高等数学同济大学第六版1-02-数列的极限

y 与割圆问题 1 同样的是
——曲边
y x2
三角形的
面积 A
如何计算？
o
1 x
8
我们通常的做法是:将区间[0,1] n 等份,用小 矩形的面积来近似地表示小曲边梯形的面积.
不足近
似(橘 色部分)
n i1
1
i
1
2
n n
12
22
n3
(n 1)2
n(n 1)(2n 1) 1 1
1
6n3
1 2n
1
11
数 定义:按自然数1,2,3,编号依次排列的一列数
列
x1, x2,, xn,
(1)
称为无穷数列,简称数列.其中的每个数称为数
பைடு நூலகம்列的项,xn称为通项(一般项).数列(1)记为{xn} .
例如 2 ,4 ,8 , ,2n, ; { 2 n }
12,14,18,,21n,; {
1 2n
}
12
n
n
若 0 q 1,任 给 0,取 N ln , ln q
不可割，则与圆周合体 A3而表无示所圆内失接矣正”24边形面积,
,
显因A123然此n, 需越要大考, A虑n越当接n近A于n时A表., 示AA n圆的n内 变接R 化2正趋3 —6势2—2.n n -1刘1边si徽n 形3面 2 积n,1
刘 徽 | 牟 合 方 盖
6
V牟:V球4:
7
2. 曲边三角形的面积问题：
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给定 102 ,只要 n 102时, 有 xn 1 102 , 给定 103 ,只要 n 103时, 有 xn 1 103 , 给定 104 ,只要 n 104时, 有 xn 1 104 ,
给定 0,只要 n N 1 时,
有 xn 1 成立.
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定义 1 如果对于任意给定的正数 (不论它多么 小),总存在正数N,使得对于n N时的一切xn , 不等式xn a 都成立,那末就称常数a 是数 列xn的极限,或者称数列xn 收敛于a ,记为
1 , 1 ,1 , ,( 1 )n 1 , ; {(1)n1}
2,1,4, ,n(1)n1, ; {n(1)n1}
23
n
n
2 , 2 2 , , 2 2 2,
注意： 数列对应着数轴上一个点列.可看作一动
点在数轴上依次取 x 1 ,x 2 , ,x n , .
x3 x1 x2 x4 xn
问 当 n无限增大时, x n 是否无限接近于某一 题 确定的数值?如果是,如何确定?
今日讲课内容: 数列极限定义 函数极限定义
长假后讲课内容: 极限运算法则 极限存在准则 两个重要极限
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数列的极限
一. 概念的引入 二.二. 数列极限的概
念 三. 数列极限的性质
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一、概念的引入
1. 如何用渐近的方法求圆的面积A？
用圆内接正多边形刘的徽面积割近圆似术圆：的面积A.
A1“表示…圆割内之接弥正细6边，形所面失积弥, A2少表示，圆割内之接又正割12，边以形面至积于,
分 析 若 q 0,则 lim q n lim 0 0;
n
n
若 0 q 1,任 给 0,
要 使 得 xn 0 qn , 则 n ln q ln , n ln ,
ln q
可 取 N ln .
ln q
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证 明 lim q n 0,其 中 q 1. n
证 若 q 0,则 lim q n lim 0 0;
Chap01 函数、极限与连续 不介绍、不需要掌握的内容:
1. P17 双曲函数_双曲正弦,双曲余弦,双曲正切; P19 反双曲函数_...;
2. P55 柯西Cauchy收敛准则; 3. P72 一致连续性.
1
Chap01 函数、极限与连续 重点内容: 1.极限定义,极限运算法则, 2.极限存在准则,两个重要极限, 等价无穷小量; 3.2. 函数的连续性,连续函数的运算,闭区间上连 续函数的性质. 难点: 1.极限存在准则,等价无穷小量的使用; 2.函数的间断点,闭区间上连续函数性质的应用2 .
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1 n
1
(1 )(2 ) A ,
6n
n
3
1 (1
1 )(2
1
)
n
A
1
.
6n
n
3
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3. 截杖问题：
“一尺之棰，日截其半，万世不竭”
第一天截下
的杖 X1
长 1;为 2
第二天截下的为 杖 X2长 12总212和 ;
第 n天截下的杖 Xn长 1 2212 总 和 21n;为
Xn
1
lnim xn a, 或xn a (n).
如果数列没有极限,就说数列是发散的.
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N定义 : ln i x m na 0 , N 0 ,使 n N 时 ,恒 x n有 a.
其中 :每一个或任给; 的:至少有一个或存 . 在
几何解释:
a 2 a x 2 x 1 xN1 a xN2 x 3 x
(1 )(2 )
6n
n
过剩近
似(橘色
n i1
1 n
i n
2
12
22 n3
n2
加蓝色 n ( n 1 ) ( 2 n 1 ) 1 1
1
部分)
6n3
(1 )(2 )
6n
9n
可以看到，随着 n 的不断增大，不足近似 不断增加，过剩近似不断减少，越来越接 近于所要求的曲边三角形面积 A 的真值。
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二. 数列极限的定义
问题: 当 n无限增大时, x n是否无限接近于某一
确定的数值?如果是,如何确定?
例 如 ， 当 n 无 限 增 大 时 ,x n 1 ( 1 n ) n 1 无 限 接 近 于 1 .
问题: “无限接近”意味着什么?如何用数学语言 刻划它.
xn1(1)n1
1 n
1 n
当 nN 时 ,所有 xn都 的落 (a 点 ,在 a)内 ,
只有(至 有多 限 N 个 只 )个 落有 在 . 其外
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数列收敛的表述——用逻辑符号:
lim
n
xn
a
0,N 0,n N , xn a .
one of all, for every,
exist.
[ ' e p s i l n ]G r e e k a l p h a b e t : E
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例1 证l明 im n(1)n11. n n
证
xn
1
n(1)n1 n
11， n
任给0,要xn1,只要n1,或n1,
所以, 取N1,则当nN时,就有n(1)n11
n
n(1)n1 n
1n 1N 1 11
,即limn(1)n1
n
n
1.
用定义证数列极限存在时,关键是对任意给定
的 0, 寻找N.
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例2 证li明 q m n0 ,其q 中 1 . n