三角形中线与角平分线专题(二)
三角形中的角平分线和中线性质
三角形中的角平分线和中线性质一、角平分线性质1.定义：从三角形一个顶点出发，将这个顶点的角平分成两个相等的角的线段，称为这个角的角平分线。
（1）一个角有且只有一条角平分线。
（2）角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
（3）角平分线与这个角的对边相交，交点将对边分为两条线段，这两条线段的长度相等。
二、中线性质1.定义：连接三角形一个顶点与对边中点的线段，称为这个顶点的中线。
（1）一个三角形有且只有三条中线。
（2）中线的长度是该顶点与对边中点距离的一半。
（3）中线平行于第三边，并且等于第三边的一半。
（4）三角形的中线将第三边平分成两条相等的线段。
三、角平分线与中线的交点性质1.定义：三角形的三条角平分线与三条中线的交点，称为三角形的心。
（1）三角形的心是三角形内部的一个点。
（2）三角形的心到三角形的三个顶点的距离相等。
（3）三角形的心到三角形的任意一边的距离相等。
四、角平分线和中线的应用1.判断三角形的形状：（1）如果一个三角形的三条角平分线相等，那么这个三角形是等边三角形。
（2）如果一个三角形的三条中线相等，那么这个三角形是等腰三角形。
2.求解三角形的问题：（1）利用角平分线求解三角形的角度。
（2）利用中线求解三角形的边长。
三角形中的角平分线和中线性质是解决三角形相关问题的重要知识点。
掌握这些性质，可以帮助我们更好地理解和解决三角形的相关问题。
习题及方法：1.习题：在三角形ABC中，角A的角平分线与中线交于点D，若AD=3，BD=4，求AB的长度。
答案：由于点D是角A的角平分线与中线的交点，根据性质可知AD=BD。
又因为AD=3，BD=4，所以AB=5。
2.习题：在等边三角形EFG中，求证：每条角平分线也是中线。
答案：由于三角形EFG是等边三角形，每个角都是60度。
根据角平分线性质，每条角平分线将角平分成两个30度的角。
又因为等边三角形的中线也是角平分线，所以每条角平分线也是中线。
3.习题：在三角形APQ中，若角APQ的角平分线与中线交于点M，且AM=4，PM=6，求AB的长度。
拓展二：解三角形三角形中线,角平分线问题 (精讲)(解析版)
拓展二：三角形中线，角平分线问题 (精讲）目录一、必备知识分层透析 二、重点题型分类研究题型1: 三角形中线问题（向量化法） 题型2：三角形中线问题（角互补法） 题型3：三角形角平分线（比例法） 题型4：三角形角平分线（等面积法） 题型5：三角形角平分线（边长比与面积比关系）题型6：三角形角平分线（角互补法）三、高考（模拟）题体验一、必备知识分层透析一、三角形中线问题 方法1、向量化如图在ABC ∆中，D 为CB 的中点，2AD AC AB =+ (此秘籍在解决三角形中线问题时，高效便捷） 方法2、角互补ADC ADB π∠+∠=⇒cos cos 0ADC ADB ∠+∠=二、角平分线如图，在ABC ∆中，AD 平分BAC ∠，角A ,B ,C 所对的边分别为a ，b ，c 方法1：内角平分线定理：AB AC BD DC =或AB BDAC DC= 方法2：等面积法(使用频率最高）ABC ABD ADC S S S ∆∆∆=+⇒111sin sin sin 22222A A AB AC A AB AD AC AD ⨯⨯=⨯⨯+⨯⨯ 方法3：边与面积的比值：ABD ADCSAB AC S=方法4：角互补：ADB ADC π∠+∠=⇒cos cos 0ADB ADC ∠+∠=·全国·高三专题练习）锐角ABC 中，角CD 长的取值范围．c a =+又()12CD CA CB =+， 则()222211()244CD CA CB CA CB CA CB =+=++⋅()()2211224221442a b ab ab ab ++=+=+， 由正弦定理可得22sin sin sin a b cA B C===，所以a =所以(253CD ∈，2．（2023两个条件中任选一个作为已知条件，然后解答问题．在ABC 中，角(1)求角A ；(2)若2b =，，求ABC 的BC 【答案】(1)7 (1)cos 2cos(A =(0,A π∈若选②：由正弦定理，得A ，C ∈(2)解：AD 是ABC 的BC ∴1()2AD AB AC =+，∴222211()(2)44AD AB AC AB AB AC AC =+=+⋅+()222AB AB AC AC +⋅+ 秋·云南昆明·高一统考期中）在ABC 中，内角已知ABC 的面积； BC 上的中线为. 【答案】(1)4A π=222a c b +-和ACD 中，分别由余弦定理可得212b AD+-，212AD AD+--8=bc ，即AD 秋·江苏镇江·高一校考期中）在ABC 中，内角(1)求角A；，求ABC的面积2sin sin CB，在ABC在ABC 中，sin 2cos B =-因为0C <<选择条件③在ABC 中，3cos2C =因为0C <<23C π=；(1)求BAM ∠的正弦值； 在ABM 中，由余弦定理，得ACM △中，由余弦定理，得BMA 与CMA ∠在ABM 中，由余弦定理，得因为BAM ∠解法2、由题意可得，cos 45AB AC AB AC ⋅=⨯⨯AM 为边上的中线，则()12AM AB AC =+， 两边同时平方得，22211125442AM AB AC AB AC =++⋅=，故5AM =，边中点，则ABM 的面积为ABC 面积的11sin 22BAM AB AC BAC =⨯⨯∠126452⨯⨯⨯︒， ． 、在ABN 中，由余弦定理，得，分别为边BC ，为ABC 重心，2103=，在ABP 中，由余弦定理，得22PB AB PA PB -=⋅又由MPN ∠131050APB =解法2：因为BN 为边上的中线，所以12BN AN A BA B AC =+=-+， ()22111111322244AM BN AB AC AB AC AB AB AC AC ⎛⎫⋅=+⋅-+=--⋅+= ⎪⎝⎭， 2222111024BN AB AC AB AB AC AC ⎛⎫=-+=-⋅+⋅= ⎪⎝⎭，即10BN =．所以131310cos 50510AM BN MPN AM BN⋅∠===⨯．3．（2022·四川达州·一模）ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,,a b c ABC 的面积边上的中线长为3. 求ABC 外接圆面积的最小值. 【答案】(1)a =π. 【详解】（1）ABC 的面积sin 0A >，因此cos bc是ABC的中线，有1()2AD AB AC=+，因此22242AD AB AB AC AC=+⋅+，即有22，解得22，由余弦定理得2222cosa b c bc A=+-，即2a=.）设ABC外接圆半径为R，由正弦定理得）知22241cos2Abc b c=≥=+，当且仅当π<，于是得11sin3A≥所以ABC外接圆面积最小值为．（2022·四川宜宾统考模拟预测）ABC的内角sinsinC bcA-=2a c=，求ABC的周长；AC边的中点为D，求中线的最大值.3sinsinc CcA-=故ABC的周长a b c b++=+2）∵2BD BC BA=+，()22222222422BD BC BABC BA BC BA a c b =+++⋅+=+-=设ABC 中角(1)求b 边的长度； ，求ABC 的面积；1sin +4b B b 为中点，所以()12AD AB AC =+，设,AB AC 的夹角为2211=++2=22AD AB AC AB AC c ∴⋅又()()2211+=+=+=22c AB AD AB AB AC AB AB AC ⋅⋅⋅21+4cos =cos ==417+8cos AB AD BAD AB AD⋅θθ∠，即128cos 8cos 116cos 90θθ，所以1cos =8θ或cos =θ1+4cos >0θ，所以1cos =8θ，易得ABC ∴的面积为137×41sin =24θ⨯⨯．（2022秋·湖北·高一湖北省汉川市第一高级中学校联考期末）已知分别为ABC 三个内角A (1)求A ；(2)若AD 为，求ABC 的面积在ABC 中，sin cos A C 3sin sin A ，又在ABC 中，3sin cos A =，即sin ⎛⎝()0,A π∈66ππ=即A 2在ABC 中，2在ABC中()12AD AB AC=+，()()222211244AD AB AC AB AC AB AC=+=++⋅()22214964x x x=++得21x=即1x=，2b=，3c=133sin22ABCS bc A==(1)求证：2AB AC=；60）证明：因为ABD中，由正弦定理可得：180，故sin180，故cos 3，cos 3=，0180BAC <∠<，故60BAC ∠.题型4：三角形角平分线（等面积法）典型例题春·湖南长沙·高三长沙一中校考阶段练习）已知ABC 的内角，ABC 的面积为c 的值. 2c ab -=， 1π1πsin sin 2626ACD BCDABCSSCA CD CB CD S +=⋅⋅⋅+⋅⋅⋅=，秋·河北衡水·高一校考阶段练习）记ABC 的内角0B =． 的角平分线交在ABC 中，由正弦定理得：0πC <<，解得所以2π3C =(2)依题意，a +是ABC 的角平分线，则+=ACDBCDABCSSS，2πsin 3，整理得ab =，解得ab CD a b ==+：三角形角平分线（边长比与面积比关系）典型例题秋·福建福州·高一福建省福州第一中学校考期中）已知ABC 中，角的角平分线．ABCABDS S△△sin C∠ABC ABD S S =△△由正弦定理可得BDC ∠+即sin sin C A =（2）BCD ABD S S =△△设2AB =BDC ∠+22923b b b b +-⋅cos ABC ∴∠例题2．（(1)求cos C 及线段BC 的长；ABCS =sin AC∠12ADCABCS S =，3158ABC S =△. 6：三角形角平分线（角互补法）同类题型演练ABC 中，已知545cos 7AB AC B，，. AD 的长．在ABC 中，由余弦定理整理得27BC 解得7BC =97BC由于0BC >，所以7BC =因为(0,B π∈，所以sin 0B >2261cos 7B Bsin sin AC BCB A=267sin 26755BC B A ACABCABDACDSSS=+及三角形的面积公式可得：11145sin 24sin +5sin 222x x 整理得20sin 240cos9sin9x在ABC 中，由余弦定理2221625491cos 2405AB AC BC AAB AC2cos 22cos 1A 得cos θ=8109ADx2022春·湖北恩施·高二校考阶段练习）在ABC 中，内角，且cos 2C ＝sin 2A +cos 2B +sin A sin C 求角B 的大小；23=，角B BD ＝1，求ABC 的周长．160sin 602a BD +⋅⋅，+c ， 2222故ABC 的周长为．（2022·吉林统考模拟预测）在ABC 中，内角sin sin B b =求角A 的大小；若3AB =，的内角平分线交ABCABDADCS SS=+，1sin sin 2BAC AB AD BAD ∠=⋅⋅∠π1πsin 3sin 326AD =⨯⨯⨯+在ABC 中，由余弦定理：22AC AB +-．中，由正弦定理，中，由正弦定理，ABC 中，由余弦定理：1DC AC ()33134444AD AB BD AB BC AB AC AB AC AB =+=+=+-=+，2222131934416168AD AB AC AB AC AB AC ⎛⎫=+=++⋅ ⎪⎝⎭193127913116168216⨯+⨯+⨯⨯⨯= 334AD =． ．（2022秋·全国·高三开学考试）已知在平面四边形ABCD 中，，求BDC 的面积，求CD 长BDC S=解：设CD =高三专题练习）已知ABC 的内角，ACD ABC S S=△△377，CD ACDABC S =2BD =由角平分线性质得1ABCS=12ACDS=⨯解得CD6．（2022·全国·高三专题练习）如图，在ABC中，2AB AC=，BAC∠的角平分线交BC于ABDADCSS的值；1,=AC【答案】（1）2【详解】解：（=ABDADCSSAB==ABDADCSS在ACD 中，224+=AD AD ．（2022·北京海淀校考模拟预测）已知ABC 的内角3sin 6B π⎛+ ⎝30c +=;条件这三个条件中仅有两个正确,请选出正确的条件并回答下面的问题由题意知3sin B ⎛ ⎝06π⎫=⎪⎭, (0,B π∈故23B π=在ABC 中,由余弦定理可得22c ac +-22a c b +-对于条件①:与上式结合可得）在ABC 中,由正弦定理可得sin b B, 72sin 3π=, 33,cos 41=）BD 是∠ABD CBD =∠ABDBCD SAD S CD ==7AC =,AD ∴在ABD △2BD AB =35258⎛=+ ⎝故158BD =OM ON =⋅．1sin 2OM ⎛= ⎝⎭，(2,2ON =()2sin 223sin f x OM ON =⋅=+1sin 23cos 23sin 22x x x ⎛-+- ⎝222πππ==∵AD 为∠BAC 的角平分线，2AB AC =，ABC S=(3513ACD ABC S S ==．（2022·四川·校联考模拟预测）在(sin sin a A b B c =++ABC ABD ACD S S S =+，得()24bc b c bc =+≥，得值为43．ABC 中，ABC ABD ACD S S S =+，1sin 302b AD ⋅⋅︒， ()bc +，所以3b =，c =统考一模）在ABC 中，内角，3BA AC ⋅=，是ABC 的中线，求23π coscos()sin 22B C A A +==sin 0B ≠sin 2A ∴=，(0,πA ∈得cos2A =， 23A π∴=）3BA AC ⋅=,cos()3A π-=,得由余弦定理得：2b c +1()2AD AB AC =+， 2211()(44AD AB AC ∴=+=所以72AD =， AD 的长为72. ．（2022·河南开封·校联考模拟预测）在sin 2B C +=2AD AB AC =+，即224()AD AB AC =+,22cos b bc A +，∴2216b c bc +=-,，即163≤bc , 当且仅当433b c ==时取等号2216A b c bc bc =+-=-，解：在ABC 中，因为由正弦定理sin a A ,3,=m b m 24922+=⨯m C C π<<，所以在ACD 中，所以AD =选择条件②角，但由于三边未知，故三角形不唯一，不满足条件选择条件③因为ABC 的面积为1sin 2ab C 6ab =.1）知:a b 2,3,a b ==在ACD 中，所以AD =．（2022·湖北省直辖县级单位23AC =，(1)MPN ∠的余弦值．在ABC 中，由余弦定理可知：(222BC =+2BC = , AB BC =ABC ∴是等腰三角形，故120在ABM 中，由余弦定理可知：2cos AM ABC =∠在ABM 中，由正弦定理可知：sin AB AMB =∠因为AMB ∠27121cos 60)cos cos 60sin sin 60727MPN AMB AMB ∠==∠-∠=⨯-是ABC 的重心，所以23BP BN =21,3BN BP =∴= ,故112331133sin 601,sin 6012223262222BPMBCMSBP BM S BN BC =⋅⋅=⨯⨯⨯==⋅⋅=⨯⨯⨯=所以四边形PMCN 的面积为333263BNCBMPS S-=-=统考模拟预测）向量12sin ,m x ⎛⎫= ⎪⎝，63cos 2n ⎛⎫= ⎝()2m m n =⋅+. 求函数()f x 的对称中心；若函数1()()4g x f x =+上有5个零点，求的取值范围；在ABC 中，内角A ，)C 恰好为函数(f x 【答案】(1)π12⎛ ⎝25π31π,1212⎫⎪⎭4932sin m ⎛= ⎝，6cos 2n ⎛= ⎝2sin 2m n ⎛=+ ⎝()252sin 2sin 242()f x m m x n x ⎛=+-= ⎝=⋅+在ACD 中，由BCD △中，由78sin c A =在ABC 中，则可得712a =743a b +=4937123+(1)求证：::AD AB CD CB =；ABCABDCBDS SS=+，即cos θ，因为02θπ<<，则ABCS =统考三模）已知(2c ++是ABC 的角平分线，且，求ABC 的面积中，由正弦定理及sin C 得：是ABC 的角平分线，ABCABDCADSSS=+可得1因为3b =，2AD =，即有11sin 3622ABCSbc A ==⨯⨯．（2022·浙江绍兴·浙江省春晖中学校考模拟预测）在ABC 中，60，ABC 的面积等于，BAC ∠的角平分线___________. 【答案】217 【详解】解：2BC =，ABC 的面积等于132AB =⋅24AB AC ⋅=由余弦定理2cos BC AB AC A =⋅⋅(AB AC AB AC AB -⋅⋅=10AC +=（由于AB AC >AM 为∠所以=+ABCABMACMSSS，即ABCS=即111163642222AM AM =⨯⋅⨯+⨯⋅，解得故答案为：21；123．。
(二)三角形的中线、高线与角平分线专题训练
１ １ ． ： Ｌ ｋ Ａ Ｂ Ｃ ｌ ｆ １ ，
Ｂ １ ０平 方 米
Ｉ ） ． Ｉ ８ 方 胆 米
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Ａ ． ５、 方 水
Ｃ． Ｉ ５、 办 水
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Ａ
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Ｃ
图 ３
第 １题 图
Ｄ Ｃ
第 ４题 图
［ ＝ ＝ ＝～ （ 墨 ！
５ ． 如图， ／１ ＝ ／２ ， Ｇ 为 ＡＤ 中 点 ， 延长Ｂ Ｇ 交 ／ ４ Ｃ 于 Ｅ， 为 ／ ４ Ｂ上一点 ， Ｃ Ｆ上４ Ｄ交 ４ Ｄ Ａ ． １ 个 Ｂ ． ２个 Ｃ ． ３个 Ｄ ． ４个
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（ 答 案在 第 １ ９页 ）
１ ４
Ｂ ． 在 三 角 形 外 部 Ｃ ． 在 三 角 形 的 一 边 上
第 １题 图
（ ２ ） 如 图 ２所 示 ， Ｄ 是 △ Ｂ Ｃ 的高 线 ， 则
专题02_三角形的高、中线、角平分线_(知识点串讲)(解析版)
专题02 三角形的高、中线、角平分线重点突破知识点一三角形的高概念：从三角形一个顶点向它的对边做垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线（简称三角形的高）。
知识点二三角形的中线概念：在三角形中，连接一个顶点和它对边的中点的线段叫做三角形的中线。
性质：三角形三条中线的交于一点，这一点叫做“三角形的重心”。
重心到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍。
（选学）三角形的中线可以将三角形分为面积相等的两个小三角形。
知识点三三角形的角平分线概念：三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点间的线段叫做三角形的角平分线。
考查题型考查题型一画三角形的高典例1（2020·泉州市期中）如图，过△ABC的顶点A，作BC边上的高，以下作法正确的是（）A．B．C．D．【答案】A【提示】经过一个顶点作对边所在的直线的垂线段，叫做三角形的高，根据概念即可得出.【详解】根据定义可得A是作BC边上的高，C是作AB边上的高，D是作AC边上的高.故选A.变式1-1．（2018·梁平区期末）在数学课上，同学们在练习过点B作线段AC所在直线的垂线段时，有一部分同学画出下列四种图形，请你数一数，错误的个数为( )A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】D【解析】试题解析：从左向右第一个图形中，BE不是线段，故错误；第二个图形中，BE不垂直AC，所以错误；第三个图形中，是过点E作的AC的垂线，所以错误；第四个图形中，过点C作的BE的垂线，也错误.故选D.变式1-2．（2020·海淀区期末）用直角三角板，作△ABC的高，下列作法正确的是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】详解：三角形的高必须是从三角形的一个顶点向对边或对边的延长线作的垂线段.可以判断A,B,C虽然都是从三角形的一个顶点出发的，但是没有垂直对边或对边的延长线.故选D.变式1-3．（2020·苏州市期中）如图，∠ACB＞90°，AD⊥BC，BE⊥AC，CF⊥AB，垂足分别为点D、点E、点F，△ABC中AC边上的高是（）A．CF B．BE C．AD D．CD【答案】B【解析】试题提示：根据图形，BE是△ABC中AC边上的高．故选B．变式1-4．（2019·杭州市期中）如图AD⊥BC于点D，那么图中以AD为高的三角形的个数有（）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】D【解析】结合三角形高的定义可知，以AD为高的三角形有：△ABD，△ABE，△ABC，△ADE，△ADC，△AEC，共6个.故选D考查题型二与三角形高有关的计算典例2．（2019·济南市期中）如图，在直角三角形ABC中，点B沿CB所在直线远离C点移动，下列说法错误的是( )A．三角形面积随之增大B．∠CAB的度数随之增大C．BC边上的高随之增大D．边AB的长度随之增大【答案】C【提示】根据三角形的面积公式、角和线段大小的比较以及三角形高的定义进行解答即可．【详解】解：A、在直角三角形ABC中，S△ABC=12BC•AC，点B沿CB所在直线远离C点移动时BC增大，则该三角形的面积越大．故A正确；B、如图，随着点B的移动，∠CAB的度数随之增大．故B正确；C、BC边上的高是AC，线段AC的长度是不变的．故C错误．D、如图，随着点B的移动，边AB的长度随之增大．故D正确；故选：C．【名师点拨】本题考查了三角形的面积，角和线段大小的比较以及三角形高的定义，解题时要注意“数形结合”数学思想的应用．变式2-1．（2020·毕节市期末）如图，△ABC 中，D ，E 分别是BC 上两点，且BD=DE=EC ，则图中面积相等的三角形有（ ）A ．4对B ．5对C ．6对D ．7对【答案】A 【提示】根据三角形的面积公式，知：只要同底等高，则两个三角形的面积相等，据此可得面积相等的三角形．【详解】由已知条件，得△ABD ，△ADE ，△ACE ，3个三角形的面积都相等，组成了3对，还有△ABE 和△ACD 的面积相等，共4对.故选A.【名师点拨】本题考查了三角形的相关知识，解题的关键是熟练的掌握三角形面积公式与运用.变式2-2．（2020·龙岩市期中）如图，AD ，CE 是△ABC 的两条高，已知AD=10，CE=9，AB=12，则BC 的长是（ ）A ．10B ．10.8C ．12D ．15【答案】B 【解析】∵AD ，CE 是△ABC 的两条高，AD=10，CE=9，AB=12，∴△ABC 的面积=12×12×9=12BC ⋅AD=54， 即12BC ⋅10=54，解得BC=10.8.故选B.变式2-3．（2018·合肥市期中）如图所示，AD CE BF 、、是ABC ∆的三条高，654AB BC AD ===，，，则CE =（ ）A ．245B ．152C ．103D ．3【答案】C【提示】根据三角形的面积公式解答即可． 【详解】解：因为AD 、CE 、BF 是△ABC 的三条高，654AB BC AD ===，，，所以可得：12BC•AD=12AB•CE ， 可得：CE=•BC AD AB ＝546⨯＝103． 故选C ．【名师点拨】此题考查三角形的面积，关键是根据同一三角形面积相等来提示．变式2-4．（2018·烟台市期末）如图，在△ABC 中，CD 、BE 分别是AB 、AC 边上的高，并且CD 、BE 交于点P ，若∠A=50°，则∠BPC 等于（ ）A ．90°B ．130°C ．270°D ．315°【答案】B 【详解】根据∠A=50°可得∠ABC+∠ACB=130°，根据CD ⊥AB ，BE ⊥AC 可得∠ABE=40°，∠ACD=40°，则∠PBC+∠PCB=130°－40°－40°=50°，则∠BPC=180°－50°=130°. 故选：B.变式2-5．（2019·荆门市期末）如图，三角形ABC ，∠BAC =90︒，AD 是三角形ABC 的高，图中相等的是（ ）．A ．∠B =∠CB ．∠BAD=∠BC ．∠C =∠BAD D ．∠DAC=∠C【答案】C 【提示】根据直角三角形的性质可得∠B +∠C =90︒，由AD 是三角形ABC 的高，可得∠BDA=∠ADC =90︒，再运用三角形内角和定理依次判断即可.【详解】∵∠BAC =90︒，∴∠B +∠C =90︒，故选项A 错误；∵AD 是三角形ABC 的高，∴∠BDA=90︒，∴∠BAD+∠B=90︒，故选项B 错误；∵∠BAC =90︒，∴∠BAD+ ∠DAC=90︒，又∵∠ADC =90︒，∴∠DAC+ ∠C=90︒，∴∠C=∠BAD，故选项C正确，选项D错误.故选C.【名师点拨】本题考查了三角形的高线以及三角形的内角和定理，属于基础题型.变式2-6．（2019·济南市期中）如图△ABC中，分别延长边AB，BC，CA，使得BD＝AB，CE＝2BC，AF＝3CA，若△ABC的面积为1，则△DEF的面积为( )A．12 B．14 C．16 D．18【答案】D【提示】连接AE和CD，要求三角形DEF的面积，可以分成三部分（△FCD+△FCE+△DCE）来分别计算，三角形ABC是一个重要的条件，抓住图形中与它同高的三角形进行提示计算，即可解得△DEF的面积．【详解】解：连接AE和CD，∵BD=AB，∴S△ABC=S△BCD=1，S△ACD=1+1=2，∵AF=3AC，∴FC=4AC，∴S△FCD=4S△ACD=4×2=8，同理可以求得：S△ACE=2S△ABC=2，则S△FCE=4S△ACE=4×2=8；S△DCE=2S△BCD=2×1=2；∴S△DEF=S△FCD+S△FCE+S△DCE=8+8+2=18．故选：D．【名师点拨】本题考查三角形面积及等积变换的知识，注意高相等时三角形的面积与底成正比的关系，并在实际问题中的灵活应用，有一定难度．考查题型三三角形中线有关的长度计算典例3．（2018·秦皇岛市期中）如图，AE 是ABC 的中线，已知EC 4=，DE 2=，则BD 的长为( )A ．2B ．3C ．4D ．6【答案】A【解析】试题解析：∵AE 是△ABC 的中线，EC=4，∴BE=EC=4，∵DE=2，∴BD=BE-DE=4-2=2．故选A ．变式3-1．（2019·肇庆市期中）已知AD 是△ABC 的中线，且△ABD 比△ACD 的周长大3cm ，则AB 与AC 的差为( ) A ．2cm B ．3cm C ．4cm D ．6cm【答案】B【提示】根据三角形中线的定义可得BD=CD ，然后根据三角形的周长公式列式计算即可得解．【详解】解：∵AD 是△ABC 的中线，∴BD=DC ，∴△ABD 与△ACD 的周长之差=（AB+AD+BD ）-（AC+AD+CD ）=AB-AC ，∵△ABD 比△ACD 的周长大3cm ，∴AB 与AC 的差为3cm ．故选B ．【名师点拨】本题考查了三角形的中线，熟记概念并求出两三角形周长的差等于AB-AC 是解题的关键．变式3-2．（2020·哈尔滨市期中）如图，三角形ABC 中，D 为BC 上的一点，且S △ABD =S △ADC ，则AD 为（ ）A ．高B ．角平分线C ．中线D ．不能确定【答案】C【解析】解：设BC边上的高为h，∵S△ABD=S△ADC，∴，故BD=CD，即AD是中线．故选C．变式3-3．（2019·临清市期末）如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，△ADC的周长比△ABD的周长多5cm，AB 与AC的和为13cm，那么AC的长为（）A．8cm B．9cm C．10cm D．11cm【答案】B【提示】根据中线的定义知CD=BD．结合三角形周长公式知AC-AB=5cm；又AC+AB=13cm．易求AC的长度．【详解】∵AD是BC边上的中线，∴D为BC的中点，CD=BD．∵△ADC的周长-△ABD的周长=5cm．∴AC-AB=5cm．又∵AB+AC=13cm，∴AC=9cm．即AC的长度是9cm．故选B.【名师点拨】本题考查了三角形的中线，根据周长的差表示出AC-AB=5cm，是解题的关键．考查题型四三角形中线有关的面积计算典例4．（2020·渠县期中）如图，在△ABC中，已知点D，E，F分别为边BC，AD，CE 的中点，且△ABC的面积为4cm2，则△BEF的面积等于（）A．2cm2B．1cm2C．0．5 cm2D．0．25 cm2【答案】B【提示】依据三角形的面积公式及点D 、E 、F 分别为边BC ，AD ，CE 的中点，推出14BEF ABC SS ∆=从而求得△BEF 的面积．【详解】解：∵点D 、E 、F 分别为边BC ，AD ，CE 的中点， 1111,,,2222ABD ABC BDE ABD CDE ADC BEF BEC S S S S S S S S ∆∆∆∆∆∆∆∆∴==== 14BEF ABC S S ∆∆∴= ∵△ABC 的面积是4，∴S △BEF =1．故选：B【名师点拨】本题主要考查了与三角形的中线有关的三角形面积问题，关键是根据三角形的面积公式S=12×底×高，得出等底同高的两个三角形的面积相等．变式4-1．（2018·鄂尔多斯市期中）如图，△ABC 的面积为12cm 2，点D 在BC 边上，E 是AD 的中点，则△BCE 的面积是（ ）A ．4cm 2B ．6cm 2C ．8cm 2D ．6cm 2【答案】B 【解析】∵E 是AD 的中点，∴S △BDE =12S △ABD ，S △DEC =12S △ADC ， ∴△BCE 的面积=S △BDE +S △DEC =12×（S △ABD +S △ADC ）=12×△ABC 的面积=6， 故选B ．名师点拨：本题考查的是三角形的面积的计算，掌握三角形的一条中线把三角形分为面积相等的两部分是解题的关键．变式4-2．（2019·沧州市期末）如图，D ，E ，F 分别是边BC ，AD ，AC 上的中点，若S 阴影的面积为3，则△ABC 的面积是（ ）A ．5B ．6C ．7D ．8【答案】D【提示】利用三角形中线将三角形分成面积相等的两部分，111222ABD ACD ABC BDE ABD ADF ADC SS S S S S S ====，，，再得到1148BDE ABC DEF ABC S S S S ==，，所以83ABC S S =阴影部分即可得出. 【详解】∵D 为BC 的中点 ∴1122BDE ABD ADF ADC S S S S ==，，12DEF ADF S S =∴1148BDE ABC DEF ABC S S S S ==， ∴BDE S △+DEF S △=14ABC S +18ABC S =38ABC S ∴ABC S =83S 阴影部分=83×3=8 故选：D【名师点拨】三角形的中线将三角形分成两个面积相等的三角形，根据中线找出图中三角形的面积关系是解决本题的关键.变式4-3．（2019·温州市期中）如图，在△ABC 中，点D 是BC 边上的一点，E ，F 分别是AD ，BE 的中点，连结CE ，CF ，若S △CEF ＝5，则△ABC 的面积为（ ）A ．15B ．20C ．25D ．30【答案】B 【提示】根据题意，利用中线分的三角形的两个图形面积相等，便可找到答案【详解】解：根据等底同高的三角形面积相等，可得∵F 是BE 的中点，S △CFE ＝S △CFB ＝5，∴S △CEB ＝S △CEF +S △CBF ＝10，∵E 是AD 的中点，∴S △AEB ＝S △DBE ，S △AEC ＝S △DEC ，∵S △CEB ＝S △BDE +S △CDE∴S △BDE +S △CDE ＝10∴S △AEB +S △AEC ＝10∴S △ABC ＝S △BDE +S △CDE +S △AEB +S △AEC ＝20故选：B．【名师点拨】熟悉三角形中线的拓展性质：分其两个三角形的面积是相等的，这样便可在实际问题当中家以应用. 考查题型五三角形重心的有关性质典例5．（2019·北京市期中）如图，小明用铅笔可以支起一张质地均匀的三角形卡片，则他支起的这个点应是三角形的（）A．三边高的交点B．三条角平分线的交点C．三边垂直平分线的交点D．三边中线的交点【答案】D【提示】根据题意得：支撑点应是三角形的重心．根据三角形的重心是三角形三边中线的交点．【详解】解：∵支撑点应是三角形的重心，∴三角形的重心是三角形三边中线的交点，故选D．【名师点拨】考查了三角形的重心的概念和性质．注意数学知识在实际生活中的运用．变式5-1．（2019·泉州市期中）如图，在△ABC中，D，E分别是BC，AC的中点，AD和BE相交于点G，若AD=6，则AG的长度为（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【提示】根据D、E分别是边BC，AC的中点，AD、BF相交于G，即可得出G为三角形的重心，利用重心的性质得出AG的长即可.【详解】∵D、E分别是边BC，AC的中点，AD、BF相交于G∴G为△ABC的重心∴AG=2DG∵AD=6∴AG=4故选C.【名师点拨】本题考查的是三角形的重心性质，能够判断出点G 是三角形的重心是解题的关键.考查题型六 三角形的角平分线典例6．（2019·滨州市期末）如图，△ABC 中，AD 为△ABC 的角平分线，BE 为△ABC 的高，∠C=70°，∠ABC=48°，那么∠3是（ ）A ．59°B ．60°C ．56°D ．22°【答案】A 【详解】根据题意可得，在△ABC 中，70,48︒︒∠=∠=C ABC ，则62︒∠=CAB ，又AD 为△ABC 的角平分线，1262231︒︒∴∠=∠=÷=又在△AEF 中，BE 为△ABC 的高∴90159359︒︒︒∠=-∠=∴∠=∠=EFA EFA变式6-1．（2019·宁德市期末）如图，已知AE 是ΔABC 的角平分线，AD 是BC 边上的高．若∠ABC=34°，∠ACB=64°，则∠DAE 的大小是（ ）A ．5°B ．13°C ．15°D ．20°【答案】C 【提示】由三角形的内角和定理，可求∠BAC=82°，又由AE 是∠BAC 的平分线，可求∠BAE=41°，再由AD 是BC 边上的高，可知∠ADB=90°，可求∠BAD=56°，所以∠DAE=∠BAD-∠BAE ，问题得解．【详解】在△ABC 中，∵∠ABC=34°，∠ACB=64°, ∴∠BAC=180°−∠B−∠C=82°，∵AE 是∠BAC 的平分线，∴∠BAE=∠CAE=41°. 又∵AD 是BC 边上的高，∴∠ADB=90°，∵在△ABD中∠BAD=90°−∠B=56°，∴∠DAE=∠BAD −∠BAE =15°.【名师点拨】在本题中，我们需要注意到已知条件中已经告诉三角形的两个角，所以利用内角和定理可以求出第三个角，再有已知条件中提到角平分线和高线，所以我们可以利用角平分线和高线的性质计算出相关角，从而利用角的和差求解，在做几何证明题时需注意已知条件衍生的结论.变式6-2．（2019·信阳市期中）如图，在△ABC中，AD是角平分线，DE⊥AB于点E，△ABC的面积为7，AB=4，DE=2，则AC的长是（）A．4 B．3 C．6 D．5【答案】B【解析】过点D作DF⊥AC于F，∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，∴DE=DF=2，∴S△ABC=×4×2+AC×2=7，解得AC=3.故选B.变式6-3．（2019·合肥市期中）如图所示，AD、AE分别是△ABC的高和角平分线，且∠B=76°，∠C=36°，则∠DAE 等于（）A．20°B．18°C．45°D．30°【答案】A【提示】根据高线的定义以及角平分线的定义分别得出∠BAD=14°，∠CAD=54°，进而得出∠DAE的度数，进而得出答案．【详解】∵AD ，AE 分别是△ABC 的高和角平分线，且∠B=76°，∠C=36°，∴∠BAD=14°，∠CAD=54°，∴∠BAE=12∠BAC=12×68°=34°， ∴∠DAE=34°-14°=20°．故选：A ．【名师点拨】此题主要考查了高线以及角平分线的性质，得出∠DAE 的度数是解题关键．变式6-4．（2020·泰兴市期中）如图，BE 、CF 是△ABC 的角平分线，∠A=50°，BE 、CF 相交于D ，则∠BDC 的度数是（ ）A ．115°B ．110°C ．100°D ．90°【答案】A【提示】由于∠A=50°，根据三角形的内角和定理，得∠ABC 与∠ACB 的度数和，再由角平分线的定义，得∠DBC+∠DCB 的度数，进而求出∠BDC 的度数．【详解】∵∠A=50°，∴∠ABC+∠ACB=180°﹣50°=130°，∵BE 、CF 是△ABC 的角平分线，∴1122EBC ABC FCB ACB ∠=∠∠=∠，，∴()1652EBC FCB ABC ACB ∠+∠=⨯∠+∠=︒，∴∠BDC=180°﹣65°=115°，故选A ．【名师点拨】考查三角形内角和定理以及角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键.变式6-5．（2019·西安市期末）如图，点O 在ABC 内，且到三边的距离相等，若∠A=60°，则∠BOC 的大小为()A ．135°B ．120°C ．90°D ．60°【答案】B【提示】由条件可知O为三角形三个内角的角平分线的交点，则可知∠OBC+∠OCB=12（∠ABC+∠ACB）=12（180°-∠A），在△BOC中利用三角形的内角和定理可求得∠BOC．【详解】∵O到三边的距离相等∴BO平分∠ABC，CO平分∠ACB∴∠OBC+∠OCB=12(∠ABC+∠ACB)=12(180°−∠A)∵∠A=60°∴∠OBC+∠OCB=60°∴∠BOC=180°−(∠OBC+∠OCB)=180°−60°=120°故选B.【名师点拨】本题考查了角平分线的性质，熟练掌握角平分线把一个角分成两个相等的角是解题的关键．。
11.1.2三角形的角平分线和中线
新知探究 △ABC的三条中线相交于一点，这个焦点叫做三角形的重心.
A F O B D C E
新知探究 如图，线段AD是△ABC的中线， △ABD和△ACD面积有什么关 系？
A
B
D
C
中线的性质：中线AD将△ABC分成面积相等的两部分.
典型问题 例题1.如图，点D是BC的中点，若S△ABD＝8，则S△ACD＝______.
(1)若AB＝5，AC＝4，则△ABD与△ACD的周长差为
A
.
(2)若AE⊥BC，垂足为E，BC＝10，AE＝6，求△ACD的面积．
B
D
C
课堂练习 3.如图，AD，AE分别是△ABC的中线和高，AB＝13，AC＝5， (1)△ABD与△ACD的周长的差是______； (2)若E恰好是CD的中点，那么△ABE和△ACE的面积有什么样的 数量关系？请说明理由.
A
B
D
E
C
课堂练习 4.如图，AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE∥AC，DE交AB于点E， DF∥AB，DF交AC于点F，图中∠1与∠2有什么关系？为什么？
解：∠1＝∠2，理由如下： ∵AD平分∠BAC ∴∠EAD＝∠FAD ∵DE∥AC ∴∠1＝∠FAD ∵DF∥AB ∴∠2＝∠EAD ∴∠1＝∠2.
C
D A B
课堂练习 1. 如图，点D，E分别是BC，AD的中点，若S△ABD＝8，则 S△ACE＝______.
C
D E A B
课堂练习 2.如图，在△ABC中，D是边BC中点，E，F分别为线段AD，CE的 中点，且S△ABC＝8，则△BFE的面积为____.
A E
F C
B
D
典型问题 例题2.如图，AD是△ABC的中线．
三角形的中线与角平分线
中线与角平分线的应用
在几何学中，中线和角平分线的 性质和定理被广泛应用于证明和
解题。
例如，可以利用中线和角平分线 的性质证明三角形中的一些等式
或不等式。
此外，在三角形的面积计算中， 中线和角平分线也是常用的工具。
04 三角形中线与角平分线的定理和证明
CHAPTER
三角形中线定理
总结词
三角形中线定理描述了中线与基线之 间的关系，即三角形中线将相对边分 为两段相等的线段。
在等腰三角形中，中线也是底边 的垂直平分线，因此其长度等于
底边的一半。
在直角三角形中，斜边的中线长 度等于斜边的一半。
02 角平分线的定义与性质
CHAPTER
角平分线的定义
01
角平分线是从一个角的顶点出发 ，将该角平分的线段。
02
角平分线将相对边分为两段相等 的线段。
角平分线的性质
角平分线上的点到该 角的两边距离相等。
三角形三条中线
一个三角形有三条中线，分别连 接每个顶点与其对边中点。
三角形中线的性质
三角形中线与对应的底边平行且等于底边的一半。 三角形中线将对应的顶点与对边中点连接，且将相对的边分为两段相等的部分。
三角形中线将相对的角分为两个相等的角。
三角形中线的长度
三角形中线的长度等于从顶点垂 直于底边的线段长度的一半。
05 三角形中线与角平分线的实际应用
CHAPTER
在几何问题中的应用
三角形中线定理
三角形中线将三角形分为面积相等的两部分，且中线长度为 对应底边的一半。
角平分线定理
角平分线将相对边分为两段相等的线段，且角平分线长度为 相对边上的高的一半。
在三角函数中的应用
第07讲 拓展二：三角形中线,角平分线问题 (精讲)(学生版)
第07讲 拓展二：三角形中线，角平分线问题(精讲）目录第一部分：知识点精准记忆 第二部分：典型例题剖析高频考点一：中线长问题角度1：求中线长（或中线长范围，最值）角度2：已知中线长，求其它元素 高频考点二：已知角平分线问题角度1：求角平分线长（或角平分线长范围，最值）角度2：已知角平分线，求其它元素1、中线：在ABC ∆中，设D 是BC 的中点角A ,B ,C 所对的边分别为a ，b ，c 1.1向量形式：（记忆核心技巧，结论不用记忆） 核心技巧：2AD AB AC =+结论：2221(2cos )4AD b c bc A =++ 1.2角形式：核心技巧：ADB ADC π∠+∠=⇒cos cos 0ADB ADC ∠+∠=在ADB ∆中有：222cos 2DA DB AB ADB DA DB +-∠=⨯;在ADC ∆中有：222cos 2DA DC AC ADC DA DC+-∠=⨯;2、角平分线如图，在ABC ∆中，AD 平分BAC ∠，角A ,B ,C 所对的边分别为a ，b ，c第一部分：知 识 点 精 准 记 忆2.1内角平分线定理： 核心技巧：AB AC BD DC =或AB BDAC DC= 2.2等面积法 核心技巧ABC ABD ADC S S S ∆∆∆=+⇒111sin sin sin 22222A A AB AC A AB AD AC AD ⨯⨯=⨯⨯+⨯⨯ 2.3角形式：核心技巧：ADB ADC π∠+∠=⇒cos cos 0ADB ADC ∠+∠=在ADB ∆中有：222cos 2DA DB AB ADB DA DB +-∠=⨯;在ADC ∆中有：222cos 2DA DC AC ADC DA DC+-∠=⨯;高频考点一：中线长问题角度1：求中线长（或中线长范围，最值）1．（2022·湖南·长郡中学模拟预测）锐角ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且tan tan .cos aB C c B=+ (1)求角C 的大小；(2)若边2c =，边AB 的中点为D ，求中线CD 长的取值范围．2．（2022·河南·安阳一中高一阶段练习）在ABC 中，内角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，222sin sin sin sin sin B C A B C +=+．(1)求A ；(2)若8+=b c ，求ABC 的中线AM 的最小值．第二部分：典 型 例 题 剖 析3．（2022·陕西西安·模拟预测（文））在①()cos2cos A B C =+，②sin cos a C A 这两个条件中任选一个作为已知条件，然后解答问题．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，______． (1)求角A ；(2)若2b =，4c =，求ABC 的BC 边上的中线AD 的长．4．（2022·云南昆明·高一期中）在ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且2a =，222tan 4cos tan a c b A a A B+-=. (1)已知ABC 的面积S 满足2cos S A =，求角A ； (2)若边BC 上的中线为AD ，求AD 长的最小值.角度2：已知中线长1．（2022·辽宁·铁岭市清河高级中学高一期中）在ABC 中，()sin sin sin b B a A b c C =-+ (1)求角A 的大小(2)若BC 边上的中线AD =ABCS =ABC 的周长(1)若ABC 的面积为103，求a ；(2)若AC 边上的中线BD =sin A 的值.3．（2022·河北·模拟预测）已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且()cos (cos cos )a b C c A B +=+. (1)求C ；(2)若AB 边上的中线CD 长为4，求ABC 面积的最大值.4．（2022·浙江省淳安中学高一期中）△ABC 中，角,,A B C 所对的边分别是,,,2cos 2,1a b c a B c b b =+=. (1)求角A ；(2)若BC 边的中线AD △ABC 面积.5．（2022·湖北省通山县第一中学高一阶段练习）ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且()cos cos sin cos b A a B B B +=．(1)求角B ；(2)若角B 的平分线交AC 于点D ，且2DC AD =，AC 边上的中线BE 交AC 于点E ，且BE =ABC 的面积．6．（2022·安徽·砀山中学高一期中）在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，sin cos C c A =，3a =． (1)求A 大小；(2)若BC ，求ABC 的面积．高频考点二：已知角平分线问题角度1：求角平分线长（或角平分线长范围，最值）1．（2022·河北保定·高一阶段练习）记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且cos cos 2cos b C c B a A +=. (1)求A 的大小；(2)若BC A 的角平分线交BC 于点D ，求AD 的最小值.2．（2022·山东师范大学附中高一期中）在ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，b =22cos12BB =+． (1)求角B 的大小及ABC 外接圆的半径R 的值；(2)若AD 是BAC ∠的内角平分线，当ABC 面积最大时，求AD 的长．3．（2022·吉林吉林·模拟预测（文））在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且πsin sin 3a B b A ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.(1)求角A 的大小；(2)若3AB =，1AC =，∠BAC 的内角平分线交BC 于点D ，求AD .4．（2022·湖南衡阳·高一期中）在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知2a = ，(2,sin )m b C =+， (sin sin ,)n A B b c =--，m n ⊥．(1)求A ；(2)若△ABC A 的内角平分线交BC 于D ，求AD ．5．（2022·江苏省沙溪高级中学高一期中）在条件①cos sin sin sin A B A B C =+；cos sin 2A C b A +=；③222sin sin sin sin sin B A C A C =+-中任选一个，补充到下面问题中，并给出问题解答.在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,,4,3a b c a c ==注：若选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. (1)求角B .(2)若BE 为ABC ∠的角平分线，求BE 的长.6．（2022·河南·汝州市第一高级中学模拟预测（文））在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且(1)求角A的大小；(2)若a=32BA AC⋅=，AD是ABC的角平分线，求AD的长.角度2：已知角平分线，求其它元素1．（2022·江苏·南京师大附中模拟预测）在ABC中，内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且满足2tan1tanc A b B=+.(1)求角A；(2)角A的内角平分线交BC于点M，若a=AM=，求sin AMC∠.2．（2022·河南省实验中学高一期中）在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且cos2C＝sin2A+cos2B+sin A sin C．(1)求角B的大小；(2)若b=B的角平分线交AC于D，且BD＝1，求ABC的周长．3．（2022·河南·模拟预测（理））已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，tan tan tan0B C B C++=．(1)求角A的大小；(2)若2BD DC=，AD＝2，且AD平分∠BAC，求△ABC的面积．注：三角形的内角平分线定理：在△PQR中，点M在边QR上，且PM为∠QPR的内角平分线，有PQ QM PR MR=．4．（2022·河北·高三期中）已知ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，满足sin sin 1sin sin sin sin A b BB C b A c B+=++．(1)求角C ；(2)CD 是ACB ∠的角平分线，若CD =ABC 的面积为c 的值．5．（2022·四川·宁南中学高二阶段练习（文））在ABC 中，内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，满足___________. 从①2sin 26a C b c π⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，②cossin 2B C b a B +=这两个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答. (1)求A 的大小；(2)若AE 是的ABC 角平分线，且3b =，2AE =，求ABC 的面积.6．（2022·吉林·模拟预测（理））在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且sin sin 3a B b A π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．(1)求角A 的大小；(2)若3AB =，1AC =，BAC ∠的内角平分线交边BC 于点D ，求AD AC ⋅．7．（2022·河北·邢台市南和区第一中学高一阶段练习）记△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且cos sin B a B -．(1)求A 的大小；(2)若A 的角平分线交BC 于D ，且AD ＝3，求△ABC 面积的最小值．8．（2022·广西·南宁二中高三阶段练习（文））已知△ABC 中，,,a b c 分别为内角,,A B C 的对边，且()()2sin 2sin 2sin a A b c B c b C =+++.(1)求角A 的大小；(2)设点D 为BC 上一点，AD 是ABC 的角平分线，且2AD =，3b =，求ABC 的面积.9．（2022·湖南·岳阳一中一模）已知在ABC 中，三个内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c 2sin 0b A -=. (1)求角B 的大小；(2)若角B 为钝角，且角B 的角平分线与边AC 相交于点D ，满足BD =，求ABC 的面积的最小值.。
三角形的垂线角平分线和中线的关系
三角形的垂线角平分线和中线的关系在几何学中，三角形是指由三个边连接而成的多边形。
三角形具有很多有趣的性质和特点，其中包括垂线、角平分线和中线。
本文将探讨三角形的垂线、角平分线和中线之间的关系。
一、垂线与角平分线的关系1. 垂线的定义与特点垂线是指从一个点到一条线段或直线所作的垂直线。
在三角形中，我们可以通过一个顶点作一条垂线，与对边相交，形成一个直角。
这条垂线被称为该顶点对边的垂线。
2. 角平分线的定义与特点角平分线是指把一个角平分为两个相等角的线段或射线。
在三角形中，我们可以通过一个顶点作一条角平分线，将对边对应的两个角平分为相等的两个角。
3. 垂线与角平分线的关系在三角形中，垂线和角平分线可以有以下关系：（1）垂线和角平分线可以是同一条线段或射线。
当一个顶点上的垂线同时是该顶点角的角平分线时，这条线段或射线既是垂线，又是角平分线。
（2）垂线和角平分线可以相交于一点。
当一个顶点上的垂线和角平分线不是同一条线段或射线时，它们将相交于一点，该点同时是垂线和角平分线的交点。
二、垂线与中线的关系1. 中线的定义与特点中线是指连接一个三角形的一个顶点和中点的线段。
在三角形中，我们可以通过一个顶点作一条中线，将对边对应的两个中点连接起来。
2. 垂线与中线的关系在三角形中，垂线和中线可以有以下关系：（1）垂线和中线可以是同一条线段。
当一个顶点上的垂线同时经过对边的中点时，这条线段既是垂线，又是中线。
（2）垂线和中线可以相交于一点。
当一个顶点上的垂线不经过对边的中点时，它们将相交于一点，该点同时是垂线和中线的交点。
三、角平分线与中线的关系1. 角平分线的定义与特点角平分线是指把一个角平分为两个相等角的线段或射线。
在三角形中，我们可以通过一个顶点作一条角平分线，将对边对应的两个角平分为相等的两个角。
2. 角平分线与中线的关系在三角形中，角平分线和中线可以有以下关系：（1）角平分线和中线可以是同一条线段或射线。
当一个顶点上的角平分线同时经过对边的中点时，这条线段既是角平分线，又是中线。
(完整)全等三角形和角平分线专题讲解和练习题
C EODBA21C EDB A21OA全等三角形专题讲解专题一 全等三角形判别方法的应用专题概说：判定两个三角形全等的方法一般有以下4种： 1．三边对应相等的两个三角形全等（简写成“SSS ”)2．两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等(简写成“SAS"） 3．两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（简写成“ASA ”）4．两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（简写成“AAS"）而在判别两个直角三角形全等时，除了可以应用以上4种判别方法外，还可以应用“斜边、直角边”，即斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（简写成“HL ”）．也就是说“斜边、直角边”是判别两个直角三角形全等的特有的方法，它仅适用于判别两个直角三角形全等．三角形全等是证明线段相等,角相等最基本、最常用的方法，这不仅因为全等三角形有很多重要的角相等、线段相等的特征，还在于全等三角形能把已知的线段相等、角相等与未知的结论联系起来．那么我们应该怎样应用三角形全等的判别方法呢?(1）条件充足时直接应用在证明与线段或角相等的有关问题时，常常需要先证明线段或角所在的两个三角形全等，而从近年的中考题来看，这类试题难度不大，证明两个三角形的条件比较充分．只要同学们认真观察图形，结合已知条件分析寻找两个三角形全等的条件即可证明两个三角形全等．例1 已知:如图1，CE ⊥AB 于点E ，BD ⊥AC 于点D ，BD 、CE 交于点O,且AO 平分∠BAC ．那么图中全等的三角形有___对．图1（2）条件不足,会增加条件用判别方法此类问题实际是指条件开放题，即指题中没有确定的已知条件或已知条件不充分,需要补充使三角形全等的条件．解这类问题的基本思路是：执果索因，逆向思维,逐步分析，探索结论成立的条件,从而得出答案．例2 如图2，已知AB=AD ，∠1=∠2,要使△ABC ≌△ADE,还需添加的条件是（只需填一个）_____． 图2（3）条件比较隐蔽时，可通过添加辅助线用判别方法在证明两个三角形全等时,当边或角的关系不明显时,可通过添加辅助线作为桥梁,沟通边或角的关系，使条件由隐变显，从而顺利运用全等三角形的判别方法证明两个三角形全等．例3 已知:如图3，AB=AC,∠1=∠2． 求证：AO 平分∠BAC ．分析：要证AO 平分∠BAC ，即证∠BAO=∠BCO,要证∠BAO=∠BCO,只需证∠BAO 和∠BCO 所在的两个三角形全等．而由已知条件知，只需再证明BO=CO 即可．图3GABF DEC ODA CBFCEDBA（4）条件中没有现成的全等三角形时，会通过构造全等三角形用判别方法有些几何问题中，往往不能直接证明一对三角形全等，一般需要作辅助线来构造全等三角形．例4 已知：如图4，在Rt △ABC 中,∠ACB=90º，AC=BC ，D 为BC 的中点，CE ⊥AD 于E ，交AB 于F ，连接DF ．求证：∠ADC=∠BDF ．说明：常见的构造三角形全等的方法有如下三种:①涉及三角形的中线问题时，常采用延长中线一倍的方法，构造出一对全等三角形；②涉及角平分线问题时，经过角平分线上一点向两边作垂线，可以得到一对全等三角形；③证明两条线段的和等于第三条线段时，用“截长补短”法可以构造一对全等三角形．（5）会在实际问题中用全等三角形的判别方法新课标强调了数学的应用价值，注意培养同学们应用数学的意识，形成解决简单实际问题的能力﹒在近年中考出现的与全等三角形有关的实际问题,体现了这一数学理念，应当引起同学们的重视．例5 要在湖的两岸A 、B 间建一座观赏桥，由于条件 限制，无法直接度量A ，B 两点间的距离﹒请你用学过的数 学知识按以下要求设计一测量方案﹒（1）画出测量图案﹒（2)写出测量步骤（测量数据用字母表示）﹒ 图5 (3)计算A 、B 的距离(写出求解或推理过程，结果用字母表示)﹒分析：可把此题转化为证两个三角形全等．第(1）题,测量图案如图5所示．第（2）题，测量步骤：先在陆地上找到一点O ，在AO 的延长线上取一点C ，并测得OC=OA ，在BO 的延长线上取一点D ，并测得OD=OB,这时测得CD 的长为a ，则AB 的长就是a ．第（3)题易证△AOB ≌△COD ，所以AB=CD ，测得CD 的长即可得AB 的长．解：（1)如图6示．(2)在陆地上找到可以直接到达A 、B 的一点O,在AO 的延长线上取一点C ，并测得OC ＝OA ，在BO 的延长线上取一点D ，并测得OD ＝OB,这时测出CD 的长为a ，则AB 的长就是a ．（3)理由：由测法可得OC=OA ，OD=OB ． 又∠COD=∠AOB ，∴△COD ≌△AOB ．∴CD=AB=a ． 图6评注：本题的背景是学生熟悉的,提供了一个学生动手操作的机会，重点考查了学生的操作能力,培养了 学生用数学的意识﹒练习:1．已知：如图7，D 是△ABC 的边AB 上一点,AB ∥FC ，DF 交AC 于点E ，DE=FE ． 求证：AE=CE ．C ED B AAO Q M CPBN A D C PBHF EGAD CBADCFBEA2．如图8，在△ABC 中，点E 在BC 上,点D 在AE 上，已知∠ABD=∠ACD ，∠BDE=∠CDE ．求证：BD=CD ．3．用有刻度的直尺能平分任意角吗？下面是一种方法:如图9所示，先在∠AOB 的两边上取OP=OQ ，再取PM=QN,连接PN 、QM,得交点C ，则射线OC 平分∠AOB ．你能说明道理吗？4．如图10，△ABC 中，AB=AC,过点A 作GE ∥BC ，角平分线BD 、CF 相交于点H ，它们的延长线分别交GE 于点E 、G ．试在图10中找出3对全等三角形,并对其中一对全等三角形给出证明．5．已知:如图11，点C 、D 在线段AB 上，PC=PD ．请你添加一个条件，使图中存在全等三角形,并给予证明．所添条件为__________,你得到的一对全等三角形是△_____≌△_____．6．如图12，∠1=∠2，BC=EF ，那么需要补充一个直接条件_____（写出一个即可）,才能使△ABC ≌△DEF ．7图13，在△ABD 和△ACD 中，AB=AC,∠B=∠C ．求证：△ABD ≌△ACD ．AODCBAFCGBEAF DCB EOED218．如图14，直线AD与BC相交于点O，且AC=BD，AD=BC．求证：CO=DO．9．已知△ABC，AB=AC，E、F分别为AB和AC延长线上的点，且BE=CF，EF交BC于G．求证:EG=GF．10．已知：如图16，AB=AE，BC=ED，点F是CD的中点，AF⊥CD．求证：∠B=∠E．11．如图17，某同学把一把三角形的玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块大小形状完全一样的玻璃，那么最省事的办法是(）﹒（A）带①和②去 (B）带①去（C)带②去（D）带③去12．有一专用三角形模具，损坏后，只剩下如图18中的阴影部分，你对图中做哪些数据度量后，就可以重新制作一块与原模具完全一样的模具，并说明其中的道理．13．如图19，将两根钢条AA’、BB’的中点O连在一起,使AA’、BB’可以绕着点O自由转动，就做成了一个测量工件,则A' B'的长等于内槽宽AB，那么判定△OAB≌△OAB的理由是（ )（A)边角边（B）角边角（C）边边边（D）角角边专题二角的平分线从一个角的顶点出发,把一个角分成相等的两个角的射线,叫做这个角的平分线．角的平分线有着重要的作用，它不仅把角分成相等的两部分,而且角的平分线上的点到角两边的距离相等，到一个角的两边距离相等的点在这个角的平分线上，再加上角的平分线所在的直线是角的对称轴．因此当题目中有角的平分线时，可根据角的平分线性质证明线段或角相等,或利用角的平分线构造全等三角形或等腰三角形来寻找解题思路．(1)利用角的平分线的性质证明线段或角相等F ED CB A 21A FH DCGBEADCBE AF DC BE C E D例6 如图20，∠1＝∠2，AE ⊥OB 于E ， BD ⊥OA 于D ，交点为C ．求证：AC=BC ．说明：本题若用全等方法证明点C 到OA 、OB 距离相等,浪费时间和笔墨，不如直接应用角平分线性质证明，原因在于同学们已经习惯了用全等的方法,不善于直接应用定理，仍去找全等三角形，结果相当于重新证明了一次定理，以后再学新定理,应用时要注意全等定势的干扰，注意采用简捷证法． 例7 已知:如图21,△ABC 中, BD=CD ，∠1＝∠2．求证：AD 平分∠BAC ．说明：遇到有关角平分线的问题时，可引角的两边的垂线，先证明三角形全等，然后根据全等三角形的性质得出垂线段相等，再利用角的平分线性质得出两角相等．（2）利用角的平分线构造全等三角形 ①过角平分线上一点作两边的垂线段例8 如图22，AB ∥CD ，E 为AD 上一点，且BE 、CE 分别平分∠ABC 、∠BCD ． 求证：AE=ED ．分析：由于角平分线上一点到角的两边的距离相等，而点E 是两条角平分线的交点，因此我们自然想到过点E 分别作AB 、BC 、CD 的垂线段．②以角的平分线为对称轴构造对称图形例9 如图23，在△ABC 中,AD 平分∠BAC,∠C=2∠B ．求证：AB=AC+CD ．分析：由于角平分线所在的直线是这个角的对称轴，因此在AB 上截取AE=AC,连接DE ，我们就能构造出一对全等三角形，从而将线段AB 分成AE 和BE 两段，只需证明BE=CD 就可以了．③延长角平分线的垂线段，使角平分线成为垂直平分线 例10 如图24,在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，CE ⊥AD 于E ． 求证：∠ACE=∠B+∠ECD ．分析：注意到AD 平分∠BAC ，CE ⊥AD ，于是可延长CE 交AB 于点F,即可构造全等三角形．．（3）利用角的平分线构造等腰三角形如图25,在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，过点D 作DE ∥AB ，DE 交AC 于点E ．易证△AED 是等腰三角形． 因此，我们可以过角平分线上一点作角的一边的平行线，构造等腰三角形．CF E BADQPCBACB AD EA例11 如图26，在△ABC 中，AB=AC,BD 平分∠ABC ，DE ⊥BD 于D ，交BC 于点E ．求证：CD=21BE ．分析：要证CD=21BE ，可将BE 分成两条线段，然后再证明CD 与这两条线段都相等．练习：1．如图27，在△ABC 中，∠B=90º,AD 为∠BAC 的平分线，DF ⊥AC 于F,DE=DC ．求证：BE=CF ．2．已知:如图28，AD 是△ABC 的中线,DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F ，且BE=CF ．求证：（1）AD 是∠BAC 的平分线；（2）AB=AC ．3．在△ABC 中,∠BAC=60º，∠C=40º，AP 平分∠BAC 交BC 于P,BQ 平分∠ABC 交AC 于Q ． 求证：AB+BP=BQ+AQ ．4．如图30，在△ABC 中,AD 平分∠BAC ，AB=AC+CD ． 求证：∠C=2∠B ．5．如图31，E 为△ABC 的∠A 的平分线AD 上一点，AB ＞AC ． 求证:AB —AC ＞EB-EC ．CB AD 4321C E BADF CE BAD CEBADCBADACBD6．如图32,在四边形ABCD 中，BC ＞BA ，AD=CD ，BD 平分∠ABC ． 求证：∠A+∠C=180º．7．如图33所示，已知AD ∥BC ，∠1=∠2,∠3=∠4,直线DC 过点E 作交AD 于点D ，交BC 于点C ．求证：AD+BC=AB ．8．已知,如图34，△ABC 中，∠ABC=90º，AB=BC,AE 是∠A 的平分线,CD ⊥AE 于D ．求证:CD=21AE ．9．△ABC 中，AB=AC,∠A=100º，BD 是∠B 的平分线．求证：AD+BD=BC ．10．如图36，∠B 和∠C 的平分线相交于点F ，过点F 作DE ∥BC 交AB 于点D ，交AC 于点E ，若BD+CE=9，则线段DE 的长为（ )A ．9B ．8C ．7D ．611．如图37，△ABC 中，AD 平分∠BAC ，AD 交BC 于点D ，且D 是BC 的中点．求证：AB=AC ．A CF E B M D12．已知：如图38，△ABC 中，AD 是∠BAC 的平分线，E 是BC 的中点，EF ∥AD ，交AB 于M ，交CA 的延长线于F ．求证：BM=CF ．。
角平分线、中点专题
BA DBC【例题讲解】（一）过角平分线上一点向角两边作垂线段，利用角平分线上的点到角两边距离相等去作题．1．如图在四边形ABCD 中，BC>BA ，AD=DC ，BD 平分∠ABC ． 求证：︒=∠+∠180C A .2．已知：如图，在∆ABC 中，∠A=90°，AB=AC ，∠1=∠2，求证：BC=AB+AD ． 3．如图，□ABCD 中，E 是DC 上一点，F 是AD 上一点，AE 交CF 于点O ，且AE=CF.求证：OB 平分AOC ∠.（二）有和角平分线垂直的线段时，把它延长可得到中点或相等的线段，从而与三角形中位线或三角形全等建立起联系．4．已知：如图，∠1=∠2，AB ﹥AC ，CD ⊥AD 于D ，H 是BC 中点， 求证：DH=21（AB －AC ）． 5．已知：如图，AB=AC ，∠BAC=90°，∠1=∠2，CE ⊥BE ，求证：BD=2CE ．（三）有角平分线时，常作平行线，构造等腰三角形。
（角平分线+平行线⇒三角形.）6．已知：如图，)(AC AB ABC ≠∆中，D 、E 在BC 上，且DE=EC ，过D 作DF ∥AB,交AE 于点F ，DF=AC.求证：AE 平分BAC ∠. （四）作斜边中线，利用斜边中线性质解题7.如图，在ABC Rt ∆中，AB=AC ，︒=∠90BAC ，O 为BC 的中点. ①写出点O 到ABC ∆的三个顶点A 、B 、C 的距离的关系（不变证明）②如果点N 、M 分别在线段AB 、AC 上移动，在移动中保证AN=BM ，请判断OMN 的形状，并证明你的结论.M（五）有底中点，连中线，利用等腰三角形三线合一性质证题8.已知：如图，矩形ABCD ，E 为CB 延长线上一点，且AC=CE ，F 为AE 中点， 求证：FD BF ⊥.（六）有中线时可延长中线，构造全等三角形或平行四边形：9．已知：如图，AD 为ABC ∆中线，求证：AD AC AB 2>+.10.已知：如图，在ABC ∆中，︒=∠90C ，M 为AB 中点，P 、Q 分别在AC 、BC 上，且QM PM ⊥于M.求证：222BQ AP PQ +=.11．已知：如图，ABC ∆的边BC 的中点为N ，过A 的任一直线BD AD ⊥于D ，AD CE ⊥于E.求证：NE=ND.（七）有中点，造中位线12.如图，在ABC ∆中，AD 是BC 边上的高，B C ∠=∠21，点E 为BC 的中点， 求证：AB=2DE.M13.已知：如图，E 、F 分别为四边形ABCD 的对角线中点，AB>CD.求证：()CD AB EF ->21.（八）与梯形中点有关的辅助线：①有腰中点时，常见以下三种引辅助线法14.已知：如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，DC AB >，M 为AD 中点，且CM BM ⊥. 求证：（1）BM 平分ABC ∠，CM 平分DCB ∠.（2）BC CD AB =+.15.已知：如图，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，BC AB ⊥，M 为CD 的中点.求证：AM=MB.ADFEBCB（1B（2GB（3B【随堂练习】1.如图，△ABC为等边三角形，D、F分别是BC、AB上的点，且CD=BF，以AD为边作等边△ADC．(1)求证：△ACD≌△CNBF；(2)当D在线段BC上何处时，四边形CDEF为平行四边形，且∠DEF=30°?证明你的结论．2、如图，在△ABC中，∠C=90°，点M在BC上，且BM＝AC，N在AC上，且AN=MC，AM与BN相交于P，求证：∠BPM=45°．3.如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠C=60°，BC＝2，D是AC的中点，以D作DE⊥AC与CB 的延长线交于E，以AB、BE为邻边作长方形ABEF，连结DF，求DF的长．例1.如图，在矩形ABCD中，已知AD=12，AB=5，P是AD边上任意一点，PE⊥BD于E，PF⊥AC于F，那么PE+PF的值为．例2.△ABC中，点O是AC边上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F．(1)求证：CO＝FO；(2)当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形?并证明你的结论．(3)当△ABC满足什么条件时，四边形AECF是正方形?AD ，BE∥AC，DE交AC的延长线于F点，交BE于E点.（1）求证：例3.如图，ABCD为平行四边形，aDF=FE；（2）若AC=2CF，∠ADC=60°，AC⊥DC，求BE的长；（3）在（2）的条件下，求四边形ABED的面积.例4.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=2，BC=3．D是BC边上一点，直线DE⊥BC于D，交AB于E，CF ∥AB交直线DF于F．设CD=x．（1）当x取何值时，四边形EACF是菱形？请说明理由；（2）当x取何值时，四边形EACD的面积等于2？例5.阅读下面短文：如图1，△ABC是直角三角形，∠C=90°，现将△ABC补成矩形，使△ABC的两个顶点为矩形一边的两个端点，第三个便点落在矩形这一边的对边上，那么符合要求的矩形可以画出两个：矩形ACBD和矩形AEFB(如图2)．解答问题；(1)设图2中矩形ACBD和矩形AEFB的面积分别为S l、S2，则S1 S2(填“>”，“=”或“<”)；(2)如图3，△ABC是钝角三角形，按短文中的要求把它补成矩形，那么符合要求的矩形可以画出个，利用图3把它画出来；(3)如图4，△ABC是锐角三角形且三边满足BC>AC>AB，按短文中的要求把它补成矩形，则符合要求的矩形可以画出个，利用图4把它画出来；(4)在(3)中所画出的矩形中，哪一个的周长最小?为什么?【随堂练习】1．如图，BD是平行四边形ABCD的对角线，点E、F在BD上，要使四边形AECF是平行四边形，还需要增加的一个条件是C BAM2．(1)如图，已知矩形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于O ，AE ⊥BD 于E ，若∠DAE ：∠BAE ＝3：1，则∠CAC ＝ ； (2)矩形的一个角的平分线分矩形一边为lcm 和3cm 两部分，则这个矩形的面积为_______cm 2．3．如图，以△ABC 的三边为边在BC 的同一侧分别作三个等边三角形，即△ABD 、 △BCE 、△ACF ．(1)四边形ADEF 是 ； (2)当△ABC 满足条件 时，四边形ADEF 为矩形； (3)当△ABC 满足条件 时，四边形ADEF 不存在．4．已知一个三角形的一边长为2，这边上的中线为1，另两边之和为1+3，则这两边之积为 ．5．如图，ABCD 中，M 是AB 上的一点，连结CM 并延长交DA 的延长线于P ，交对角线BD 于N ，求证：NP MN CN ⋅=218．如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B=∠ACD ⑴请再写出图中另外一对相等的角；⑵若AC=6，BC=9，试求梯形ABCD 的中位线的长度。
冀教版七年级下册数学第9章 三角形 三角形的角平分线、中线和高(2)
2
2
1
1
5 24
2 7
2 7
5
2
2
解：∵BD⊥AC，∴∠ADB＝90°. 又∵∠A＝55°， ∴∠ABD＝180°－∠ADB－∠A＝35°. ∵CE⊥AB，∴∠BEH＝90°. ∴∠BHC＝∠BEH＋∠ABD＝90°＋35°＝125°.
(2)若AC＝6，BD＝4，AB＝5，求CE的长.
解：∵BD⊥AC，CE⊥AB，
∴S△ABC＝ AC·BD＝ AB·CE.
=
12.【荣德原创】如图，∠1＝∠2，∠3＝∠4，以线段AE为角平分线的
三角形有( )
A.3个
B.2个
B
C.1个
D.0个
13.如图，已知AE平分∠BAC，BE⊥AE于E，ED∥AC，若∠BAE＝36°， 则∠BED为( )
A.136°B.126°C.124°D.114°
【点拨】∵AE平分∠BAC，∴∠CAE＝∠BAE＝36°. ∵ED∥AC，∴∠CAE ＋∠DEA＝180°. ∴∠DEA＝180°－36°＝144°. ∵BE⊥AE， ∴∠AEB＝90°. ∵∠AED＋∠AEB＋∠BED＝360°， ∴∠BED＝360°－144°－90°＝126°. 故选B.
冀教版七年级下
第九章 三角形
9.3三角形的角平分线、中线和高
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1A 2C 3C 4B 5D
6B 7D 8A 9B 10 C
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11 = 12 B 13 B 14 见习题 15 见习题
16 见习题 17 见习题 18 见习题
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2：三角形的高,中线和角平分线讲义
龙文教育学科教师辅导讲义
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科目：
第
阶段第
次课
教师：
教学目标
重点、难点
考点及考试要求
教学内容
三角形的角平分线、中线、高
一：三角形的角平分线 三角形一个角的角平分线和这个角的对边相交，这个角的顶点和对边交点之间的_________（选填“直线” 、 “线段”或“射线” ）叫做三角形中这个角的角平分线。简称三角形的角平分线。 如图，画∠A 的平分线 AD，交∠A 所对的边 BC 于点 D，所得线段_________叫做△ABC 的角平分线,表示为∠ _____=∠_____＝1/2_____或 2∠_____=2∠_____＝∠_____。
0
C
E D
B
课后练习： 1、分别在下列锐角三角形、直角三角形、钝角三角形中画出所有的高。
4
龙文教育·教务管理部
龙文教育-----您值得信赖的专业化个性化辅导学校 2、三角形的三条中线、三条角平分线、三条高都是（ ） A．直线 B．射线 C．线段 D．射线或线段 3、如果一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点，那么这个三角形是（ ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定 4、能把三角形的面积分成两个相等的三角形的线段是（ ） A．中线 B．高 C．角平分线 D．以上三种情况都正确 5、如图若∠BAF=∠CAF，则____是△ABD 的角平分线，____是△ABC 的角平分线 6、如图 AB⊥AC，则 AB 是△ABC 的边____上的高，也是△BDC 的边______上的高，也是△ABD 的边____上的高.
A
相等的三角形。即△ABD 与△ACD 面积相等。
三角形的角平分线与中线
三角形的角平分线与中线角平分线与中线是三角形中两个重要的概念，它们与三角形的内部构造和性质密切相关。
本文将就角平分线与中线的定义、性质以及它们在三角形中的应用进行探讨。
一、角平分线角平分线是指将一个角分为两个相等的角的线段。
以∠BAC为例，角平分线分别为BD和CE，在角平分线上的点D和E将角BAC平分为两个相等的角。
角平分线的性质有以下几点：1. 角平分线上的点到角的两边距离相等。
当点D和E分别在角BAC的两边BA和CA上时，有两个三角形BDA和CEA。
根据三角形中的基本性质，可以得到∠ABD ≌∠ACD和∠CBE ≌∠BAE。
在平行线段上的两点之间的距离是相等的，所以BD = CD，CE = AE。
2. 角平分线与角的另一边相交，将该角分为两个相等的角。
以角平分线BD为例，∠ABD ≌∠ACD。
同理，以角平分线CE为例，∠CBE ≌∠BAE。
3. 三角形中的三个内角的角平分线交于一点。
以三角形ABC为例，角平分线AD、BE和CF交于一点O。
点O称为三角形ABC的内心。
内心是三角形中心的一种，具有独特的性质。
二、中线中线是指经过三角形两个顶点之一的线段与对边中点连接而成的线段。
以∆ABC为例，中线AD连接点A和边BC的中点D，中线BE连接点B和边AC的中点E，中线CF连接点C和边AB的中点F。
中线的性质有以下几点：1. 三角形中的三条中线交于一点。
以∆ABC为例，中线AD、BE和CF交于一点G。
点G称为三角形ABC的重心。
重心是三角形中心的一种，具有独特的性质。
2. 中线的长度等于对边的一半。
以中线AD为例，AD = 1/2BC。
同理，BE = 1/2AC，CF = 1/2AB。
3. 重心将中线分成2：1的比例。
以∆ABC为例，BG:GE = CG:GF = 2:1。
这意味着BG和CG是GE和GF的2倍。
三、角平分线与中线的应用角平分线和中线在三角形中有广泛的应用，具体包括以下几个方面：1. 定位角平分线和中线的交点，确定三角形的内心和重心。
决战中考之三角形专项突破专题02 三角形中线段的问题(学生版)
专题02 三角形中线段的问题知识对接考点一、三角形中的线段三角形中的四条特殊的线段是：高线、角平分线、中线、中位线.1．内心：三角形角平分线的交点，是三角形内切圆的圆心，它到各边的距离相等.2．外心：三角形三边垂直平分线的交点，是三角形外接圆的圆心，它到三个顶点的距离相等. 3．重心：三角形三条中线的交点，它到每个顶点的距离等于它到对边中点距离的2倍.4．垂心：三角形三条高线的交点.5．三角形的中位线：连结三角形两边中点的线段是三角形的中位线.中位线定理：三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半.要点补充：(1)三角形的内心、重心都在三角形的内部.(2)钝角三角形的垂心、外心都在三角形的外部.(3)直角三角形的垂心为直角顶点，外心为直角三角形斜边的中点.(4)锐角三角形的垂心、外心都在三角形的内部.专项训练一、单选题1．（2021·湖南长沙·）如图，一扇窗户打开后，用窗钩AB可将其固定，这里所运用的几何原理是（）A ．两点确定一条直线B ．两点之间线段最短C ．三角形的稳定性D ．垂线段最短2．（2021·浙江）如图，在矩形ABCD 中，点F 为边AD 上一点，过F 作//EF AB 交边BC 于点E ，P 为边AB 上一点，PH DE ⊥交线段DE 于H ，交线段EF 于Q ，连接DQ ．当AF AB =时，要求阴影部分的面积，只需要知道下列某条线段的长，该线段是（ ）A ．EFB ．DEC ．PHD ．PE3．（2021·上海金山·九年级二模）已知三条线段长分别为2cm 、4cm 、acm ，若这三条线段首尾顺次联结能围成一个三角形，那么a 的取值可以是（ ）A ．1cmB ．2cmC ．4cmD ．7cm4．（2021·青海西宁·九年级一模）下列事件中，属于必然事件的是（ ）A ．某个数的绝对值大于0B ．a -一定是负数C ．五边形的外角和等于540︒D ．长分别为3,4,6的三条线段能围成一个三角形5．（2021·江苏九年级专题练习）下列说法正确的是（ ）．A ．方差越大，数据波动越小B ．两直线平行，同旁内角相等C ．长为3cm ，3cm ，5cm 的三条线段可以构成一个三角形* 本号资料皆来源于微信公众号：数学第六感D ．学校在初三3100名同学中随机抽取300名同学进行体考成绩调查，300名同学为样本 6．（2021·江苏九年级一模）下列长度的三条线段，不能组成三角形的是（ ） 本号资料皆来源于微信@公众号：数学第六感A ．3，7，5B ．4，8，5C ．5，12，7D ．7，13，8 7．（2021·全国）如图，已知在Rt ABC 中，90C ∠=︒，点G 是ABC 的重心，GE AC ⊥，垂足为E ，如果8CB =，则线段GE 的长为（ ）A．53B．73C．83D．1038．（2021·山东）现有4条线段，长度依次是2、4、6、7，从中任选三条，能组成三角形的概率是（）A．14B．12C．35D．349．（2021·全国）若平行四边形的两条对角线长为6 cm和16 cm，则下列长度的线段可作为平行四边形边长的是( )A．5cm B．8cm C．12cm D．16cm 10．（2021·福建）如图，AD经过ABC的重心，点E是AC的中点，过点E作//EG BC交AD 于点G，若12BC ，则线段GE的长为（）A．6B．4C．5D．3二、填空题11．（2021·靖江市靖城中学九年级一模）过△ABC的重心G作GE△BC交AC于点E，线段BC＝12，线段GE长为________．12．（2021·沙坪坝·重庆一中九年级三模）从长度分别为1，3，5，6的四条线段中，随机抽取两条线段，与长度为8的线段恰好能围成三角形的概率是______．13．（2021·扬州中学教育集团树人学校）如图，在Rt△ABC中，AC＝BC＝2，△ACB＝90°，正方形BDEF BDEF绕点B旋转一周，连接AE，点M为AE的中点，连接FM，则线段FM的最大值是___．14．（2021·浙江杭州市·九年级模拟预测）如果从长度分别为2、4、6、7的四条线段中随机抽取三条线段，那么抽取的三条线段能构成三角形的概率是_______．15．（2021·湖北襄阳市·）从长度分别为1、3、5、7的四条线段中任选三条作边，能构成三角形的概率为_______________．三、解答题16．（2021·江苏泰州中学附属初中九年级三模）如图，已知抛物线2y x mx n =-++和直线y x =，抛物线顶点为A ，与y 轴交点为B ，直线y x =与抛物线对称轴交于点C ．（1）抛物线顶点坐标为 （用m ，n 表示），（2）当抛物线的顶点落在直线21y x =+上时，求n 的最大值．（3）若四边形ABOC 为平行四边形△求m 的值．△若直线y x =与抛物线在对称轴右侧部分的交点为D ，当BOD 为直角三角形时，求n 的值．△过C 点作线段CE AC ⊥，设CE=a ，是否存在实数a 值使ACE 的重心恰好落在抛物线上，若存在直接写出a 和n 的关系式，若不存在，请说明理由．17．（2021·广西南宁十四中九年级）如图，在平面直角坐标系中，已知ABC 的三个顶点坐标分别是()2,2A 、()4,0B 、()4,4C -．（1）请画出ABC 绕点A 顺时针旋转90 得到的11AB C △；（2）若点D 在线段11B C 上，且直线AD 将11AB C △分成面积相等的两部分，请画出线段AD ，并写出D 的坐标．18．（2021·陕西西安·）问题提出（1）如图△，在Rt △ABC 中，△A ＝90°，AB ＝3，AC ＝4，在BC 上找一点D ，使得AD 将△ABC分成面积相等的两部分，作出线段AD ，并求出AD 的长度； 本号资料@皆来源于微信公众号：数#学第六感问题探究（2）如图△，点A 、B 在直线a 上，点M 、N 在直线b 上，且a △b ，连接AN 、BM 交于点O ，连接AM 、BN ，试判断△AOM 与△BON 的面积关系，并说明你的理由；解决问题（3）如图△，刘老伯有一个形状为筝形OACB 的养鸡场，在平面直角坐标系中，O （0，0）、A （4，0）、B （0，4）、C （6，6），是否在边AC 上存在一点P ，使得过B 、P 两点修一道笔直的墙（墙的宽度不计），将这个养鸡场分成面积相等的两部分？若存在，请求出直线BP 的表达式；若不存在，请说明理由．19．（2021·陕西九年级一模）问题提出：（1）如图1，在△ABC 中，已知AB ＝AC ＝5，BC ＝4，在BC 上找一点D ，使得线段AD 将△ABC 分成面积相等的两部分，画出线段AD ，并写出AD 的长为 ．问题探究：（2）如图2，点D是△ABC边AC上一定点，在BC上找一点E，使得线段DE将△ABC 分成面积相等的两部分，并说明理由．问题解决：（3）如图3，四边形ABCD是西安市高新区新近改造过程中的一块不规则空地，为了美化环境，市规划办决定在这块地里种植两种花卉，打算过点C修一条笔直的通道，以便市民出行观赏花卉，要求通道两侧种植花卉的面积相等，经测量AB＝20米，AD＝100米，△A ＝60°，△ABC＝150°，△BCD＝120°，若将通道记为CF，请你画出通道CF，并求出通道CF的长．20．（2021·泗水县教育和体育局教学研究中心）（数学经验）三角形的中线的性质：三角形的中线等分三角形的面积．（经验发展）面积比和线段比的联系：（1）如图1，M为△ABC的AB上一点，且BM=2AM．若△ABC的面积为a，若△CBM的面积为S，则S=_______(用含a的代数式表示)．（结论应用）（2）如图2，已知△CDE的面积为1，14CDAC=，13CECB=，求△ABC的面积．（迁移应用）（3）如图3．在△ABC中，M是AB的三等分点(13AM AB=)，N是BC的中点，若△ABC的面积是1，请直接写出四边形BMDN的面积为________．21．（2021·江苏南京·）已知线段AB与点O，利用直尺和圆规按下列要求作△ABC（不写作法，保留作图痕迹）．（1）在图△中，点O是△ABC的内心；（2）在图△中，点O是△ABC的重心．22．（2021·陕西九年级二模）（1）如图1，AB是△○的弦，点P在△○上，当△P AB是直角三角形时，请在图1中画出点P的位置；（2）如图2，△○的半径为4，A、B为△○外固定两点（O、A、B三点不在同一直线上），OA=，P为△○上的一个动点（点P不在直线AB上），以PA和AB为邻边作平行四边形且8P ABC，求BC最小值；（3）如图3，A、B是△○上的两个点，过A点作射线AM AB⊥，AM交△○于点C，若3AB=，AC=，点D是平面内的一个动点，且24CD=，E为BD的中点，在点D的运动过程中，求线段AE长度的最大值与最小值．23．（2021·黑龙江九年级一模）如图，网格中每个小正方形的边长均为1，线段AB的两个端点均在小正方形的顶点上．（1）在图中确定点C，点C在小正方形的顶点上，请你连接CA，CB，BC＝；（2）在（1）确定点C后，在网格内确定点D，点D在小正方形的顶点上，请你连接CD，BD，CD△AB，△CDB的面积为6，直接写出△CBD的正切值．。
2三角形的高、中线与角平分线
外部
议一议
钝角三角形的三条高
A F B C
钝角三角形的三条高 交于一点吗？
钝角三角形的三条 高不交于一点
钝角三角形的三条高：“谁 说我们不交于一点，我们以 自己的方式相交”
D
E
O
钝角三角形的三条高所在直线 交于一点，交点在三角形外部
从三角形中的一个顶点向它的对边所在直线作垂线， 顶点和垂足之间的线段 叫做三角形的高。 三角形的三条高的特性：
D ∠ 1= ∠ 2
C
注意
!
“三角形的角平分线”是一条线段
做一做
p124
三角形的角平分线
每人准备锐角三角形、钝角三角形和直角三角形 纸片各一个。 (1) 分别画出这三个三角形的三条角平分线吗? (2) 在每个三角形中，这三条角平分线之间有怎样 的位置关系?
三角形的三条角平分线交于同一点.
议一议
三角形的中线
直角三角形的三条高 交于直角顶点.
B 直角边BC边上的高是 AB边 ; 直角边AB边上的高是 BC边 ;
D C
钝角三角形的三条高
作BC边上的高， BC边不 够长怎么办？ 把CB延长 为了便于画出AB边上的高， 需要把AB延长 A
做一做
在纸上画出一个钝角三角形，画出钝角三角形的高
F
D B E C
BC边上的高是在三角形的内 部还是外部?
在三角形中，连接一个顶点与它对边中 点的线段，叫做这个三角形的中线 A 如图右图AE是BC边上的中线 “三角形的中线”也是 一条线段。
B
E BE=EC
C
(1) 在纸上画出一个锐角三角形试 画出它的三条中线.
三角形的三条中线
(2) 试画钝角三角形和直角三角形的三条中线
1.2 三角形的角平分线和中线
∵AD是△ ABC的 高线
∴∠ADB =90o
B
D
C
特点一：个（三1）角三形角有形几的条高高线线是?有一什条么线特段点；？
（(三2条）三) 为角了形将这的三条高高加必以区过别顶，我点们把垂AD直称为于BC对边上边的高；。
用三角尺分别作如下锐角三角形ABC,直角三 角形DEF和钝角三角形PQR的各边上的高.
（2）为了三将角这三形条的角平角分平线加分以线区别仍，我具们有把A角D称平为分∠B线AC的的角基平分本线性。 质。
一个三角形有几条角平分线？ (三条)
请画出这个三角形的另外两 A
F
E
条角平分线,你发现了什么？
B
D
C
三角形的三条角平分线交于一点． 称之为三角形的内心．
如图，在ΔABC中，∠ACB=90°， CE是ΔABC的角平分线，已知 ∠CEB=110°，求∠A和∠B的度数。
A D
B
C
2、若要求分成3个？4个呢？又该怎样分？ 3、能发现把一个三角形分成面积相等的无 数个三角形的方法吗？
复习：过点A做BC的垂线，垂足为D。
A
B
D
C
过三角形的一个顶点，你能画出它的对边的垂线吗？
A
B
C
D
三角形的高的定义：
从一个顶点向它的对边所在的直线做垂线，顶
点与垂足之间的线段称为三角形的高。
如图，AD是△ABC的BC边上的高线，是一条线段； AD所在的直线是BC边过A点的垂线。
3
夹钝角两边上的高 在三角形外部，另 一条高在内部
①在相应顶点的对 边的延长线上 ②在钝角的对边上
在三角形外部
D P
E
FQ
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三角形的高、中线与角平分线专题(含答案)
11.1.2三角形的高、中线与角平分线一、选择题1.以下说法正确的有() ①三角形的中线、角平分线都是射线; ②三角形的三条高所在直线相交于一点; ③三角形的三条角平分线在三角形内部交于一点; ④三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分; ⑤直角三角形的三条高相交于直角顶点．A.5个B.4个C.3个D.2个2.如图所示，CD、CE、CF分别是△ABC的高、角平分线、中线，则下列各式中错误的是()A.BA=2BFB.∠ACE=12∠ACBC.AE=BED.CD⊥AB3.画△ABC中AB边上的高，下列画法中正确的是()A. B. C. D.4.如图，AC⊥BC于点C，CD⊥AB于点D，则图中可以作为三角形“高”的线段有()A.1条B.2条C.3条D.5条5.若AD是△ABC的中线，下列结论错误的是()A.AB=BCB.BD=DCC.AD平分BCD.BC=2DC6.如图，△ABC中AB边上的高线是()A.线段DAB.线段CAC.线段CDD.线段BD7.如图，AD，BE，CF依次是△ABC的高、中线和角平分线，下列各式中错误的是()A.AE=CEB.∠ADC=90∘C.∠CAD=∠CBED.∠ACB=2∠ACF8.如图，在△ABC中，D，E，F分别是BC，AD，CE的中点，S△ABC=4cm2，则S△BEF等于()A.2cm2B.1cm2C.12cm2D.14cm29.如果AD是△ABC的中线，那么下列结论： ①BD=12CB; ②AB=AC; ③S△ABD=S△ACD.其中一定成立的有()A.3个B.2个C.1个D.0个10.如图，已知P是△ABC的重心，连接AP并延长交BC于点D，若△ABC的面积为20，则△ADC的面积为()A.10B.8C.6D.511.填空：(1)如图(1)，AD，BE，CF是△ABC的三条中线，则AB=2，BD=，AE=12．(2)如图(2)，AD，BE，CF是△ABC的三条角平分线，则∠1=∠，∠3=12，∠ACB=2．12.如图，AB⊥BD于点B，AC⊥CD于点C，且AC与BD交于点E.已知AE=5，DE=2，CD=95，则AB的长为．13.若AD是△ABC的高，∠BAD=70∘，∠CAD=20∘，则∠BAC的度数为．14.如图，在△ABC中，CD平分∠ACB，DE//BC，交AC于点E.若∠AED=50°，则∠D的度数为______．15.如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为点D，EC⊥BC交AB于点E，CF⊥AB，垂足为点F，BG⊥AC，垂足为点G．(1)分别写出△ABC各条边上的高；(2)CF是哪几个三角形的高？16.如图，D是△ABC中BC边上的一点，DE//AC交AB于点E，若∠EDA=∠EAD，试说明AD是△ABC的角平分线．17.如图，在△ABC中，AB=2，BC=4.△ABC的高AD与CE的比是多少？(提示：利用三角形的面积公式．)18.如图所示，已知AD，AE分别是△ABC的高和中线，AB=6cm，AC=8cm，BC=10cm，∠CAB=90∘.试求：(1)AD的长;(2)△ABE的面积;(3)△ACE与△ABE的周长的差．19.如图，AD是△ABC的角平分线．DE // AC，DE交AB于点E，DF // AB，DF交AC于点F.图中∠1与∠2有什么关系？为什么？20.在如图所示的方格纸中，每个小正方形的边长均为1，点A，点B，点C均在小正方形的顶点上．(1)画出△ABC中BC边上的高AD;(2)画出△ABC中AC边上的中线BE;(3)直接写出△ABE的面积为．11.1.2三角形的高、中线与角平分线1.【答案】B2.【答案】C3.【答案】C4.【答案】D5.【答案】A6.【答案】C7.【答案】C8.【答案】B9.【答案】B10.【答案】A11.【答案】AF或BFCDAC∠2∠ABC∠4或∠ACF12.【答案】9213.【答案】90∘或50∘14.【答案】25°15.【答案】解：(1)由题意，可得△ABC中，AB边上的高是CF，BC边上的高是AD，AC边上的高是BG；(2)∵CF⊥AB，垂足为点F，∴CF是△BCF，△BCE，△BCA，△FCE，△FCA，△ECA的高．16.【答案】解：∵DE//AC，∴∠ADE=∠CAD，∵∠EDA=∠EAD，∴∠CAD=∠EAD，∴AD是△ABC的角平分线．17.【答案】解：∵AD和CE分别是△ABC边BC和边AB上的高，∴S△ABC=12BC·AD=12AB·CE，即2AD=CE，．18.【答案】解：(1)∵∠BAC=90∘，AD是边BC上的高，∴12AB⋅AC=12BC⋅AD，∴AD=AB⋅AC BC=6×810=4.8(cm)，即AD的长为4.8cm．(2)∵△ABC是直角三角形，∠BAC=90∘，AB=6cm，AC=8cm，∴S△ABC=12AB⋅AC=12×6×8=24(cm2).又∵AE是△ABC的中线，∴BE=EC，∴12BE⋅AD=12EC⋅AD，即S△ABE=S△AEC，∴S△ABE=12S△ABC=12(cm2)，∴△ABE的面积是12cm2．(3)∵AE为BC边上的中线，∴BE=CE，∴△ACE的周长−△ABE的周长=AC+AE+CE−(AB+BE+AE)=AC−AB=8−6=2(cm)，即△ACE与△ABE的周长的差是2cm．19.【答案】解：∠1=∠2．理由如下：因为AD平分∠BAC，所以∠BAD=∠DAC.因为DE//AC，所以∠DAC=∠1.因为DF//AB，所以∠DAB=∠2．所以∠1=∠2．20.【答案】解：(1)如图所示，线段AD即为所求．(2)如图所示，线段BE即为所求．(3)4．。
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三角形中线与角平分线专题（二）
1、三角形外角平分线的四个经典结论：
结论一：三角形任意两个角平分线的夹角与第三个角的数量关系
已知如图1，BP 平分∠ABC ，CP 平分∠ACB ，求∠P 与∠A 的数量关系.
01902P A ∠=+∠
结论二：三角形任意两个角相邻的外角的平分线说夹角与第三个角的关系．
已知如图2，BP 平分外角CBE ∠，CP 平分外角BCF ∠，求P ∠与A ∠的数量关系.
01902P A ∠=-∠
结论三：三角形中任意一个角平分线与另一个角外角平分线的夹角与第三个角的关系 如图，BP 平分ABC ∠，CP 平分外角ACD ∠，求P ∠与A ∠的数量关系.
12
P A ∠=∠
结论四：结论三延伸
如图，CE BE 、分别平分ACD ABC ∠∠和，连结EA ，则EA 为HAC ∠的平分线
21A E F B C 2
1P
B A C
应用举例：
例1：在四边形ABCD 中，︒=∠120D ，︒=∠100A 、ABC ∠、ACB ∠的角平分线的交与点E ，试求BEC ∠的度数.
例2：在ABC ∆中，三个外角的平分线所在的直线相交构成 DEF ∆，试判断DEF ∆的形状.
例3：如图3，在ABC ∆中，延长BC 到D ,ABC ∠与ACD ∠的角平分线相较于1A 点，BC A 1∠与CD A 1∠的平分线交与2A 点，以此类推，若︒=∠96A ，则=∠5A ，=∠n A .
图三 图四
例4：点M 是ABC ∆两个角的平分线的交点，点N 是ABC ∆两个外角的平分线的交点， 如果∠CMB ∶∠CNB=3∶2，那么=∠CAB
例5：（ 2011年省是中考题）△ABC 的外角∠ACD 的平分线CP 的角∠ABC 平分线BP 交于点P ，若∠BPC=40°，则∠CAP=_______．
2、角平分线性质的应用
3、角平分线与等腰三角形的构造问题：
【模型一】角平分线+平行线→等腰三角形
如图（1）中，AD平分∠BAC，AD//EC；
如图（2）中，AD平分∠BAC，DE//AC；
如图（3）中，AD平分∠BAC，CE//AB；
如图（4）中，AD平分∠BAC，EF//AD。
例1：如图，在△ABC中，AB＝AC，在AC上取点P，过点P作EF⊥BC，交BA的延长线于点E，垂足为点F。
求证：AE＝AP
例2：如图，在△ABC中，∠BAC、∠BCA的平分线相交于点O，过点O作DE//AC，分别交AB、BC于点D、E。
试猜想线段AD、CE、DE的数量关系，并说明你的理由。
训练题：如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，E、F分别在BD、AD上，且DE=CD，EF=AC，求证：EF//AB
【模型二】角平分线+垂线→等腰三角形
当一个三角形中出现角平分线和垂线时，我们就可以寻找到等腰三角形。
如图，若AD平分∠BAC，AD⊥DC，则∆AEC是等腰三角形。
90，BF平分∠ABC，CD⊥BD，交BF 例3.：如图，在等腰Rt∆ABC中，AB＝AC，∠BAC=︒
的延长线于D。
求证：BF＝2CD
【模型三】作倍角平分线→等腰三角形
当一个三角形中出现一个角是另一个角的2倍时，我们就可以作倍角的平分线寻找到等腰三角形。
如图，若∠ABC=2∠C，作BD平分∠ABC，则∆DBC是等腰三角形。
90
例4.：如图，在∆ABC中，∠ACB=2∠B，BC＝2AC。
求证：∠A=︒
3、角平分线定理及逆定理的应用：
例1：简单的定理应用
（1）如图，ABC Rt AD ∆是的角平分线，︒=∠90C ，AB DE ⊥于点E ，点F 是AC 上一点，DF BD CF BE ==:，求证
（2）如图，BD 是ABC ∠的平分线，E AB DE 于⊥，cm AB cm S ABC 18,362==∆，
cm BC 12=，求DE 的长.
例2：在梯形中的应用（作为结论记住）
如图，BAC CD AB ∠,//的角平分线与DCA ∠的角平分线交于点M ，
经过M 的直线EF 与AB 垂直，垂足为F ，且EF 与CD 交于E ，求证：点M 为EF 的中点.
变式1：如图，DAB BC AD ∠,//的角平分线与ABC ∠的角平分线交于点E ，过E 的直线交AD 于D ，交BC 于C ，求证：
（1）BE AE ⊥
（2）EC DE =
（3）试证：的关系与BC AD AB +
例3：角平分线与中垂线的综合：
（1）如图，ABC ∆中，AD 为BAC ∠的平分线，AD 的垂直平分线EF 交BC 的延长线于点F ，连接AF ，求证：CAF B ∠=∠
（2）如图，在ABC ∆中，BAC ∠的平分线与BC 边的中垂线相交于点P ，
过D 作AC AB 、的垂线，垂足分别为N M 、，求证CN BM =
例4：逆定理应用
（1）将两块完全相同的直角三角板（︒=∠=∠90AFB AEC ），按如图所示的方式放置在一起，使得边AE 在AB 上，边AF 在AC 上，D CE BF 相交于点与，求证：点D 在BAC ∠的平分线上.
（2）如图，在AOB ∠的两边EM DN OE OD ON OM OB OA 和上分别取、,,==相交于点C ，求证：点C 在的平分线上AOB ∠.。