角动量与角动量定理
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L rmv mr2
方向 垂直于圆面
② 质点作匀速直线运动时，角 动量守恒。
L rmv sin mvd
方向始终垂直纸面向外
r L
r pr r
O
Or
r
d
pr
③ 角动量与参考点的位置有关。
r L
因而在说明一个质点的角动量
pr
时，必须指明是相对于哪一个 参考点而言的。
O
rr
θ m
锥摆 O
l
m
O
v
rr pr
1
L
dt 2 dt 2 dt 2
2m
2m
太阳对行星的引力总是指向太阳，因而行星对太阳
中心的角动量守恒，L为常量，所以得证。
LO
rom
mv
LO lmv
方向变化
LO
rom
mv
LO (l sin )mv
方向竖直向上不变
④ 角动量是物理学的基本概念之一。
2、角动量在直角坐标系中的表达形式
rrr
r L
rr
pr
i x
jk yz
ppp
x
y
z
角动量在各坐标轴上的投影（分量 ）为：
L yp zp
x
L y
z
zp x
且在高速低速范围均适用。
例题1：
证明行星运动的开普勒第二定律：行星对太阳
的矢径在相等的时间内扫过的面积相等。
r
L
解：行星位矢扫过的面积dS
dS
1
r
r dr
sin
1
rr drr
dS r
2
2
单位时间行星位矢扫过的面积
•
drr
dS 1 rr drr 1 rr drr 1 rr vr 1
vr
5.1 质点的角动量定理
一、质点的角动量(动量矩)
1、定义
质点对参考点O 的角
动量
r L
为:
ur r r r r
L r p r mv
r L
r p
O
rr
θ m
大小： L rmv sin
方向：右手螺旋法则判定 单位：kgm2/s
说明：
ur L
rr
pr
rr
mvrLeabharlann Baidu
① 作圆周运动的质点相对圆心 O的角动量大小
讨论
r M
rr
r F
力矩为零的情况：
⑴ 当 F 0 时，M 0
r
M
rr
r F
θ
Or
m
⑵ 有心力对力心的力矩恒为零。
有心力：若一物体所受的力始终指向或背离某 一固定点，这种力称为有心力，这一固定点称 为力心。
2、力矩在直角坐标系中的表达形式
rrr
r M
rr
r F
i x
jk yz
FFF
x
y
z
力矩在各坐标轴上的投影（分量 ）为：
解：rr
r 3i
8
r j
r L
rr
mvr
r (3i
8
r j
)
r (5i
6
r j
)
3
(SI)
r 174k (kg m2/s)
r M
r r
r F
r (3i
8
r j
r ) (7i )
(SI)
r 56k (N m)
三、质点的角动量定理
1、角动量定理的微分形式
v L
rv
pv
对等式两边求时间的导数
v dL
M yF zF
M
x y
z
zF x
y
xF z
Mz
xF y
yF x
M
,M
,M
分别称为
r M
对x、y、z轴的力矩。
x
y
z
例题1：
质 为量vv为 53ivkg的6 vj质(m点/ 位s) 于，x作=用3m于, 质y=点8m上处的时力速大度小为7N，
沿负X方向，求：以原点为参考点时，质点在此时
的角动量和所受的力矩。
dt
t2
v Mdt
v L
v L
t1
2
1
t2
v Mdt
r L2 r
v dL
t1
L1
t2
v Mdt
--角冲量
t1
(冲量矩)
质点的角动量定理：对同一参考点O，质点
所受的角冲量等于质点角动量的增量.
说明：
在应用角动量定理时，一定要注意等式两边 的力矩和角动量必须都是对同一固定点。
t2
v Mdt
v L
y
xp z
L z
xp y
yp x
L , L , L 分别称为角动量在x、y、z轴上的分 x yz
量式，或称为对x、y、z轴的角动量。
二、力矩
1、定义
力
r F
对参考点O
的力矩
r M
为:
r M
rr
r F
r
M
r
rr
F
θ
Or
m
大小：
M
rF
sin
rF
(
r
---力臂)
方向：右手螺旋法则判定
单位：N·m
说明：力矩与参考点的位置有关。
d
(rv
pv)
rr
dpr
drr
pr
dt dt
dt dt
Q drv pr vr mvr 0 dt
v dL dt
rv
dpv dt
rv
v F
v M
v dL
角动量定理微分式：作用于质点的
合力对参考点O 的力矩，等于质点
dt 对该点的角动量随时间的变化率.
2、质Mv点的dL角v 动量Mv定dt理
v dL
v L
t1
2
1
四、质点的角动量守恒定律
若
M
0
，则
r L
rr
pr
恒矢量。
角动量守恒定律：当质点所受的对某参考点的合外
力矩为零时，质点对该参考点的角动量为恒矢量。
⑴质点所受合外力为零时，质点角动量守恒。 讨 ⑵在有心力的作用下，质点对力心角动量守恒。
⑶角动量守恒定律是物理学的基本定律之一，它 论 不仅适用于宏观体系，也适用于微观体系，而
方向 垂直于圆面
② 质点作匀速直线运动时，角 动量守恒。
L rmv sin mvd
方向始终垂直纸面向外
r L
r pr r
O
Or
r
d
pr
③ 角动量与参考点的位置有关。
r L
因而在说明一个质点的角动量
pr
时，必须指明是相对于哪一个 参考点而言的。
O
rr
θ m
锥摆 O
l
m
O
v
rr pr
1
L
dt 2 dt 2 dt 2
2m
2m
太阳对行星的引力总是指向太阳，因而行星对太阳
中心的角动量守恒，L为常量，所以得证。
LO
rom
mv
LO lmv
方向变化
LO
rom
mv
LO (l sin )mv
方向竖直向上不变
④ 角动量是物理学的基本概念之一。
2、角动量在直角坐标系中的表达形式
rrr
r L
rr
pr
i x
jk yz
ppp
x
y
z
角动量在各坐标轴上的投影（分量 ）为：
L yp zp
x
L y
z
zp x
且在高速低速范围均适用。
例题1：
证明行星运动的开普勒第二定律：行星对太阳
的矢径在相等的时间内扫过的面积相等。
r
L
解：行星位矢扫过的面积dS
dS
1
r
r dr
sin
1
rr drr
dS r
2
2
单位时间行星位矢扫过的面积
•
drr
dS 1 rr drr 1 rr drr 1 rr vr 1
vr
5.1 质点的角动量定理
一、质点的角动量(动量矩)
1、定义
质点对参考点O 的角
动量
r L
为:
ur r r r r
L r p r mv
r L
r p
O
rr
θ m
大小： L rmv sin
方向：右手螺旋法则判定 单位：kgm2/s
说明：
ur L
rr
pr
rr
mvrLeabharlann Baidu
① 作圆周运动的质点相对圆心 O的角动量大小
讨论
r M
rr
r F
力矩为零的情况：
⑴ 当 F 0 时，M 0
r
M
rr
r F
θ
Or
m
⑵ 有心力对力心的力矩恒为零。
有心力：若一物体所受的力始终指向或背离某 一固定点，这种力称为有心力，这一固定点称 为力心。
2、力矩在直角坐标系中的表达形式
rrr
r M
rr
r F
i x
jk yz
FFF
x
y
z
力矩在各坐标轴上的投影（分量 ）为：
解：rr
r 3i
8
r j
r L
rr
mvr
r (3i
8
r j
)
r (5i
6
r j
)
3
(SI)
r 174k (kg m2/s)
r M
r r
r F
r (3i
8
r j
r ) (7i )
(SI)
r 56k (N m)
三、质点的角动量定理
1、角动量定理的微分形式
v L
rv
pv
对等式两边求时间的导数
v dL
M yF zF
M
x y
z
zF x
y
xF z
Mz
xF y
yF x
M
,M
,M
分别称为
r M
对x、y、z轴的力矩。
x
y
z
例题1：
质 为量vv为 53ivkg的6 vj质(m点/ 位s) 于，x作=用3m于, 质y=点8m上处的时力速大度小为7N，
沿负X方向，求：以原点为参考点时，质点在此时
的角动量和所受的力矩。
dt
t2
v Mdt
v L
v L
t1
2
1
t2
v Mdt
r L2 r
v dL
t1
L1
t2
v Mdt
--角冲量
t1
(冲量矩)
质点的角动量定理：对同一参考点O，质点
所受的角冲量等于质点角动量的增量.
说明：
在应用角动量定理时，一定要注意等式两边 的力矩和角动量必须都是对同一固定点。
t2
v Mdt
v L
y
xp z
L z
xp y
yp x
L , L , L 分别称为角动量在x、y、z轴上的分 x yz
量式，或称为对x、y、z轴的角动量。
二、力矩
1、定义
力
r F
对参考点O
的力矩
r M
为:
r M
rr
r F
r
M
r
rr
F
θ
Or
m
大小：
M
rF
sin
rF
(
r
---力臂)
方向：右手螺旋法则判定
单位：N·m
说明：力矩与参考点的位置有关。
d
(rv
pv)
rr
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pr
dt dt
dt dt
Q drv pr vr mvr 0 dt
v dL dt
rv
dpv dt
rv
v F
v M
v dL
角动量定理微分式：作用于质点的
合力对参考点O 的力矩，等于质点
dt 对该点的角动量随时间的变化率.
2、质Mv点的dL角v 动量Mv定dt理
v dL
v L
t1
2
1
四、质点的角动量守恒定律
若
M
0
，则
r L
rr
pr
恒矢量。
角动量守恒定律：当质点所受的对某参考点的合外
力矩为零时，质点对该参考点的角动量为恒矢量。
⑴质点所受合外力为零时，质点角动量守恒。 讨 ⑵在有心力的作用下，质点对力心角动量守恒。
⑶角动量守恒定律是物理学的基本定律之一，它 论 不仅适用于宏观体系，也适用于微观体系，而