数学建模 天然肠衣

天然肠衣

天然肠衣（以下简称肠衣）制作加工是我国的一个传统产业，出口量占世界首位。肠衣经过清洗整理后被分割成长度不等的小段（原料），进入组装工序。传统的生产方式依靠人工，边丈量原料长度边心算，将原材料按指定根数和总长度组装出成品（捆）。

原料按长度分档，通常以0.5米为一档，如：3-3.4米按3米计算，3.5米-3.9米按3.5米计算，其余的依此类推。表1是几种常见成品的规格，长度单位为米，∞表示没有上限，但实际长度小于26米。

表1

表2为某批次原料描述。

药”进行生产。

公司对搭配方案有以下具体要求：

(1)对于给定的一批原料，装出的成品捆数越多越好；

(2) 对于成品捆数相同的方案，最短长度最长的成品越多，方案越好；

(3) 为提高原料使用率，总长度允许有± 0.5米的误差，总根数允许比标准少1根；

(4) 某种规格对应原料如果出现剩余，可以降级使用。如长度为14米的原料可以和长度介于7-13.5米的进行捆扎，成品属于7-13.5米的规格；

(5) 为了食品保鲜,要求在30分钟内产生方案。

请建立上述问题的数学模型，给出求解方法，并对表1、表2给出的实际数据进行求解，给出搭配方案。

解：

问题分析：天然肠衣的原材料有三种规格的组装方法。设三种规格组装的成

品捆数分别为y1、y2、y3，则总根数分别为20y1、8y2、5y3，总长度分别为89y1、89y2、89y3。设第一种规格所用的原料的长度分别为x11、x12……x18，第二种规格所用的原料的长度分别为x21、x22……x214，第三种规格所用原料的长度分别为x31、x32……x320。

模型建立：

max y1+y2+y3

s.t.

x11+x12+x13+x14+x15+x16+x17+x18>=20y1；

x21+x22+x23+x24+x25+x26+x27+x28+x29+x210+x211+x212+x213+x 214>=8y2；

x31+x32+x33+x34+x35+x36+x37+x38+x39+x310+x311+x312+x313+x 314+x315+x316+x317+x318+x319+x320>=5y3

3x11+3.5x12+4x13+4.5x14+5x15+5.5x16+6x17+6.5x18>=89y1；

7x21+7.5x22+8x23+8.5x24+9x25+9.5x26+10x27+10.5x28+11x29+11.5 x210+12x211+12.5x212+13x213+13.5x214>=89y2；

14x31+14.5x32+15x33+15.5x34+16x35+16.5x36+17x37+17.5x38+18x3 9+18.5x310+19x311+19.5x312+20x313+20.5x314+21x315+21.5x316+2 2x317+22.5x318+23.5x319+25.5x320>=89y3

x11<=43 x12<=59 x13<=39 x14<=41 x15<=27 x16<=28 x17<=34 x18<=21；

x21<=24 x22<=24 x23<=20 x24<=25 x25<=21 x26<=23 x27<=21 x28<=18 x29<=31 x210<=23 x211<=22 x212<=59 x213<=18 x214<=25；

x31<=35 x32<=29 x33<=30 x34<=42 x35<=28 x36<=42 x37<=45

x38<=49 x39<=50 x310<=64 x311<=52 x312<=63 x313<=49 x314<=45 x315<=27 x316<=16 x317<=12 x318<=2 x319<=6 x320<=1

模型求解：

max y1+y2+y3

s.t.

x11+x12+x13+x14+x15+x16+x17+x18-20y1>=0

x21+x22+x23+x24+x25+x26+x27+x28+x29+x210+x211+x212+x213+x214-8y1>=0 x31+x32+x33+x34+x35+x36+x37+x38+x39+x310+x311+x312+x313+x314+x315+x 316+x317+x318+x319+x320-5y3>=0

3x11+3.5x12+4x13+4.5x14+5x15+5.5x16+6x17+6.5x18-89y1>=0

7x21+7.5x22+8x23+8.5x24+9x25+9.5x26+10x27+10.5x28+11x29+11.5x210+12x21 1+12.5x212+13x213+13.5x214-89y2>=0,

14x31+14.5x32+15x33+15.5x34+16x35+16.5x36+17x37+17.5x38+18x39+18.5x310 +19x311+19.5x312+20x313+20.5x314+21x315+21.5x316+22x317+22.5x318+23.5x 319+25.5x320-89y3>=0

x11<=43 x12<=59 x13<=39 x14<=41 x15<=27 x16<=28 x17<=34 x18<=21 x21<=24 x22<=24 x23<=20 x24<=25 x25<=21 x26<=23 x27<=21 x28<=18 x29<=31 x210<=23 x211<=22 x212<=59 x213<=18 x214<=25

x31<=35 x32<=29 x33<=30 x34<=42 x35<=28 x36<=42 x37<=45 x38<=49 x39<=50 x310<=64 x311<=52 x312<=63 x313<=49 x314<=45

x315<=27 x316<=16 x317<=12 x318<=2 x319<=6 x320<=1

end

求解得：

LP OPTIMUM FOUND AT STEP 54

OBJECTIVE FUNCTION V ALUE

1) 193.6348

V ARIABLE V ALUE REDUCED COST

Y1 14.600000 0.000000

Y2 41.634830 0.000000

Y3 137.399994 0.000000

X11 43.000000 0.000000

X12 59.000000 0.000000

X13 39.000000 0.000000

X14 41.000000 0.000000

X15 27.000000 0.000000

X16 28.000000 0.000000