云南师大附中2020届高考数学适应性月考试题(一)理(含解析)新人教A版
云南师范大学附属中学2020届高三高考适应性月考(一)数学(文)试题
文科数学试卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合(){}2,|A x y y x ==，(){}22,|1B x y xy =+=，则集合A B I 中元素的个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．32. 瑞士数学家欧拉在1748年得到复数的三角方程:cos sin ixe x i x =+，根据该三角方程，计算1ie π+的值为（ ）A ．1-B ．0C ．1D ．i3.移动支付、商铁、网购与共享单车被称为中国的新“四大发明”，某中学为了了解本校学生中新“四大发明”的普及情况，随机调在了100位学生，其中使用过移动支付或共享单年的学生共90位，使用过移动支付的学生共有80位，使用过共享单车的学生且使用过移动支付的学生共有60位，则该校使用共享单车的学生人数与该校学生总数比值的估计值为（ ） A ．0.5 B ．0.6 C ．0.7 D ．0.84.已知x ，y 满足约束条件0,230,0,x x y y ≥⎧⎪+-≥⎨⎪≥⎩的最小值为（ ）A．5 B．5CD5.函数()cos |ln |f x x x =-的零点个数是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．46.在等差数列{}n a 中，51340a a +=，则7891011a a a a a ++++=（ ） A ．40 B ．60 C ．80 D ．1007.函数sin y x x =的大致图象为（ ）A ．B ．C ．D ．8.如图，执行程序框图后，输出的结果是（ ）A ．140B ．204C ．245D ．3009.已知函数()sin f x x =，将()f x 的图象上的所有点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标扩大到原来的3倍；再把图象上所有的点向上平移1个单位长度，得到函数()y g x =的图象，则函数()||g x 的周期可以为（ ）A ．2πB ．πC ．32πD ．2π10.若函数()2f x ax =与函数()lng x x =存在公共点(),P m n ，并且在(),P m n 处具有公共切线，则实数a =（ ）A ．1e B ．2e C ．12e D ．32e11.阿波罗尼斯(约公元前262-190年)证明过这样一个命题: 平面内到两定点距离之比为常数k (0k >，1k ≠)的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.若平面内两定点A ， B 间的距离为2，动点P 满足||||PA PB =22PA PB +的最小值为（ ）A ．36-B ．48-C ．D ．12.四边形ABDC 是菱形，60BAC ∠=︒，AB =BC 翻折后，二面角A BC D --的余弦值为13-，则三棱锥D ABC -的外接球的体积为（ ）A B C D ． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知a r ，b r 为单位向量，且,3a b π<>=r r ，则|2|a b +=r r ．14.等比数列{}n a 的首项11a =，48a =，则4S = ．15.设1F ，2F 为椭圆C ：2214x y +=的两个焦点，M 为C 上一点，且122F MF π∠=，则12F MF ∆的面积为 ．16.边长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点M 为上底面1111A B C D 的中心，N 为下底面ABCD 内一点，且直线MN 与底面ABCD 所成线面角的正切值为2，则点N 的轨迹围成的封闭图象的面积为_ ． 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 某调研机构，对本地[]22, 50岁的人群随机抽取200人进行了一次生活习惯是否符合低碳观念的调查，将生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”，结果显示，有100人为“低碳族”，该100人的年龄情况对应的频率分布直方图如图.(1)根据频率分布直方图，估计这100名“低碳族”年龄的平均值、中位数;(2)若在“低碳族”且年龄在[)30, 34，[)34, 38的两组人群中，用分层抽样的方法抽取30人，试估算每个年龄段应各抽取多少人？18.在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足sin cos()6b A a B π=-.（1）求角B 的大小；（2）若D 为AC 的中点，且1BD =，求ABC S ∆的最大值.19. 如图甲，在直角梯形ABCD 中，//AB CD ，AB CD ⊥，224CD AB BC ===，过A 点作AE CD ⊥，垂足为E ，现将ADE ∆沿AE 折叠，使得DE EC ⊥.取AD 的中点F ，连接BF ，CF ，EF ，如图乙. （1）求证：BC ⊥平面DEC ； （2）求三棱锥E FBC -的体积.20. 已知()xf x e =，()lng x x =.（1）令()()()h x f x g x =-，求证：()h x 有唯一的极值点；（2）若点A 为函数()f x 上的任意一点，点B 为函数()g x 上的任意一点，求A ，B 两点之间距离的最小值.21.已知抛物线E ：22y px =（0p >），过其焦点F 的直线与抛物线相交于()11,A x y ，()22,B x y 两点，满足124y y =-.（1）求抛物线E 的方程；（2）已知点C 的坐标为()2,0-，记直线CA ，CB 的斜率分别为1k ，2k ，求221211k k +的最小值. 请考生在第22、23两题中任选一题作答，并用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑注意所做题目的题号必须与所涂题目的题号一致，在答题卡选答区域指定位置答题.如果多做，则按所做的第一题计分. 22.选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，曲线1C 的参数方程为3sin ,3cos ,x y θθ=⎧⎨=⎩（其中θ为参数），曲线2C 的普通方程为2214x y +=，以坐标原点为极点，以x 轴正半轴为极轴建立极坐标系. （1）求曲线1C 和曲线2C 的极坐标方程； （2）射线1l ：0θθ=（0(0,)2πθ∈）依次与曲线1C 和曲线2C 交于A ，B 两点，射线2l ：02πθθ=+（0(0,)2πθ∈）依次与曲线1C 和曲线2C 交于C ，D 两点，求AOCBODS S ∆∆的最大值. 23.选修4-5：不等式选讲 已知函数()|||1|f x x a x =-+-.（1）若不等式()3f x ≤的解集为{}|03x x ≤≤，求实数a 的值. （2）当2a =时，若()1422nn f x +≥--对一切实数x 恒成立，求实数n 的取值范围.试卷答案一、选择题1-5: CBCAB 6-10: DBBBC 11、12：AB 二、填空题xOy14.15 15.1 16.4π 三、解答题17.解：（1）100位“低碳族”的年龄平均值x 为240.04 + 280.08+ 320.16 + 360.44 +400.16+440.1+480.02 =35.9236x ⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⨯≈，中位数为()0.50.040.080.160.113436---÷+=.（2）年龄段[30,34)，[34,38)的频率分别为0.0440.16⨯=，0.1140.44⨯=， 因为0.16:0.444:11=，所以人数分别为8人，22人. 18.解：（1）由正弦定理及sin cos()6b A a B π=-，得sin sin sin cos()6B A A B π=-，由()0,A π∈，所以sin 0A ≠，则1sin cos()sin 622B B B B π=-=+，所以tan B = 又()0,B π∈， 所以3B π=.（2）如图，由1sin 24ABC S ac B ac ∆==， 又D 为AC 的中点，则2BD BA BC =+u u u r u u u r u u u r， 所以2222423a c BA BC a c ac ac =++⋅=++≥u u u r u u u r ， 则43ac ≤，当且仅当a c =时取等号，所以ABC ∆的面积的最大值为3.19.（1）证明：如图，∵DE EC ⊥，DE AE ⊥，∵DE ⊥平面ABCE ， 又∵BC ⊂平面ABCE ， ∴DE BC ⊥，又∵BC EC ⊥，DE EC E =I ， ∴BC ⊥平面DEC（2）解：11123323E FBCF BCE BCE BCE V V S h S DE --∆∆==⋅=⋅=. 20.（1）证明：由题意知()ln xh x e x =-，所以()1'xh x e x=-， 由xy e =单调递增，1y x=在()0,+∞上单调递减， 所以()'h x 在()0,+∞上单调递增，又1'202h ⎛⎫=<⎪⎝⎭，()'110h e =->，所以存在唯一的01,12x ⎛⎫∈⎪⎝⎭，使得()0'0h x =， 当()00,x x ∈时，()'0h x <，()h x 单调递减；当()0,x x ∈+∞时，()'0h x >，()h x 单调递增，所以()h x 有唯一的极值点.（2）解：由()xf x e =，则()f x 在()0,1处的切线为1y x =+，又()ln g x x =，则()g x 在点()1,0处的切线为1y x =-.由于()xf x e =与()lng x x =互为反函数，即函数图象关于y x =对称，如图，故而A ，B 两点间的距离即为()0,1与()1,0之间的距离， 所以A ，B.21.解：（1）因为直线过焦点，所以有2124y y p =-=-， 解得2p =，所以抛物线E 的方程为24y x =.（2）由（1）知抛物线的焦点坐标为()1,0F ，设直线AB 的方程为1x my =+， 联立抛物线的方程有2440y my --=，所以124y y m +=，124y y =-， 则有1111123y y k x my ==++，2222223y y k x my ==++， 所以1113m k y =+，2213m k y =+， 因此22222221212121211331111269m m m m k k y y y y y y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+++=++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()22121222122212122484269269416y y y y m y y mm m m m y y y y +-++=+⋅+⋅=+⋅+⋅-2952m =+，所以当且仅当0m =时，221211k k +有最小值92. 22.解：（1）由曲线1C 的参数方程为3sin ,3cos ,x y θθ=⎧⎨=⎩（其中θ为参数），所以曲线1C 的普通方程为229x y +=， 由cos ,sin ,x y ρθρθ=⎧⎨=⎩则曲线1C 的极坐标方程为3ρ=；又曲线2C 的普通方程为2214x y +=，由cos ,sin ,x y ρθρθ=⎧⎨=⎩则曲线2C 的极坐标方程为2224cos 4sin ρθθ=+. （2）如图，由题意知1922AOC S OA OC ∆=⋅=， 12BOD S OB OD ∆=⋅222200001442cos 4sin cos 4sin 22ππθθθθ=⋅⋅+⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()22220008cos 4sin sin 4cos θθθθ=++，所以()()222220000995225cos 4sin sin 4cos 1616264AOC BOD S S θθθθ∆∆⎛⎫=++≤= ⎪⎝⎭， 当且仅当22220000cos 4sin sin 4cos θθθθ+=+，即04πθ=时，不等式取等号，所以AOC BOD S S ∆∆的最大值为22564.23.解：（1）由绝对值的几何意义知，()|||1|f x x a x =-+-表示在数轴上，动点x 到定点a 和1的距离之和，当且仅当2a =时，()3f x ≤的解集为{}|03x x ≤≤， 所以2a =.（2）当2a =时，()|2||1||21|1f x x x x x =-+-≥--+=恒成立， 又()1422nn f x +≥--对一切实数x 恒成立，所以11422n n +≥--，令2nt =，化简得2230t t --≤，解得3t ≤， 所以2log 3n ≤，实数n 的取值范围为2(,log 3]-∞.。
2020届云南省昆明市云南师范大学附属中学高三适应性月考卷(五) 数学(理)试题(解析版)
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】化简得到 ，再计算 得到答案.
【详解】
故选：B
【点睛】
本题考查了复平面对应向量的运算，掌握复数和向量的对应关系是解题的关键.
4．已知数列 为等差数列， 为前 项和，若 ， ，则 （）
A． B．
故选：D
【点睛】
本题考查了函数图像的判断，根据奇偶性和特殊点可以快速得到答案是解题的关键.
7．在高中阶段，我们学习的数学教材有必修1～5，选修2系列3册，选修4系列2册，某天晚自习小明准备从上述书中随机取两册进行复习，则他今晚复习的两本均是必修教材的概率是（）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】先求“两本均是必修教材”包含的基本事件个数，再求“从上述书中随机取两册”包含的基本事件总数，然后根据概率计算公式即可求出．
设平面ABE与平面BDE的法向量分别为 ， ，
则 ， ， ， ，
令 、 ，得 ， ，则 ．
∴ ，则 ，则 ，
∴ ．
【点睛】
本题主要考查线面平行的判定与线线平行的判定，考查二面角的应用，属于中档题．
20．设椭圆 ： ， ， 分别是椭圆的左、右焦点， 在椭圆 上.求证：
（1）直线 ： 是椭圆在点 处的切线；
一、单选题
1．已知集合 ， .则 （）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】先计算得到 ，再计算 得到答案.
【详解】
故选：B
【点睛】
本题考查了交集的运算，属于简单题.
2． （）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】直接利用诱导公式和辅助角公式化简得到答案.
云南师大附中2020届高考适应性月考卷及其答案(理数)
0
.
3 1 ，
17.（云南师大附中 2020 届高考适应性月考卷（一）理数）某调研机构，对本地 22,50 岁的人群随
机抽取 200 人进行了一次生活习惯是否符合低碳观念的调查，将生活习惯符合低碳观念的称为“低 碳族”，否则称为“非低碳族”，结果显示，有100 人为“低碳族”，该100 人的年龄情况对应的频率 分布直方图如图. （1）根据频率分布直方图，估计这100 名“低碳族”年龄的平均值、中位数；
NO
2
所以 N 的轨迹是以底面 ABCD 的中心 O 为圆心，以 1 为半径的圆， 2
则 N 的轨迹围成的封闭图象的面积为 S π ． 4
16.（云南师大附中
2020
届高考适应性月考卷（一）理数）设
F1
,
F2
为椭圆 C
:
x2 4
y2
1 的两个焦
点， M 为 C 上一点，且 △MF1F2 的内心 I 的纵坐标为 2 3 ，则 F1MF2 的余弦值为____________. 答案：0. 解析：（黑龙江七台河）
（2）若在“低碳族”且年龄在 30,34 ，34,38 的两组人群中，用分层抽样的方法抽取 30 人，试估
算每个年龄段应各抽取多少人？
答案：见解析. 解析：（黑龙江七台河）
第一套 - 3
（1）100 位“低碳族”的年龄平均值 x 为 x 24 0.04 28 0.08 32 0.16 36 0.44 40 0.16 44 0.1 48 0.0 2 35.92 36 ，
正切值为 2 ，则点 N 的轨迹围成的封闭图像的面积为
.
答案： π . 4
解析：（湖北十堰）
如图，由题意知，M 在底面 ABCD 内的投影为底面 ABCD 的中心 O ，连接 ON ，
2020届 云师大附中高三高考适应性月考(一)数学(文)试题(解析版)
2020届云师大附中高三高考适应性月考（一）数学（文）试题一、单选题1．已知集合(){}2,A x y y x ==，(){}22,1B x y xy =+=，则集合A B I 中元素的个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】C【解析】作出函数2y x =和圆221x y +=的图象，观察两曲线的交点个数，可得出集合A B I 的元素个数.【详解】如下图所示，由函数2y x =与圆221x y +=的图象有两个交点，因此，集合A B I 含有两个元素，故选：C.【点睛】本题考查集合的元素个数，考查曲线的交点个数问题，考查数形结合思想的应用，属于中等题.2．瑞士数学家欧拉在1748年得到复数的三角方程：cos sin ix e x i x =+，根据三角方程，计算1i e π+的值为（ ）A ．1-B ．0C ．1D ．i【答案】B【解析】根据复数的三角方程将复数i e π表示为复数的一般形式，然后利用复数的加法法则可得出结果.【详解】由cos sin ix e x i x =+，则1cos sin 1110i e i πππ+=++=-+=，故选B.【点睛】本题考查复数的加法运算，解题的关键就是理解题中复数三角方程的定义，考查计算能力，属于基础题.3．移动支付、高铁、网购与共享单车被称为中国的新“四大发明”，某中学为了解本校学生中新“四大发明”的普及情况，随机调査了100位学生，共中使用过移动支付或共享单车的学生共90位，使用过移动支付的学生共有80位，使用过共享单车的学生且使用过移动支付的学生共有60位，则该校使用共享单车的学生人数与该校学生总数比值的估计值为（ ）A ．0.5B ．0.6C ．0.7D ．0.8【答案】C【解析】作出韦恩图，根据题中的信息得出样本中使用共享单车和移动支付的学生人数，将人数除以100可得出所求结果.【详解】根据题意使用过移动支付、共享单车的人数用韦恩图表示如下图，因此，该校使用共享单车的学生人数与该校学生总数比值的估计值700.7100=，故选：C.【点睛】本题考查韦恩图的应用，同时也考查了频率的计算，考查数据处理能力，属于中等题.4．已知x 、y 满足的约束条件02300x x y y ≥⎧⎪+-≥⎨⎪≥⎩22x y +的最小值为（ ） A 35B 25C 3D 5【答案】A【解析】22x y +的几何意义为可行域内22x y +的最小值为原点到直线230x y +-=的距离，由此可得出结果.【详解】作出不等式组02300x x y y ≥⎧⎪+-≥⎨⎪≥⎩所表示的可行域如下图所示：()()222200x y x y +=-+-()0,0的距离，过点O 作直线230x y +-=的垂线OH 22x y +223512OH ==+， 故选：A.【点睛】本题考查线性规划问题，考查距离型非线性函数的最值问题，要理解非线性目标函数的几何意义，借助数形结合思想进行求解，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题. 5．函数()cos ln f x x x =-的零点个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【解析】在平面直角坐标系内作出函数cos y x =与函数ln y x =的图象，观察两函数的交点个数，即为函数()cos ln f x x x =-的零点个数.【详解】令()0f x =，得cos ln x x =，则函数()y f x =的的零点个数等价于函数cos y x =与函数ln y x =图象的交点个数，如下图所示：由图象知cos y x =与ln y x =的交点个数为2， 因此，函数()y f x =的零点个数也为2，故选：B.【点睛】本题考查函数零点个数问题，常用的方法有两种：一种是代数法，另一种是图象法，转化为两个函数的交点个数，考查数形结合思想的应用，属于中等题.6．在等差数列{}n a 中，51340a a +=，则7891011a a a a a ++++=（ ）A ．40B ．60C ．80D ．100【答案】D【解析】利用等差中项的性质得出9a 的值，再利用等差中项的性质可得出7891011a a a a a ++++的值.【详解】由等差中项的性质可得5139240a a a +==，920a ∴=，因此，()()7891011711810995100a a a a a a a a a a a ++++=++++==，故选：D.【点睛】本题考查等差中项性质的应用，在求解等差数列的问题时，常用基本量法与等差数列性质来进行求解，考查计算能力，属于中等题.7．函数sin y x x =的大致图象为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】考查函数sin y x x =的奇偶性以及该函数在区间()0,π上的函数值符号进行排除，可得出正确选项.【详解】设()sin f x x x =，该函数的定义域为R ，且()()()sin sin f x x x x x f x -=--==，所以，函数()sin f x x x =为偶函数，排除A 、C 选项，且当0πx <<时，sin 0x >，此时()0f x >，排除D 选项，故选：B.【点睛】本题考查函数图象的识别，一般从函数的定义域、奇偶性、单调性、零点以及函数值符号等基本要素进行逐一排除，考查推理能力，属于中等题.8．如图，执行程序框图后，输出的结果是（ ）A ．140B ．204C ．245D ．300【答案】B【解析】根据程序框图列举出算法的每一步，可得出输出结果.【详解】18n =>不成立，执行第一次循环，211b ==，011s =+=，112n =+=； 28n =>不成立，执行第二次循环，224b ==，145s =+=，213n =+=；38n =>不成立，执行第三次循环，239b ==，5914s =+=，314n =+=； 48n =>不成立，执行第四次循环，2416b ==，141630s =+=，415n =+=；58n =>不成立，执行第五次循环，2525b ==，302555s =+=，516n =+=； 68n =>不成立，执行第六次循环，2636b ==，553691s =+=，617n =+=；78n =>不成立，执行第七次循环，2749b ==，9149140s =+=，718=+=n ；88n =>不成立，执行第八次循环，2864b ==，14064204s =+=，819n =+=；98n =>成立，跳出循环体，输出s 的值为204，故选B.【点睛】本题考查程序框图运行结果的计算，一般利用算法程序框图将算法的每一步列举出来，考查计算能力，属于中等题.9．已知函数()sin f x x =，将()f x 的图象上的所有点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标扩大为原来的3倍，再把图象上所有的点向上平移1个单位长度，得到函数()y g x =的图象，则函数()g x 的周期可以为（ ）A ．2π B ．πC ．32π D ．2π【答案】B【解析】先利用三角函数图象变换规律得出函数()y g x =的解析式，然后由绝对值变换可得出函数()y g x =的最小正周期.【详解】()sin f x x =Q ，将函数()y f x =的图象上的所有点的横坐示缩短到原来的12，可得到函数sin 2y x =的图象，再将所得函数图象上所有点的纵坐标扩大为原来的3倍，得到函数3sin 2y x =的图象，再把所得图象向上平移1个単位长度，得到()3sin 21g x x =+，由绝对值变换可知，函数()y g x =的最小正周期为22T ππ==，故选B.【点睛】本题考查三角函数变换，同时也考查三角函数周期的求解，解题的关键就是根据图象变换的每一步写出所得函数的解析式，考查推理能力，属于中等题.10．若函数()2f x ax =与函数()lng x x =存在公共点()P m n ,，并且在()P m n ,处具有公共切线，则实数a =（ ）A ．1eB ．2eC ．12eD ．32e【答案】C【解析】由题意得出()()()()f m g m f m g m ⎧=⎪⎨=''⎪⎩，解此方程组，可得出实数a 的值. 【详解】因为()2f x ax =，所以()2f x ax '=；由()lng x x =，得()1g x x'=. 因为()2f x ax =与()lng x x =在它们的公共点()P m n ,处具有公共切线，则()()()()f m g m f m g m ⎧=⎪⎨=''⎪⎩，即2ln 12am mam m ⎧=⎪⎨=⎪⎩，解得12m e a e ⎧=⎪⎨=⎪⎩，故选：C. 【点睛】本题考查两函数在公共点处有公切线问题，解题时要将问题转化为在公共点处函数值和导数值分别相等，并利用方程组求解，考查化归与转化思想以及方程思想的应用，属于中等题.11．阿波罗尼斯（约公元前262190-年）证明过这样一个命题:平面内到两定点距离之比为常数()0,1k k k >≠的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.若平面内两定点A 、B 间的距离为2，动点P 满足2PA PB=则22PA PB +的最小值为（ ）A ．36242-B ．48242-C ．2D ．242【答案】A【解析】以经过A 、B 的直线为x 轴，线段AB 的垂直平分线y 轴，建立直角坐标系，得出点A 、B 的坐标，设点(),P x y ，利用两点间的距离公式结合条件2PA PB=点P 的轨迹方程，然后利用坐标法计算出22PA PB +的表达式，再利用数形结合思想可求出22PA PB +的最小值.【详解】以经过A 、B 的直线为x 轴，线段AB 的垂直平分线y 轴，建立直角坐标系，则()1,0A -、()10B ,，设(),P x y ，2PA PB=Q ，2222(1)2(1)x y x y++=-+两边平方并整理得()222261038x y x x y +-+=⇒-+=，所以P 点的轨迹是以()3,0为圆心，22则有()222222222PA PB x yOP+=++=+，如下图所示：当点P 为圆与x 轴的交点（靠近原点）时，此时，OP 取最小值，且322OP =-，因此，(22223222362PA PB +≥⨯-+=- A.【点睛】本题考查动点的轨迹方程的求法，考查坐标法的应用，解题的关键就是利用数形结合思想，将代数式转化为距离求解，考查数形结合思想的应用以及运算求解能力，属于中等题.12．四边形ABDC 是菱形，60BAC ∠=o ，3AB =BC 翻折后，二面角A BC D --的余弦值为13-，则三棱锥D ABC -的外接球的体积为（ ）A 5πB 6πC 7πD ．22π【答案】B【解析】取BC 的中点为M ，设球心O 在平面ABC 内的射影为1O ，在平面BCD 内的射影为2O ，利用二面角的定义得出1cos 3AMD ∠=-，并设2AMD θ∠=，计算出tan θ的值，可得出2OO 的长度和2DO 的长度，然后利用勾股定理得出三棱锥D ABC -外接球的半径R ，最后利用球体体积公式可计算出结果.【详解】如下图所示，取BC 的中点为M ，设球心O 在平面ABC 内的射影为1O ，在平面BCD 内的射影为2O ，则二面角A BC D --的平面角为AMD ∠，3AB =，所以32DM =，2213DO DM ==，212O M =，设2AMD θ∠=， 则21cos 22cos 13θθ=-=-，21cos 3θ∴=，则22sin 3θ=，2tan 2θ∴=，tan 2θ∴=222tan 2OO O M θ∴=⋅=， 球O 的半径22226R DO OO =+=，所求外接球的体积为246632V ππ⎛=⋅= ⎝⎭， 故选：B.【点睛】本题考查外接球体积的计算，同时也考查了二面角的定义，解题的关键就是要找出球心的位置，并分析几何图形的形状，借助相关定理进行计算，考查推理能力与计算能力，属于中等题.二、填空题13．已知a v 、b v 为单位向量，,3a b π=v v ，则2a b +=v v ____________.7【解析】利用平面向量数量积的运算律和定义计算()222a b a b+=+r rr r .【详解】由于a r 、b r 为单位向量，,3a b π<>=r r ，则1a b ==r r ，且1cos ,2a b a b a b ⋅=⋅<>=r r r r r r ，因此，()2222212244414172a b a ba ab b +=+=+⋅+=⨯+⨯+=r rr r r r r r ，7【点睛】本题考查利用平面向量的数量积计算向量的模，在计算向量的模时，一般将向量的模进行平方，结合平面向量数量积的运算律和定义来进行计算，考查计算能力，属于中等题.s 14．等比数列{}n a 的首项11a =，48a =，则4S =___________.【答案】15【解析】设等比数列{}n a 的公比为q ，根据题中条件求出q 的值，再利用等比数列求和公式可计算出4S 的值.【详解】11a =Q ，48a =，所以3418a q a ==，所以2q =，因此，()()4414111215112a q S q-⨯-===--，故答案为：15.【点睛】本题考查等比数列求和，对于等比数列，一般是通过建立首项和公比的方程组，求出这两个量，再结合相关公式进行计算，考查运算求解能力，属于中等题.15．设1F 、2F 为椭圆C :2214x y +=的两个焦点，M 为C 上点，122F MF π∠=，则12F MF ∆的面积为______.【答案】1【解析】利用勾股定理和椭圆的定义列等式求出12MF MF ⋅的值，然后利用三角形的面积公式可计算出12F MF ∆的面积.【详解】由题意可知，2a =，1b =，223c a b =-12223F F c ==.如下图，由题意知122F MF π∠=，由勾股定理得222121212MF MF F F +==，由椭圆定义得1224MF MF a +==，将该等式两边平方得221122216MF MF MF MF +⋅+=，122MF MF ∴⋅=，因此，12F MF ∆的面积为1212112122F MF S MF MF ∆=⋅=⨯=，故答案为1.【点睛】本题考查椭圆焦点三角形面积的计算，解题时应充分利用椭圆的定义与余弦定理求解，并结合三角形的面积公式进行计算，考查运算求解能力，属于中等题.16．边长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点M 为上底面1111D C B A 的中心，N 为下底面ABCD 内一点，且直线MN 与底面ABCD 所成线面角的正切值为2，则点N 的轨迹围成的封闭图象的面积为_____.【答案】【解析】作出图形，设正方体底面ABCD 的中心为点O ，可得出MO ⊥平面ABCD ，由直线与平面所成角的定义得出tan 2MNO ∠=，可得出12ON =，从而可知点N 的轨迹是半径为12的圆，然后利用圆的面积公式可得出结果. 【详解】如下图所示，由题意知，M 在底面ABCD 内的投影为底面ABCD 的中心O ，连接ON ，则MNO ∠即为直线MN 与底面ABCD 所成的角，所以，tan 2OMMNO ON∠==， 则12ON =，所以N 的轨迹是以底面ABCD 的中心O 为圆心，以12为半径的圆， 因此，N 的轨迹围成的封闭图象的面积为2124S ππ⎛⎫=⨯= ⎪⎝⎭，故答案为：4π. 【点睛】本题考查立体几何中的轨迹问题，同时也考查直线与平面所成角的定义，解题时要熟悉几种常见曲线的定义，考查空间想象能力，属于中等题.三、解答题17．某调研机构，对本地[]22,50岁的人群随机抽取200人进行了一次生活习惯是否符合低碳观念的调查，将生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”，结果显示，有100人为“低碳族”，该100人的年龄情况对应的频率分布直方图如图.（1）根据频率分布直方图，估计这100名“低碳族”年龄的平均值，中位数； （2）若在“低碳族”且年龄在[)30,34、[)34,38的两组人群中，用分层抽样的方法抽取30人，试估算每个年龄段应各抽取多少人？【答案】（1）平均值为36，中位数为36；（2）年龄在[)30,34的8人，在[)34,38的22人.【解析】（1）将频率分布直方图中每个矩形底边的中点值乘以矩形的面积，再将这些乘积相加可得出平均值，利用中位数左右两边的矩形面积和均为0.5计算出矩形的面积； （2）先计算出年龄在[)30,34、[)34,38的频率之比，再利用分层抽样的特点得出样本中年龄段在[)30,34、[)34,38的人数.【详解】（1）100位“低碳族”的年龄平均值x 为240.04280.08320.16360.44x =⨯+⨯+⨯+⨯400.16440.1480.0235.9236+⨯+⨯+⨯=≈，设中位数为a ，前三个矩形的面积为0.040.080.160.28++=， 前四个矩形的面积为0.040.080.160.440.72+++=，则()34,38a ∈，由题意可得()0.28340.110.5a +-⨯=，解得36a =，因此，中位数为36； （2）年龄在[)30,34、[)34,38的频率分别为0.0440.16⨯=，0.1140.44⨯=， 频率之比为0.16:0.444:11=，所抽取的30人中，年龄在[)30,34的人数为430815⨯=， 年龄在[)34,38的人数为11302215⨯=. 【点睛】本题考查频率分布直方图中平均数和中位数的计算，同时也考查了分层抽样相关的计算，考查计算能力，属于基础题.18．在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且满足sin cos 6b A a B π⎛⎫=- ⎪⎝⎭.（1）求角B 的大小；（2）若D 为AC 的中点，且1BD =，求ABC S ∆的最大值.【答案】（1）3π；（23【解析】（1）利用正弦定理边角互化思想得出sin cos 6B B π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，再利用两角差的余弦公式可得出tan B 的值，结合角B 的范围可得出角B 的大小；（2）由中线向量得出2BD BA BC =+uu u r uu r uu u r，将等式两边平方，利用平面向量数量积的运算律和定义，并结合基本不等式得出ac 的最大值，再利用三角形的面积公式可得出ABC ∆面积的最大值.【详解】（1）由正弦定理及sin cos 6b A a B π⎛⎫=-⎪⎝⎭得sin sin sin cos 6B A A B π⎛⎫=-⎪⎝⎭， 由()0,A π∈知sin 0A >，则31sin cos cos sin 62B B B B π⎛⎫=-=+ ⎪⎝⎭，化简得sin 3cos B B =，tan 3B ∴=.又()0,B π∈，因此，3B π=；（2）如下图，由13sin 24ABC S ac B ac ∆==，又D 为AC 的中点，则2BD BA BC =+uu u r uu r uu u r，等式两边平方得22242BD BC BC BA BA =+⋅+u u u r u u u r u u u r u u r u u r ，所以2222423a c BA BC a c ac ac =++⋅=++≥u u u r u u u r，则43ac ≤，当且仅当a c =时取等号，因此，ABC ∆的面积最大值为343433=. 【点睛】本题考查正弦定理边角互化思想的应用，同时也考查了三角形的中线问题以及三角形面积的最值问题，对于三角形的中线计算，可以利用中线向量进行计算，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.19．如图甲，在直角梯形ABCD 中，//AB CD ，AB BC ⊥，224CD AB BC ===，过A 点作AE CD ⊥，垂足为E ，现将ADE ∆沿AE 折叠，使得DE EC ⊥.取AD 的中点F ，连接BF 、CF 、EF ，如图乙.（1）求证：BC ⊥平面DEC ； （2）求三棱锥E FBC -的体积.【答案】（1）证明见解析；（2）23. 【解析】（1）可证明出//BC AE ，由折叠的性质得出AE CE ⊥，AE DE ⊥，利用直线与平面垂直的判定定理得出AE ⊥平面DEC ，再由//BC AE ，可得出BC ⊥平面DEC ；（2）证明DE ⊥平面ABCE ，由E 为AD 的中点可知三棱锥F BCE -的高为12DE ，计算出BCE ∆的面积，然后利用锥体体积公式可计算出三棱锥F BCE -的体积，即为所求结果.【详解】（1）在图甲中，直角梯形ABCD 中，//AB CD ，AB BC ⊥，BC CD ∴⊥，AE CD ⊥Q ，则//BC AE .折叠后，在图乙中，AE CE ⊥，AE DE ⊥，又CE DE E =I ，AE ∴⊥平面DCE .//BC AE Q ，BC ∴⊥平面DCE ；（2）由（1）知，DE AE ⊥，又DE CE ⊥，且AE CE E =I ，DE ∴⊥平面ABCE .F Q 为AD 的中点，所以，三棱锥F BCE -的高为112122DE =⨯=，224CD AB BC ===Q ，易知四边形ABCE 是矩形，则2CD AB ==，BCE ∆的面积为2112222BCE S BC CE ∆=⋅=⨯=， 因此，1112123233E FBCF BCE BCEV V DE S --∆==⨯⨯=⨯⨯=. 【点睛】本题考查立体几何的翻折问题，考查直线与平面垂直的证明以及三棱锥体积的计算，在处理翻折问题时，要注意翻折前后相关直线的位置关系以及长度的变化，考查推理能力与计算能力，属于中等题.20．已知()xf x e =，()lng x x =.（1）令()()()h x f x g x =-，求证：()h x 有唯一的极值点；（2）若点A 为函数()g x 上的任意一点，点B 为函数()g x 上的任意一点，求A 、B 两点之间距离的最小值.【答案】（1）证明见解析；（22. 【解析】（1）求出函数()y h x =的导数，利用函数()y h x '=的单调性以及零点存在定理，说明函数()y h x '=在定义域上有唯一零点，再分析函数()y h x '=在该零点处函数值符号，可得证函数()y h x =有唯一极值点；（2）根据函数()xf x e =与()lng x x =关于直线y x =，将直线y x =平移后与分别与曲线()y f x =、()y g x =切于A 、B ，由此可得出AB 的最小值.【详解】（1）由题意知()ln x h x e x =-，所以()1xh x e x'=-，由xy e =单调递增，1y x=在()0,∞+上单调递减，()y h x '∴=在()0,∞+上单调递增，又1202h e ⎛⎫'=< ⎪⎝⎭，()110h e '=->， 所以存在唯一的01,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()00h x '=，当()00,x x ∈时，()00h x '<，函数()y h x =单调递减； 当()0,x x ∈+∞时，()00h x '>，函数()y h x =单调递增；因此，函数()y h x =有唯一的极值点；（2）由于()xf x e =与()lng x x =互为反函数，两个函数图象关于直线y x =对称，如下图，将直线y x =平移使得平移后的直线与函数()y f x =的图象相切，()xf x e '=，令()1xf x e '==，0x ∴=，可得点()0,1A .将直线y x =平移使得平移后的直线与函数()y g x =的图象相切，()1g x x'=， 令()11g x x'==，1x ∴=，可得点()10B ,， 因此，A 、B ()()2201102-+-=.【点睛】本题考查函数极值点个数，同时也考查反函数对称性的应用，在求解函数极值点个数问题时，要结合导数的单调性与零点存在定理来分析求解，考查数形结合思想的应用，属于中等题.21．已知抛物线()2:20E y px p =>，过其焦点F 的直线与抛物线相交于()11,A x y 、()22,B x y 两点，满足124y y =-.（1）求抛物线E 的方程；（2）已知点C 的坐标为()2,0-，记直线CA 、CB 的斜率分别为1k ，2k ，求221211k k +的最小值.【答案】（1）24y x =；（2）92. 【解析】（1）设直线AB 的方程为2px my =+，将直线AB 的方程与抛物线E 的方程联立，消去x ，利用韦达定理并结合条件124y y =-可求出实数p 的值，由此得出抛物线E 的方程；（2）由（1）得出直线AB 的方程为1x my =+，将该直线方程与抛物线E 的方程联立，并列出韦达定理，利用斜率公式结合韦达定理得出221211k k +关于m 的表达式，可得出221211k k +的最小值. 【详解】（1）因为直线AB 过焦点,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，设直线AB 的方程为2p x my =+，将直线AB 的方程与抛物线E 的方程联立222p x my y px⎧=+⎪⎨⎪=⎩，消去x 得2220y mpy p --=，所以有2124y y p =-=-，0p >Q ，2p ∴=，因此，抛物线E 的方程24y x =；（2）由（1）知抛物线的焦点坐示为()1,0F ，设直线AB 的方程为1x my =+，联立抛物线的方程2440y my --=，所以124y y m +=，124y y =-，则有1113m k y =+，2213m k y =+， 因此22222221212121211331111=269m m m m k k y y y y y y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+++++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()221212222122212122484926926954162y y y y m y y m m m m m m y y y y +-++=+⋅+⋅=+⋅+⋅=+-.因此，当且仅当0m =时，221211k k +有最小值92. 【点睛】本题考查抛物线方程的求解，同时也考查了直线与抛物线中的最值问题的求解，对于直线与抛物线的综合问题，一般将直线方程与抛物线方程联立，利用韦达定理设而不求法进行计算，计算量较大，考查方程思想的应用，属于中等题.22．在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为3sin 3cos x y θθ=⎧⎨=⎩（其中θ为参数）曲线2C 的普通方程为2214x y +=，以坐标原点为极点，以x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求曲线1C 和曲线2C 的极坐标方程；（2）射线1l :000,2πθθθ⎡⎤⎛⎫=∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦依次与曲线1C 和曲线2C 交于A 、B 两点，射线2l :000,22ππθθθ⎡⎤⎛⎫=+∈⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦依次与曲线1C 和曲线2C 交于C 、D 两点，求AOC BODS S ∆∆的最大值.【答案】（1）1C 的极坐标方程为3ρ=，2C 的极坐标方程为2224cos 4sin ρθθ=+；（2）458. 【解析】（1）将两曲线的方程均化为普通方程，然后由cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩可将两曲线的方程化为极坐标方程；（2）作出图形，设点B 、D 的极坐标分别为()10,ρθ、20,2πρθ⎛⎫+⎪⎝⎭，将这两点的极坐标代入椭圆的极坐标方程可得出1ρ、2ρ的表达式，可得出1212BOD S ρρ∆=，利用基本不等式可求出AOCBODS S ∆∆的最大值.【详解】（1）由曲线1C 的参数方程为3sin 3cos x y θθ=⎧⎨=⎩（其中θ为参数），所以曲线1C 的普通方程为229x y +=，由cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩则曲线1C 的极坐标方程为3ρ=. 又曲线2C 的普通方程为2214x y +=，由cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，得曲线2C 的极坐标方程为2224cos 4sin ρθθ=+； （2）如图，由题意知1922AOC S OA OC ∆=⋅=，点B 、D 的极坐标分别为()10,ρθ、20,2πρθ⎛⎫+⎪⎝⎭， 将这两点的极坐标代入椭圆的极坐标方程得12200cos 4sin ρθθ=+，222220000sin 4cos cos 4sin 22ρππθθθθ==+⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，12222200001122cos 4sin sin 4cos BOD S ρρθθθθ∆=⋅=++()()22220000cos 4sin sin 4cos θθθθ=++()()2222000099545cos 4sin sin 4cos 4428AOC BOD S S θθθθ∆∆∴=++⨯=， 当且仅当22220000cos 4sin sin 4cos θθθθ+=+，即04θπ=，不等式取等号， 因此，AOC BOD S S ∆∆的最大值为458.【点睛】本题考查参数方程、极坐标方程与普通方程的互化，以及利用极坐标解决最值问题，解题时要注意极坐标方程法的适用情况，考查运算求解能力，属于中等题.23．已知函数()1f x x a x =-+-.（1）若不等式()3f x ≤的解集为{}03x x ≤≤，求实数a 的值； （2）当2a = 时，若()1422nn f x +≥--对一切实数x 恒成立，求实数n 的取值范围.【答案】（1）2a =；（2）(]2,log 3-∞. 【解析】（1）由题意得出关于x 的方程()3f x =的两根分别为0和3，可得出()()0333f f ⎧=⎪⎨=⎪⎩，从而求出实数a 的值； （2）利用绝对值三角不等式得出函数()y f x =的最小值为1，可得出14223n n +--≤，再令2n t =，可得出2230t t --≤，解出3t ≤，即23n ≤，从而可解出实数n 的取值范围.【详解】（1）由题意得出关于x 的方程()3f x =的两根分别为0和3，则()()0333f f ⎧=⎪⎨=⎪⎩，即13323a a ⎧+=⎪⎨-+=⎪⎩，解得2a =；（2）当2a =时，由绝对值三角不等式得()21211f x x x x x =-+-≥--+=， 又()1422nn f x +≥--对一切实数x 恒成立，所以11422n n +≥--，令2n t =，化简得2230t t --≤，解得3t ≤， 所以2log 3n ≤，实数n 的取值范围为(]2,log 3-∞.【点睛】本题考查不等式的解集与不等式之间的关系，同时也考查了绝对值不等式恒成立，解题时根据不等式恒成立转化为函数的最值，并借助三角不等式求解，考查化归与转化思想，属于中等题.。
2020届云南师大附中高考适应性月考数学(理)试题Word版含答案
2020届云南师大附中高考适应性月考数学（理）试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合2{1,}A y y x x R ==+∈，集合2{1,}B y y x x R ==-+∈，则A B =（ ）A ．{(0,1)}B ．{1}C ．φD ．{0} 2. 已知复数11iz i+=-，则z =（ ） A ．2 BC ．4 D3.已知平面向量,a b 的夹角为045，(1,1)a =，1b =，则a b +=（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D 4.将函数()sin(2)3f x x π=+的图象向左平移6π个单位，所得的图象所对应的函数解析式是（ ）A ．sin 2y x =B ．cos 2y x = C. 2sin(2)3y x π=+D ．sin(2)6y x π=- 5.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2813a a +=，735S =，则8a =（ ） A ．8 B ．9 C.10 D ．116.已知点(,)P x y 在不等式组20020x y x y y -≥⎧⎪-≤⎨⎪-≤⎩，表示的平面区域上运动，则z x y =+的最大值是（ ）A ．4B ．3 C.2 D ．17.从某社区随机选取5名女士，其身高和体重的数据如下表所示：根据上表可得回归直线方程0.6y x a =+，据此得出a 的值为（ ） A ．43.6 B ．-43.6 C.33.6 D ．-33.68.若直线20ax by +-=（0,0a b >>）始终平分圆22222x y x y +--=的周长，则112a b+的最小值为（ ） A ．3224- B ．3222- C. 3222+ D ．3224+ 9.函数()sin lg f x x x =-的零点个数是（ ） A ．2 B ．3 C.4 D ．510.已知,,,,,a b c A B C 分别是ABC ∆的三条边及相对三个角，满足::cos :cos :cos a b c A B C =，则ABC ∆的形状是（ ）A ．等腰三角形B ．等边三角形 C.直角三角形 D ．等腰直角三角形 11.已知正三棱锥S ABC -及其正视图如图 所示，则其外接球的半径为（ ）A ．33 B ．433 C. 536 D ．73612.定义在R 上的偶函数()f x ，当0x ≥时，32()ln(1)xf x e x x =+++，且()()f x t f x +>在(1,)x ∈-+∞上恒成立，则关于x 的方程(21)f x t +=的根的个数叙述正确的是（ ） A ．有两个 B ．有一个 C.没有 D ．上述情况都有可能第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 121()x x+展开式中常数项是 ．14.执行如图所示的程序框图后，输出的结果是 ．（结果用分数表示）15.已知双曲线22221x y a b-=（0,0a b >>）的右焦点为F ，过F 作x 轴的垂线，与双曲线在第一象限内的交点为M ，与双曲线的渐近线在第一象限的交点为N ，满足MN MF =，则双曲线离心率的值是 ．16.设O 是ABC ∆的三边垂直平分线的交点，H 是ABC ∆的三边中线的交点，,,a b c 分别为角,,A B C 的对应的边，已知22240b b c -+=，则AH AO •的取值范围是 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知数列{}n a 满足11a =，123n n a a +=+（*n N ∈）. （1）求证：数列{3}n a +是等比数列；（2）若{}n b 满足(21)(3)n n b n a =-+，求数列{}n b 的前n 项和n S .18. 某班级体育课举行了一次“投篮比赛”活动，为了了解本次投篮比赛学生总体情况，从中抽取了甲乙两个小组样本分数的茎叶图如图所示.甲 乙（1）分别求出甲乙两个小组成绩的平均数与方差，并判断哪一个小组的成绩更稳定：（２）从甲组成绩不低于60分的同学中，任意抽取3名同学，设ξ表示所抽取的3名同学中得分在[60,70)的学生个数，求ξ的分布列及其数学期望.19. 如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，1AC 与平面11A ADD 及平面ABCD 所成角分别为030，045，,M N 分别为1AC 与1A D 的中点，且1MN =. （1）求证：MN ⊥平面11A ADD ；（2）求二面角1A AC D --的平面角的正弦值.20. 已知椭圆:C 22221x y a b+=（0,0a b >>）的两个顶点分别为(,0)A a -，(,0)B a ，点P 为椭圆上异于,A B 的点，设直线PA 的斜率为1k ，直线PB 的斜率为2k ，1212k k =-. （1）求椭圆C 的离心率；（2）若1b =，设直线l 与x 轴交于点(1,0)D -，与椭圆交于,M N 两点，求OMN ∆的面积的最大值.21. 设函数2()ln f x x x b x =++（1）若函数()f x 在1[,)2+∞上单调递增，求b 的取值范围； （2）求证：当1n ≥时，5ln ln(1)ln 24n n -+<-请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线C 的参数方程为：2cos 3sin x y θθ=⎧⎪⎨=⎪⎩（θ为参数），直线l 的参数方程为：13x ty t =+⎧⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），点(1,0)P ，直线l 与曲线C 交于,A B 两点.（1）分别写出曲线C 在直角坐标系下的标准方程和直线l 在直角坐标系下的一般方程； （2）求11PA PB+的值. 23.选修4-5：不等式选讲 已知函数()12f x x x =++-.（1）请写出函数()f x 在每段区间上的解析式，并在图中的直角坐标系中作出函数()f x 的图象； （2）若不等式2122x x a a ++-≥+对任意的实数x 恒成立，求实数a 的取值范围.2020届云南师大附中高考适应性月考数学（理）试题答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）11．由三视图知：三棱锥S ABC-是底面边长为的正三棱锥，设其外接球的半径为R，则有：22)4R R=-+，解得：R=，故选D．12．由题意知：32()e ln(1)xf x x x=+++在(0)+∞，上单调递增，()()f x t f x+>在(1)x∈-+∞，上恒成立，必有2t≥，则(21)f x t+=的根有2个，故选A．13．36122112121C Crrr r rrT xx--+⎛⎫==⎪⎝⎭，3602r-=，解得：4r=，代入得常数项为495．14．该程序执行的是11111111112913248102132481045S⎛⎫=+++=-+-++-=⎪⨯⨯⨯⎝⎭．15．由已知：22||||b bc bFM MNa a a==-，，由||||FM MN=知：22bc ba a=，2c b e==∴，∴．16．2211()3322b cAH AO AB AC AO⎛⎫=+=+⎪⎝⎭，又22240b b c-+=，代入得：AH AO=2221421(4)3226b b bb b⎛⎫-+=-⎪⎝⎭，又22240c b b=-+>，所以02b<<，代入得AH AO的取值范围为23⎛⎫⎪⎝⎭，．三、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（本小题满分12分）（Ⅰ）证明：因为123n n a a +=+，所以132(3)n n a a ++=+， 而11a =，故数列{3}n a +是首项为4，公比为2的等比数列．（Ⅱ）解：由（Ⅰ）得数列{3}n a +是首项为4，公比为2的等比数列，即132n n a ++=，因此123n n a +=-． 所以1(21)2n n b n +=-，2311232(21)2n n S n +=⨯+⨯++-⨯，① 34221232(21)2n n S n +=⨯+⨯++-⨯，②①−②有231222(22)(21)2n n n S n ++-=+++--⨯，所以2(23)212n n S n +=-+．18．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）5160626371748182688x +++++++==甲， 5862646669717381688x +++++++==乙，222222222(5168)(6068)(6268)(6368)(7168)(7468)(8168)(8268)8s -+-+-+-+-+-+-+-=甲103=，222222222(5868)(6268)(6468)(6668)(6968)(7168)(7368)(8168)8s -+-+-+-+-+-+-+-=乙45=，所以乙组的成绩更稳定．（Ⅱ）由题意知ξ服从参数为3，3，7的超几何分布，即(337)H ξ，，，ξ的取值可能为：0，1，2，3， 3437C 4(0)C 35P ξ===，214337C C 18(1)C 35P ξ===，124337C C 12(2)C 35P ξ===，3337C 1(3)C 35P ξ===，ξ的分布列为：ξ0 1 2 3 P43518351235135ξ的数学期望：339()77E ξ⨯==． 19．（本小题满分12分）（Ⅰ）证明：在长方体1111ABCD A B C D -中，因为11M N A C A D ，分别为，的中点，所以MN 为1A CD △的中位线， 所以MN ∥CD ，又因为CD ⊥平面11A ADD ， 所以MN ⊥平面11A ADD ．（Ⅱ）解：在长方体1111ABCD A B C D -中，因为CD ⊥平面11A ADD ， 所以1CA D ∠为1A C 与平面11A ADD 所成的角， 即1CA D ∠=30︒，又因为1A A ⊥平面ABCD ，所以1A CA ∠为1A C 与平面ABCD 所成的角， 即145A CA ∠=︒，所以1MN =，2CD =，14A C =，1A A =AC =，如图2，分别以AB ，AD ，1AA 所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系A xyz -，∴A(0，0，0)，D(0，2，0)，1(22C ，，，1(00A ，，，C(2，2，0)，B(2，0，0)， 在正方形ABCD 中，BD ⊥AC ，∴BD 是平面1A AC 的法向量，(220)BD =-，，. 设平面1A CD 的法向量为()n x y z =，，，由(200)DC =，，，1(02DA =-，，，所以有202220x y z =⎧⎪⎨-+=⎪⎩，， ∴02x y z =⎧⎪⎨=⎪⎩，，取z=1，得平面1A CD 的一个法向量为(021)n =，，. 设二面角1A A C D --的大小为α，则223|cos |3223α==.∴36sin =α．20．解：（Ⅰ）00()P x y 设，，代入椭圆的方程有：2200221x y a b +=，整理得：2222002()b y x a a =--，又10y k x a=+，20y k x a=-，所以201222012y k k x a ==--，212212b k k a =-=-联立两个方程有，22c e a =解得：．（Ⅱ）由（Ⅰ）知222a b =，又1b =，所以椭圆C 的方程为22121x y +=.设直线l 的方程为：1x my =-，代入椭圆的方程有：22(2)210m y my +--=，设1122()()M x y N x y ，，，， 1212222122m y y y y m m -+==++由韦达定理：，，121||||2OMNS OD y y =-===△所以，(1)t t =≥，则有221m t =-，代入上式有1OMNS t ==△，当且仅当1t =，即0m =时等号成立， 所以OMN △．21．（Ⅰ）解：22()21b x x bf x x x x ++'=++=，当0b ≥时，在12⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，上()0f x '≥恒成立，所以()f x 在12⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，上单调递增成立， 当0b <时，由220x x b ++=，解得x =易知，()f x在0⎛ ⎝上单调递减，在⎫+∞⎪⎪⎭上单调递增，12≤，解得1b -≥． 综上所述，1b -≥．（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知，当1b =-时，()f x 在12⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，上单调递增， 对任意1n ≥，有112n n +≥成立，所以112n f f n ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭≥，代入()f x 有23ln ln 21114n n n n n n ⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭≥，整理得：2223ln 2ln (1)41n n n n n +⎛⎫-- ⎪++⎝⎭≥. 22．解：（Ⅰ）曲线C 的标准方程为：22143x y +=， 直线l0y -=．（Ⅱ）将直线l的参数方程化为标准方程：112()x t t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，为参数，， 代入椭圆方程得：254120t t +-=，解得12625t t ==-，，所以12114||11||||||3PA PB t t +=+=．23．解：（Ⅰ）12(1)()3(12)21(2)x x f x x x x -<-⎧⎪=-⎨⎪->⎩，≤≤，，函数的图象如图所示．（Ⅱ）由（Ⅰ）知()f x 的最小值是min ()3f x =，所以要使不等式2|1||2|2x x a a ++-+≥恒 成立，有232a a +≥，解之得[31]a ∈-，．。
2020届云师大附中高三高考适应性月考(一)数学(文)试题(解析版)
2020届云师大附中高三高考适应性月考（一）数学（文）试题一、单选题 1．已知集合(){}2,A x y y x ==，(){}22,1B x y xy =+=，则集合A B I 中元素的个数为（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3【答案】C【解析】作出函数2y x =和圆221x y +=的图象，观察两曲线的交点个数，可得出集合A B I 的元素个数. 【详解】如下图所示，由函数2y x =与圆221x y +=的图象有两个交点，因此，集合A B I 含有两个元素，故选：C.【点睛】本题考查集合的元素个数，考查曲线的交点个数问题，考查数形结合思想的应用，属于中等题.2．瑞士数学家欧拉在1748年得到复数的三角方程：cos sin ix e x i x =+，根据三角方程，计算1i e π+的值为（ ） A ．1- B ．0C ．1D ．i【答案】B【解析】根据复数的三角方程将复数i e π表示为复数的一般形式，然后利用复数的加法法则可得出结果. 【详解】由cos sin ix e x i x =+，则1cos sin 1110i e i πππ+=++=-+=，故选B. 【点睛】本题考查复数的加法运算，解题的关键就是理解题中复数三角方程的定义，考查计算能力，属于基础题.3．移动支付、高铁、网购与共享单车被称为中国的新“四大发明”，某中学为了解本校学生中新“四大发明”的普及情况，随机调査了100位学生，共中使用过移动支付或共享单车的学生共90位，使用过移动支付的学生共有80位，使用过共享单车的学生且使用过移动支付的学生共有60位，则该校使用共享单车的学生人数与该校学生总数比值的估计值为（ ） A ．0.5 B ．0.6C ．0.7D ．0.8【答案】C【解析】作出韦恩图，根据题中的信息得出样本中使用共享单车和移动支付的学生人数，将人数除以100可得出所求结果. 【详解】根据题意使用过移动支付、共享单车的人数用韦恩图表示如下图，因此，该校使用共享单车的学生人数与该校学生总数比值的估计值700.7100=，故选：C. 【点睛】本题考查韦恩图的应用，同时也考查了频率的计算，考查数据处理能力，属于中等题.4．已知x 、y 满足的约束条件02300x x y y ≥⎧⎪+-≥⎨⎪≥⎩，则22x y + ）A 35B 25C 3D 5【答案】A【解析】22x y +22x y +的最小值为原点到直线230x y +-=的距离，由此可得出结果. 【详解】作出不等式组02300x x y y ≥⎧⎪+-≥⎨⎪≥⎩所表示的可行域如下图所示：()()222200x y x y +=-+-的几何意义为可行域内的点到点()0,0的距离，过点O 作直线230x y +-=的垂线OH ，则22x y +的最小值为223512OH ==+， 故选：A. 【点睛】本题考查线性规划问题，考查距离型非线性函数的最值问题，要理解非线性目标函数的几何意义，借助数形结合思想进行求解，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题. 5．函数()cos ln f x x x =-的零点个数是（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】B【解析】在平面直角坐标系内作出函数cos y x =与函数ln y x =的图象，观察两函数的交点个数，即为函数()cos ln f x x x =-的零点个数. 【详解】令()0f x =，得cos ln x x =，则函数()y f x =的的零点个数等价于函数cos y x =与函数ln y x =图象的交点个数，如下图所示：由图象知cos y x =与ln y x =的交点个数为2， 因此，函数()y f x =的零点个数也为2，故选：B.【点睛】本题考查函数零点个数问题，常用的方法有两种：一种是代数法，另一种是图象法，转化为两个函数的交点个数，考查数形结合思想的应用，属于中等题.6．在等差数列{}n a 中，51340a a +=，则7891011a a a a a ++++=（ ） A ．40 B ．60C ．80D ．100【答案】D【解析】利用等差中项的性质得出9a 的值，再利用等差中项的性质可得出7891011a a a a a ++++的值.【详解】由等差中项的性质可得5139240a a a +==，920a ∴=，因此，()()7891011711810995100a a a a a a a a a a a ++++=++++==，故选：D. 【点睛】本题考查等差中项性质的应用，在求解等差数列的问题时，常用基本量法与等差数列性质来进行求解，考查计算能力，属于中等题. 7．函数sin y x x =的大致图象为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】考查函数sin y x x =的奇偶性以及该函数在区间()0,π上的函数值符号进行排除，可得出正确选项. 【详解】设()sin f x x x =，该函数的定义域为R ，且()()()sin sin f x x x x x f x -=--==，所以，函数()sin f x x x =为偶函数，排除A 、C 选项，且当0πx <<时，sin 0x >，此时()0f x >，排除D 选项，故选：B. 【点睛】本题考查函数图象的识别，一般从函数的定义域、奇偶性、单调性、零点以及函数值符号等基本要素进行逐一排除，考查推理能力，属于中等题. 8．如图，执行程序框图后，输出的结果是（ ）A ．140B ．204C ．245D ．300【答案】B【解析】根据程序框图列举出算法的每一步，可得出输出结果. 【详解】18n =>不成立，执行第一次循环，211b ==，011s =+=，112n =+=； 28n =>不成立，执行第二次循环，224b ==，145s =+=，213n =+=； 38n =>不成立，执行第三次循环，239b ==，5914s =+=，314n =+=； 48n =>不成立，执行第四次循环，2416b ==，141630s =+=，415n =+=； 58n =>不成立，执行第五次循环，2525b ==，302555s =+=，516n =+=； 68n =>不成立，执行第六次循环，2636b ==，553691s =+=，617n =+=；78n =>不成立，执行第七次循环，2749b ==，9149140s =+=，718=+=n ； 88n =>不成立，执行第八次循环，2864b ==，14064204s =+=，819n =+=；98n =>成立，跳出循环体，输出s 的值为204，故选B.【点睛】本题考查程序框图运行结果的计算，一般利用算法程序框图将算法的每一步列举出来，考查计算能力，属于中等题.9．已知函数()sin f x x =，将()f x 的图象上的所有点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标扩大为原来的3倍，再把图象上所有的点向上平移1个单位长度，得到函数()y g x =的图象，则函数()g x 的周期可以为（ ） A ．2πB ．πC ．32π D ．2π【答案】B【解析】先利用三角函数图象变换规律得出函数()y g x =的解析式，然后由绝对值变换可得出函数()y g x =的最小正周期. 【详解】()sin f x x =Q ，将函数()y f x =的图象上的所有点的横坐示缩短到原来的12，可得到函数sin 2y x =的图象，再将所得函数图象上所有点的纵坐标扩大为原来的3倍，得到函数3sin 2y x =的图象，再把所得图象向上平移1个単位长度，得到()3sin 21g x x =+，由绝对值变换可知，函数()y g x =的最小正周期为22T ππ==，故选B. 【点睛】本题考查三角函数变换，同时也考查三角函数周期的求解，解题的关键就是根据图象变换的每一步写出所得函数的解析式，考查推理能力，属于中等题.10．若函数()2f x ax =与函数()lng x x =存在公共点()P m n ,，并且在()P m n ,处具有公共切线，则实数a =（ ） A ．1eB ．2eC ．12eD ．32e【答案】C【解析】由题意得出()()()()f mg m f m g m ⎧=⎪⎨=''⎪⎩，解此方程组，可得出实数a 的值.【详解】因为()2f x ax =，所以()2f x ax '=；由()ln g x x =，得()1g x x'=. 因为()2f x ax =与()lng x x =在它们的公共点()P m n ,处具有公共切线，则()()()()f m g m f m g m ⎧=⎪⎨=''⎪⎩，即2ln 12am mam m ⎧=⎪⎨=⎪⎩，解得12m a e ⎧=⎪⎨=⎪⎩，故选：C. 【点睛】本题考查两函数在公共点处有公切线问题，解题时要将问题转化为在公共点处函数值和导数值分别相等，并利用方程组求解，考查化归与转化思想以及方程思想的应用，属于中等题.11．阿波罗尼斯（约公元前262190-年）证明过这样一个命题:平面内到两定点距离之比为常数()0,1k k k >≠的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.若平面内两定点A 、B 间的距离为2，动点P满足PA PB=则22PA PB +的最小值为（ ）A．36-B．48-C．D．【答案】A【解析】以经过A 、B 的直线为x 轴，线段AB 的垂直平分线y 轴，建立直角坐标系，得出点A 、B 的坐标，设点(),P x y，利用两点间的距离公式结合条件PA PB=点P 的轨迹方程，然后利用坐标法计算出22PA PB +的表达式，再利用数形结合思想可求出22PA PB +的最小值. 【详解】以经过A 、B 的直线为x 轴，线段AB 的垂直平分线y 轴，建立直角坐标系，则()1,0A -、()10B ,，设(),P x y，PA PB=Q，=两边平方并整理得()222261038x y x x y +-+=⇒-+=， 所以P 点的轨迹是以()3,0为圆心， 则有()222222222PA PB x yOP+=++=+，如下图所示：当点P 为圆与x 轴的交点（靠近原点）时，此时，OP 取最小值，且322OP =-， 因此，(22223222362PA PB +≥⨯-+=- A.【点睛】本题考查动点的轨迹方程的求法，考查坐标法的应用，解题的关键就是利用数形结合思想，将代数式转化为距离求解，考查数形结合思想的应用以及运算求解能力，属于中等题.12．四边形ABDC 是菱形，60BAC ∠=o ，3AB =BC 翻折后，二面角A BC D --的余弦值为13-，则三棱锥D ABC -的外接球的体积为（ ）A 5πB 6πC 7πD ．22π【答案】B【解析】取BC 的中点为M ，设球心O 在平面ABC 内的射影为1O ，在平面BCD 内的射影为2O ，利用二面角的定义得出1cos 3AMD ∠=-，并设2AMD θ∠=，计算出tan θ的值，可得出2OO 的长度和2DO 的长度，然后利用勾股定理得出三棱锥D ABC -外接球的半径R ，最后利用球体体积公式可计算出结果.【详解】如下图所示，取BC 的中点为M ，设球心O 在平面ABC 内的射影为1O ，在平面BCD 内的射影为2O ，则二面角A BC D --的平面角为AMD ∠，3AB =所以32DM =，2213DO DM ==，212O M =，设2AMD θ∠=， 则21cos 22cos 13θθ=-=-，21cos 3θ∴=，则22sin 3θ=，2tan 2θ∴=，tan 2θ∴=222tan OO O M θ∴=⋅=球O 的半径22226R DO OO =+=，所求外接球的体积为24663V ππ=⋅=⎝⎭， 故选：B. 【点睛】本题考查外接球体积的计算，同时也考查了二面角的定义，解题的关键就是要找出球心的位置，并分析几何图形的形状，借助相关定理进行计算，考查推理能力与计算能力，属于中等题.二、填空题13．已知a v 、b v 为单位向量，,3a b π=v v ，则2a b +=v v ____________.7【解析】利用平面向量数量积的运算律和定义计算()222a b a b+=+r rr r .【详解】由于a r 、b r 为单位向量，,3a b π<>=r r ，则1a b ==r r ，且1cos ,2a b a b a b ⋅=⋅<>=r r r r r r ，因此，()2222212244414172a b a ba ab b +=+=+⋅+=⨯+⨯+=r rr rr r r r ，7【点睛】本题考查利用平面向量的数量积计算向量的模，在计算向量的模时，一般将向量的模进行平方，结合平面向量数量积的运算律和定义来进行计算，考查计算能力，属于中等题.s 14．等比数列{}n a 的首项11a =，48a =，则4S =___________.【答案】15【解析】设等比数列{}n a 的公比为q ，根据题中条件求出q 的值，再利用等比数列求和公式可计算出4S 的值. 【详解】11a =Q ，48a =，所以3418a q a ==，所以2q =，因此，()()4414111215112a q S q-⨯-===--，故答案为：15. 【点睛】本题考查等比数列求和，对于等比数列，一般是通过建立首项和公比的方程组，求出这两个量，再结合相关公式进行计算，考查运算求解能力，属于中等题.15．设1F 、2F 为椭圆C :2214x y +=的两个焦点，M 为C 上点，122F MF π∠=，则12F MF ∆的面积为______.【答案】1【解析】利用勾股定理和椭圆的定义列等式求出12MF MF ⋅的值，然后利用三角形的面积公式可计算出12F MF ∆的面积. 【详解】由题意可知，2a =，1b =，223c a b =-=，则12223F F c ==. 如下图，由题意知122F MF π∠=，由勾股定理得222121212MF MF F F +==，由椭圆定义得1224MF MF a +==，将该等式两边平方得221122216MF MF MF MF +⋅+=，122MF MF ∴⋅=，因此，12F MF ∆的面积为1212112122F MF S MF MF ∆=⋅=⨯=，故答案为1.【点睛】本题考查椭圆焦点三角形面积的计算，解题时应充分利用椭圆的定义与余弦定理求解，并结合三角形的面积公式进行计算，考查运算求解能力，属于中等题.16．边长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点M 为上底面1111D C B A 的中心，N 为下底面ABCD 内一点，且直线MN 与底面ABCD 所成线面角的正切值为2，则点N 的轨迹围成的封闭图象的面积为_____. 【答案】【解析】作出图形，设正方体底面ABCD 的中心为点O ，可得出MO ⊥平面ABCD ，由直线与平面所成角的定义得出tan 2MNO ∠=，可得出12ON =，从而可知点N 的轨迹是半径为12的圆，然后利用圆的面积公式可得出结果. 【详解】 如下图所示，由题意知，M 在底面ABCD 内的投影为底面ABCD 的中心O ，连接ON ， 则MNO ∠即为直线MN 与底面ABCD 所成的角，所以，tan 2OMMNO ON∠==， 则12ON =，所以N 的轨迹是以底面ABCD 的中心O 为圆心，以12为半径的圆， 因此，N 的轨迹围成的封闭图象的面积为2124S ππ⎛⎫=⨯= ⎪⎝⎭，故答案为：4π. 【点睛】本题考查立体几何中的轨迹问题，同时也考查直线与平面所成角的定义，解题时要熟悉几种常见曲线的定义，考查空间想象能力，属于中等题.三、解答题17．某调研机构，对本地[]22,50岁的人群随机抽取200人进行了一次生活习惯是否符合低碳观念的调查，将生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”，结果显示，有100人为“低碳族”，该100人的年龄情况对应的频率分布直方图如图.（1）根据频率分布直方图，估计这100名“低碳族”年龄的平均值，中位数； （2）若在“低碳族”且年龄在[)30,34、[)34,38的两组人群中，用分层抽样的方法抽取30人，试估算每个年龄段应各抽取多少人？【答案】（1）平均值为36，中位数为36；（2）年龄在[)30,34的8人，在[)34,38的22人.【解析】（1）将频率分布直方图中每个矩形底边的中点值乘以矩形的面积，再将这些乘积相加可得出平均值，利用中位数左右两边的矩形面积和均为0.5计算出矩形的面积； （2）先计算出年龄在[)30,34、[)34,38的频率之比，再利用分层抽样的特点得出样本中年龄段在[)30,34、[)34,38的人数. 【详解】（1）100位“低碳族”的年龄平均值x 为240.04280.08320.16360.44x =⨯+⨯+⨯+⨯400.16440.1480.0235.9236+⨯+⨯+⨯=≈，设中位数为a ，前三个矩形的面积为0.040.080.160.28++=， 前四个矩形的面积为0.040.080.160.440.72+++=，则()34,38a ∈， 由题意可得()0.28340.110.5a +-⨯=，解得36a =，因此，中位数为36； （2）年龄在[)30,34、[)34,38的频率分别为0.0440.16⨯=，0.1140.44⨯=， 频率之比为0.16:0.444:11=，所抽取的30人中，年龄在[)30,34的人数为430815⨯=， 年龄在[)34,38的人数为11302215⨯=. 【点睛】本题考查频率分布直方图中平均数和中位数的计算，同时也考查了分层抽样相关的计算，考查计算能力，属于基础题.18．在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且满足sin cos 6b A a B π⎛⎫=- ⎪⎝⎭.（1）求角B 的大小；（2）若D 为AC 的中点，且1BD =，求ABC S ∆的最大值. 【答案】（1）3π；（2）3. 【解析】（1）利用正弦定理边角互化思想得出sin cos 6B B π⎛⎫=-⎪⎝⎭，再利用两角差的余弦公式可得出tan B 的值，结合角B 的范围可得出角B 的大小；（2）由中线向量得出2BD BA BC =+uu u r uu r uu u r，将等式两边平方，利用平面向量数量积的运算律和定义，并结合基本不等式得出ac 的最大值，再利用三角形的面积公式可得出ABC ∆面积的最大值.【详解】（1）由正弦定理及sin cos 6b A a B π⎛⎫=- ⎪⎝⎭得sin sin sin cos 6B A A B π⎛⎫=-⎪⎝⎭， 由()0,A π∈知sin 0A >，则31sin cos cos sin 622B B B B π⎛⎫=-=+ ⎪⎝⎭，化简得sin 3cos B B =，tan 3B ∴=.又()0,B π∈，因此，3B π=；（2）如下图，由13sin 24ABC S ac B ac ∆==，又D 为AC 的中点，则2BD BA BC =+uu u r uu r uu u r，等式两边平方得22242BD BC BC BA BA =+⋅+u u u r u u u r u u u r u u r u u r ， 所以2222423a c BA BC a c ac ac =++⋅=++≥u u u r u u u r， 则43ac ≤，当且仅当a c =时取等号，因此，ABC ∆的面积最大值为3433⨯=. 【点睛】本题考查正弦定理边角互化思想的应用，同时也考查了三角形的中线问题以及三角形面积的最值问题，对于三角形的中线计算，可以利用中线向量进行计算，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.19．如图甲，在直角梯形ABCD 中，//AB CD ，AB BC ⊥，224CD AB BC ===，过A 点作AE CD ⊥，垂足为E ，现将ADE ∆沿AE 折叠，使得DE EC ⊥.取AD 的中点F ，连接BF 、CF 、EF ，如图乙.（1）求证：BC ⊥平面DEC ； （2）求三棱锥E FBC -的体积. 【答案】（1）证明见解析；（2）23. 【解析】（1）可证明出//BC AE ，由折叠的性质得出AE CE ⊥，AE DE ⊥，利用直线与平面垂直的判定定理得出AE ⊥平面DEC ，再由//BC AE ，可得出BC ⊥平面DEC ；（2）证明DE ⊥平面ABCE ，由E 为AD 的中点可知三棱锥F BCE -的高为12DE ，计算出BCE ∆的面积，然后利用锥体体积公式可计算出三棱锥F BCE -的体积，即为所求结果. 【详解】（1）在图甲中，直角梯形ABCD 中，//AB CD ，AB BC ⊥，BC CD ∴⊥，AE CD ⊥Q ，则//BC AE .折叠后，在图乙中，AE CE ⊥，AE DE ⊥，又CE DE E =I ，AE ∴⊥平面DCE .//BC AE Q ，BC ∴⊥平面DCE ；（2）由（1）知，DE AE ⊥，又DE CE ⊥，且AE CE E =I ，DE ∴⊥平面ABCE .F Q 为AD 的中点，所以，三棱锥F BCE -的高为112122DE =⨯=，224CD AB BC ===Q ，易知四边形ABCE 是矩形，则2CD AB ==，BCE ∆的面积为2112222BCE S BC CE ∆=⋅=⨯=，因此，1112123233E FBCF BCE BCE V V DE S --∆==⨯⨯=⨯⨯=.【点睛】本题考查立体几何的翻折问题，考查直线与平面垂直的证明以及三棱锥体积的计算，在处理翻折问题时，要注意翻折前后相关直线的位置关系以及长度的变化，考查推理能力与计算能力，属于中等题.20．已知()xf x e =，()lng x x =.（1）令()()()h x f x g x =-，求证：()h x 有唯一的极值点；（2）若点A 为函数()g x 上的任意一点，点B 为函数()g x 上的任意一点，求A 、B 两点之间距离的最小值.【答案】（1）证明见解析；（22.【解析】（1）求出函数()y h x =的导数，利用函数()y h x '=的单调性以及零点存在定理，说明函数()y h x '=在定义域上有唯一零点，再分析函数()y h x '=在该零点处函数值符号，可得证函数()y h x =有唯一极值点；（2）根据函数()xf x e =与()lng x x =关于直线y x =，将直线y x =平移后与分别与曲线()y f x =、()y g x =切于A 、B ，由此可得出AB 的最小值. 【详解】（1）由题意知()ln xh x e x =-，所以()1xh x e x'=-，由x y e =单调递增，1y x=在()0,∞+上单调递减，()y h x '∴=在()0,∞+上单调递增， 又1202h e ⎛⎫'=-<⎪⎝⎭，()110h e '=->， 所以存在唯一的01,12x ⎛⎫∈⎪⎝⎭，使得()00h x '=， 当()00,x x ∈时，()00h x '<，函数()y h x =单调递减； 当()0,x x ∈+∞时，()00h x '>，函数()y h x =单调递增； 因此，函数()y h x =有唯一的极值点；（2）由于()xf x e =与()lng x x =互为反函数，两个函数图象关于直线y x =对称，如下图，将直线y x =平移使得平移后的直线与函数()y f x =的图象相切，()xf x e '=，令()1xf x e '==，0x ∴=，可得点()0,1A .将直线y x =平移使得平移后的直线与函数()y g x =的图象相切，()1g x x'=， 令()11g x x'==，1x ∴=，可得点()10B ,， 因此，A 、B ()()2201102-+-=.【点睛】本题考查函数极值点个数，同时也考查反函数对称性的应用，在求解函数极值点个数问题时，要结合导数的单调性与零点存在定理来分析求解，考查数形结合思想的应用，属于中等题.21．已知抛物线()2:20E y px p =>，过其焦点F 的直线与抛物线相交于()11,A x y 、()22,B x y 两点，满足124y y =-.（1）求抛物线E 的方程；（2）已知点C 的坐标为()2,0-，记直线CA 、CB 的斜率分别为1k ，2k ，求221211k k +的最小值.【答案】（1）24y x =；（2）92. 【解析】（1）设直线AB 的方程为2px my =+，将直线AB 的方程与抛物线E 的方程联立，消去x ，利用韦达定理并结合条件124y y =-可求出实数p 的值，由此得出抛物线E 的方程；（2）由（1）得出直线AB 的方程为1x my =+，将该直线方程与抛物线E 的方程联立，并列出韦达定理，利用斜率公式结合韦达定理得出221211k k +关于m 的表达式，可得出221211k k +的最小值. 【详解】（1）因为直线AB 过焦点,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，设直线AB 的方程为2p x my =+，将直线AB 的方程与抛物线E 的方程联立222p x my y px ⎧=+⎪⎨⎪=⎩，消去x 得2220y mpy p --=，所以有2124y y p =-=-，0p >Q ，2p ∴=，因此，抛物线E 的方程24y x =；（2）由（1）知抛物线的焦点坐示为()1,0F ，设直线AB 的方程为1x my =+，联立抛物线的方程2440y my --=，所以124y y m +=，124y y =-，则有1113m k y =+，2213m k y =+， 因此22222221212121211331111=269m m m m k k y y y y y y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+++++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()221212222122212122484926926954162y y y y m y y m m m m m m y y y y +-++=+⋅+⋅=+⋅+⋅=+-.因此，当且仅当0m =时，221211k k +有最小值92. 【点睛】本题考查抛物线方程的求解，同时也考查了直线与抛物线中的最值问题的求解，对于直线与抛物线的综合问题，一般将直线方程与抛物线方程联立，利用韦达定理设而不求法进行计算，计算量较大，考查方程思想的应用，属于中等题. 22．在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为3sin 3cos x y θθ=⎧⎨=⎩（其中θ为参数）曲线2C 的普通方程为2214x y +=，以坐标原点为极点，以x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求曲线1C 和曲线2C 的极坐标方程； （2）射线1l :000,2πθθθ⎡⎤⎛⎫=∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦依次与曲线1C 和曲线2C 交于A 、B 两点，射线2l :000,22ππθθθ⎡⎤⎛⎫=+∈⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦依次与曲线1C 和曲线2C 交于C 、D 两点，求AOC BODS S ∆∆的最大值.【答案】（1）1C 的极坐标方程为3ρ=，2C 的极坐标方程为2224cos 4sin ρθθ=+；（2）458. 【解析】（1）将两曲线的方程均化为普通方程，然后由cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩可将两曲线的方程化为极坐标方程；（2）作出图形，设点B 、D 的极坐标分别为()10,ρθ、20,2πρθ⎛⎫+⎪⎝⎭，将这两点的极坐标代入椭圆的极坐标方程可得出1ρ、2ρ的表达式，可得出1212BOD S ρρ∆=，利用基本不等式可求出AOCBODS S ∆∆的最大值.【详解】（1）由曲线1C 的参数方程为3sin 3cos x y θθ=⎧⎨=⎩（其中θ为参数），所以曲线1C 的普通方程为229x y +=， 由cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩则曲线1C 的极坐标方程为3ρ=.又曲线2C 的普通方程为2214x y +=，由cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，得曲线2C 的极坐标方程为2224cos 4sin ρθθ=+； （2）如图，由题意知1922AOC S OA OC ∆=⋅=，点B 、D 的极坐标分别为()10,ρθ、20,2πρθ⎛⎫+⎪⎝⎭， 将这两点的极坐标代入椭圆的极坐标方程得12200cos 4sin ρθθ=+，222220000sin 4cos cos 4sin 22ρππθθθθ==+⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，12222200001122cos 4sin sin 4cos BOD S ρρθθθθ∆=⋅=++()()22220000cos 4sin sin 4cos θθθθ=++()()2222000099545cos 4sin sin 4cos 4428AOC BOD S S θθθθ∆∆∴=++⨯=， 当且仅当22220000cos 4sin sin 4cos θθθθ+=+，即04θπ=，不等式取等号， 因此，AOC BOD S S ∆∆的最大值为458. 【点睛】本题考查参数方程、极坐标方程与普通方程的互化，以及利用极坐标解决最值问题，解题时要注意极坐标方程法的适用情况，考查运算求解能力，属于中等题. 23．已知函数()1f x x a x =-+-.（1）若不等式()3f x ≤的解集为{}03x x ≤≤，求实数a 的值； （2）当2a = 时，若()1422nn f x +≥--对一切实数x 恒成立，求实数n 的取值范围.【答案】（1）2a =；（2）(]2,log 3-∞.【解析】（1）由题意得出关于x 的方程()3f x =的两根分别为0和3，可得出()()0333f f ⎧=⎪⎨=⎪⎩，从而求出实数a 的值； （2）利用绝对值三角不等式得出函数()y f x =的最小值为1，可得出14223n n +--≤，再令2n t =，可得出2230t t --≤，解出3t ≤，即23n ≤，从而可解出实数n 的取值范围. 【详解】（1）由题意得出关于x 的方程()3f x =的两根分别为0和3，则()()0333f f ⎧=⎪⎨=⎪⎩，即13323a a ⎧+=⎪⎨-+=⎪⎩，解得2a =；（2）当2a =时，由绝对值三角不等式得()21211f x x x x x =-+-≥--+=， 又()1422nn f x +≥--对一切实数x 恒成立，所以11422n n +≥--，令2n t =，化简得2230t t --≤，解得3t ≤， 所以2log 3n ≤，实数n 的取值范围为(]2,log 3-∞. 【点睛】本题考查不等式的解集与不等式之间的关系，同时也考查了绝对值不等式恒成立，解题时根据不等式恒成立转化为函数的最值，并借助三角不等式求解，考查化归与转化思想，属于中等题.。
2020届云南师大附中高三适应性月考(一)数学(理)试题(解析版)
2020届云南师大附中高三适应性月考（一）数学（理）试题一、单选题1．阿波罗尼斯（约公元前262190-年）证明过这样一个命题:平面内到两定点距离之比为常数()0,1k k k >≠的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.若平面内两定点A 、B 间的距离为2，动点P 满足PA PB=22PA PB +的最小值为（ ）A ．36-B ．48-C ．D ．【答案】A【解析】以经过A 、B 的直线为x 轴，线段AB 的垂直平分线y 轴，建立直角坐标系，得出点A 、B 的坐标，设点(),P x y ，利用两点间的距离公式结合条件PA PB=点P 的轨迹方程，然后利用坐标法计算出22PA PB +的表达式，再利用数形结合思想可求出22PA PB +的最小值. 【详解】以经过A 、B 的直线为x 轴，线段AB 的垂直平分线y 轴，建立直角坐标系，则()1,0A -、()10B ,，设(),P x y ，PA PB=Q ，=两边平方并整理得()222261038x y x x y +-+=⇒-+=，所以P 点的轨迹是以()3,0为圆心， 则有()222222222PA PB x yOP+=++=+，如下图所示：当点P 为圆与x 轴的交点（靠近原点）时，此时，OP 取最小值，且3OP =-，因此，(22223236PA PB +≥⨯-+=- A.【点睛】本题考查动点的轨迹方程的求法，考查坐标法的应用，解题的关键就是利用数形结合思想，将代数式转化为距离求解，考查数形结合思想的应用以及运算求解能力，属于中等题.2．函数()g x 的图象如图所示，则方程3(())0g g x =的实数根个数为（ ）A ．3B ．6C ．9D ．12【答案】C【解析】令3t x =，()u g t =，先由图象知方程()0g u =有三个根，再根据u 的值确定t 个数，最后根据t 的值与个数确定结果. 【详解】令3t x =，()u g t =，则由3(())0g g x =，有()0g u =，由图象知有三个根1(3,0)u ∈-，20u =，3(0,3)u ∈，分别令1()u g t =，2()u g t =，3()u g t =，由图象知有9个不同的t 符合方程，而3t x =为单调递增函数，所以相应x 的根的个数为9个，故选C. 【点睛】本题主要考查方程的根与函数图象的关系以及数形结合思想的应用，合理换元，逐层分析方程的根的情况是解决本题的关键.3．四边形ABDC 是菱形，60BAC ∠=，AB =BC 翻折后，二面角A BC D --的余弦值为13-，则三棱锥D ABC -的外接球的体积为（ ）ABCD ．【答案】B【解析】取BC 的中点为M ，设球心O 在平面ABC 内的射影为1O ，在平面BCD 内的射影为2O ，利用二面角的定义得出1cos 3AMD ∠=-，并设2AMD θ∠=，计算出tan θ的值，可得出2OO 的长度和2DO 的长度，然后利用勾股定理得出三棱锥D ABC -外接球的半径R ，最后利用球体体积公式可计算出结果.【详解】如下图所示，取BC 的中点为M ，设球心O 在平面ABC 内的射影为1O ，在平面BCD内的射影为2O ，则二面角A BC D --的平面角为AMD ∠，AB =所以32DM =，2213DO DM ==，212O M =，设2AMD θ∠=， 则21cos 22cos 13θθ=-=-，21cos 3θ∴=，则22sin 3θ=，2tan 2θ∴=，tan θ∴=22tan OO O M θ∴=⋅=球O 的半径2R ==，所求外接球的体积为243V π=⋅=⎝⎭， 故选：B. 【点睛】本题考查外接球体积的计算，同时也考查了二面角的定义，解题的关键就是要找出球心的位置，并分析几何图形的形状，借助相关定理进行计算，考查推理能力与计算能力，属于中等题.二、填空题4．边长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点M 为上底面1111D C B A 的中心，N 为下底面ABCD 内一点，且直线MN 与底面ABCD 所成线面角的正切值为2，则点N 的轨迹围成的封闭图象的面积为_____. 【答案】【解析】作出图形，设正方体底面ABCD 的中心为点O ，可得出MO ⊥平面ABCD ，由直线与平面所成角的定义得出tan 2MNO ∠=，可得出12ON =，从而可知点N 的轨迹是半径为12的圆，然后利用圆的面积公式可得出结果. 【详解】 如下图所示，由题意知，M 在底面ABCD 内的投影为底面ABCD 的中心O ，连接ON ， 则MNO ∠即为直线MN 与底面ABCD 所成的角，所以，tan 2OMMNO ON∠==， 则12ON =，所以N 的轨迹是以底面ABCD 的中心O 为圆心，以12为半径的圆， 因此，N 的轨迹围成的封闭图象的面积为2124S ππ⎛⎫=⨯= ⎪⎝⎭，故答案为：4π. 【点睛】本题考查立体几何中的轨迹问题，同时也考查直线与平面所成角的定义，解题时要熟悉几种常见曲线的定义，考查空间想象能力，属于中等题.5．设12,F F 为椭圆C :2214x y +=的两个焦点。
2020届云师大附中高三高考适应性月考(一)数学(文)试题
（2）求三棱锥 的体积.
20．已知 ， .
（1）令 ，求证： 有唯一的极值点；
（2）若点 为函数 上的任意一点，点 为函数 上的任意一点，求 、 两点之间距离的最小值.
21．已知抛物线 ，过其焦点 的直线与抛物线相交于 、 两点，满足 .
（1）求抛物线 的方程；
（2）已知点 的坐标为 ，记直线 、 的斜率分别为 ， ，求 的最小值.
【点睛】
本题考查程序框图运行结果的计算，一般利用算法程序框图将算法的每一步列举出来，考查计算能力，属于中等题.
9．B
【解析】
【分析】
先利用三角函数图象变换规律得出函数 的解析式，然后由绝对值变换可得出函数 的最小正周期.
【详解】
，将函数 的图象上的所有点的横坐示缩短到原来的 ，可得到函数 的图象，再将所得函数图象上所有点的纵坐标扩大为原来的 倍，得到函数 的图象，再把所得图象向上平移 个単位长度，得到 ，由绝对值变换可知，函数 的最小正周期为 ，故选B.
A． B． C． D．
12．四边形 是菱形， ， ，沿对角线 翻折后，二面角 的余弦值为 ，则三棱锥 的外接球的体积为（）
A． B． C． D．
第II卷（非选择题)
请点击修改第II卷的文字说明
评卷人
得分
二、填空题
13．已知 、 为单位向量， ，则 ____________.
14．等比数列 的首项 ， ，则 ___________.
所以 ， ， ，设 ，
则 ， ，则 ， ，
， ，
球 的半径 ，所求外接球的体积为 ，
故选：B.
【点睛】
本题考查外接球体积的计算，同时也考查了二面角的定义，解题的关键就是要找出球心的位置，并分析几何图形的形状，借助相关定理进行计算，考查推理能力与计算能力，属于中等题.
2020年云师大附中高三高考适应性月考1理科数学试题及答案
B． b? 0, 4b? a? 0.9
C ． a? 0, 0.9b? a? 4
D． a? 0, 4b? a? 0.9
【答案】 D
【解析】 先根据增减性得 b? 0, 再求 x, y 代入验证选项．
【详解】
因为随着 x 增加， y 大体减少，所以 b? 0,
2 3 45 6
因为 x
4, y
5
所以 0.9 4b$ a$ ， a$ 0,
依题意，双曲线的焦点在
x 轴上时，设它的方程为
x2 y 2 a2 b 2 1(a
由渐近线方程为 y
2x ，得 b a
焦点在 y 轴上时，设它的方程为
y2 a2
2 ，故 e2
x2 b 2 1(a
b2
1 a 2 3 ，即 e
0，b 0) ，
0，b 0) ；
3，
由渐近线方程为 y
2x ，得 a b
2 ，故 e2
写出 A I B 即可 .
【详解】
A、 B，根据交集的定义
A { x | x2 2 x 3 0} { x | x 3 或 x 1} ，
B { x | y lg( x 3)} { x | x 3} ，
A I B { x | 3 x 1 或 x 3} ，故选 C.
【点睛】
本题主要考查了集合的化简与运算问题，属于基础题．
bc 6 .在 Rt△ OO2B 中，
2
R2
1 BC
2
2
OO2
2
b2 c2
4 b2 c2 4 ，
2
4
所以
S球表
4 R2 4
b2 c2 4
4
b2 c2 16 …2 bc 16 12 16 28
【适应】2020届云南师大附中高三高考适应性月考数学理试题版含解析
【关键字】适应2019届云南师大附中高三高考适应性月考数学（理）试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合A＝{0，1，2，4}，B＝，则＝（）A.｛1，2，3，4｝B. ｛2，3，4｝C. ｛2，4｝D. ｛｝【答案】C【解析】试题分析：，故选C.考点:集合的交集运算.2.若复数的共轭复数是，其中i为虚数单位，则点（a，b）为（）A.（一1. 2）B.（－2，1)C.（1，－2）D.（2，一1）【答案】B【解析】试题分析：，故选B.考点：复数的计算.3.已知函数，若＝－1，则实数a的值为（）A、2B、±1 C. 1 D、一1【答案】C【解析】试题分析：，故选C．考点：函数值.4.“0≤m≤l”是“函数有零点”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】试题分析：，由，得，且，所以函数有零点．反之，函数有零点，只需，故选A.考点：充分必要条件.5.将某正方体工件进行切削，把它加工成一个体积尽可能大的新工件，新工件的三视图如图1所示，则原工件材料的利用率为〔材料的利用率〕（）A、B、C、D、【答案】C【解析】试题分析：如图1，不妨设正方体的棱长为1，则切削部分为三棱锥，其体积为，又正方体的体积为1，则剩余部分（新工件）的体积为，故选C.考点：三视图.6.在△ABC中，，AB =2, AC＝1，E, F为BC的三等分点，则（）A、B、C、D、【答案】B【解析】试题分析：由，知，以所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系，则，于是，据此，，故选B．考点：向量的运算.7.已知，则（）A、B、C、D、【答案】B【解析】试题分析：由，故选B．考点：诱导公式.8.设实数x,y满足则的取值范围是（）A、B、C、D、【答案】D【解析】试题分析：由于表示可行域内的点与原点的连线的斜率，如图2，求出可行域的顶点坐标，，则，可见，结合双勾函数的图象，得，故选D．考点：线性规划.9.定义min{a，b}= ，在区域任意取一点P(x, y)，则x,y满足min｜x+y+4，x2+x+2y｜= x 2+x+2y 的概率为（ ） A 、49 B 、59 C 、13 D 、23【答案】A考点：几何概型.10.《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑，如图2,在鳖臑PABC 中，PA ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，且AP=AC=1，过A 点分别作AE 1⊥ PB 于E 、AF ⊥PC 于F ，连接EF 当△AEF 的面积最大时，tan ∠BPC 的值是（ ） A 2 B ．22C 33【答案】B 【解析】试题分析：显然BC PAB ⊥平面，则BC AE ⊥，又PB AE ⊥，则AE PBC ⊥平面，于是AE EF ⊥，AE PC ⊥且，结合条件AF PC ⊥得PC AEF ⊥平面，所以AEF △、PEF △均为直角三角形，由已知得22AF =，而2221111()()2448AEF S AE EF AE EF AF =+==△≤，当且仅当AE EF =时，取“=”，所以，当12AE EF ==时，AEF △的面积最大，此时122tan 2EF BPC PF ∠===，故选B. 考点：基本不等式、三角形面积.11.设定义在（0，2π）上的函数f(x), 其导数函数为'()f x ，若()'()tan f x f x x <恒成立，则（ ） A 3()2()43ππ> B ．(1)2()sin16f f π> C 2()()64f ππ> D 3()()63f ππ<【答案】D 【解析】试题分析：因为定义域为π02⎛⎫⎪⎝⎭，，()()tan f x f x x '<，所以()sin ()cos 0f x x f x x '->，因为2()()sin ()cos 0sin sin f x f x x f x xx x ''-⎛⎫=> ⎪⎝⎭，所以()sin f x y x =在π02⎛⎫ ⎪⎝⎭，上单调递增，所以ππ612f f ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭<ππ63f ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选D.考点：利用导数判断函数的单调性比较大小.12.设直线l 与抛物线x 2=4y 相交于A, B 两点，与圆C ：222(5)x y r +-= (r>0)相切于点M,且M 为线段AB的中点，若这样的直线l 恰有4条，则r 的取值范围是（ ）A.（1，3)B. (1, 4)C. (2, 3)D. (2, 4) 【答案】D 【解析】试题分析：圆C 在抛物线内部，当l y ⊥轴时，必有两条直线满足条件，当l 不垂直于y 轴时，设001122()()()M x y A x y B x y ，，，，，，则12120022x x y y x y ++==，，由21122244x y x y ⎧=⎪⇒⎨=⎪⎩， 22012121212124()42AB x y y x x x x y y k x x -+-=-⇒=⇒=-，因为圆心(05)C ，，所以005CM y k x -=-，由直线l 与圆C 相切，得013AB CM k k y =-⇒=，又因为2004x y <，所以2012x <，且2222000(5)4164r x y x r =+-=+<⇒<，又22200(5)0r y x --=>⇒22(35)0r -->⇒ 242r r >⇒>，故24r <<，此时，又有两条直线满足条件，故选D ．考点：直线与抛物线的位置关系、直线与圆的位置关系.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.如图3.这是一个把k 进掉数a （共有n 位）化为十进制数b 的程序框图，执行该程序框图，若输人的k ，a ，n 分别为2，110011，6，则抢出的b ＝ ． 【答案】51 【解析】试题分析：依程序框图得01234512120202121251b =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=. 考点：程序框图.14.若函数3211()232f x x x ax =-++在2[,)3+∞上存在单调递增区间，则a 的取值范围是 . 【答案】1,9⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭【解析】试题分析：2211()2224f x x x a x a ⎛⎫'=-++=--++ ⎪⎝⎭．当23x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭，时，()f x '的最大值为22239f a ⎛⎫'=+ ⎪⎝⎭，令2209a +>，解得19a >-，所以a 的取值范围是1,9⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭.考点：利用导数判断函数的单调性.15.设椭圆E ：22221(0)x y a b a b+=>>的右顶点为A 、右焦点为F ，B 为椭圆E 在第二象限上的点，直线BO交椭圆E 于点C ，若直线BF 平分线段AC ，则椭圆E 的离心率是 【答案】13【解析】试题分析：如图3，设AC 中点为M ，连接OM ，则OM 为ABC △的中位线，于是OFM △AFB ∽△，且 ||1||2OF FA =，即1123c c a c a =⇒=-． 考点：椭圆的离心率. 16.设12014S =++S的最大整数［S ］等于【答案】2014 【解析】试题分析：21111(1)1n n n n n n ++⎛⎫==+- ⎪++⎝⎭，所以111111111120151223201420152015S ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-++-+++-=-⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭…，故[]2014S =． 考点：裂项相消法求和.三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.（本小题满分12分）已知数列｛an ｝的首项al ＝1，*14()2nn n a a n N a +=∈+．（I ）证明：数列11{}2n a -是等比数列； （II ）设n nnb a =，求数列{}n b 的前n 项和n S . 【答案】（1）证明详见解析；（2）11222n n nnS -=--. 【解析】试题分析：本题主要考查等比数列的证明、等比数列的通项公式、错位相减法、等比数列的前n 项和等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.第一问，先将已知表达式取倒数，再分离常数、用配凑法证明数列11{}2n a -是等比数列；第二问，结合第一问的结论，利用等比数列的通项公式，先计算出n a ，再计算n b ，用错位相减法求和，在化简过程中用等比数列的前n 项和计算即可. 试题解析：（Ⅰ）证明：11421112442n n n n n n na a a a a a a +++===++∵，∴， 111111222n n a a +⎛⎫-=- ⎪⎝⎭∴， 又11111122a a =-=，∴，所以数列112n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是以12为首项，12为公比的等比数列．…………………………………………………………………………………（6分）（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知1111112222n nn a -⎛⎫-==⎪⎝⎭， 即1112222n n n n n n n n b a a =+==+，∴， 设231232222n n nT =++++…，① 则231112122222n n n n nT +-=++++…，② 由①－②得，21111111111122112222222212n n n n n n n n n n T +++⎛⎫- ⎪⎝⎭=+++-=-=---…， 11222n n nnT -=--∴， 又1(1)(123)24n n n +++++=…，∴数列{}n b 的前n 项和2(1)224n nn n n S ++=-+． ………………………………（12分）考点：等比数列的证明、等比数列的通项公式、错位相减法、等比数列的前n 项和. 18.（本小题满分12分）某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历，假定该毕业生得到甲公司面试的概率为34，得到乙公司和丙公司面试的概率均为p ，，且三个公司是否让其面试是相互独立的．记ξ为该毕业生得到面试的公司个数，若P(ξ＝0)＝116.（I ）求p 的值：（II ）求随机变量ξ的分布列及数学期望． 【答案】（1）12p =；（2）分布列详见解析，74E ξ=. 【解析】试题分析：本题主要考查独立事件、离散型随机变量的分布列和数学期望等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.第一问，利用独立事件，当0ξ=时说明三个公司都没有得到面试的机会；第二问，按照独立事件的计算过程，分别计算出0,1,2,3ξ=的概率，列出分布列，再利用1122n n E P P P ξξξξ=+++计算数学期望.试题解析：（Ⅰ）2311(0)1(1)4162P p p ξ⎛⎫==--=⇒= ⎪⎝⎭∵． …………………………（6分）（Ⅱ）ξ的取值为0，1，2，3， 1(0)16P ξ==； 2313113115(1)111114242242216P ξ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⨯-+-⨯⨯-+-⨯-⨯= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭；3113113117(2)11142242242216P ξ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⨯⨯-+⨯-⨯+-⨯⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭； 3113(3)42216P ξ==⨯⨯=，ξ的分布列为数学期望15737()0123161616164E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=． …………………………（12分）考点：独立事件、离散型随机变量的分布列和数学期望. 19.（本小题满分12分）如图4，在三棱锥S -ABC 中，△ABC 是边长为2的正三角形，平面SAC ⊥平面ABC ，SA=SC ，M 为AB 的中点．（I ）证明：AC ⊥SB;（II ）求二面角S 一CM －A 的余弦值.【答案】（1）证明详见解析；（2）5. 【解析】试题分析：本题主要考查线线垂直、线面垂直、面面垂直、二面角等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、空间想象能力、逻辑推理能力、计算能力.第一问，利用线面垂直的判定，得AC SDB ⊥平面，再利用线面垂直的性质，得AC SB ⊥；第二问，先利用面面垂直的性质，得到线面垂直SD ABC ⊥平面，通过作出辅助线得出SED ∠为二面角S CM A --的平面角，在直角三角形SDE 中，利用三角函数值，求二面角S 一CM －A 的余弦值；还可以利用向量法解决问题. 试题解析：方法一：几何法（Ⅰ）证明：如图4，取AC 的中点D ，连接DS ，DB ． 因为SA SC =，BA BC =， 所以AC DS AC DB DSDB D ⊥⊥=，且，，所以AC SDB ⊥平面，又SB SDB ⊂平面， 所以AC SB ⊥．……………………………………………………………………（6分）（Ⅱ）解：因为SD AC SAC ABC ⊥⊥，平面平面，所以SD ABC ⊥平面. 如图4，过D 作DE CM ⊥于E ，连接SE ，则SE CM ⊥， 所以SED ∠为二面角S CM A --的平面角. ……………………………………（8分）由已知有1122DE AM ==，又SA SC =2AC =，所以1SD =，在Rt SDE △中，SE =，所以cos DE SED SE ∠=…………………………………………………（12分）方法二：向量法（Ⅰ）证明：如图5，取AC 的中点O ，连接OS ，OB ． 因为SA SC =，BA BC =， 所以AC OS ⊥，且AC OB ⊥， 又SAC ABC ⊥平面平面，=SACABC AC 平面平面，所以SO ABC ⊥平面，所以SO BO ⊥． 如图5，建立空间直角坐标系O xyz -，则(100)A ，，，(100)C -，，，(001)S ，，，(00)B ， 因为(200)AC =-，，，(01)SB =-，………………………………………………（3分）所以2000(1)0AC SB =-⨯+⨯-=， AC SB ⊥∴．……………………………………………………………………（6分）（Ⅱ）解：因为M 是AB的中点，所以102M ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，302CM ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭∴， (10,1)CS =，，设(1)n y z =，，为平面SCM 的一个法向量，则30210n CM y nCS z ⎧=+=⎪⎨⎪=+=⎩，，得1y z ==-，所以(131)n =--，， 又(001)OS =，，为平面ABC 的一个法向量， 15cos 5||||51n OS n OS n OS -〈〉===-∴，．………………………………………（11分）又二面角S CM A --的平面角为锐角， 所以二面角S CM A --． ………………………………………（12分）考点：线线垂直、线面垂直、面面垂直、二面角. 20.（本小题满分12分）已知椭圆C：22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为2，连接椭圆四个顶点形成的四边形面积为.（I ）求椭圆C 的标准方程；（II)过点A(1，0)的直线与椭圆C 交于点M, N,设P 为椭圆上一点，且(0)OM ON tOP t +=≠O 为坐标原点，当45||3OM ON -<t 的取值范围. 【答案】（1）22142x y +=；（2）61,,13t ⎡⎛⎤∈-- ⎢⎥ ⎣⎭⎝⎦. 【解析】试题分析：本题主要考查椭圆的标准方程及其几何性质、直线与椭圆的位置关系等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.第一问，先利用离心率、222a b c =+、四边形的面积列出方程，解出a 和b 的值，从而得到椭圆的标准方程；第二问，讨论直线MN 的斜率是否存在，当直线MN 的斜率存在时，直线方程与椭圆方程联立，消参，利用韦达定理，得到12x x +、12x x ，利用OM ON tOP +=列出方程，解出(,)P x y ，代入到椭圆上，得到2t 的值，再利用45||3OMON -<，计算出2k 的范围，代入到2t 的表达式中，得到t 的取值范围.试题解析：（Ⅰ）222112b e e a ==-=∵∴，2212b a =∴，即222a b =． 又1222S a b ab =⨯⨯==∴2224b a ==∴，．∴椭圆C 的标准方程为22142x y +=．…………………………………………（4分）（Ⅱ）由题意知，当直线MN 斜率存在时，设直线方程为(1)y k x =-，1122()()()M x y N x y P x y ，，，，，， 联立方程22142(1)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，，消去y 得2222(12)4240k x k x k +-+-=， 因为直线与椭圆交于两点，所以4222164(12)(24)24160k k k k ∆=-+-=+>恒成立，22121212122224242()2121212k k kx x x x y y k x x k k k k --+==+=+-=+++∴，，， 又OM ON tOP +=∵，因为点P 在椭圆22142x y +=上，所以422222221684(12)(12)k k t k t k +=++， 即2222222212(12)11212k k t k t k k =+==-++，∴， ………………………………（8分） 又45||3OM ON -<∵，即1245||3NM x <-224612k k +<+ 化简得：4213580k k -->，解得21k >或2813k <-（舍），2221211123t t k =-<<+∵，∴，即6113t ⎛⎛⎫∈- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，．当直线MN 的斜率不存在时，1,,1,M N ⎛⎛- ⎝⎭⎝⎭，此时1t =±，61,,13t ⎡⎛⎤∈-- ⎢⎥ ⎣⎭⎝⎦∴．……………………………………………………（12分）考点：椭圆的标准方程及其几何性质、直线与椭圆的位置关系.21.（本小题满分12分）已知f(x)＝ln ()ax x x a R +∈，曲线()y f x =在点（1，f(1)）处的切线斜率为2.（I ）求f(x)的单调区间；（11）若2 f(x)一（k ＋1）x ＋k>0（k ∈Z ）对任意x ＞1都成立，求k 的最大值【答案】（1）减区间为210e ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，增区间为21e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，；（2）最大值为4. 【解析】试题分析：本题主要考查导数的运算、利用导数判断函数的单调性、利用导数求函数的最值、恒成立问题等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.第一问，对()f x 求导，再利用'()0f x >和'()0f x <判断函数的单调性；第二问，先将2 f(x)一（k ＋1）x ＋k>0（k ∈Z ）对任意x ＞1都成立，转化为2ln 1x x x k x +<-恒成立，再构造函数()g x ，通过求导，判断函数的单调性，求出函数()g x 的最小值，从而得到k 的取值范围.试题解析：（Ⅰ）()f x 的定义域为(0)+∞，，求导可得()1ln f x a x '=++，由(1)2f '=得1a =，()ln ()2ln f x x x x f x x '=+=+∴，，令()0f x '<，得210e x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，； 令()0f x '>，得21e x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭，， 所以()f x 的减区间为210e ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，增区间为21e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，． …………………………（4分）（Ⅱ）由题意：22ln 0x x x kx x k +--+>，即2ln (1)x x x x k +>-，2ln 1101x x x x x k x +>-><-∵，∴，∴恒成立， 令2ln ()1x x x g x x +=-，则222ln 3()(1)x x g x x --'=-， 令()22ln 3h x x x =--，则2()20h x x'=->， ()h x ∴在(1)+∞，上单调递增， 又5(2)12ln 202(1ln 2.5)02h h ⎛⎫=-<=-> ⎪⎝⎭，， 0522x ⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭∴，且0()0h x =， 当0(1)x x ∈，时，()0()0()h x g x g x '<<，，在0(1)x ，上单调递减；当0()x x ∈+∞，时，()0()0()h x g x g x '>>，，在0()x +∞，上单调递增， 所以000min 002ln ()()1x x x g x g x x +==-， 000()22ln 30h x x x =--=∵，002ln 23x x =-∴，200000min 0000232(1)()()211x x x x x g x g x x x x +--====--∴， 02(45)k x <∈∴，，所以k 的最大值为4． ………………………………………（12分）考点：导数的运算、利用导数判断函数的单调性、利用导数求函数的最值、恒成立问题.请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.（本小题满分10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线C：(sin x y ααα⎧=⎪⎨=⎪⎩为参数），以平面直角坐标系xOy 的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，已知直线l ：(cos sin )ρθθ-=6. （I ）在曲线C 上求一点P ，使点P 到直线l 的距离最大，并求出此最大值；（Ⅱ）过点M(一1，0)且与直线l 平行的直线l 1交C 于A, B 两点，求点M 到A ，B 两点的距离之积．【答案】（1）max d =；（2）1.【解析】试题分析：本题主要考查参数方程与普通方程的转化、极坐标方程与直角坐标方程的转化、点到直线的距离公式等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.第一问，利用cos x ρθ=、sin y ρθ=将直线l 的极坐标方程转化为普通方程，再利用点到直线的距离公式计算，利用三角函数的有界性求最值；第二问，利用平方关系将曲线C 的方程转化为普通方程，将直线l 的参数方程与曲线C 的方程联立，消参，得到121t t =-，即得到结论1MA MB •=.试题解析：（Ⅰ）直线l ：(cos sin )6ρθθ-=化成普通方程为60x y --=．设点P的坐标为sin )αα，，则点P 到直线l 的距离为：d ==， ∴当πsin 13α⎛⎫-=- ⎪⎝⎭时，点3122P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，此时max d == …………………………………………………………（5分） （Ⅱ）曲线C 化成普通方程为2213x y +=，即2233x y +=， 1l的参数方程为1x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，，（t 为参数）代入2233x y +=化简得2220t -=， 得121t t =-，所以12||1MA MB t t ==． ………………………………………………（10分）考点：参数方程与普通方程的转化、极坐标方程与直角坐标方程的转化、点到直线的距离公式.23.（本小题满分10分）【选修4-5：不等式选讲】设f(x)＝｜x ＋2｜＋｜2x －1｜－m.（I ）当m ＝5时．解不等式f （x ）≥0;〔II ）若f （x ）≥32，对任意x R ∈恒成立，求m 的取值范围． 【答案】（1）423x x x ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭≤或≥；（2）(1]-∞，.试题解析：（Ⅰ）当5m =时，()|2||21|5f x x x =++--，不等式()0f x ≥为|2||21|5x x ++-≥，①当2x -≤时，不等式为：315x --≥，即2x -≤，满足； ②当122x -<<时，不等式为：35x -+≥，即2x -≤，不满足； ③当12x ≥时，不等式为：315x +≥，即43x ≥，满足． 综上所述，不等式()0f x ≥的解集为423x x x ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭≤或≥． ……………………（5分）（Ⅱ）设()|2||21|g x x x =++-，若3()2f x ≥对于x ∈R 恒成立， 即3()|2||21|2g x x x m =++-+≥对于x ∈R 恒成立， 由图6可看出()|2||21|g x x x =++-的最小值是52， 所以3522m +≤，1m ∴≤，即m 的取值范围是(1]-∞，． …………………………………………………………………………………（10分） 考点：绝对值不等式的解法、恒成立问题、函数的最值.此文档是由网络收集并进行重新排版整理.word 可编辑版本！。
2020届云南省名校高考适应性月考统一考试数学(理)试题Word版含解析
2020届云南省名校高考适应性月考统一考试数学（理）试题一、单选题1．已知集合{}2=680A x N x x ∈-+≤，集合{}=28x B x ≥，则A ∩B ＝（）A ．{3，4}B ．{2，3，4}C ．{2，3}D ．{4} 【答案】A【解析】直接计算出A 、B 两集合，就能求出答案【详解】集合{}2,3,4A =，{|B x x =≥}3，所以{}3,4A B =I .选A ．【点睛】集合的交集运算.属于简单题2．设复数z 满足()1+2i z =，则复平面内z 表示的点位于（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 【答案】D【解析】由复数的四则运算求出z ，就能判别相应选项.【详解】因为(1i)2z +=，所以22(1i)1i 1i (1i)(1i)z -===-++-，则复平面内表示z 的点位于第四象限.选D ． 【点睛】复数四则运算，属于简单题.3．已知正项等比数列{}n a 中，234a a a ⋅=,若331S =，则n a ＝（）A ．2•5nB ．2•-15nC ．5nD ．-15n 【答案】D【解析】考查等比数列的定义，通过234a a a ⋅=,331S =就可以求出数列通项公式.【详解】 由234·a a a =得23111·a q a q a q =，即211a a =，解得11a =.又因为3S =12331a a a ++=，即2131q q ++=，解得5q =，所以15n n a -=.选D ．考查等比数列定义，属于简单题.4．设a ＝0.60.6，b ＝log 0.61.5，c ＝1.50.6，则a ，b ，c 的大小关系是（）A ．a ＜b ＜cB ．a ＜c ＜bC ．b ＜a ＜cD ．b ＜c ＜a【答案】C【解析】这是三个不同类型的数字，所以和中间值0和1比较大小，从而得到,,a b c 的大小关系.【详解】解析：因为0.6000.60.61a <=<<，0.60.6log 1.5log 10b =<<，0.601.5 1.51c =>>，所以b a c <<，选C .【点睛】本题考查了指数和对数比较大小，一般同类型的数按单调性比较大小，或是和中间值0，1比较大小. 5．若平面单位向量a r ，b r ，c r 不共线且两两所成角相等，则a b c ++r r r =（）AB ．3C ．0D ．1 【答案】C【解析】首先判断向量两两所成的角为120o ，再根据a b c ++=r r r .【详解】 解析：设向量,a b r r 两两所成的角为θ ，则平面不共线向量a r ，b r ，c r 的位置关系只有一种，即两两所成的角为120o ，所以120θ=o .a b c ++===r r r 当120θ=o 时，0a b c ++=r r ，选C .【点睛】本题考查了向量数量积的运算，本题的关键是确定向量两两所成的角是120o ，意在考查向量数量积求模的基本知识.6．棱长为4的正方体的所有棱与球O 相切，则球的半径为（）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】考查几何体与球相切的问题，常见的有外接、内切和本题的棱相切.因为球O 与正方体的所有棱相切，所以该球的直径等于正方体的面对角线长.设球的半径为R ，则2R =R =选C .【点睛】考查几何体与球相切的问题，常见的有外接、内切和本题的棱相切.多画图找关系.7．函数()2cos f x x x =⋅在22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，的图象大致是()n n A. B.C. D.【答案】C【解析】分析：利用函数的奇偶性，排除选项，再取特殊值判断即可.详解：由于()()f x f x -=，故函数为偶函数,排除,A B 两个选项. 当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()22cos sin f x x x x x -'=，令22cos sin 0x x x x -=，可得tan 2x x =，方程的解4x π>，即函数的极大值点4x π>，排除D.故选C ：.点睛：函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；(4)从函数的周期性，判断图象的循环往复；(5)从函数的特征点，排除不合要求的图象．8．为计算11111123499100S =-+-++-…，设计了下面的程序框图，则在空白框中应填入A ．1i i =+B ．2i i =+C ．3i i =+D ．4i i =+【答案】B【解析】分析：根据程序框图可知先对奇数项累加，偶数项累加，最后再相减.因此累加量为隔项. 详解：由11111123499100S =-+-+⋯+-得程序框图先对奇数项累加，偶数项累加，最后再相减.因此在空白框中应填入2i i =+，选B.点睛：算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项.9．下边茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测评中的成绩，其中有一个数字被污损，则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率是（ ）A ．45B ．25C ．910D ．710【答案】A【解析】试题分析：记其中被污损的数字为x ，由题知甲的5次综合测评的平均成绩是1(80290389210)905⨯⨯+⨯+++++=，乙的5次综合测评的平均成绩是1442(8039023379)55x x +⨯⨯+⨯+++++=，令442905x +>，解得8x <，即x 的取值可以是07~，因此甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率是84105=. 【考点】茎叶图和古典概型的求法.10．古希腊数学家阿波罗尼奧斯（约公元前262～公元前190年）的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，他证明过这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数k （k ＞0，k ≠1）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆．在平面直角坐标系中，设A （﹣3，0），B （3，0），动点M 满足MA MB ｜｜｜｜＝2，则动点M 的轨迹方程为（） A ．（x ﹣5）2+y 2＝16B ．x 2+（y ﹣5）2＝9C ．（x +5）2+y 2＝16D ．x 2+（y +5）2＝9 【答案】A【解析】首先设(),M x y ，代入两点间的距离求MA 和MB ，最后整理方程.【详解】解析：设(),M x y ，由2MA MB =，得()()2222343x y x y ++=-+，可得：（x +3）2+y 2＝4（x ﹣3）2+4y 2，即x 2﹣10x +y 2+9＝0整理得()22516x y -+=，故动点M 的轨迹方程为()22516x y -+=.选A .【点睛】本题考查了轨迹方程的求解方法，其中属于直接法，一般轨迹方程的求解有1.直接法，2.代入法，3.定义法，4.参数法. 11．设函数222cos ()2()x x e f x x e ππ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭=+的最大值为M ，最小值为m ，则()20191M m +-的值是（） A ．1B ．2C ．22019D ．32019【答案】A【解析】将函数()f x 构造为()f x =奇函数+常数形函数.【详解】22222cos (e)sin 2e 2()1e e x x x x f x x x πππ⎛⎫-++ ⎪+⎝⎭==+++，设22sin 2e ()e x x g x x π+=+，则()g x 为奇函数，故max min ()()0g x g x +=，则2M m +=，所以2019(1)1M m +-=.选A .【点睛】一般像这种较为复杂函数求最大值与最小值和相关问题，常会考虑函数本身或者能否构建成奇偶函数相关问题.12．棱长为2的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，G 分别是AB ，AD ，B 1C 1的中点，那么正方体内过E ，F ，G 的截面面积为（）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】正方体截面的考查，可以通过正方体的结构画图可以完成【详解】的正六边形，其面积为26＝.选B .【点睛】通过正方体的机构特征，多画图，将三点所构成的平面去和正方体的棱判断交点位置.二、填空题13．曲线y ＝x 2+lnx 在点（1，1）处的切线方程为_____．【答案】320x y --=【解析】首先求1x =处的导数，再根据切线公式()()000y y f x x x '-=-求切线方程.【详解】 解析：12y x x'=+，在点（1，1）处的切线斜率为3，所以切线方程为320x y --=. 【点睛】本题考查了导数的几何意义求切线方程，属于简单题型.14．在公差为3的等差数列{a n }中，a 1，a 3，a 11成等比数列，则数列{a n }的前n 项和S n ＝_____ 【答案】232n n + 【解析】考查等差数列的定义，通过指定的三项的等量关系及公差的值求出1a ，从而能完成本题.【详解】由题意得23111·a a a =，即()()21116?30a a a +=+，解得12a =，所以31n a n =-，所以()21322n n a a n n n S ++==. 【点睛】考查利用等差数列的定义求其通项公式，进而求前n 项和.15．甲队和乙队进行乒乓球决赛，采取七局四胜制（当一队贏得四局胜利时，该队获胜，决赛结束）根据前期比赛成绩，甲队每局取胜的概率为0.8．且各局比赛结果相互独立，则甲队以4：1获胜的概率是_____ 【答案】10243125【解析】直接利用二项分布公式的，但是要注意实际问题4:1不能简单的二项分布.【详解】甲队以4∶1获胜时共进行了5局比赛，其中甲队在前4局中获胜3局，第5局必胜，则概率314144C 555P ⎛⎫=⨯⨯⨯ ⎪⎝⎭=10243125. 【点睛】本题属于易错题，高考中就出现过，4:1获胜是需要前4场3胜一负，并且第五场赢下.16．已知双曲线2222:1?(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点为F ，双曲线C 与过原点的直线相交于A 、B 两点，连接AF ，BF ．若6AF =，8BF =，3cos 5BAF ∠=，则该双曲线的离心率为 ． 【答案】5e =【解析】试题分析：6AF =，8BF =，3cos 5BAF ∠=，由余弦定理可求得10AB =，90BFA ∠=︒，将A ，B 两点分别与双曲线另一焦点连接，可以得到矩形，结合矩形性质可知，210c =，利用双曲线定义，2862a =-=，所以离心率5e =．【考点】双曲线的定义，双曲线的离心率，余弦定理．三、解答题17．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若23cos 3cos cos 0a B b B A c +-=（1）求cos B ;（2）若2,3sin 2sin AB A B ==,求△ABC 的面积．【答案】（1）1cos 3B =（2）9【解析】本题考查了三角形中正余弦定理的应用.(1)通过条件用正弦定理，将所有边的形式化成角的形式.(2)将条件中3sin 2sin A B =化成边的关系，最后选择余弦定理求另外边，最后再用面积公式.【详解】解：（1）23cos 3cos cos 3cos (cos cos )0a B b B A c B a B b A c +-=+-=，由正弦定理，有3cos (sin cos cos sin )sin 0B A B A B C +-=，即3cos sin sin 0B C C -=，所以1cos 3B =.（2）因为1cos 3B =，所以sin 3B =.又3sin 2sin A B =，所以32a b =.根据余弦定理2222cos b a c ac B =+-，得43a =，2b =，所以ABC △的面积为1sin 2S ac B ==. 【点睛】 本题单一的考查了正余弦定理，属于简单题.18．如图，在△ABC 中，∠B ＝90°，AB ＝BC ＝2，P 为AB 边上一动点，PD ∥BC 交AC 于点D ，现将△PDA 沿PD 翻折至△PDA 1，E 是A 1C 的中点．（1）若P 为AB 的中点证明：DE ∥平面PBA 1．（2）若平面PDA 1⊥平面PDA ，且DE ⊥平面CBA 1，求二面角P ﹣A 1D ﹣C 的正弦值．【答案】（1）详见解析（2）3【解析】（1）通过线线平行去得到线面平行，这也是线面平行证明中十分重要的手段.（2）利用空间向量求二面角的平面角的正弦值，向量法做题，一定要细心运算.【详解】（1）证明：取1A B 的中点F ，连接EF ，PF .因为P 为AB 的中点且//PD BC ,所以PD 是△ABC 的中位线.所以PD //BC ，且PD ＝12BC . 又因为E 是1A C 的中点,且1A B 的中点为F ,所以EF 是△1A BC 的中位线,所以EF //BC ，且EF ＝12BC ,所以PD 与EF 平行且相等, 所以四边形PDEF 是平行四边形,所以//DE PF .因为PF ⊂平面1PBA ，DE ⊄平面1PBA ，所以//DE 平面1PBA .（2）解：因为DE ⊥平面1CBA ，所以1DE A C ⊥.又因为E 是1A C 的中点，所以1A D DC DA ==，即D 是AC 的中点.由//PD BC 可得，P 是AB 的中点.在ABC △中,90B =o ∠，//PD BC ，PDA V 沿PD 翻折至1PDA V ，且平面1PDA ⊥平面PDA ， 利用面面垂直的性质可得1PA ⊥平面PBCD ，以点P 为原点建立坐标系如图所示，则1(0,0,1)A ，(0,1,0)D ，(1,2,0)C -，1(0,1,1)A D =-u u u u r ，(1,1,0)CD =-u u u r . 设平面1A DC 的法向量为(,,)n x y z =r， 有10,·0,(1,1,1)0·0x y n CD n y z n A D ⎧-==⎧⎪⇒⇒=⎨⎨-==⎪⎩⎩u u u v r r u u u u v r ， 容易得到平面1A PD 的法向量(1,0,0)m =r，设二面角1P A D C --的大小为θ，有cos cos ,n m θ===r r ，所以sin 3θ=. 【点睛】证明线面平行，一般三种途径:找线线平行、找面面平行、利用空间向量，第一种方法用的较多. 利用空间向量求相关夹角或者距离问题，运算要格外注意.19．某公司为招聘新员工设计了一个面试方案：应聘者从6道备选题中一次性随机抽取3道题，按照题目要求独立完成.规定：至少正确完成其中2道题的便可通过.已知6道备选题中应聘者甲有4道题能正确完成，2道题不能完成；应聘者乙每题正确完成的概率都是23，且每题正确完成与否互不影响. （1）分别求甲、乙两人正确完成面试题数的分布列及数学期望；（2）请分析比较甲、乙两人谁面试通过的可能性大？【答案】（1)详见解析；（2)甲获得面试通过的可能性大【解析】试题分析：（1）确定甲、乙两人正确完成面试题数的取值，求出相应的概率，即可得到分布列，并计算其数学期望；（2）确定Dξ＜Dη，即可比较甲、乙两人谁的面试通过的可能性大．试题解析：（1）设甲正确完成面试的题数为ξ，则ξ的取值分别为1，2，3()124236115C C P c ξ===；()214236325C C P c ξ===；()304236135C C P c ξ===；应聘者甲正确完成题数ξ的分布列为()1311232555E ξ=⨯+⨯+⨯=设乙正确完成面试的题数为η，则η取值分别为0，1，2，3()()3120133112160;13273327P C P C ηη⎛⎫⎛⎫⎛⎫====== ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， ()()2323332112282,33327327P C P C ηη⎛⎫⎛⎫⎛⎫====== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 应聘者乙正确完成题数η的分布列为：()161280123227272727E η=⨯+⨯+⨯+⨯=. （或∵23,3B η⎛⎫~ ⎪⎝⎭∴()2323E η=⨯=） （2）因为()()()()22213121222325555D ξ=-⨯+-⨯+-⨯=， ()()213D np p η=-=所以()()D D ξη<综上所述，从做对题数的数学期望考查，两人水平相当；从做对题数的方差考查，甲较稳定；从至少完成2道题的概率考查，甲获得面试通过的可能性大 20．已知点M （x ，y=（1）求点M 的轨迹E 的方程；（2）设过点N （﹣1，0）的直线l 与曲线E 交于A ，B 两点，若△OAB 的面积为23（O 为坐标原点）．求直线l 的方程．【答案】（1）2212x y +=（2）10x y -+=或10x y ++=【解析】（1）根据几何意义可知，点M 满足动点M 到定点()()1,0,1,0-的距离和为2>，所以点M 满足椭圆的定义，写出轨迹方程；（2）首先分直线l 与x 轴垂直和x 轴不垂直两种情况讨论，当斜率存在时，()1y k x =+与椭圆方程联立，设交点()11,A x y ，()22,B x y ，根据条件可知1212123S y y =⨯⨯-=43=，利用根与系数的关系求k ，即得直线l 的方程. 【详解】解：（1）由已知，动点M 到点()1,0P -，()1,0Q 的距离之和为且PQ <M 的轨迹为椭圆.而a =1c =，所以1b =，所以动点M 的轨迹E 的方程为2212x y +=.（2）当直线l与x 轴垂直时，1,A ⎛-⎝⎭，B ⎛- ⎝⎭，此时AB =则112OAB S ==V ，不满足条件． 当直线l 与x 轴不垂直时，设直线l 的方程为()1y k x =+，由()221,12y k x x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩得()2222124220k x k x k +++-=， 所以2122412k x x k +=-+，21222212k x x k -=+.而121211·22OAB S ON y y y y =-=-V ， 由23OABS =V 得1243y y -=.12y y -=又所以()22222441612912k k k k +=++，则4220k k +-=，所以1k =±， 所以直线l 的方程为10x y -+=或10x y ++=． 【点睛】本题考查了定义法求曲线方程和直线与圆锥曲线的位置关系的综合问题，意在考查转化与化归和逻辑推理和计算能力的考查， 直线与椭圆相交时，时常把两个曲线方程联立，消去x 或y 建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系. 21．已知函数f （x ）＝ax ﹣cosx ，a ≠0．（1）若函数f （x ）为单调函数，求a 的取值范围； （2）若x ∈[0，2π]，求：当a ≥23π时，函数f （x ）仅有一个零点． 【答案】（1）1a ≤-或1a ≥（2）详见解析【解析】（1）首先求函数的导数，()sin f x a x '=+，当函数单调递增时()0f x '≥恒成立，当函数单调递减时，()0f x '≤恒成立；（2）根据（1）可知当1a ≥时，函数单调递增，根据零点存在性定理可知只有一个交点，当01a <<时，可得函数存在两个极值点，1233,22x x ππππ<<<<，根据单调性可判断，()111cos f x ax x =-是极大值，()222cos f x ax x =-是极小值，因为()010f =-<，()10f x >，若函数只有一个零点，只需满足()20f x >，即可求得a 的取值范围. 【详解】（1）解：由()cos f x ax x =-，可得()sin f x a x =+',x R ∈. 因为1sin 1x -≤≤，所以当1a ≥时，()sin 0f x a x '=+≥，()f x 为R 上的单调增函数； 当1a ≤-时，()sin 0f x a x '=+≤，()f x 为R 上的单调减函数. 综上，若函数()f x 为单调函数，则1a ≤-或1a ≥.（2）证明：当1a ≥时，由（1）可知()f x 为R 上的单调增函数. 又()01f =-，022a f ππ⎛⎫=>⎪⎝⎭所以函数()f x 在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭有且仅有一个零点，满足题意. 当01a <<时，令()sin 0f x a x '=+=，则sin x a =-.由于02πx ≤≤，所以1sin 1x -≤≤， 从而必有1x ，[]20,2πx ∈，使1sin x a =-，且2sin x a =-. 不妨设12x x <，且有13ππ2x <<，23π2π2x <<， 所以当()10,x x ∈时，()sin 0f x a x '=+>，()f x 为增函数； 当()12,x x x ∈时，()sin 0f x a x '=+<，()f x 为减函数； 当()2,2πx x ∈时，()sin 0f x a x '=+>，()f x 为增函数.从而函数()f x 的极大值为()111cos f x ax x =-，极小值为()222cos f x ax x =-. 因为13ππ2x <<，所以1cos 0x <，从而极大值()111cos 0f x ax x =->. 又()01f =-，要使函数()f x 仅有一个零点，则极小值()222cos 0f x ax x =->， 所以()22222cos 0f x ax x ax ax =-==>，即a >.21x <，23π2π2x <<， 所以当23πa ≥时，函数()f x 仅有一个零点. 【点睛】本题考查了利用函数的单调性和零点问题求参数的取值范围，利用导数研究函数的单调性，极值和最值，以及零点存在的问题，考查学生逻辑推理和转化的思想，本题的第二问是一个证明题，可转化为已知函数有一个零点求参数的取值范围.22．在直角坐标系xOy 中，曲线C的参数方程为sin x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩（θ为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．直线l 的极坐标方程为ρcosθρsinθ＝3． （1）求直线l 的直角坐标方程；（2）求曲线C 上的点到直线l 距离的最大值． 【答案】（1）30x +-=（2）3【解析】（1）根据转化公式可知cos ,sin x y ρθρθ==，代入求得直线的直角坐标方程；（2）设曲线上的任意一点的坐标为),sin θθ，代入点到直线的距离d =，利用三角函数的范围求得d 的最大值. 【详解】解：（1）直线l的直角坐标方程为30x +-=. （2）设曲线C上点的坐标为),sin θθ，则曲线C 上的点到直线l 的距离d ==sin 14πθ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭时，d 取得最大值，所以max d = 【点睛】本题考查了直线的极坐标方程和直角坐标方程的转化，以及考查坐标变换和点到直线的距离公式，利用三角函数求函数的最值，属于简单题型.23．已知a ，b ，c ，d 为正数，且满足abcd ＝1，证明： （1）（a +b ）（b +c ）（c +d ）（d +a ）≥16； （2）22221111a b c d ab bc cd ad+++≤+++． 【答案】（1）详见解析（2）详见解析【解析】（1）利用基本不等式，a b +≥，b c +≥，c d +≥，d a +≥四个式子相乘即可得到正确结果；（2）首先等式左边变形为1111abcd cd ad ab bc ab bc cd ad ⎛⎫+++=+++ ⎪⎝⎭，再利用基本不等式证明. 【详解】证明：（1）因为a b c d ,,,为正数，所以a b +≥，b c +≥，c d +≥d a +≥（当且仅当a b c d ===时等号同时成立），所以()()()()16a b b c c d d a abcd ++++≥=. 又1abcd =，所以()()()()16a b b c c d d a ++++≥(当且仅当a =b =c =d 时等号成立). (2)因为1abcd =，所以11111111abcd cd ad ab bc ab bc cd ad ab bc cd ad ⎛⎫+++=+++=+++ ⎪⎝⎭. 又()()()()()22222222222222222a b c da b b c c d d a ab bc cd da +++=+++++++≥+++(当且仅当a b c d ===时等号成立)，所以()2222111122a b c d ab bc cd ad ⎛⎫+++≥+++⎪⎝⎭， 即22221111a b c d ab bc cd ad+++≤+++(当且仅当a =b =c =d 时等号成立). 【点睛】本题考查了不等式的证明，重点考查了基本不等式的应用，意在考查等价转化思想和逻辑推理能力.。
2020年云师大附中高三下期高考适应性月考理科数学试题及答案(解析版)
如图，在 中，
设 ，则 ，取 的中点分别为 则 分别为 和 的外接圆的圆心，连接 ，又直三棱柱 的外接球的球心为O，则O为 的中点，连接OB，则OB为三核柱外接球的半径。设半径为R，因为直三棱柱 ，所以 ，所以三棱锥 的高为2，即 ，又三棱锥 体积为2，所以 .在 中， ，
所以 ，当且仅当 时取“=”，所以球O的表面积的最小值是 ，故选B.
【点睛】
本题主要考查了双曲线的渐近线以及离心率的概念，掌握 是解题的关键，属于中档题.
4．下图的程序框图的算法思路源于我国数学名著《九章算术》中的“中国剩余定理”．若正整数N除以正整数m后得余数r，则记为 ，如： ，则执行该程序框图输出的n等于（）
A．7B．6C．5D．8
【答案】A
【解析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．
等级
珍品
特级
优级
一级
箱数
40
30
10
20
（1）若将频率改为概率，从这100箱橙子中有放回地随机抽取4箱，求恰好抽到2箱是一级品的概率：
（2）利用样本估计总体，庄园老板提出两种购销方案供采购商参考：
方案一：不分等级卖出，价格为27元/kg;
方案二：分等级卖出，分等级的橙子价格如下：
等级
珍品
特级
优级
一级
【详解】
根据给定的程序框图，可知：
第一次执行循环体得 ， ，此时 ，不满足第一个条件；
第二次执行循环体得 ， ，此时 ，不满足第一个条件；
第三次执行循环体得 ， ，此时 且 ，既满足第一个条件又满足第二个条件，退出循环，输出7，故选A．
2020届云师大附中高三高考适应性月考(一)数学(文)试题(解析版)
2020届云师大附中高三高考适应性月考（一）数学（文）试题一、单选题 1．已知集合(){}2,A x y y x ==，(){}22,1B x y xy =+=，则集合A B 中元素的个数为（ ） A ．0 B ．1C ．2D ．3【答案】C 【解析】作出函数2y x 和圆221x y +=的图象，观察两曲线的交点个数，可得出集合A B的元素个数. 【详解】如下图所示，由函数2y x 与圆221x y +=的图象有两个交点，因此，集合AB 含有两个元素，故选：C.【点睛】本题考查集合的元素个数，考查曲线的交点个数问题，考查数形结合思想的应用，属于中等题.2．瑞士数学家欧拉在1748年得到复数的三角方程：cos sin ix e x i x =+，根据三角方程，计算1i e π+的值为（ ） A ．1- B ．0C ．1D ．i【答案】B【解析】根据复数的三角方程将复数i e π表示为复数的一般形式，然后利用复数的加法法则可得出结果. 【详解】由cos sin ix e x i x =+，则1cos sin 1110i e i πππ+=++=-+=，故选B. 【点睛】本题考查复数的加法运算，解题的关键就是理解题中复数三角方程的定义，考查计算能力，属于基础题.3．移动支付、高铁、网购与共享单车被称为中国的新“四大发明”，某中学为了解本校学生中新“四大发明”的普及情况，随机调査了100位学生，共中使用过移动支付或共享单车的学生共90位，使用过移动支付的学生共有80位，使用过共享单车的学生且使用过移动支付的学生共有60位，则该校使用共享单车的学生人数与该校学生总数比值的估计值为（ ） A ．0.5 B ．0.6C ．0.7D ．0.8【答案】C【解析】作出韦恩图，根据题中的信息得出样本中使用共享单车和移动支付的学生人数，将人数除以100可得出所求结果. 【详解】根据题意使用过移动支付、共享单车的人数用韦恩图表示如下图，因此，该校使用共享单车的学生人数与该校学生总数比值的估计值700.7100=，故选：C. 【点睛】本题考查韦恩图的应用，同时也考查了频率的计算，考查数据处理能力，属于中等题.4．已知x 、y 满足的约束条件02300x x y y ≥⎧⎪+-≥⎨⎪≥⎩22x y + ）A ．355B 25C 3D 5【答案】A【解析】作出不等式组作表示的可行域，22x y +22x y +的最小值为原点到直线230x y +-=的距离，由此可得出结果. 【详解】作出不等式组02300x x y y ≥⎧⎪+-≥⎨⎪≥⎩所表示的可行域如下图所示：()()222200x y x y +=-+-的几何意义为可行域内的点到点()0,0的距离，过点O 作直线230x y +-=的垂线OH ，则22x y +的最小值为2235512OH ==+， 故选：A. 【点睛】本题考查线性规划问题，考查距离型非线性函数的最值问题，要理解非线性目标函数的几何意义，借助数形结合思想进行求解，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题. 5．函数()cos ln f x x x =-的零点个数是（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】B【解析】在平面直角坐标系内作出函数cos y x =与函数ln y x =的图象，观察两函数的交点个数，即为函数()cos ln f x x x =-的零点个数. 【详解】令()0f x =，得cos ln x x =，则函数()y f x =的的零点个数等价于函数cos y x =与函数ln y x =图象的交点个数，如下图所示：由图象知cos y x =与ln y x =的交点个数为2， 因此，函数()y f x =的零点个数也为2，故选：B. 【点睛】本题考查函数零点个数问题，常用的方法有两种：一种是代数法，另一种是图象法，转化为两个函数的交点个数，考查数形结合思想的应用，属于中等题.6．在等差数列{}n a 中，51340a a +=，则7891011a a a a a ++++=（ ） A ．40 B ．60C ．80D ．100【答案】D【解析】利用等差中项的性质得出9a 的值，再利用等差中项的性质可得出7891011a a a a a ++++的值.【详解】由等差中项的性质可得5139240a a a +==，920a ∴=，因此，()()7891011711810995100a a a a a a a a a a a ++++=++++==，故选：D. 【点睛】本题考查等差中项性质的应用，在求解等差数列的问题时，常用基本量法与等差数列性质来进行求解，考查计算能力，属于中等题. 7．函数sin y x x =的大致图象为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】考查函数sin y x x =的奇偶性以及该函数在区间()0,π上的函数值符号进行排除，可得出正确选项. 【详解】设()sin f x x x =，该函数的定义域为R ，且()()()sin sin f x x x x x f x -=--==，所以，函数()sin f x x x =为偶函数，排除A 、C 选项，且当0πx <<时，sin 0x >，此时()0f x >， 排除D 选项，故选：B. 【点睛】本题考查函数图象的识别，一般从函数的定义域、奇偶性、单调性、零点以及函数值符号等基本要素进行逐一排除，考查推理能力，属于中等题.8．如图，执行程序框图后，输出的结果是（ ）A ．140B ．204C ．245D ．300【答案】B【解析】根据程序框图列举出算法的每一步，可得出输出结果. 【详解】18n =>不成立，执行第一次循环，211b ==，011s =+=，112n =+=； 28n =>不成立，执行第二次循环，224b ==，145s =+=，213n =+=； 38n =>不成立，执行第三次循环，239b ==，5914s =+=，314n =+=； 48n =>不成立，执行第四次循环，2416b ==，141630s =+=，415n =+=； 58n =>不成立，执行第五次循环，2525b ==，302555s =+=，516n =+=； 68n =>不成立，执行第六次循环，2636b ==，553691s =+=，617n =+=； 78n =>不成立，执行第七次循环，2749b ==，9149140s =+=，718=+=n ； 88n =>不成立，执行第八次循环，2864b ==，14064204s =+=，819n =+=； 98n =>成立，跳出循环体，输出s 的值为204，故选B.【点睛】本题考查程序框图运行结果的计算，一般利用算法程序框图将算法的每一步列举出来，考查计算能力，属于中等题.9．已知函数()sin f x x =，将()f x 的图象上的所有点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标扩大为原来的3倍，再把图象上所有的点向上平移1个单位长度，得到函数()y g x =的图象，则函数()g x 的周期可以为（ ） A ．2π B ．πC ．32π D ．2π【答案】B【解析】先利用三角函数图象变换规律得出函数()y g x =的解析式，然后由绝对值变换可得出函数()y g x =的最小正周期. 【详解】()sin f x x =，将函数()y f x =的图象上的所有点的横坐示缩短到原来的12，可得到函数sin 2y x =的图象，再将所得函数图象上所有点的纵坐标扩大为原来的3倍，得到函数3sin 2y x =的图象，再把所得图象向上平移1个単位长度，得到()3sin 21g x x =+，由绝对值变换可知，函数()y g x =的最小正周期为22T ππ==，故选B. 【点睛】本题考查三角函数变换，同时也考查三角函数周期的求解，解题的关键就是根据图象变换的每一步写出所得函数的解析式，考查推理能力，属于中等题.10．若函数()2f x ax =与函数()lng x x =存在公共点()P m n ,，并且在()P m n ,处具有公共切线，则实数a =（ ） A ．1eB ．2eC ．12eD ．32e【答案】C【解析】由题意得出()()()()f mg m f m g m ⎧=⎪⎨=''⎪⎩，解此方程组，可得出实数a 的值.【详解】因为()2f x ax =，所以()2f x ax '=；由()ln g x x =，得()1g x x'=. 因为()2f x ax =与()lng x x =在它们的公共点()P m n ,处具有公共切线，则()()()()f m g m f m g m ⎧=⎪⎨=''⎪⎩，即2ln 12am mam m ⎧=⎪⎨=⎪⎩，解得12m a e ⎧=⎪⎨=⎪⎩，故选：C. 【点睛】本题考查两函数在公共点处有公切线问题，解题时要将问题转化为在公共点处函数值和导数值分别相等，并利用方程组求解，考查化归与转化思想以及方程思想的应用，属于中等题.11．阿波罗尼斯（约公元前262190-年）证明过这样一个命题:平面内到两定点距离之比为常数()0,1k k k >≠的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.若平面内两定点A 、B 间的距离为2，动点P 满足2PA PB=，则22PA PB +的最小值为（ ）A ．36242-B ．48242-C ．362D ．242【答案】A【解析】以经过A 、B 的直线为x 轴，线段AB 的垂直平分线y 轴，建立直角坐标系，得出点A 、B 的坐标，设点(),P x y ，利用两点间的距离公式结合条件2PA PB=得出点P 的轨迹方程，然后利用坐标法计算出22PA PB +的表达式，再利用数形结合思想可求出22PA PB +的最小值.【详解】以经过A 、B 的直线为x 轴，线段AB 的垂直平分线y 轴，建立直角坐标系，则()1,0A -、()10B ,，设(),P x y ，2PA PB=，2222(1)2(1)x y x y++∴=-+，两边平方并整理得()222261038x y x x y +-+=⇒-+=， 所以P 点的轨迹是以()3,0为圆心，22为半径的圆， 则有()222222222PA PB x yOP+=++=+，如下图所示：当点P 为圆与x 轴的交点（靠近原点）时，此时，OP 取最小值，且322OP =- 因此，(2222322236242PA PB +≥⨯-+=- A.【点睛】本题考查动点的轨迹方程的求法，考查坐标法的应用，解题的关键就是利用数形结合思想，将代数式转化为距离求解，考查数形结合思想的应用以及运算求解能力，属于中等题. 12．四边形ABDC 是菱形，60BAC ∠=，3AB =，沿对角线BC 翻折后，二面角A BC D --的余弦值为13-，则三棱锥D ABC -的外接球的体积为（ ）A ．5πB ．6πC ．7πD ．22π【答案】B【解析】取BC 的中点为M ，设球心O 在平面ABC 内的射影为1O ，在平面BCD 内的射影为2O ，利用二面角的定义得出1cos 3AMD ∠=-，并设2AMD θ∠=，计算出tan θ的值，可得出2OO 的长度和2DO 的长度，然后利用勾股定理得出三棱锥D ABC -外接球的半径R ，最后利用球体体积公式可计算出结果.【详解】如下图所示，取BC 的中点为M ，设球心O 在平面ABC 内的射影为1O ，在平面BCD 内的射影为2O ，则二面角A BC D --的平面角为AMD ∠，3AB =，所以32DM =，2213DO DM ==，212O M =，设2AMD θ∠=， 则21cos 22cos 13θθ=-=-，21cos 3θ∴=，则22sin 3θ=，2tan 2θ∴=，tan 2θ∴=222tan 2OO O M θ∴=⋅=， 球O 的半径22226R DO OO =+=，所求外接球的体积为246632V ππ⎛=⋅= ⎝⎭， 故选：B. 【点睛】本题考查外接球体积的计算，同时也考查了二面角的定义，解题的关键就是要找出球心的位置，并分析几何图形的形状，借助相关定理进行计算，考查推理能力与计算能力，属于中等题.二、填空题13．已知a 、b 为单位向量，,3a b π=，则2a b +=____________.【解析】利用平面向量数量积的运算律和定义计算()222a b a b +=+，可得出结果.【详解】由于a 、b 为单位向量，,3a b π<>=，则1a b ==，且1cos ,2a b a b a b ⋅=⋅<>=，因此，()2222224441a b a ba ab b +=+=+⋅+=⨯=，. 【点睛】本题考查利用平面向量的数量积计算向量的模，在计算向量的模时，一般将向量的模进行平方，结合平面向量数量积的运算律和定义来进行计算，考查计算能力，属于中等题.s 14．等比数列{}n a 的首项11a =，48a =，则4S =___________. 【答案】15【解析】设等比数列{}n a 的公比为q ，根据题中条件求出q 的值，再利用等比数列求和公式可计算出4S 的值. 【详解】11a =，48a =，所以3418a q a ==，所以2q，因此，()()4414111215112a q S q-⨯-===--，故答案为：15. 【点睛】本题考查等比数列求和，对于等比数列，一般是通过建立首项和公比的方程组，求出这两个量，再结合相关公式进行计算，考查运算求解能力，属于中等题.15．设1F 、2F 为椭圆C :2214x y +=的两个焦点，M 为C 上点，122F MF π∠=，则12F MF ∆的面积为______. 【答案】1【解析】利用勾股定理和椭圆的定义列等式求出12MF MF ⋅的值，然后利用三角形的面积公式可计算出12F MF ∆的面积. 【详解】由题意可知，2a =，1b =，223c a b =-=，则12223F F c ==. 如下图，由题意知122F MF π∠=，由勾股定理得222121212MF MF F F +==，由椭圆定义得1224MF MF a +==，将该等式两边平方得221122216MF MF MF MF +⋅+=，122MF MF ∴⋅=，因此，12F MF ∆的面积为1212112122F MF S MF MF ∆=⋅=⨯=，故答案为1.【点睛】本题考查椭圆焦点三角形面积的计算，解题时应充分利用椭圆的定义与余弦定理求解，并结合三角形的面积公式进行计算，考查运算求解能力，属于中等题.16．边长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点M 为上底面1111D C B A 的中心，N 为下底面ABCD 内一点，且直线MN 与底面ABCD 所成线面角的正切值为2，则点N 的轨迹围成的封闭图象的面积为_____. 【答案】【解析】作出图形，设正方体底面ABCD 的中心为点O ，可得出MO ⊥平面ABCD ，由直线与平面所成角的定义得出tan 2MNO ∠=，可得出12ON =，从而可知点N 的轨迹是半径为12的圆，然后利用圆的面积公式可得出结果. 【详解】 如下图所示，由题意知，M 在底面ABCD 内的投影为底面ABCD 的中心O ，连接ON ， 则MNO ∠即为直线MN 与底面ABCD 所成的角，所以，tan 2OMMNO ON∠==， 则12ON =，所以N 的轨迹是以底面ABCD 的中心O 为圆心，以12为半径的圆， 因此，N 的轨迹围成的封闭图象的面积为2124S ππ⎛⎫=⨯= ⎪⎝⎭，故答案为：4π. 【点睛】本题考查立体几何中的轨迹问题，同时也考查直线与平面所成角的定义，解题时要熟悉几种常见曲线的定义，考查空间想象能力，属于中等题.三、解答题17．某调研机构，对本地[]22,50岁的人群随机抽取200人进行了一次生活习惯是否符合低碳观念的调查，将生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”，结果显示，有100人为“低碳族”，该100人的年龄情况对应的频率分布直方图如图.（1）根据频率分布直方图，估计这100名“低碳族”年龄的平均值，中位数；（2）若在“低碳族”且年龄在[)30,34、[)34,38的两组人群中，用分层抽样的方法抽取30人，试估算每个年龄段应各抽取多少人？【答案】（1）平均值为36，中位数为36；（2）年龄在[)30,34的8人，在[)34,38的22人. 【解析】（1）将频率分布直方图中每个矩形底边的中点值乘以矩形的面积，再将这些乘积相加可得出平均值，利用中位数左右两边的矩形面积和均为0.5计算出矩形的面积； （2）先计算出年龄在[)30,34、[)34,38的频率之比，再利用分层抽样的特点得出样本中年龄段在[)30,34、[)34,38的人数. 【详解】（1）100位“低碳族”的年龄平均值x 为240.04280.08320.16360.44x =⨯+⨯+⨯+⨯400.16440.1480.0235.9236+⨯+⨯+⨯=≈，设中位数为a ，前三个矩形的面积为0.040.080.160.28++=， 前四个矩形的面积为0.040.080.160.440.72+++=，则()34,38a ∈， 由题意可得()0.28340.110.5a +-⨯=，解得36a =，因此，中位数为36； （2）年龄在[)30,34、[)34,38的频率分别为0.0440.16⨯=，0.1140.44⨯=， 频率之比为0.16:0.444:11=，所抽取的30人中，年龄在[)30,34的人数为430815⨯=， 年龄在[)34,38的人数为11302215⨯=. 【点睛】本题考查频率分布直方图中平均数和中位数的计算，同时也考查了分层抽样相关的计算，考查计算能力，属于基础题.18．在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且满足sin cos 6b A a B π⎛⎫=- ⎪⎝⎭.（1）求角B 的大小；（2）若D 为AC 的中点，且1BD =，求ABC S ∆的最大值.【答案】（1）3π；（2）【解析】（1）利用正弦定理边角互化思想得出sin cos 6B B π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，再利用两角差的余弦公式可得出tan B 的值，结合角B 的范围可得出角B 的大小；（2）由中线向量得出2BD BA BC =+，将等式两边平方，利用平面向量数量积的运算律和定义，并结合基本不等式得出ac 的最大值，再利用三角形的面积公式可得出ABC ∆面积的最大值. 【详解】（1）由正弦定理及sin cos 6b A a B π⎛⎫=- ⎪⎝⎭得sin sin sin cos 6B A A B π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，由()0,A π∈知sin 0A >，则1sin cos sin 622B B B B π⎛⎫=-=+ ⎪⎝⎭，化简得sin B B =，tan B ∴=.又()0,B π∈，因此，3B π=；（2）如下图，由13sin 24ABC S ac B ac ∆==，又D 为AC 的中点，则2BD BA BC =+， 等式两边平方得22242BD BC BC BA BA =+⋅+， 所以2222423a c BA BC a c ac ac =++⋅=++≥， 则43ac ≤，当且仅当a c =时取等号，因此，ABC ∆的面积最大值为343433⨯=. 【点睛】本题考查正弦定理边角互化思想的应用，同时也考查了三角形的中线问题以及三角形面积的最值问题，对于三角形的中线计算，可以利用中线向量进行计算，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.19．如图甲，在直角梯形ABCD 中，//AB CD ，AB BC ⊥，224CD AB BC ===，过A 点作AE CD ⊥，垂足为E ，现将ADE ∆沿AE 折叠，使得DE EC ⊥.取AD 的中点F ，连接BF 、CF 、EF ，如图乙.（1）求证：BC ⊥平面DEC ； （2）求三棱锥E FBC -的体积. 【答案】（1）证明见解析；（2）23. 【解析】（1）可证明出//BC AE ，由折叠的性质得出AE CE ⊥，AE DE ⊥，利用直线与平面垂直的判定定理得出AE ⊥平面DEC ，再由//BC AE ，可得出BC ⊥平面DEC ； （2）证明DE ⊥平面ABCE ，由E 为AD 的中点可知三棱锥F BCE -的高为12DE ，计算出BCE ∆的面积，然后利用锥体体积公式可计算出三棱锥F BCE -的体积，即为所求结果. 【详解】（1）在图甲中，直角梯形ABCD 中，//AB CD ，AB BC ⊥，BC CD ∴⊥，AE CD ⊥，则//BC AE .折叠后，在图乙中，AE CE ⊥，AE DE ⊥，又CEDE E =，AE ∴⊥平面DCE .//BC AE ，BC ∴⊥平面DCE ；（2）由（1）知，DE AE ⊥，又DE CE ⊥，且AE CE E =，DE ∴⊥平面ABCE .F 为AD 的中点，所以，三棱锥F BCE -的高为112122DE =⨯=，224CD AB BC ===，易知四边形ABCE 是矩形，则2CD AB ==，BCE ∆的面积为2112222BCE S BC CE ∆=⋅=⨯=，因此，1112123233E FBCF BCE BCE V V DE S --∆==⨯⨯=⨯⨯=.【点睛】本题考查立体几何的翻折问题，考查直线与平面垂直的证明以及三棱锥体积的计算，在处理翻折问题时，要注意翻折前后相关直线的位置关系以及长度的变化，考查推理能力与计算能力，属于中等题.20．已知()xf x e =，()lng x x =.（1）令()()()h x f x g x =-，求证：()h x 有唯一的极值点；（2）若点A 为函数()g x 上的任意一点，点B 为函数()g x 上的任意一点，求A 、B 两点之间距离的最小值.【答案】（1）证明见解析；（22.【解析】（1）求出函数()y h x =的导数，利用函数()y h x '=的单调性以及零点存在定理，说明函数()y h x '=在定义域上有唯一零点，再分析函数()y h x '=在该零点处函数值符号，可得证函数()y h x =有唯一极值点；（2）根据函数()xf x e =与()lng x x =关于直线y x =，将直线y x =平移后与分别与曲线()y f x =、()y g x =切于A 、B ，由此可得出AB 的最小值.【详解】（1）由题意知()ln xh x e x =-，所以()1xh x e x'=-， 由xy e =单调递增，1y x=在()0,∞+上单调递减，()y h x '∴=在()0,∞+上单调递增， 又1202h e ⎛⎫'=-<⎪⎝⎭，()110h e '=->， 所以存在唯一的01,12x ⎛⎫∈⎪⎝⎭，使得()00h x '=， 当()00,x x ∈时，()00h x '<，函数()y h x =单调递减； 当()0,x x ∈+∞时，()00h x '>，函数()y h x =单调递增； 因此，函数()y h x =有唯一的极值点；（2）由于()xf x e =与()lng x x =互为反函数，两个函数图象关于直线y x =对称，如下图，将直线y x =平移使得平移后的直线与函数()y f x =的图象相切，()xf x e '=，令()1xf x e '==，0x ∴=，可得点()0,1A .将直线y x =平移使得平移后的直线与函数()y g x =的图象相切，()1g x x'=， 令()11g x x'==，1x ∴=，可得点()10B ,， 因此，A 、B ()()2201102-+-=【点睛】本题考查函数极值点个数，同时也考查反函数对称性的应用，在求解函数极值点个数问题时，要结合导数的单调性与零点存在定理来分析求解，考查数形结合思想的应用，属于中等题.21．已知抛物线()2:20E y px p =>，过其焦点F 的直线与抛物线相交于()11,A x y 、()22,B x y 两点，满足124y y =-.（1）求抛物线E 的方程；（2）已知点C 的坐标为()2,0-，记直线CA 、CB 的斜率分别为1k ，2k ，求221211k k +的最小值.【答案】（1）24y x =；（2）92. 【解析】（1）设直线AB 的方程为2px my =+，将直线AB 的方程与抛物线E 的方程联立，消去x ，利用韦达定理并结合条件124y y =-可求出实数p 的值，由此得出抛物线E 的方程； （2）由（1）得出直线AB 的方程为1x my =+，将该直线方程与抛物线E 的方程联立，并列出韦达定理，利用斜率公式结合韦达定理得出221211k k +关于m 的表达式，可得出221211k k +的最小值. 【详解】（1）因为直线AB 过焦点,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，设直线AB 的方程为2p x my =+，将直线AB 的方程与抛物线E 的方程联立222p x my y px⎧=+⎪⎨⎪=⎩，消去x 得2220y mpy p --=，所以有2124y y p =-=-，0p >，2p ∴=，因此，抛物线E 的方程24y x =；（2）由（1）知抛物线的焦点坐示为()1,0F ，设直线AB 的方程为1x my =+，联立抛物线的方程2440y my --=，所以124y y m +=，124y y =-，则有1113m k y =+，2213m k y =+， 因此22222221212121211331111=269m m m m k k y y y y y y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+++++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()221212222122212122484926926954162y y y y m y y mm m m m m y y y y +-++=+⋅+⋅=+⋅+⋅=+-.因此，当且仅当0m =时，221211k k +有最小值92. 【点睛】本题考查抛物线方程的求解，同时也考查了直线与抛物线中的最值问题的求解，对于直线与抛物线的综合问题，一般将直线方程与抛物线方程联立，利用韦达定理设而不求法进行计算，计算量较大，考查方程思想的应用，属于中等题. 22．在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为3sin 3cos x y θθ=⎧⎨=⎩（其中θ为参数）曲线2C 的普通方程为2214x y +=，以坐标原点为极点，以x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求曲线1C 和曲线2C 的极坐标方程； （2）射线1l :000,2πθθθ⎡⎤⎛⎫=∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦依次与曲线1C 和曲线2C 交于A 、B 两点，射线2l :000,22ππθθθ⎡⎤⎛⎫=+∈⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦依次与曲线1C 和曲线2C 交于C 、D 两点，求AOC BODS S ∆∆的最大值. 【答案】（1）1C 的极坐标方程为3ρ=，2C 的极坐标方程为2224cos 4sin ρθθ=+；（2）458. 【解析】（1）将两曲线的方程均化为普通方程，然后由cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩可将两曲线的方程化为极坐标方程；（2）作出图形，设点B 、D 的极坐标分别为()10,ρθ、20,2πρθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，将这两点的极坐标代入椭圆的极坐标方程可得出1ρ、2ρ的表达式，可得出1212BOD S ρρ∆=，利用基本不等式可求出AOCBODS S ∆∆的最大值. 【详解】（1）由曲线1C 的参数方程为3sin 3cos x y θθ=⎧⎨=⎩（其中θ为参数），所以曲线1C 的普通方程为229x y +=，由cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩则曲线1C 的极坐标方程为3ρ=.又曲线2C 的普通方程为2214x y +=，由cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，得曲线2C 的极坐标方程为2224cos 4sin ρθθ=+； （2）如图，由题意知1922AOC S OA OC ∆=⋅=，点B 、D 的极坐标分别为()10,ρθ、20,2πρθ⎛⎫+⎪⎝⎭， 将这两点的极坐标代入椭圆的极坐标方程得12200cos 4sin ρθθ=+，222220000sin 4cos cos 4sin 22ρππθθθθ==+⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，12222200001122cos 4sin sin 4cos BOD S ρρθθθθ∆=⋅=++()()22220000cos 4sin sin 4cos θθθθ=++()()2222000099545cos 4sin sin 4cos 4428AOC BOD S S θθθθ∆∆∴=++≤⨯=， 当且仅当22220000cos 4sin sin 4cos θθθθ+=+，即04θπ=，不等式取等号， 因此，AOC BOD S S ∆∆的最大值为458.【点睛】本题考查参数方程、极坐标方程与普通方程的互化，以及利用极坐标解决最值问题，解题时要注意极坐标方程法的适用情况，考查运算求解能力，属于中等题. 23．已知函数()1f x x a x =-+-.（1）若不等式()3f x ≤的解集为{}03x x ≤≤，求实数a 的值； （2）当2a = 时，若()1422nn f x +≥--对一切实数x 恒成立，求实数n 的取值范围.【答案】（1）2a =；（2）(]2,log 3-∞.【解析】（1）由题意得出关于x 的方程()3f x =的两根分别为0和3，可得出()()0333f f ⎧=⎪⎨=⎪⎩，从而求出实数a 的值；（2）利用绝对值三角不等式得出函数()y f x =的最小值为1，可得出14223n n +--≤，再令2n t =，可得出2230t t --≤，解出3t ≤，即23n ≤，从而可解出实数n 的取值范围. 【详解】（1）由题意得出关于x 的方程()3f x =的两根分别为0和3，则()()0333f f ⎧=⎪⎨=⎪⎩，即13323a a ⎧+=⎪⎨-+=⎪⎩，解得2a =；（2）当2a =时，由绝对值三角不等式得()21211f x x x x x =-+-≥--+=， 又()1422nn f x +≥--对一切实数x 恒成立，所以11422n n +≥--，令2n t =，化简得2230t t --≤，解得3t ≤， 所以2log 3n ≤，实数n 的取值范围为(]2,log 3-∞. 【点睛】本题考查不等式的解集与不等式之间的关系，同时也考查了绝对值不等式恒成立，解题时根据不等式恒成立转化为函数的最值，并借助三角不等式求解，考查化归与转化思想，属于中等题.。
2020届云南省名校高考适应性月考统一考试数学(理)试题(解析版)
【答案】D
【解析】由复数的四则运算求出 ，就能判别相应选项.
【详解】
因为 ，所以 ，则复平面内表示 的点位于第四象限.选D．
【点睛】
复数四则运算，属于简单题.
3．已知正项等比数列 中， ,若 ，则 ＝（）
A．2•5nB．2• C．5nD．
【答案】D
【解析】考查等比数列的定义，通过 , 就可以求出数列通项公式.
【详解】
由 得 ，即 ，解得 .又因为 ，即 ，解得 ，所以 .选D．
【点睛】
考查等比数列定义，属于简单题.
4．设a＝0.60.6，b＝log0.61.5，c＝1.50.6，则a，b，c的大小关系是（）
A．a＜b＜cB．a＜c＜bC．b＜a＜cD．b＜c＜a
【答案】C
【解析】这是三个不同类型的数字，所以和中间值0和1比较大小，从而得到 的大小关系.
【答案】C
【解析】考查几何体与球相切的问题，常见的有外接、内切和本题的棱相切.
【详解】
因为球O与正方体的所有棱相切，所以该球的直径等于正方体的面对角线长.设球的半径为R，则 ， .选C.
【点睛】
考查几何体与球相切的问题，常见的有外接、内切和本题的棱相切.多画图找关系.
7．函数 在 的图象大致是
A. B.
【详解】
解析： ，在点（1，1）处的切线斜率为 ，所以切线方程为 .
【点睛】
本题考查了导数的几何意义求切线方程，属于简单题型.
14．在公差为3的等差数列{an}中，a1，a3，a11成等比数列，则数列{an}的前n项和Sn＝_____
【答案】
【解析】考查等差数列的定义，通过指定的三项的等量关系及公差的值求出 ，从而能完成本题.
云南师大附中2020届高考数学适应性月考试题(一)文(含解析)新人教A版
云南师大附中2020届高考适应性月考卷（一）文科数学【试卷综析】本试卷是高三文科试卷，以基础知识和基本技能为载体，以能力测试为主导，在注重考查学科核心知识的同时，突出考查考纲要求的基本能力，重视学生科学素养的考查.知识考查注重基础、注重常规、注重主干知识，兼顾覆盖面.试题重点考查：集合、不等式、复数、向量、三视图、导数、圆锥曲线、立体几何、数列、三角函数的性质、解三角形、命题、程序框图、概率、不等式选讲、几何证明选讲、参数方程极坐标等；考查学生解决实际问题的综合能力，是份较好的试卷.选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)【题文】1、已知全集U 和集合A 如图1所示，则()U C A B ⋂=A.{3}B.{5,6}C.{3,5,6}D.{0,4,5,6,7,8}【知识点】集合及其运算A1【答案解析】B 解析：由图易知()U A B =I ð{5,6}.则选B. 【思路点拨】本题主要考查的是利用韦恩图表示集合之间的关系，理解集合的补集与交集的含义是解题的关键.【题文】2、11ii-+=A. ﹣2iB. ﹣iC.1﹣iD.1+i 【知识点】复数的代数运算L4【答案解析】B 解析：21i (1i)2ii.1i 22---===-+则选B.【思路点拨】复数的代数运算是常考知识点之一，熟记运算法则是解题的关键. 【题文】3、在如下的四个电路图中，记：条件M:“开关1S ”闭合；条件N ：“灯泡L 亮”，则满足M 是N 的必要不充分条件的图为【知识点】充要条件A2【答案解析】C 解析：对于图A ，M 是N 的充分不必要条件．对于图B ，M 是N 的充要条件．对于图C ，M 是N 的必要不充分条件．对于图D ，M 是N 的既不充分也不必要条件．则选C. 【思路点拨】判断充分必要条件一般先明确条件与结论，若由条件能推出结论，则充分性成立，若由结论能推出条件，则必要性成立. 【题文】4、下列命题为真命题的是 A 、命题“若x ＞y ，则x ＞y”的逆命题B 、命题“若x ＞1，则21x >”的否命题C 、命题“若x=1，则220x x +-=”的否命题D 、命题“若x(x ﹣1) ＞0，则x ＞1”的逆否命题【知识点】命题及其关系A2【答案解析】A 解析：命题“若x y >，则x y>”的逆命题是“若x y>，则x y >”无论y是正数、负数、0都成立．则选A.【思路点拨】可先写出逆命题与否命题，再判断真假，判断逆否命题真假只需判断原命题真假.【题文】5、等差数列{}n a 的公差为2，前n 项和为n S ，若1361,,a a a +成等比数列，则n S =A 、()1n n + B 、2n C 、()1n n - D 、2n【知识点】等差数列与等比数列D2 D3【答案解析】A 解析：依题意得2316(1)a a a =+，即2111(4)(1)(10)a a a +=++，解得12a =，所以(1)n S n n =+.则选A.【思路点拨】可直接利用等差数列与等比数列的通项公式及前n 项和公式解答.【题文】6、已知向量,a b r r满足a b -=r r 1a b •=r r，则a b +r r =【知识点】向量的数量积及其应用F3 【答案解析】C 解析：由已知得222222()226-=-=+-⋅=+-=a b a b a b a b a b ，即228+=a b ，所以2+=a b 222()210+=++⋅=a b a b a b，即+=a b 则选C.【思路点拨】遇到求向量的模时，一般利用向量的模的平方等于向量的平方转化求解.【题文】7、在区间[0,1]内任取两个实数，则这两个实数的和大于13的概率为 A 、29 B 、79 C 、118 D 、1718【知识点】几何概型K3【答案解析】D 解析：设,[0,1]x y ∈，作出不等式组01,01,13x y x y ⎧⎪⎪⎨⎪⎪+>⎩≤≤≤≤ 所表示的平面区域，由几何概型知，所求概率111117233.1118P -⨯⨯==⨯ 则选D.【思路点拨】当总体个数有无限多时的概率问题为几何概型，若事件与两个变量有关时，可归结为面积问题进行解答.【题文】8、在△ABC 中，若sinC=2sinAcosB,则此三角形一定是A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等边三角形 【知识点】解三角形C8【答案解析】A 解析：由已知及正、余弦定理得，22222a c b c a ac +-=，所以22a b =，即a b =.则选A.【思路点拨】判断三角形形状，可以用正弦定理及余弦定理把角的关系转化为边的关系，也可利用三角形内角和的关系进行转化求解. 【题文】9、已知函数f(x)及其导数()'f x ，若存在x ，使得()()00'f x f x =，则称x 是f(x)的一个“和谐点”，下列函数中①()2f x x=；②()1x f x e =；③()ln f x x =；④()1f x x x =+，存在“和谐点”的是A 、①②B 、①④C 、①③④D 、②③④ 【知识点】导数的应用B11【答案解析】C 解析：①显然成立，②显然不成立，对于③④作出()y f x =与()y f x '=的图象可知成立．则选C.【思路点拨】对于新定义问题，关键是理解其含义，本题的本质是方程有无实根问题. 【题文】10、将边长为a 的正方形ABCD 沿对角线AC 折起，使得BD=a ，则三棱锥D-ABC 的体积为A 、36aB 、312a C、312a D、312a【知识点】棱锥的体积G7【答案解析】D 解析：设正方形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点E ，沿AC 折起后，依题意得：当BD ＝a 时， DE ⊥BE ，又DE ⊥AC ， ∴DE ⊥平面ABC ，∴三棱锥D −ABC 的高为DE＝a ，∴VD−ABC＝13·12a2·22a＝3212a．则选D.【思路点拨】对于翻折问题，应注意结合翻折前后的垂直关系及线段的对应关系进行解答. 【题文】11、如图，网格纸上小方格的边长为1(表示1cm)，图中粗线和虚线是某零件的三视图，该零件是由一个底面半径为4cm，高为3cm的圆锥毛坯切割得到，则毛坯表面积与切削得的零件表面积的比值为A.310 B.510 C.710 D.910【知识点】三视图G2【答案解析】D解析：圆锥毛坯的底面半径为4cmr=，高为3cmh=，则母线长5cml=，所以圆锥毛坯的表面积2ππ36πS rl r=+=原表，切削得的零件表面积2π2140πS S=+⨯⨯=零件表原表，所以所求比值为910．则选D.【思路点拨】由三视图求几何体的表面积，关键是正确的分析原几何体的特征.【题文】12、若函数()1lnf x a xx=+在区间(1, ＋∞)上单调递增，则实数a的取值范围是A.( ﹣∞, ﹣2]B. ( ﹣∞, ﹣1]C.[1，＋∞)D. [2，＋∞)【知识点】导数的应用B12【答案解析】C解析：因为()f x在区间(1,)+∞上单调递增，所以1x>时，21()0af xx x'=-≥恒成立，即1ax≥在区间(1,)+∞上恒成立，因为1x>，所以101x<<，所以 1.a≥则选C. 【思路点拨】先由函数的单调性转化为导数的符号问题，再由不等式恒成立求参数范围即可.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)【题文】13设A、B分别是椭圆22221x ya b+=(a＞b＞0)的左、右顶点，点P在C上且异于A、B两点，若直线AP与BP的斜率之积为﹣13，则C的离心率为__________.【知识点】椭圆的几何性质H5【答案解析】63解析：由题意知(,0),(,0)A aB a-，取(0,)P b，则13AP BPb bk ka a⎛⎫⋅=⨯-=-⎪⎝⎭，故223a b=，所以，222223a bea-==，即6e=．【思路点拨】利用已知条件得到椭圆中的量a,b,c的关系，再求离心率即可.【题文】14、定义一种新运算“⊗”：S a b=⊗，其运算原理如图3的程序框图所示，则3654⊗-⊗=_______.【知识点】程序框图L1【答案解析】﹣3解析：由框图可知(1),,(1),.a b a bSb a a b->⎧=⎨-⎩≤从而得36546(31)5(41)3⊗-⊗=---=-．【思路点拨】读懂程序框图，理解所定义的新运算，即可解答.【题文】15、设奇函数f(x)在(0, ＋∞)上为单调递增函数，且f(2)=0，则不等式()()2f x f xx--≥的解集为__________.【知识点】奇函数函数的单调性B3 B4【答案解析】[﹣2，0) ∪(0，2]解析：原不等式可化为()0x f x⋅≤且0x≠，作出奇函数()f x 的简图，可知其解集为[2,0)(0,2]-U．【思路点拨】先由奇函数的性质对不等式转化，再结合奇函数及函数的单调性解答即可.【题文】16、已知数列{}n a 中，11a =，前n 项和为nS ，且()*121n n S S n N +=+∈，则na =_______.【知识点】等比数列D3 【答案解析】12n -解析：由121n n S S +=+得，当2n ≥时，121n n S S -=+，∴112()n n n n S S S S +--=-，即12n n a a +=，∴12n na a +=，又11a =，得2112213S a a a =+==+，∴22a =，∴212a a =，∴数列{}n a 是首项为1，公比为2的等比数列，∴12n n a -=．【思路点拨】一般遇到数列的前n 项和之间的递推公式，经常利用1n n n a S S -=-进行转化求解.三、解答题(共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)【题文】17、(12分)已知函数()221cos cos 2sin 2f x x x x x =+-(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)若0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求函数f(x)的值域. 【知识点】函数sin()y A x ωϕ=+的图象与性质C4 【答案解析】(1) π (2) 30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 解析：（1）1cos21cos21()22222x x f x x +-=+⨯-Q11cos222x x=-π1sin 26x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭．所以其最小正周期为2ππ2T ==． （2）由（Ⅰ）知π()1sin 26f x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭， 又Q πππ7π0,,2,2666x x ⎡⎤⎡⎤∈∴+∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，π1sin 2,162x ⎛⎫⎡⎤+∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦∴．所以函数()f x 的值域为30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦．【思路点拨】一般研究与三角有关的函数的性质通常先化成sin()y A x ωϕ=+形式再进行解答.【题文】18、(12分)某种产品按质量标准分成五个等级，等级编号x 依次为1,2,3,4,5，现从一批产品中随机抽取20件，对其等级编号进行统计分析，得频率分布表如下：(1)若所抽取的20件产品中，等级编号为4的恰有3件，等级编号为5的恰有2件，求a,b,c 的值；(2)在(1)的条件下，将等级编号为4的3件产品记为123,,x x x ，等级编号为5的2件产品记为12,y y ，现从123,,x x x ,12,y y 这5件产品中任取两件(假定每件产品被取出的可能性相同)，写出所有可能的结果，并求这两件产品的等级编号恰好相同的概率.【知识点】频率分布表 概率I2 K2【答案解析】(1) 0.1a =，0.15b =，0.1c = (2) 1213{,},{,},x x x x1112232122313212{,},{,},{,},{,},{,},{,},{,},{,}x y x y x x x y x y x y x y y y ()0.4P A =解析：（1）由频率分布表得0.20.451a b c ++++=，即0.35a b c ++=．因为抽取的20件产品中，等级编号为4的恰有3件，所以30.1520b ==．等级编号为5的恰有2件，所以20.120c ==．从而0.350.1a b c =--=． 所以0.1a =，0.15b =，0.1c =．（2）从12312,,,,x x x y y 这5件产品中任取两件，所有可能的结果为：1213{,},{,},x x x x 1112232122313212{,},{,},{,},{,},{,},{,},{,},{,}x y x y x x x y x y x y x y y y ．设事件A 表示“从12312,,,,x x x y y 这5件产品中任取两件，其等级编号相同”，则A 包含的基本事件为：12132312{,},{,},{,},{,}x x x x x x y y 共4个．又基本事件的总数为10，故所求的概率4()0.410P A ==．【思路点拨】一般求古典概型的概率问题，通常利用列举法计算事件的个数进行解答.【题文】19、(12分)如图4，在四棱锥P-ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，四边形ABCD 为长方形，AD=2AB ，点E 、F 分别是线段PD 、PC 的中点.(1)证明：EF ∥平面PAB ；(2)在线段AD 上是否存在一点O ，使得BO ⊥平面PAC ，若存在，请指出点O 的位置，并证明BO ⊥平面PAC ；若不存在，请说明理由.【知识点】直线与平面平行的判定 线面垂直的判定G4 G5【答案解析】(1)略 (2) 在线段AD 上存在一点O 为线段AD 的四等分点 解析：（1）∵EF CD ∥，CD AB ∥，∴EF AB ∥， 又∵EF ⊄平面PAB ，AB ⊂平面PAB ， ∴EF ∥平面PAB ．（2）在线段AD 上存在一点O ，使得BO ⊥平面PAC ， 此时点O 为线段AD 的四等分点，且14AO AD =.∵PA ⊥底面ABCD ，∴PA BO ⊥，又∵长方形ABCD 中，△ABO ∽△DAC ，∴AC BO ⊥， 又∵PA AC A =I ，∴BO ⊥平面PAC ．【思路点拨】一般遇到判定直线与平面平行或垂直问题，通常利用其判定定理解答. 【题文】20、(12分)如图5，已知抛物线C:()220y px p =>和圆M ：()2241x y -+=，过抛物线C 上一点H()00,x y ()00y >作两条直线与圆M 相切于A,B 两点，分别交抛物线于E 、F 两点，圆心M 到抛物线准线的距离为174.(1)求抛物线C 的方程；(2)当∠AHB 的角平分线垂直x 轴时，求直线EF 的斜率..【知识点】抛物线 直线与圆锥曲线H8 H7【答案解析】(1) 2y x = (2)14EF k =- 解析：（1）∵点M 到抛物线准线的距离为42p +=174，∴12p =，即抛物线C 的方程为2y x =．（2）方法一：∵当AHB ∠的角平分线垂直x 轴时，点(4,2)H ，∴HE HF k k =-， 设11(,)E x y ，22(,)F x y ，∴12122244y y x x --=---，即1222122244y y y y --=---， ∴124y y +=-. 212122212121114EF y y y y k x x y y y y --====---+．方法二：∵当AHB ∠的角平分线垂直x 轴时，点(4,2)H ，∴60AHB ∠=︒， 可得3HA k =3HB k =-∴直线HA 的方程为3432y x =-，联立方程组23432,,y x y x ⎧-⎪⎨=⎪⎩ 234320y --=，∵32Ey +=，∴E y =，E x ．分）同理可得F y =，F x =，∴14EF k =-． 【思路点拨】求抛物线的方程关键是利用圆心到其准线的距离求p ，第二问抓住当∠AHB 的角平分线垂直x 轴时，两切线的斜率互为相反数进行解答. 【题文】21、(12分)已知函数()()1ln f x ax x a R =--∈.(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)若函数f(x)在x=1处取得极值，且对()()0,,2x f x bx ∀∈+∞≥-恒成立，求实数b 的取值范围.【知识点】导数的应用B12【答案解析】(1) 当0a ≤时，在(0,)+∞上单调递减,；当0a >时在10,a ⎛⎤ ⎥⎝⎦上递减，在1,a⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上递增；(2) 211e b -≤解析：（1）()f x 的定义域为(0,)+∞，11()ax f x a x x -'=-=，∴当0a ≤时，()0f x '<在(0,)+∞上恒成立，函数()f x 在(0,)+∞上单调递减． 当0a >时，由()0f x '≤，得10x a <≤；由()0f x '≥，得1x a ≥，∴函数()f x 在10,a ⎛⎤ ⎥⎝⎦上递减，在1,a ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上递增．（2）∵函数()f x 在1x =处取得极值，∴1a =，∴1ln ()21xf x bx b x x -⇔+-≥≥，令1ln ()1x g x x x =+-，可得()g x 在2(0,e ]上递减，在2[e ,)+∞上递增， ………（10分）∴2min21()(e )1e g x g ==-，即211e b -≤．【思路点拨】一般遇到不等式恒成立求参数范围问题，通常分离参数转化为函数的最值问题进行解答.请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号.【题文】22、(本小题10分)[选修4-1：几何证明选讲]如图6，直线AB 经过圆O 上一点C ，且OA=OB,CA=CB,圆O 交直线OB 于E,D.(1)求证：直线AB 是圆O 的切线；(2)若1tan 2CED ∠=，圆O 的半径为3，求OA 的长.【知识点】几何证明选讲N1【答案解析】(1)略； (2)5解析：（1）证明：如图4，连接OC ，∵,,OA OB CA CB ==∴OC AB ⊥，∴AB 是⊙O 的切线.（2）解：∵ED 是直径，∴90ECD ∠=︒，在Rt△ECD 中，∵1tan 2CED ∠=, ∴12CD EC =.∵AB 是⊙O 的切线， ∴BCD E ∠=∠，又∵CBD EBC ∠=∠，∴ △BCD∽△BEC,∴BD BC =CD EC =12，设,BD x =则2BC x =，又2BC BD BE =⋅，∴2(2)(6)x x x =⋅+， 解得：120,2x x ==, ∵0BD x =>, ∴2BD =，∴235OA OB BD OD ==+=+=.【思路点拨】证明直线是圆的切线，只需证明圆心到直线的距离等于圆的半径，若直线与圆有公共点，则公共点为切点；第二问利用三角形相似解答即可.【题文】23、(本小题10分)[选修4-4：坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为232252x t y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t 为参数)，在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴)中，圆C 的方程为5ρθ=.(1)求圆C 的圆心到直线l 的距离；(2)设圆C 与直线l 交于点A,B ，若点P的坐标为(，求PA PB +.【知识点】坐标系与参数方程N3【答案解析】(1)(2)解析：（1）由ρθ=，可得220x y +-=，即圆C的方程为22(5x y +-=．由3,,x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）可得直线l的方程为30x y +=． 所以，圆C 的圆心到直线l．（2）将l 的参数方程代入圆C的直角坐标方程，得223522⎛⎫⎛⎫-+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即240t -+=．由于24420∆=-⨯=>．故可设12t t 、是上述方程的两个实根，所以12124t t t t ⎧+=⎪⎨⋅=⎪⎩．又直线l过点(3P ， 故由上式及t的几何意义得1212||||||||PA PB t t t t +=+=+=．【思路点拨】一般由参数方程或极坐标方程研究曲线之间的位置关系不方便时，可转化为直角坐标方程进行解答；第二问可利用直线参数的几何意义进行解答.【题文】24、(本小题10分)[选修4-5：不等式选讲]已知一次函数f(x)=ax －2.(1)解关于x 的不等式()4f x <； (2)若不等式()3f x ≤对任意的x ∈[0,1]恒成立，求实数a 的范围.【知识点】不等式选讲N4【答案解析】(1) 当0a >时，不等式的解集为26x x a a ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭；当0a <时，不等式的解集为62x x a a ⎧⎫<<-⎨⎬⎩⎭.(2) 15a -≤≤且a ≠0．解析：（1）()4f x <⇔24ax -<⇔424ax -<-<⇔26ax -<<，当0a >时，不等式的解集为26x x a a ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭；当0a <时，不等式的解集为62x x a a ⎧⎫<<-⎨⎬⎩⎭.（2）()3f x ≤⇔23ax -≤⇔323ax --≤≤⇔15ax -≤≤⇔5,1,ax ax ⎧⎨-⎩≤≥∵[0,1]x ∈，∴当x =0时，不等式组恒成立；当x ≠0时，不等式组转化为5,1,a x a x ⎧⎪⎪⎨⎪-⎪⎩≤≥ 又∵515,1x x --≥≤，所以15a -≤≤且a ≠0．【思路点拨】解绝对值不等式的关键是去绝对值，可利用性质、分段讨论等方法，对于不等式恒成立求参数范围问题，通常分离参数转化为函数的最值问题进行解答.。
2020届云南师大附中高考适应性月考卷(一)数学试题
及圆(2)16-+=的实线部分上运动，且AB始终平行于轴，则x y∆的周长的取值范围是（）ABF⋅=，NM NF可以求出点N到原点的最短距离【详解】由0⋅=，得点NM NF117．设变量,x y 满足约束条件2202402x y x y y --≤⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩，则2u x y =+的最小值为_______．ABC ∆的三个内角A ，)0BC BA cCA CB ⋅+⋅=.）若23b =，试求AB CB ⋅的最小值．关于斜坐标系的斜坐标是这样定义的：若me ne +，2e 分别为与（1）若点P 在斜坐标系XOY 中的坐标为()2,2-，求点P 到原点O 的距离.（2）求以原点O 为圆心且半径为1的圆在斜坐标系XOY 中的方程. （3）在斜坐标系XOY 中，若直线()01x t t =<<交（2）中的圆于,A B 两点，则当t 为何值时，AOB ∆的面积取得最大值？并求此最大值.12．（1）在直角坐标系中，已知三点(5,4),(,10),(12,2)A B k C -，当k 为何值时，向量AB 与BC 共线？（2）在直角坐标系中，已知O为坐标原点，(7,6),(3,)OA OB k=-=，(5,7)OC=，当k为何值时，向量AB与BC垂直？评卷23BACπ∠=，由正弦定理可得1122AO AO===得AE=16,22DBCS DE BC DE∆=⨯⨯=∴=，1AD ∴===，在四边形1OO AD 中，11//,90OO AD OO A ∠=，OA OD =，计算可得(2222149+=24R OA ⎛⎫== ⎪⎝⎭，则球O 的表面积是494=494ππ⨯，故选D.【方法点晴】本题主要考查球的性质及圆内接三角形的性质、正弦定理与余弦定理法应用及球的表面积公式，属于难题.球内接多面体问题是将多面体和旋转体相结合的题型，既能考查旋转体的对称形又能考查多面体的各种位置关系，做题过程中主要注意以下两点：①多面体每个面都分别在一个圆面上，圆心是多边形外接圆圆心；②注意运用性质2221R r OO =+.2．C 解析：C 【解析】 【分析】将已知转化为1a q ,的形式，解方程求得q 的值. 【详解】依题意1113a a q a +=，解得2q =，故选C.【点睛】本小题主要考查利用基本元的思想求等比数列的基本量1a q ,，属于基础题.基本元的思想是在等比数列中有5个基本量1,,,,n n a q a S n ，利用等比数列的通项公式或前n 项和公式，结合已知条件列出方程组，通过解方程组即可求得数列1a q ,，进而求得数列其它的一些量的值. 3．D 解析：D 【解析】 【分析】将22()z a bi =+,再和2i -的实部和虚部对比，得出结果.【详解】因为2222()()22z a bi a b abi i =+=-+=-，所以220a b -=，22ab =-，解得11a b =⎧⎨=-⎩或11a b =-⎧⎨=⎩，所以0=+b a ，故选D.【点睛】此题考查了复数的乘法运算，属于基础题。
云南2020年上学期师范大学附属中学高三数学理高考适应性月考试题
云南2020年上学期师范大学附属中学高三数学理高考适应性月考试题注意事项:1.答题前,考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚.2.每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效.3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回，满分150分，考试用时120分钟.一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.已知集合{}{}221,(,)1M x y x N x y y x ==+==-+， 则M N=A.{}1B. (0, 1)C. φD. {}(0,1)2.在复平面内，复数21i i-+ (i 为复数单位)对应的点在 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限. D.第四象限3.若随机变量x ～N(1, 4)，P(x≤0)=0.2, 则P(0<x<2)=A.0.6B.0.4C.0.3D. 0.84.已知tan 2α=,则sin(2)2πα+= A. 35 B. 45 C. 35- D. 45- 5.电影《达.芬奇密码》中，有这样一个情节:故事女主人公的祖父雅克.索尼埃为了告诉孙女一个惊天的秘密又不被他人所知，就留下了一串奇异的数字13-3-2-21-1-1-8-5,将这串数字从小到大排列，就成为1-1-2-3-5-8-13-21, 其特点是从第3个数字起，任何一个数字都是前面两个数字的和，它来自斐波那契数列，斐波那契数列与黄金分割有紧密的联系，苹果公司的logo(如图1乙和丙)就是利用半径成斐波那契数列(1, 1, 2, 3, 5, 8, 13)的圆切割而成，在图甲的矩形ABCD 中，任取一点，则该点落在阴影部分的概率是A. 731092πB. 891092π C 1621092π. D. 161092π 6.双曲线C: 22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点为F(3, 0)，且点F 到双曲线C 的一条渐近线的距离为1,则双曲线C 的离心率为A. 2B. 32 23 D. 37.如图2，在∆ABC 中, AC=3, AB=2， ∠CAB=60°, 点D 是BC 边上靠近B 的三等分点，则AD =A. 37B. 97C. 43D. 43 8.在正项等比数列{}n a 中, 11a =,前三项的和为7,若存在,m n N *∈使得14m n a a a =,则19m n +的最小值为 A. 23 B. 43 C. 83 D. 1149.如图3,某几何体的三视图均为边长为2的正方形，则该几何体的体积是A. 56B. 83C.1D. 16310.已知函数2212cos ()2cos 2x xx x e x e f x x -+-+=+， 则122019()()()202020202020f f f +++= A.2019 B.2020 C.4038 D.4040 11.设动直线x=t 与曲线x y e =以及曲线ln y x =分别交于P, Q 两点，min PQ 表示PQ 的最小值, 则下列描述正确的是A. min 2PQ =B. min 52PQ <<C. min 2PQ <<D. min 3PQ > 12.过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 作抛物线的弦，与抛物线交于A, B 两点，M 为AB 的中点,分别过A, B 两点作抛物线的切线l 1，l 2相交于点P.，∆PAB 又常被称作阿基米德三角形.下面关于∆PAB 的描述:①P 点必在抛物线的准线上; ②AP ⊥PB; ③设A(x 1，y 1), B(x 2, y 2),则∆PAB 的面积S 的最小值为22p ④PF ⊥AB; ⑤PM 平行于x 轴.其中正确的个数是A. 2B.3C.4D.5二、填空题(本大题共4小题，每小题5分,共20分)13.设实数x , y 满足0210210x y y x x y -≤⎧⎪--≤⎨⎪+-≥⎩,则z =x +y 的最小值为_________ 14.在9(x x+的展开式中，则x 2的系数为_____________ 15.已知P 是直线l : 260x y ++= 上一动点，过点P 作圆C: 22230x y x ++-=的两条切线，切点分别为A 、B.则四边形PACB 面积的最小值为___________。
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云南师大附中2020届高考适应性月考卷（一）理科数学【试卷综析】本试卷是高三理科试卷，以基础知识和基本技能为载体，以能力测试为主导，在注重考查学科核心知识的同时，突出考查考纲要求的基本能力，重视学生科学素养的考查.知识考查注重基础、注重常规、注重主干知识，兼顾覆盖面.试题重点考查：不等式、复数、向量、三视图、导数、简单的线性规划、直线与圆、圆锥曲线、立体几何、数列、函数的性质及图象、三角函数的性质、三角恒等变换与解三角形、命题、程序框图、排列组合、概率与随机变量分布列与期望、不等式选讲、几何证明选讲、参数方程极坐标等；考查学生解决实际问题的综合能力，是份较好的试卷.选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)【题文】1、已知全集U 和集合A 如图1所示，则()U C A B ⋂=A.{3}B.{5,6}C.{3,5,6}D.{0,4,5,6,7,8}【知识点】集合及其运算A1【答案解析】B 解析：由图易知()U A B =I ð{5,6}.则选B. 【思路点拨】本题主要考查的是利用韦恩图表示集合之间的关系，理解集合的补集与交集的含义是解题的关键. 【题文】2、设复数12,z z 在复平面内对应的点关于原点对称，11z i=+，则12z z =A.－2iB.2iC.－2D.2 【知识点】复数的概念与运算L4【答案解析】A 解析：11i z =+在复平面内的对应点为(1,1)，它关于原点对称的点为(1,1)--，故21i z =--，所以212(1i)2i.z z =-+=-则选A.【思路点拨】通过复数的几何意义先得出2z ，再利用复数的代数运算法则进行计算.【题文】3、已知向量,a b r r 满足6a b -=r r 1a b •=r r，则a b +r r =6210【知识点】向量的数量积及其应用F3 【答案解析】C 解析：由已知得222222()226-=-=+-⋅=+-=a b a b a b a b a b ，即228+=a b ，所以2+=a b 222()210+=++⋅=a b a b a b ，即10.+=a b 则选C.【思路点拨】遇到求向量的模时，一般利用向量的模的平方等于向量的平方转化求解.【题文】4、曲线11ax y e x =++在点(0,2)处的切线与直线y=x+3平行，则a=A.1B.2C.3D.4 【知识点】导数的应用B12【答案解析】B 解析：21e (1)ax y a x '=-+，由题意得011x y a ='=-=，所以 2.a =则选B.【思路点拨】理解导数与其切线的关系是解题的关键.【题文】5、在△ABC 中，若sinC=2sinAcosB,则此三角形一定是A.等腰直角三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等边三角形 【知识点】解三角形C8【答案解析】C 解析：由已知及正、余弦定理得，22222a c b c a ac +-=，所以22a b =，即a b =.则选C.【思路点拨】判断三角形形状，可以用正弦定理及余弦定理把角的关系转化为边的关系，也可利用三角形内角和的关系进行转化求解.【题文】6、函数()2sin 3sin cos f x x x x =在区间,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值是 A.1 B.13+ C.32 D.13【知识点】函数sin()y A x ωϕ=+的图象与性质C4【答案解析】C 解析：函21cos 231π()sin 3cos 2sin 2226x f x x x x x x -⎛⎫=+==+- ⎪⎝⎭, ππππ5π,,2,42636x x ⎡⎤⎡⎤∈-∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦∵∴, ()f x 的最大值是32.则选C. 【思路点拨】一般研究三角函数的性质，通常先化成一个角的三角函数再进行解答.【题文】7、已知实数x,y 满足约束条件0024030220x y x y x y x y ≥⎧⎪≥⎪⎪+-≤⎨⎪+-≤⎪⎪+-≥⎩，则z=x+3y 的取值范围是A.[1,9]B.[2,9]C.[3,7]D.[3,9]【知识点】简单的线性规划问题E5【答案解析】B 解析：根据线性约束条件作出可行域， 如图1所示阴影部分．作出直线l ：30x y +=，将直线l 向上平移至过点(0,3)M和(2,0)N位置时，max 0339z=+⨯=，min 230 2.z=+⨯=则选B.【思路点拨】本题先正确的作出不等式组表示的平面区域，再结合目标函数的几何意义进行解答.【题文】8、如图，网格纸上小方格的边长为1(表示1cm)，图中粗线和虚线是某零件的三视图，该零件是由一个底面半径为4cm，高为3cm的圆锥毛坯切割得到，则毛坯表面积与切削得的零件表面积的比值为A.3 10B.510 C.710 D.910【知识点】三视图G2【答案解析】D解析：圆锥毛坯的底面半径为4cmr=，高为3cmh=，则母线长5cml=，所以圆锥毛坯的表面积2ππ36πS rl r=+=原表，切削得的零件表面积2π2140πS S=+⨯⨯=零件表原表，所以所求比值为910．则选D.【思路点拨】由三视图求几何体的表面积，关键是正确的分析原几何体的特征.【题文】9、若任取x,y∈[0,1]，则点P(x,y)满足2y x>的概率为A.23 B.13 C.12 D.34【知识点】定积分几何概型K3 B13【答案解析】A解析：该题属几何概型，由积分知识易得点(,)P x y满足2y x>的面积为123112(1)33x dx x x⎛⎫-=-=⎪⎝⎭⎰，所以所求的概率为23．则选A.【思路点拨】当总体个数有无限多时的概率问题为几何概型，若事件与两个变量有关时，可归结为面积问题进行解答.【题文】10、已知椭圆()222210x y a b a b +=>>的左焦点为F ，右顶点为A ，点B 在椭圆上，且BF ⊥x 轴，直线AB 交y 轴于点P ，若2AP PB =u u u r u u u r，则椭圆的离心率是 A.3 B.22 C.13 D.12【知识点】椭圆的几何性质H5【答案解析】D 解析：因为2AP PB =u u u r u u u r ，则12,2,2OA OF a c e ===∴∴．则选D. 【思路点拨】求椭圆的离心率一般先结合条件寻求a,b,c 关系，再结合离心率的定义解答即可.【题文】11、把边长为2的正三角形ABC 沿BC 边上的高AD 折成直二面角，设折叠后BC 中点为M ，则AC 与DM 所成角的余弦值为A.23B.24C.3D.3【知识点】异面直线所成的角G11【答案解析】B 解析：建立如图2所示的空间直角坐标系D xyz -， 则(0,0,3),(1,0,0),(0,1,0),A B C11,,0,(0,0,0),2211(0,1,3),,,0,222cos ,M D AC DM AC DM AC DM AC DM⎛⎫⎪⎝⎭⎛⎫== ⎪⎝⎭⋅〈〉==u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u u ru u u r u u u u r ∴∴则AC 与DM 所成角的余弦值为24.所以选C. 本题也可用几何法：在△ABC 中过点M 作AC的平行线，再解三角形即得．【思路点拨】求异面直线所成角时，可先考虑用定义法作出其平面角，再利用三角形解答，若作其平面角不方便时，可采取向量法求解.【题文】12、函数()()3f x x x x R =+∈当02πθ<<时，()()sin 10f a f a θ+->恒成立，则实数a 的取值范围是A.(﹣∞，1]B.(﹣∞,1)C.(1, ＋∞)D.(1, ＋∞) 【知识点】奇函数 函数的单调性B3 B4【答案解析】A 解析：2()130f x x '=+>，故3()()f x x x x =+∈R 在R 上单调递增，且为奇函数，所以由(sin )(1)0f a f a θ+->得(sin )(1)f a f a θ>-，从而sin 1a a θ>-，即当π02θ<<时，1sin 1a θ<--恒成立，所以1a ≤．则选A. 【思路点拨】本题可先利用奇函数及函数的单调性进行转化，再把不等式恒成立问题转化为函数的最值问题进行解答.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)【题文】13、定义一种新运算“⊗”：S a b =⊗，其运算原理如图3的程序框图所示，则3654⊗-⊗=_______.【知识点】程序框图L1【答案解析】﹣3解析：由框图可知(1),,(1),.a b a b S b a a b ->⎧=⎨-⎩≤ 从而得36546(31)5(41)3⊗-⊗=---=-．【思路点拨】读懂程序框图，理解所定义的新运算，即可解答. 【题文】14、等比数列{}n a 的前n 项和为nS ，且1234,2,a a a 成等差数列，若11a =，则4S =_____.【知识点】等比数列与等差数列D2 D3 【答案解析】15解析：1234,2,a a a ∵成等差数列,2213211144,44,440,a a a a a q a q q q +=+=-+=∴即∴42,15q S ==∴．【思路点拨】遇到等差数列与等比数列，若无性质特征，则用其公式转化为首项与公比关系进行解答.【题文】15、关于sinx 的二项式()1sin nx +的展开式中，末尾两项的系数之和为7，且系数最大的一项的值为52，当x ∈[0, π]时，x=___________.【知识点】二项式定理J3【答案解析】π6或5π6．解析：1C C 17n n nnn -+=+=，故6n =，所以第4项的系数最大，于是3365C sin 2x =，所以，31sin 8x =，即1sin 2x =，又[0,π]x ∈，所以π6x =或5π6．【思路点拨】一般遇到二项展开式某项或某项的系数问题，通常结合展开式的通项公式进行解答.【题文】16、已知函数()3232a b f x x x cx d =+++(a ＜b)在R 上单调递增，则a b c b a ++-的最小值为______.【知识点】导数的应用 基本不等式B12 E6【答案解析】3解析：由题意2()0f x ax bx c '=++≥在R 上恒成立，故0b a >>，24b c a ≥，于是a b c b a ++-≥2211441b b b a b a a a b b a a ⎛⎫++++ ⎪⎝⎭=--，设b ta =(1)t >，则问题等价于求函数244()4(1)t t g t t ++=-(1)t >的最小值，又()()244191()166634(1)414t t g t t t t ++⎡⎤==-++≥+=⎢⎥--⎣⎦，由此可得min ()(4)3g t g ==．【思路点拨】先由函数的单调性结合导数得到abc 的关系，再通过换元法转化为熟悉函数的最小值问题.三、解答题(共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 【题文】17、(本小题满分12分)一个口袋内有5个大小相同的球，其中有3个红球和2个白球.(1)若有放回的从口袋中连续的取3次球(每次只取一个球)，求在3次摸球中恰好取到两次红球的概率；(2)若不放回地从口袋中随机取出3个球，求取到白球的个数ξ的分布列和数学期望E(ξ). 【知识点】概率 离散随机变量的分布列和数学期望K6 K7【答案解析】(1) 54125(2)6()5E ξ=解析：(1)设在3次有放回的摸球中恰好取到两次红球的概率为P ，由题设知， 21233354C 155125P ⎛⎫⎛⎫=-=⎪⎪⎝⎭⎝⎭．(2)白球的个数ξ可取0，1，2，3211233232333555C C C C C 133(0),(1),(2)C 10C 5C 10P P P ξξξ=========．所以ξ的分布列如下表：ξ 0 1 2P110 35 310()012105105E ξ=⨯+⨯+⨯=．【思路点拨】求离散随机变量的分布列一般先确定随机变量的所有取值，再计算各个取值的概率，最后得分布列并计算期望. 【题文】18、(本小题满分12分) 如图4，在斜三棱柱111ABC A B C -中，点O 、E 分别是111,A C AA 的中点，111AO A B C ⊥平面，已知∠BCA=90°，12AA AC BC ===.(1)证明：OE ∥平面11AB C ；(2)求直线11A C 与平面11AA B 所成角的正弦值.【知识点】直线与平面平行，线面所成的角G4 G11【答案解析】(1) 略(2) 21解析：方法一：（1）证明：∵点O 、E 分别是11A C 、1AA 的中点，∴1OE AC ∥，又∵OE ⊄平面11AB C ，1AC ⊂平面11AB C ， ∴OE ∥平面11AB C ．（2）解：设点1C 到平面11AA B 的距离为d ，∵111111A ABC C AA B V V --=，即1111111323AC B C AO ⋅⋅⋅⋅=⋅11AA B S d ⋅△．又∵在11AA B △中，1112A B AB ==,∴11AA B S △7=217d =，∴11A C 与平面11AA B 所成角的正弦值为217．方法二：建立如图3所示的空间直角坐标系O xyz -，则(0,0,3)A ，113(0,1,0),0,,2A E ⎛-- ⎝⎭，1(0,1,0)C ，1(2,1,0)B ，(0,2,3)C ．（1）证明：∵OE =u u u r 130,,2⎛- ⎝⎭， 1(0,1,3)AC =u u u u r，∴112OE AC =-u u u r u u u u r ，∴1OE AC ∥，又∵OE ⊄平面11AB C ，1AC ⊂平面11AB C ，∴OE ∥平面11AB C ．（2）解：设11A C 与平面11AA B 所成角为θ，∵11(0,2,0)A C =u u u u r ，11(2,2,0)A B =u u u u r，1(0,1,3)A A =u u u r.设平面11AA B 的一个法向量为(,,)n x y z =r，111220,0,30,0,x y A B n y z A A n ⎧+=⎧⋅=⎪⎪⎨⎨+=⎪⋅=⎪⎩⎩u u u u r r u u u r r 则即 不妨令1x =，可得31,1,n ⎛=- ⎝⎭r ， ∴1121sin cos ,723AC n θ=〈〉==⋅u u u u r r，∴11A C 与平面11AA B 所成角的正弦值为21．【思路点拨】证明直线与平面平行通常利用线面平行的判定定理，求线面所成角可以先作出其平面角，再利用三角形求解，若直接作角不方便时可考虑用向量的方法求解.【题文】19、设数列{}n a 满足10a =且*11.2n na n N a +=∈-.(1)求证数列11n a ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭是等差数列，并求数列{}n a 的通项公式；(2)设n nb S =为数列{}n b 的前n 项和，证明：n S ＜1.【知识点】等差数列 数列求和D2 D4【答案解析】(1)11n a n =-．(2)略 解析：（1）解：将112n na a +=-代入11111n na a +---可得111111n na a +-=--，即数列11n a ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭是公差为1的等差数列．又1111,,11nn a a ==--故所以11n a n =-．（2）证明：由（Ⅰ）得n b ===1111nnn k k k S b ====-=-<∑∑．【思路点拨】证明数列为等差数列通常利用等差数列的定义证明，遇到与数列的和有关的不等式可先考虑能否求和再证明. 【题文】20、已知函数()()1ln f x ax x a R =--∈.(1)讨论函数f(x)在定义域内的极值点的个数； (2)若函数f(x)在x=1处取得极值，对()()0,,2x f x bx ∀∈+∞≥-恒成立，求实数b 的取值范围.【知识点】导数的应用B12【答案解析】(1) 当0a ≤时，没有极值点；当0a >时，有一个极值点． (2)211e b -≤解析：（1）11()ax f x a x x -'=-=， 当0a ≤时，()0f x '<在(0,)+∞上恒成立，函数()f x 在(0,)+∞上单调递减，∴()f x 在(0,)+∞上没有极值点； 当0a >时，由()0f x '<得10x a <<，由()0f x '>得1x a >，∴()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,a⎛+∞⎫⎪⎝⎭上单调递增，即()f x 在1x a =处有极小值． ∴当0a ≤时，()f x 在(0,)+∞上没有极值点；当0a >时，()f x 在(0,)+∞上有一个极值点．（2）∵函数()f x 在1x =处取得极值，∴1a =，∴1ln ()21x f x bx b x x -⇔+-≥≥，令1ln ()1x g x x x =+-，可得()g x 在2(0,e ]上递减，在2[e ,)+∞上递增，∴2min 21()(e )1e g x g ==-，即211e b -≤． 【思路点拨】一般遇到不等式恒成立求参数范围问题，通常分离参数转化为函数的最值问题进行解答.【题文】21、如图5，已知抛物线C:()220y px p =>和圆M ：()2241x y -+=，过抛物线C 上一点H()00,x y ()01y ≥作两条直线与圆M 相切于A,B 两点，圆心M 到抛物线准线的距离为174.(1)求抛物线C 的方程；(2)若直线AB 在y 轴上的截距为t ，求t 的最小值.【知识点】抛物线 直线与圆锥曲线H8 H7【答案解析】(1) 2y x = (2) min 11t =-解析：（1）∵点M 到抛物线准线的距离为42p +=174，∴12p =，即抛物线C 的方程为2y x =．（2）方法一：设1122(,),(,)A x y B x y ，∵114MA y k x =-，∴114HA x k y -=，可得，直线HA 的方程为111(4)4150x x y y x --+-=，同理，直线HB 的方程为222(4)4150x x y y x --+-=，∴210101(4)4150x y y y x --+-=，220202(4)4150x y y y x --+-=，∴直线AB 的方程为22000(4)4150y x y y y --+-=，令0x =，可得000154(1)t y y y =-≥，∵t 关于0y 的函数在[1,)+∞上单调递增，∴min 11t =-．方法二：设点2(,)(1)H m m m ≥，242716HM m m =-+，242715HA m m =-+．以H 为圆心，HA 为半径的圆方程为22242()()715x m y m m m -+-=-+，① ⊙M 方程为22(4)1x y -+=．② ①-②整理得直线AB 的方程为：2242(24)(4)(2)714x m m y m m m m -----=-+．当0x =时，直线AB 在y 轴上的截距154t m m =-(1)m ≥，∵t 关于m 的函数在[1,)+∞上单调递增，∴min 11t =-．【思路点拨】求抛物线的方程关键是利用圆心到其准线的距离求p ，求两切点所在直线方程，可利用两圆的公共弦所在直线方程的方法进行解答.请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号.【题文】22、(本小题10分)[选修4-1：几何证明选讲]如图6，直线AB 经过圆O 上一点C ，且OA=OB,CA=CB,圆O 交直线OB 于E,D.(1)求证：直线AB 是圆O 的切线；(2)若1tan 2CED ∠=，圆O 的半径为3，求OA 的长.【知识点】几何证明选讲N1【答案解析】(1)略； (2)5解析：（1）证明：如图4，连接OC ，∵,,OA OB CA CB ==∴OC AB ⊥，∴AB 是⊙O 的切线.（2）解：∵ED 是直径，∴90ECD ∠=︒，在Rt△ECD 中，∵1tan 2CED ∠=, ∴12CD EC =.∵AB 是⊙O 的切线， ∴BCD E ∠=∠，又∵CBD EBC ∠=∠，∴ △BCD∽△BEC, ∴BD BC =CD EC =12，设,BD x =则2BC x =，又2BC BD BE =⋅，∴2(2)(6)x x x =⋅+， 解得：120,2x x ==, ∵0BD x =>, ∴2BD =，∴235OA OB BD OD ==+=+=.【思路点拨】证明直线是圆的切线，只需证明圆心到直线的距离等于圆的半径，若直线与圆有公共点，则公共点为切点；第二问利用三角形相似解答即可.【题文】23、(本小题10分)[选修4-4：坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为232252x t y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t 为参数)，在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴)中，圆C 的方程为5ρθ=.(1)求圆C 的圆心到直线l 的距离；(2)设圆C 与直线l 交于点A,B ，若点P 的坐标为(5，求PA PB +.【知识点】坐标系与参数方程N3【答案解析】(1)32(2)32解析：（1）由5ρθ=，可得22250x y +-=， 即圆C 的方程为22(5)5x y +-=． 由23,25,x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）可得直线l 的方程为530x y +=． 所以，圆C 的圆心到直线l 0553322+--．（2）将l 的参数方程代入圆C的直角坐标方程，得2235⎛⎫⎫+= ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，即240t -+=．由于24420∆=-⨯=>．故可设12t t 、是上述方程的两个实根，所以12124t t t t ⎧+=⎪⎨⋅=⎪⎩．又直线l过点(3P ， 故由上式及t的几何意义得1212||||||||PA PB t t t t +=+=+=．【思路点拨】一般由参数方程或极坐标方程研究曲线之间的位置关系不方便时，可转化为直角坐标方程进行解答；第二问可利用直线参数的几何意义进行解答.【题文】24、(本小题10分)[选修4-5：不等式选讲]已知一次函数f(x)=ax －2.(1)解关于x 的不等式()4f x <； (2)若不等式()3f x ≤对任意的x ∈[0,1]恒成立，求实数a 的范围.【知识点】不等式选讲N4【答案解析】(1) 当0a >时，不等式的解集为26x x a a ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭；当0a <时，不等式的解集为62x x a a ⎧⎫<<-⎨⎬⎩⎭.(2) 15a -≤≤且a ≠0．解析：（1）()4f x <⇔24ax -<⇔424ax -<-<⇔26ax -<<，当0a >时，不等式的解集为26x x a a ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭；当0a <时，不等式的解集为62x x a a ⎧⎫<<-⎨⎬⎩⎭.（2）()3f x ≤⇔23ax -≤⇔323ax --≤≤⇔15ax -≤≤⇔5,1,ax ax ⎧⎨-⎩≤≥∵[0,1]x ∈，∴当x =0时，不等式组恒成立；当x≠0时，不等式组转化为5,1, axax ⎧⎪⎪⎨⎪-⎪⎩≤≥又∵515,1x x--≥≤，所以15a-≤≤且a≠0．【思路点拨】解绝对值不等式的关键是去绝对值，可利用性质、分段讨论等方法，对于不等式恒成立求参数范围问题，通常分离参数转化为函数的最值问题进行解答.。