中国矿业大学828高等代数历年考研试题
(NEW)中国人民大学《828高等代数》历年考研真题汇编
A．设V1⊕V2⊕…⊕Vn＝V，若ξ∈V，则ξ必属于V1，V2，…，Vn中的 一个
B．V1∪V2∪…∪Vn也是V的子空间 C．设α是V1中的一个向量，β∈V，若（β，α）＝0，则β∈V1⊥ D．存在一个α∈V1⊥，α∈V2⊥，但α∈V1⊥⊕V2⊥
6．若Am×m，Bn×n均是可逆矩阵，C是任意n×m矩阵，
，则D－
1＝_______，如果
，则D－1＝________．
7．设
，并设Aij为元素aij的代数余子式，则A21＋A22＋
ห้องสมุดไป่ตู้
A23＋A24＝________，A31＋A32＋A33＋A34＝________．
8．如果二次型f（x1，x2，…，xn）在实数域上合同于[－f（x1，x2， …，xn）]，那么F（x1，x2，…，xn）的符号差为_______．
2001年中国人民大学449高等代数考研真题 一、填空题（每题4分，共24分，把答案写在题中的横线上）
1．以
为根的有理数的不可约多项式为________．
2．设
，则A100＝________．
3．矩阵
的全部特征值为________．
4．已知向量η1＝（2，1/3，2/3），η2＝（1/3，－4/3，－1）是线性方 程组
的两个解，则该方程组的全部解为________．
5．二次型x12+x22+x32－2x42－2x1x2＋2x1x3－2x1x4＋2x2x3－4x2x4的标 准型为________，秩为_______，正惯性指数为_______，符号差为 ________．
6．设α＝（2，2，1，1），β＝（1/2，1，－1，1/2），则α的长度为 ________，α与β的距离为________，α与β的夹角为________．
考研高等代数真题答案
考研高等代数真题答案一、选择题1. 根据线性空间的定义，下列哪个选项不是线性空间的子空间？- A. 所有零向量组成的集合- B. 线性空间中的非零向量集合- C. 线性空间中的任意向量集合- D. 线性空间中满足特定线性组合的向量集合答案：B2. 矩阵A的特征值是λ1, λ2, ..., λn，矩阵B的特征值是μ1,μ2, ..., μn。
若AB=BA，那么矩阵A+B的特征值是什么？- A. λ1+μ1, λ2+μ2, ..., λn+μn- B. λ1*μ1, λ2*μ2, ..., λn*μn- C. λ1+μ1, λ1+μ2, ..., λn+μn（无规律）- D. 不能确定答案：A二、填空题1. 若线性变换T: V → W，其中V和W是有限维向量空间，且dim(V) = n，dim(T(V)) = r，则T的核的维数是_________。
答案：n-r2. 设A是一个3×3的矩阵，且|A| = 2，矩阵A的特征多项式为f(λ)= (λ-1)^2(λ-3)，则矩阵A的迹是_________。
答案：4三、解答题1. 证明：若矩阵A可逆，则A的伴随矩阵A*的行列式等于|A|^(n-1)，其中n是A的阶数。
证明：设矩阵A是一个n×n的可逆矩阵，其伴随矩阵记为A*。
根据伴随矩阵的定义，我们有：A * A* = |A| * I，其中I是单位矩阵。
两边同时乘以A的逆矩阵A^(-1)，得到：A^(-1) * A * A* = |A| * A^(-1) * I，即 A* = |A|^(n-1) * A^(-1)。
由此可知，A*的行列式是|A|^(n-1)。
2. 解线性方程组：x + 2y + 3z = 14x + 5y + 6z = 27x + 8y + 9z = 3解：首先写出增广矩阵：[1 2 3 | 1][4 5 6 | 2][7 8 9 | 3]通过初等行变换，将增广矩阵化为行最简形式：[1 0 -1 | -1][0 1 3 | 4][0 0 0 | 0]根据行最简形式，我们可以得到y = 4 - 3z，x = 1 + z。
中国矿业大学(北京)828高等代数2020年考研专业课初试大纲
线性变换的概念和简单性质，线性变换的运算，线性变换的矩 阵，线性变换(矩阵)的特征值、特征向量和特征子空间，线性变换 的特征多项式及HamiltonCaylay定理，矩阵相似的概念及性质，矩阵可对角化的充分必要条 件，线性变换的值域与核，线性变换的不变子空间，矩阵的若当标 准型。 8、欧几里德空间 线性空间内积的定义及其性质，欧几里德空间的概念，标准正交基 ，施密特正交化过程，正交矩阵，正交变换及其性质，正交子空间、 正交补及其性质，实对称矩阵的特征值、特征向量，对角化，欧几 里德空间的同构。 主要参考书目: 《高等代数》，北京大学数学系几何与代数教研室代数小组编，2013 年8月第4版，高等教育出版社出版 三、试题结构
能力、运算能力和综合运用所学知识分析问题和解决问题的能力。
二、考试范围
1、多项式理论
考察多项式的相关概念、基本性质、一元多项式的带余除法、不
可约多项式的性质和判定、最大公因式的性质、三种具体数域上多
项式的不可约分解定理。
2、行列式
理解行列式的概念，掌握行列式的性质、行列式的乘法法则。会应
用行列式概念和基本性质计算行列式，能够熟练掌握行列式按行(
列)展开定理，能够运用递推公式计算一些经典类型的行列式。
3、向量和矩阵
向量的线性组合和线性表示，向量组的等价，向量组的线性相
关与线性无关，极大线性无关组，向量组的秩，向量组的秩与矩阵
的秩之间的关系。矩阵的概念，矩阵的基本运算，矩阵的转置，伴
随矩阵，逆矩阵的概念和性质，矩阵可逆的充分必要条件，矩阵的
初等变换和初等矩阵，矩阵的秩，矩阵的等价，分块矩阵及其运算
全国名校高等代数考研真题汇编
2012年
601 代数考
2012年攻读
位
入试
考试 ： 代数（601）
考 意：
1 本试 分为150 分 共计10道 分 考试时 总计180 分钟；
分15
2 案必 写 上 无效。
上 写 试 上或草
一、设 是 阶 位 阵 证明 行列 于 .
阵足
二、设 是 阶
阵足
.证明所有 都 似于一个 角 阵
征值之 于 阵
.
三、设 是 维欧 表为 个
正交 换 证明 最 可以 .
、设 是 阶 阵 证明存 数 于
使得 是可以 角化 阵
是
阵且
.
五、设
.
当 为何值时 存 使得
出这样 阵
角 阵；
为角阵
时阵
标准 .
六、令二次
.
次二次 方阵；
当 为 数 出次二次 为正
七、令
是上 性
到 所有 性映 组成 性 .证明：
若
则
中是 性无关 .
2011年 中 技
代数考
中技
2011年
招 考试
考试 ： 代数
适 范 ：基 数 与数 计
数 计数
概论
一、计 行列
.
二、 次 性方 组、
一组基 解 .
三、设A,B都是
阵,C是
阵,且
A=BC.rankB=n.证明： rankA=rankC.
、设T是维 性 V 换.
(1)证明：V=ImT kerT.
2011年802代数考2012年825代数考2012年东范817代数考2011年中技代数考中技2011年招考试考试
2011年
802 代数考
2012年
(NEW)中国人民大学《828高等代数》历年考研真题汇编
2．设A为3阶方阵且|A|＝－1/3，A*是A的伴随矩阵，那么|（2A）－1＋ 3A*|＝________，|（A*）*＋3（A*）－1|＝________．
3．向量组α1＝（1，2，2）T，α2＝（2，4，4）T，α3＝（1，0，3）T， α4＝（0，4，－2）T的秩为________，它的一个极大无关组为 _________．
2005年中国人民大学450高等代数考研真题
2006年中国人民大学494高等代数考研真题
2007年中国人民大学436高等代数考研真题
第2部分 其他院校高等代数考研真题 2017年中山大学862高等代数考研真题
2017年中国传媒大学高等代数考研真题
4．设A、B是同阶方阵，则（ ）成立．
A．若A、B有相同的特征多项式，则A、B有相同的初等因子
B．若A相似于B，则|A|＝|B|
C．若A、B有相同的各阶行列式因子，则A、B相似 D．若A、B均为实对称矩阵，且存在非奇异矩阵P使PTAP＝B，则A、B 相似
5．已知T（x1，x2，…，xn）＝（0，x1，x2，…，xn－1）是线性空间Pn 的线性变换，KerT，ImT分别表示线性变换T的核和值域，则下列结论 中正确的有（ ）．
求正交矩阵T，使T－1AT成对角矩阵． 五、（10分）证明平面上三条互异直线
相交于一点的充分必要条件是a＋b＋c＝0． 六、（20分）设A、B、C分别是r×s，s×m，m×n矩阵，r（B）＝ r（AB）．求证： （1）线性方程组BX＝0与ABX＝0同解； （2）r（BC）＝r（ABC）． 七、（20分）设A、B是n×n实对称矩阵，A正定．证明： （1）AB可对角化； （2）若B也正定，则AB的特征值全是正的．