第十讲 域上多项式环

得的余式。
例3：设f(x)=x3＋x2＋7，g(x)=2x2＋7，分别在Q[x]和 Z11[x]中，求用g(x)除f(x)的商q(x)和余式r(x)。
例4：在F2上 f(x)=
x8 x4 x3 x 1，g(x)= x7 x5 x4 x2 x
u v 0 1 q
求u(x)和v(x)，使得(f(x)，g(x) )=u(x)f(x)+v(x)g(x)。
例1：设f(x)=2x2＋x＋2，g(x)=x＋2Z3[x]，计算：f(x)
＋g(x)，f(x)g(x)。 解：f(x)＋g(x)=2x2＋2x＋1， f(x)g(x)=2Βιβλιοθήκη Baidu3＋2x2＋x＋1。
多项式的根
定义3：设R是有单位元1的交换环，f(x)R[x]，称元素 rR是多项式f(x)的一个根，如果f(r)=0。 例2：求模8剩余类环Z8={0，1，2，…，7}上2次多项式 x2－1在Z8内的所有根。
v( x) x6 x5 x4 x3
练习：求u(x)。
三．域上的多项式商环
在域F上多项式环F[x]中，任意取定f(x)F[x]，则
I={g(x)f(x)|g(x)F[x]}是F[x]的理想。
定理4：设F是一个域，则环F[x]的每个理想都是一个 主理想。 命题2：在域F上多项式环F[x]中，任意取定一个多项式
如果an≠0，则称f(x)的次数为n，记做degf(x)=n。
如果在多项式f(x)与g(x)中，同次项的系数都相等，则称 f(x)与g(x)相等，记为f(x)=g(x)。 环R上所有关于x的多项式构成的集合记为R[x]。
设R是有单位元1的交换环，多项式f(x)=a0＋a1x＋a2x2 ＋…＋anxn，g(x)=b0＋b1x＋b2x2＋…＋bmxm，其中m≥n， a0，a1，…，anR， b0，b1，…，bmR； 规定多项式加法： f(x)＋g(x)=(a0＋b0)＋(a1＋b1)x＋…＋(an＋bn)xn＋bn＋1xn＋1 ＋…＋bmxm。 规定多项式乘法： f(x)×g(x)=a0b0＋(a1b0＋a0b1)x＋(a2b0＋a1b1＋a0b2)x2 ＋…(akb0＋ak－1b1＋…＋a0bk)xk＋…＋anbmxm＋n
第十讲 多项式环
教师：李艳俊
本讲内容
一、环上多项式环
二、域上多项式环
三、域上多项式商环
一．环上多项式环
定义1：设R是一个有单位元1的交换环，x是R上的一个未 定元，a0，a1，a2，…，anR，称形如f(x)=a0＋a1x＋a2x2 ＋…＋anxn的表达式为R上的x的一个多项式，其中，aixi称 为多项式f(x)的i次项，ai称为i次项的系数。
P
P P P
P
1＋ P x＋ P 1 ＋ x＋ P
P
x＋ P 1 ＋ x＋ P 1＋ P
P
1 ＋ x＋ P 1＋ P x＋ P
作业： 1．在Z2[x]中，设f(x)=x7＋x5＋x4＋x3＋x＋1，g(x)=x3＋x＋ 1，计算：f(x)＋g(x)，f(x)－g(x)，f(x)g(x)及用g(x)除f(x) 的商q(x)和余式r(x)。 2．在Z10={0，1，2，…，9}中，求f(x)=2x2＋4x＋4的根。 3．写出Z2[x]/（x2＋1）的加法和乘法的运算表。
例4：设Z[x]={a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn | aiZ，n≥0为整 数}，则Z[x]是系数为整数的一切x的多项式所组成的集
合，Z[x]关于多项式的加法与乘法做成一个环。
一般地，设A是一个数环，A[x]表示系数属于A的一
x8 x4 x3 x 1 x 7 x5 x 4 x 2 x x 6 x5 x 4 x 2 x 1 x5 x3 x 2 x 1 x2 x
1
1 0
x
x 1 x 1
x
x2 x 1 x 6 x5 x 4 x3
x3 x 1 x 3 x 2 1
f(x)= a0＋a1x＋…＋anxnF[x]，其中n=degf(x)＞0，I=
（f(x)），则多项式商环 F[x]/(f(x))={b0＋b1x＋…＋bn－1xn－1＋I|b0,b1,…,bn－1F}。
例5：写出Z2[x]/（x2＋x＋1）的加法和乘法的运算表。 解：令P=(x2＋x＋1)，Z2[x]/P={a0＋a1x＋P|a0， a1Z2}={P，1＋P，x＋P，1＋x＋P}；加法和乘法的 运算如下表。
解：x2－1在Z8内的所有根为：1，3，5，7。
定义4 如果R上多项式f(x)在R内无解，则称多项式f(x)在 R上不可约。
二．域上的多项式环 设f(x)=a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn是含有未定元x的多项式，
其中系数ai取自某一个域F，则称f(x)是域F上的多项式。
用F[x]表示系数在域F上的全体多项式的集合。 定理3：F[x]对多项式加法和乘法做成一个整环。
命题1：设F是一个域，对于任意 f(x)，g(x)F[x]，若g(x)≠0， 则必定存在唯一的q(x)，r(x)F[x]，使得 f(x)=q(x)g(x)＋ r(x)，其中或者r(x)=0，或者deg r(x)＜deg g(x)。 q(x)称为用g(x)去除f(x)所得的商，r(x)称为用g(x)去除f(x)所
＋ P
P P
1＋ P 1＋ P
x＋ P x＋ P
1 ＋ x＋ P 1 ＋ x＋ P
1＋P x＋ P
1＋P x＋ P
1 ＋ x＋ P P 1 ＋ x＋ P P
x＋ P 1＋ P
x＋ P
1＋ P P
1 ＋ x ＋ P 1 ＋ x＋ P
·
P
1＋ P
x＋ P
1 ＋ x＋ P
P
1＋ P x＋ P 1 ＋ x＋ P
定理1：设R是有单位元1的交换环，则R[x]对多项式加法 和乘法做成一个有单位元1的交换环。 定义2：设R是有单位元1的交换环，环（R[x]，＋，· ）称 为环R上关于x的多项式环。 定理2：设R是有单位元1的交换环，x为R上的一个未定元，
（1）R的零元0就是R[x]的零元； （2）R[x]的单位就是R的单位； （3）若R是整环，则R[x]也是整环。