第九章欧氏空间习题答案教学内容

第九章欧氏空间习题

答案

第九章欧氏空间习题答案

一、填空题

1. 0；

2. i x

；3. 123'b A b b ⎛⎫

⎪ ⎪

⎪⎝⎭

； 5. A ；

6. (2,2,1)-；

7. 2

π

；8. 6±；9. 2

k >；10. 线性变换在某基下的矩阵；11. 0；12. 它们的维数相同；13. A ，1；14. 1-；15. 正交；16. 3

π

；17. 正定的。 二、判断题

1-5 ××√√√ 6-10 √×√√√ 11-15 √√√×√ 16-20 √√×√× 三、选择题

1-5 CDBCC 6-10 CACB(BD) 11-15 BDAAA 16-18 ABB 四、计算题

1. 由2

20

2

12(2)(1)(4)00

2E A λλλλλλλ

---=--=+--=，故特征值为2,1,4-。 当2λ=-时，有121232

3420

2320230

x x x x x x x --=⎧⎪

--+=⎨⎪-=⎩，则基础解系为11(,1,1)'2ξ=-，单位化为

1122(,,)'333

η=-；

当1λ=时，有121323

20

22020

x x x x x x --=⎧⎪

-+=⎨⎪+=⎩，则基础解系为21(1,,1)'2ξ=-，单位化为

22

12(,,)'333

η=-；

当4λ=时，有121232

3220

2320240

x x x x x x x -=⎧⎪

-++=⎨⎪+=⎩，则基础解系为31(1,1,)'2ξ=-，单位化为

3221(,,)'333

η=-。

则令12

23332123332213

33T ⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪=- ⎪ ⎪ ⎪-

⎪⎝⎭，为正交阵，有1

214T AT --⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭。 2. （1）111111t A t t ⎛⎫

⎪

=- ⎪

⎪

-⎝⎭，由于二次型正定，则2300320t t t t >⎧⎪>⎨⎪-->⎩

，即2t >。

（2）当1t =时，则111111111A ⎛⎫

⎪

=- ⎪ ⎪-⎝⎭

。

由211211

1

(2)(1)01

1

1

E A λλλλλλ----=---=-+=--，特征值为2,2,1-。故标

准形为2

2

2

12322f y y y =+-。

3. 二次型矩阵为202023b A b a ⎛⎫ ⎪

= ⎪ ⎪⎝⎭

。由于正交变换得到的标准形为

222

12325f y y y =++，则A 的特征值为1,2,5，故23125a ++=++，

12510A =⨯⨯=可得3,0a b ==。

当1λ=时，有123230

220230

x x x x x -=⎧⎪

--=⎨⎪--=⎩

，则基础解系为1(0,1,1)'ξ=-，单位化

为

1(0,

,22

η=-； 当2λ=时，有232320

20x x x x --=⎧⎨--=⎩

，则基础解系为2(1,0,0)'ξ=，单位化为

2(1,0,0)'η=；

当5λ=时，有1232330220220

x x x x x =⎧⎪

-=⎨⎪-+=⎩

，则基础解系为3(0,1,1)'ξ=，单位化为

3(0,

22

η=。

则令01000

T ⎛⎫ ⎪ =

⎝，为正交阵，有1

125T AT -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭

。 4. 设属于特征值1的特征向量为123(,,)'x x x α=，则1(,)0αα=，即230x x +=，基

础解系为2(1,0,0)'α=，3(0,1,1)'α=-。把2(1,0,0)'α=，3(0,1,1)'α=-单位化为2(1,0,0)'β=

，3(0,)'22

β=-

。1(0,1,1)'α=单位化

为1(0,

22

β=。

令01002202

2T ⎛⎫

⎪

⎪ ⎪=

⎪ - ⎝

⎭

，为正交阵，有1

111T AT --⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭

。进一步得到1110010011010A T T --⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪==- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭

。

5. 当j k ≠时，则

22200011

(cos ,cos )cos cos cos()cos()0

2()2()

||jx kx jx kxdx j k x j k x j k j k π

ππ==

+--=+-⎰22200011

(sin ,sin )sin sin cos()cos()0

2()2()

||jx kx jx kxdx j k x j k x j k j k πππ==-++-=+-⎰22200011

(sin ,cos )sin cos sin()()0

2()2()

||jx kx jx kxdx j k x sin j k x j k j k πππ==-++-=+-⎰故对于任何整数，该集合均为正交向量组。

6. 令2

R 的一组基为12(1,0),(0,1)εε==，则有

112212211212

((,),(,))22x y x y x x x y x y y y =--+，

可得在这组基下的度量矩阵为2112A -⎛⎫

= ⎪-⎝⎭

。