修正的库仑主动土压力计算方法

修正的库仑主动土压力计算方法
程涛王承敏
黄石理工学院土木建筑工程学院，湖北黄石 435003
摘要：为了寻求一种简单明了且适应边界条件较广的土压力计算方法,引入土体半无限平衡理论，改进了库仑土压力理论。

首先，假定了过墙踵点的假想直立墙背，基于半无限平衡条件的朗肯理论给出假想墙背的主动压应力，然后通过假想墙背与真实墙背之间楔形体的极限平衡分析，提出真实墙背的主动土压力计算方法。

根据真实墙背的摩擦条件，分别推导出了两种条件下的计算公式。

通过算例对比得出了本文方法的适用性，并分析了该方法的参数敏感性。

计算结果表明：本文方法土压力值与用库仑理论计算值相比误差在±5%以内，满足工程的精度要求，且在计算参数正常取值范围内，较库仑土压力原理计算值较小，可以作为库仑压力计算方法的一种等效计算法。

关键词：库仑土压力理论；朗肯土压力理论；主动土压力；墙踵；摩阻力
中图分类号：TV 642.45 文章编号：收稿日期：
Modified coulomb's active earth pressure calculation method
Cheng Tao Wang Cheng-min
School of Civil Engineering, Huangshi Institute of Technology, Huangshi, Hubei 435003 Abstract: I n order to acquire a simpler and more extensively adaptive calculation method of active earth pressure, the semi-infinite balance theory is introduced to improve the Coulomb's earth pressure theory. Firstly, a vertical wall back is assumed through the heel point. Then the active earth pressure on the imaginary wall back is put forward by the Rankine's earth pressure theory based on semi-infinite equilibrium condition. On the basis of it, the active earth pressure method is present by the limit equilibrium analysis on the sphenoid between the real wall back and imaginary wall back. Moreover, two different calculation formulas are derived, respectively, based on the friction conditions of the real wall back.Through some examples, the applicability and parameters sensitivity of the method is obtained.The results imply that the relative error between the theoretical values of Coulomb earth pressure theory and the method is within ± 5% error, which meet the project accuracy requirements. And within the normal range of the calculation parameters, the calculated value of the method is small than Coulomb earth pressure theory. It is shown that the method can be used as the equivalent and simple calculation method of the Coulomb's pressure calculation theory.
Key word：Coulomb's earth pressure theory; Rankine's earth pressure theory; active earth pressure; Achilles wall; wall；Friction resistance
1 引言
当前重力式支挡结构设计中对于土压力的计算大多是采用经典的库仑（Coulomb）土压力理论和朗肯土压力理论[1]。

朗肯（Rankine）理论在理论上比较严密，公式简单，且能建立起土体处于极限平衡状态时理论破裂面形状和概念，物理概念明确，易于掌握,因此在工程中得到广泛应用。

但由于该方法的分析前提是基于弹性半空间理论，因此要求墙背受压面直立，且由于该理论忽略了墙背的摩阻力对主动土压力的影响，使得计算结果偏于保守。

库仑理论公式是基于墙后土楔体极限平衡分析所得，能适用较为复杂的各种边界条件，在计算主动土压力时精度较高[2]。

但库仑理论仅适用于砂性土，应用于粘性土时只能做近似修正。

且该理论假设土楔体滑裂面为平面，与实际情况不符 [3]。

本文通过假定过墙踵的竖直面为假想墙背，通过对其与真实墙背之间的土体极限平衡分析，由假想墙背土压力推求了真实墙背土压力，基于此提出了适应边界条件较广、简单的主动土压力计算方法，为工程计算提供一些参考。

2 研究方法与假定
挡土墙的基本计算模型如图1所示，假定墙后填土为粘性土。

从墙踵B 点作垂线BE 交填土面于E 点，把BE 作为假想的墙背，BE 与真实墙背BC 之间的楔形体为研究对
象。

由库仑理论[4]
，该楔形体BCE 是刚性体。

其上作用的外荷载为：BE 上的主动土压力a E '，可按朗肯理论求出，呈三角形分布；
是楔形体BCE 的自重G ，作用于BC 上的主动土压力a E ；墙背BC 摩擦阻力T 。

其它计算参数为：墙后填土表面倾角β；墙背的倾角
ε；墙背高H ；填土内摩擦角ϕ（β<ϕ）；墙背摩擦系数为μ。

图1 计算模型 Fig.1 Calculation model
3 计算公式
3.1不考虑墙背摩擦阻力
不考虑墙背摩擦阻力时的计算模型如图2所示。

图2 不考虑墙背摩阻力 Fig.2 Not consider wall friction
根据楔形体的平衡条件，由G 、a E '、a
E 达到极限平衡状态可得：
a E =（1） 其中，G 为墙背的楔形体BCE 的自重，
可由式（2）确定:
21
tan 2
G H R γε=⨯ （2）
式中，1tan tan R εβ=+⨯
根据朗肯理论计算，a E '可由下式确定：
1
(22a
a
E HR K HR γ''=- （3） 将（2），（3）代入（1）可得
a E = （4） 当粘聚力c=0时可得：
a 1
E H 2γ= （4′）
式中，a K '为朗肯主动土压力系数，
cos a K β
'=； 3.2考虑墙背摩擦阻力
考虑墙背摩擦阻力时的计算模型如图3所示。

图3 考虑墙背摩阻力
Fig.3 Considering the friction
在方案1的基础上考虑墙背上的摩擦阻力Ｔ对墙背主动土压力的影响，以墙背的法向为Y 轴，以沿墙背方向为X 轴，根据投影关系，可得：
a E （5）
由力的投影关系可知：
cos ;sin ;sin ;cos x y a x x a a
y a G G G G E E E E εεεε''''===-=(sin *cos *')a T G E μεε=-+ (cos sin G
sin cos )'x a x x a
X G E T E εμεεμε'∑=++=-+）-（ （6）
(sin cos )y a y a Y G E G E εε''∑=+=-+ （7）
由（6），（7）代入（5）可得
a E （8） 当粘聚力0c =时，可得：
12a E H γ= （8′）
4 实例计算与分析
为了分析本文方法的适用条件及参数
敏感性，现通在过给定算例的基础上分别改变各墙背高H 、墙背倾角ε、墙背摩擦角δ、填土内摩擦角ϕ以及填土面倾斜角β，计算比较了本文方法和库仑理论。

4.1 不同墙背高条件下Ea 计算
为了分析墙背高与主动土压力大小之间的变化规律，现固定相关计算参数，分别取不同的墙背高度H=（3m ，5m ，6m ，7m ，9m ）,计算条件如表1所示，计算结果如图5所示。

表1 计算参数
Table 1 calculation conditions
墙背倾角ε/° 墙后填土倾角β/° 填土内摩擦角ϕ/° 外摩擦角δ/° 填土重度γ/
KN/m 3
20
25.0 35.0 17.5 18.0
图5 不同墙高下Ea 对比
Fig.5 Ea values of different wall height
4.1.1 计算结果分析
（1）计算结果表明，主动土压力的大小与墙背高度呈正相关性，即Ea 随着H 的增大
而增大，这一点和库仑理论是一致的。

（2）对比方法1与库仑理论计算值，经计
算其误差在1.3%左右；对比方法2与库仑理论计算值，经计算其误差在7.3%左右；并且随着H 的增大，误差会越来越大。

因此，按
方法1计算得到的Ea 与库仑法计算的Ea 误差最小，且满足工程允许误差±5%以内。

4.2 不同墙背倾角条件下Ea 计算
为了分析墙背倾角与主动土压力大小
之间的变化规律，现固定相关计算参数，分别取不同的墙背倾角ε=（0°，10°，15°，
20°，25°）,计算条件如表2所示，计算结果对比如图6所示。

表2 计算参数
Table 2 calculation conditions
墙背高 H/m 墙后填土倾角β/° 填土内摩擦角ϕ/° 外摩擦角δ/° 填土重度γ/
KN/m 3
图6 不同墙背倾角下Ea 对比
Fig.6 Ea values with different slope angle of wall
4.2.1 计算结果分析
(1）计算结果表明，主动土压力的大小与墙背倾角呈正相关性，即Ea 随着ε的增大而增大，这一点和库仑理论是一致的。

（2）由图6可知，当墙背直立时，库仑理论计算值是最小的，若采用库仑理论计算此时的主动土压力可能偏于不够安全。

（3）由图6可知当墙背倾角在0度～5度区间中时，方法1是最大的；当墙背倾角在5度～25度区间中时，库仑理论计算值是
最大的。

（4）对比方法1与库仑理论计算值，经计算其误差在0%～4%范围内，并且当ε=0度或ε=25度时，两者计算误差接近0，因此，按方法1计算得到的Ea与库仑法计算的Ea相比误差最小，且满足工程允许误差±5%以内。

4.3 不同墙背摩擦角δ条件下Ea计算
为了分析墙摩擦角与主动土压力大小之间的变化规律，现固定相关计算参数，分别取不同的墙背摩擦角δ=（0°，10°，15°，20°，25°）,计算条件如表3所示，计算结果对比如图7所示。

表3 计算参数
Table 3 calculation conditions
墙背倾角ε/°
墙后填土
倾角β/°
填土内摩
擦角ϕ/°
填土重度γ
/ (KN/m3)
墙背高
H/m
20 25.0 35.0 18.0 6
图7 不同δ下Ea对比
Fig.7 Ea values with different friction angle of wall
4.3.1 计算结果分析
（1）由图7可知，由于方案1不考虑墙背摩阻力，因此方法1计算值与墙背摩擦角δ无关，折线是水平的。

（2）由于在一定范围内墙背摩擦系数与墙背摩擦角成正比例的，即墙背摩阻力与墙背摩擦角也是成正相关性的，所以反应在折线图中方法2随着δ的递增反而递减。

折线图说明了当δ大于17.5度时，墙背摩擦角的增大对方法2计算值的影响趋逐渐近于零，因此，δ可能与填土内摩擦角ϕ存在某种规律。

（3）由表7可知，按库仑计算得到的主动土压力是随着墙背摩擦角δ的增大而增大的，δ对主动土压力的影响非常明显。

（4）根据图7可知，δ在一定范围内
取值时，库仑理论主动土压力计算值是最小
的，应此，此时如果取按库仑理论法计算得
到的Ea作为土压力设计值可能偏不安全。

4.4不同填土内摩擦角ϕ条件下Ea计算
为了分析填土内摩擦角ϕ与主动土压
力大小之间的变化规律，现固定相关计算参数，分别取不同的填土内摩擦角，ϕ=（25°，30°，35°，40°，50°）,计算条件如表4
所示，计算结果对比如图8所示。

表4计算参数
Table 4 calculation conditions
墙背倾角
ε/°
墙后填土倾
角β/°
墙背高
H/m
外摩擦角
δ/°
填土重度
γ/ (KN/m3)
20.0 25.0 6.0 17.5 18.0
图8 不同内摩擦角下Ea对比
Fig.8 Ea values of different Internal friction Angle
4.4.1 计算结果分析
（1）图8表明主动土压力是随着墙后
填土内摩擦角的增大而成减小趋势，说明内
摩擦角的增大减小了作用在挡土结构物上
的土压力从而有利于土体维持自身稳定性。

（2）图8反映出了当ϕ大约大于36°时，
折线方法1是居于最上侧的，说明此时采用
方法1的值作为土压力设计值可能是最为安
全的。

4.5不同填土面倾角β条件下Ea计算
为了分析填土面倾角与主动土压力大
小之间的变化规律，现固定相关计算参数，
分别取不同的填土面倾角β=（0°，10°，20°，30°，35°）,计算条件如表5所示，
计算结果对比如图9所示。

表5 计算参数Table 5 calculation conditions
墙背倾角ε/°墙背高
H/m
填土内摩擦
角φ/°
外摩擦
角δ/°
填土重度
γ/ (KN/m3)
20.0 6.0 35.0 17.5 18.0
图9 不同填土面倾角Ea对比
Fig.9 Ea value under different slope of ground
4.5.1 计算结果分析
（1）据图可知Ea是随着β的增大而增大的。

随着β的增大它对Ea的影响就越明显。

（2）由图可得出如下结论：当墙后填土面水平即β=0时,方法2计算得到的值最大，库仑理论计算得到的值最小，因此若采用方法2计算主动土压力值可能较偏于安全。

（3）有折线图可以看出，方法1与方法2计算得到的主动土压力值比较接近，相差在±1.5%左右，在一般工程设计中几乎可以等同。

4.6 对比分析
由于库仑理论是基于最大危险破裂面的假定并且考虑了墙背摩阻力，而方法1假定的竖直破裂面的并非是产生最大土压力，并且忽略墙背摩阻力，摩阻力是有利于减小作用到墙背的主动土压力的，所忽略的那一部分的摩阻力增大了作用到墙背上到的主动土压力，因此造成方法1与库仑理论计算值比较接近。

综上，我们可以尝试将方法1作为库仑主动土压力的一种等效计算方法，并且方法1较库仑理论计算思路更简单明了，更适合用于现场的适用计算，还可以不作修正直接应于到砂性土的情况。

方法2与库仑理论计算值的差异比较大，这是因为库仑理论是基于最大危险破裂面的假定，而方法2是基于假定的并非是产生最大土压力的竖直面。

根据以上对于各种参数对主动土压力的影响分析可知，在实际工程情况中，由于计算参数的选取是千变万化的，不可能总是按一般情况取值，必须针对具体的情况选取相应的计算参数，为了确保工程设计的安全性，故而土压力计算方法也应采用使得Ea 最大时的计算
5 结论
（1）在各项参数按临界状态取值的条件下，按方法1计算得到的Ea与库仑理论公式计算得到的Ea比较接近，相差在±5%以内。

（2）在各项参数正常取值范围内，当参数取临界值时，按方法2计算得到的Ea比库仑理论计算得到的Ea较小。

（3）在各项参数正常取值范围内，当参数取临界值时，按库仑理论计算得到的主动土压力值Ea是最大的，说明在一般情况下按库仑理论计算主动土压力是比较安全的。

但当某个参数增大或减小一定的幅度时，按库仑理论计算得到的主动土压力值Ea可能不是最大的。

参考文献
[1] 李兴高,刘维宁,张弥.关于库仑土压力理论的探讨[J].岩土工程学报,2005,27(6):677-681.
[2] 朱传培.库仑土压系数简易计算法[J].岩土力学.2007,28(9):1789-1795
[3] 赵同彬,谭云亮,王虹等.挡土墙库仑土压力的遗传算法求解分析[J].岩土力学.2007,28(9):1170-1174
[4] 顾晓鲁，钱鸿晋．地基与基础[M].北京:中国建筑工业出版社,2005.。