指数、对数函数专题(强烈推荐)

专题 ：指 数 和 对 数
第一部分：指数、对数运算
一，指数运算
1，运算法则（建议学生掌握语言叙述）
=
==÷=⋅r s
r s r s r ab a a a a a )()(
2，分数指数幂
=n
m a
3，化简
⎩
⎨⎧=a a
a n
n
Z k k n Z k k n ∈+=∈=,122，
例题练习：
1、用根式的形式表示下列各式)0(>a
（1）51a = （2）34
a = （3）35
a -
= （4）32
a -
=
2、用分数指数幂的形式表示下列各式：
（1）3
4y x = （2）)0(2>=m m
m
（3）= （4）= ； （5）a a a = ；
3、求下列各式的值
（1）2
3
8= ；（2）12
100-
= ； （3）3
1()4
-= ；（4）3
416()81-=
（5）12
2
[(]-
= （6）(12
2
1⎡⎤⎢⎥⎣⎦
= （7）=3
264
4.化简
（1）=••12
74331a
a a （2）=÷•6
54323a a a （3）
=÷-•a a a 9)(34
32
3
（4）322
a
a a •= （5）3
1
63)278(--b a =
5.计算
（1）4
3
512525÷-
(2) （3）21
0319)4
1
()2(4)21(----+-⋅-
()5
.02
1
2001.04122432-⎪⎭
⎫
⎝⎛⋅+⎪⎭⎫ ⎝⎛-
- （5）48
37
3271021.097203
225
.0+
-⎪
⎭
⎫
⎝⎛++⎪
⎭
⎫ ⎝⎛-
-π
二，对数运算 运算法则：
====
=N
M
a
M M M M MN a n a n a a N a log 3log )(log )(log ,2,121log ，
倒数公式）换底公式）1
log (,6log ,5log (,4=
=
=b b b a n a a m
对数习题练习：
一、选择题
1、以下四式中正确的是（ ）
A 、log 22=4
B 、log 21=1
C 、log 216=4
D 、log 221=4
1 2、下列各式值为0的是（ ）
A 、10
B 、log 33
C 、（2－3）°
D 、log 2∣－1∣ 3、2
5
1
log 2
的值是（ ）
A 、－5
B 、5
C 、51
D 、－5
1
4、若m ＝lg5－lg2，则10m 的值是（ ）
A 、25
B 、3
C 、10
D 、1
5、设N ＝
3log 12＋3
log 1
5，则（ ）
A 、N ＝2
B 、N ＝2
C 、N ＜－2
D 、N ＞2 6、在)5(log 2a b a -=-中，实数a 的范围是（ ） A 、 a >5或a <2 B 、 25<<a C 、 23<<a 或35<<a D 、 34<<a
7、 若log [log (log )]4320x =，则x -
12
等于（ ） A 、 1
4
2 B 、
1
2
2 C 、 8
D 、 4
8、3
3
4
log
的值是（ ） A 、 16 B 、 2 C 、 3 D 、 4
9、 n
n ++1log
（n n －＋1）等于（ ） A 、1 B 、－1 C 、2
D 、－2
二、填空题
10、用对数形式表示下列各式中的x
10x =25：＿＿＿＿； 2x ＝12：＿＿＿＿；4x =6
1
：＿＿＿＿ 11、lg1+lg0.1+lg0.01=_____________
12、Log 155=m,则log 153=________________
13、14lg 2lg 2+-＋∣lg5－1∣＝＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 14
．
（
1
）
．
12a a
-=
, 则 log 12 3=
（2）．6
log 18
log )3(log 2626+
= ． （3）
____________50lg 2lg 5lg 2=⋅+； （4）5log 38log 9
32
log 2log 2533
3-+- =________ （5）25lg 50lg 2lg 20lg 5lg -⋅-⋅=__________
15 、若lg2＝a ，lg3＝b ，则log 512＝________ 19、 3a ＝2，则log 38－2log 36＝________
16、 若2log 2,log 3,m n a a m n a +===_______ 21、 lg25+lg2lg50+(lg2)2
=
三、解答题
17、求下列各式的值
⑴2log 28 ⑵3log 39 ⑶252
log 1 ⑷3
73
log 1
18、求下列各式的值
⑴lg10－5 ⑵lg0.01 ⑶log 2
81
⑷log 27
181
19、求lg 25+lg2·lg25+lg 22的值
20、化简计算：log 2251·log 381·log 59
1
21. 化简：()()24525log 5+log 0.2log 2+log 0.5.
专题训练：比较大小
1，___,)2
1
(,8
,45.1348
.029
.01则三者大小关系为设-===y y y
2，(2012天津）已知___,,,2log 2,)2
1(,258.02
.1的大小关系是则c b a c b a ===-
3，（2010安徽文）___,52,52,535
25
35
2则三者的大小关系是设⎪⎭
⎫ ⎝⎛=⎪⎭
⎫ ⎝⎛=⎪⎭
⎫ ⎝⎛=c b a 4，__,,.6.3log ,2.3log ,6.3log 442的大小关系的则已知c b a c b a === 5，已知3log 21log ,5log 2
1
,3log 2log ,10a a a a a z y x a -==+=<<，这三者的
大小关系为______
6,(2012全国卷）____,,,,2log ,ln 2
1
5的大小关系则已知z y x e
z y x -===π
7，c b a c b a c
b
a
22
12
1log )2
1(,log )2
1
(,log 2,,=== 均为正数，
设，则这三者的关系是_____ 8,2log 3
1,21log 3
1
,3log 21,31
log 2
1的大小关系式是 (A)2log 3
1＜21log 3
1
＜3log 21＜31log 21 (B)2log 31＜3log 21＜21log 31＜31
log 2
1 (C)3log 2
1＜2log 3
1＜21log 3
1
＜31log 21 (D)3log 21＜2log 31＜31log 21＜21
log 3
1 9,已知0)](log [log log )](log [log log )](log [log log 55
1533
1322
12===z y x 则x,y,z 的大小关
系是
(A)x ＜y ＜z (B)y ＜z ＜x (C)z ＜x ＜y (D)z ＜y ＜x
10，(选做题）已知2x =3y =5z 且x,y,z 为正数,则2x,3y,5z 的大小关系为 (A) 2x ＜3y ＜5z (B) 3y ＜2x ＜5z (C) 5z ＜3y ＜2x (D) 5z ＜2x ＜3y 1,1，(选做题）log n (n －1)与log n+1n(n ＞2且n ∈N)的大小关系为 (A)log n (n －1)＞log n+1n (B) log n (n －1)＜log n+1n (C)log n (n －1)=log n+1n (D) 不能确定
12，设2log 3P =，3log 2Q =，23log (log 2)R =，则（ ）
Ａ．R Q P << Ｂ．P R Q << Ｃ．Q R P << Ｄ．R P Q << 13，若ln 2ln 3ln 5,,235
a b c ===，则
（ ）
A ．a <b<c
B ．c<b<a
C ．c<a <b
D ．b<a <c
14，设2
lg ,(lg ),a e b e c === ( )
A.a b c >>
B.a c b >>
C.c a b >>
D.c b a >>
15，设2
135,2ln ,2log -===c b a ，则c b a ,,三者的大小关系为___________
第二部分，指数函数和对数函数
一，指数函数
1，定义： 注意：的取值范围a 定义域： 值域： 单调性： 奇偶性：
对称性：)1(1x x x
x a a a y a y -=⎪⎭
⎫
⎝⎛==即和
过定点：
抽象形式：)()()(y f x f y x f ⋅=+ 函数图象的平移： 一个特殊的图象：x
a y =
2，底数不同时，函数图象的相对位置关系
指数函数综合练习：
1，函数y ＝(a 2－3a ＋3)a x 是指数函数，则有( )
A ．a ＝1或a ＝2
B ．a ＝1
C ．a ＝2
D ．a ＞0且a ≠1
2，设25a b m ==，且
11
2a b
+=，则m =（ ） A.10 B.10 C.20 D.100
3，（2012四川文）函数(0,1)x
y a a a a =->≠的图象可能是（ ）
4，已知函数()f x 满足：x ≥4,则()f x ＝1
()2
x
；当x ＜4时()f x ＝(1)f x +，则
2(2log 3)f +＝( )
A.
124 B.112 C.18 D.38
5，给出下列结论：①当a <0时，(a 2)32＝a 3；②n
a n ＝|a |(n >1，n ∈N *，n 为偶数)；③函数f (x )
＝(x －2)12－(3x －7)0的定义域是⎩
⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪
x ≥2且x ≠73；④若2x ＝16,3y ＝127，则x ＋y ＝7. 其中正确的是( )
A ．①②
B ．②③
C ．③④
D ．②④
6，函数y ＝e x ＋e －
x
e x －e
－x 的图像大致为( )
二，对数函数 1，定义： 定义域： 值域 单调性： 奇偶性：
对称性：对称关于和____log log 1x x y a
a =
过定点：
抽象形式：)()()(y f x f y x f +=⋅ 2，函数图象的平移变换
3，几个重要的函数图象
()()()()x
y x y x y x y a a a a log 4log 3)
(log 2log 1=-=-==
4，底数不同时，函数图象的相对位置关系
对数函数综合训练：
1，当a ＞1时,函数y=a -x 与y=log a x 的图像是
2，函数)45(log 1x
x y -=+的定义域是
(A)(－1,0) (B)(0,log 45) (C)(－1,log 45) (D) (－1,0)∪(0,log 45) 3，函数)763lg(2++-=
x x y 的值域是
(A)]31,31[+- (B)[0,1] (C)[0,＋∞) (D){0}
4，函数f(x)=log 0.3|x 2－6x+5|的单调增区间是
(A)(－∞,3] (B)(－∞,1)和(3,5) (C)[3,＋∞) (D)(1,3)和[5,＋∞)
5， 函数f (x )＝lg ⎝⎛⎭
⎫2
1－x －1的图像关于( )
A ．y 轴对称
B ．直线x ＝1对称
C ．点(1,0)对称
D ．原点对称
6，设函数f (x )＝log a x (a >0且a ≠1)，若f (x 1x 2…x 2011)＝8，则f (x 21)＋f (x 22)＋…＋f (x 22011
)＝( ) A ．4 B ．8
C ．16
D ．2log a 8
7，函数|1|||ln --=x e y x 的图象大致是 （ ）
8，设f (x )= 12
32,2,
log (1),2,
x e x x x -⎧<⎪⎨-≥⎪⎩ 则不等式f (x )>2的解集为 (A)（1，2）⋃（3，+∞） (B)（10，+∞） (C)（1，2）⋃ （10 ，+∞） (D)（1，2）
三，幂函数
1，幂函数的概念：形如 a
x y = 类型的函数是幂函数。

2，幂函数的性质：
1）当0>a 时，幂函数具有如下性质： a ，图象都经过点______和_______
b ，在第一象限内，函数值随着x 的增大而增大。

c ，在第一象限内，1>a 时，图象的下凸的；10<<a 时，图象的上凸的。

2）0<a 时，幂函数有如下性质 a ，图象都经过点________
b ，在第一象限内，函数随x 的增大而减小。

3，掌握两个函数的图象即可
3
x
y x y ==
例题训练：
1，当10<<x 时，()()()2
2
12
,,-===x x h x x g x x f ，则()()()x h x g x f ,,的大小关系为____
2，若()()2
12
1231--
-<+a a ，则a 的取值范围________
3，已知幂函数()3
-1a x x f =的定义域是非零实数，且在()0-，
∞是增函数，在()∞+，0是减函
数，则最小的自然数=a （ ）
4，已知幂函数()()*3
22
N m x x f m m ∈=--的图象关于y 轴对称，且在()+∞,0是减函数，求
满足()
()3
3
231m m a a -
--<+的实数a 的取值范围
四，反函数 定义： 符号：)(1
x f
-
求反函数的步骤： 反函数的性质： 反函数存在的条件：
例题练习：
1，已知函数()ln 1(0)f x x x =+>，则()f x 的反函数为
（A ）1()x y e x R +=∈ （B ）1
()x y e x R -=∈
（C ）1(1)x y e x +=> （D ）
1(1)x y e x -=> 2，（2006山东文、理）函数y=1+a x (0<a <1)的反函数的图象大致是
（A ） （B ） （C ） （D ）
3，若1x 满足满足522=+x
x ，2x 满足(),51log 222=-+x x 则=+21x x ________。