修正的库仑主动土压力计算方法
主动土压力的位移计算
主动土压力的位移计算主动土压力是指土体对基础或结构物施加的作用力，它是由土体的重力和土体的内摩擦力共同组成的。
在土力学中，主动土压力的位移计算是一个重要的研究内容。
本文将从理论和实践两个方面，对主动土压力的位移计算进行探讨。
在进行主动土压力的位移计算时，首先需要确定土体的物理性质和力学参数。
土体的物理性质包括土的干湿状态、密实度等，力学参数包括土的内摩擦角、黏聚力等。
这些参数的确定需要通过实验室试验或现场观测获得，以保证计算结果的准确性。
在理论计算方面，主动土压力的位移可以通过弹性模型或塑性模型来进行分析。
弹性模型假设土体具有线性弹性行为，即土体的应力与应变之间存在线性关系。
在这种情况下，可以通过应力平衡方程和弹性力学理论推导出主动土压力的位移计算公式。
然而，由于土体的非线性特性，弹性模型只能适用于小变形条件下的计算。
相对而言，塑性模型更适用于大变形条件下的主动土压力位移计算。
塑性模型假设土体具有一定的塑性变形能力，通过建立土体的塑性应力-应变关系，可以计算出主动土压力的位移。
常用的塑性模型有摩尔-库仑模型、德拉皮埃模型等。
这些模型在计算时需要考虑土体的体积变形、剪胀效应等因素，以准确地描述土体的变形行为。
在实践中，主动土压力位移的计算通常采用数值模拟方法。
数值模拟方法能够考虑土体的非线性特性和复杂形状的结构物，通过建立数学模型和边界条件，利用计算机进行模拟计算，得到主动土压力的位移分布。
常用的数值模拟方法有有限元法、边界元法等。
这些方法可以提供更精确的计算结果，为土木工程设计和施工提供参考依据。
需要注意的是，在进行主动土压力的位移计算时，还需要考虑土体的变形特性和支撑结构的刚度。
土体的变形特性决定了其对外力的响应方式，而支撑结构的刚度则会影响土体的变形和位移分布。
因此，在计算过程中需要对这些因素进行合理的假设和处理，以获得准确的计算结果。
主动土压力的位移计算是土力学中的一个重要问题。
通过理论分析、实验研究和数值模拟等方法，可以获得主动土压力位移的计算结果，并为土木工程设计和施工提供科学依据。
土力学与地基基础学习情境五 计算土压力与稳定边坡
采取加强的构造措施。
编辑ppt
设计挡土墙
2
挡土墙的类型
挡土墙的构造要求
重力式挡土墙土压力
计算
（1）如图5-6 所示"对土质边坡"边坡主动土压力应
按下式进行计算：
抗滑移稳定性验算
抗倾覆稳定性验算
式中
Ea——主动土压力(kN/m);
——主动土压力增大系数，挡土墙高度小于5 m
抗倾覆稳定性验算
编辑ppt
2
设计挡土墙
挡土墙的类型
挡土墙的构造要求
重力式挡土墙土压力
计算
抗滑移稳定性验算
抗倾覆稳定性验算
图5-6重力式挡土墙土压力计算示意图
1--岩石边坡2--填土
编辑ppt
2
挡土墙的类型
设计挡土墙
抗滑移稳定性应按下式验算，如图5-7所示。
挡土墙的构造要求
重力式挡土墙土压力
计算
抗滑移稳定性验算
体的静力平衡条件建立的，并做了如下假定：
1)挡土墙是刚性的，墙后填土为无黏性土；
2)滑动楔体为刚体；
3)楔体沿着墙背及一个通过墙踵的平面滑动。
土的抗剪强度是指土体对外荷载所产生的剪应力的极
限抵抗能力。
1
土压力的基本
概念
静止土压力的
计算
朗肯土压力理论
库仑土压力理论
计算土压力
土体发生剪切破坏时，将沿着其内部某一曲线面(滑
2
设计挡土墙
挡土墙的类型
挡土墙的构造要求
重力式挡土墙土压力
计算
抗滑移稳定性验算
抗倾覆稳定性验算
编辑ppt
2
土压力计算原理
延长墙背法是一种简化的近似方 法，由于计算简便，该方法至今仍在工 程界得到广泛应用。但是它的理论根据 不足，给计算带来一定的误差，这主要 是忽略了延长墙背与实际墙背之间的土 体重力及作用在其上的荷载，但多考虑 了由于延长墙背与实际墙背上土压力作 用方向的不同而引起的竖直分量差，虽 然两者能相互补偿，但未必能抵消。此 外，在计算假想墙背上的土压力时，认 为上墙破裂面与下墙破裂面平行，实际 上一般情况下两者是不平行的，这是产 生误差的第二个原因。
主动土压力强度沿墙高呈三角形 分布，合力作用点在离墙底h/3处， 说明：土压力强度分布图 只代表强度大小，不代表 方向与墙背法线成δ，与水平面 作用方向。 成（α＋δ）
二、库仑土压力计算被动土压力 按求主动土压力同样的原理可求得被动土压力的库仑公 式为：
1 2 E p H 2
cos 2 ( ) sin( ) sin( ) cos cos( ) 1 cos( ) cos( )
已知地震力与破裂棱体自重的合力Wδ的大小和方向，并且假定地震条件下土体 的内摩擦角φ 与墙背摩擦角δ不变，则墙后破裂棱体上的平衡力系如下图a所示。 若保持挡土墙和墙后棱体位置不变，将整个平衡力系转动θδ角使Wδ处于竖直方向， 如下图b所示。由于没有改变平衡力系中三力之间的相互关系，即力三角形abc转动 前后没有发生改变（如下图c所示），所以这种改变不会影响Ea的计算。 由下图b可以看出，只要用 右侧各值取代γ、δ、φ时，地震 力作用下的力三角形Abc与一般 情况下的力三角形abc完全相似 ，可以直接采用一般库伦土压力 公式进行地震土压力的计算。
图2-4 墙趾前被动土压力示意图
二、土压力计算理论及方法
对于土压力问题的研究从18世纪末已经开始，根据研究途径的不 同大致可以分为两类。 1）假定破裂面的形状，依据极限状态下破裂棱体的静力平衡条 件来确定土压力。这类土压力理论最初由法国的库伦（C.A.Coulomb ）于1773年提出，所以称为库伦理论，这是研究土压力问题的一种简 化理论。 2）假定土体为松散介质，依据土中一点的极限平衡条件确定土 压力强度和破裂面方向。这类土压力理论是由英国的朗金（ W.J.Rankine）于1857年首先提出，这类理论被称为朗金理论。 目前我国公路、铁路的挡土墙设计中，无论墙后填料是非粘性填 料还是粘性填料，无论是否出现第二破裂面，都采用库伦理论推导出 来的相应公式计算土压力。 朗金理论实质上是库伦理论的一个特例。它适用于墙后土体出现 第二破裂面的情况，一般多用于计算衡重式、凸形折线式、悬臂式和 扶臂式挡土墙的土压力。朗金理论计算被动土压力的误差一般比库伦 理论小，所以计算被动土压力时也采用朗金理论。
库仑主动土压力计算
1．库仑主动土压力（1）库仑主动土压力计算如图6-12(a)所示，设挡土墙高为h，墙背俯斜，与垂线的夹角为，墙后土体为无粘性土（c=0），土体表面与水平线夹角为，墙背与土体的摩擦角为。
挡土墙在土压力作用下将向远离主体的方向位移（平移或转动），最后土体处于极限平衡状态，墙后土体将形成一滑动土楔，其滑裂面为平面BC，滑裂面与水平面成角。
沿挡土墙长度方向取１m进行分析，并取滑动土楔ABC为隔离体，作用在滑动土楔上的力有土楔体的自重W，滑裂面BC上的反力R和墙背面对土楔的反力E（土体作用在墙背上的土压力与E大小相等方向相反）。
滑动土楔在W，R，E的作用下处于平衡状态，因此三力必形成一个封闭的力矢三角形，如图6-12（b）所示。
根据正弦定理并求出E的最大值即为墙背的库仑主动土压力：图6-12库仑主动土压力计算(a)挡土墙与滑动土楔（b）力矢三角形公式推导（6-12）库仑主动土压力计算公式推导在图6-13（b）的力矢三角形中，由正弦定理可得：（6－12a）式中º，其余符号如图6-13所示。
土楔自重为在三角形ABC中，利用正弦定律可得：由于故在三角形ADB中，由正弦定理可得：于是土楔自重可进一步表示为将其代入表达式（6-12a）即可得土压力E的如下表达式：E的大小随角而变化，其最大值即为主动土压力E a。
令求得最危险滑裂面与水平面夹角0=45º+/2，将0代入E的表达式即得主动土压力E a的如下计算公式：这里式中K a为库仑主动土压力系数，其值为：（6-13）2．库仑被动土压力库仑被动土压力计算公式的推导与库仑主动土压力的方法相似，计算简图如图6-14，计算公式为：（6－14）作用点在离墙底H/3处，方向与墙背法线的夹角为式中K p为库仑被动土压力系数，其值为：（6－15）库仑被动土压力强度分布图也为三角形，E p的作用方向与墙背法线顺时针成角，作用点在距墙底h/3处。
图6－15 库仑被动土压力计算（a）挡土墙与滑动土楔（b）力矢三角形特别提示当墙背垂直（=0）、光滑（=0）、土体表面水平（=0）时，库仑土压力计算公式与朗肯土压力公式一致。
土压力计算方法
第五章土压力计算本章主要介绍土压力的形成过程，土压力的影响因素；朗肯土压力理论、库仑土压力理论、土压力计算的规范方法及常见情况的土压力计算；简要介绍重力式挡土墙的设计计算方法。
学习本章的目的：能根据实际工程中支挡结构的形式，土层分布特点，土层上的荷载分布情况，地下水情况等计算出作用在支挡结构上的土压力、水压力及总压力。
第一节土压力的类型土体作用在挡土墙上的压力称为土压力。
一、土压力的分类作用在挡土结构上的土压力，按挡土结构的位移方向、大小及土体所处的三种平衡状态，可分为静止土压力E o，主动土压力E a和被动土压力E p三种。
1．静止土压力挡土墙静止不动时，土体由于墙的侧限作用而处于弹性平衡状态，此时墙后土体作用在墙背上的土压力称为静止土压力。
2．主动土压力挡土墙在墙后土体的推力作用下，向前移动，墙后土体随之向前移动。
土体内阻止移动的强度发挥作用，使作用在墙背上的土压力减小。
当墙向前位移达主动极限平衡状态时，墙背上作用的土压力减至最小。
此时作用在墙背上的最小土压力称为主动土压力。
3．被动土压力挡土墙在较大的外力作用下，向后移动推向填土，则填土受墙的挤压，使作用在墙背上的土压力增大，当墙向后移动达到被动极限平衡状态时，墙背上作用的土压力增至最大。
此时作用在墙背上的最大土压力称为被动土压力。
大部分情况下作用在挡土墙上的土压力值均介于上述三种状态下的土压力值之间。
二、影响土压力的因素1．挡土墙的位移挡土墙的位移（或转动）方向和位移量的大小，是影响土压力大小的最主要的因素，产生被动土压力的位移量大于产生主动土压力的位移量。
2．挡土墙的形状挡土墙剖面形状，包括墙背为竖直或是倾斜，墙背为光滑或粗糙，不同的情况，土压力的计算公式不同，计算结果也不一样。
3．填土的性质挡土墙后填土的性质，包括填土的松密程度，即重度、干湿程度等；土的强度指标内摩擦角和粘聚力的大小；以及填土的形状（水平、上斜或下斜）等，都将影响土压力的大小。
库伦土压力理论
2 a
Pp
被动土压力系数
K tg ( 45 /2 ) p
2
1 sin 1 sin
1 sin 静止土压力系数 K 0
K K 1 K a 0 p
思考
如果墙背倾斜，具有倾角； 墙背粗糙，与填土摩擦角为； 墙后填土面任意。 如何计算挡土墙后的土压力？
2 .被动土压力分布及破坏面
p z K 2 cK p p p
H
v
Pp
被动区
Ep
45－/2 90+
2c Kp
HKp
小结
基本条件和假定 极限应力分析 破坏形式 v Pa 主动和被动 砂土和粘性土 1 sin tg ( 45 / 2 ) 主动土压力系数 K 1 sin
b
若验算结果不满足要求时，可按以下措施处理
（1）增大挡土墙断面尺寸，使G增大 （2）加大χ 0,伸长墙址 （3）墙背做成仰斜，可减小土压力
（4）在挡土墙垂直墙背上做卸荷台，使总土压力减小，
抗倾覆稳定性增大
（二）抗滑稳定验算
挡土墙在土压力作用下可能沿基础 底面发生滑动 ( G E ) n an K 1 . 3 抗滑稳定条件 s
W1
R1
2 cos ( ) K a sin( ) sin( )2 2 cos cos( )[ 1 ] cos( ) cos( )
库仑土压力理论
库仑土压力理论1776年法国的库伦（C.A.Coulomb）根据极限平衡的概念，并假定滑动面为平面，分析了滑动楔体的力系平衡，从而求算出挡土墙上的土压力，成为著名的库伦土压力理论。
一、基本原理库伦研究了回填砂土挡土墙的土压力，把挡土墙后的土体看成是夹在两个滑动面（一个面是墙背，另一个面在土中，如图6－12中的AB和BC面）之间的土楔。
根据土楔的静平衡条件，可以求解出挡土墙对滑动土楔的支撑反力，从而可求解出作用于墙背的总土压力。
这种计算方法又称为滑动土楔平衡法。
应该指出，应用库伦土压力理论时，要试算不同的滑动面，只有最危险滑动面AB对应的土压力才是土楔作用于墙背的Pa或Pp库伦理论的基本假设：1.墙后填土为均匀的无粘性土（c=0），填土表面倾斜（β＞0）；2.挡土墙是刚性的，墙背倾斜，倾角为ε；3.墙面粗糙，墙背与土本之间存在摩擦力（δ＞0）；4.滑动破裂面为通过墙踵的平面。
二、主动土压力计算如图所示，墙背与垂直线的夹角为ε，填土表面倾角为β，墙高为H，填土与墙背之间的摩擦角为δ，土的内摩擦角为φ，土的凝聚力c=0，假定滑动面BC通过墙踵。
滑裂面与水平面的夹角为α，取滑动土楔ABC作为隔离体进行受力分析（图6－11b）。
土楔是作用有以下三个力：1．土楔ABC自重W，由几何关系可计算土楔自重，方向向下；2．破裂滑动面BC上的反力R，大小未知，作用方向与BC面的法线的夹角等于土的内摩擦角φ，在法线的下侧；3．墙背AB对土楔体的反力P（挡土墙土压力的反力），该力大小未知，作用方向与墙面AB的法线的夹角δ，在法线的下侧。
土楔体ABC在以上三个力的作用下处于极限平衡状态，则由该三力构成的力的矢量三角形必然闭合。
已知W的大小和方向，以及R、P的方向，可给出如图所示的力三角形。
按正弦定理可求得：求其最大值（即取dP/dα=0），可得主动土压力式中Ka为库伦主动土压力系数，可按下式计算确定沿墙高度分布的主动土压力强度pa可通过对式（6－21）微分求得：由此可知，主动土压力强度沿墙高呈三角形分布，主动土压力沿墙高的分布图形如图所示。
挡土墙及土压力计算
RD 一定位于 R 的下方，即 RD 与 N 之间的夹角φD 一定大于 R 与 N 之间的夹角φ ，鉴于
挡土墙：为G防止12土体 坍H 塌2 而sin修(9建0第o的s六i挡n章(土：结挡)构土)s。inc墙土(o9及s压02 o土力压：墙力后计 )土算体对墙背的作用力称为土压力。
一、三种土压力——根据墙、土间可能的位移方向的不同，土压力可以分为三种类型：
1.主动土压力 Ea——在土压力作用下，挡土墙发生离开土体方向的位移，墙后填土达到极
2.被动土压力 压力系数，应用时，查表。
其中
库仑被动土
Ep 沿深度呈三角形分布，其作用点距墙底 H/3，位于墙背法线下方，与墙背法线成δ角。 库仑理论应用中的几个问题 1. 关于δ的取值: δ值与墙后填土的性质、填土含水量及墙背的粗糙程度变化于 0～φ之间，实用中常取δ =1/2～1/3φ。 2. 当墙后填土为粘性土时——为了得到确切的解析解，库仑理论假设墙后填土为无粘性土，
二、三种土压力在数量上的关系
墙、土间无位移，墙后填土处于弹性平衡状态，与天然状态相同，此时的土压力为静止土压
力；在此基础上，墙发生离开土体方向的位移，墙、土间的接触作用减弱，墙、土间的接触
压力减小，因此主动土压力在数值上将比静止土压力小；而被动土压力是在静止土压力的基
础上墙挤向土体，随着墙、土间挤压位移量的增加，这种挤压作用越来越强，挤压应力越来
此，实用中，可考虑将粘性土的φ值适当增大，用增大后的Δφ来近似考虑 c 值对土压力的
ch6-3.4朗肯、库仑土压力计算解读
z
pp z K p
K p tg 2 (45 f / 2)
－朗肯被动土压力系数
Ep K p H 2 / 2
1 H 3
总被动土压力(大小、作用点)
1 E p K pH 2 2
p p K pH
6.3 朗肯土压力理论 •朗肯被动土压力计算－填土为粘性土
于是：被动土压力强度
p p h 1 z tg 2 (45 f / 2)
K0 v v=z
pp=1f
6.3 朗肯土压力理论 •朗肯被动土压力计算－填土为无粘性土（砂土） 被动土压力强度
p p z tg (45 f / 2)
2
3
pp=1
pa=3
45+f/2
1
z
－朗肯主动土压力系数
Ea Ka H 2 / 2
1 H 3
总主动土压力(大小、作用点)
1 E a K a H 2 2
pa K aH
6.3 朗肯土压力理论
•朗肯主动土压力计算－填土为粘性土
竖向应力为大主应力
1 v z
水平向应力为小主应力
6.3 朗肯土压力理论 •朗肯主动土压力计算－填土为粘性土 主动土压力强度
负号
－
z0
pa z K a 2c K a
Ka tg 2 (45 f / 2)
－朗肯主动土压力系数
z0
2c z0 K a －拉力区深度
z< 3 1tg (45 f / 2)
2
K0 v
v=z
6.3 朗肯土压力理论 •朗肯主动土压力计算－填土为无粘性土（砂土） 主动土压力强度
几种常见情况下的土压力计算
h2=3m
中砂
土体的分层情况及相关土性指标均如图示。试求主动 =20kN/m3 土=3压0°力
沿挡墙墙高的分布。
35.3kPa
解：第一层土，1=20，故有：
K a1
tan（2 45
1
2
）
tan（2 45
20 ） 2
0.490
第二层土，2=30，故有：
K a2
tan（2 45
2
2
）
tan（2 45
30 ） 2
1h1 K a1 1h1 K a2
1h1 K a1 1h1 K a2
1h1 2h2 Ka2
1 2 1 2
1h1 2h2 Ka2
1 2 1 2
1h1 2h2 Ka2
1 2 1 2
2)、墙背及填土表面倾斜：
计算中近似地将各分层面假想为与土体表面平行。相应 的计算方法是：对于第一层土可按前述均匀土层的计算方法 进行计算；计算下层土的土压力时，可将上层土的重力连同 外荷载一起当作作用于下层土（分界面与表层土体表面平行） 上的均布荷载，然后按上条所述的方法进行计算，但其有效 范围应限制在下层土内。现以下图为例说明具体方法：
第一层土的顶面处： paA 1hKa1 第一层土的底面处： paC上 1 ( H1 h)Ka1
H2
H1
h'
q
A
Ea1
假想分界面 C
土层分界面
Ea2
2
B
图7-20 分层填土的主动土压力
paA
paC上 paC下
paB
上列式中的h’可计算求得。
在计算第二层土的土压力时，将第一层土的重力连同外
背法线成角。
如果工程中对计算精度的要求不高，在计算分层土的土 压力时，也可将各层土的重度和内摩擦角按土层厚度加权平 均，然后近似地把土体当作均质土求土压力系数Ka并计算土 压力。这样所得的土压力及其作用点和分层计算时是否接近 要看具体情况而定。
挡土墙后粘性填土的主动土压力计算
tan θ =
式中
图 2 均载置换后土体的受力情况 Fig. 2 Forces acting on the soil with uniform load substituted
A ± A2 −
F ( BA − CF ) D 。 −F
(24)
A = (1 + η ) tan ϕ + (1 − η tan 2 ϕ ) tan ρ，
─────── 收稿日期: 2005–03–07
第5期
李巨文，等. 挡土墙后粘性填土的主动土压力计算
651
各种因素（如墙背倾斜程度、粗糙程度） ，本文取 [1] tan δ = η tan ϕ ，c′ = η c ， 由此， η 为介于 0～1 的系数。 墙背阻力 F=
⎛1 ⎞ 式中， A = ⎜ γ y 2 + qy ⎟ tan ϕ + cy ， ⎝2 ⎠
2
填土表面倾斜时的土压力
对填土表面与水平面相交成 β 角的倾斜面时（见 如图 3） ，仍选填土表面为 x 轴，以与 x 轴相垂直、并 通过墙背某一计算深度的点为 y 轴，按作用于土体上 的诸力，分别列出 x、y 向的极限平衡方程，即 ∑ y = ( Q + W ) cos β − F cos ρ − T cosθ −
自然条件对土的性质影响很大，土体在这种拉力 的作用下，容易造成裂缝。本文在土压力计算中不考 虑拉力的作用，按文献[1]采用均载置换法。把正压力 强度零点以上的土体作为均载 q0 = γ y0 ，土体受力情 况如图 2 所示。将坐标轴 x 移至正压力零点，并以 x′ 表示， 用 q′ = q + q0 作为超载作用点以外区域的合成均 1 − tanϕ tanθ ζ= ， 、 （6 ） ，则 (1−η tan2 ϕ ) ( tanθ + tan ρ ) + (1+η)( tanϕ − tanϕ tanθ tan ρ ) 载，1y′ = y − y0 ，代入平衡方程式（5） 2 E = ωγ y ′ + ω q′y ′ − ζ qd − ψ cy ′ 1 +η + tan2 θ −η tanϕ tanθ −η ( tanϕ + tanθ ) tan ρ 2 ψ= 。 (1−η tan2 ϕ ) ( tanθ + tan ρ ) + (1+η)( tanϕ − tanϕ tanθ tan ρ ) = 1 ωγ ( y − y )2 + ω q′ ( y − y ) − ζ qd − ψ c ( y − y ) ， (17) 0 0 0 2 将式（8）对 θ 微分，并令 ∂E / ∂θ = 0 ，因分母不能为 式中的 ω 、 ζ 、 ψ 同式（8） 。 0，则分子必须为 0，可求得产生最大主动土压力时的 滑裂角，即 从式（17）可以看出，如果对 y 微分，则可求得 2 ⎤ −A⎡ 沿 y 轴分布的正压力强度在 x 方向的分量为 ⎣(η tan ϕ − 1) tan ρ − (1 + η ) tan ϕ ⎦ ± tanθ = σ 3 = ωγ y ′ + ω q′ − ψ c 。 (18) A⋅
几种常见情况下的土压力计算
边坡稳定性分析
在边坡稳定性分析中，被动土压 力的大小和分布对边坡的稳定性 有重要影响。通过计算被动土压 力，可以评估边坡的稳定性，采
取相应的加固措施。
PART 05
特殊情况下的土压力计算
REPORTING
填土情况下的土压力计算
填土情况下的土压力计算需要考虑填土的密度、内摩擦角、粘聚力等参数 ，以及填土的方式和压实程度等因素。
土压力的影响因素
挡墙高度
挡墙高度越大，土压力 越大。
墙体位移
墙体位移越大，土压力 越大。
墙体刚度
墙体刚度越大，土压力 越小。
土壤性质
土壤性质不同，其承载 力和压缩性也不同，从 而影响土压力的大小。
PART 02
静止土压力计算
REPORTING
静止土压力定义
01
静止土压力是指挡土墙不发生任 何方向的位移，墙后填土处于静 止平衡状态，作用在挡墙上的土 压力。
REபைடு நூலகம்ORTING
被动土压力定义
被动土压力定义
在土压力作用过程中，墙后土体处于 受剪切破坏的极限平衡状态，此时作 用在墙背上的土压力即为被动土压力 。
被动土压力的特点
被动土压力的大小等于滑裂面上的剪 切力乘以滑裂面的面积，其作用方向 与墙背垂直。
被动土压力计算公式
公式一：根据库仑土压力理论，被动土 压力可由下式计算
几种常见情况下的土 压力计算
REPORTING
• 土压力计算概述 • 静止土压力计算 • 主动土压力计算 • 被动土压力计算 • 特殊情况下的土压力计算
目录
PART 01
土压力计算概述
REPORTING
土压力定义
土压力计算
土压力计算
Ec Ea Ec'
Gcos() cLcos sin() sin()
令： dE c 0
d
c
EcGcsionccs (( ))scin L cc o(s)
第六节 朗金理论及土压力
朗金破裂角及主动土压力公 式
i
1 (90 2
)
1 (
2
)
i
1 (90 )
2
1 (
2
)
Ea
1H21
2
23
（2）根据抗剪强度相等的原理 抗剪强度：
f ctan
等值抗剪强度：
f tanD
Darctan (ct) aanrctan(H ct)an
h
24
（3）根据土压力相等的概念
粘性土土压力：
E a 1 2h 2ta 2 (4 n 52 ) 2 cth a 4 n 52 () 2 c 2
按等值内摩擦角计算土压力：
的土压力；
（2）考虑了破裂面上的粘结力。为简化计算， 墙背与填土间的粘结力忽略不计(数值较小且偏于 安全)。
高膨胀性土和高塑性土均不能采用该方法计算土压 力。
h
26
裂缝深度
hc
2c
tan4(
5 ) 2
hc'
hc
h0
2c
tan4( 5 2)h0
墙后填料受局部荷载作用时， 不考虑其对裂缝深度的影响。
计算值。若验证结果证明不会出现第二破裂面时，按一般库仑公式进行计 算； ⑥ 根据计算所得破裂角计算作用于第二破裂面上的土压力及其作用点位置。
h
15
第四节 折线形墙背土压力
上墙一般按 库仑土压力公式 计算，如出现第 二破裂面，按第 二破裂面土压力 公式计算。
挡土墙设计主动土压力计算
土压力的水平 和垂直为：
E x E a cos( ) E y E a sin( )
1 2 cos( ) sin( ) 2 G H sec 2 cos( )
1.破裂面交于内边坡
sin(90 ) cos( ) Ea G G sin( ) sin( )
1 2 cos( ) sin( ) 2 G H sec 2 cos( )
8、一般条件下库伦主动土压力计算
挡土墙库仑土压力理论
挡土墙土压力计算时应用了库仑（Coulomb）土压 力理论，通过对墙背后破坏棱体的受力分析，得到土 压力的反力E是破裂角的函数，即 E f ()，再求E的极 值可以得到主动土压力和被动土压力。 库仑法的假定为：破裂面为平面且通过墙踵、填 料为砂性土(c=0)、墙背存在摩擦、挡墙和破坏土体为 刚体。
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挡土墙土压力考虑
1、主动土压力与被动土压力的区分：
假定挡土墙处于极限移动状态，土体有沿墙及假 想破裂面移动的趋势，则土推墙即为主动土压力， 墙推土即为被动土压力。
2、路基挡土墙的土压力考虑：
路基挡土墙一般都有可能有向外的位移或倾覆， 因此，在设计中按墙背土体达到主动极限平衡状态 考虑，且取一定的安全系数以保证墙背土体的稳定。 墙趾前土体的被动土压力一般不计。
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用土压应力分布图计算主动土压力
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修正的库仑主动土压力计算方法程涛王承敏黄石理工学院土木建筑工程学院，湖北黄石 435003摘要：为了寻求一种简单明了且适应边界条件较广的土压力计算方法,引入土体半无限平衡理论，改进了库仑土压力理论。
首先，假定了过墙踵点的假想直立墙背，基于半无限平衡条件的朗肯理论给出假想墙背的主动压应力，然后通过假想墙背与真实墙背之间楔形体的极限平衡分析，提出真实墙背的主动土压力计算方法。
根据真实墙背的摩擦条件，分别推导出了两种条件下的计算公式。
通过算例对比得出了本文方法的适用性，并分析了该方法的参数敏感性。
计算结果表明：本文方法土压力值与用库仑理论计算值相比误差在±5%以内，满足工程的精度要求，且在计算参数正常取值范围内，较库仑土压力原理计算值较小，可以作为库仑压力计算方法的一种等效计算法。
关键词：库仑土压力理论；朗肯土压力理论；主动土压力；墙踵；摩阻力中图分类号：TV 642.45 文章编号：收稿日期：Modified coulomb's active earth pressure calculation methodCheng Tao Wang Cheng-minSchool of Civil Engineering, Huangshi Institute of Technology, Huangshi, Hubei 435003 Abstract: I n order to acquire a simpler and more extensively adaptive calculation method of active earth pressure, the semi-infinite balance theory is introduced to improve the Coulomb's earth pressure theory. Firstly, a vertical wall back is assumed through the heel point. Then the active earth pressure on the imaginary wall back is put forward by the Rankine's earth pressure theory based on semi-infinite equilibrium condition. On the basis of it, the active earth pressure method is present by the limit equilibrium analysis on the sphenoid between the real wall back and imaginary wall back. Moreover, two different calculation formulas are derived, respectively, based on the friction conditions of the real wall back.Through some examples, the applicability and parameters sensitivity of the method is obtained.The results imply that the relative error between the theoretical values of Coulomb earth pressure theory and the method is within ± 5% error, which meet the project accuracy requirements. And within the normal range of the calculation parameters, the calculated value of the method is small than Coulomb earth pressure theory. It is shown that the method can be used as the equivalent and simple calculation method of the Coulomb's pressure calculation theory.Key word：Coulomb's earth pressure theory; Rankine's earth pressure theory; active earth pressure; Achilles wall; wall；Friction resistance1 引言当前重力式支挡结构设计中对于土压力的计算大多是采用经典的库仑（Coulomb）土压力理论和朗肯土压力理论[1]。
朗肯（Rankine）理论在理论上比较严密，公式简单，且能建立起土体处于极限平衡状态时理论破裂面形状和概念，物理概念明确，易于掌握,因此在工程中得到广泛应用。
但由于该方法的分析前提是基于弹性半空间理论，因此要求墙背受压面直立，且由于该理论忽略了墙背的摩阻力对主动土压力的影响，使得计算结果偏于保守。
库仑理论公式是基于墙后土楔体极限平衡分析所得，能适用较为复杂的各种边界条件，在计算主动土压力时精度较高[2]。
但库仑理论仅适用于砂性土，应用于粘性土时只能做近似修正。
且该理论假设土楔体滑裂面为平面，与实际情况不符 [3]。
本文通过假定过墙踵的竖直面为假想墙背，通过对其与真实墙背之间的土体极限平衡分析，由假想墙背土压力推求了真实墙背土压力，基于此提出了适应边界条件较广、简单的主动土压力计算方法，为工程计算提供一些参考。
2 研究方法与假定挡土墙的基本计算模型如图1所示，假定墙后填土为粘性土。
从墙踵B 点作垂线BE 交填土面于E 点，把BE 作为假想的墙背，BE 与真实墙背BC 之间的楔形体为研究对象。
由库仑理论[4]，该楔形体BCE 是刚性体。
其上作用的外荷载为：BE 上的主动土压力a E '，可按朗肯理论求出，呈三角形分布；是楔形体BCE 的自重G ，作用于BC 上的主动土压力a E ；墙背BC 摩擦阻力T 。
其它计算参数为：墙后填土表面倾角β；墙背的倾角ε；墙背高H ；填土内摩擦角ϕ（β<ϕ）；墙背摩擦系数为μ。
图1 计算模型 Fig.1 Calculation model3 计算公式3.1不考虑墙背摩擦阻力不考虑墙背摩擦阻力时的计算模型如图2所示。
图2 不考虑墙背摩阻力 Fig.2 Not consider wall friction根据楔形体的平衡条件，由G 、a E '、aE 达到极限平衡状态可得：a E =（1） 其中，G 为墙背的楔形体BCE 的自重，可由式（2）确定:21tan 2G H R γε=⨯ （2）式中，1tan tan R εβ=+⨯根据朗肯理论计算，a E '可由下式确定：1(22aaE HR K HR γ''=- （3） 将（2），（3）代入（1）可得a E = （4） 当粘聚力c=0时可得：a 1E H 2γ= （4′）式中，a K '为朗肯主动土压力系数，cos a K β'=； 3.2考虑墙背摩擦阻力考虑墙背摩擦阻力时的计算模型如图3所示。
图3 考虑墙背摩阻力Fig.3 Considering the friction在方案1的基础上考虑墙背上的摩擦阻力Ｔ对墙背主动土压力的影响，以墙背的法向为Y 轴，以沿墙背方向为X 轴，根据投影关系，可得：a E （5）由力的投影关系可知：cos ;sin ;sin ;cos x y a x x a ay a G G G G E E E E εεεε''''===-=(sin *cos *')a T G E μεε=-+ (cos sin Gsin cos )'x a x x aX G E T E εμεεμε'∑=++=-+）-（ （6）(sin cos )y a y a Y G E G E εε''∑=+=-+ （7）由（6），（7）代入（5）可得a E （8） 当粘聚力0c =时，可得：12a E H γ= （8′）4 实例计算与分析为了分析本文方法的适用条件及参数敏感性，现通在过给定算例的基础上分别改变各墙背高H 、墙背倾角ε、墙背摩擦角δ、填土内摩擦角ϕ以及填土面倾斜角β，计算比较了本文方法和库仑理论。
4.1 不同墙背高条件下Ea 计算为了分析墙背高与主动土压力大小之间的变化规律，现固定相关计算参数，分别取不同的墙背高度H=（3m ，5m ，6m ，7m ，9m ）,计算条件如表1所示，计算结果如图5所示。
表1 计算参数Table 1 calculation conditions墙背倾角ε/° 墙后填土倾角β/° 填土内摩擦角ϕ/° 外摩擦角δ/° 填土重度γ/KN/m 32025.0 35.0 17.5 18.0图5 不同墙高下Ea 对比Fig.5 Ea values of different wall height4.1.1 计算结果分析（1）计算结果表明，主动土压力的大小与墙背高度呈正相关性，即Ea 随着H 的增大而增大，这一点和库仑理论是一致的。
（2）对比方法1与库仑理论计算值，经计算其误差在1.3%左右；对比方法2与库仑理论计算值，经计算其误差在7.3%左右；并且随着H 的增大，误差会越来越大。
因此，按方法1计算得到的Ea 与库仑法计算的Ea 误差最小，且满足工程允许误差±5%以内。
4.2 不同墙背倾角条件下Ea 计算为了分析墙背倾角与主动土压力大小之间的变化规律，现固定相关计算参数，分别取不同的墙背倾角ε=（0°，10°，15°，20°，25°）,计算条件如表2所示，计算结果对比如图6所示。
表2 计算参数Table 2 calculation conditions墙背高 H/m 墙后填土倾角β/° 填土内摩擦角ϕ/° 外摩擦角δ/° 填土重度γ/KN/m 3图6 不同墙背倾角下Ea 对比Fig.6 Ea values with different slope angle of wall4.2.1 计算结果分析(1）计算结果表明，主动土压力的大小与墙背倾角呈正相关性，即Ea 随着ε的增大而增大，这一点和库仑理论是一致的。