勾股定理应用难题

勾股定理的应用

常见题型：求值（求边长或面积、线段间的平方关系、折叠后求值）；判断垂直；几何体表面上两点间距离。

一、求值问题

●例题：

1.如图，直线l上有三个正方形a,b,c,若a,c的面积分别为5和11，则b的面积为（）

A.4

B.6

C.16

D.55

2.如图，直角三角形ABC,∠ACB=90°,AC=BC=6，DE⊥AB，DE:DB=1:5，则AE=_______。

图1 图2 图3

3.如图，如图，直角三角形ABC, ∠C=90°，AM=CM，MP⊥AB与P，求证：BP2=AP2+BC2。

4.如图，分别以直角三角形的三边为直径作半圆，其中两个半圆的面积S1=25/8π，S2=2π，则S3=_______。

图4 图5 图6 图7

5.如图，∠B=∠D=90°，∠A=60°，AB=4，CD=2，求四边形ABCD的面积。

6.如图，△BDE是将长方形纸片ABCD沿对角线BD折叠后得到的，若AB＝4，BC＝8，则重叠部分的面积为_______。

7.如图，正方形ABCD中，AB边上一点E，AE=3，EB=1，在AC上有一点P，使EP+BP最短，则EP+BP的最短长度为_______。

8. 一辆装满货物的卡车，高2.5米，宽1.6米，要开进如图所示的上边是半圆，下边是长方形的桥洞，已知半圆的直径为2米，长方形的另一条边长是2.3米。

（1）此辆卡车能否通过此桥洞？说明你的理由。

（2）为了适应车流量增加的需要，想把桥洞改为双行道，

并要使宽1.2米，高2.8米的卡车能安全通过，那

P

M

B

C A

A

C B

E

D

么此桥洞的宽至少应增加到多少米？

●

知识总结与拓展：

题目1题型总结：

三直角模型，全等必出现

题目2拓展知识：

等腰直角三角形三边比，直角边：直角边：斜边= 1:1：√2（根号）

题目3题型总结：

该类题型是在合适的直角三角形中用勾股定理，进行边的等量关系代换，导出题目所要结果。

加强练习：

如图，在△ABC中，AB=AC=6，P为BC上任意一点，（1）求PC•PB+PA2的值；（2）求证AB2－AP2=PB×PC.

题目4题型总结：

以直角三角形的三边1）为直径向外作半圆；2）为斜边向外作等腰直角三角形；3）为边作等边三角形；

4）向外作正方形，则有以两直角边所做图形面积的和等于以斜边所做图形的面积。

题目5拓展知识：

有一个角是30°的直角三角形三边比，30°所对直角边：斜边：另一边直角边= 1:2：√3（根号）

题目6题型总结：

常见的折叠图形有以下四种，折叠后求边长的问题，关键在于找到折叠后的相等条件（边和角）。

然后在合适的直角三角形中，利用勾股定理求值。

总结：1）折叠后对应点连线所得线段被对称轴垂直平分；

2）折叠后与折叠前对应的两个三角形全等。

A

B

P

C