2021年高考数学一轮复习不等式选讲第二节不等式的证明夯基提能作业本文

2021年高考数学一轮复习不等式选讲第二节不等式的证明夯基提能作业本文1.设a,b,c均为正数,且a+b+c=1,证明:

(1)ab+bc+ca≤;

(2)++≥1.

2.设不等式-2<|x-1|-|x+2|<0的解集为M,a,b∈M.

(1)证明:<;

(2)比较|1-4ab|与2|a-b|的大小.

3.(xx湖南湘中名校联考)已知关于x的不等式|x+a|

(1)求实数a,b的值;

(2)求+的最大值.

4.已知实数a,b,c,d满足a>b>c>d.求证:++≥.

B组提升题组1.求证:+++…+<2.

2.设a,b,c>0,且ab+bc+ca=1.求证:

(1)a+b+c≥;

(2)++≥(++).

3.(xx四川成都第二次诊断性检测)已知函数f(x)=4-|x|-|x-3|.

(1)求不等式f≥0的解集;

(2)若p,q,r为正实数,且++=4,求3p+2q+r的最小值.

4.已知a是常数,对任意实数x,不等式|x+1|-|2-x|≤a≤|x+1|+|2-x|都成立.

(1)求a的值;

(2)设m>n>0,求证:2m+≥2n+a.

答案精解精析

A组基础题组1.证明(1)由a2+b2≥2ab,b2+c2≥2bc,

c2+a2≥2ca得a2+b2+c2≥ab+bc+ca.

由题设得(a+b+c)2=1,

即a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=1,

所以3(ab+bc+ca)≤1,

即ab+bc+ca≤.

(2)因为+b≥2a,+c≥2b,+a≥2c,

故+++(a+b+c)≥2(a+b+c),

即++≥a+b+c.

所以++≥1.

2.解析(1)证明:记f(x)=|x-1|-|x+2|,

则f(x)=

由题意,令-2<-2x-1<0,得-

则M=.

所以≤|a|+|b|<×+×=.

(2)由(1)得a2<,b2<.

因为|1-4ab|2-4|a-b|2

=(1-8ab+16a2b2)-4(a2-2ab+b2)

=(4a2-1)(4b2-1)>0,

所以|1-4ab|2>4|a-b|2,故|1-4ab|>2|a-b|.

3.解析(1)由|x+a|

则解得a=-3,b=1.

(2)利用柯西不等式,可得+=(+)≤·=·=2,当且仅当=,即t=2时等号成立.所以+的最大值为2.

4.证明证法一:因为(a-d)=[(a-b)+(b-c)+(c-d)]≥3·3=9,

当且仅当a-b=b-c=c-d时取等号,

所以++≥.

证法二:因为(a-d)

=[(a-b)+(b-c)+(c-d)]

≥·+·+·2=9,

当且仅当a-b=b-c=c-d时取等号,

所以++≥.

B组提升题组

1.证明因为<=-,

所以+++…+<1++++…+

=1+++…+=2-<2.

2.证明(1)由于a,b,c>0,

因此要证a+b+c≥,

只需证明(a+b+c)2≥3.

即证a2+b2+c2+2(ab+bc+ca)≥3,

而ab+bc+ca=1,

故只需证明a2+b2+c2+2(ab+bc+ca)≥3(ab+bc+ca).

即证a2+b2+c2≥ab+bc+ca.

而这可以由ab+bc+ca≤++=a2+b2+c2(当且仅当a=b=c时等号成立)证得.所以原不等式成立.

(2)++=.

在(1)中已证a+b+c≥,

因此要证原不等式成立,

只需证明≥++,

即证a+b+c≤1,

因为a=≤,b≤,c≤,

所以a+b+c≤ab+bc+ca(当且仅当a=b=c=时等号成立).

所以原不等式成立.

3.解析(1)f=4--≥0.

根据绝对值的几何意义,得

+表示点(x,0)到A,B两点的距离之和.

接下来找出到A,B的距离之和为4的点.

将点A向左移动个单位到点A1(-2,0),这时有|A1A|+|A1B|=4;

同理,将点B向右移动个单位到点B1(2,0),这时有|B1A|+|B1B|=4.∴+≤4,即f≥0的解集为[-2,2].

(2)令a1=,a2=,a3=.

由柯西不等式,得·(++)≥.

即(3p+2q+r)≥9.

∵++=4,∴3p+2q+r≥,

当且仅当===,即p=,q=,r=时,取等号.

∴3p+2q+r的最小值为.

4.解析(1)令f(x)=|x+1|-|2-x|,

则f(x)=

∴f(x)的最大值为3.

∵对任意实数x,|x+1|-|2-x|≤a都成立,

即f(x)≤a恒成立,

∴a≥3.

令h(x)=|x+1|+|2-x|,

则h(x)=

∴h(x)的最小值为3.

∵对任意实数x,|x+1|+|2-x|≥a都成立,即h(x)≥a恒成立,

∴a≤3,∴a=3.

(2)证明:由(1)知a=3.

∵2m+-2n=(m-n)+(m-n)+,且m>n>0,

∴(m-n)+(m-n)+≥3=3,

∴2m+≥2n+a.