条抛物线12-=x y 与12+-=x y 的交点为()0,1-，()0,1，()1,0-，()1,0.S 为1122+-≤≤-x y x ，因为椭圆12222=+by ax 在S 内, 所以1,0≤<b a . 椭圆的参数方程为⎩⎨⎧==t b y ta x s i n c o s ，π20≤≤t ，由椭圆12222=+by ax 和区域S 的对称性知，椭圆12222=+by ax 的面积最大时， 必须有ta tb 22cos 1sin -= ，20π≤≤t 有惟一解. 即0cos 1sin 22=+-t a t b ,20π≤≤t 有惟一解.令01sin sin cos 1sin )(22222=-++-=+-=a t b t a t a t b t f ,20π≤≤t .则01)0(2≤-=a f , 012≤-=⎪⎭⎫⎝⎛b f π ，0)1(4222=-+=∆a a b ，()122sin 22≤=--=ab ab t . 于是212a a b -=，122≤≤a . 椭圆12222=+by ax 的面积2221212)(aaa a a ab a f -=-==πππ,122≤≤a . 即01214)(232=---='aaa a a f ππ, 得36=a , 322=b , 故最大面积为934π.例5（湖南师范大学2005年）设q p b a ,,,都是正数，（1）求()q px xx f -=1)(在区间[]1,0上最大值；（2）证明：qp qpq p b a q b p a +⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++≤⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛.解(1)因为()qpx xx f -=1)(, 所以()()1111)(-----='q pq p x qxx pxx f ,令()()011)(11=---='--q pqp x qxx pxx f 得稳定点qp p x +=. 又0)1()0(==f f , ()qp q p q p qp q p p f ++=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+, 进而函数()qp x x x f -=1)(在区间[]1,0上最大值为()qp qp q p qp q p p f ++=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+.(2)因为()1,qppqp q p qa a a ab p p qf f a b a b a b a b a b p q p q +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=≤= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭+⎝⎭⎝⎭所以qp q p q p b a q b p a +⎪⎪⎭⎫⎝⎛++≤⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛.例6（南京农业大学2004年）试问方程033=+-q px x 在实数域内有几个实根.解 由于()+∞=+-+∞→q px x x 3lim 3, ()-∞=+--∞→q px x x 3lim 3, 所以方程033=+-q px x 在实数域内至少有一个实根. 令q px x x f +-=3)(3, 则()p x p x x f -=-='22333)(.(1)当0<p 时, 有0)(>'x f , 进而)(x f 单调递增, 方程033=+-q px x 在实数域内只有一个实根.(2) 当0>p 时, 得q px x x f +-=3)(3的稳定点p x =, p x -=. 上述稳定点将()+∞∞-,分成三个区间()p -∞-,, ()p p ,-, ()+∞,p . 当()p x -∞-∈,时, )(x f 严格单调递增, 当()pp x ,-∈时, )(x f 严格单调递减, 当()+∞∈,p x 时, )(x f 严格单调递增. 进而,在p x -=时, )(x f 取得极大值q p p +2.在p x =时, )(x f 取得极小值q p p +-2. 所以, 当()()042232>-=+-+p q q p pq p p时,方程33=+-q px x 只有一个实根, 当()()042232=-=+-+p q q p pq p p时, 方程033=+-q px x 有两个实根, 当()()042232<-=+-+p q q p pq p p时, 方程033=+-q px x 有三个实根.综上所述, 当0<p 时, 方程033=+-q px x 在实数域内有一个实根, 当0>p , 且0432>-p q 时, 方程033=+-q px x 只有一个实根, 当0>p , 且0432=-p q 时, 方程033=+-q px x 有两个实根, 当0>p ,且0432<-p q 时, 方程033=+-q px x 有三个实根.例7（上海交通大学2005年）求函数444),,(z y x z y x f ++=在条件1=xyz 下的极值.分析 用Lagrange 乘数法求函数444),,(z y x z y x f ++=在条件1=x y z 下的极值.解 构造Lagrange 函数()1),,,(444-+++=xyz z y x z y x L λλ, 由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-==+==+==+=01),,,(04),,,(04),,,(04),,,(333xyz z y x L xy z z y x L zx y z y x L yz x z y x L zy x λλλλλλλλ得1===z y x , 所以极值为3)1,1,1(=f .。
含有积分的一些极限问题的解法
sin x
x
d
x
(a
>
0) 1
解 因 s in x
x
在
[
n,
n
+
a ] 连续,
故依积分中值定理,
存在 Νn ∈ [ n, n +
a ], 使得
∫ lim
n→∞
n+ a n
s in x x
d
x
=
lim (a
n→∞
s
in Νn Νn
)
=
lim (a
Νn →∞
s
in Νn Νn
)
=
01
κ 例 2 设函数 f (x , y ) 连续,
求 lim t→0+
1 t2
f (x , y ) d x d y 1
x 2+ y 2≤t2
解 f (x , y ) 连续, 依二重积分中值定理, 至少存在一点 (Ν, Γ) ∈ { (x , y ) x 2 + y 2 ≤ t2}, 使
κ κ 得 lim t→0+
(
1 t2
f
x 2+ y 2≤t2
有时候难以办到,
如
ex
2、
s
in x
x
、co
sx
2
等函数的原函数不能用初等函数表示, 所以无法先积分再求极限 1 实际上, 往往也不需要如此, 本
文介绍几种处理此类问题的方法 1
一、 利用积分中值定理
利用积分中值定理将积分号去掉, 然后再求极限, 这是一种常用方法 1
∫ 例 1 求 lim n→∞
n+ a n
夹定理来求 1
∫1
定积分求极限公式
定积分求极限公式1.中值定理2.大数定律3.独立变量的积分4.常用极限公式接下来，我将对这些公式进行详细的介绍。
1.中值定理中值定理是微积分中的一个重要定理，可以用来证明函数的连续性。
对于函数f(x)在闭区间[a,b]上连续并可导，在(a,b)内存在一个点c，使得f'(c)=(f(b)-f(a))/(b-a)。
根据中值定理，定积分的极限可以通过函数的导数和平均值来表示。
2.大数定律有很多情况下，定积分可以用来表示一些随机变量的数学期望（期望值）。
根据大数定律，当取样数量足够大时，随机变量的平均值会趋近于其数学期望。
这意味着当定积分的上下限趋近于无穷时，定积分的值会收敛到一个常数。
3.独立变量的积分对于含有一个或多个独立变量的积分，可以通过分离变量，将其转化为只含有一个变量的积分。
例如，如果要求解∫(x^2 + y^2) dx，可以将 y 视为常数，并对 x 进行积分。
这样就可以得到只关于 y 的积分表达式。
4.常用极限公式在定积分求极限过程中，还可以直接使用一些常用的极限公式来简化计算。
常用的极限公式包括：- 弧长公式：当 a < b 时，有lim(x→∞) ∫(a→b) f(x) dx =lim(x→∞) ∫(a→x) f(t) dt + lim(x→∞) ∫(x→b) f(t) dt；- 指数函数和对应的自然对数函数的极限：lim(x→0) (1 + x)^1/x= e；- 三角函数的极限：lim(x→0) sin(x)/x = 1；- 幂函数的极限：lim(x→∞) x^a = ∞，其中 a > 0；- 正无穷大与负无穷大的相加或相减：lim(x→∞) [f(x) ± g(x)]= lim(x→∞) f(x) ± lim(x→∞) g(x)；- 正无穷大与有界函数的乘积：lim(x→∞) [f(x) * g(x)] =lim(x→∞) f(x) * lim(x→∞) g(x)，其中lim(x→∞) f(x) 为正无穷大，g(x) 为有界函数。
二重积分中值定理求极限
二重积分中值定理求极限引言：在数学中，积分是一个非常重要的概念，它可以用于求解曲线下面的面积、求解函数的平均值等问题。
而二重积分则是对于二元函数在某个区域上的积分。
在二重积分中，我们可以利用中值定理来求解极限，这是一个非常有用且实用的方法。
一、二重积分的定义和性质我们来回顾一下二重积分的定义和性质。
对于一个二元函数f(x, y)，在一个闭区域 D 上的二重积分可以表示为：∬D f(x, y) dA其中，dA 表示面积元素，可以看作是矩形区域D 中的一个小矩形。
二重积分具有线性性质和可加性，即如果 f(x, y) 和 g(x, y) 是可积的二元函数，k 是一个常数，则有：∬D [kf(x, y) + g(x, y)] dA = k∬D f(x, y) dA + ∬D g(x, y) dA二重积分还与积分区域的选择无关，即如果D 和D' 是两个相应的区域，且 f(x, y) 在 D 和 D' 上是可积的，则有：∬D f(x, y) dA = ∬D' f(x, y) dA二、二重积分中值定理的表述在了解了二重积分的定义和性质之后，我们可以进一步介绍二重积分中值定理。
根据中值定理，对于一个连续函数 f(x, y) 在闭区域 D 上的二重积分，存在一个点(c, d) ∈ D，使得：∬D f(x, y) dA = f(c, d) · A其中，A 表示区域 D 的面积。
换句话说，二重积分的值等于函数在某个点的取值乘以区域的面积。
三、利用二重积分中值定理求极限接下来，我们将介绍如何利用二重积分中值定理来求解极限。
假设我们要求解函数 f(x, y) 在点 (a, b) 处的极限，即求解：lim (x, y) → (a, b) f(x, y)我们可以将问题转化为求解二重积分的形式。
为了方便计算，我们可以选择一个以点(a, b) 为中心的小圆盘D，将极限转化为二重积分的形式：f(a, b) = 1/πr^2 ∬D f(x, y) dA其中，r 是小圆盘 D 的半径。
定积分的极限定义
定积分的极限定义一、引言定积分是微积分学中的重要概念之一，它可以用于求解曲线下面的面积、质量、重心、弧长等问题。
在本文中，我们将介绍定积分的极限定义。
二、基本概念在介绍定积分的极限定义之前，我们需要先了解一些基本概念。
1. 区间区间是指由两个实数$a$和$b$确定的一段连续的实数集合，通常表示为$[a,b]$。
其中$a$称为区间的左端点，$b$称为区间的右端点。
2. 分割将一个区间$[a,b]$划分成$n$个子区间$[x_{i-1},x_i]$（$i=1,2,\cdots,n$），并且满足$a=x_0<x_1<\cdots<x_n=b$，则称这样的$n+1$个实数$x_0,x_1,\cdots,x_n$构成了一个分割。
3. 子区间长度对于一个分割$\Delta=\{x_0,x_1,\cdots,x_n\}$，定义第$i$个子区间$[x_{i-1},x_i]$的长度为$\Delta x_i=x_i-x_{i-1}$。
4. 上和与下和设$f(x)$是定义在区间$[a,b]$上的函数，$\Delta=\{x_0,x_1,\cdots,x_n\}$是$[a,b]$的一个分割。
则称$\Delta$是$f(x)$在$[a,b]$上的一个分割，记作$\Delta[f]$。
对于一个分割$\Delta[f]$，定义它的上和与下和为：$$U(f,\Delta)=\sum_{i=1}^nM_i\Delta x_i,\quadL(f,\Delta)=\sum_{i=1}^nm_i\Delta x_i$$其中$M_i=\sup_{x\in[x_{i-1},x_i]}f(x)$，$m_i=\inf_{x\in[x_{i-1},x_i]}f(x)$。
显然有$L(f,\Delta)\leqslant U(f,\Delta)$。
5. 上积分与下积分设$f(x)$是定义在区间$[a,b]$上的函数，对于任意一个分割$\Delta[f]$，都有$L(f,\Delta)\leqslant U(f,\Delta)$。
用积分中值定理求极限要注意哪些问题？
考研屋
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定积分中值定理唯一的条件就是要求被积函数连续。
其实这两道题你犯了同一个错误，利用积分中值定理的确只要函数连续就可以有其某一个函数值代入，提到积分符号外面，然后乘以积分长度来计算积分值，但是你这两道题忽略了前面的函数值的可变性，比如第一题如果当ε=1时，函数值就为1/2，当ε&lt;1就为0了，如果这道题是在开区间你的做法就对了，但是闭区间还是应该注意一点的，同样第二题ε在取1/n时整个值就不是0了。
总的来说利用积分中值定理你就要保证在整个区间中被提出的函数的极限都为0才可以
回2楼(potatolyh) 的帖子谢谢，你的思路对我有点启示！
长见识了学知识了谢谢2楼
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396数学函数极限详细知识点
396数学函数极限详细知识点一、拉格朗日中值定理与积分中值定理1.拉格朗日中值定理：在计算函数极限时，若极限式中出现相同类型式子的作差，形如f(x) - f(a)，考虑使用拉格朗日中值定理。
定理指出，在a 和b 之间存在一个点c，使得f"(c) = (f(b) - f(a))/(b - a)。
2.积分中值定理：在计算函数极限时，若极限式中出现变限积分且上下限均为变量，考虑使用积分中值定理。
积分中值定理指出，在积分区间[a, b]上存在一个点c，使得∫[a, b]f(x)dx = f(c) * (b - a)。
3.应用场景及注意事项：在使用这两个定理之前，一般是泰勒公式无法使用；洛必达法能使用，但求导后的极限式过于复杂，不利于求其极限。
最后，由于极限式中出现了，而其介于a、b 之间，所以会涉及夹逼准则这块内容。
若有关的极限式在使用夹逼准则时失效，则表明这两个方法不能使用，需另谋他法（回归到原来的方法，如洛必达法则和泰勒公式）。
二、函数极限求解方法1.极限四则运算法则：在求解极限时，可运用极限的四则运算法则，如加法、减法、乘法、除法等。
2.等价无穷小替换：将极限式中的某一部分替换为等价无穷小，从而简化求解过程。
3.抓大头：在求解极限时，关注极限式中的主要部分，忽略次要部分。
4.恒等变形-根式有理化：通过对极限式进行恒等变形，将有理化根式转化为无理化根式，从而简化求解过程。
5.三角函数公式：利用三角函数的公式，将复杂极限式转化为简单极限式。
6.指数对数变形公式：利用指数对数公式，将极限式进行变形，从而简化求解过程。
三、考研数学第一章函数与极限考纲要求1.函数概念与表示方法：了解函数的定义及表示方法，会建立应用问题中的函数关系。
2.函数性质（有界性、单调性、周期性、奇偶性）：了解函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性。
3.复合函数与分段函数：理解复合函数和分段函数的概念，了解反函数和隐函数的概念。
应用积分中值定理求极限应注意的问题
辅导篇应用积分中值定理求极限应注意的问题任晓红 李国兴 (西北轻工业学院,陕西咸阳,712081)利用积分中值定理可以求某些特定类型数列的极限,但是在解这类极限时,普遍容易出现两个方面的错误.以下面两例来说明.例1 求极限lim n →∞∫40sin nx d x 解 先考虑积分∫40sin nx d x ,由于sin nx 在[0, 4]上连续,所以由积分中值定理可知,在[0,4]上至少存在一点 ,使得∫4sin n x d x =sin n 4因此有lim n →∞∫ 4sin nx d x =lim n →∞(sin n・ 4)=0・4=0.例2 求极限lim n →∞∫4tan nx d x 解:由于tan n x 在[0, 4]上连续,所以由积分中值定理可知,在[0, 4]上至少存在一点 ,使得∫4tan n x d x =tan n4因此有lim n →∞∫40tan n x d x =lim n →∞(tan n4)=04=0 我们来分析一下上面两例的解法.例1的解法看似正确,其实是错误的.错误原因在于积分中值定理是肯定了 的存在性,并没有指出 在区间的具体确切位置.一般地说, 依赖于被积函数和积分区间.当n 不同时,被积函数也就不同,从而 在[0,4]上的位置也就不同.因此,应记为 n ,这是应用积分中值定理求极限应注意的第一个问题.例1的正确解法应为:lim n →∞∫4sin n x d x =lim n →∞(sin n )n4=0例2的解法除了犯有例1同样一种错误之外,还犯了第二种错误,错误在于应用积分中值定理所得到的 属于闭区间,而不是开区间.∵ n ∈[0, 4],∴ 0≤tan n n ≤1由于不能排除 n = 4,即tan n n =1的情况,因此lim n →∞tan nn =0是不正确的.(下转42页)33V ol.3No.4Dec.2000 高等数学研究ST UDIES IN COLLE GE M AT HEM AT ICS 收稿日期:2000-04-11若P i ,P j ∈S ,求出M ,N 所有解,设有一组,以P i 为原点建立新坐标系,需要旋转的角度为( - i 1,( - i 2)(i =1,2,…,l )用定理1判定其余n -2个点是否满足条件,若满足则n 口旧井均可利用,否则n 口旧井不能全部利用.六、模型的推广在地质勘探、地质测量及各种观测点的设置中,都会碰到如何利用旧观测点,以减少新观测点的问题.本文问题(1)的算法时间复杂度为n 2,可以认为是简便有效的算法,因此具有广泛的应用.七、模型算法评价本文所采用的算法最大的优点是对问题(1)、(2),均能证明求出的解为最优解.1.在求解问题1时,提出并证明了一个重要的定理1.利用定理1,不使用穷举法,就可找出满足题目要求T 的最大值,从而大大简化了求解过程.2.对于问题(2)的求解与证明,对于其它问题,不一定适用,具有一定的局限性.参考书目[1]陆守一,唐小明.地理信息系统实用教程.北京:中国技术出版社.1998年[2]姜启源.数学模型.北京高等教育出版社.1993年(上接33页)这是应用积分中值定理求极限时应注意的第二个问题.事实上,例2虽然与例1形式相同,但不能用积分中值定理求解.正确的解法是利用定积分的比较性质以及夹逼准则,求解如下:令u =tan x 则当x =0时u =0;当x = 4时,u =1,d u =sec 2x d x ,∴ d x =d u 1+tan 2x =d u1+u 2故有 ∫40tan nx d x =∫10u n1+u2d u由于un2≤u n 1+u 2≤u n u 2+u2=u n -22当n >1时,0≤u ≤1∫1u n2d u ≤∫10u n1+u2d u ≤∫1un -22d u即12(n +1)≤∫10u n1+u2d u ≤12(n -1)由于 lim n →∞12(n +1)=0,lim n →∞12(n -1)=0,所以lim n →∞∫4tan nx d x =lim n →∞∫1u n1+u 2d u =0 与例2类似的题目,如:lim n →∞∫1x n1+xd x ,lim n →∞∫1x n ex1+e d x 等,虽然都是以定积分的形式出现,但已不能用积分中值定理求解.42 高等数学研究 2000年12月。
应用积分中值定理求极限应注意的问题
应用积分中值定理求极限应注意的问题
条件：连续，或有有限个间断点，有界。
若函数f（x）在闭区间［a，b］上连续，则在积分区间（a，b）上至少存在一个点ξ，使∫（b，a）f（x）dx=f（ξ）（b-a）成立。
其中，a、b、ξ满足：a≤ξ≤b。
对于积分中值定理的第一个证明，也可以增加一些步骤，使得结论在（a，b）上成立。
但是对于这本书来说，因为有了第二个证明，书的严谨性和完整性已经具备了，所以第一
个证明只写了较弱的结论。
分数发展的动力源自实际应用领域中的市场需求。
实际操作中，有时候可以用粗略的
方式展开估计一些未知量，但随着科技的发展，很多时候须要晓得准确的数值。
建议直观
几何形体的面积或体积，可以套用未知的公式。
比如说一个长方体状的游泳池的容积可以
松省×阔×高求出来。
但如果游泳池是卵形、抛物型或更加不规则的形状，就需要用积分来求出容积。
物理
学中，常常需要知道一个物理量（比如位移）对另一个物理量（比如力）的累积效果，这
时也需要用到积分。
积分中值定理求极限的条件(一)
积分中值定理求极限的条件(一)积分中值定理求极限的条件引言在微积分中，积分中值定理是非常重要的概念之一。
它提供了一种方法来求解函数在一定区间内的平均值与极限之间的关系。
在本文中，我们将重点讨论使用积分中值定理求极限的条件。
积分中值定理积分中值定理是基于函数连续与可导的性质而推导出来的。
根据定理的表述，如果一个函数在闭区间[a, b]上连续，且在开区间(a, b)上可导，则存在至少一个点c ∈ (a, b)，使得函数在该点的导数等于函数在整个区间[a, b]上的平均斜率。
极限的定义首先，我们需要明确什么是极限。
在数学中，函数f(x)在x趋于某个值a时的极限定义为：当x无限接近于a时，f(x)趋于一个常数L。
我们用符号表示为：lim(x → a) f(x) = L使用积分中值定理求极限的条件在使用积分中值定理求极限时，我们需要满足以下条件： 1. 函数f(x)在闭区间[a, b]上是连续的。
2. 函数f(x)在开区间(a, b)上是可导的。
3. 函数f(x)在闭区间[a, b]上没有奇点或间断点。
推论与应用根据积分中值定理，我们可以推导出一些重要的结论和应用： - 若函数f(x)在闭区间[a, b]上恒为常数，则函数在该区间上的平均值等于该常数。
- 若函数f(x)在闭区间[a, b]上单调递增/递减，则函数在该区间上的平均值等于函数在该区间上的极限。
结论积分中值定理是微积分中的重要工具之一，它可以帮助我们求得函数在一个区间上的平均斜率与极限之间的关系。
为了使用积分中值定理求极限，我们需要确保函数连续、可导，并排除奇点或间断点的影响。
希望本文能够帮助读者理解积分中值定理求极限的条件，并应用于相关问题的解决。
通过深入学习积分中值定理，我们可以更好地理解函数的性质和行为。
使用拉格朗日中值定理求极限的条件
使用拉格朗日中值定理求极限的条件拉格朗日中值定理是微积分中的一个重要定理，用于研究函数的极限。
它提供了一种简单且有效的方法来计算函数在某一区间内的极限。
拉格朗日中值定理的使用条件包括函数在给定区间上连续以及该函数在该区间上可导。
在数学上，一个函数在某一区间内的极限可以通过求导来计算。
根据拉格朗日中值定理，如果一个函数在某一区间上连续且在该区间上可导，那么在该区间内必然存在一个点，使得该点处的导数等于该函数在该区间上的平均变化率。
换句话说，这个点的斜率等于函数在该区间上的平均斜率。
设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，且在开区间(a,b)上可导。
根据拉格朗日中值定理，存在一个点c∈(a,b)，使得f'(c)等于函数在该区间上的平均斜率。
具体来说，根据拉格朗日中值定理，可以得到以下结论：1. 如果函数在闭区间[a,b]上连续且在开区间(a,b)上可导，那么在开区间(a,b)内存在一个点c，使得f'(c)等于函数在该区间上的平均斜率。
2. 如果函数在闭区间[a,b]上连续且在开区间(a,b)上可导，那么函数在该闭区间内的极限总存在。
通过使用拉格朗日中值定理，我们可以将函数的极限问题转化为导数问题，从而更容易地计算出函数在给定区间内的极限。
这个定理使我们能够更好地理解函数的变化规律，并推导出函数极限的一些性质。
需要注意的是，拉格朗日中值定理的条件是函数在给定区间上连续且可导。
如果函数在该区间上不满足这些条件，那么该定理就不适用。
此外，该定理只能保证存在一个点c使得f'(c)等于函数在该区间上的平均斜率，并不能确定该点的具体位置。
总之，拉格朗日中值定理为我们求解函数的极限问题提供了一个简便而有效的方法。
通过将函数的极限问题转化为导数问题，我们能够更好地理解函数的变化规律，并得到函数极限的一些性质。
掌握和应用拉格朗日中值定理可以帮助我们更深入地研究函数的极限以及相关的数学问题。
积分求极限问题
积分求极限问题
在数学中，积分求极限是求一个函数在某一点处的极限。
根据基本定理的积分推广，如果一个函数在一个区间上连续并且有界，那么它的积分也是有界的。
因此，对于这样的函数，可以通过求积分来求解极限问题。
具体的求解方法取决于给定的函数和极限的形式。
以下是一些常见的求极限的方法：
1. L'Hôpital法则：适用于求极限为0/0或∞/∞形式的极限。
若
函数f(x)和g(x)在极限点附近连续，并且f(x)和g(x)在该点都
为0或∞，并且f'(x)/g'(x)的极限存在，那么lim x→a f(x)/g(x)
= lim x→a f'(x)/g'(x)。
2. 积分中值定理：适用于求极限为无穷小形式的极限问题。
如果一个连续函数f(x)在[a, b]上有积分，那么存在一个c∈(a, b)，使得∫[a, b] f(x)dx = f(c)(b-a)。
根据这个定理，可以通过积分的
中值定理推导出一些常见的极限。
3. 函数的单调性和有界性：如果一个函数在某一区间上单调递增或单调递减，并且有界，那么可以通过求积分来判断它在某一点的极限。
如果函数在该区间上单调递增，那么函数的极限为区间上的上确界；如果函数在该区间上单调递减，那么函数的极限为区间上的下确界。
以上仅是一些常见的求积分求极限的方法，实际上针对不同的
函数和极限形式可能还有其他的求解方法。
在具体的问题中，可以根据函数的特性和极限的形式选择合适的方法来求解。
利用拉格朗日中值定理求极限的条件
利用拉格朗日中值定理求极限的条件拉格朗日中值定理是微积分中的一条重要定理，它在求解极限、证明函数性质等方面有着广泛的应用。
在这篇文章中，我们将探讨利用拉格朗日中值定理求极限的条件和方法。
我们先来了解一下拉格朗日中值定理的基本概念。
拉格朗日中值定理是微积分中的一种中值定理，它是由法国数学家拉格朗日在18世纪提出的。
该定理的表述如下：设函数f(x)在闭区间[a, b]上连续，在开区间(a, b)内可导，则在(a, b)内至少存在一点c，使得f(b) - f(a) = f'(c)(b - a)。
简单来说，拉格朗日中值定理指出，对于任意两点a和b，函数在这两点之间的斜率等于函数在某一点c处的导数。
利用拉格朗日中值定理求极限的条件是：函数在闭区间[a, b]上连续，在开区间(a, b)内可导。
这意味着函数在所考虑的区间内具有一定的连续性和可导性。
只有满足这些条件，我们才能利用拉格朗日中值定理来求解极限。
接下来，我们来看一个具体的例子，通过拉格朗日中值定理来求解极限。
假设我们要求解极限lim(x→2) (x^2 - 4)/(x - 2)。
首先，我们注意到当x≠2时，函数是有定义的。
然后，我们可以将函数进行简化，得到(x + 2)。
现在，我们可以使用拉格朗日中值定理来求解极限。
根据定理的要求，我们需要找到一个点c，使得函数在点c 处的导数等于函数在闭区间[2, x]上的平均变化率。
根据这个条件，我们可以得到f'(c) = (f(x) - f(2))/(x - 2)。
由于函数f(x) = x + 2在整个区间上都是可导的，在闭区间[2, x]上的平均变化率等于函数在某一点c处的导数。
因此，我们可以得到f'(c) = 1。
现在，我们可以将f'(c)代入极限的表达式中，得到lim(x→2) (x + 2) = 1。
这就是我们通过拉格朗日中值定理求解极限的结果。
除了求解极限，利用拉格朗日中值定理还可以证明函数的性质。
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积分中值定理中n ξ的极限杨勇洪（楚雄师范学院数学系2005级2班）指导老师 郎开禄摘要：本文讨论了改进后的积分中值定理中n ξ的极限,获得几个有意义的结果. 关键词：积分；中值定理；极限The limit of n ξ in integral theorem of meanYan zilanAbstract ：In this paper, we discussed the limit of n ξ in the improvement integral theorem ofmean ， several meaningful results are obtained. Key words ：Integral ；Theorem of mean ；limit导师评语：在文[1] ([1].郎开禄.积分中值定理注记[J ].楚雄师范学院学报，2008，23（6）：7-15.)中讨论了改进后的广义积分中值定理中n ξ的极限，并获得了两个基本结果,并讨论了其应用.在文[2] ([2].裘兆泰，王承国，章仰文编.数学分析学习指导[M ].2004：223-226，272.)中讨论了积分中值定理中n ξ的极限,获得了几个基本结果.受文[1]- [2]的启发，在文[1]- [2]的基础上，杨勇洪同学的毕业论文《积分中值定理 中n ξ的极限》进一步研究改进后的广义积分中值定理中n ξ的极限,获得了的三个结论(定理 8至定理10),并讨论了其应用.杨勇洪同学的毕业论文《积分中值定理中n ξ的极限》选题具有理论与实际意义,通过深入研究,该论文获得了关于积分中值定理中n ξ的极限的三个结论,并讨论其应用.该论文完成有 一定的技巧性和难度,其结果在理论与实际上都有重要意义.论文语言流畅,打印行文规范 ,是一篇创新型的毕业论文.该同学在作论文过程中，悟性好，爱钻研，能吃苦，独立性强.积分中值定理中n ξ的极限前 言改进后的积分中值定理指出，若)(x F n 在[,]a b 连续，则至少存在一点),(b a n ∈ξ，使得()()()(1,2)b n n n aF x dx F b a n ξ=-=⎰.此时n ξ取值于),(b a 内，但随n 的变化而变化，若lim n n ξ→∞存在，则lim n n ξ→∞有可能等于a ，或b .若这种情况出现，在应用积分中值定理求极限时应特别小心（见文[1]）.改进后的广义积分中值定理指出，若)(x F n 在[,]a b 连续，则至少存在一点),(b a n ∈ξ，使得()()()()(1,2)b bn n n aaF x g x dx F g x dx n ξ==⎰⎰ . 此时n ξ取值于),(b a 内，但随n 的变化而变化，若lim n n ξ→∞存在，则lim n n ξ→∞有可能等于a ，或b .若这种情况出现，在应用积分中值定理求极限时也应特别小心. 在文[2]中，讨论了改进后的积分中值定理中n ξ的极限并获得了几个基本结果，文[1]受文[2]的启发，讨论了改进后的广义积分中值定理中n ξ的极限，获得了两个基本结果.在本文中，我们改进了文[1]中的一个结果的条件，获得了文[1]中同样的结果，并讨论了其应用.1 积分中值定理定理1[]3（积分中值定理）若函数)(x f 在闭区间[,]a b 连续，则至少存在一点],[b a ∈ξ，使得()()()b af x dx f b a ξ=-⎰.定理2[]3（广义积分中值定理）若函数)(x f 与)(x g 在闭区间[,]a b 连续，且)(x g 在[,]a b 不改变符号，则至少存在一点],[b a ∈ξ，使得()()()()bbaaf xg x dx f g x dx ξ=⎰⎰.定理1和定理2表明，ξ在闭区间[,]a b 中取到，故就有可能取左端点a ，或取右端点b ，也有可能在开区间),(b a 中取到.2 改进后的积分中值定理定理3[][]4,5（积分中值定理）若函数)(x f 在闭区间[,]a b 连续，则至少存在一点),(b a ∈ξ，使得()()()b af x dx f b a ξ=-⎰.定理4[][]4,5（广义积分中值定理）若函数)(x f 与)(x g 在闭区间[,]a b 连续，且)(x g 在[,]a b 不改变符号，则至少存在一点),(b a ∈ξ，使得()()()()bbaaf xg x dx f g x dx ξ=⎰⎰.定理3和定理4表明，ξ一定能在开区间),(b a 中取到.3 积分中值定理中n ξ的极限关于积分中值定理中n ξ的极限，在文[2]中，有下列结果： 定理5[]2 (1) 设)(x f 在[,]a b 是非负、严格递增连续函数，记)()(x f x F n n =，由改进后的积分中值定理，即由定理3，至少存在一点),(b a n ∈ξ，使得()()()b n n n aF x dx F b a ξ=-⎰，则b n n =∞→ξlim .(2) 设)(x f 在[,]a b 是非负、严格递减连续函数，记)()(x f x F n n =，由改进后的积分中值定理，即由定理3，至少存在一点),(b a n ∈ξ，使得()()()b n n n aF x dx F b a ξ=-⎰，则a n n =∞→ξlim .推论[]2 设)(x f 在[,]a b 是非负、连续函数，且在[,]a b 有唯一的最大值点0x ，)()(x f x F n n =，由改进后的积分中值定理，即由定理3，至少存在一点),(b a n ∈ξ，使得()()()b n n n aF x dx F b a ξ=-⎰，则0lim x n n =∞→ξ.关于积分中值定理中n ξ的极限，在文[1]中，有下列结果： 定理6[]1 设)(x f 在[,]a b 是连续函数，)(x g 在[,]a b 是非负、严格递减连续函数，则(1) )0(0)()(lim a b dxx g dx x g ban ba nn -<<=⎰⎰+∞→εε；(2) 由广义积分中值定理，至少存在一点),(b a n ∈ξ，使得()()()()b bnn n aaf xg x dx f g x dx ξ=⎰⎰，则)()(lim a f f n n =∞→ξ.定理7[]1 设)(x f 在[,]a b 是连续函数，)(x g 在[,]a b 是非负、严格递增连续函数，若存在[,]a b 上的非负、严格递减连续函数)(x h ，使得)0)(()(a b a h b g -<<+=-εεε，()()bbnn aag x dx h x dx =⎰⎰，则(1) ()lim0(0)()b n a b n nag x dxb a g x dxεε-→∞=<<-⎰⎰；(2) 由广义积分中值定理，至少存在一点),(b a n ∈ξ，使得()()()()b bn n n aaf xg x dx f g x dx ξ=⎰⎰，则)()(lim b f f n n =∞→ξ.关于积分中值定理中n ξ的极限，在本文中，我们去掉了定理7中“若存在[,]a b 上 的非负、严格递减连续函数)(x h ，使得)0)(()(a b a h b g -<<+=-εεε，()()b bn n aag x dx h x dx =⎰⎰”的条件，获得了定理7同样的结论.定理8 设)(x f 在[,]a b 是连续函数，)(x g 在[,]a b 是非负、严格递增连续函数，则 (1) ()lim0(0)()b n a b n nag x dxb a g x dxεε-→∞=<<-⎰⎰；(2) 由广义积分中值定理，至少存在一点),(b a n ∈ξ，使得()()()()b bnn n aaf xg x dx f g x dx ξ=⎰⎰，且)()(lim b f f n n =∞→ξ.证明：(1) 因为2()()0()()b b n n a ab b nnab g x dxg b dxg x dxg x dxεεεε----<≤⎰⎰⎰⎰2()()()()()()222n n b n nb b a g b b a g b g b dx g b εεεεεεεε-------≤=--⋅⎰ 2()()()2nb a g b g b εεεε⎛⎫⎪---= ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭，又 1)2()(0<⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--<εεb g b g ，故0)2()(lim =⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--∞→nn b g b g εε， 于是()lim0()b n a b n nag x dxg x dxε-→∞=⎰⎰.(2) 由于)(x f 在b 连续，则)(x f 在b 左连续，故0>∀ε，存在)0(0a b -<<>δδ，使得2)()(ε<-b f x f ，],[b b x δ-∈.又由广义积分中值定理，至少存在点),(b a n ∈ξ，),(δξ-∈'b a n ，),(b b n δξ-∈"， 使得()()()()b bnn n aaf xg x dx f g x dx ξ=⎰⎰，()()()()b b n n n a a f x g x dx f g x dx δδξ--'=⎰⎰，()()()()bbn n n b b f x g x dx f g x dx δδξ--''=⎰⎰.而 ⎰⎰⎰--+=b b n b an b an dx x g x f dx x g x f dx x g x f δδ)()()()()()(.故()()()()()()()()()()()()()()b b b n n n n n n aab b b n n n n a b b b nn n n aaf g x dx f g x dx f g x dxf g x dx f g x dx f g x dx f g x dxδδδδδδξξξξξξξ------'''=+'''=+''''+-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰()()(()())()bb n n n n n aaf g x dx f f g x dx δξξξ-'''''=+-⎰⎰，所以()()()(()())()b n a nnnnb n ag x dxf f f fg x dxδξξξξ-'''''=+-⎰⎰，令 ()()b n a n b nag x dxk g x dxδ-=⎰⎰，则)(n f ξ=+")(n f ξ))()(("-'n n f f ξξn k ，故)(n f ξ)(b f -=+-")()(b f f n ξ))()(("-'n n f f ξξn k .从而n n n n n k f f b f f b f f ))()(()()()()("-'+-"≤-ξξξξ.因为)(x f 在[,]a b 上连续，故存在0>M ，使得M x f ≤)(，[,]x a b ∈.又因为由(1)知0lim =∞→n n k ，故N ∃>∀，0ε，当N n >∀时，有Mk n 4ε<，于是当N n >∀时，有εεεεεξ=+=⋅+<-22422)()(MM b f f n .因此)()(lim b f f n n =∞→ξ.推论1 设)(x f 在]2,0[π是连续函数，则(1) 2020sin lim0(0)2sin n n n xdxxdxπεππε-→∞=<<⎰⎰；(2) 由广义积分中值定理，至少存在一点)2,0(πξ∈n ，使得⎰⎰=2020sin )(sin )(ππξxdx f xdx x f n n n，且)2()(lim πξf f n n =∞→.推论2 设)(x f 在]0,2[π-是连续函数，则(1) 202cos lim0(0)2cos n n nxdx xdxεπππε--→∞-=<<⎰⎰；(2) 由广义积分中值定理，至少存在一点)0,2(πξ-∈n ，使得0022()cos ()cos nn n f x xdx f xdx ππξ--=⎰⎰，且)0()(lim f f n n =∞→ξ.定理9 设)(x f 在[,]a b 是连续函数，)(x g 在[,]a b 是非负、连续函数，且在[,]a b 有唯一的最大值点0x ，则 （I ）(1) 000()lim 0(0)()bn x b n nx g x dxb x g x dxεε+→∞=<<-⎰⎰；(2) 由广义积分中值定理，至少存在一点),(0b x n ∈ξ，使得()()()()b bn n n x x f x g x dx f g x dx ξ=⎰⎰，且)()(lim 0x f f n n =∞→ξ.（II ）(1) 000()lim 0(0)()x n a x n nag x dxx a g x dxεε-→∞=<<-⎰⎰；(2) 由广义积分中值定理，至少存在一点),(0x a n ∈ξ，使得00()()()()x x nn n aaf xg x dx f g x dx ξ=⎰⎰，且)()(lim 0x f f n n =∞→ξ.证明：因0x 是()f x 在[,]a b 唯一的最大值点，故()f x 在0[,]x b 严格递减，在0[,]a x 严格递增，于是由定理6和定理8分别有 （I ）(1) )0(0)()(lim 00εεε-<<=⎰⎰+∞→b dxx g dxx g b x nbx n n ；(2) 由广义积分中值定理，至少存在一点),(0b x n ∈ξ，使得()()()()b bn n n x x f x g x dx f g x dx ξ=⎰⎰，且)()(lim 0x f f n n =∞→ξ.（II ）(1) 000()lim 0(0)()x n a x n nag x dxx a g x dxεε-→∞=<<-⎰⎰；(2) 由广义积分中值定理，至少存在一点),(0x a n ∈ξ，使得00()()()()x x n n n aaf xg x dx f g x dx ξ=⎰⎰，且)()(lim 0x f f n n =∞→ξ.推论1 设)(x f 在],0[π是连续函数，则 （I ）(1) 22sin lim0(0)2sinn n nxdxxdxππεπππε+→∞=<<⎰⎰；(2) 由广义积分中值定理，至少存在一点),2(ππξ∈n ，使得⎰⎰=ππππξ22sin )(sin )(xdx f xdx x f n n n ，且)2()(lim πξf f n n =∞→.（II ）(1) 2020sin lim0(0)2sin n n n xdxxdxπεππε-→∞=<<⎰⎰；(2) 由广义积分中值定理，至少存在一点)2,0(πξ∈n ，使得220()sin ()sin nn n f x xdx f xdx ππξ=⎰⎰，且)2()(lim πξf f n n =∞→.推论2 设)(x f 在]2,2[ππ-是连续函数，则 （I ）(1) 220cos lim0(0)2cos n n n xdx xdxπεππε→∞=<<⎰⎰；(2) 由广义积分中值定理，至少存在一点)2,0(πξ∈n ，使得220()cos ()cos nn n f x xdx f xdx ππξ=⎰⎰，且)0()(lim f f n n =∞→ξ.（II ）(1) 222cos lim0(0)2cos n n n xdxxdxεππππε--→∞-=<<⎰⎰；(2) 由广义积分中值定理，至少存在一点)0,2(πξ-∈n ，使得0022()cos ()cos nn n f x xdx f xdx ππξ--=⎰⎰，且)0()(lim f f n n =∞→ξ.定理10 设)(x f 在[,]a b 是连续函数，)(x g 在[,]a b 是非负、连续函数，且在[,]a b 有唯一最小值点0x ，则(I) (1) 000()lim0(0)()x n a x n nag x dx x a g x dxεε+→∞=<<-⎰⎰；(2) 由广义积分中值定理，至少存在一点),(0x a n ∈ξ，使得00()()()()x x n n n aaf xg x dx f g x dx ξ=⎰⎰，且)()(lim a f f n n =∞→ξ.(II) (1) 000()lim0(0)()b n x b n nx g x dxb x g x dxεε-→∞=<<-⎰⎰；(2) 由广义积分中值定理，至少存在一点),(0b x n ∈ξ，使得()()()()b bnn n x x f x g x dx f g x dx ξ=⎰⎰，且)()(lim b f f n n =∞→ξ.证明：因0x 是()f x 在[,]a b 唯一的最小值点，故()f x 在0[,]a x 严格递减，在0[,]x b 严格递增，于是由定理6和定理8分别有 (I)(1) 000()lim0(0)()x n a x n nag x dx x a g x dxεε+→∞=<<-⎰⎰；(2) 由广义积分中值定理，至少存在一点),(0x a n ∈ξ，使得00()()()()x x nn n aaf xg x dx f g x dx ξ=⎰⎰，且)()(lim a f f n n =∞→ξ.(II) (1) 000()lim0(0)()b n x b n nx g x dxb x g x dxεε-→∞=<<-⎰⎰；(2) 由广义积分中值定理，至少存在一点),(0b x n ∈ξ，使得()()()()b bnn n x x f x g x dx f g x dx ξ=⎰⎰，且)()(lim b f f n n =∞→ξ.推论1 设)(x f 在]2,1[是连续函数，则(1) 21211(1)lim 0(01)1(1)nx n nx dx x dxx εε-→∞+=<<+⎰⎰； (2) 由广义积分中值定理，至少存在一点)2,1(∈n ξ，使得221111()(1)()(1)nx nx n f x dx f dx x xξ+=+⎰⎰，且)2()(lim f f n n =∞→ξ.证明：令xxx g )11()(+=，]2,1[∈x ，则 ⎪⎭⎫⎝⎛+-++='x x x x g x 11)11ln()11()(，]2,1[∈x .令xx x h +-+=11)11ln()(，]2,1[∈x ，则0)1(1)(2<+-='x x x h ，]2,1[∈x于是)(x h 在]2,1[严格递减，故)(x h 03123ln )1(>-=>h ，因此]2,1[,011)11ln()11()(∈>⎪⎭⎫⎝⎛+-++='x x x x x g x .故)(x g 在]2,1[严格递增，且02)1()(>=>g x g .所以我们有(1) 21211(1)lim 0(01)1(1)nx n nx dx x dxx εε-→∞+=<<+⎰⎰； (2) 由广义积分中值定理，至少存在一点)2,1(∈n ξ，使得221111()(1)()(1)nx nx n f x dx f dx x xξ+=+⎰⎰， 且)2()(lim f f n n =∞→ξ.同样我们有推论2 设)(x f 在]2,3[--是连续函数，则(1) 23231(1)lim 0(01)1(1)nx n nx dx x dxx εε----→∞-+=<<+⎰⎰；(2) 由广义积分中值定理，至少存在一点)2,3(--∈n ξ，使得223311()(1)()(1)nx nxn f x dx f dx x xξ----+=+⎰⎰， 且)2()(lim -=∞→f f n n ξ.参考文献[1] 郎开禄.积分中值定理注记[J].楚雄师范学院学报，2008，23（6）：7—15.[2] 裘兆泰，王承国，章仰文编.数学分析学习指导[M].北京：科学出版社，2004：223—226，272.[3] 华东师范大学数学系编.数学分析（上）[M].北京：高等教育出版社，2002：217—218. [4] 毛羽辉编著.数学分析选论[M].北京：科学出版社，2003：101—102.[5] 吴良森，毛羽辉，韩士安，吴畏编著.数学分析学习指导（上）[M].北京：高等教育出版社，2004:272.致 谢感谢郎开禄老师在我的论文选题及写作过程中给予悉心指导.。