初中数学竞赛定理大全

欧拉（Euler）线：

同一三角形的垂心、重心、外心三点共线，这条直线称为三角

形的欧拉线;

且外心与重心的距离等于垂心与重心距离的一半。

九点圆：

夕卜心重心重心垂心

200厘米43厘米

任意三角形三边的中点，三高的垂足及三顶点与垂心间线段的中点，共九个点共圆，这个圆称为三角形的九点圆；

其圆心为三角形外心与垂心所连线段的中点，其半径等于三角形外接圆半径的一半。

费尔马点: 已知P 为锐角△ ABC 内一点，当/ APB=Z BPC=Z CPA= 120°时,

PA + PB + PC 的值最小，

这个点P 称为△ ABC 的费尔马点。

EE = 3.45 厘米

CE = 33塵米 片丘=306曇半 EP = 4.93 CP = 3.

AP - 2.33屋亲

海伦（Heron ）公式：

海伦(H F /W ?)公式第

1

泌ABC 中F 边BQ. CA.

的

长分别为瓠b. s 若p=- (a-l-b+c),

则 A A EG 的面积 S=./p (p-a)

(p~b) (p~c)

£0 = 6. g 屋米

7 CA = & QO 瘗厳

— (AB + BC^CA) = 73 層米

p = 7.54^

^BPC = 1202 ^2PA = 120^ XAPB= 120^

B

9.94

密格尔(Miquel)点：

塞瓦(Cevs)定理：

在厶ABC中，过△ ABC的顶点作相交于一点P的直线，分别

交边BC CA AB与点D、E、F,则(BD/DC) - (CE/EA)・ (AF/FB)= 1;其逆亦真

若AE、AF、ED FB四条直线相交于A、B、C、D、E、F六点,

构成四个三角形，它们是△ ABF、△ AED △ BCE △ DCF,

葛尔刚（Gergonne）点:

△ ABC的内切圆分别切边AB、BC CA于点D、E、F, 则AE、BF CD三线共点，这个点称为葛尔刚点。

西摩松（Sims on）线：

已知P ABC外接圆周上任意一点，PD丄BC, PEL ACP吐AB, D、

E、F为垂足,

则D、E、F三点共线，这条直线叫做西摩松线

P （托动）

黄金分割: 把一条线段（AB ）分成两条线段，使其中较大的线段（AC 是原线段

（AB ） 与较小线段（BC ）的比例中项，这样的分割称为 黄金分割。

AC 2 = 14.0 厚采

C

• ------------ «

8

帕普斯（Pappus ） 定理：

已知点A l 、A 2、A 3在直线11上，已知点B l 、B 2、B 3在直线12上， 且A i

B 2与A 2 B I 交于点X ，A 1B 3与A 3 B I 交于点Y , A B 3于 A

B 2交于

点乙则X 、Y 、Z 三点共线。

CB-AB = 140 厘采

*■

A

笛沙格（DesargueS）定理

:

已知在△ ABC与厶A'B'C'中，AA'、BB'、CC三线相交于点O,

摩莱（Morley ）三角形：

在已知△ ABC三内角的三等分线中，分别与BC CA、AB相邻的每两

线相交于点D、E、F,则厶DEF是正三角形，这个正三角形称为摩莱三角形。

DE= 1.24 厘来

EF=匸24厘米

FD = X24厘米

B

（托动）

BC与BC、CA与C'A'、AB与A'B'分别相交于点X、Y、Z,则X、Y、

帕斯卡（Paskal）定理：

已知圆内接六边形ABCDEF的边AB、DE延长线交于点G,边BC EF 延长线交于点H,边CD FA延长线交于点K,则H、G、K三点共线。

托勒密（Ptolemy）定理：

在圆内接四边形中，AB - CD+ AD • BC= AC- BD

（任意四边形都可！哇哈哈）

斯图尔特(Stewart)定理:

设P为厶ABC边BC上一点，且BP: PC= n: m ,则

m • (AB2)+ n • (AC2)= m • (BP2 )+ n • (PC2) +( m + n) (AP2)

梅内劳斯定理：

在厶ABC中，若在BC CA、AB或其延长线上被同一条直线

截于点X、丫、乙则(BX/XC)・ (CY/YA〉(AZ/ZB

厂1

阿波罗尼斯(Apollonius)圆

一动点p与两定点A B的距离之比等于定比m：n，则点p的轨迹，是以定比m：n内分和外分定线段的两个分点的连线为直径的圆，这个圆被称为阿波

布拉美古塔(Brahmagupta)疋理：

在圆内接四边形ABCD中，AC丄BD，自对角线的交点p向一边作垂线,

其延长线必平分对边。

广勾股定理:

在任一三角形中，

(1) 锐角对边的平方，等于两夹边之平方和，减去某夹边和另一夹边在此边上的影射乘积的两倍.

(2) 钝角对边的平方，等于两夹边的平方和，加上某夹边与另一夹边在此边延长上的影射乘积的两倍.

加法原理：

做一件事情，完成它有N类办法，在第一类办法中有M1种不同的方法，在

第二类办法中有M2种不同的方法，……，在第N类办法中有M(N)种不同的方法，那么完成这件事情共有M1+M2……+M(N)种不同的方法。

比如说：从北京到上海有3种方法可以直接到达上海，

1:火车k i

2：飞机k2

3：轮船k s，那么从北京-上海的方法N = k i+k2+k s

乘法原理：

做一件事，完成它需要分成n个步骤，

做第一步有mi种不同的方法，

做第二步有m2不同的方法，，做第n步有m・n不同的方法.那么完成这件事共有N=mj m2- m3…mn种不同的方法.