圆的标准方程与一般方程教案

圆的标准方程

【自主预习】

1、在平面直角坐标系中，确定一个圆的要素有哪些？

2、①若一个圆的圆心是（0，0），半径是2，圆的方程是什么？

②若一个圆的圆心是（-2，1），半径是3，圆的方程是什么？

③若一个圆的圆心是（a ，b ），半径是r(y>0)，圆的方程是什么？

3、分析圆的标准方程有何特点？

4、写出下列圆的方程

⑴圆心在原点，半径为3

⑵圆心在点C(3,4),半径为5

⑶经过点P （5，1），圆心在点C(8，-3)

⑷已知点A(-4,-5),B(6,-1),求以AB 为直径的圆的方程。

特殊的：过直径两端点A （x 1，y 1）、B(x 2，y 2)的圆的方程为(x-x 1)(x-x 2)+(y-y 1)(y-y 2)=0

5、根据圆的方程写出圆心和半径

⑴

5)3()222=-+-y x （ ⑵2

222()2）（-=++y x

【典例探究】

（点与圆的位置关系）例题1 已知圆心在C(-3,-4),且经过原点，求该圆的标准方程，并判

断点)4,3(),1,1(),0,1(321---p p p 和圆的位置关系。

的条件呢？的条件是什么？在圆外内

在圆（思考：点)0()()),(22200>=-+-r r b y a x y x M

判定方法

1、几何法

2、代数法

（三角形外接圆）例题2、△ABC 的三个顶点的坐标分别是A(-2，4),B(-1，3),C(2,6),求

它的外接圆的方程。

变式：已知四点A （0,1）、B （2,1）、C （3,4）、D （-1,2），这四点是否在同一个圆上，为什

么？

（圆的标准方程）例题3 已知一个圆C 经过两个点A （2，-3），B （-2，-5），且圆心在直线

032:=--y x l 上，求此圆的方程。

思考： 比较例题2和例题3，你能归纳求任意△ABC 外接圆的方程的两种方法吗？

1、待定系数法

2、弦的垂直平分线过圆心这一性质

（圆的对称性）例四 已知一个圆C ：(x+2)2+(y-6)2=1和一条直线l ：3x-4y+5=0,求圆C 关

于直线l 对称的圆的方程。

圆的一般方程

【自主学习】

1下列方程分别表示什么图形

（1）01422

2=++-+y x y x

(2) 05422

2=++-+y x y x

(3) 064222=+--+y x y x

(4) 0F E D 22=++++y x y x

只有满足条件 ，才是圆的方程！

2、圆的一般方程是什么？

1、 圆的标准方程与圆的一般方程各有什么特点？

x 、y 二次项系数相同且不为0；没有关于xy 的一次项

圆的一般方程表明了方程形式的特点

一般方程有三个待定系数D 、E 、F

3、由圆的一般方程如何确定点与圆的位置关系？

【典例探究】

（求圆的方程）例题1 △ABC 的三个顶点的坐标分别是A(-1，5),B(-2，-2),C (5，5),求

它的外接圆的方程，在平面直角坐标系中画出该圆的图形，并指出圆心和半径。

思考：用待定系数法求圆的方程的方法与步骤

1、选定方程形式

2、根据条件列出方程组

3、代入数值计算出待定系数

（确定圆的条件）例题3若方程ax+ay-4(a-1)x+4y=0表示圆，求实数a 的取值范围，并求出其中半径最小的圆的方程。

（轨迹方程）例题4已知O 为为坐标原点，P 在圆C ：1)22

2=+-y x （上运动，，求线段OP

的中点M 的轨迹方程。

关于求轨迹问题注意的地方：1、一般步骤 建系、设点、找关系式、验证

2、注意对不符合题意的点的排除

3、求轨迹与求轨迹方程不一样，求轨迹需要说明轨迹的形状

【拓展提高】一、与圆有关最值问题

1、与距离相关

已知P 是直线3x+4y+8=0上的动点，PA 、PB 是圆C ：x+y-2x-2y+1=0的两条切线，A 、B 是切点，C 是圆心，求四边形PACB 面积的最小值。

2、与圆上点有关

已知实数x,y 满足方程0142

2=+-+x y x ，求：

（1）求y/x 的最大值与最小值

（2）22y x +的最大值和最小值

（3）求y-x 的最大值与最小值

3、与弦长有关

已知P （-1,2）为圆C ：x 2+y 2=8内一定点，求

（1）过点P 且被圆所截弦最短的直线方程

（2）过点P 且被圆所截弦最长的直线方程

二、圆的参数方程

圆的参数方程及应用

对于圆的普通方程222()()x a y b R -+-=来说，圆的方程还有另外一种表达形式cos sin x a R y b R θθ

=+⎧⎨=+⎩(θ为参数），在解决有些问题时，合理的选择圆方程的表达形式，能给解决问题带来方便，本文浅谈圆的参数方程再解题中的应用。

一、求最值

例1 已知点（x ，y ）在圆221x y +=上，求2223x xy y ++的最大值和最小值。

解某些与圆的方程有关的条件制问题，可应用圆的参数方程转化为三角函数问题的方法解决。

二、求轨迹

例2 在圆224x y +=上有定点A （2，0），及

两个动点B 、C ，且A 、B 、C 按逆时针方向排列，∠BAC=3

π，求△ABC 的重心G （x ，y ）的轨迹方程。

用圆的几何性质，求出轨迹的参数方程，在消参后，要注意x 的范围的限定。