不等式恒成立求参数的取值范围

不等式恒成立求参数的取值范围

武汉市第四十九中学 李清华

邮政编码；430080

一、 教学目标

1、 知识目标；掌握不等式恒成立问题求参数的范围的求解方法并会运用

2、 能力目标；培养学生分析问题解决问题的能力

3、

情感目标；优化学生的思维品质

二、 教学重难点

1、教学的重点；不等式恒成立问题求参数的范围的求解方法并会运用

2、教学的难点；不等式恒成立问题求参数的范围的求解方法的选择 三、 教学方法：高三复习探究课：学生研讨探究----学生归纳小结-----学生巩固

练习----学生变式探究---学生总结 四、 教学过程

1、 引人 高三数学复习中的不等式恒成立问题，涉及到函数的性质、图象, 渗透着换元、化归、数形结合、函数方程等思想方法，有利于考查学生的综合解题能力，因此备受命题者的青睐，也成为历年高考的一个热点。我们今天这堂课来研究不等式恒成立求参数的取值范围问题的求解方法。引入课题

2、新课 下面我们来看例1例1、对一切实数x ]1,1[-∈，不等式

a x a x 24)4(2-+-+＞0恒成立，求实数a 的取值范围（由学生完成）

由一个基本题得到不等式恒成立问题求参数的范围的求解方法 解法一；分离参数 由原不等式可得：a(x-2) > -x 2+4x-4 ， 又因为x ∈[-1，1] ，x-2∈[-3，-1] a<2-x

又因为x∈[-1，1]，所以a<1.

解法二；分类讨论、解不等式

（x-2）[x-(2-a)]>0

当a=0时不等式恒成立

当a<0 时x>2-a 或x<2 不等式恒成立

当a>0时x>2 或x<2-a 所以2-a>1 即a<1

所以a<1时不等式恒成立

解法三；构造函数求最值

设f(x)=x2+(a-4)x+4-2a

当(4-a)/2∈[-1，1]，即a∈[2，6]时

-a2<0 不成立，舍弃；

当a>6时，f(-1)=1-a+4+4-2a>0

a<3 不成立，舍弃；

当a<2时，f(1)=1+a-4+4-2a=1-a>0 a<1

综上得：a<1

解法四；构造方程用判别式韦达定理根的分布

设x2+(a-4)x+4-2a=0

方程无实根或有两实根两根小于-1或两根大于1

△=(a-4)2-4(4-2a)=a2≥0

所以1-(a-4)+4-2a>0且(4-a)/2<-1 或1+(a-4)+4-2a>0 且(4-a)/2>16且a<3 或a<1且a<2, 所以a<1

解法五；数形结合（用动画来演示

a(x-2)>-x 2+4x-4 设y=a(x-2) 和 y=-x 2+4x-4 分别作两函数的图象

当x ∈[-1，1]时，总有y=a(x-2)的图象 在y=-x 2+4x-4图象的上方 由图象可得 a<1 归纳总结（由老师板书）

1、如果作图较易，也可用数形结合。

2、分离参数；转化为f(x)≤a 或f(x) ≥ a(x ∈D)

恒成立.即f(x)max (x ∈D)≤a;或f min (x) ≥a3、解不等式利用集合间子集关系。 4、分类讨论

5、构造函数求最值。

6、构造方程用判别式、韦达定理、根的分布。 老师进行补充说明用什么方法求解要看题意例题1中用数形结合、参数分离、解不等式较为简单。这是我们平时解这类题时须要积累的东西。用最简单的方法求解出正确的结果就是最好的方法。下面看练习1。 3、练习1探究思辨 (2006年,上海卷,理,12)

三个同学对问题“关于x 的不等式x 2+25+|x 3-5x 2|≥ax 在[1,12]上恒成立，求实数a 的取值范围”提出各自的解题思路．

甲说：“只须不等式左边的最小值不小于右边的最大值”．

乙说：“把不等式变形为左边含变量x 的函数，右边仅含常数，求函数的最值”．

丙说：“把不等式两边看成关于x 的函数，作出函数图像”．

参考上述解题思路，你认为他们所讨论的问题的正确结论，即a 的取值范围是

【分析及解】关键在于对甲，乙，丙的解题思路进行思辨，这一思辨实际上是函数思想的反映.

设()()232255,f x x x x g x ax =++-=.

甲的解题思路是对于[][]121,12,1,12x x ∈∈,若()()12f x g x ≥恒成立,求a 的取值范围.与题目[]1,12x ∈,()()f x g x ≥恒成立,求a 的取值范围的要求不一致.因而, 甲的解题思路不能解决本题.

按照丙的解题思路需作出函数()()232255,f x x x x g x ax =++-=的图象,然而,函数()f x 的图象并不容易作出.

由乙的解题思路,本题化为

()

f x a x

≥在[]1,12x ∈上恒成立,等价于[]1,12x ∈时, ()min

f x a x ⎡⎤≥⎢⎥⎣⎦成立.

由()25

5f x x x x x x

=++-在[]51,12x =∈时,有最小值10,于是,10a ≤. 练习2、

（07福州，21）已知两个函数f （x ）=7x 2-28x-c ，g （x ）=2x 3+4x 2-40x 若对任意x ∈[-3,3]，都有f （x ）≤g （x ）成立，求实数c 的取值范围；解：设h （x ）=g （x ）-f （x ）=2x 3-3x 2-12x+c 则h ’（x ）=6x 2-6x-12 =6(x+1)(x-2)， 由h ’（x ）=0得，x=-1或x=2.

当x ∈[-3,3]，h min (x)=h(-3)=c-45，不等式f （x ）≤g （x ）在[-3,3]上恒成立，等价于h min (x)≥0，

∴c-45≥0，即c ≥45，∴c 的取值范围为[45，+∞]变式1、若对任意的x 1∈[-3,3]，

x -3 (-3,-1-1 (-1,2) 2 (2,3) 3

h’

+

0 -

0 +

h （x ） c-4

↑

C+

↓ c-2

↑

c-9