第十讲 域上多项式环
【高等代数】04-多项式环
【⾼等代数】04-多项式环1. 多项式环1.1 基本定义和性质 多项式是数学中的重要概念，在分析和代数中都有⼴泛的应⽤，线性变换也⾮常依赖多项式的理论。
虽然在不同场景下多项式描述的对象有较⼤差异，但它们却有着类似的代数结构，这⾥就从纯代数的⾓度讨论多项式的结构和性质。
以下我会花较多⼝⾆定义什么是多项式，这种看似“学究”的做法其实正是数学的抽象性和严密性所在。
先来看多项式的组成元素“（⼀元）项”，它具有形式ax^n，其中n是⼀个⾮负整数，它表⽰项的次数，a是某个环R或域F的元素，被称为系数，x是不定元。
要特别强调的是，这⾥并没有定义项的实际意义，不定元可能是任何满⾜条件的数学概念。
a和x^n之间也不能看成是某个具体的乘法，这⾥只是⼀个书写格式，项永远是作为⼀个整体看待的。
系数为0的项被定义为互相相等的，⽽其它项相等的充要条件是系数和次数都相等。
另外，在项之间还定义有如式（1）的加法和乘法，且乘法对加法满⾜分配率。
有了这些准备就可以定义多项式了，⼀个环R上的（⼀元）多项式是有限个⾮零项之和，它的最终形式是式（2）。
为了叙述⽅便，0次项被直接写做a_0，但不要忘了其实际意义a_0x^0。
系数⾮零的最⾼次项也称多项式的⾸项，⽽n也叫f(x)的次数，记作\deg f(x)。
由项的定义不难断定：多项式由它的系数序列(a_0,a_1,\cdots,a_n)唯⼀确定。
环R上的所有⼀元多项式集合记做R[x]，不难证明在乘法和加法的定义下，R[x]构成⼀个环（0系数的项为零元，当R有单位元时x^0也为单位元），它叫多项式环。
ax^n+bx^n=(a+b)x^n;\;\;ax^m\cdot bx^n=(ab)x^{m+n}\tag{1}f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0,\;\;(a_k\in R,a_n\ne 0)\tag{2} 其实在《抽象代数》中，我们已经专门讨论过多项式的性质，故对那些已经论述过的结论，这⾥就不重复证明过程了。
代数结构与数理逻辑-多项式环
▪ 定理14.9:(1)GCD(f(x),g(x))可用类似于上 述方法求得;
▪ ( 2 ) 当 h(x)=GCD(f(x),g(x)) 时 , 必 存 在 s(x),t(x)F[x]，使h(x)=s(x)f(x)+t(x)g(x)
对degf(x)作归纳证明.
(2) 唯 一 性
q1(x)…qm(x) 对n作归纳证明
若 f(x)=p1(x)…pn(x)=
§4 理想与商环
▪ 一、理想 ▪ 定义14.13：[R;+,*]为环, 若I ,IR,关于+,*
运算满足条件: ▪ (1)任a,bI,a-bI ▪ (2)任aI,rR,a*r,r*aI
▪ 定理14.13：域F上的多项式环F[x]是主理 想环。
▪ 分析:与前面证明方法类似.
▪ 证明:若I={0},成立
▪ 对于I{0}的理想,其生成元是什么呢?
▪ 对多项式,则应取I中非零的、多项式次数 最小的p(x).
▪ 这样就要证明对任一理想,可表示成
▪ {p(x)f(x)|f(x)F[x],p(x)为该理想中次数最 小的}.
▪ FF[x],F*=F-{0},任意aF*,存在逆元
▪ 对于F[x]中其他元素f(x),当degf(x)>0, 不 存在g(x)F[x],使得f(x)g(x)=1.
▪ 这里1是域F的单位元.
▪ 对F[x]中有逆元的元素称为可逆元.
▪ 定义14.11:当aF[x],并存在a-1F[x],使aa-1 =1
§3 多项式环
▪ 在习题14.3(5)的中，已知可以类似于在
实数域上定义多项式一样，在域F上定义
2.8有理数域上多项式
2.8 有 理 数 域 上 多 项 式教学目的：1． 理解本原多项式的概念和艾森斯坦因判别法，并能利用这个判别法来判断某些整系数多项式在有理数域不可约。
2． 掌握多项式有理根的求法并能熟练地求出有理系数多项式的有理根。
教学内容：1． 本原多项式定义 若是一个整系数多项式f(x)系数互素，那么f(x)叫作一个本原多项式。
关于本原多项式，有以下的引理2.8.1 两个本原多项式的乘积仍是一个本原多项式。
证 设给了两个本原多项式 f(x)=a 0+a 1x+…+a i x i+…+a m x mg(x)=b 0+b 1x+…+b j x j+…+b n x n, 并且f(x)g(x)=c 0+c 1x+…+c j i +xj i ++…+c n m +xnm +.如果f(x)g(x)不是本原多项式，那么一定存在一个素数p ，它能整除所有系数c 0, c 1,…, c n m +. 由于f(x)和g(x)都是本原多项式，所以p 不能整除f(x)的所有系数，也不能整除g(x)所有系数。
令a i 和b j 各是f(x)和g(x)的第一个不能被p 整除的系数。
我们考察f(x)g(x)的系数 c j i +.我们有c j i += a 0b j i ++…+a 1-i b1+j +a i b j +a 1+i b 1-j +…+a j i + b 0这等式的左端被p 整除。
根据选择a i 和b j 的条件，所有系数a 0,……a 1-i 以及b1-j ,……b 0都能被p 整除，因而等式右端除a i b j 这一项外，其它每一项也都能被p 整除。
因此乘积a i b j 也必须被p 整除。
但p 是一个素数，所以p 必须整除a i 或b j .这与假设矛盾。
2． 整系数多项式的分解：定理2.8.2 若是一个整系数n(n>0)次多项式f(x)在有理数域上可约，那么f(x)总可以分解成次数都小于n 的两个整系数多项式的乘积。
近世代数课件--3.6 多项式环
定义2
R
叫做R上 的多项式环.
注3：R 是包括R和 的最小子环。 注4：上面的 R 的计算法正是初等代数里的多项 式的计算法。
6.2 一元多项式环 R [ x ]
的多项式的表示形式不唯一的原因在于:当系数
a 0 , a1 , , a n 不都等于零的时候，很可能 的多项式
bi i
1 n
i1 1
in n
a i1 in i1 in
a
i1 i n
i1 i n
bi i
1
n
i1
1
in n
i1 1
in n
j1 j n
bj j
1 n
j1 1
jn n
k1 k n
n 1
ck k
1 n
k1 1
kn n
这里
ck k
1 n
im j m k m
ai i b j j
1
n
同上面类似，我们有
无关未定元及多元多项式环
定义5
R 0的 n
个元
x1 , x 2 , , x n
1 2
叫做R上的无关未定
n
元，假如任何一个R上的 x , x , , x 的多项式都不 会等于零，除非这个多项式的所有系数都等于零。
在R里找不到不都等于零的元
n
a 0 a1 x a n x 0
在这一节里，我们重要讨论未定元的多项式。 注5：根据上述定义，R 上的一个未定元 x 的多项式 （简称一元多项式）,只能用一种方法写成 n a 0 a1 x a n x ai R 的形式（不计系数是零的项）。
密码学数学基础第十讲 多项式环(3)
作业： 作业： 1．在Z2[x]中，设 ] f(x)= 7＋x5＋x4＋x3＋x＋1， ( )= )=x ＋ g(x)= 3＋x＋1， ( )= )=x ＋ 计算： ( ) 计算：f(x)＋g(x)，f(x)－g(x)，f(x)g(x)及用 (x)除 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )及用g( ) f(x)的商 (x)和余式 (x)。 ( )的商q( )和余式r( ) 2．写出Z2[x]/（x2＋1）的加法和乘法的运算表。 ]/（ 的加法和乘法的运算表。 写出Z ]/ ]/(x 1)上 3．在域Z2[x]/( 4＋x3＋1)上，求x3＋x＋1＋(x4＋x3＋1) 在域Z ]/( ＋ 的逆元。 的逆元。
2．环上的多项式环
定义2 定义2：设R是一个有单位元1的交换环，x是R上的一个 是一个有单位元1的交换环， 是 未定元， 未定元，a0，a1，a2，…，an∈R，称形如 ， f(x)= 0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn )=a ( )= ＋ ＋ 的表达式为R上的x的一个多项式 其中， 的一个多项式， 的表达式为R上的 的一个多项式，其中，aixi称为多项式 f(x)的i次项，ai称为 次项的系数。 次项， 称为i次项的系数 次项的系数。 ( ) 次项 如果an≠0，则称f(x)的次数为n，记做deg (x)= 。 如果 ≠0，则称 ( )的次数为 ，记做degf( )=n。 deg )= 如果在多项式f( ) 同次项的系数都相等， 如果在多项式 (x)与g(x)中，同次项的系数都相等，则称 ( ) f(x)与g(x)相等，记为 (x)= (x)。 )=g( ) ( ) ( )相等，记为f( )= 的多项式构成的集合记为R[ 环R上所有关于x的多项式构成的集合记为R[ ]。 上所有关于 的多项式构成的集合记为R[x]
高等代数环的定义与性质
一、 环的定义与基本性质（一） 环的定义:1、 定义1:交换群称为加群(Aβελ群),其运算叫做加法,记为“+”。
2、 定义2:代数系统),;A (⋅+称为环,若1)(A,+)就是加群;2)代数系统);A (⋅适合结合律;3)乘法);A (⋅对加法+的分配律成立。
3、 例子(1)),;Z (⋅+、),;Q (⋅+、),;R (⋅+、),;C (⋅+都就是环,均称为数环。
(2)Z[ι] ={α+βι | α、β∈Z,ι2=－1 },则),];i [Z (⋅+也就是数环,称之为高斯整环。
(3)设Φ就是任一数环,则Φ[ξ]关于多项式加法与乘法作成一个多项式环。
(4)Z ν={所有模ν剩余类},则),;Z (n ⋅+就是模ν剩余类环,这里[α]＋[β] = [α+β],]b []a [⋅ = [αβ].(5)设(A,＋)就是加群,规定乘法如下:,A b ,a ∈∀αβ=0,则),;A (⋅+作成一个环,称之为零环。
(二)环的基本性质:(1)0x a a x =⇒=+。
(2)a x x a -=⇒=+0。
(3)c b c a b a =⇒+=+。
(4)nb na )b a (n +=+。
(ν为整数)(5)na ma a )n m (+=+。
(μ、ν为整数)(6))na (m a )mn (=。
(μ、ν为整数)(7),A a ∈∀ 000=⋅=⋅a a 。
(8)ab )b (a b )a (-=-=-。
(9)ab )b )(a (=--。
(10)ac bc c )a b (,ac ab )c b (a -=--=-。
(11)j m i n j i n j j m i i b a b a ∑∑∑∑=====⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1111 。
(12))ab (n )nb (a b )na (==。
(ν为整数)。
(13)若环中元a 、b 满足ba ab =,则()k n k nk k n n b a C b a -=∑=+0 (14)mn n m n m n m a )a (,a a a ==⋅+。
近世代数第四章-环与域题解讲解
第四章环与域§1 环的定义一、主要容1．环与子环的定义和例子。
在例子中，持别重要的是效域上的多项式环、n阶全阵环和线性变换环，以与集M的幂集环．2．环中元素的运算规那么和环的非空子集S作成子环的充要条件：二、释疑解难1．设R是一个关于代数运算十，·作成的环．应注意两个代数运算的地位是不平等的，是要讲究次序的．所以有时把这个环记为(R，十，·)(或者就直接说“R对十，·作成一个环〞)．但不能记为R，·，十)．因为这涉与对两个代数运算所要求满足条件的不同．我们知道，环的代数运算符号只是一种记号．如果集合只有二代数运算记为 ，⊕，又R对 作成一个交换群，对⊕满足结合律且⊕对 满足左、右分配律，即就是说，在环的定义里要留意两个代数运算的顺序．2．设R对二代数运算十，·作成一个环．那么，R对“十”作成一个加群，这个加群记为(R,十)；又R对“·〞作成一个半群，这个乍群记为(R，·)．再用左、右分配律把二者联系起来就得环(R，十．·)．三、习题4．1解答1．2．3．4．5．6．7．8．证明：循环环必是交换环，并且其子环也是循环环．§4．2 环的零因子和特征一、主要容１．环的左、右零因子和特征的定义与例子．2．假设环R 无零因子且阶大于1，那么R 中所有非零元素对加法有一样的阶．而且这个一样的阶不是无限就是一个素数．这就是说，阶大于l 且无零因子的环的特征不是无限就是一个素数． 有单位元的环的特征就是单位元在加群中的阶．3．整环(无零因子的交换环)的定义和例子． 二、释疑解难 １．由教材关于零因子定义直接可知，如果环有左零因子，那么R 也必然有右零因子．反之亦然．但是应注意，环中一个元素如果是一个左零因子，那么它不一定是一个右零因子．例如，教材例l 中的元素⎪⎪⎭⎫⎝⎛0001就是一个例子．反之，一个右零因子也不一定是一个左零因子．例如，设置为由一切方阵),(00Q y x y x ∈∀⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛对方阵普通加法与乘法作成的环．那么易知⎪⎪⎭⎫⎝⎛0001是R 的一个右零因子，但它却不是R 的左零因子．2.关于零因子的定义．关于零因子的定义，不同的书往往稍有差异，关键在于是否把环中的零元也算作零因子．本教材不把零元算作零因子，而有的书也把零元算作零因子．但把非牢的零因子称做真零因子．这种不算太大的差异，读者看参考书时请留意．3．关于整环的定义．整环的定义在不同的书中也常有差异．大致有以下4种定义方法： 定义1 无零因子的交换环称为整环(这是本教材的定义方法)． 定义2 阶大于l 且无零因子的交换环，称为整环． 定义3 有单位元且无零因子的交换环，称为整环．定义4 阶大于1、有单位元且无零因子的交换环，称为整环．以上4种定义中，要求整环无零因子、交换是共同的，区别就在于是否要求有单位元和阶大于1．不同的定义方法各有利弊，不宜绝对肯定哪种定义方法好或不好．这种情况也许到某个时期会得到统一．但无论如何现在看不同参考书时应留意这种差异．本教材采用定义1的方法也有很多原因，现举一例。
6-多项式环
§ 6 多项式环我们已经有了一般环的定义，现在要认识一种特殊的环——多项式环. 这种环在数学里非常重要.设R是一个有单位元的交换环，R 是环R0 的子环，且R 包含环R0 的单位元.设n 为非负整数，R，a i R,i 0,1, ,n，则0 1 na0 a1 a R0 .n定义一个可以写成na0 a1 a a R, n为非负整数n i形式的R0 的元叫做R上的的一个多项式.a i 叫做多项式的系数.R 上的的多项式所作成的集合，用R 表示.注意到当m n 时，把所有m m m 1 na0 a1 a a0 a1 a 0 0 ，m m故当我们只考虑R 的有限多个多项式的时候，可以假定这些多项式的项数都是一样的.R 的两个元相加相乘有如下公式：对于n n n a0 a1 a b0 b1 b a0 b0 a1 b1 a b ,n n n nm n m na0 a1 a b0 b1 b c0 c1 c ,m n m n其中c a0b a1b 1 a b0 a b .k k k k i ji j k于是，R 对加法和乘法来说都是闭的.又因na a a a a a R ，0 1 n 0 1 nR是一个环. R 是环R的一个子环，且是包括R 和的最小子环.故R 叫做R 上的的多项式环.定义R中取一个元a0 a1 a n ，当a0,a1, ,a n 不全为零时，可能有在na0 a1 a 0.n如，当R时，取a0 , a1 1，则a0 a1 1 0.定义R的一个元x叫做R 上的一未定元，如果在R里不存在不全为零的元a0, a1, ,a n 使0得na0 a1 x a x 0.nR 上未定元的x的多项式（简称一元多项式式）只能用一种方法写成na a x a x a R 的形式（不计系数是零的项）.0 1 n i定义设na0 a1x a x , a 0n nR 上的一个一元多项式，那么非负整数n 叫做这个多项式的次数.多项式0 没有次数.是环对于给定的R0 ，R0 不一定含有R 的未定元.R整数环，R 包含所有a bi a, b是整数的整环.对于R0 的每一个元 a bi 来说，例2 2 , 2a b R a R，但22 2 2 2 2a b 2a a b 2a a bi a bi2 2 2 2 2a b 2a 2abi a 2 a bi b 0.定理设R是一个有单位元的交换环，则存在R上的未定元x ，从而存在R上的一元多项式R x .环证 1.利用R 作一个环P. 设P a0 ,a1, |a i R,i 0,1, ,但只有有限个a i 0 ，P 的元素a0 ,a1, 是一个无穷序列.设a0,a1, , b0,b1, P ，规定当且仅当a b ,i 0,1,i i时，a0,a1, b0 ,b1, .规定一个加法；a0,a1, b0,b1, a0 b0,a1 b1, ，P 的一个代数运算，且P 对这个加法来说作成一个加群，其零元是0,0, .这是再规定一个乘法：a0,a1 , b0,b1, c0 ,c1, ，其中c a0b a1b 1 a b0 ,k0,1, .易知这也是P 的一个代数运算，这个乘法适合k k k k交换律.下面证明，这个乘法还适合结合律，即证明a0 ,a1, b0,b1, c0 ,c1, a0,a1, b0,b1, c0,c1, .按照乘法定义，a0,a1, b0,b1, d0,d1, ，d a b ,m 0,1, .故这里m i ji j ma0 ,a1, b0 ,b1, c0 ,c1, d0,d1, c0 ,c1, e0,e1, ，这里e d c a b c a b c a b c,n 0,1, .n m k i j k i j k i j k m k n m k n i j m m k n i j m i j k n对a0,a1, b0,b1, c0,c1, 进行计算，结果也是一样的.这两个运算还适合分配律：a0,a1, b0,b1, c0,c1, a0,a1, b0 ,b1, a0 ,a1, c0,c1, .这是因为a ab bc c a a b c b cd d ，0, 1 , 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0 0, 1 1, 0, 1,这里d a b c a b a c a b a c ,k0,1, .k i j j i j i j i j i ji j k i j k i j k i j k而a0,a1 , b0,b1, e0 ,e1, ，a0,a1, c0 ,c1, f0, f1, ,e k a i b j ,k0,f k a i c j ,k 0,1, .这里i j k i j k从而a , a ,b ,b, a ,a ,c , c , e , e , f , f ,0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1e f ,e f , .0 0 1 1易知，e f a b a c d ,k 0,1, ，k k i j i j ki j k i j k故a0,a1, b0,b1, c0,c1, a0,a1, b0 ,b1, a0 ,a1, c0,c1, .因此，P 作成一个交换环.在P有如下等式：（1）a0,0,0, b0,b1, a0b0 ,a0b1, .特别地，有1,0,0, b ,b, b ,b , .0 1 0 1P有单位元1,0,0, .故2.利用P 作出一个包含R的环P.由（1）式可得（2）a,0,0, b,0,0, ab,0,0, .由假法定义（3）a,0,0, b,0,0, a b,0,0, .由（2）和（3）得R a,0,0, |a RP 的一个子环，且是环: R Ra,0,0, a是环R 与环R 间的的一个同构映射.R与P没有共同元，故R 与R在P里的补足集合P R也没有共同元，故由挖补定理，因R来代替R ，而得到一个与环P 同构且包含R的环P .我们可以用P是一个有单位元的交换环，故P也是一个有单位元的交换.且环P 与环P间的同构映射因下，P 的单位元1,0,0, 的象1（这是环R 的单位元）就是环P 的单位元.3.最后证明，P包含R 的未定元.令x 0,1,0,0, ，则x P .下面用数学归纳法证明，对任意正整数k ，有k个k（4）x (0, ,0,1,0, ).当k1时，结论是正确的.假设对于k 1（k 2）结论是正确的，那么k 1个k kx xx1 0,1,0, (0, ,0,1,0, )a b , a b , ,i j i j ij 0 i j 1其中，a i 1,i 1,0,i 0,2,3,4,，bj1, j k 1,0, j 0,1, ,k 2,k ,k 1, .故i j s a bi j1,s k,0,s 0,1, ,k 1,k 1,k 2, .于是，k个kx (0, ,0,1,0, ).设在环P 里，na0 a1x a x 0, a R ，n i则在环P 里nna0,0, a1,0, x a ,0, x 0,0, .于是，由（4）和（1）得a0,a1, ,a n,0, 0,0, .从而a0 a1 a n 0 .这就证明了x 是R上的未定元.习题解答（P109）1. 证明, 假定R是一个整环,那么R 上的一个多项式环R[x] 也是一个整环.证R!是交换环R[ x] 交换环,R 有单位元1 1是R[ x] 的单位元,R 没有零因子R[x]没有零因子n事实上， (x) 0 a x a x ,a 0f a 1 nmg x b b b m x b( ) 01x, m 0则 f (x)g(x) a b 0 0 n a n b xm m因为 R 没有零因子 ,所以 0a n bm因而 f (x)g(x) 0这样 R[ x] 是整环2． 假定 R 是模 7 的剩余类环 ,在 R[ x] 里把乘积 3 x x 2 x ([ 3]x [5] [ 4])([ 4][ 3]) 计算出来解 原式 =[5] 5 [3] x x [5] x [5] [5] x [4] x 4 x 3 [5] x [2]4 3x 53. 证明:(ⅰ) R[ 1, 2] R[ 2, 1](ⅱ) 若 x 1, x 2 , , x n 是 R 上的无关未定元 ,那么每一个 x i 都是 R 上的未定元. i 1 i 2证 （ⅰ） R[ , ] {一切 a }1 2 i 1i 2 2 1j 2 j1R[ 2, 1] { 一切 a }j 2 j1 2 1由于 a i1i 2 i1 2 i 2 1 a j 2 j1 j 2 2 j11因而 [ , ]R R[ 2, 1 ]1 2nk（ⅱ）设 0a k xink 00 0 h 0 0即 a k x x x x x1 i 1 i i 1 nk 0因为 x 1, x 2, x n 是 R 上的无关未定元 ,所以 即 x 是R 上的未定元i 4. 证明:(ⅰ) 若是 x 1, x 2 , x n 和 y 1, y 2 , y n 上的两组无关未定元 ,那么 R[ x 1,x 2, x n ] R[ y 1, y 2, y n ](ⅱ) R !上的一元多项式环 R[x] 能与它的一个真子环同构 .证(ⅰ) : ( , , ) ( , , )f x1 x x n f y y y n2 1 2根据本节定理 3 [ , , ] ~ [ , , ]R x1 x x n R y y y n2 1 2容易验证( , , ) ( , , )f1 x x x n f x x x n f1( y1, y2, y n) f2( y1, y2, y n)1 2 2 1 2这样[ , , ] [ , , ]R x1 x x n R y y y n2 1 22 2n（ⅱ）令R[ x] { 一切a a x n x }a0 1显然R[ x2 ] R[x]但x R[ x2 ] 不然的话x b2b x12m 2 2m bm x b x b x b x0 1 m这与x 是R上未定元矛盾.所以R[ x2 ] 是R[x] 上未定元显然故有（ⅰ）R[x] R[x2}这就是说, R[x2 ] 是R[x] 的真子环,且此真子环与R[ x] 同构.。
多项式环的定义
多项式环的定义设0R 是一个含有单位元01R 的可变换环。
又设R 是0R 的子环且R R ∈01，现考察0R 中含R 及 任取定元素0R ∈α的最小子环：[]()⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈==∑是非负整数n R a a a f R i ii ,αα显然每个()0100R a a a a f n n ni ii ∈+++==∑=αααα .定义 1. 如上形式的()αf 每个元素都叫做R 上关于α的一个多项式,而每个i a 都叫做该多项式()αf 的系数.下面我们希望能将[]αR 做成一个环.事实上([]αR 是0R 的一个子环) ()()∑∑====∀nj jjm i i ib g a f 0,αααα, 定义规则如下:(当n m )()()()∑=+=+nj j j jb ag f 0ααα, 必定假设 021====++n m m a a a .()(),000∑∑∑+====⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=⋅m n k k k n j jj m i i i C b a g f ααααα其中 ∑=+=kj i jik ba C又 ()()∑∑==-=-=-mi i i mi ii a a f 0ααα可知()()()()()[]ααααααR g f f g f ∈⋅-+,, ∴ []α∙R 确定是一个环. (是含R 和α的最小的子环) 定义2. 如果上方得到的环[]αR 叫做R 上的α的多项式环.显然[]αR 是0R 的一个子环,但R 中每个多项式()αf 的表达形式未必唯一.譬如,设Z R =,而R R =∈=02α. 那么 []2Z 中的零元()()2222200+-=+=α. ∴ 0的表达式不唯一.换句话说:上述定义的多项式环中会出一种现象:()02210=++++=n n a a a a f αααα ,但系数n a a a a ,,,,210 不全为零.这显然与高等代数中多项式的零多项式的定义相矛盾.于是,我们有必要对0R ∈α做如下的讨论. 定义3. 设R R ,0和α如前所示,称α为R 的一个未定元(超越元),若在R 中找不到不全为零的元素n a a a ,,,10 使()*=∈∀=++++=∑N n a a a a a n n ni ii ,022100αααα( 即002100=====⇔=∑=n ni ii a a a a a α) .否则称α为R 上的代数元. 习惯上,记R 上的未定元为x .有上述的理论做“底子”,现可以定义多项式()x f 的问题.定义4. 设()()0210≠++++=n nn a x a x a x a a f α为环R 上的一元多项式.那么 非负整数n 叫做多项式()a f 的次数.若()0=x f ,记为没有()αf 没有次数。
多项式环
§6 多项式环我们已经有了一般环的定义，现在要认识一种特殊的环——多项式环.这种环在数学里非常重要.设0R 是一个有单位元的交换环，R 是环0R 的子环，且R 包含环0R 的单位元. 设n 为非负整数，0R α∈，,0,1,,i a R i n ∈=，则01010.n n a a a R ααα+++∈定义 一个可以写成()01,n n i a a a a R n αα+++∈为非负整数形式的0R 的元叫做R 上的α的一个多项式.i a 叫做多项式的系数.把所有R 上的α的多项式所作成的集合，用[]R α表示.注意到当m n <时，1010100m m m n m m a a a a a a αααααα++++=++++++，故当我们只考虑[]R α的有限多个多项式的时候，可以假定这些多项式的项数都是一样的.对于[]R α的两个元相加相乘有如下公式：()()()()()01010011,n n n n n n n aa ab b b a b a b a b αααααα+++++++=++++++()()010101,m n m n m n m n aa ab b bc c c αααααα++++++++=+++其中0110.k k k k i ji j kc a b a b a b a b -+==+++=∑于是，[]R α对加法和乘法来说都是闭的.又因()[]0101n n n a a a a a a R ααααα-+++=----∈，故[]R α是一个环.[]R α是环0R 的一个子环，且是包括R 和α的最小子环. 定义 []R α叫做R 上的α的多项式环. 在[]R α中取一个元01n a a a αα+++，当01,,,n a a a 不全为零时，可能有010.n n a a a αα+++=如，当R α∈时，取01,1a a α==-，则()0110.a a ααααα+=+-=-=定义 0R 的一个元x 叫做R 上的一未定元，如果在R 里不存在不全为零的元01,,,n a a a 使得010.n n a a x a x +++=R 上未定元的x 的多项式（简称一元多项式式）只能用一种方法写成()01n n i a a x a x a R +++∈的形式（不计系数是零的项）.定义 设01,0n n n a a x a x a +++≠是环R 上的一个一元多项式，那么非负整数n 叫做这个多项式的次数.多项式0没有次数. 对于给定的0R ，0R 不一定含有R 的未定元.例 R 整数环，0R 包含所有(),a bi a b +是整数的整环.对于0R 的每一个元a bi α=+来说，22,2a b R a R +∈-∈，但()()()()()()22222222222222220.ab a a b a a bi a bi a b a abi a abi b αα++-+=++-+++=+--++-=定理 设R 是一个有单位元的交换环，则存在R 上的未定元x ，从而存在R 上的一元多项式环[].R x证 1.利用R 作一个环.P 设(){}01,,|,0,1,,0i i P a a a R i a =∈=≠但只有有限个，P 的元素()01,,a a 是一个无穷序列.设()()0101,,,,,a a b b P ∈，规定当且仅当,0,1,i i a b i==时，()()0101,,,,.a a b b =规定一个加法；()()()01010011,,,,,,a a b b a b a b +=++，这是P 的一个代数运算，且P 对这个加法来说作成一个加群，其零元是()0,0,.再规定一个乘法：()()()010101,,,,,,a a b b c c =，其中0110,0,1,.k k k k c a b a b a b k -=+++=易知这也是P 的一个代数运算，这个乘法适合交换律.下面证明，这个乘法还适合结合律，即证明()()()()()()010*********,,,,,,,,,,,,.a a b b c c a a b b c c =⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦按照乘法定义，()()()010101,,,,,,a a b b d d =，这里,0,1,.m i ji j md a b m +===∑故()()()()()()010*********,,,,,,,,,,,,a a b b c c d d c c e e ==⎡⎤⎣⎦，这里,0,1,.n m k i j k i j k i j k m k nm k n i j m m k n i j m i j k ne d c a b c a b c a b c n +=+=+=+=+=++=⎛⎫⎛⎫===== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑∑∑∑对()()()010101,,,,,,a a b b c c ⎡⎤⎣⎦进行计算，结果也是一样的.这两个运算还适合分配律：()()()()()()()01010101010101,,,,,,,,,,,,,,.a a b b c c a a b b a a c c +=+⎡⎤⎣⎦这是因为()()()()()()01010101001101,,,,,,,,,,,,a a b b c c a a b c b c d d +=++=⎡⎤⎣⎦，这里()(),0,1,.k ijj iji j i ji ji j ki j ki j ki j kd a bc a ba c ab ac k +=+=+=+==+=+=+=∑∑∑∑而()()()010101,,,,,,a a b b e e =，()()()010101,,,,,,,a a c c f f =这里,0,,0,1,.k i jki ji j ki j ke a b k fa c k +=+=====∑∑从而()()()()()()()0101010101010011,,,,,,,,,,,,,,.a ab b a ac c e e f f e f e f +=+=++易知，,0,1,k k i jijk i j ki j ke f a b a cd k +=+=+=+==∑∑，故()()()()()()()01010101010101,,,,,,,,,,,,,,.a a b b c c a a b b a a c c +=+⎡⎤⎣⎦因此，P 作成一个交换环.在P 有如下等式： （1） ()()()0010001,0,0,,,,,.a b b a b a b =特别地，有()()()01011,0,0,,,,,.b b b b =故P 有单位元()1,0,0,.2.利用P 作出一个包含R 的环P .由（1）式可得 （2） ()()(),0,0,,0,0,,0,0,.a b ab = 由假法定义 （3） ()()(),0,0,,0,0,,0,0,.a b a b +=+ 由（2）和（3）得(){},0,0,|R a a R =∈是环P 的一个子环，且():,0,0,R Ra aϕ→是环R 与环R 间的的一个同构映射.因R 与P 没有共同元，故R 与R 在P 里的补足集合\P R 也没有共同元，故由挖补定理，我们可以用R 来代替R ，而得到一个与环P 同构且包含R 的环P .因P 是一个有单位元的交换环，故P 也是一个有单位元的交换.且环P 与环P 间的同构映射下，P 的单位元()1,0,0,的象1（这是环R 的单位元）就是环P 的单位元.3.最后证明，P 包含R 的未定元.令()0,1,0,0,x =，则x P ∈.下面用数学归纳法证明，对任意正整数k ，有（4） (0,,0,1,0,).k k x =个当1k =时，结论是正确的.假设对于1k -（2k ≥）结论是正确的，那么()11010,1,0,(0,,0,1,0,),,,k k k i j i j i j i j x xx a b a b --+=+===⎛⎫= ⎪⎝⎭∑∑个其中，1,1,0,0,2,3,4,i i a i =⎧=⎨=⎩，1,1,0,0,1,,2,,1,.j j k b j k k k =-⎧=⎨=-+⎩故1,,0,0,1,,1,1,2,.i j i j s s k a b s k k k +==⎧=⎨=-++⎩∑于是，(0,,0,1,0,).k k x =个设在环P 里，()010,n n i a a x a x a R +++=∈，则在环P 里()()()()01,0,,0,,0,0,0,.n n a a x a x +++=于是，由（4）和（1）得()()01,,,,0,0,0,.n a a a =从而010n a a a ==+=.这就证明了x 是R 上的未定元.习题解答（P109）1. 证明, 假定R 是一个整环,那么R 上的一个多项式环][x R 也是一个整环. 证 R !是交换环][x R ⇒交换环, R 有单位元11⇒是][x R 的单位元, R 没有零因子][x R ⇒没有零因子事实上，0,)(10≠++=a x a x a a x f nn0,)(10≠++=m mm b x b x b b x g则mn m n x b a b a x g x f +++= 00)()(因为R 没有零因子,所以0≠m n b a 因而0)()(≠x g x f 这样][x R 是整环2． 假定R 是模7的剩余类环,在][x R 里把乘积 ])3[]4])([4[]5[]3([23+--+x x x x 计算出来解 原式=]2[]5[]4[]5[]5[]5[]3[]5[345345++++=-++-x x x x x x x x3. 证明:(ⅰ) ],[],[1221ααααR R =(ⅱ) 若n x x x ,,,21 是R 上的无关未定元,那么每一个i x 都是R 上的未定元. 证 （ⅰ）=],[21ααR {一切}211221i i i i aαα∑{],[12=ααR 一切}112212j j j j a αα∑由于=∑211221i i i i aαα112212j j j j a αα∑因而=],[21ααR ],[12ααR（ⅱ）设00=∑=nk kik xa即∑=+-n k n i h i i k x x x x x a 0010101因为n x x x ,,21是R 上的无关未定元,所以即i x 是R 上的未定元4. 证明:(ⅰ) 若是n x x x ,,21和n y y y ,,21上的两组无关未定元,那么],,[],,[2121n n y y y R x x x R ≅(ⅱ) R !上的一元多项式环][x R 能与它的一个真子环同构. 证 (ⅰ)),,(),,(:2121n n y y y f x x x f →φ根据本节定理3 ],,[~],,[2121n n y y y R x x x R容易验证),,(),,(212211n n x x x f x x x f ≠),,(),,(212211n n y y y f y y y f ≠⇒ 这样],,[],,[2121n n y y y R x x x R ≅（ⅱ）令{][=x R 一切}2210nn x a x a a +++显然][][2x R x R ⊂但][2x R x ∉不然的话m m m m x b x b x b x b x b b x 22102210 ++-⇒++=这与x 是R 上未定元矛盾. 所以][2x R 是][x R 上未定元显然 故有（ⅰ）}[][2x R x R ≅这就是说,][2x R 是][x R 的真子环,且此真子环与][x R 同构.。
高等代数10群,环和域简介
定义 或域) 设R和R’都是环 或域 .f:R→R’ 是一个映射. 如果对于R 和 都是环(或域 →R 是一个映射. 如果对于R 中任意元素a,b,都有 中任意元素a,b,都有 a,b, f(a+b)=f(a)+f(b), f(ab)=f(a)f(b), 那么就说,f是一个同态映射.如果f还是一个双射, 那么就说,f是一个同态映射.如果f还是一个双射,那么就 ,f是一个同态映射 是一个同构映射,这时就说环(或域)R )R与 同构. 说f是一个同构映射,这时就说环(或域)R与R’同构.
定理10.3.1 定理10.3.1 设R是一个环. 是一个环. (i)对于任意 对于任意a (i)对于任意a1,a2,……,an, b∈R, b(a1+a2+……+an)=ba1+ba2+……ban; (a1+a2+……+an)b=a1b+a2b+……anb. (ii)对于任意a,b,c∈R， (ii)对于任意a,b,c∈R， 对于任意a,b,c∈R a(ba(b-c)=ab=ac. (b-c)a=ba(b-c)a=ba-ca. (iii)对于任意 对于任意a∈R, (iii)对于任意a∈R, 0a=a0=0. (iv)对于任意 对于任意a,b∈R, (iv)对于任意a,b∈R, a)b=a(-b)=(-a)b=a(-b)=-(ab). a)((-a)(-b)=ab.
定义2 定义2 若是在一个环R里 若是在一个环 里， a≠0,b≠0但ab=0, 但 我们就说， 是 的一个左零因子 的一个左零因子， 是 的一个右零因子 的一个右零因子. 我们就说，a是R的一个左零因子，b是R的一个右零因子 一个环的左零因子和右零因子都叫这个环的零因子. 一个环的左零因子和右零因子都叫这个环的零因子.
高等代数域、环、群的定义与简单性质
. . . .... .... .... . . . . .... .... .... . .
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域的定义
定义 设 F 是至少包含两个元的集合，在 F 中有一个代数运算，称作加 法；这就是说，对 F 中任意两个元 a, b，有 F 中唯一一个元 c 与之 对应，称为 a 与 b 的和，并记作 c = a + b. 在 F 中还有另一个代数 运算叫做乘法，即对 F 中任意两个元 a, b，在 F 中都有唯一的一个 元 d 与之对应，称为 a 与 b 的积，并记为 d = ab. 如果 F 的这两 个运算还满足
这时称 R 为一个环.
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环的定义
把整数环、多项式环、n 阶方阵的运算的共同点抽象出来，就是
定义 设 R 是非空集合，在 R 上有两个代数运算，分别称为加法和乘法. 如果加法与乘法满足
I 加法交换律 a + b = b + a，∀a, b ∈ R. II 加法结合律 (a + b) + c = a + (b + c)，∀a, b, c ∈ R. III R 中有一个零元 0 满足 a + 0 = a，∀a ∈ R. IV 对 R 中任一元 a，有 R 的元 b，使得 a + b = 0，b 称为 a 的一个负元.
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域的定义
V 乘法交换律 ab = ba，∀a, b ∈ F. VI 乘法结合律 (ab)c = a(bc)，∀a, b, c ∈ F.
这时我们称 F 为一个域.
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密码学数学基础第十讲 多项式环3
解：(3x＋4＋P)＋(5x－6＋P)=8x－2＋P， (3x＋4＋P)(5x－6－P)=2x＋6＋P。
例6：设域Z3[x]/(x3＋2x＋1)={a0＋a1x＋a2x2＋(x3＋2x＋ 1)|aiZ3}，求x2＋(x3＋2x＋1)的逆元。
定义3：设R是有单位元1的交换环，环（R[x]，＋，·）称 为环R上关于x的多项式环。
定理3：设R是有单位元1的交换环，x为R上的一个未定元；
（1）R的零元0就是R[x]的零元； （2）R的单位就是R[x]的单位； （3）若R是整环，则R[x]也是整环。
例1：设f(x)=2x2＋x＋2，g(x)=x＋2Z3[x]， 计算：f(x)＋g(x)，f(x)g(x)。
练习：在Z10={0，1，2，…，9}中，求f(x)=x2＋7x＋2的根。＋a2x2＋…＋anxn是含有未定元x的多项式， 其中系数ai取自某一个域F。
用F[x]表示系数在域F上的全体多项式的集合。
定理4：F[x]对多项式加法和乘法做成一个整环。
命题1：设F是一个域，对于任意 f(x)，g(x)F[x]，若 g(x)≠0，则必定存在唯一的q(x)，r(x)F[x]，使得 f(x)=q(x)g(x)＋r(x)，其中或者r(x)=0，或者deg r(x)＜ deg g(x)。
定理1：设R是一个有单位元的交换环，则一定存在环R上 的一个未定元x。
2．环上的多项式环
定义2：设R是一个有单位元1的交换环，x是R上的一个 未定元，a0，a1，a2，…，anR，称形如
f(x)=a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn 的表达式为R上的x的一个多项式，其中，aixi称为多项式 f(x)的i次项，ai称为i次项的系数。 如果an≠0，则称f(x)的次数为n，记做degf(x)=n。
数学基础(多项式环)
• [Z2(x)]/x3+x+1 is a Field
Zhijun Li S1034040/Autumn07/HIT 63Galois Field
• Definition: Galois field = (S, +, ⋅) – S = F[x]/p(x) – F is field ZN (N is prime) – + is addition in F – ⋅ is multiplication modulo p(x) – p(x) is irreducible • The Galois field over ZN[x]/p(x) is denoted as GF(Nn), when n = deg p(x)
• S is group over multiplication mod p(x)
– 1 is e and the inverse of a∈S is exist – Example: (x2+1)x = x3+x ≡ x+1+x mod x3+x+1 = 1 – Note: Can use Extended Euclidean Algorithm to find
x⋅f(x) ⇔ {02}⋅{?}=
Zhijun Li
(b6b5b4b3b2b1b00)
(b6b5b4b3b2b1b00) if b7=0
(b6b5b4b3b2b1b00) ⊕ (00011011) if b7=1
S1034040/Autumn07/HIT 68
数学基础
多项式环
域元素的多项式表达
Polynomial Ring
• Definition: If R is a commutative ring, then a polynomial in x over the ring R is an expression of the form f(x)=anxn+an-1xn-1+ … + a1x+a0 where each ai∈R and n≥0 • Note: If R is a commutative ring, the polynomial ring R[x] is the ring formed by the set of all polynomials in x having coefficients from R
多项式环
第 23 讲
第三章 环与域
§8 多项式环 (Rings of polynomials )
Ck
k i j
k 0,1,2, a b
i i
可以验证:
P , , 做成一个环,其中
P 是交换环 ( R 是可换的)； P 中有单位元 0,0,0,, ( 1 1R )。
利用 p ,构造一个能包含 R 的扩环 R0 .
(ⅰ) P 中的零元为 0,0,0,, (这理 0 R )； ( ⅱ) ( ⅲ) (2) 设 R
a1 a1 ,0,0,
an an ,0,0,
0 0,0,0,
由(*)得
a0 ,0,0, a1 ,0,0,x an ,0,0,x n 0,0,
利用 P 中元素乘法的定义和 x 的特点,上式变为
a0 , a1 , a2 , 0,0,0, ,所以 a0 a1 a2 an 0 ，
i1 1 in n
(
i1in
a
i1in
in bi1in 1i1 n
i1in
a
i1i2 in
i )( 1i n
1 n
j1 jn
1 n
b
j1 jn
1j nj )
1 n
其中
k1kn
C
k k k k 1 n
1 n
Ck1kn
im jm km
剩余类环上的多项式环及因式分解和可约性
2014届本科毕业生毕业论文题目=剩余类环巳2上的多项式环及因式分解和可约性学院：专业班级学生姓名：指导教师：答辩日期：大学教务处1引言 (1)2群，环的相关理论....................................... 错误!未定义书签。
2.1交换群，环的定义..................................... 错误!未定义书签。
2.2多项式环 (2)2. 3剩余类环和模为2的剩余类环的证明 (3)2.4剩余类环上的多项式环 (5)3 剩余类环上的因式分解及可约性 (5)3.1模为2的剩余类环上多项式环的的因式分解，可约不可约性 (5)4结论 (10)附录 (11)参考文献 (11)致谢 (12)剩余类环5上的多项式环及因式分解和可约性摘要：给出群，交换群，环的定义，可逆元的判定；证明剩余类环Z2为环，构造剩余类环z2上的多项式环，给出剩余类环z2上的多项式环的因式分解及判断可约性。
关键字：环；剩余类环；剩余类环上的多项式环；多项式环的因式分解；多项式环的可约性。
Factorization of polynomial ring and the residue class ringZ2 decomposition and reducibilityAbstract: This paper presents group, abelian groups, rings, determination of invertible elements; prove the residue class ring ring, polynomial ring over residue class rings, given the residue class ring ring of polynomials factorization and determine the reducibility・Keywords: ring； residue class ring； polynomial ring over residue class rings；the ring of polynomials factorization； polynomial ring reducibility・1引言19世纪以及整个20世纪里，人们建立并发展了众多的代数理论，其中对群，环，域等代数结构的研究获得了巨大的成功，使得代数成为20世纪最活跃的数学学科。
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解：x2－1在Z8内的所有根为：1，3，5，7。
定义4 如果R上多项式f(x)在R内无解，则称多项式f(x)在 R上不可约。
二．域上的多项式环 设f(x)=a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn是含有未定元x的多项式，
其中系数ai取自某一个域F，则称f(x)是域F上的多项式。
用F[x]表示系数在域F上的全体多项式的集合。 定理3：F[x]对多项式加法和乘法做成一个整环。
得的余式。
例3：设f(x)=x3＋x2＋7，g(x)=2x2＋7，分别在Q[x]和 Z11[x]中，求用g(x)除f(x)的商q(x)和余式r(x)。
例4：在F2上 f(x)=
x8 x4 x3 x 1，g(x)= x7 x5 x4 x2 x
u v 0 1 q
求u(x)和v(x)，使得(f(x)，g(x) )=u(x)f(x)+v(x)g(x)。
例4：设Z[x]={a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn | aiZ，n≥0为整 数}，则Z[x]是系数为整数的一切x的多项式所组成的集
合，Z[x]关于多项式的加法与乘法做成一个环。
一般地，设A是一个数环，A[x]表示系数属于A的一
P
P P P
P
1＋ P x＋ P 1 ＋ x＋ P
P
x＋ P 1 ＋ x＋ P 1＋ P
P
1 ＋ x＋ P 1＋ P x＋ P
作业： 1．在Z2[x]中，设f(x)=x7＋x5＋x4＋x3＋x＋1，g(x)=x3＋x＋ 1，计算：f(x)＋g(x)，f(x)－g(x)，f(x)g(x)及用g(x)除f(x) 的商q(x)和余式r(x)。 2．在Z10={0，1，2，…，9}中，求f(x)=2x2＋4x＋4的根。 3．写出Z2[x]/（x2＋1）的加法和乘法的运算表。
如果an≠0，则称f(x)的次数为n，记做degf(x)=n。
如果在多项式f(x)与g(x)中，同次项的系数都相等，则称 f(x)与g(x)相等，记为f(x)=g(x)。 环R上所有关于x的多项式构成的集合记为R[x]。
设R是有单位元1的交换环，多项式f(x)=a0＋a1x＋a2x2 ＋…＋anxn，g(x)=b0＋b1x＋b2x2＋…＋bmxm，其中m≥n， a0，a1，…，anR， b0，b1，…，bmR； 规定多项式加法： f(x)＋g(x)=(a0＋b0)＋(a1＋b1)x＋…＋(an＋bn)xn＋bn＋1xn＋1 ＋…＋bmxm。 规定多项式乘法： f(x)×g(x)=a0b0＋(a1b0＋a0b1)x＋(a2b0＋a1b1＋a0b2)x2 ＋…(akb0＋ak－1b1＋…＋a0bk)xk＋…＋anbmxm＋n
命题1：设F是一个域，对于任意 f(x)，g(x)F[x]，若g(x)≠0， 则必定存在唯一的q(x)，r(x)F[x]，使得 f(x)=q(x)g(x)＋ r(x)，其中或者r(x)=0，或者deg r(x)＜deg g(x)。 q(x)称为用g(x)去除f(x)所得的商，r(x)称为用g(x)去除f(x)所
f(x)= a0＋a1x＋…＋anxnF[x]，其中n=degf(x)＞0，I=
（f(x)），则多项式商环 F[x]/(f(x))={b0＋b1x＋…＋bn－1xn－1＋I|b0,b1,…,bn－1F}。
例5：写出Z2[x]/（x2＋x＋1）的加法和乘法的运算表。 解：令P=(x2＋x＋1)，Z2[x]/P={a0＋a1x＋P|a0， a1Z2}={P，1＋P，x＋P，1＋x＋P}；加法和乘法的 运算如下表。
x8 x4 x3 x 1 x 7 x5 x 4 x 2 x x 6 x5 x 4 x 2 x 1 x5 x3 x 2 x 1 x2 x
1ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1 0
x
x 1 x 1
x
x2 x 1 x 6 x5 x 4 x3
x3 x 1 x 3 x 2 1
例1：设f(x)=2x2＋x＋2，g(x)=x＋2Z3[x]，计算：f(x)
＋g(x)，f(x)g(x)。 解：f(x)＋g(x)=2x2＋2x＋1， f(x)g(x)=2x3＋2x2＋x＋1。
多项式的根
定义3：设R是有单位元1的交换环，f(x)R[x]，称元素 rR是多项式f(x)的一个根，如果f(r)=0。 例2：求模8剩余类环Z8={0，1，2，…，7}上2次多项式 x2－1在Z8内的所有根。
＋ P
P P
1＋ P 1＋ P
x＋ P x＋ P
1 ＋ x＋ P 1 ＋ x＋ P
1＋P x＋ P
1＋P x＋ P
1 ＋ x＋ P P 1 ＋ x＋ P P
x＋ P 1＋ P
x＋ P
1＋ P P
1 ＋ x ＋ P 1 ＋ x＋ P
·
P
1＋ P
x＋ P
1 ＋ x＋ P
P
1＋ P x＋ P 1 ＋ x＋ P
定理1：设R是有单位元1的交换环，则R[x]对多项式加法 和乘法做成一个有单位元1的交换环。 定义2：设R是有单位元1的交换环，环（R[x]，＋，· ）称 为环R上关于x的多项式环。 定理2：设R是有单位元1的交换环，x为R上的一个未定元，
（1）R的零元0就是R[x]的零元； （2）R[x]的单位就是R的单位； （3）若R是整环，则R[x]也是整环。
第十讲 多项式环
教师：李艳俊
本讲内容
一、环上多项式环
二、域上多项式环
三、域上多项式商环
一．环上多项式环
定义1：设R是一个有单位元1的交换环，x是R上的一个未 定元，a0，a1，a2，…，anR，称形如f(x)=a0＋a1x＋a2x2 ＋…＋anxn的表达式为R上的x的一个多项式，其中，aixi称 为多项式f(x)的i次项，ai称为i次项的系数。
v( x) x6 x5 x4 x3
练习：求u(x)。
三．域上的多项式商环
在域F上多项式环F[x]中，任意取定f(x)F[x]，则
I={g(x)f(x)|g(x)F[x]}是F[x]的理想。
定理4：设F是一个域，则环F[x]的每个理想都是一个 主理想。 命题2：在域F上多项式环F[x]中，任意取定一个多项式