高中数学一轮复习专题1 函数的概念、图象与性质(优秀教学案)

专题一 函数的概念、图象与性质[小题提速练]

[明晰考情] 1.命题角度：以基本初等函数为载体，考查函数的定义域、最值、奇偶性、单调性和周期性；利用函数的图象研究函数性质，能用函数的图象性质解决简单问题.2.题目难度：中档难度.

考点一 函数及其表示

要点重组 (1)给出解析式的函数的定义域是使解析式有意义的自变量的集合；探求抽象函数的定义域要把握一个原则：f (g (x ))中g (x )的范围与f (x )中x 的范围相同.

(2)对于分段函数的求值问题，必须依据条件准确地找出利用哪一段求解；形如f (g (x ))的函数求值时，应遵循先内后外的原则. 1.函数y ＝lg (1－x 2)2x 2－3x －2的定义域为( )

A.(－∞，1]

B.[－1，1]

C.⎝⎛⎭⎫－1，－12∪⎝⎛⎭⎫－1

2，1 D.⎣

⎡⎭⎫－1，－12∪⎝⎛⎦⎤－1

2，1 答案 C

解析 函数有意义，则⎩

⎪⎨⎪⎧

1－x 2>0，2x 2－3x －2≠0，

即⎩⎪⎨⎪⎧

－1

x ≠2且x ≠－12.

所以函数的定义域为⎩

⎨⎧⎭

⎬⎫

x ⎪

⎪

－1

x ，0

若f (a )＝f (a ＋1)，则f ⎝⎛⎭⎫

1a 等于( ) A.2 B.4 C.6 D.8 答案 C

解析 若0＜a ＜1，由f (a )＝f (a ＋1)， 得a ＝2(a ＋1－1)，

∴a ＝1

4，∴f ⎝⎛⎭⎫1a ＝f (4)＝2×(4－1)＝6. 若a ≥1，由f (a )＝f (a ＋1)， 得2(a －1)＝2(a ＋1－1)，无解. 综上，f ⎝⎛⎭⎫1a ＝6. 故选C.

3.若函数y ＝f (x )的定义域是[0，2]，则函数g (x )＝f (2x )x －1的定义域是__________.

答案 [0，1)

解析 由⎩

⎪⎨⎪⎧

0≤2x ≤2，

x －1≠0，得0≤x ＜1，

∴函数g (x )的定义域为[0，1).

4.函数f (x )＝2a x －2 017

a x ＋1(a ＞0且a ≠1)的值域为______.

答案 (－2 017，2)

解析 f (x )＝2a x －2 017a x ＋1＝2(a x ＋1)－2 019

a x ＋1

＝2－2 019

a x ＋1

，

因为a x ＞0，所以a x ＋1＞1，

所以0＜2 019a x ＋1＜2 019，所以－2 017＜2－2 019

a x ＋1＜2，

故函数f (x )的值域为(－2 017，2). 考点二 函数的图象及应用

方法技巧 (1)函数图象的判断方法

①找特殊点；②看性质：根据函数性质判断图象的位置，对称性，变化趋势等；③看变换：看函数是由基本初等函数经过怎样的变换得到.

(2)利用图象可确定函数的性质、方程与不等式的解等问题. 5. 函数f (x )＝⎝⎛⎭

⎫2

1＋e x －1·sin x 的图象大致形状为( )

答案 A

解析 ∵f (x )＝⎝⎛⎭

⎫2

1＋e x －1·sin x ，

∴f (－x )＝⎝⎛⎭

⎫2

1＋e －x －1·sin(－x )

＝－⎝⎛⎭⎫2e x

1＋e x －1sin x ＝⎝⎛⎭⎫2

1＋e x －1·

sin x ＝f (x ). ∴函数f (x )为偶函数，故排除C ，D ，

当x ＝2时，f (2)＝⎝ ⎛⎭

⎪⎫21＋e 2－1·sin 2<0，故排除B ，只有A 符合.

6.已知f (x )＝2x －1，g (x )＝1－x 2，规定：当|f (x )|≥g (x )时，h (x )＝|f (x )|；当|f (x )|

解析 画出y ＝|f (x )|＝|2x －1|与y ＝g (x )＝1－x 2的图象，它们交于A ，B 两点.由“规定”，在A ，B 两侧，|f (x )|≥g (x )，故h (x )＝|f (x )|；在A ，B 之间，|f (x )|

综上可知，y ＝h (x )的图象是图中的实线部分，因此h (x )有最小值－1，无最大值. 7.函数y ＝1

1－x

的图象与函数y ＝2sin πx (－2≤x ≤4)的图象所有交点的横坐标之和等于________. 答案 8

解析 如图，两个函数图象都关于点(1，0)成中心对称，两个图象在[－2，4]上共8个交点，每两个对应交点横坐标之和为2.故所有交点的横坐标之和为8.

8.设函数f (x )＝e x (2x －1)－ax ＋a ，其中a ＜1，若存在唯一的整数x 0，使得f (x 0)＜0，则a 的取值范围是________. 答案 ⎣⎡⎭

⎫ 3

2e ，1 解析 设g (x )＝e x (2x －1)，h (x )＝ax －a ，

由题意知存在唯一的整数x 0使得g (x 0)在直线h (x )＝ax －a 的下方，如图.

∵g ′(x )＝e x (2x －1)＋2e x ＝e x (2x ＋1)，

∴当x ＜－1

2时，g ′(x )＜0，函数g (x )单调递减，

当x >－1

2

时，g ′(x )＞0，函数g (x )单调递增，

∴当x ＝－1

2

时，g (x )取最小值1

22e -－，

当x ＝0时，g (x )＝－1，当x ＝1时，g (x )＝e ＞0， 直线h (x )＝ax －a 恒过定点(1，0)且斜率为a ， 故－a ＞g (0)＝－1且g ()

－1＝－3e －1≥－a －a ， 解得3

2e

≤a ＜1.

考点三 函数的性质与应用

要点重组 (1)利用函数的奇偶性和周期性可以转化函数的解析式、图象和性质，把不在已知区间上的问题，转化到已知区间上求解.

(2)函数单调性的应用：可以比较大小、求函数最值、解不等式、证明方程根的唯一性.