2020南京市高三一模(数学)含答案

南京市2020届高三第一次模拟考试（数学）

2020.01

n

参考公式：1.样本数据X I ,X 2,L ,X n 的方差s 2 - （x i X ）2，其中x 是这组数据的平均 n i i 数。

2. 柱体、椎体的体积公式：v 柱体ShV 椎体Ish ，其中S 是柱（锥）体的底面面积，h

3

是高。

一、填空题：（5分X 14=70分）

1.函数 y V2X ―X 2 的定义域是 _______ . _______

2. 已知复数z 满足（z 2）i 1 i （ i 为虚数单位），则z 的模 为 _______ . _____

X y 2

0,

3. 已知实数x,y 满足X y 0, 则z 2X y 的最小值

X 1, 是 .

4. 如图所示的流程图，若输入的X 9.5，则输出的结果 为

5. 在集合A 2,3中随机取一个元素m ，在集合B 1,2,3中随机取一个元素

n ，得到 点P （m, n ），则点P 在圆X 2 y 2 9内部的概率为 .

6. 已知平面向量a,b 满足|a| 1,|b| 2，a 与b 的夹角为_，以a,b 为邻边作平行四边

3

形，贝吐匕平行四边形的两条对角线中较短的一条的长度为

l

|47g3 7. 为了分析某篮球运动员在比赛中发挥的稳定程度，统计了该运动员在 6」

场比赛中的得分，用茎叶图表示如图所示，则该组数据的方差I 为 .

8. 在厶ABC 中,角A B C 所对的边分别为a 、b 、c ,若1 业冬，则角A 的大小 tanB b

为 .

2 2

9. 已知双曲线C:务与1（a 0,b 0）的右顶点、右焦点分别为 A F,它的左准线与X

a b

轴的交点为B ,若A 是线段BF 的中点，则双曲线C 的离心率为

二

雪）

10. 已知正数数列a n对任意p,q N，都有a p q a p a q，若a? 4，则a g= .

11. 已知l,m是两条不同的直线，，是两个不同的平面。下列命题：

①若1,m,l|| ,m||,则|| ；②若 1 ,l|| ,I m,则l || m ；

③若||,l ||,则l|| ；④若1 ,m|H,|| ,则m .

其中真命题是（写出所有真命题的序号）.

12.已知f(x)log2(x 2)，若实数m,n满足f (m) f (2n)3，贝U m n的最小值

是_. __

13. 在厶ABC中，已知BC=2 AB AC 1,则厶ABC面积的最大值是

14. 若直角坐标平面内两点P、Q满足条件：①P、Q都在函数f（x）的图象上；②P、Q 关于原点对称，则称点对（P，Q）是函数f（x）的一个“友好点对”（点对（P，Q）与

2

2x 4x 1,x 0,

（Q P）看作同一个“友好点对”）.已知函数f（x）2则f（x）的“友好

飞，x 0,

e

点对”有____ 个.

二、解答题：（本大题共6小题，共计90分）.

15. （本题满分14分）

已知函数f（x） 2sin（ x ）（0,0 ）的最小正周期为，且f（—） . 2.

4

（1）求，的值；（2）若f（3）6（0 ），求COS2 的值。

16. （本题满分14分）

如图，在棱长均为4的三棱柱ABC

A3G 中，D、D1 分

别是BC和B1C1的中点.

（1）求证：Ad //平面ABQ ;

（2）若平面ABCL平面BCC1B1，BBC 60O，求三棱锥B ABC的体积。

17. （本题满分14分）

如图，在半径为30cm的半圆形（O为圆心）铝皮上截取一块矩形材料ABCD其中点A、B在直径上，点C、D在圆周上。

（1）怎样截取才能使截得的矩形ABCD的面积最大？并求最大面积；

（2）若将所截得的矩形铝皮ABCD卷成一个以AD为母A卜

线的圆柱形罐子的侧面（不计剪裁和拼接损耗），应怎 /

样截取，才能使做出的圆柱形形罐子体积最大？并求（, _______

最大面积•. -

18. （本题满分16分）

在直角坐标系xOy中，中心在原点O,焦点在x轴上的椭圆C上的点（2」21）到两焦点的距离之和为4.3.

（1）求椭圆C的方程；（2）过椭圆C的右焦点F作直线I与椭圆C分别交于A、B

uuu uuu

两点，其中点A在x轴下方，且AF 3FB .求过O A、B三点的圆的方程•

19. （本题满分16分）

将数列a n中的所有项按每一行比上一行多两项的规则排成如下数表：

印

a? 83 a4

35 87 a g a g

L

已知表中的第一列数a1,a2,a5丄构成一个等差数列，记为0 ,且b? 4b 10.

表中每一行正中间一个数印㈡彳㈡了丄构成数列q，其前n项和为

（1）求数列b n的通项公式；

（2）若上表中，从第二行起，每一行中的数按从左到右的顺序均构成等比数

列，公比为同一个正数，且a i3 1.①求S n;②记M n|(n 1)c n,n N ，若

集合M的元素个数为3,求实数的取值范围.

20. (本题满分16分)

已知函数f(x) x 1 a In x(a R).

(1)若曲线y f(x)在x 1处的切线的方程为3x y 3 0,求实数a的值；

(2)求证：f(x) >0恒成立的充要条件是a 1 ;

1 1

(3)若 a 0,且对任意X1,X2 (0,1］，都有|f(xj f(x2)| 4|—— |，求实数

x! x2

a的取值范围.

南京市2020届高三第一次模拟考试数学附加题2020.01

21. 【选做题】在A、B、C、D四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20 分.

A. 选修4-1 :几何证明选讲

如图，AB是半圆O的直径，C是圆周上一点(异于

A、B),过C作圆O的切线I，过A作直线I的垂线AD,垂

足为D, AD交半圆于点E.求证：CB=CE.

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