第九章欧氏空间习题答案教学内容
高教线性代数第九章 欧氏空间课后习题答案
第九章 欧氏空间1.设()ij a =A 是一个n 阶正定矩阵,而),,,(21n x x x =α, ),,,(21n y y y =β,在nR 中定义内积βαβα'A =),(,1) 证明在这个定义之下, nR 成一欧氏空间； 2) 求单位向量)0,,0,1(1 =ε, )0,,1,0(2 =ε, … , )1,,0,0( =n ε，的度量矩阵；3) 具体写出这个空间中的柯西—布湿柯夫斯基不等式。
解 1)易见βαβα'A =),(是n R 上的一个二元实函数，且(1) ),()(),(αβαβαββαβαβα='A ='A '=''A ='A =， (2) ),()()(),(αβαββαβαk k k k ='A ='A =，(3) ),(),()(),(γβγαγβγαγβαγβα+='A '+'A ='A +=+， (4) ∑='A =ji j iij y x a,),(αααα，由于A 是正定矩阵，因此∑ji j iij y x a,是正定而次型，从而0),(≥αα，且仅当0=α时有0),(=αα。
2)设单位向量)0,,0,1(1 =ε, )0,,1,0(2 =ε, … , )1,,0,0( =n ε，的度量矩阵为)(ij b B =，则)0,1,,0(),()( i j i ij b ==εε⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛nn n n n n a a a a a aa a a212222211211)(010j ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛ =ij a ，),,2,1,(n j i =，因此有B A =。
4) 由定义，知∑=ji ji ij y x a ,),(βα，,(,)ij i ji ja x xααα==∑，,(,)iji ji jay y βββ==∑，故柯西—布湿柯夫斯基不等式为2.在4R 中,求βα,之间><βα,(内积按通常定义)，设: 1) )2,3,1,2(=α, )1,2,2,1(-=β， 2) )3,2,2,1(=α, )1,5,1,3(-=β， 3) )2,1,1,1(=α, )0,1,2,3(-=β。
高等代数【北大版】9
| 1 | 2,
|
3
|
3
4 10
,
| 2 |
2, 6
|
4
|
5
4 14
.
§9.2 标准正交基
于是得 R[ x]4的标准正交基
1
|
1
1
| 1
2 ,
2
2
|
1
2
|
2
6 x
2
3
|
1
3
| 3
10 4
14 (5x3 3x) 4
§9.2 标准正交基
4.标准正交基间的基变换
设 1, 2 , , n与 1,2 , ,n 是 n 维欧氏空间V中的
1. 定义
设 A (aij ) Rnn , 若Ａ满足 则称A为正交矩阵.
AA E
2. 简单性质
1）A为正交矩阵 A 1. 2）由标准正交基到标准正交基的过渡矩阵是正交
矩阵.
§9.2 标准正交基
3）设 1, 2 , , n 是标准正交基，A为正交矩阵，若 (1,2 , ,n ) (1, 2 , , n ) A
（6）
§9.2 标准正交基
由公式（3）, 有
(i , j ) a1i1 j a2i 2 j
aninj
1 0
i i
j j
， （7）
把A按列分块为 A A1, A2, , An
由（7）有
A1
AA
A2
A1
,
A2
,
An
, An En
（8）
§9.2 标准正交基
三、正交矩阵
注:
① 由正交基的每个向量单位化, 可得到一组标准 正交基.
第九章 欧氏空间复习资料
第九章 欧氏空间一. 内容概述1.欧氏空间的定义设V 是实数域R 上一个向量空间,在V 上定义了一个二元实函数，称为内积,记作),(βα,它具有以下性质:1) ),(),(αββα=;2) ),(),(βαβαk k =; 3) ),(),(),(γβγαγβα+=+; 4) 0),(≥αα,当且仅当0=α时, 0),(=αα这里γβα,,是V 任意的向量,k 是任意实数,这样的线性空间V 称为欧几里得空间. 常见的欧氏空间举例:例1 在线性空间nR 中,对于向量 ),,,(,),,,(2121n n b b b a a a ==βα, 定义内积.),(2211n n b a b a b a +++= βα (1) 则内积(1)适合定义中的条件，这样nR 就成为一个欧几里得空间.仍用来表示这个欧几里得空间.在3=n 时，(1)式就是几何空间中的向量的内积在直角坐标系中的坐标表达式. 例2 在n R 里, 对于向量 ),,,(,),,,(2121n n b b b a a a ==βα定义内积.2),(2211n n b na b a b a +++= βα 则内积(1)适合定义中的条件，这样n R 就也成为一个欧几里得空间.对同一个线性空间可以引入不同的内积,使得它作成不同的欧几里得空间.例 3 在闭区间],[b a 上的所有实连续函数所成的空间),(b a C 中,对于函数)(),(x g x f 定义内积⎰=b a dx x g x f x g x f )()())(),((. (2)对于内积(2)，),(b a C 构成一个欧几里得空间.例4 设R m n ⨯为一切m n ⨯矩阵所成的线性空间.内积定义为()()3,B A B A t r '=则称R mn ⨯为R 上的欧氏空间,2.欧氏空间的内积的主要性质:1）定义中条件1）表明内积是对称的. ),(),(),(),()2αββααββαk k k k ==='),(),(),(),(),(),()3γαβααγαβαγβγβα+=+=+=+' 定义2 非负实数),(αα称为向量α的长度，记为α.显然，向量的长度一般是正数，只有零向量的长度才是零，这样定义的长度符合熟知的性质：αα||k k = (3)这里V R k ∈∈α,.长度为1的向量叫做单位向量.如果,0≠α由(3)式，向量αα1就是一个单位向量.用向量α的长度去除向量α，得到一个与α成比例的单位向量，通常称为把α单位化.柯西-布涅柯夫斯基不等式：即对于任意的向量βα,有βαβα≤),( (5)当且仅当βα,线性相关时，等式才成立.对于例1的空间nR ，(5)式就是 .22221222212211n n n n b b b a a a b a b a b a ++++++≤+++ 对于例2的空间),(b a C ，(5)式就是()()212212)()()()(⎰⎰⎰≤b a ba ba dx x g dx x f dx x g x f 定义3 如果向量βα,的内积为零，即0),(=βα那么βα,称为正交或互相垂直，记为βα⊥. 设V 是一个n 维欧几里得空间，在V 中取一组基n εεε,,,21 ，对于V 中任意两个向量n n x x x εεεα+++= 2211, n n y y y εεεβ+++= 2211, 由内积的性质得∑∑===++++++=n i nj ji j i n n n n y x y y y x x x 1122112211),(,),(εεεεεεεεβα 设),,2,1,(),(n j i a j i ij==εε (8)显然 .ji ij a a =于是∑∑===n i nj j i ij y x a 11),(βα (9)利用矩阵，),(βα还可以写成AY X '=),(βα, (10)其中⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n n y y y Y x x x X 2121, 分别是βα,的坐标，而矩阵nn ij a A )(=称为基n εεε,,,21 的度量矩阵.3. 标准正交基定义4 欧氏空间V 的一组非零的向量,如果它们两两正交，就称为一个正交向量组. 按定义，由单个非零向量所成的向量组也是正交向量组.正交向量组是线性无关的.这个结果说明，在n 维欧氏空间中，两两正交的非零向量不能超过n 个.定义6 在n 维欧氏空间中，由n 个向量组成的正交向量组称为正交基；由单位向量组成的正交基称为标准正交基组.定理：正交向量组是线性无关的.定义 n 组实数矩阵A 称为正交矩阵，如果E A A ='（即A A '=-1）例2 考虑定义在闭区间]2,0[π上一切连续函数所作成的欧氏空间]2,0[πC .函数组 .,sin ,cos ,,sin ,cos ,1 nx nx x x 构成]2,0[πC 的一个正交组.例3 欧氏空间nR 的基 ））（0,,0,1,0,,0( i i =ε（其中n i,,2,1 =） 是n R 的一个标准正交基.定理：正交矩阵的乘积是正交矩阵, 正交矩阵的逆是正交矩阵.掌握施密特正交化的方法实对称矩阵的标准形（对角化问题）.引理1：设A 是实对称矩阵,则A 的特征值皆为实数.引理2： 设A 是实对称矩阵,则R n 中属于A 的不同特征值的特征向量必正交.引理3：实对称矩阵的k 重特征值一定有k 个线性无关的特征向量。
高等代数(北大版)第9章习题参考答案
第九章欧氏空间1.设a ij是一个n阶正定矩阵,而(x1,x2,,x n),(y1,y2,,y n),在nR中定义内积(,),1)证明在这个定义之下,nR成一欧氏空间；2)求单位向量1(1,0,,0),(0,1,,0)2,⋯,(0,0,,1)n，的度量矩阵；3)具体写出这个空间中的柯西—布湿柯夫斯基不等式。
解1)易见(,)是nR上的一个二元实函数，且(1)(,)()(,)，(2)(k,)(k)k()k(,)，(3)(,)()(,)(,)，(4) (,)aij xy，iji,j由于A是正定矩阵，因此i,j a ij xyij是正定而次型，从而(,)0，且仅当0时有(。
,)02)设单位向量11,00),(0,1,,0)(,,2,⋯,(0,0,,1)n，的度量矩阵为()Bb，则ija 11 a12a1nbij (,)(0,,ij1,(i)0)a22a22a2n 1 ( j)=a ij，(i,j1,2,,n)，an1an2ann 0因此有BA。
4)由定义，知(,) a ij xy(,)a ij x i x jij (,)a ij y i y ji,j，i,ji,j，，故柯西—布湿柯夫斯基不等式为axyaxxayyijijijijijiji,ji,ji,j2.在4R中,求,之间,(内积按通常定义)，设:1)(2,1,3,2),(1,2,2,1)，2)(1,2,2,3),(3,1,5,1)，3)(1,1,1,2),(3,2,1,0)。
解1)由定义,得(,)21123(1)210，所以,2。
2)因为(，,)1321253118(,)11222233 18，(，,)3311223336cos,1818 36 2 2，所以,。
4 3)同理可得(,(,)17,(,)3, ,)33 cos,，7731,cos所以77。
3.d(,)通常为,的距离，证明；d。
(,)d(,)d(,)证由距离的定义及三角不等式可得d(,)()()d(,)d(,)。
9习题课
1 1 , i i ( i 2, , n),
因为 是正交变换，所以( 1 , 1 ) ( 1 , 1 ) 2 ( 1 , 1 ) 故 2 1, 但V1是n 1维的，则 1, 从而
1 1 , i i ( i 2, , n),
高等代数
一、
二、
三、
5、习题解答 10. 设V0 是一 维欧氏空间 , 0, 是V中一固定向量。 1) 证明： V1n ,V 1 , x1 , x2 V1 , k R , {1 x | ()x , ) 2 0, Vkx }是 V的一子空间。 ( 1) x1证明： x2 , V )1 (x , (x , )x 0;( 1 , ) k ( x1 , ) 0
高等代数
2) dimVkx 1 n 1. x证明： V1 ,故V1是V 的一子空间。 1 x2 V1 , 1
2)证明：由于 0线性无关，将它扩充为V的一组正 交基 , 2 , , n , 则( i , ) 0 ( i 2, + kn n , ) + kn ( n , ) k1 ( , ) 0, , n), 从而 i V1 , 又 V1 , 有 k1 + k2 2 即( k1 + k2 2 k1 ( , ) + k2 ( 2 , ) + kn n ,由于( , ) 0,
则A , 于是
A A A( A ) A( ) A
2 2
即( 2 ) 0, 而 0，故 2 0, 故 0或 1,
而A是实对称矩阵，故存在正交矩阵T，使 1 1 T AT 。 0
习题解答 第九章 欧氏空间(定稿)
当且仅当 与 线性相关时，等号成立. 2. 标准正交基
定义 6 称欧氏空间 V 中一组两两正交的非零向量组1,2 , ,m 为一个正交向量组. 定义 7 设1,2,L ,n 是 n 维欧氏空间 V 中的一组基，若它们两两正交，则称 1,2,L ,n 为 V 的一组正交基；若正交基中的向量1,2,L ,n 都为单位向量，则称为标
n
( A, A) 0 ai2j 0 A 0 i, j1
此即证V是欧式空间。
(1)证：Eij是(i, j)元为1，其余一元皆为0的n阶方阵，那么可证 B11 E11, B12 E12 E21,L , B1n E1n En1 B22 E22 , B2n E2n En2 ,L , Bnn Enn 为V的一组基，于是
故○1 成立，且
V =S (S )
故S和(S)是同一子空间S的正交补，由正交补的唯一性，即证 ○2 .
4.设 是欧式空间V的线性变换，设 是V的一个变换，且, V ,都有(( ), )=(,( )). 证明：
(1) 是V的线性变换 (2)的值域 Im 等于的核ker的正交补。
四、典型题解析
例1.设A, B是n阶实对称阵，定义
(A, B) trAB
○1
证明：所有n阶实对称阵V 关于( A, B)成一欧式空间。 (1)求V的维数。 (2)求使trA=0的空间S的维数。 (3)求S的维数。
证 首先可证V {A Rnn | A A}是R上的一个线性空间。 再证○1 是V 的内积，从而得证V 是关于内积○1 的欧式空间. 事实上A,B,CV ,k R,有
高等代数第9章欧几里得空间习题 [1]...
![高等代数第9章欧几里得空间习题 [1]...](https://img.taocdn.com/s3/m/7a86f4e86294dd88d0d26b5d.png)
α
α 是一个单位向量. 是一个单位向量.
在欧氏空间V中 定义 在欧氏空间 中, 任意两个非零向量 之间的夹角 夹角定义为 α, β之间的夹角定义为 (α , β ) θ =< α , β >= arccos
α β
显然有0≤ ≤π． 注(1) 显然有 ≤ <α, β > ≤π． (2)由C-S不等式 上述定义有意义 不等式,上述定义有意义 由 不等式 上述定义有意义. 是欧氏空间, 定义 设V是欧氏空间 对α, β∈V, 如果 是欧氏空间 (α , β ) = 0 正交, 则称α与β 正交 记作α⊥β. 零向量0与任何向量正交 与任何向量正交. 零向量 与任何向量正交.
第9章 欧几里得空间习题课 §1 §2 §3 §4 §5 §6 定义与基本性质 标准正交基的定义及求法 正交变换，对称变换 正交变换， 子空间的正交补 实对称矩阵的标准形 向量到子空间的距离
§1
定义
定义与基本性质
是实数域R上的线性空间 设V是实数域 上的线性空间 在V上 是实数域 上的线性空间,在 上 定义了一个二元实函数 即对于V中任意两个 定义了一个二元实函数, 即对于 中任意两个 函数 向量α, β, 都有惟一确定的实数与之对应, 都有惟一确定的实数与之对应 该实数记作( 它满足如下性质: 该实数记作 α, β), 它满足如下性质: (1)(α, β)=(β, α ); (2)(α+β, γ)= (α, γ) + (β, γ); (3) (kα, β)= k(α, β ); (4) (α, α)≥0, (α, α)=0当且仅当α=0. 当且仅当α
欧氏空间中，下述式子成立： 定理 在欧氏空间中，下述式子成立： (1) 三角形不等式 |α+β| ≤ |α|+|β| ; 三角形不等式: | (2) 勾股定理 当α⊥β 时, |α+β|2=|α|2+|β|2. 勾股定理: | |
第九章 欧氏空间
= ( , ) + ( , ) .
3 ) ( , 0 ) = (0 , ) = 0；
4) ( ki i , l j j ) ki l j ( i , j );
i 1 j 1 i 1 j 1
s
n
s
n
5 ) | ( , ) | | | | |，当且仅当 , 线性相
关时，等号才成立.
2 长度、夹角与正交
(1) 设V是欧氏空间，对任意V，非负实数 ( , ) 称为向量 的长度，记为 | |. 即| | 度为1的向量称为单位向量. 如果≠0，则
( , ) ，长
1 | |
是单位
向量，称为将单位化.
(2) 非零向量 , 的夹角 < , > 规定为
为 V1 . 如果V1 V2 ，且V=V1 + V2 ，则称V2为V1的
正交补，记为V1.
(2) 正交子空间有下列结果： 1) 设V是欧氏空间， , i , j V，则
L(1 , 2 , … , t) 等价于 j (j=1, 2, ..., t);
L(1 , 2 , … , s) L(1 , 2 , … , t)等价于i j
第九章
欧氏空间
内 容 摘 要
1 内积和欧几里得空间
(1) 设 V 是实数域 R 上一个线性空间，如果对V中 任意两个元素 , 有一个确定的实数( , )与它们对应， 且满足：
1) ( , ) = ( , )；
2) (k , ) = k( , )；
3) ( + , ) = ( , ) + ( , ) ； 4) ( , ) 0，当且仅当 = 0 时 ( , ) = 0 .
第九章欧氏空间习题答案
第九章欧氏空间习题答案一、填空题1、 0;2、 ,;3、 ;4、 ;5、 ;6、 ;7、 ,;8、 ;9、 ;10、 线性变换在某基下得矩阵;11、 0,;12、 它们得维数相同;13、 ,1;14、 ;15、 正交;16、 ;17、 正定得。
二、判断题15 ××√√√ 610 √×√√√ 1115 √√√×√ 1620 √√×√×三、选择题15 CDBCC 610 CACB(BD) 1115 BDAAA 1618 ABB四、计算题1. 由,故特征值为。
当时,有,则基础解系为,单位化为;当时,有,则基础解系为,单位化为;当时,有,则基础解系为,单位化为。
则令,为正交阵,有。
2. (1),由于二次型正定,则,即。
(2)当时,则。
由,特征值为。
故标准形为。
3. 二次型矩阵为。
由于正交变换得到得标准形为,则得特征值为,故,可得。
当时,有,则基础解系为,单位化为;当时,有,则基础解系为,单位化为;当时,有,则基础解系为,单位化为。
则令,为正交阵,有。
4. 设属于特征值得特征向量为,则,即,基础解系为,。
把,单位化为,。
单位化为。
令,为正交阵,有。
进一步得到。
5. 当时,则22200011(cos ,cos )cos cos cos()cos()02()2()||jx kx jx kxdx j k x j k x j k j k πππ==+--=+-⎰22200011(sin ,sin )sin sin cos()cos()02()2()||jx kx jx kxdx j k x j k x j k j k πππ==-++-=+-⎰22200011(sin ,cos )sin cos sin()()02()2()||jx kx jx kxdx j k x sin j k x j k j k πππ==-++-=+-⎰故对于任何整数,该集合均为正交向量组。
第九章 欧式空间(第一讲)
2
( , )
2
( , )
2
2
,
即
( , )
2
2
2
.
开方便得
( , )
.
综合ⅰ，ⅱ便知定理成立. 基于定理1.1的结果，又可以给出欧氏空间中两向量夹 角的定义.
定义1.3 对于欧氏空间中两个非零向量α, β ，定义α与 β的夹角为
累次应用以上两条及欧氏空间定义中的条件2）3）即可得 到3）式.
性质2 对于欧氏空间中任意向量α ，总有（α ，0）= （0，α）=0. 证明 由
( , 0) ( , 0 0) ( , 0) ( , 0)
即得（α ，0）=0.再由内积的交换律又知（0，α）= （α ，0）=0 . 特别，有（0，0）=0 .再结合欧氏空间定义中的第4） 条规定，便得如下结论：内积空间中向量α为零向量的充 分必要条件是（α ，α ）=0 ，也就是说，零向量是内积空 间中与自身的内积为0的唯一向量.
即对欧氏空间中任一组向量我们看到殴氏空间在向量的长度夹角正交等方面与我们已熟知的普通几何空间确有许多相像之处
线性代数
机动
目录
上页
下页
返回
结束
第九章
欧氏空间*
通过上两章的学习，我们对线性空间有了比较深入的 了解.线性空间是涉及一个集合、一个数域、两种运算、 八个条件的一个整体概念.它包含着丰富的内容，有着广 泛的应用.在这一章里将讨论一类特殊发线性空间—欧氏 空间.我们还将发现，欧氏空间与人们熟悉的几何空间有 许多相似的结果.通常的实向量内积、长度、夹角、距离 等概念都可以平行地在欧氏空间上建立起来，并得到类似 的相应结果.
高等代数第9章习题参考答案
第九章 欧氏空间1.设()ij a =A 是一个n 阶正定矩阵,而),,,(21n x x x =α, ),,,(21n y y y =β,在n R 中定义内积βαβα'A =),(,1) 证明在这个定义之下, n R 成一欧氏空间； 2) 求单位向量)0,,0,1(1 =ε, )0,,1,0(2 =ε, … , )1,,0,0( =n ε，的度量矩阵；3) 具体写出这个空间中的柯西—布湿柯夫斯基不等式。
解 1)易见βαβα'A =),(是n R 上的一个二元实函数，且 (1) ),()(),(αβαβαββαβαβα='A ='A '=''A ='A =， (2) ),()()(),(αβαββαβαk k k k ='A ='A =，(3) ),(),()(),(γβγαγβγαγβαγβα+='A '+'A ='A +=+， (4) ∑='A =ji j i ijy x a,),(αααα，由于A 是正定矩阵，因此∑ji j i ijy x a,是正定而次型，从而0),(≥αα，且仅当0=α时有0),(=αα。
2)设单位向量)0,,0,1(1 =ε, )0,,1,0(2 =ε, … , )1,,0,0( =n ε，的度量矩阵为)(ij b B =，则)0,1,,0(),()( i j i ij b ==εε⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛nn n n n n a a a a a aa a a212222211211)(010j ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛ =ij a ，),,2,1,(n j i =， 因此有B A =。
4) 由定义，知∑=ji ji ij y x a ,),(βα，α==β==故柯西—布湿柯夫斯基不等式为2.在4R 中,求βα,之间><βα,(内积按通常定义)，设: 1) )2,3,1,2(=α, )1,2,2,1(-=β， 2) )3,2,2,1(=α, )1,5,1,3(-=β， 3) )2,1,1,1(=α, )0,1,2,3(-=β。
第九章 欧氏空间
第九章 欧几里得空间§1定义与基本性质一、向量的内积定义 1 设V 是实数域R 上一个向量空间,在V 上定义了一个二元实函数，称为内积,记作),(βα,它具有以下性质:1)),(),(αββα=;2) ),(),(βαβαk k =;3) ),(),(),(γβγαγβα+=+;4) 0),(≥αα,当且仅当0=α时, 0),(=αα 这里γβα,,是V 任意的向量,k 是任意实数,这样的线性空间V 称为欧几里得空间.例1 在线性空间n R 中,对于向量 ),,,(,),,,(2121n n b b b a a a ==βα, 定义内积.),(2211n n b a b a b a +++= βα (1)则内积(1)适合定义中的条件，这样nR 就成为一个欧几里得空间.仍用n R 来表示这个欧几里得空间.在3=n 时，(1)式就是几何空间中的向量的内积在直角坐标系中的坐标表达式.例2 在n R 里, 对于向量 ),,,(,),,,(2121n n b b b a a a ==βα,定义内积.2),(2211n n b na b a b a +++= βα则内积(1)适合定义中的条件，这样n R 就也成为一个欧几里得空间.仍n R 用来表示这个欧几里得空间。
对同一个线性空间可以引入不同的内积,使得它作成欧几里德空间，但应该认为它们是不同的欧几里德空间.例 3 在闭区间],[b a 上的所有实连续函数所成的空间),(b a C 中,对于函数)(),(x g x f 定义内积 ⎰=ba dx x g x f x g x f )()())(),(( (2)对于内积(2)，),(b a C 构成一个欧几里得空间. 同样地，线性空间n x R x R ][],[对于内积(2)也构成欧几里得空间.例4 令H 是一切平方和收敛的实数列：+∞<=∑∞=1221),,,,(n nn x x x x ξ所成的集合,则H 是一个欧几里得空间,通常称为希尔伯特(Hilbert)空间（内积定义类似于例1，这是无穷维空间）.二、欧几里得空间的基本性质1）定义中条件1）表明内积是对称的.),(),(),(),()2αββααββαk k k k ==='.),(),(),(),(),(),()3γαβααγαβαγβγβα+=+=+=+'定义2 非负实数),(αα称为向量α的长度，记为α.显然，向量的长度一般是正数，只有零向量的长度才是零，这样定义的长度符合熟知的性质： αα||k k = (3)这里V R k ∈∈α,.长度为1的向量叫做单位向量.如果,0≠α由(3)式，向量αα1就是一个单位向量.用向量α的长度去除向量α，得到一个与α成比例的单位向量，通常称为把α单位化.柯西-布涅柯夫斯基不等式：即对于任意的向量βα,有βαβα≤),( (5)当且仅当βα,线性相关时，等式才成立.证明：由0),(≥++βαβαt t 对于任意实数t 成立，给出简单证明。
高等代数课件(北大版)第九章-欧式空间9.5
(i ,0) (i ,1 2 s ) (i ,i ) 0 由内积的正定性，可知 i 0, i 1,2, , s.
§9.5 子空间
二、子空间的正交补
1．定义：
如果欧氏空间V的子空间 V1,V2 满足 V1 V2 , 并且 V1 V2 V , 则称 V2 为 V1 的正交补.
但一般地，子空间W的余子空间未必是其正交补.
§9.5 子空间
3．内射影
设W是欧氏空间V的子空间，由 V W W ,
对 V , 有唯一的 1 W , 2 W , 使 1 2
称 1 为 在子空间W上的内射影.
§9.5 子空间
(1,1 ) 0 由此可得 1 0, 即有 V3
同理可证 V3 V2 , V2 V3 .
§9.5 子空间
V2 V3 . 唯一性得证.
注：① 子空间W的正交补记为 W . 即
W V W
② n 维欧氏空间V的子空间W满足: i) (W ) W ii) dimW dimW dimV n iii) W W V ⅳ) W的正交补 W 必是W的余子空间.
V1 V2 ( , ) 0 0.
③ 当 V1 且 V1 时，必有 0.
§9.5 子空间
2．两两正交的子空间的和必是直和．
证明：设子空间 V1,V2 , ,Vs 两两正交， 要证明 V1 V2 Vs , 只须证：
V1 V2 Vs 中零向量分解式唯一．
设 1 2 s 0, i Vi , i 1, 2, , s
2．n 维欧氏空间V的每个子空间 V1 都有唯一正交补.
证明：当 V1 {0} 时，V就是 V1 的唯一正交补． 当 V1 {0} 时，V1 也是有限维欧氏空间.
取 V1 的一组正交基 1, 2 , , m ,
第九章 欧几里得空间 习题答案
第九章 欧几里得空间部分习题答案习 题（P393-P397）1．设()ij a =A 是一个n 级正定矩阵，而12(,,,)n x x x = α，12(,,,)n y y y = β．在nR 中定义内积(,)αβ为(,)'=A αβαβ．1）证明在这个定义之下，nR 成一欧氏空间；2）求单位向量1(1,0,,0)= ε，2(0,1,,0)= ε， ，(0,0,,1)n = ε的度量矩阵； 3）具体写出这个空间中的柯西－布涅柯夫斯基不等式． 解 1）显然(,)'=A αβαβ是n R 上的一个二元实函数，且 ①(,)()(,)''''''=====A A A A αβαβαββαβαβα； ②(,)()()(,)k k k k ''===A A αβαβαβαβ；③(,)()(,)(,)'''+=+=+=+A A A αβγαβγαγβγαγβγ；④由于A 是正定矩阵，故(,)0'=≥A αααα，并且，当且仅当=0α时，(,)0=αα． 因此，根据欧氏空间的定义，在这个定义之下，nR 成为欧氏空间．2）由于(,)i j i j ij a '==A εεεε，,1,2,,i j n = ，故12,,,n εεε的度量矩阵就是A ．3）根据11(,)n nij i j i j a x y =='==∑∑A αβαβ，其中12(,,,)n x x x = α，12(,,,)n y y y = β，所以这个空间中的柯西－布涅柯夫斯基不等式为11n nij iji j a x y==≤∑∑2．在4R 中，求,αβ之间的夹角,<>αβ（内积按通常定义）．设 1）(2,1,3,2)=α，(1,2,2,1)=-β； 2）(1,2,2,3)=α，(3,1,5,1)=β；3）(1,1,1,2)=α，(3,1,1,0)=-β．解 1）由于(,)21123(2)210=⨯+⨯+⨯-+⨯=αβ，故,2π<>=αβ．2）由于(,)1321253118=⨯+⨯+⨯+⨯=αβ，且(,)1122223318=⨯+⨯+⨯+⨯=αα，(,)3311551136=⨯+⨯+⨯+⨯=ββ，故,arccos 24παβ<>===．3）同样，直接计算得(,)3=αβ，(,)7=αα，(,)11=ββ，故,αβ<>==． 『方法技巧』首先判断(,)αβ是否为零，如果为零，那么α与β正交，即,2π<>=αβ；否则，计算(,)αα和(,)ββ，由定义(,),arccos||||αβ<>=αβαβ求α与β的夹角．4．在4R 中求一单位向量与(1,1,1,1),(1,1,1,1),(2,1,1,3)---正交． 解 设所求向量为1234(,,,)x x x x =α．由α与已知向量都正交，得方程组1234123412340,0,230.x x x x x x x x x x x x +-+=⎧⎪--+=⎨⎪+++=⎩ 直接解得它的一个基础解系为(4,0,1,3)=-η．又因为α是单位向量，所以14,0,1,3)||=±=-αηη． 『特别提醒』要注意与η同向和反向的单位向量都满足要求． 5．设12,,,n ααα是欧氏空间V 的一组基，证明：1）如果V ∈γ使(,)0i =γα，1,2,,i n = ，那么=0γ；2）如果12,V ∈γγ使对任一V ∈α有12(,)(,)=γαγα，那么12=γγ．『解题提示』只需要说明(,)0=γγ和12(,)0i -=γγα，1,2,,i n = ． 证明 1）由于12,,,n ααα为欧氏空间V 的一组基，故存在12,,,n k k k ，使得1122n n k k k =++ γααα．于是，根据(,)0i =γα，1,2,,i n = ，得到11221122(,)(,)(,)(,)(,)0n n n n k k k k k k =++=++= γγγαααγαγαγα．因此=0γ．2）由于对任意的V ∈α有12(,)(,)=γαγα，故对任意的i α也有12(,)(,)i i =γαγα，即12(,)0i -=γγα，1,2,,i n = ．根据1）可知12-=0γγ，即12=γγ．6．设123,,εεε是三维欧氏空间中一组标准正交基，证明：()()()11232123312311122,22,22333=+-=-+=--αεεεαεεεαεεε 也是一组标准正交基．证法1 由于123,,εεε是标准正交基，故12222112(,)()()0333333=⨯+⨯-+-⨯=αα， 13212212(,)()()()0333333=⨯+⨯-+-⨯-=αα，23211222(,)()()()0333333=⨯+-⨯-+⨯-=αα， 11222211(,)()()1333333=⨯+⨯+-⨯-=αα，22221122(,)()()1333333=⨯+-⨯-+⨯=αα， 33112222(,)()()()()1333333=⨯+-⨯-+-⨯-=αα，即1,,(,)0.i j i j i j =⎧=⎨≠⎩αα 所以123,,ααα也是三维欧氏空间中的一组标准正交基．证法2 设从123,,εεε到123,,ααα的过渡矩阵为A ，即22112123122⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪--⎝⎭A ．直接计算可知22122112122129122122-⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪'=---= ⎪⎪ ⎪⎪----⎝⎭⎝⎭A A E ，即A 是正交矩阵．从而123,,ααα也是三维欧氏空间中的一组标准正交基．『解题提示』方法1利用定义直接进行了证明；方法2则根据：如果第一组基是标准正交基，同时过渡矩阵是正交矩阵，那么第二组基也是标准正交基．7．设12345,,,,εεεεε是五维欧氏空间V 的一组标准正交基，()1223,,V L =ααα，其中115=+αεε，2124=-+αεεε，31232=++αεεε，求1V 的一组标准正交基．解 首先说明123,,ααα线性无关．事实上，设112233k k k ++=0ααα，即1231232332415(2)()k k k k k k k k +++-++++=0εεεεε，根据12345,,,,εεεεε是线性无关的，得1230k k k ===，即123,,ααα线性无关．于是123,,ααα是1V 的一组基．下面，根据施密特正交化方法对它们标准正交化：正交化：1115==+βαεε，22221124511(,)11(,)22=-=-+-αββαβεεεεββ，3132331212351122(,)(,)(,)(,)=--=++-αβαββαββεεεεββββ；单位化：115()2=+ηεε，2124522)=-+-ηεεεε， 312351()2=++-ηεεεε．则123,,ηηη即为1V 的标准正交基．『方法技巧』这类求一个欧氏空间或其子空间的标准正交基的题目，首先确定该欧氏空间或子空间的一组基，然后再将这组基标准正交化即可求得．12．设12,,,m ααα是n 维欧氏空间V 中一组向量，而111212122212(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)m m m m m m ⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭αααααααααααααααααα∆． 证明：当且仅当0≠∆时12,,,m ααα线性无关．证明 设有线性关系1122m m k k k +++=0 ααα，将其分别与i α取内积，可得方程组111212112122221122(,)(,)(,)0,(,)(,)(,)0,(,)(,)(,)0.m m m mm m m m m k k k k k k k k k +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩ αααααααααααααααααα 由于上述方程组仅有零解的充要条件是系数行列式0≠∆，故当且仅当0≠∆时12,,,m ααα线性无关．『方法技巧』将∆构造成一个线性方程组的系数矩阵．题目中的矩阵∆称为向量组的格拉姆矩阵，当12,,,m ααα为一组基时，其格拉姆矩阵∆即为度量矩阵．16．证明：反对称实数矩阵的特征值是零或纯虚数．证明 设A 是反对称矩阵，ξ是属于特征值λ的特征向量，即λ=ξξA ，则用'ξ左乘两边得()()()()()λλ'''''''''==-=-=-=-=-ξξξξξξξξξξξξξξA A A A A ，由于≠0ξ，故λλ=-，从而λ为纯虚数或零．事实上，令a bi λ=+，可得0=a ，即bi =λ，因此或者0λ=或bi =λ（0b ≠）．『方法技巧』与证明实对称矩阵的特征值均为实数的方法类似． 17．求正交矩阵T 使'T AT 成对角形，其中A 为：1）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----020212022； 2）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----542452222； 3）⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛0041001441001400； 解 1）矩阵A 的特征多项式为()()()22021214202λλλλλλλ--=-=--+E A ， 则A 的特征值为2,4,1321-===λλλ，分别求解齐次方程组()i λ-0E A X =得对应的特征向量为123(2,1,2),(2,2,1),(1,2,2)'''=--=-=ααα．将其单位化得123111(2,1,2),(2,2,1),(1,2,2)333'''=--=-=ηηη．令1232211(,,)1223212-⎛⎫ ⎪==-- ⎪ ⎪⎝⎭ηηηT ，则T 即为所求，且142⎛⎫ ⎪'= ⎪ ⎪-⎝⎭T AT ．2）矩阵A 的特征多项式为()()2222254110245λλλλλλ---=--=---E A ，则A 的特征值为1210,1λλ==（二重）．分别求解齐次方程组()i λ-0E A X =得：110λ=的特征向量为1(1,2,1)'=--α，21λ=的特征向量为2(2,1,0)'=-α，3(2,1,1)'=α．将其正交单位化得1231(1,2,2),2,1,0),2,4,5)3'''=--=-=ηηη， 令123132(,,)3203⎛- ==-⎝ηηηT ， 则T 即为所求，且1011⎛⎫ ⎪'= ⎪ ⎪⎝⎭T AT ．3）矩阵A 的特征多项式为()()()()0410145533410140λλλλλλλλλ-----==-+-+----E A ，则A 的特征值为12345,5,3,3λλλλ==-==-．分别求齐次方程组()i λ-0E A X =得相应的特征向量为1234(1,1,1,1),(1,1,1,1),(1,1,1,1),(1,1,1,1)''''==--=--=--αααα，将其单位化得12341111(1,1,1,1),(1,1,1,1),(1,1,1,1),(1,1,1,1)2222''''==--=--=--ηηηη，令1234111111111(,,,)111121111-⎛⎫ ⎪- ⎪==⎪--- ⎪-⎝⎭ηηηηT ， 则T 即为所求，且5533⎛⎫ ⎪- ⎪'= ⎪ ⎪-⎝⎭T AT ． 『方法技巧』实对称矩阵属于不同特征值的特征向量是正交的，如果属于某个特征值λ的特征向量只有一个时，则只需对它单位化即可，此时，它必与其它向量正交．18．用正交线性替换化下列二次型为标准形：1）32212322214432x x x x x x x --++； 2）22212312132322448x x x x x x x x x ---++；3）432122x x x x +；『解题提示』按照上一题的方法求出能够使得二次型的矩阵A 可对角化的T ，则=X TY 即为所求的正交线性替换．解 1）原二次型的矩阵120222023-⎛⎫⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭A ，且A 的特征多项式为(5)(2)(1)λλλλ-=--+E A ，则其特征值为1235,2,1λλλ===-．分别求齐次方程组()i λ-0E A X =得相应的特征向量为123(1,2,2),(2,1,2),(2,2,1)'''=-=--=ααα，单位化得123111(1,2,2),(2,1,2),(2,2,1)333'''=-=--=ηηη， 令1231221(,,)2123221⎛⎫ ⎪==-- ⎪ ⎪-⎝⎭ηηηT ，则T 是正交矩阵，且521⎛⎫ ⎪'= ⎪ ⎪-⎝⎭T AT ．那么正交线性替换=X TY ，使得原二次型化为22212352y y y +-． 2）原二次型的矩阵122224242-⎛⎫⎪=-- ⎪ ⎪⎝⎭A ，且A 的特征多项式为2(7)(2)λλλ-=+-E A ，则其特征值为127,2λλ=-=（二重）．分别求齐次方程组()i λ-0E A X =得相应的特征向量为123(1,2,2),(2,1,0),(2,0,1)'''=-=-=ααα，正交单位化得1231(1,2,2),(2,1,0),(2,4,5)3515'''=-=-=ηηη， 令12351(,,)1015100⎛-== -⎝ηηηT ，则T 是正交矩阵，且722-⎛⎫ ⎪'= ⎪ ⎪⎝⎭T AT ．那么正交线性替换=X TY ，使得原二次型化为222123722y y y -++． 3）原二次型的矩阵100100000010010⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A ， 且A 的特征多项式为22(1)(1)λλλ-=+-E A ，则其特征值为11λ=（二重），21λ=-（二重）．分别求齐次方程组()i λ-0E A X =得相应的特征向量为1234(1,1,0,0),(0,0,1,1),(1,1,0,0),(0,0,1,1)''''===-=-αααα，正交单位化得1234(1,1,0,0),0,1,1),1,0,0),0,1,1)2222''''===-=-ηηηη， 令123410101010(,,,)010120101⎛⎫⎪-⎪==⎪⎪-⎝⎭T ηηηη，则T 是正交矩阵，且1111⎛⎫ ⎪⎪'= ⎪- ⎪-⎝⎭T AT ． 那么正交线性替换=X TY ，使得原二次型化为22221234y y y y +--． 19．设A 是n 级实对称矩阵，证明：A 正定的充分必要条件是A 的特征多项式的根全大于零． 证明 由于A 是实对称矩阵，根据教材中的定理7知，存在一个n 级正交矩阵T ，使得121n λλλ-⎛⎫⎪⎪'=== ⎪ ⎪⎝⎭ T AT T AT Λ． 又因为相似矩阵有相同的特征值，且对角形矩阵的特征值即为其对角线上的元素，所以12,,,n λλλ 为A 的全部的特征根，即A 的特征多项式的全部根．再根据合同的矩阵具有相同的正定性，故A 正定的充分必要条件是对角形矩阵Λ是正定的，而Λ正定当且仅当12,,,n λλλ 全大于零．因此A 正定的充分必要条件是A 的特征多项式的根全大于零． 『方法技巧』利用相似矩阵具有相同的特征值，合同的矩阵具有相同的正定性．。
欧式空间
第九章 欧氏空间§9.1向量的内积1．证明:在一个欧氏空间里,对于任意向量ηξ,,以下等式成立:(1)2222||2||2||||ηξηξηξ+=-++；(2).||41||41,22ηξηξηξ--+=在解析几何里,等式(1)的几何意义是什么?2．在区氏空间nR 里,求向量)1,,1,1( =α与每一向量)0,,0,1,0,,0()( i i =ε,n i ,,2,1 =的夹角.3．在欧氏空间4R 里找出两个单位向量,使它们同时与向量)4,5,2,3()2,2,1,1()0,4,1,2(=--=-=γβα中每一个正交.4．利用内积的性质证明,一个三角形如果有一边是它的外接圆的直径,那么这个三角形一定是直角三角形．5．设ηξ,是一个欧氏空间里彼此正交的向量.证明:222||||||ηξηξ+=+(勾股定理)6．设βααα,,,,21n 都是一个欧氏空间的向量,且β是n ααα,,,21 的线性组合.证明,如果β与i α正交,n i,,2,1 =,那么0=β.7．设n ααα,,,21 是欧氏空间的n 个向量.行列式><><><><><><><><><=n n n n n n n G ααααααααααααααααααααα,,,,,,,,,),,,(21222121211121叫做n ααα,,,21 的格拉姆(Gram)行列式.证明),,,(21n G ααα =0,必要且只要n ααα,,,21 线性相关.8．设βα,是欧氏空间两个线性无关的向量,满足以下条件:><><ααβα,,2和><><βββα,,2都是0≤的整数.证明:βα,的夹角只可能是6543,32,2ππππ或.9.证明:对于任意实数n a a a ,,,21 ,23322211(||nni ia a a a n a++++≤∑= ).§9.2 正交基1．已知)0,1,2,0(1=α,)0,0,1,1(2-=α )1,0,2,1(3-=α,)1,0,0,1(4=α是4R 的一个基.对这个基施行正交化方法,求出4R 的一个规范正交基．2．在欧氏空间]1,1[-C 里,对于线性无关的向量级{1,x ,2x ,3x }施行正交化方法,求出一个规范正交组．3．令},,,{21n ααα 是欧氏空间V 的一组线性无关的向量,},,,{21n βββ 是由这组向量通过正交化方法所得的正交组.证明,这两个向量组的格拉姆行列式相等,即><>><=<=n n n n G G βββββββββααα,,,),,,(),,,(221121214．令n γγγ,,,21 是n 维欧氏空间V 的一个规范正交基,又令},2,1,10,|{1n i x x V K ni i i i =≤≤=∈=∑=γξξK 叫做一个n -方体.如果每一i x 都等于0或1,ξ就叫做K 的一个项点.K 的顶点间一切可能的距离是多少?5．设},,,{21m ααα 是欧氏空间V 的一个规范正交组.证明,对于任意V ∈ξ,以下等式成立:∑=≤mi i122||,ξαξ.6．设V 是一个n 维欧氏空间.证明)(i 如果W 是V 的一个子空间,那么W W =⊥⊥)(.)(ii 如果21,W W 都是V 的子空间,且21W W ⊆,那么⊥⊥⊆12W W )(iii 如果21,W W 都是V 的子空间,那么⊥⊥⊥+=+2121)(W W W W7．证明,3R 中向量),,(000z y x 到平面}0|),,{(3=++∈=cz by ax R z y x W的最短距离等于222000||c b a cz by ax ++++．8．证明,实系数线性方程组∑===nj i j ijni b x a1,,2,1,有解的充分且必要条件是向量n n R b b b ∈=),,,(21 β与齐次线性方程组∑===nj j jini x a1,,2,1,0的解空间正交.9．令α是n 维欧氏空间V 的一个非零向量．令}0,|{>=<∈=αξξαV P ． αP 称为垂直于α的超平面,它是V 的一个1-n 维子空间.V 中有两个向量ξ,η说是位于αP 的同侧,如果><><αηαξ,,与同时为正或同时为负.证明,V 中一组位于超平面αP 同侧,且两两夹角都2π≥的非零向量一定线性无关．[提示:设},,,{21r βββ 是满足题设条件的一组向量.则)(0,j i j i ≠>≤<ββ,并且不妨设)1(0,r i i ≤≤>><αβ.如果∑==ri i i c 1β,那么适当编号,可设0,,,0,,,121≤≥+r s s c c c c c ,)1(r s ≤≤,令∑∑+==-==rs j jj s i i i c c 11ββγ,证明0=γ.由此推出0=ic )1(r i ≤≤.]10．设U 是一个正交矩阵.证明:)(i U 的行列式等于1或-1; )(ii U 的特征根的模等于1;)(iii 如果λ是U 的一个特征根,那么λ1也是U 的一个特征根;)(iv U 的伴随矩阵*U 也是正交矩阵.11.设2cos≠θ,且⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=θθθθcos sin 0sin cos 0001U .证明,UI+可逆,并且⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=+--010*******tan ))((1θU I U I12.证明:如果一个上三角形矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=nn n n n a a a a a a a a a a A 000000333223221131211是正交矩阵,那么A 一定是对角形矩阵,且主对角线上元素ij a 是1或-1.§9.3正交变换1．证明:n 维欧氏空间的两个正交变换的乘积是一个正交变换;一个正交变换的逆变换还是一个正交变换.2．设σ是n 维欧氏空间V 的一个正交变换.证明:如果V 的一个子空间W 在σ之下不变,那么W 的正交补⊥W也在σ下不变.3．设V 是一个欧氏空间,αV∈是一个非零向量.对于V∈ξ,规定ααααξξξτ><><-=,,2)(.证明,τ是V 的一个正交变换,且ιτ=2,ι是单位变换.线性变换τ叫做由向量α所决定的一个镜面反射.当V 是一个n 维欧氏空间时,证明,存在V 的一个标准正交基,使得τ关于这个基的矩阵有形状:⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-1000010000100001在三维欧氏空间里说明线性变换τ的几何意义.4．设σ是欧氏空间V 到自身的一个映射,对ηξ,有.,)(),(ηησξσ=证明σ是V 的一个线性变换,因而是一个正交变换.5．设U 是一个三阶正交矩阵,且1det =U .证明:)(i U 有一个特征根等于1; )(ii U 的特征多项式有形状1)(23-+-=tx tx x x f这里31≤≤-t .6．设},,,{21n ααα 和},,,{21n βββ 是n 维欧氏空间V 的两个规范正交基.)(i 证明:存在V 的一个正交变换σ,使n i i i ,,2,1,)( ==βασ.)(ii 如果V 的一个正交变换τ使得11)(βατ=,那么)(,),(2n ατατ 所生成的子空间与由n ββ,,2 所生成的子空间重合.7．令V 是一个n 维欧氏空间.证明:)(i 对V 中任意两不同单位向量βα,,存在一个镜面反射τ,使得βατ=)(.)(ii V 中每一正交变换σ都可以表成若干个镜面反射的乘积.[提示:为了证明)(ii ,利用)(i 和习题6.]8．证明:每一个n 阶非奇异实矩阵A 都可以唯一地表示成UTA =的形式,这里U 是一个正交矩阵,T 是一个上三角形实矩阵,且主对角线上元素都是正数.[提示:非奇异矩阵A 的列向量n ααα,,,21 作成n 维列空间nR 的一个基.对这个基施行正交化,得出nR的一个规范正交基},,,{21n γγγ ,以这个规范正交基为列的矩阵U 是一个正交矩阵,写出},,,{21n γγγ 由},,,{21n ααα 的表示式,就可以得出矩阵T.证明唯一性时,注意8.2习题12.]§9.4 对称变换和对称矩阵1．设σ是n 维欧氏空间V 的一个线性变换.证明,如果σ满足下列三个条件的任意两个,那么它必然满足第三个:)(i σ是正交变换;)(ii σ是对称变换;)(iii ισ=2是单位变换.2．设σ是n 维欧氏空间V 的一个对称变换,且σσ=2.证明,存在V 的一个规范正交基,使得σ关于这个基的矩阵有形状⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0001013．证明:两个对称变换的和还是一个对称变换.两个对称变换的乘积是不是对称变换?找出两个对称变换的乘积是对称变换的一个充要条件.4．n 维欧氏空间V 的一个线性变换σ说是斜对称的,如果对于任意向量V∈βα,,)(,),(βσαβασ-=.证明:)(i 斜对称变换关于V 的任意规范正交基的矩阵都是斜对称的实矩阵(满足条件A A -='的矩阵叫做斜对称矩阵))(ii 反之,如果线性变换σ关于V 的某一规范正交基的矩阵是斜对称的,那么σ一定是斜对称线性变换.)(iii 斜对称实矩阵的特征根或者是零,或者是纯虚数.5．令A 是一个斜对称实矩阵.证明,A I+可逆,并且1))((-+-=A I A I U 是一个正交矩阵.6．对于下列对称矩阵A,各求出一个正交矩阵U,使得AU U '是对角形式:)(i ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=510810228211A ; )(ii ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=114441784817A。
第九章 欧式空间(第二讲)
( , ) xi y j ( i , j ).
i 1 j 1
m
n
令
aij ( i , j ),
i. j 1, 2, , n,
显然aij=aji.于是矩阵
a11 a 21 A an1 a12 a22 an 2 a1n a2 n ann
定义2.2 每个向量都是单位向量的正交组称为一个标 准正交组或单位正交组.
定义2.3 在欧氏空间中，由正交向量组形成的基称为 正交基；由标准正交组形成的基称为标准正交基或单位正 交基.
n维欧氏空间的n个向量ε1，ε2 ，· · ·，ε n构成标准正交 基的充要条件是
1, ( i , j ) ij 0,
1
x2 ( x
( k 2 3)
于是
(3) g3 ( x) k1(3) g1 ( x) k2 g2 ( x) f3 ( x) 1 1 x x2 3 2 1 2 x x . 6
在将g1(x) ，g2(x) ，g3(x)单位化.由前面计算已得 1 2 2 g1 ( x) 1, g 2 ( x) . 再计算出 12
线性代数
机动
目录
上页
下页
返回
结束
§ 度量矩阵与标准正交基
2.1 欧氏空间的度量矩阵
设V是n维欧氏空间. ε1，ε2 ，· · ·，ε n是V的一个基.对 于V中两个向量 x1 1 x2 2 xn n ,
y1 1 y2 2 yn n ,
为一个实对称矩阵.向量α, β的内积可表为
( , ) x T Ay.
（1）
这里x,y分别是α, β的坐标.我们称A为在基ε1，ε2 ，· · ·， ε n下的度量矩阵.上述结果表明，当知道了某组基下的度 量矩阵A时，任意两向量的内积可以通过这两个向量的坐 标按（1）式来计算.可见，度量矩阵完全确定了内积.
§9.3欧氏空间的同构
ki = li , i = 1， , n 故 α = β , σ 是单射。 2， 2) σ 是满射。 对 ∀α ′ ∈ V ′, α ′ = k1η1 + k2η2 + + knηn , 取 α = k1α 1 + k2α 2 + + knα n ∈ V , 则 σα = α ′, σ 是满射。 3) σ 是 V 到 V ′ 线性映射。 ∀α , β ∈ V , k ∈ R,
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ二、同构的性质
第九章 欧几里得空间
2、欧氏空间的同构是等价关系。 欧氏空间的同构具有以下性质： 1.反身性：即 V 与 V ′ 同构； 2.对称性：即若 V 与 V ′ 同构，则 V ′ 与 V 同构； 3.传递性：即若 V 与 W 同构，W 与 Z 同构，则
V 与 Z 同构。
证明：① 恒等映射是欧氏空间 V 到 V ′ 的一个同构映射， 且保持内积不变。故 V 与 V ′ 同构； ② 若 V 与 V ′ 同构，即存在 V 与 V ′ 的一个同构映射σ ,
σ −1 是 V ′ 与 V （看作线性空间）的同构映射。∀α , β ∈ V ′, 则 (α , β ) = (σσ −1α , σσ −1 β ) = (σ (σ −1α ), σ (σ −1 β )) = (σ −1α , σ −1 β )
故 σ −1 是欧氏空间 V ′ 与 V 的同构映射， V ′ 与 V 同构。
一、欧氏空间的同构 V 与 V ′ 都是 R 上欧氏空间。如果存在 V 到 V ′
∀k ∈ R, σ 满足： （1） σ (α + β ) = σ (α ) + σ ( β ), 映射保持线性关系 σ ( kα ) = kσ (α ), （2）
[高等代数（下）课外习题第九章欧氏空间]
![[高等代数（下）课外习题第九章欧氏空间]](https://img.taocdn.com/s3/m/ee777588294ac850ad02de80d4d8d15abe230088.png)
[高等代数（下）课外习题第九章欧氏空间]第九章欧氏空间一、判断题1、12,,,n εεε 是n 维欧氏空间的一组基，矩阵()ijn n A a ?=，其中(,)ij i j a εε=，则A 是正定矩阵。
( )2、设V 是一个欧氏空间，,V αβ∈，并且αβ=，则αβ+与αβ-正交。
( )3、设V 是一个欧氏空间，,V αβ∈,并且(,)0αβ=，则,αβ线性无关。
( )4、n 维Euclid 空间中任意一个正交向量组都能扩充成一组正交基（）5、若T 是正交变换，则T 保持向量的内积不变（）6、度量矩阵是正定的（）7、正交矩阵的行列式等于1 （）8、欧氏空间V 上的线性变换σ是对称变换的充要条件为σ关于标准正交基的矩阵为实对称矩阵。
（）9、设A 与B 都是n 阶正交矩阵，则AB 也是正交矩阵。
10、在欧氏空间V 中，若向量α与自身正交，则0=α.( )11、两两正交的向量构成的向量组叫正交向量组.( )12、若矩阵A 为正交矩阵，则1-='A A .( )13、设A 是n 维欧氏空间V 的正交变换，则A 在V 的任意基下的矩阵是正交矩阵.( )14、设21,V V 是n 维欧氏空间V 的两个正交子空间，且21V V V +=，则21V V V ⊕=。
( )15、对称矩阵A 的任意两个特征向量都正交。
( )二、填空题1、在欧氏空间3R 中，向量(1,0,1)α=-，(0,1,0)β=，那么(,)αβ＝_________，α＝_________．2、两个有限维欧氏空间同构的充要条件是__________________．3、已知A 是一个正交矩阵，那么1A -＝_________，2A ＝_________． 4、已知三维欧式空间V 中有一组基123,,ααα，其度量矩阵为110120003A --?? ?=- ?，则向量12323βααα=+-的长度为。
5、已知A 为n 阶正交阵，且|A|<0，则|A|= .6、欧氏空间V 上的线性变换σ是对称变换的充要条件为σ关于标准正交基的矩阵为。
欧几里得空间习题解答
第九章欧几里得空间习题解答P394.1.1(,)'0(""0)'(')'''(,)A A A αααααβαβαβααβαβ∴=≥=⇔====正定非负性证得由矩阵失去,线性性成立,再由(,)=A A 对称性成立，是一个内积()1111161P394.1.2,(06);19,,P394.1.2|(,)|||||(,)|i ijiji j n nnij i ji j n n ij i j i j A a x y c s B a x y εεαεεεαβαβαβ====⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭∴≤=∴--≤∑∑∑∑的度量矩阵即为A不等式为|()393.2P ①, α=(2,1,3,2), β=(1,2,-2,1)|||,)0,,2αβαβαβπαβ∴====∴⊥∴=〈〉393.2P ②, α=(1,2,2,3), β=(3,1,5,1)|||6,(,)18(,)(,)arc cos ||||4arc arc αβαβαβπαβαβ=====∴====393.2P ③, α=(1,1,1,2), β=(3,1,-1,0)||||(,)3,arc 700'30''38αβαβαβ===∴==︒〈〉P393. 3||||||αβαβ+≤+(,)|||()()||||(,)(,)d d d αγαγαββγαββγαββγ∴=-=-+-≤-+-+ =P393.4在4R 中求一单位向量与(1,1,-1),(1,-1,1-,1),(2,1,1,3)正交解设所求212341234123412344123(,,,)1,00230111111111111111020001003,2113013100314,0,14i x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x αα==+-+=⎧⎫⎪⎪--+=⎨⎬⎪⎪+++=⎭⎩⎛⎫-⎛⎫⎛⎫--⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--→-→=⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭===-=-∑则且与各向量的内积为0得令得,0,1,3),()-单位化393.5P ①证:因为12(,)0, 1.2,,i n i n γαααα==而是一个基11(,)(,)(,)0.0.nni i i i i i k k γγγαγαγ==∴====∑∑因此,必有393.5P ②证，12(,)(,), 1.2,i i i n γαγα==12(,)0, 1.2i i n γγα∴-==由第①小题：12120,γγγγ-==故P393.61231232211(,,)(,,)2123122αααεεε⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪--⎝⎭而1232211212,,3122ααα⎛⎫⎪-- ⎪ ⎪--⎝⎭是正交矩阵,所以是标准正交基11212431231212121124512451131212351152124531235393.7,/2(,)1111(22)(,)222221210)22)1()2s P αεεαεεεεεεεβααββαβαβεεεεεεεεβββαββεεεεηεεηεεεεηεεεε==-+=++==-=-=-+-=-+-=--=++-=+=-+-=++-123解:再正交化称:P394.8，解：123452111310014001110101115X X X X X X ⎛⎫ ⎪ ⎪---⎛⎫⎛⎫ ⎪=→= ⎪ ⎪--- ⎪⎝⎭⎝⎭⎪ ⎪⎝⎭解出：123014115100010001ηηη-⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭Schmidt:1221331022711161151311116222105022130005ββηββηβ--⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪==-=-=++-= ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭单位化便得到解空间的标准正交基：123766135εεε⎛⎛⎫⎛⎫⎪⎪-⎪⎪⎪⎪====⎪⎪⎪⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭P394.9 11(,)()()f g f x g x d x-=⎰已知2312341,,,x x xαααα====解：111βα==21122111223132321211223434142441234112233111222(,)(,)*2(,)(,)1310(,)(,)232(,)(,)(,)352(,)(,)(,)532(,)2||(,)||3(xdxx xx xx x x αββαβββαβαββαββββββαβαβαββαβββαββββββββββββ--=-=-=--=---=-=---=--=-====⎰又142333116424441218,)()||3945698(,)()||525175x x dxx x x dxββββββ+--=-+===-+==⎰⎰单位化标准正交基312324,1),3)396.17.4133333333133333343313333333313333x x x xPA A Eγγγγ===-=-------⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-----⎪ ⎪==⎪ ⎪-----⎪ ⎪⎪ ⎪-----⎝⎭⎝⎭1123443() 4.840Acy Tr A x x λλλλχχ∴===-⇒==-+-=221-秩(A+4E)=1至少为重根,而-(4+4+4)+解(A+4E)x=o,即1111210311111110212003⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪⎪⎪ ⎪⎪⎪-- ⎪⎪⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭得正交基础体系1100单位化为28λ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭解(A-8E)x=0.得解取自A+4E的一列3-33-31111121124124'1402812T T AT T AT -⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭-⎛⎫- ⎪- ⎪=== ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭-单位化为令则112121211111111395.10.10(,,)(,)(,)0,.(,)(,)0P V V V V V k k k V ββαβαβαβββββαβαβ∈≠∅=+=⇒+∈⎫∀∈∴≤⎬==⇒∈⎭11123123111P395.10.2 0dim 1.,,,(2)(,)dim 1.dim 1.n n V V n V i V i L V V n V n αααααααααααα≠∴∉≤-=∈≥∴≤⇒≥-∴≥-故将扩充为的一个正交基那么.P394，11①设两个基：12,12,,,n n εεεηηη及,它们的度量矩阵分别为A 和B,并设121211122111221212'''221122(,,,)(,,,),,(,,)(,,,)(,,)(,,,),(,)(')'()n n n n n n CV X X Y Y X CX Y CY X BY X AY X C AC Y C AC B ηηηεεεαβαεεηηηβεεηηηαβ=∈=========∴=任设所以合同P394.11②， 取V 的一个基12,,,,n A ααα其度量矩阵为因为A 正交,故存在矩阵C,使12121212',,,,,,',,,n n n n C AC E ηηηαααηηηηηη=C AC=E做基(,)=()C,那么,的度量矩阵为因此,为标准正交基.1212121212121212211111P394.12,,,,(,)(,,)()(,,),,|(,,)|,,,,(,,|0()0|()|||0,m ij i j m ij m mm m m m m m V G G G G G ααααααααααααααααααααααααααααααααα⨯∈==⇔≠⇔>⇔=≠记:，称，为，的Gram 矩阵称，为，的Gram 行列式证明，线性无关，）证:若m=1,线性无关，成立121211,|(,,)|0(,,)(,)(,,)0,0,1,2,.n m mj k k ij k ik k i k k k jk jk ji j k k k jm G A c c a c c i m αααβββββααααααγ=≠≠≠≠>==⇔=⇔==⇔-=∴⇔==∑∑∑∑若而，不妨设，1212(,,,),,,,j k k m k jj k m k jc L ck γαααααααααα≠≠=-∈⇔=⇔∑∑线性相关211212112121222122122222212122123|()|||||||||cos (,),(,)|(,)|(,),(,)||||cos ||||||(1cos )(||||cos )|(,,)|()G G G αααααθααααααααααααθαααθααθααα====-==类似地:平行六面体积P394，13，设：1222000n n n n nn A αααααα⎛⎫⎪ ⎪= ⎪⎪⎝⎭因为A 正交，故A'A=E ，令A=12(,,)n βββ由第1行列，211111,1αα==±由β1与其余各列正交，β1⊥βj （j>1），（β1，βj ）=111100(1)j j a a j α=⇒=>1100A A ±⎛⎫∴= ⎪⎝⎭其中A 1仍为上三角正交矩阵，但阶数少1，故可用归纳法给出证明，且n=1时显然为真，由归纳法原理，证毕。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第九章欧氏空间习题答案第九章欧氏空间习题答案一、填空题1. 0；2. i x；3. 123'b A b b ⎛⎫⎪ ⎪⎪⎝⎭； 5. A ；6. (2,2,1)-；7. 2π；8. 6±；9. 2k >；10. 线性变换在某基下的矩阵；11. 0；12. 它们的维数相同；13. A ，1；14. 1-；15. 正交；16. 3π；17. 正定的。
二、判断题1-5 ××√√√ 6-10 √×√√√ 11-15 √√√×√ 16-20 √√×√× 三、选择题1-5 CDBCC 6-10 CACB(BD) 11-15 BDAAA 16-18 ABB 四、计算题1. 由220212(2)(1)(4)002E A λλλλλλλ---=--=+--=，故特征值为2,1,4-。
当2λ=-时，有12123234202320230x x x x x x x --=⎧⎪--+=⎨⎪-=⎩，则基础解系为11(,1,1)'2ξ=-，单位化为1122(,,)'333η=-；当1λ=时，有1213232022020x x x x x x --=⎧⎪-+=⎨⎪+=⎩，则基础解系为21(1,,1)'2ξ=-，单位化为2212(,,)'333η=-；当4λ=时，有12123232202320240x x x x x x x -=⎧⎪-++=⎨⎪+=⎩，则基础解系为31(1,1,)'2ξ=-，单位化为3221(,,)'333η=-。
则令122333212333221333T ⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪=- ⎪ ⎪ ⎪-⎪⎝⎭，为正交阵，有1214T AT --⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭。
2. （1）111111t A t t ⎛⎫⎪=- ⎪⎪-⎝⎭，由于二次型正定，则2300320t t t t >⎧⎪>⎨⎪-->⎩，即2t >。
（2）当1t =时，则111111111A ⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭。
由2112111(2)(1)0111E A λλλλλλ----=---=-+=--，特征值为2,2,1-。
故标准形为22212322f y y y =+-。
3. 二次型矩阵为202023b A b a ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭。
由于正交变换得到的标准形为22212325f y y y =++，则A 的特征值为1,2,5，故23125a ++=++，12510A =⨯⨯=可得3,0a b ==。
当1λ=时，有123230220230x x x x x -=⎧⎪--=⎨⎪--=⎩，则基础解系为1(0,1,1)'ξ=-，单位化为1(0,,22η=-； 当2λ=时，有23232020x x x x --=⎧⎨--=⎩，则基础解系为2(1,0,0)'ξ=，单位化为2(1,0,0)'η=；当5λ=时，有1232330220220x x x x x =⎧⎪-=⎨⎪-+=⎩，则基础解系为3(0,1,1)'ξ=，单位化为3(0,22η=。
则令01000T ⎛⎫ ⎪ =⎝，为正交阵，有1125T AT -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭。
4. 设属于特征值1的特征向量为123(,,)'x x x α=，则1(,)0αα=，即230x x +=，基础解系为2(1,0,0)'α=，3(0,1,1)'α=-。
把2(1,0,0)'α=，3(0,1,1)'α=-单位化为2(1,0,0)'β=，3(0,)'22β=-。
1(0,1,1)'α=单位化为1(0,22β=。
令010022022T ⎛⎫⎪⎪ ⎪=⎪ - ⎝⎭，为正交阵，有1111T AT --⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭。
进一步得到1110010011010A T T --⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪==- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭。
5. 当j k ≠时，则22200011(cos ,cos )cos cos cos()cos()02()2()||jx kx jx kxdx j k x j k x j k j k πππ==+--=+-⎰22200011(sin ,sin )sin sin cos()cos()02()2()||jx kx jx kxdx j k x j k x j k j k πππ==-++-=+-⎰22200011(sin ,cos )sin cos sin()()02()2()||jx kx jx kxdx j k x sin j k x j k j k πππ==-++-=+-⎰故对于任何整数，该集合均为正交向量组。
6. 令2R 的一组基为12(1,0),(0,1)εε==，则有112212211212((,),(,))22x y x y x x x y x y y y =--+，可得在这组基下的度量矩阵为2112A -⎛⎫= ⎪-⎝⎭。
由(1)(3)E A λλλ-=--，特征值为1,3。
当1λ=时，有12120x x x x -+=⎧⎨-=⎩，则基础解系为1(1,1)'ξ=，单位化为1)'22η=； 当3λ=时，有12120x x x x +=⎧⎨+=⎩，则基础解系为2(1,1)'ξ=-，单位化为2('22η=-令2222T ⎛⎫- ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭为正交阵，使得113T AT -⎛⎫= ⎪⎝⎭。
则对角阵不是单位阵。
7. 令222(,,)3222f x y z x y z xy xy yz =+++++对应的二次型矩阵为111131111A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭（1）正交变换：由111131(1)(4)0111E A λλλλλλλ----=---=--=---，故特征值为0,1,4。
当0λ=时，有(0)0E A x -=，则特征向量为1(1,0,1)'ξ=-，单位化为1,0,22η=-； 当1λ=时，有()0E A x -=，则特征向量为2(1,1,1)'ξ=-，单位化为2'η=； 当4λ=时，有(4)0E A x -=，则特征向量为3(1,2,1)'ξ=，单位化为3(,)'636η=。
则令2360332T ⎛⎫ ⎪ ⎪⎪=- ⎪ - ⎝⎭，为正交阵，有1014T AT -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭， 则标准形为22(,,)44f x y z ξη=+=。
（2）平移变换：22222(,,)2()()()32f x y z x x y z y z y z y z yz =++++-++++ 即22(,,)()2f x y z x y z y =+++，作非退化线性替换123x y z y z ξξξ=++⎧⎪=⎨⎪=⎩，即2212(,,)24f x y z ξξ=+=。
8. 124(,,)(24,222,42)(,,)222421x y z x y z x y z x y z x y z σ⎛⎫ ⎪=++-+++=- ⎪ ⎪⎝⎭。
不妨设(,,)x y z α=，则A σαα=，其中124222421A ⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭设3R 的一组标准正交基为123,,εεε，则123123(,,)(,,)A σεεεεεε=。
因为A 是对称矩阵，则σ是对称变换。
由2(3)(6)0E A λλλ-=+-=，故特征值为3,3,6--。
当3λ=-时，有(3)0E A x --=，则特征向量为12(1,2,0)',(0,2,1)'ξξ=-=-，单位化为12(ηη==； 当6λ=时，有(6)0E A x -=，则特征向量为3(2,1,2)'ξ=，单位化为3212(,,)'333η=。
则令23132053T ⎛⎫ ⎪⎪⎪=⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，为正交阵，则存在一组标准正交基123,,γγγ使得123123(,,)(,,)T γγγεεε=，则有1336T AT --⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭。
9. 设3123(,,)x x x α=且13(,)0αα=，23(,)0αα=，则12132020x x x x -=⎧⎨+=⎩，即可取3(1,2,2)α=-。
把123,,,ααα正交单位化如下 11(2,1,0)βα==-，2122111(,)24(,,1)(,)55αββαβββ=-=。
11111,0)ηββ==-，222124(,,1)355ηββ==，33311(1,2,2)3ηββ==-。
123,,ηηη为3R 的一组标准正交基。
10. 由2(3)0E A λλλ-=-=，故特征值为0,0,3。
当0λ=时，有()0A x -=，则特征向量为12(1,1,0)',(1,0,1)'ξξ=-=-，属于特征值0的全部的特征向量为1122k k ξξ+，其中12,k k 为任意常数。
单位化为12((ηη==； 当3λ=时，有(3)0E A x -=，则特征向量为3(1,1,1)'ξ=，单位化为3(,333η=。
则令263063T ⎛ ⎪ ⎪=⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭为正交阵，则存在一组标准正交基123,,ηηη使得123123(,,)(,,)T ηηηεεε=，则有1003T AT -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭。
五、证明题1.''''''A A B A A B E A B B B A B B A B A A B +=+=+=+=+=-+，即0A B +=。
2. 令123(,,)x x x α=，123(,,)y y y β=，则1323123(,2,2)A x x x x x x x α=+--+，1323123(,2,2)A y y y y y y y β=+--+。
则11312232132333(,)22A x y x y x y x y x y x y x y αβ=++-+-+，11312232132333(,)22A x y x y x y x y x y x y x y βα=++-+-+，即(,)(,)A A αββα=，则A 是一个对称变换。
3. 必要性是显然的。
下面来证明充分性。
由于ker 0(,)0ασσασασα∈⇔=⇔=，即(,)00ααα=⇔=，因此ker 0σ=，从而σ是单射，又由于存在双射:'V V σ→，并且,V αβ∀∈有(,)(,)αβσασβ=。
因此σ欧氏空间V 与'V 一个同构映射。
4. 不妨设12,,,s ααα是向量组12,,,m ααα的一个极大线性无关组，下证12,,,s βββ是向量组12,,,m βββ的一个极大线性无关组。