第二章命题推理(离散数学)详解

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离散数学课件命题逻辑

联结词与复合命题(续)
定义2.5 设p, q为命题, 复合命题 “p当且仅当q”称作p与q 的
等价式, 记作pq, 称作等价联结词. 并规定pq为真当且仅当 p与q同时为真或同时为假.
pq 的逻辑关系: p与q互为充分必要条件
例如这件事张三能做好, 且只有张三能做好
设p:张三做这件事, q:这件事做好了
26
(v∧w)∨(v∧w) 又可形式化为 v∨w
12
联结词与复合命题(续)
定义2.4 设 p,q为二命题, 复合命题 “如果p,则q” 称作p与q 的蕴涵式, 记作pq, 并称p是蕴涵式的前件, q为蕴涵式的后件. 称作蕴涵联结词, 并规定, pq为假当且仅当 p为真且q为假.
例如如果明天天气好, 我们就出去郊游设p:明天天气好, q:我们出去郊游, 形式化为 pq
说明: (1) 赋值记作=12…n, i=0或1, 诸i之间不加标
点符号 (2) 通常赋值与命题变项之间按下标或字母顺序对应, 即
当A的全部命题变项为p1, p2, … , pn时, 给A赋值12…n 是指p1=1,p2=2,…,pn=n; 当A的全部命题变项为p,q,r,… 时, 给A赋值123…是指p=1, q=2, r=3, …
是指p1= 1,p2= 2,…,pn= n; 当A的全部命题变项为p,q,r,…
例如 p:2是偶数, q: 2是素数, p∧q: 2是偶素数,
0 0 1 1 1
联结词(¬, , , , )
1
1
(2) ( p q) q
0 1 1 例4 设p:天冷, q:小王穿羽绒服，
(e) A=B C, 其中B,C的层次及n同(b)
p的否定式, 记作p, 符号称作否定联结词, 并规定p 为真当且仅当 p为假例如 p:2是合数, p: 2不是合数, p为假, p为真

离散数学第二章命题演算的推理理论-假设推理系统

则称A是由 A1，A2，…，An实施规则R而得。设Γ=A1，A2，…，An，则上述规则R可以记为 Γ├ A
其中Γ为形式前提，A为形式结论。
肯定前提律
A1，A2，A3，…，An ├ Ai (i=1，2，…，n)，即前提中的任何命题均可作为结论。
二、假设推理过程
1， 2， …，k├ B
定义: 如果能够作出一系列合式公式序列 A1，A2, A3, …，An，它们(诸Ai)满足下列性质： (1) 或为公理之一； (2) 或为公式1, 2, …,k之一，每个i称为假设； (3) 或由前面的若干个Ag、Ah利用分离规则而得； (4) An=B。称这个公式序列A1，A2, …，An为由公式 1， 2， …，k证明B的证明过程.
例 ((PQ)((PR)(QS)))(SR)
解: (1) (P∧Q) ∧((PR) ∧(QS)) (2) P∧Q →P (3) P∧Q→Q (4) (P∧Q) ∧((PR) ∧(QS)) →(P∧Q) (5) (P∧Q) ∧((PR) ∧(QS)) → (PR) ∧(QS) (6) P∧Q (7) (PR) ∧(QS) (8) ((PR) ∧(QS)) →(P→R) (9) ((PR) ∧(QS)) →(Q→S) (10) P→R (11) Q→S (12) P (13) Q (14) R (15) S (16) S→(R→(S∧R)) (17) R→(S∧R) (18) S∧R 假设公理8 公理9 代入(2) 代入(3) (1)(4)分离 (1)(5)分离代入(2) 代入(3) (7)(8)分离 (7)(9)分离 (2)(6)分离 (3)(6)分离 (10)(12)分离 (11)(13)分离公理10 (15)(16)分离 (14)(17)分离
例 QQ心情谜语

离散数学第2章谓词逻辑

命题“凡人要死。”符号化为：(x)F (x) ⑵ 令G(x)：x是研究生。命题“有的人是研究生。”符号化为：(x)G(x)
在命题函数前加上量词(x)和(x)分别叫做个体变元x 被全称量化和存在量化。一般地说，命题函数不是命题，如果对命题函数中所有命题变元进行全称量化或存在量化，该函数就变成了命题。这一结论在例2.3中得到验证。
为假。 ⑵ 如果5大于3，则2大于6。解：设G(x,y)： x大于y a：5，b：3，c：2，d：6 该命题符号化为：G(a,b)→G(c,d) G(a,b)表示5大于3，它是真命题。G(c,d)表示2大于6，
ห้องสมุดไป่ตู้这是个假命题。所以G(a,b)→G(c,d)为假。
(3) 2 是无理数, 而 3 是有理数解：设F(x): x是无理数, G(x): x是有理数符号化为 F( 2) G( 3) 真值为 0 (4) 如果2>3，则3<4 解：设 F(x,y): x>y, G(x,y): x<y, 符号化为 F(2,3)G(3,4) 真值为1
谓词：刻划个体性质或个体之间相互关系的模式叫做谓词。谓词常用大写英文字母表示，叫做谓词标识符。
例如可以用F，G，H表示上面三个命题中谓词： F：„是优秀共产党员。 G：„比„高。 H：„坐在„和„的中间。
第2章谓词逻辑
一元谓词：与一个个体相关联的谓词。如上例中的F。二元谓词：与两个个体相关联的谓词。如上例中的G。三元谓词：与三个个体相关联的谓词。如上例中的H。
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第2章谓词逻辑
课外作业
• 教材P59-60页: 练习题（需要做在练习本上）（1）（2） a)、c) 、d)、e)、 f)、i)、k)、l)
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第二章命题推理(离散数学)

(3) PP
公理1
(4) (PQ)(PQ)
(5) P((PQ)Q)
代入
分离(2)(4)
26/66
例1
已知公理：
A: (Q R)((PQ)(PR))
B: (PP)P
C: Q(PQ)
及分离规则和代入规则试证明 PP 为定理
27/66
例1的证明
(1) (Q R)((PQ)(PR)) 公理A
33/66
假言三段论（传递三段论）
PQ QR 前提前提
PR
结论
推理的有效性由公理3所保证。
34/66
化简
P∧Q 前提
P
结论
推理的有效性由公理8所保证。
35/66
合取
P Q 前提前提
P ∧Q
结论
推理的有效性由公理10所保证。
36/66
拒取
PQ Q 大前提小前提
P
结论
推理的有效性由定理3所保证。
9/70 9/66
关于推理理论的学习
公理化演绎推理归结推理
离散数学
北京大学耿素云
前提引入规则结论引入规则置换规则 8条推理定律
前提引入规则结论引入规则置换规则 9条推理定律,24个等值式 9条推理规则
离散数学及其应用离散数学离散数学
北京大学屈婉玲
解放军通信工程学院方世昌朱怀宏，南京大学出版社
从前提出发，通过推导即“演绎”，得出结论的过程。前提和结论之间有可推导性关系：前提的真蕴涵结论的真。
•归纳推理（科学家使用）从真的前提出发，得到的结论只能够要求它与前提是协调的，但不一定是真的。
• 溯因推理（侦探使用）生成假设来解释观察或结论。

离散数学命题逻辑推理理论

扩展命题逻辑
通过引入新的逻辑元素、运算符和规则，扩展命题逻辑的表达能力和应用范围。
模糊命题逻辑
研究模糊命题的逻辑结构和推理规则，以处理不确定性和模糊性。
模态命题逻辑
引入模态算子，研究模态命题的逻辑结构和推理，以处理必然性和可能性。
未来命题逻辑的研究热点
自然语言处理中的逻辑推理
结合自然语言处理技术，研究自然语言中复杂逻辑关系的表达和推理。
人工智能中的逻辑推理
探索在人工智能领域中应用命题逻辑的方法和技术，提高人工智能系统的推理能力。
多模态逻辑推理
研究多模态信息（如文本、图像、音频等）的逻辑结构和推理规则，以实现多模态信息的融合和理解。
THANK YOU
感谢聆听
离散数学命题逻辑推理理论
目
CONTENCT
录
• 命题逻辑基础 • 推理规则 • 逻辑推理题目解析 • 命题逻辑的应用 • 命题逻辑的局限性与发展
01
命题逻辑基础
命题与逻辑联结词
命题
命题是具有真假意义的陈述句，可以判断为真或假。
逻辑联结词
逻辑联结词用于连接命题，形成复合命题，常见的逻辑联结词包括与(&&) 、或(||)、非(~)等。
命题形式与真值表
命题形式
命题可以表示为不同的形式，如P、Q、R等，表示简单命题，也可以表示为P(&&)Q、P(||)Q等，表示复合命题。
真值表
真值表是用来表示命题逻辑运算结果的表格，根据不同的逻辑联结词和命题的真假值，可以计算出复合命题的真假值。
命题的等价与蕴含
命题等价
如果两个命题在逻辑上具有相同的真假值，则它们是等价的。
80%
归结推理

《离散数学》命题逻辑

由原子命题组合而成的命题称为复合命题（compound proposition）。
例如：
和 e 都是无理数。 6和8至少有一个是合数。说刘老师讲课不好是不正确的。不下雨我就去买书。
7
命题与命题联结词
将命题连接起来的方式叫做命题联结词
（ proposition connective ）或命题运算符
3
命题与命题联结词
逻辑
如何表示？如何“操作”？
非真即假的陈述句称为命题（proposition）。一个命题如果是对的或正确的，则称为真命
题，其真值为“真”（true），常用T或1表示；一个命题如果是错的或不正确的，则称为假
命题，其真值为“假”（false），常用F或0表示。
4
命题与命题联结词
32
命题公式及其分类
为简化公式的形式，作如下规定：
(1) 优先级 , (∧, ∨), (, ) (2) 公式 (~p) 的括号可以省略，写成 ~p (3) 整个公式最外层的括号可以省略
例1
(((p)∧q)(q∨p)) p∧q q∨p
例2
p∧q∨r 不是命题公式应写作 (p∧q)∨r 或 p∧(q∨r)
例判断下列句子哪些是命题，哪些不是
这门课程题为“离散数学”。这门“离散数学”讲得好吗？ X 这门“离散数学”讲得真好！ X 请学习“离散数学” 。 X 5是素数。太阳从西方升起。如果明天晴，而且我有空，我就去踢球。天王星上没有生命。 x + 3 > 5。 X 5 本命题是假的。X
俞伯牙和钟子期是好朋友。俞伯牙是好朋友 ∧ 钟子期是好朋友俞伯牙 ∧ 钟子期是好朋友 Friend (俞伯牙,钟子期)
23

离散数学-第二章命题逻辑

设A( P1，P2，…,Pn )是一个命题公式，
P1，P2，…,Pn是出现于其中的全部命题变元，对P1， P2，…,Pn分别指定一个真值,称为对P1，P2，…,Pn公式A 的一组真值指派。
列出命题公式A在P1，P2，…,Pn的所有2n种真值指派下对应的真值，这样的表称为A的真值表。
16
例3
值表。
例12 用符号形式表示下列命题。
（1）（2）如果明天早上下雨或下雪，那么我不去学校如果明天早上不下雨且不下雪，那么我去学校。
（3）
（4）
如果明天早上不是雨夹雪，那么我去学校。
只有当明天早上不下雨且不下雪时，我才去学校。解令P：明天早上下雨； Q：明天早上下雪； R：我去学校。（1）（P∨Q）→ ¬ R；（2）（¬ ∧¬ P Q）→R；（3）¬ (P∧Q）→R （4）R→（¬ ∧¬ Q） P
4
例4
2．合取“∧” 定义2.2.2
设P和Q是两个命题，则P和Q的合取是一个复合命题，记作“P ∧ Q”（读作“P且Q”）。
当且仅当命题P和Q均取值为真时，P ∧ Q才取值为真。
P 0 0 1 1 Q 0 1 0 1 P∧Q 0 0 0 1
例5
设P：我们去看电影。Q：房间里有十张桌子。则
P ∧ Q表示“我们去看电影并且房间里有十张桌子。”
5
3. 析取“∨” 定义2.2.3
设P和Q是两个命题，则P和Q的析取是一个复合命题，记作“P∨Q”（读作“P或Q”）。
当且仅当P和Q至少有一个取值为真时，P∨Q取值为真。
P
0 0 1 1 Q 0 1 0 1 P∨Q 0 1 1 1
例6 设命题P：他可能是100米赛跑冠军；
Q：他可能是400米赛跑冠军。

离散数学第二章知识点

命题逻辑等值演算等值式定理：设A，B两个命题公式（即前面的合式公式），若A，B构成的等价式A↔B为重言式，则A与B是等值的，记作A⇔B(可以说该式子为等值式模式)常用的16组等值式模式：双重否定律：A⇔﹁﹁A幂定律：A⇔A∧A，A⇔A∨A交换律:A∨B⇔B∨A,A∧B⇔B∧A结合律：(A∨B)∨C⇔A(B∨C)(A∧B)∧C⇔A(B∧C)分配律:A∨(B∧C)⇔(A∨B)∧(A∨C)A∧(B∨C)⇔(A∧B)∨(A∧C)德摩根律：﹁(A∨B)⇔﹁A∧﹁B﹁(A∧B)⇔﹁A∨﹁B吸收律：A∨(A∧B)⇔A，A∧(A∨B)⇔A零律：A∨1⇔1,A∧0⇔0同一律:A∨0⇔A,A∧1⇔1排中律:A∨﹁A⇔1矛盾律:A∧﹁A⇔0蕴涵等值式: A→B⇔﹁A∨B等价等值式: A↔B⇔(A→B)∧(B→A)假言易位:A→B⇔﹁B→﹁A(这里可以用逆否命题的概念证明)等价否定等值式:A↔B⇔﹁A↔﹁B(或写成﹁B↔﹁A，这里可以用逆否命题的概念证明)归谬(miu)论：(A→B)∧(A→﹁B)⇔﹁A(此处可以通过蕴涵等值式，交换律以及结合律进行结合证明)上述等值式模式可以通过真值表证明等值式的验证1.等值演算法（即通过等值式模式对原式进行变形）举例:(p∨q)→r⇔(p→r)∧(q→r)证明时可以从左边开始演算也可以从右边开始演算，无硬性要求，这里我们从右边开始演算。

(p→r)∧(q→r)⇔(﹁p∨r)∧(﹁q∨r) //蕴涵等值式⇔(﹁p∧﹁q)∨r //分配律⇔﹁(p∨q)∨r //德摩根律⇔(p∨q)→r //蕴涵等值式2.真值表法（我在第一章的最后有叙述，这里不再重述）3.观察法（也可称为带入法，此处适合用以证明两式不等值的情况）关于等值演算法的补充：等值演算法可以用以证明公式的类型。

1.当最后结果为1时为重言式（永真式）2.当最后结果为0时为矛盾式（永假式）3.当最后结果只能化成某个命题变项或公式时为可满足式析取范式与合取范式简单析取式：p,﹁p,p∨q,﹁p∨q,p∨﹁q,,﹁p∨﹁q,﹁p∨﹁q∨r等（这里可以发现的是里面都只含有析取联结词，简单析取式结构就是由析取联结词和命题变项组成的一个公式）简单合取式：p,﹁p,p∧q,﹁p∧q,p∧﹁q,,﹁p∧﹁q,﹁p∧﹁q∧r等（这里可以发现的是里面都只含有合取联结词，简单合取式结构就是由合取联结词和命题变项组成的一个公式）课本中的定理：命题变项及其否定统称为文字。

离散数学--第二章命题逻辑的推理理论

1 2 k
Dr Chen Guangxi
第二章命题逻辑的推理理论
(4)构造证明法构造证明法当前提与结论中命题变项较多时，前几种方法的工作量太大，不方便，而构造证明法较为方便。构造证明法必须在给定的推理规则下进行。常用的推理规则有以下11条： (1)前提引入规则：在证明的任何步骤上，都可以引入前提。 (2)结论引入规则：在证明的任何步骤上，所得中间结果都可以作为后继证明的前提。 (3)置换规则：在证明的任何步骤上的公式中的子公式均可用与之等值的公式置换。
离散数学
Discrete Mathematics
Chen Guangxi
School of Mathematics and Computing Science
第二章命题逻辑的推理理论
目标:
掌握推理形式结构熟练运用构造推理方法了解命题逻辑归结证明
学习建议:
与初中平面几何证明进行对比勤做练习
Dr Chen Guangxi
第二章命题逻辑的推理理论
(8)假言三段论：
A→B B→C ∴A→C
(9)析取三段论规则： A∨ B A∨ B ¬A ¬B 或者 ∴B ∴A
Dr Chen Guangxi
第二章命题逻辑的推理理论
(10)构造性二难推理规则：
A → B C → D A∨C ∴B∨ D
(11)合取引入规则：
A B ∴A∧ B
Dr Chen Guangxi
第二章命题逻辑的推理理论
是重言式类似，与用 A ⇔ B 表示 A ↔ B是重言式类似，用 A ⇒ B表示A → B 是重言式，不是联结词是重言式， ⇒ 符。推出B的推理正确的推理正确，若 A , A ,⋯, A 推出的推理正确，则记作 ( A1 ∧ A2 ∧ ⋯ ∧ Ak ) ⇒ B 为蕴涵式。称A⇒B为蕴涵式。 ⇒ 为蕴涵式

离散数学第2章命题逻辑

使用联结词^需注意两点：
（1）自然语言中的 “既……，又……”， “不但……，而且……”， “虽然……，但是……”， “一面……，一面……”，等都可以符号化为^。（2）不要见到“与”或“和” 就使用联结词^.
(3) q ∧ p r∧s
15
(4) 记 r: 张辉是三好生, s:王丽是三好生,
(5) 简单命题, 记 t: 张辉与王丽是同学
除非q, 才p
除非q, 否则非p 当p为假时，pq为真(不管q为真, 还是为假)
19Leabharlann 实例例4 设p:天冷, q:小王穿羽绒服，将下列命题符号化 (1) 只要天冷，小王就穿羽绒服. (2) 因为天冷，所以小王穿羽绒服. (3) 若小王不穿羽绒服，则天不冷. (4) 只有天冷，小王才穿羽绒服. (5) 除非天冷，小王才穿羽绒服. (6) 除非小王穿羽绒服，否则天不冷. (7) 如果天不冷，则小王不穿羽绒服. (8) 小王穿羽绒服仅当天冷的时候.
第2章
2.1
命题逻辑
命题逻辑基本概念
2.2
2.3 2.4
命题逻辑等值演算
范式命题逻辑推理理论
1
数理逻辑是研究推理的数学学科，它着重
于推理过程以及推理是否正确的研究。
数理逻辑包含：逻辑演算(命题演算与谓
词演算)、公理集合论、证明论、递归函数论、模型论，其中逻辑演算是其他各部分的基础
11
实例
例1 下列句子中那些是命题？
(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) 北京是中华人民共和国的首都. 2 + 5 ＝8. x + 5 ＞ 3. 你会开车吗？ 2050年元旦北京是晴天. 这只兔子跑得真快呀！请关上门！我正在说谎话. 真命题假命题

离散数学命题逻辑

离散数学命题逻辑
离散数学是一门研究离散结构和逻辑推理的学科。

在这门学科中，命题逻辑是其中最基础的一部分。

命题逻辑是一种符号系统，用于表示和推理关于命题的真值。

命题是可以判断为真或假的陈述句。

命题逻辑的目标是通过推理规则和运算符来确定一个复合命题的真值。

命题逻辑中的符号包括命题变量、命题常量、逻辑连接词和逻辑运算符。

命题变量是用字母表示的可以代表任意命题的符号，命题常量是具体的命题，例如“今天是晴天”。

逻辑连接词包括“与”、“或”、“非”等。

逻辑运算符包括合取、析取、否定等。

命题逻辑有一些重要的推理规则，例如蕴含规则、假言推理、逆否命题等。

这些推理规则可以用来证明一个复合命题的真值。

在命题逻辑中，还可以使用真值表来确定一个复合命题的真值。

真值表是一种列出所有可能的真值组合并计算复合命题真值的表格。

除了命题逻辑，离散数学中还有谓词逻辑、谓词演算等其他逻辑系统。

这些逻辑系统在表示和推理复杂问题时更为强大和灵活。

离散数学中的命题逻辑在计算机科学、人工智能、密码学等领域有着广泛的应用。

例如，在计算机程序设计中，命题逻辑被用来表示和推理程序的正确性。

在人工智能中，命题逻辑被用来表示和推理关于世界的知识。

在密码学中，命题逻辑被用来分析和构造安全的密码算法。

总而言之，离散数学中的命题逻辑是一种重要的逻辑系统，用于表示和推理关于命题的真值。

它在各个领域都有广泛的应用，是理解和应用离散数学的基础。

离散数学第二章课后题目讲解

25（4）自然数有三条公理：（a）每个数都有唯一的一个数是它的后继数；（b）没有一个数，使 1 是它的后继；（c）每个不等于 1 的数，都有唯一的一个数是它的直接先行者。
用谓词公式符号化上述三条公理。 [解]：设 N（x）：x 是一个数。S（x，y）：y 是 x 的后继数（即 x 是 y 的直接先行者，例如 z 的直接先行者是 1）于是，（a）x（N（x）→（！y）（N（y）S∧（x，y）））（b）┐x （N（x）S∧（x，1）（c）x（N（x）┐S∧（x，z）→（！y）N（y）S∧（y，x）））
24（3）对下列谓词公式中的自由变元进行代入（a）（yＡ（x，y）→xＢ（x，z））∧xzＣ（x，y，z）；（b）（yＰ（x，y）∧Ｑ（x，z））∨xＲ（x，y）。 [解] （a）（yＡ（u，y）→xＢ（x，v））∧xzＣ（x，t，z）。（b）（yＰ（u，y）∧Ｑ（u，z））∨xＲ（x，t）。
23（3）设 Q（x，y，z）：x+y=z，（其中 x，y，z 均为实数）试确定如下两个命题的真假值： xyz Q（x，y，z）； zxy Q（x，y，z）。 [解]： xyz Q（x，y，z）表示对任意实数 x，y 必存在实数 z 使 x+y=z。显然是真
命题。 zxy Q（x，y，z）表示存在实数 z，对任意实数 x，y 必有 x+y=z。当然这样
21（2）将下列命题符号化：（a）所有的教练员是运动员（J（x），L（x））；
（b）某些运动员是大学生；（S（x））；（c）某些教练是年老的，但是健壮的（Ｑ（x），V（x））；（d）不是所有的运动员都是教练；（e）所有的运动员都钦佩某些教练（A（x，y））；（f）有些大学生不钦佩运动员。

离散数学2课件第2章命题逻辑等值演算

个命题变项和它的否定式。
23/56
范式的性质
定理2.2 (1) 一个析取范式是矛盾式当且仅当它每个简单合取
式都是矛盾式。 (2) 一个合取范式是重言式当且仅当它的每个简单析
取式都是重言式。
定理2.3（范式存在定理）任何命题公式都存在与之等值的析取范式与合
取范式。
24/56
命题公式的范式
求公式A的范式的步骤： (1) 消去A中的, （若存在） ABAB AB(AB)(AB) (2) 否定联结词的内移或消去 A A (AB)AB (AB)AB (3) 使用分配律
的十进制表示. 用Mi表示第i个极大项，其中i是该极大项成假赋值
的十进制表示. mi（Mi）称为极小项（极大项）的名称。
29/56
实例
由两个命题变项 p, q 形成的极小项与极大项
极小项
公式成真赋值
pq 0 0
pq
01
pq
10
pq
11
名称
m0 m1 m2 m3
极大项
公式成假赋值
pq 0 0 pq 0 1 pq 1 0 pq 1 1
(2) 简单析取式——仅由有限个文字构成的析取式
p, q, pq, pqr, …
(3) 简单合取式——仅由有限个文字构成的合取式
p, q, pq, pqr, …
(4) 析取范式——由有限个简单合取式组成的析取式
p, pq, pq, (pq)(pqr)(qr)
(5) 合取范式——由有限个简单析取式组成的合取式
14/56
等值演算的应用举例
判断公式类型: A为矛盾式当且仅当A 0 A为重言式当且仅当A 1
例4 用等值演算法判断下列公式的类型 (1) q(pq) (2) (pq)(qp) (3) ((pq)(pq))r)

离散数学第二章命题演算的推理理论命题演算的公理系统

Q用(PP)代入
(11) (P(PP))
(10)(8)分离
(12) (P(PP))((PP) P)
(3)式中Q用PP代入
(13) (PP) P
(12)(11)分离
例2(p19)
已知公理： A P(Q P)
B (P(Q R))((PQ)(PR)) C (P(QR))(Q(PR)) D P(PQ) E (PQ)(QP)
2.2 命题演算的假设推理系统 2.3 命题演算的归结推理法
2．1 命题演算的公理系统
给出若干条永真公式(称为公理)，再给出若干条由永真公式推出永真公式
的推理规则，由它们出发推出一切永真公式的系统。
✓ 了解公理系统的构成规则和推理形式， ✓ 培养读者构造公理系统及利用该公理系统进
行推理的能力。
定理3 (p18,拒取式) (PQ)(QP)
分析：由公理14，(PQ)(QP)，可以得到 (PQ)(QP) 下面就是要建立(PQ)与(PQ)之间的联系。如果 (PQ) (PQ)，则由传递性知道结论成立。下面先证明(PQ) (PQ)。
证明：先证 (PQ) (PQ)
(1)PP
定理1
(2)QQ
(((PQ)(QP))((PQ)(QP)))
(8)式中P用PQ，Q用PQ，R用QP代入
(10)((PQ)(QP))((PQ)(QP)) (9)(7)分离
(11)(PQ)(QP)
(10)(4)分离
例（同定理3）
已知公理 A: PP B: (PQ) (QP) C: (PQ) ((RP) (RQ)) D: (PQ) ((QR) (PR))
与有关
常用推理定律(详见耿素云《离散数学》)
• P(P∨Q)

离散数学的命题逻辑详述

定义：设Ｐ，Ｑ是命题，复合命题“Ｐ当且仅当Ｑ”
称为Ｐ等值Ｑ。记为：ＰＱＰＱ为真当且仅当Ｐ与Ｑ同时为真或同时为假。
Ｐ
Ｑ
ＰＱ
０
０
１
０
１
０
１
０
０
１
１
１
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例：非本仓库工作人员，一律不得入内。
令 P：某人是仓库工作人员； Q：某人可以进入仓库。
则上述命题可表示为：P Q
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命题的符号化
使用上面介绍的逻辑联结词,可将一些自然语句翻译成逻辑式.即命题符号化.
令 P：明天早上下雨； Q：明天早上下雪； R：我去学校。
（1）（P∨Q）→ ¬R；（2）（¬P ∧¬Q）→R；（3）¬(P∧Q）→R （4） R→(¬P ∧¬Q）
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例:不是鱼死，就是网破设Ｐ：鱼死，Ｑ：网破则为： (P∧¬Q) ∨(¬ P∧Q)
注意: 命题符号化时,由于自然语言丰富多彩且有时还具有二义性，只有在具体的语言环境中，每个联接词才有确切的含义，因此具体问题要具体分析; 复合命题的真值只取决于构成它的各原子命题的(真）值，而与这些原子命题的具体内容无关。
重言式中有许多非常有用的恒等式和永真蕴含式。
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例如：
P∨P：重言式 P∧P：矛盾式 (PQ) ∧R：偶然式（可满足式）
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恒等式
定义：对于公式A和B，如果在任何相同的解释下，其相应的值都相同，则称A与B逻辑等值（价），记为： AB。读作“A等价于B”。或者说如果AB是重言式,则称AB.
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例1 判断下列符号串是否为命题公式。（1） (P→(Q∧PR）)；
（2）((P∨Q)→(¬(Q∧R)))
为了省掉一些括号,作如下约定： 1. 五种连接词的运算优先级的次序由高到低如下：

离散数学第二章命题逻辑等值演算

再如 ┑p ∨ q 既是p →q的析取范式又是它的的合取范式
如果公式的范式不唯一则对于将公式按等值进行分类的利用价值就不高
p q (p → q)∧(q→p) (p∧q)∨(┓p∧┓q)
00
1
1
01
0
0
10
0
0
11
1
1
（0,0）与（1,1）为公式的成真赋值。（0,1）与（1,0）为公式的成假赋值
命题公式的分类（根据公式在赋值下的真值情况进行分类） 1）若命题公式在它的各种赋值下取值均为真,则称命题公式是重言
式或永真式。 2）若命题公式在它的各种赋值下取值均为假,则称命题公式是矛盾
2
如：┐Q∧（Ｐ→Q） → ┐P
4
分析1：若要得出：当设 A为真，B为
假的情况不会出现，
5
那么A →B 为永真式。
6
可证明：设前件为真
7
分析2：还可以从设 B为假，推出A
为真的情况不会出现（A为假），
9
证明：设后件为假
8
那么A →B 为永真式。
1 0
(（Ｐ→Q）∧( Q→R)) →(Ｐ→R)
不同真值表的公式 1）当命题变元确定后，通过五个连接词及其命题变元可以构成无数个不同表现形式的命题公式。问题：这些不同形式的命题公式的真值表是否都不相同？先看变元仅有两个p,q 那么关于这两个变元的公式的赋值仅有4组
（┐p ∨ q）∧（┐q∨┐p∨r）∧┐q
是含三个简单析取式的合取范式．
2、性质：
1)一个析取范式是矛盾式当且仅当它的每个简单合取式都是矛盾式
2)一个合取范式是重言式当且仅当它的每个简单析取式都是重言式
┐p ∧ P ∨ ┐ q∧ q ⇔ 0 ∨ 0 ⇔ 0

离散数学命题逻辑公式

离散数学命题逻辑公式1. 命题逻辑的基本概念命题逻辑是离散数学的一个重要分支，主要研究命题之间的关系以及命题的推理规则。

命题逻辑中的基本概念包括：命题：命题是描述客观事实真假的句子。

命题的真假值只有两个：真和假。

命题联结词：命题联结词用于将两个或多个命题连接起来，形成新的命题。

常见的命题联结词有：否定（¬）、合取（∧）、析取（∨）、蕴含（→）和等价（↔）。

命题公式：命题公式是由命题和命题联结词组成的表达式。

命题公式的真假值取决于其组成命题的真假值。

2. 命题逻辑的推理规则命题逻辑的推理规则是用于从给定的命题公式推导出新命题公式的规则。

常见的推理规则有：三段论：三段论是一种由两个前提和一个结论组成的推理形式。

如果两个前提都是真的，那么结论也一定是真的。

例如：所有哺乳动物都是恒温动物。

猫是哺乳动物。

所以，猫是恒温动物。

假言推理：假言推理是一种由一个条件句和一个结论组成的推理形式。

如果条件句是真的，那么结论也一定是真的。

例如：如果今天下雨，那么我就不出门。

今天下雨。

所以，我不出门。

选言推理：选言推理是一种由两个或多个分支组成的推理形式。

如果其中一个分支是真的，那么结论也一定是真的。

例如：要么今天下雨，要么明天下雨。

今天下雨。

所以，明天不会下雨。

3. 命题逻辑的应用命题逻辑在计算机科学、人工智能、哲学等领域有着广泛的应用。

在计算机科学中，命题逻辑用于设计和分析逻辑电路、编译器和操作系统等。

在人工智能中，命题逻辑用于知识表示和推理。

在哲学中，命题逻辑用于研究逻辑的本质和推理的有效性。

4. 结语命题逻辑是离散数学的一个重要分支，主要研究命题之间的关系以及命题的推理规则。

命题逻辑的应用非常广泛，包括计算机科学、人工智能、哲学等领域。

离散数学第二章第一节解读.

①对全称量词，特性谓词作为蕴含式的前件。
②对存在量词，特性谓词作为合取项。 ⑷ 设个体域为有限集 {a1,a2,…,an} ，则对任意谓词 A(x) ： ①(x)A(x)A(a1)∧A(a2)∧...∧A(an)， ②(x)A(x)A(a1)∨A(a2)∨...∨A(an)。 ⑸ 多个量词同时出现时，不能随意改变它们的顺序，否则会改变原命题的含义。
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第2-1讲作业
P59 1abefgh，2dfkl
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人有了知识，就会具备各种分析能力，明辨是非的能力。所以我们要勤恳读书，广泛阅读，古人说“书中自有黄金屋。 ”通过阅读科技书籍，我们能丰富知识，培养逻辑思维能力；通过阅读文学作品，我们能提高文学鉴赏水平，培养文学情趣；通过阅读报刊，我们能增长见识，扩大自己的知识面。有许多书籍还能培养我们的道德情操，给我们巨大的精神力量，鼓舞我们前进。
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4、量词(例1)
例1 在谓词逻辑中将下列命题符号化： ⑴ 凡偶数都能被２整除。 ⑵ 存在偶素数。 ⑶ 没有不犯错误的人。 ⑷ 在沈阳工作的人未必都是沈阳人。
解： ⑴ (x)((F(x)→G(x)),其中F(x):x是偶数;G(x):x能被２整除。 ⑵ (x)((F(x)∧G(x)),其中，F(x)：x是偶数；G(x)：x是素数。 ⑶ (x)((M(x)∧F(x)),其中，M(x)：x是人；F(x)：x犯错误。或者符号化为： (x)((M(x)→F(x)) ⑷ (x)((F(x)→G(x)) 其中，F(x)：x是在沈阳工作的人。G(x)：x是沈阳人。或者符号化为：(x)((F(x)∧G(x))
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4、ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ词
考虑命题“所有的人都是要死的”和“有些人能活百岁以上” 的符号化问题，除个体变元和谓词之外，还有对个体在数量上的量化和约束，如“所有的”和“有些”，称这种表示数量的词为量词。

离散数学—第2章命题逻辑

第二章命题逻辑---学习指导一、内容提要1.命题逻辑基本概念（1）命题与连接词命题与真值：命题、命题的真值、真命题、假命题、简单命题（或原子命题）复合命题；命题与真值的符号化：用p、q、r等命题，用数字1表示命题真，用0表示假；连接词及其符号化：记S={￢、∧、Ｖ、-→、←→}，称S为常用联结词集。

（2）基本复合命题复合命题：基本复合命题以及多次使用联结词集S中的联结词复合而成的命题。

排斥或可以看成非基本复合命题的复合命题。

（3）命题合成及其赋值：命题常项与命题变项：命题常项是命题，命题变项是取值为0或1的变量，也用p、q、r等表示。

命题公式：由命题变项或常项以及联结词按一定规则形成的公式，也称合成公式或公式。

公式的赋值:给公式中变项指定真值，成真赋值、成假赋值、公式的真值表。

命题公式的类型：重言式（永真式）、矛盾式（永假式）、可满足式。

2.命题逻辑等值演算（1）等值式与基本等值式等值式：若A←→B为重言式，记为A<=>B，并称A<=>B为等值式。

（2）基本的等值式（教材P49-P50）等值演算：由已知的等值式推演出新的等值式的过程。

置换规则：若A<=>B,则Φ（A）<=>Φ(B)（3）联结词完备集真值函数：n元真值函数F：{0，1}n-→{0,1}.任何含n个命题变项的公式A,都与唯一的一个真值函数等值，若公式A与B与同一个真值函数等值，则A<=>B。

联结词完备集：{￢、∧、Ｖ、-→、←→}，{￢、∧、Ｖ}，{￢、∧}，{￢，-→}，{↓}，{↑}。

（4）真值表：主要用于验证两个公式是否相等。

3.范式（1）主要定义：文字，简单析取式，简单合取式，极小项，极大项，析取范式，公式的析取范式，合取范式，公式的合取范式，主析取范式，公式的主析取范式，主合取范式。

定理2.1：在真命题逻辑中，任何公式都存在着唯一的与之等值的主析取范式与合取范式（2）求公式A的主析取范式的方法与步骤：方法1等值演算法消去A中联结词-→、←→（若存在）；否定号￢内移（德摩根定律）或消去（双重否定律）；使用∧对Ｖ的分配律；将不是极小项的简单合取式等值地化成若干个极小项的析取式；表示，使用冥等律，最后排序。