圆的标准方程与一般方程教案
高中数学圆的标准方程教案 高中数学圆与方程教案三
高中数学圆的标准方程教案高中数学圆与方程教案三高中数学圆的标准方程教案高中数学圆与方程教案篇七一、具体目标：1.获得必要的数学基础知识和基本技能，理解基本的数学概念、数学结论的本质，了解概念、结论等产生的背景、应用，体会其中所蕴涵的数学思想和方法，以及它们在后续学习中的作用。
通过不同形式的自主学习、探究活动，体验数学发现和创造的历程。
2.提高空间想像、抽象概括、推理论证、运算求解、数据处理等基本能力。
3.提高数学地提出、分析和解决问题(包括简单的实际问题)的能力，数学表达和交流的能力，发展独立获取数学知识的能力。
4.发展数学应用意识和创新意识，力求对现实世界中蕴涵的一些数学模式进行思考和作出判断。
5.提高学习数学的兴趣，树立学好数学的信心，形成锲而不舍的钻研精神和科学态度。
6.具有一定的数学视野，逐步认识数学的科学价值、应用价值和文化价值，形成批判性的思维习惯，崇尚数学的理性精神，体会数学……二、本学期要达到的教学目标1.双基要求：在基础知识方面让学生掌握高一有关的概念、性质、法则、公式、定理以及由其内容反映出来的数学思想和方法。
在基本技能方面能按照一定的程序与步骤进行运算、处理数据、能使用计数器及简单的推理、画图。
2.能力培养：能运用数学概念、思想方法，辨明数学关系，形成良好的思维品质;会根据法则、公式正确的进行运算、处理数据，并能根据问题的情景设计运算途径;会提出、分析和解决简单的带有实际意义的或在相关学科、生产和生活的数学问题，并进行交流，形成数学的意思;从而通过独立思考，会从数学的角度发现和提出问题，进行探索和研究。
3.思想教育：培养高一学生，学习数学的兴趣、信心和毅力及实事求是的科学态度，勇于探索创新的精神，及欣赏数学的美学价值，并懂的数学来源于实践又反作用于实践的观点;数学中普遍存在的对立统一、运动变化、相互联系、相互转化等观点。
高中数学圆的标准方程教案高中数学圆与方程教案篇八高一下学期数学教学计划精选本学期担任高一(9)(10)两班的数学教学工作，两班学生共有120人，初中的基础参差不齐，但两个班的学生整体水平不高;部分学生学习习惯不好，很多学生不能正确评价自己，这给教学工作带来了一定的难度，为把本学期教学工作做好，制定如下教学工作计划。
《圆的一般方程》教学设计和教案
《圆的一般方程》教学设计【教学目标】1．知识与技能（1）在掌握圆的标准方程的基础上，理解记忆圆的一般方程的代数特征，由圆的一般方程确定圆的圆心半径，掌握方程x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0表示圆的条件.（2）能通过配方等手段，把圆的一般方程化为圆的标准方程，能用待定系数法求圆的方程.（3）培养学生探索发现及分析解决问题的实际能力.2．过程与方法通过对方程x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0表示圆的条件的探究，培养学生探索发现及分析解决问题的实际能力.3．情感态度与价值观渗透数形结合、化归与转化等数学思想方法，提高学生的整体素质，激励学生创新，勇于探索.【教学重点】：圆的一般方程的代数特征，一般方程与标准方程间的互化，根据已知条件确定方程中的系数，D、E、F.【教学难点】：对圆的一般方程的认识、掌握和运用.【教学过程】教学环节教学内容师生互动设计意图课题引入问题：求过三点A(0，0)，B (1，1)，C(4，让学生带着问题进设疑激趣导2)的圆的方程.利用圆的标准方程解决此问题显然有些麻烦，得用直线的知识解决又有其简单的局限性，那么这个问题有没有其它的解决方法呢？带着这个问题我们来共同研究圆的方程的另一种形式——圆的一般方程.行思考入课题.概念形成与深化请同学们写出圆的标准方程：(x–a)2+(y –b)2 = r2，圆心(a，b)，半径r.把圆的标准方程展开，并整理：x2 + y2 –2ax – 2by + a2 + b2 –r2=0.取D = –2a，E = –2b，F = a2 + b2–r2得x2 + y2 + Dx + Ey+F = 0①这个方程是圆的方程.反过来给出一个形如x2 + y2 + Dx + Ey +F= 0的方程，它表示的曲线一定是圆吗？把x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0配方得22224()()224D E D E Fx y+-+++=②(配方过程由学生去完成)这个方程是不是表示圆？（1）当D2 + E2– 4F＞0时，方程②表示以(,)22D E--为圆心，整个探索过程由学生完成，教师只做引导，得出圆的一般方程后再启发学生归纳.圆的一般方程的特点：（1）①x2和y2的系数相同，不等于0.②没有xy这样的二次项.（2）圆的一般方程中有三个特定的系数D、E、F，因此只要求出这三个系数，圆的方程就确定通过学生对圆的一般方程的探究，使学生亲身体会圆的一般方程的特点，及二元二次方程表示圆所满足的条件.22142D E F +-为半径的圆； （2）当D 2 + E 2 – 4F = 0时，方程只有实数解,22D Ex y =-=-，即只表示一个点(,)22D E--； （3）当D 2 + E 2 – 4F ＜0时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形.综上所述，方程x 2 + y 2 + Dx + Ey + F = 0表示的曲线不一定是圆.只有当D 2 + E 2 – 4F ＞0时，它表示的曲线才是圆，我们把形如x 2 + y 2 + Dx + Ey + F = 0的表示圆的方程称为圆的一般方程.了.（3）与圆的标准方程相比较，它是一种特殊的二元二次方程，代数特征明显，圆的标准方程则指出了圆心坐标与半径大小，几何特征较明显.应用举例例1 判断下列二元二次方程是否表示圆的方程？如果是，请求出圆的圆心及半径.（1）4x 2 + 4y 2 – 4x + 12y + 9 = 0 （2）4x 2 + 4y 2 – 4x + 12y + 11 = 0解析：（1）将原方程变为x 2 + y 2 – x + 3y +94= 0 D = –1，E =3，F =94. ∵D 2 + E 2 – 4F = 1＞0学生自己分析探求解决途径：①用配方法将其变形化成圆的标准形式.②运用圆的一般方程的判断方法求解.但是，要注意对于（1）4x 2 + 4y 2 – 4x + 12y + 9 = 0来说，这里的D = –1，E = 3，94F =通过例题讲解使学生理解圆的一般方程的代数特征及与标准方程的相互转化更进一步培养学生探索发现及分析解决∴此方程表示圆，圆心（12，32-），半径r =12.（2）将原方程化为x2 + y2 –x + 3y +114= 0D = –1，E =3，F =114. D2 + E2– 4F = –1＜0∴此方程不表示圆. 而不是D= –4，E=12，F = 9.问题的能力.例2 求过三点A (0，0)，B(1，1)，C(4，2)的圆的方程，并求这个圆的半径长和圆心坐标.分析：据已知条件，很难直接写出圆的标准方程，而圆的一般方程则需确定三个系数，而条件恰给出三点坐标，不妨试着先写出圆的一般方程.解：设所求的圆的方程为：x2 + y2+ Dx + Ey + F = 0∵A (0，0)，B(1，1)，C(4，2)在圆上，所以它们的坐标是方程的解.把它们的坐标代入上面的方程，可以得到关于D、E、F的三元一次方程组：即2042200FD E FD E F=⎧⎪+++=⎨⎪+++=⎩例2 讲完后学生讨论交流，归纳得出使用待定系数法的一般步骤：1．根据题设，选择标准方程或一般方程.2．根据条件列出关于a、b、r或D、E、F的方程组；3．解出a、b、r或D、E、F，代入标准方程或一般方程.解此方程组，可得：D = –8，E =6，F = 0 ∴所求圆的方程为：x 2 + y 2 – 8x + 6y = 0221452r D E F =+-=； 4,322D F-=-=-. 得圆心坐标为(4，–3).或将x 2 + y 2 – 8x + 6y = 0左边配方化为圆的标准方程，(x – 4)2 + (y + 3)2 = 25，从而求出圆的半径r = 5，圆心坐标为(4，–3).例3 已知线段AB 的端点B 的坐标是(4，3)，端点A 在圆上(x + 1)2 + y 2 = 4运动，求线段AB 的中点M 的轨迹方程.解：设点M 的坐标是(x ，y )，点A 的坐标是(x 0，y 0)由于点B 的坐标是(4，3)且M 是线段AB 中重点，所以0043,22x y x y ++==，① 于是有x 0 = 2x – 4，y 0 = 2y – 3因为点A 在圆(x + 1)2 + y 2 = 4上运动，所以点A 的坐标满足方程(x + 1)2 + y 2 = 4，即 (x 0 + 1)2 + y 02 = 4 ② 把①代入②，得(2x – 4 + 1)2 + (2y – 3)2 = 4，教师和学生一起分析解题思路，再由教师板书.分析：如图点A 运动引起点M 运动，而点A 在已知圆上运动，点A 的坐标满足方程(x + 1)2 + y 2 = 4.建立点M 与点A 坐标之间的关系，就可以建立点M 的坐标满足的条件，求出点M 的轨迹方程.备选例题例1 下列各方程表示什么图形？若表示圆，求出圆心和半径.（1）x2 + y2 + x + 1 = 0；（2）x2 + y2 + 2ac + a2 = 0 (a≠0)；（3）2x2 + 2y2 + 2ax– 2ay = 0 (a≠0).【解析】（1）因为D＝ 1，E＝ 0，F＝ 1，所以D2 + E2– 4F＜0 方程（1）不表示任何图形；（2）因为D＝ 2a，E＝ 0，F＝a2，所以D2 + E2– 4F＝ 4a2– 4a2 = 0，所以方程（2）表示点(–a，0)；（3）两边同时除以2，得x 2 + y 2+ ax – ay = 0，所以D = a ，E = – a ，F = 0. 所以D 2 + E 2 – 4F ＞0， 所以方程（3）表示圆，圆心为(,)22a a-，半径||r a =. 点评：也可以先将方程配方再判断.例2 已知一圆过P (4，–2)、Q (–1，3)两点，且在y轴上截得的线段长为的方程.【分析】涉及与圆的弦长有关的问题时，为简化运算，则利用垂径直径定理和由半弦长、弦心距、半径所构成的三角形解之.【解析】法一：设圆的方程为：x 2 + y 2 + Dx + Ey + F = 0 ① 将P 、Q 的坐标分别代入①得4220310D E F D E F -+=-⎧⎨--=⎩令x = 0，由①，得y 2 + Ey + F = 0 ④由已知|y 1 – y 2| = y 1，y 2是方程④的两根. ∴(y 1 – y 2)2 = (y 1 + y 2) – 4y 1y 2 = E 2 – 4F = 48 ⑤ 解②③⑤联立成的方程组，得2012D E F =-⎧⎧⎪⎪=⎨⎨⎪⎪=-⎩⎩D=-10或E=-8F=4 故所求方程为：x 2 + y 2 – 2x – 12 = 0或x 2 + y 2 – 10x – 8y + 4 = 0. 法二：求得PQ 的中垂线方程为x – y – 1 = 0 ① ∵所求圆的圆心C 在直线①上，故设其坐标为(a ，a – 1)， 又圆C的半径||r CP ==②由已知圆C 截y轴所得的线段长为C 到y 轴的距离为|a |.② ③222r a =+ 代入②并将两端平方，得a 2 – 5a + 5 = 0， 解得a 1 = 1，a 2 = 5.∴12r r 故所求的圆的方程为：(x – 1)2 + y 2 = 13或(x – 5)2 + (y – 4)2 = 37.【评析】(1)在解本题时，为简化运算，要避开直接去求圆和y 轴的两个交点坐标，否则计算要复杂得多.（2）涉及与圆的弦长有关问题，常用垂径定理和由半弦长、弦心距及半径所构成的直角三角形解之，以简化运算.例3 已知方程x 2 + y 2 – 2(t + 3)x + 2(1 – t 2)y + 16t 4 + 9 = 0表示一个圆，求 （1）t 的取值范围； （2）该圆半径r 的取值范围. 【解析】原方程表示一个圆的条件是D 2 +E 2 – 4F = 4(t + 3)2 + 4(1 – t 2)2 – 4(16t 4 + 9)＞0 即7t 2 – 6t – 1＜0，∴117t -<<（2）2222224224(3)(1)(169)76143167()77D E F r t t t t t t +-==++--+=-++=--+∴2160,07r r <≤<<《圆的一般方程》教案一、教学目标(一)知识教学点使学生掌握圆的一般方程的特点；能将圆的一般方程化为圆的标准方程从而求出圆心的坐标和半径；能用待定系数法，由已知条件导出圆的方程．(二)能力训练点使学生掌握通过配方求圆心和半径的方法，熟练地用待定系数法由已知条件导出圆的方法，熟练地用待定系数法由已知条件导出圆的方程，培养学生用配方法和待定系数法解决实际问题的能力．(三)学科渗透点通过对待定系数法的学习为进一步学习数学和其他相关学科的基础知识和基本方法打下牢固的基础．二、教材分析1．重点：(1)能用配方法，由圆的一般方程求出圆心坐标和半径；(2)能用待定系数法，由已知条件导出圆的方程．(解决办法：(1)要求学生不要死记配方结果，而要熟练掌握通过配方求圆心和半径的方法；(2)加强这方面题型训练．)2．难点：圆的一般方程的特点．(解决办法：引导学生分析得出圆的一般方程的特点，并加以记忆．)3．疑点：圆的一般方程中要加限制条件D2+E2-4F＞0．(解决办法：通过对方程配方分三种讨论易得限制条件．)三、活动设计讲授、提问、归纳、演板、小结、再讲授、再演板．四、教学过程(一)复习引入新课前面，我们已讨论了圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2，现将展开可得x2+y2-2ax-2by+a2+b2-r2=0．可见，任何一个圆的方程都可以写成x2+y2+Dx+Ey+F=0．请大家思考一下：形如x2+y2+Dx+Ey+F=0的方程的曲线是不是圆？下面我们来深入研究这一方面的问题．复习引出课题为“圆的一般方程”．(二)圆的一般方程的定义1．分析方程x3+y2+Dx+Ey+F=0表示的轨迹将方程x2+y2+Dx+Ey+F=0左边配方得：(1)(1)当D2+E2-4F＞0时，方程(1)与标准方程比较，可以看出方程半径的圆；(3)当D2+E2-4F＜0时，方程x2+y2+Dx+Ey+F=0没有实数解，因而它不表示任何图形．这时，教师引导学生小结方程x2+y2+Dx+Ey+F=0的轨迹分别是圆、法．2．圆的一般方程的定义当D2+E2-4F＞0时，方程x2+y2+Dx+Ey+F=0称为圆的一般方程．(三)圆的一般方程的特点请同学们分析下列问题：问题：比较二元二次方程的一般形式Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0．(2)与圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0，(D2+E2-4F＞0)．(3)的系数可得出什么结论？启发学生归纳结论．当二元二次方程 Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0具有条件：(1)x2和y2的系数相同，不等于零，即A=C≠0；(2)没有xy项，即B=0；(3)D2+E2-4AF＞0．它才表示圆．条件(3)通过将方程同除以A或C配方不难得出．教师还要强调指出：(1)条件(1)、(2)是二元二次方程(2)表示圆的必要条件，但不是充分条件；(2)条件(1)、(2)和(3)合起来是二元二次方程(2)表示圆的充要条件．(四)应用与举例同圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2一样，方程x2+y2+Dx+Ey+F=0也含有三个系数D、E、F，因此必具备三个独立的条件，才能确定一个圆．下面看一看它们的应用．例1求下列圆的半径和圆心坐标：(1)x2+y2-8x+6y=0，(2)x2+y2+2by=0．此例由学生演板，教师纠错，并给出正确答案：(1)圆心为(4，-3)，半径为5；(2)圆心为(0，-b)，半径为|b|，注意半径不为b．同时强调：由圆的一般方程求圆心坐标和半径，一般用配方法，这要熟练掌握．例2求过三点O(0，0)、A(1，1)、B(4，2)的圆的方程．解：设所求圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，由O、A、B在圆上，则有解得：D=-8，E=6，F=0，故所求圆的方程为x2+y2-8x+6=0．例2小结：1．用待定系数法求圆的方程的步骤：(1)根据题意设所求圆的方程为标准式或一般式；(2)根据条件列出关于a、b、r或D、E、F的方程；(3)解方程组，求出a、b、r或D、E、F的值，代入所设方程，就得要求的方程．2．关于何时设圆的标准方程，何时设圆的一般方程：一般说来，如果由已知条件容易求圆心的坐标、半径或需要用圆心的坐标、半径列方程的问题，往往设圆的标准方程；如果已知条件和圆心坐标或半径都无直接关系，往往设圆的一般方程．再看下例：例3求圆心在直线l：x+y=0上，且过两圆C1∶x2+y2-2x+10y-24=0和C2∶x2+y2+2x+2y-8=0的交点的圆的方程．(0，2)．设所求圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2，因为两点在所求圆上，且圆心在直线l上所以得方程组为故所求圆的方程为：(x+3)2+(y-3)2=10．这时，教师指出：(1)由已知条件容易求圆心坐标、半径或需要用圆心的坐标、半径列方程的问题，往往设圆的标准方程．(2)此题也可以用圆系方程来解：设所求圆的方程为：x2+ y2-2x+10y-24+λ(x2+y2+2x+2y-8)=0(λ≠-1)整理并配方得：由圆心在直线l上得λ=-2．将λ=-2代入所假设的方程便可得所求圆的方程为x2+y2+6x-6y+8=0．此法到圆与圆的位置关系中再介绍，此处为学生留下悬念．的轨迹，求这个曲线的方程，并画出曲线．此例请两位学生演板，教师巡视，并提示学生：(1)由于曲线表示的图形未知，所以只能用轨迹法求曲线方程，设曲线上任一点M(x，y)，由求曲线方程的一般步骤可求得；(2)应将圆的一般方程配方成标准方程，进而得出圆心坐标、半径，画出图形．(五)小结1．圆的一般方程的定义及特点；2．用配方法求出圆的圆心坐标和半径；3．用待定系数法，导出圆的方程．五、布置作业1．求下列各圆的一般方程：(1)过点A(5，1)，圆心在点C(8，-3)；(2)过三点A(-1，5)、B(5，5)、C(6，-2)．2．求经过两圆x2+y2+6x-4=0和x2+y2+6y-28=0的交点，并且圆心在直线x-y-4=0上的圆的方程．3．等腰三角形的顶点是A(4，2)，底边一个端点是B(3，5)，求另一个端点的轨迹方程，并说明它的轨迹是什么．4．A、B、C为已知直线上的三个定点，动点P不在此直线上，且使∠APB=∠BPC，求动点P的轨迹．作业答案：1．(1)x2+y2-16x+6y+48=0(2)x2+y2-4x-2y-20=02．x2+y2-x+7y-32=03．所求的轨迹方程为x2+y2-8x-4y+10=0(x≠3，x≠5)，轨迹是以4．以B为原点，直线ABC为x轴建立直角坐标系，令A(-a，0)，C(c，0)(a＞0，c＞0)，P(x，y)，可得方程为：(a2-c2)x2+(a2-c2)y2-2ac(a+c)x=0．当a=c时，则得x=0(y≠0)，即y轴去掉原点；当a≠c时，则得(x-与x轴的两个交点．六．板书设计。
初中圆的方程教案
初中圆的方程教案
教学目标：
1. 了解圆的方程的概念和意义。
2. 学会用圆的标准方程和一般方程表示圆。
3. 能够熟练地运用圆的方程解决实际问题。
教学重点：
1. 圆的方程的概念和意义。
2. 圆的标准方程和一般方程的表示方法。
3. 运用圆的方程解决实际问题。
教学准备：
1. 教学课件或黑板。
2. 圆的模型或图片。
3. 练习题。
教学过程：
一、导入（5分钟）
1. 向学生介绍圆的概念，引导学生回顾圆的性质。
2. 提问：圆有什么特殊的性质？我们可以用什么方式来表示圆？
二、新课讲解（15分钟）
1. 介绍圆的方程的概念和意义。
2. 讲解圆的标准方程和一般方程的表示方法。
3. 通过示例，让学生理解圆的方程的含义和运用。
三、课堂练习（15分钟）
1. 让学生独立完成练习题，巩固对圆的方程的理解。
2. 引导学生运用圆的方程解决实际问题。
四、总结与拓展（10分钟）
1. 对本节课的内容进行总结，让学生掌握圆的方程的概念和表示方法。
2. 引导学生思考圆的方程在实际问题中的应用，激发学生的学习兴趣。
教学反思：
本节课通过导入、新课讲解、课堂练习和总结与拓展环节，让学生了解了圆的方程的概念和意义，学会了用圆的标准方程和一般方程表示圆，并能够运用圆的方程解决实际问题。
在教学过程中，要注意引导学生积极参与，通过示例和练习题让学生充分理解和掌握圆的方程的表示方法。
同时，也要注重培养学生的思维能力和实际应用能力，让学生能够将所学知识运用到实际问题中。
高中数学圆方程教案
高中数学圆方程教案
教学目标：
1. 掌握圆的一般方程和标准方程；
2. 理解不同参数对圆的位置、形状的影响；
3. 能够根据已知条件求解圆的方程。
教学内容：
1. 圆的一般方程和标准方程的表达；
2. 圆的圆心、半径和方程之间的关系；
3. 圆的位置、形状与参数之间的关系。
教学流程：
一、导入
教师引入圆的概念，讲解圆的定义及基本性质，激发学生对圆的兴趣。
二、讲解
1. 圆的一般方程和标准方程的表达形式；
2. 圆的圆心坐标和半径与圆的方程之间的关系；
3. 不同参数对圆的位置、形状的影响。
三、练习与实践
1. 给出不同圆的半径和圆心坐标，让学生求解圆的方程；
2. 给出圆的方程，让学生画出对应的圆图形。
四、总结与延伸
教师总结本节课的重点知识，并提出延伸思考题，拓展学生对圆方程的理解。
五、作业布置
布置相关练习题目，并要求学生结合实际情况解决问题。
教学反馈：
教师根据学生的表现和作业情况，及时给予反馈与指导，以便学生及时纠正错误，提高学习效果。
教学资源：
1. 教科书《高中数学》；
2. PPT课件；
3. 相关练习题目。
教学评估：
通过课堂练习、作业表现以及考试成绩等多方面评估学生掌握情况，及时调整教学内容和方法，帮助学生提高学习效果。
圆的标准方程教案
圆的标准方程教案一、教学目标1、理解圆的标准方程的推导过程。
2、掌握圆的标准方程的形式和特点。
3、能够根据圆的标准方程求出圆心坐标和半径。
4、会用待定系数法求圆的标准方程。
二、教学重难点1、教学重点圆的标准方程的推导。
圆的标准方程的应用。
2、教学难点圆的标准方程的推导过程中坐标变换的理解。
三、教学方法讲授法、讨论法、练习法四、教学过程1、导入通过展示生活中常见的圆形物体，如车轮、圆盘等，引导学生思考圆的特征。
提问学生如何描述一个圆，从而引出本节课的主题——圆的标准方程。
2、知识讲解（1）圆的定义在平面直角坐标系中，以点\（（a,b)＼）为圆心，以\（r\）为半径的圆的定义是：平面内到定点\（（a,b)＼）的距离等于定长\（r\）的点的集合。
（2）圆的标准方程的推导设点\（M(x,y)＼）是圆上任意一点，根据圆的定义，点\（M\）到圆心\（（a,b)＼）的距离等于半径\（r\）。
根据两点间的距离公式可得：＼（＼sqrt{（x a)＾2 ＋（y b)＾2} ＝ r\）两边平方可得：＼（（x a)＾2 ＋（y b)＾2 ＝ r^2\）这就是圆的标准方程。
（3）圆的标准方程的特点方程\（（x a)＾2 ＋（y b)＾2 ＝ r^2\）中，有三个参数\（a\）、＼（b\）、＼（r\），即圆心坐标\（（a,b)＼）和半径\（r\）。
当圆心在原点\（（0,0)＼）时，圆的标准方程为\（x^2 ＋ y^2 ＝r^2\）。
3、例题讲解例 1：已知圆的圆心为\（（2,－3)＼），半径为\（4\），求圆的标准方程。
解：因为圆心为\（（2,－3)＼），半径为\（4\），所以圆的标准方程为\（（x 2)＾2 ＋（y ＋ 3)＾2 ＝ 16\）例 2：求以点\（（－1,2)＼）为圆心，且过点\（（3,4)＼）的圆的标准方程。
首先计算半径\（r\）：＼（r ＝＼sqrt{（3 ＋ 1)＾2 ＋（4 2)＾2} ＝＼sqrt{16 ＋ 4} ＝2\sqrt{5}＼）所以圆的标准方程为\（（x ＋ 1)＾2 ＋（y 2)＾2 ＝ 20\）4、课堂练习（1）已知圆的圆心为\（（－3,4)＼），半径为\（＼sqrt{5}＼），写出圆的标准方程。
圆的标准方程教案
圆的标准方程教案圆的标准方程教案教学目标•了解圆的基本定义和性质•掌握圆的标准方程的推导过程•理解并能够应用圆的标准方程解决相关问题具体内容1.圆的定义–圆是由平面上到一个定点的距离恒为定值的点的集合。
–圆心：到圆上任意一点的距离相等的那个点称为圆心。
–半径：圆心到圆上任意一点的距离称为半径。
2.圆的性质–圆上任意两点之间的距离等于半径的长度。
–圆上任意一点到圆心的距离等于半径的长度。
–圆的直径是两个任意点之间的最大距离，等于半径的两倍。
3.圆的标准方程的推导–圆心为原点(O, 0)的标准方程：x2+y2=r2•推导过程：–假设圆上一点的坐标为(x, y)–利用圆的性质，得到点(x, y)到原点(0, 0)的距离表达式为√x2+y2–根据圆的定义，该距离应等于半径r，即√x2+y2=r–两边平方可得x2+y2=r24.应用示例–示例1：已知圆心为O(2, 3)，半径为5，求圆的标准方程。
–示例2：已知圆的标准方程为x2+y2=16，求圆心和半径。
教学步骤1.引入圆的基本定义和性质，让学生了解圆的特点和基本概念。
2.介绍圆的标准方程的推导过程，引导学生理解推导思路。
3.提供示例，让学生通过实例练习应用圆的标准方程。
4.鼓励学生以小组或个人形式进行讨论，解决更复杂的问题。
5.结合生活和实际问题，让学生应用所学的圆的标准方程解决实际情况。
6.给学生一些拓展题，鼓励他们提出更多的问题和思考。
7.总结课程内容，强调圆的标准方程在解决几何问题中的重要性。
教学资源•教科书或教材相关章节•板书或投影仪，展示圆的标准方程的推导过程•实例问题和解答•拓展题目评估与反馈•在课堂上进行学生的练习和回答问题。
•布置课后作业，检查学生对圆的标准方程的理解和应用能力。
•检查学生解决实际问题的能力，如通过实例或情境题进行评估。
•综合评价学生在课堂讨论、练习和作业中的表现，提供反馈和指导。
圆的一般方程教案
圆的一般方程教案一、教学目标知识与技能1、在掌握圆的标准方程的基础上，理解记忆圆的一般方程的代数特征，由圆的一般方程确定圆的圆心半径．掌握方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F=0表示圆的条件．2、能通过配方等手段，把圆的一般方程化为圆的标准方程．能由已知条件用待定系数法求圆的方程。
过程与方法通过对方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F=0表示圆的条件的探究，培养学生探索发现及分析解决问题的实际能力。
情感态度价值观渗透数形结合、化归与转化等数学思想方法，提高学生的整体素质，激励学生创新，勇于探索。
二、教学重点与难点教学重点：圆的一般方程的代数特征，一般方程与标准方程间的互化；根据已知条件确定方程中的系数：D 、E 、F ．教学难点：对圆的一般方程的认识、理解和运用.三、教学过程（一）复习回顾复习回顾上节课所学的圆的标准方程，由标准方程指出圆的圆心坐标与半径。
然后引导学生在草稿纸上，将圆的标准方程展开，通过动手实践，观察展开后的方程特征，引入本节课内容——圆的一般方程.（二）新知探究1、方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F=0在什么条件下表示的圆？（1）当2240D E F +->时，方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F=0表示 （2）当时 ，方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F=0表示 （3）当 时，方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F=0表示 2、方程220x y Dx Ey F ++++=表示的曲线不一定是圆 只有当2240D E F +->时，2240D E F +-=2240D E F +-<它表示的曲线才是圆，形如220x y Dx Ey F ++++=的方程称为圆的一般方程，其圆心坐标和半径分别是什么？3、当D=0，E=0或F=0时，圆 的位置分别有什么特点？ 设计意图：通过对方程x2＋y2＋Dx ＋Ey ＋F=0表示圆的条件的探究, 理解并掌握方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F=0表示圆的条件．（三）巩固练习总结出圆的一般方程的特点之后，利用5个巩固练习来强化学生对圆的一般方程的理解，然后归纳圆的标准方程与一般方程各自特点，进行对比记忆。
高一圆的标准方程与一般方程
年级内容标题编稿老师高一学科数学圆的标准方程与一般方程蔡秀梅一、学习目标1.了解圆的定义，理解并掌握圆的标准方程和一般方程.2.掌握用待定系数法求圆的方程.3.掌握圆的标准方程与一般方程的互化.4.体会求轨迹方程的方法与思想.二、重点、难点重点：圆的标准方程，通过圆的一般方程求圆的标准方程，根据已知条件求圆的方程.难点：根据已知条件求圆的方程.三、考点分析本节内容是圆的方程，有关圆的题目，多以选择题、填空题的形式重点考查其标准方程和一般方程，难度不大；有时，也将圆的方程作为解答题考查.1.圆的定义：平面到一定点的距离等于定长的点的轨迹是圆，定点是圆心，定长是圆的半径.2.圆的标准方程：以C(a,b)为圆心，r（r>0）为半径的圆的标准方程：(x-a)2+(y-b)2=r23.圆的一般方程：x2+y2+Dx+Ey+F=0（D2+E2-4F>0），圆心坐标为D E D2+E2-4F（-,-），半径为r=.特别地，当D2+E2-4F=0时，表示点222D E(-,-)；当D2+E2-4F<0时，不表示任何图形.224.点与圆的位置关系已知点P(x,y),圆的方程C:(x-a)2+(y-b)2=r211则PC=(x-a)2+(y-b)211PC>r⇔点P在圆外；PC=r⇔点P在圆上；PC<r⇔点P在圆内.解得： ⎨， b = -2所以由方程组 ⎨解得圆心坐标为（1，－2）， 2 x - 3 y - 8 = 0（ （ ⎩5a - 3b = 8 ⎩b = 4 ⎩b = -1知识点一：圆的方程例 1. （1）求经过点 P （1，3），Q （－2，2），且圆心在直线l : 2 x - 3 y - 8 = 0 上的圆的方程.（2）求圆心在直线 l ： 5x - 3 y = 8 上，且与坐标轴相切的圆的方程.【思路分析】题意分析：求圆的方程关键是求出圆心坐标和半径.解题思路： 1）设出圆心坐标，由已知条件构造方程组求解；或求出线段PQ 的垂直平分线 方程，与直线 l 的方程联立，解出交点坐标即为圆心坐标.（2）圆与坐标轴相切，说明圆心到坐标轴的距离相等，即都等于圆的半径，由此可列出圆心坐标所满足的方程，解方程可得圆心坐标和半径. 【解答过程】 1）解法一：设圆心坐标为 C (a, b ) ，⎧⎪ (a - 1) 2 + (b - 3) 2 = (a + 2) 2 + (b - 2) 2则有 ⎨ ，⎪⎩2a - 3b - 8 = 0⎧a = 1⎩ 所以 r = PC = (1 - 1) 2 + (-2 - 3) 2 = 5 ，所以所求圆的方程为 ( x - 1) 2 + ( y + 2) 2 = 25 .解法二：根据条件可知圆心一定在线段 PQ 的垂直平分线上，由直线的点斜式方程可求得线段 PQ 的垂直平分线方程为3x + y - 1 = 0 ，由已知圆心也在直线 l ： 2 x - 3 y - 8 = 0 上，⎧3x + y - 1 = 0⎩以下解法同解法一.（2）设圆心为 (a, b ) ，因为圆与坐标轴相切，所以 a = b ，圆心在已知直线上，所以有 5a - 3b = 8 ，⎧| a |=| b |所以 ⎨⎧a = 4 ⎧a = 1 ，解得 ⎨ 或⎨ ⎩b = 4 ⎩b = -1，⎧a = 4当 ⎨时， r = a ＝4，所求圆的方程为 ( x - 4) 2 + ( y - 4) 2 = 16 ；⎧a = 1当 ⎨时， r = a ＝1，所求圆的方程为 ( x - 1) 2 + ( y + 1) 2 = 1 .【题后思考】由已知条件构造出圆心坐标和半径的方程组，是求圆的方程的关键.例 2. 求过点 A （－2，1），B （0，－1），C （－2，－3）的圆的方程.所以有 ⎨(-1) 2 - E + F = 0 ，解此方程组得： ⎨E = 2 ， ⎪(-2) 2 + (-3) 2 - 2D - 3E + F = 0⎪F = 1 （ （ （ ⎧ b + 1⎪ 1 ⎪ 1 + a⎪⎩b = 2⎪ 2⎪⎩ 2 （【思路分析】题意分析：利用圆的一般方程求解.解题思路：设出圆的一般式方程，分别把三点的坐标代入方程，构成方程组，解此方程组即 可得出所求结果.【解答过程】设所求圆的方程为 x 2 + y 2 + Dx + Ey + F = 0 ，因为 A 、B 、C 三点在圆上，⎧(-2) 2 + 12 - 2D + E + F = 0 ⎧D = 4 ⎪ ⎪⎩所求圆的方程为 x 2 + y 2 + 4 x + 2 y + 1 = 0 .【题后思考】本题也可以先求出圆心和半径进而列出圆的方程，但不如这种方法简捷.例 3. （1）求与圆 x 2 + y 2 - x + 2 y = 0 关于直线 x - y + 1 = 0 对称的圆的方程.（2）求方程 x 2 + y 2 + 4mx - 2 y + 5m = 0 表示圆的充要条件.【思路分析】题意分析： 1）所求圆与已知圆的半径相同，故只需求出圆心坐标即可求解.（2）本题的关键是落实运用二元二次方程表示圆的充要条件.解题思路： 1）先求出已知圆的圆心坐标和半径，再求出该圆圆心关于对称轴的对称点坐标.（2）直接代入 D 2 + E 2 - 4F > 0 得关于 m 的不等式，解不等式即可.1 【解答过程】 1）圆的方程可化为 ( x - ) 2 + ( y + 1) 2 = 25 4，1所以圆心的坐标为 ( ,-1) ，半径为25 2 ，设圆心关于直线 x - y + 1 = 0 的对称点为 (a, b ) ，= -1⎪ a -⎧a = -2 ⎪ 2⎪ 则有 ⎨ ，解得 ⎨ 3 ，b - 1 - + 1 = 023 所以所求圆的方程为 ( x + 2) 2 + ( y - ) 2 = 25 4.（2）∵ D 2 + E 2 - 4F = (4m ) 2 + 4 - 20m = 16m 2 - 20m + 4 = 4(4m - 1)(m - 1) > 0∴ m > 1 或 m < 14.【题后思考】 1）由圆的一般方程要能够准确求出圆心坐标和半径，既可以用配方法将其转 化为圆的标准式方程求解，也可以直接套用公式求解.（2）并不是所有形如 x 2 + y 2 + Dx + Ey + F = 0 的方程都表示圆，用这样的方程表示圆的充要条件是 D 2 + E 2 - 4F > 0 .( x - 3) 2 + y 2 （ （【知识小结】当已知条件与圆心、半径有关时，求圆的方程时，把方程设为标准方程更简便；对于圆的一般方程要会求圆心坐标和半径；另外还要掌握用二元二次方程表示圆的充要条件 为 D 2 + E 2 - 4F > 0 .知识点二：与圆有关的综合问题例 4. 动点 M 到两个定点 O （0，0），A （3，0）的距离之比为 1：2，求动点 M 的轨迹方程，并说明该轨迹是什么曲线.【思路分析】题意分析：动点 M 满足的条件在已知条件中已明确给出，只需把它用坐标表示出来，并化 简整理即可.解题思路：设出动点 M 的坐标，分别用两点间的距离公式表示 MO 、MA 的长.【解答过程】设动点 M 的坐标为（ x, y ），由已知，MO 1 = ，∴ MA 2 x 2 + y 2 1= ，2∴ 2 x 2 + y 2 = ( x - 3) 2 + y 2两边平方并整理得： x 2 + y 2 + 2 x - 3 = 0 ，所以动点 M 的轨迹为以（－1，0）为圆心，以 2 为半径的圆.【题后思考】求动点的轨迹方程即求动点的坐标（ x, y ）满足的方程，当已知条件中明确给出动点运动的条件时，只需把条件用坐标表示出来，并化简整理即可.例 5. 已知点 A(-2,0), B(2,0), AD = 2 ，E 为线段 BD 的中点，求点 E 的轨迹方程.【思路分析】题意分析： 1）由已知条件可知点 D 的轨迹方程，把点 D 的坐标用点 E 的坐标表示出来，然后代入点 D 的轨迹方程.（2）利用图形的几何性质可推出 OE = 1 ，故可知点 E 的轨迹是以原点为圆心的圆.解题思路： 1）设出点 E 的坐标，用中点坐标公式求出点 D 的坐标.（2）由图形可得 OE 为△ADB 的中位线.【解答过程】解法一：设点 E ( x , y) ，点 D( x , y ) ，因为 E 为线段 BD 的中点，所以有1 1x = 2 x - 2, y = 2 y ，11AD = 2 ，∴ ( x + 2) 2 + y 2 = 4 ，11即 (2 x - 2 + 2) 2 + (2 y) 2 = 4 ，整理得： x 2 + y 2 = 1 .解法二：连接 OE ，则 OE 为△ADB 的中位线，所以 OE = 1 2AD = 1 ，由圆的定义可知，点 E 的轨迹是以原点为圆心的圆，方程为 x 2 + y 2 = 1 .【题后思考】本题的两种解法分别用到了求轨迹方程的相关方法和定义法.（ （ 2例 6. 如果实数 x, y 满足方程 ( x - 3) 2+ ( y - 1) 2= 1 ，求： 1） y的最大值和最小值；x（2） 3x + y 的最大值和最小值；（3） x 2 + y 2 的最大值和最小值.【思路分析】题意分析：利用 y x, 3x + y , x 2 + y 2 的几何意义，用数形结合的方法来解决.解题思路：y x的几何意义为圆上的点与原点连线的斜率； 3x + y 的几何意义为设b = 3x + y ，则 b 表示直线在 y 轴上的截距； x 2 + y 2 的几何意义表示圆上的点到原点的距离的平方.【解答过程】 1） yx表示圆上的点与原点连线的斜率，过原点作圆的两条切线，y则切线的斜率分别为 0 和 3 ，所以 的最大值为 3 ，最小值为 0.x（2）设 b = 3x + y ，则 b 表示直线在 y 轴上的截距，作圆的两条斜率为 - 3 的切线，这两条切线的截距分别为 2 和 6，所以 3x + y 的最大值为 6，最小值为 2.（3） x 2 + y 2 表示圆上的点到原点的距离的平方，因为圆心到原点的距离为 2，所以圆上的点到原点距离的最大值为 3，最小值为 1， 所以 x 2 + y 2 的最大值为 9，最小值为 1.【题后思考】本题使用代数式的几何意义求解比较直观.易错点是误认为 x 2 + y 2 是圆上的点到原点的距离.例 7. 已知圆 C ： ( x + 1 2 ) 2 + ( y - 3) 2 =254上两点 P , Q 满足：①关于直线 y = kx + 4对称；② OP ⊥ OQ ，求直线 PQ 的方程.【思路分析】题意分析：由圆上两点 P , Q 关于直线 y = kx + 4 对称可知圆心在这条直线上，故斜率 k 的值可求，进而由 O P ⊥ OQ ⇔ x x + y y = 0 .1 21 2解题思路：设出所求直线方程，代入圆方程，用根与系数的关系构造关于所求的方程. 【解答过程】由圆上两点 P , Q 关于直线 y = kx + 4 对称可知圆心在这条直线上，所以有 3 = - 1 2k + 4 ，解得 k = 2 ，1则直线 PQ 的斜率为 - ，设 P 点坐标为 ( x , y ) ，Q 点坐标为 ( x , y ) ，1 12 21直线 PQ 的方程为 y = - x + b ，2所以⎨x+x=5⎪⎪1222425A0代入圆的方程整理得：5x2+4(4-b)x+4(b2-6b+3)=0，⎧⎪∆=16(4-b)2-4⨯5⨯4(b2-6b+3)>0⎪⎪4(b-4)12⎪4(b2-6b+3)x x=⎩511114b2+2b+3 y y=(-x+b)(-x+b)=x x-b(x+x)+b2=12121212，OP⊥OQ⇔x x+y y=0，所以12124(b2-6b+3)4b2+2b+3+=05535解得b=或，经检验，∆>0成立.24所以所求直线PQ的方程为x+2y-3=0或2x+4y-5=0.【题后思考】本题中由O P⊥OQ⇔x x+y y=0是解此类型题常用的结论；求出b的1212值后，应验证∆>0是否成立.【知识小结】在本讲中，我们学习了圆的标准方程和一般方程.在求圆的方程时，可根据已知条件选择适当的方程求解.解决有关圆的最值问题时，利用代数式的几何意义求解比较简便.在解答有关圆的综合问题时，结合圆的性质求解是关键；求圆的方程时，如果已知条件与圆心、半径有关，一般采用圆的标准方程求解，如果与圆心、半径无直接关系，则使用圆的一般方程求解.（答题时间：50分钟）一、选择题1.圆(x+2)2+y2=5关于原点对称的圆的方程是（）A.(x-2)2+y2=5B.x2+(y-2)2=5C.(x+2)2+(y+2)2=5D.x2+(y+2)2=52.点（1，1）在圆(x-a)2+(y+a)2=4的内部，则a的取值范围为（）A.-1<a<1B.0<a<1C.a<-1或a>1D.a=±13.已知直线l的方程为3x+4y-25=0，则圆x2+y2=1上的点到直线l的距离的最小值是（）A.3B.4C.5D.64.一个动点在圆x2+y2=1上移动，它与点（3，）连线的中点的轨迹方程为（）A.(x+3)2+y2=4B.(x-3)2+y2=13C.(2x-3)2+(2y)2=1D.(x+)2+y2=21 25.经过圆x2+2x+y2=0的圆心，且与直线x+y=0垂直的直线方程是（）A.x-y+1=0 C.x+y-1=0B.x-y-1=0 D.x+y+1=06.已知圆x2+y2+4x-2y-4=0，则x2+y2的最大值为（）A.9B.14C.14-65D.14+65二、填空题7.已知点A（－4，－5），B（6，－1），则以线段AB为直径的圆的方程是.8.已知圆(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)过原点且与y轴相切，则a,b,r应满足的条件是.9.圆心在直线x=2上的圆与y轴交于点A（0，－4），B（0，－2），则圆的方程是.10.直线l与圆x2+y2+2x-4y+a=0(a<3)相交于点A、B，弦AB的中点为（0，1），则直线l的方程为.三、解答题11.求与x轴相切于点（5，0），并在y轴上截得的弦长为10的圆的方程.12.方程ax2+ay2-4(a-1)x+4y=0表示圆，求实数a的取值范围，并求出其中半径最小的圆的方程.13.已知圆x2+y2+x-6y+m=0和直线x+2y-3=0相交于P,Q两点，若OP⊥OQ，求m的值.1, 2x 3(2y)2 1.2222 22 22一、选择题1. A解析：圆心的坐标为（－2，0），则关于原点对称的点的坐标为（2，0）. 2. A 解析：由已知 (1 a)2(1 a)24 ，解得 1 a 1 .3. B解析：圆心到直线的距离 d255 ， 最小值为 5－1＝4.32424. C解析：设 M (x ,y )为圆上的动点，MA 的中点为 N (x,y) ，则 xx3 y 0,y 02 2x2x 3,y2 y, x 2 y0 0225. A 解析：圆的圆心为（－1，0），直线的斜率为 1，故所求直线的方程为 y x 1即xy 1 0.6. D解析：圆心为（－2，1），半径为 3，圆心到原点的距离为 5 ，所以 x 2y 2 的最大值为 ( 5 3)14 6 5 .二、填空题7. (x 1)(y 3)29 解析：由中点坐标公式得圆心坐标为（1，－3），由两点间的距离公式得半径为 29 .8. ar 且 b 0解析：由已知： (0 a)2(0 b)2 r 2 (r 0),r a, b 0.9. (x 2)2(y 3)5 解析：线段 AB 的中点坐标为（0，－3），所以圆心坐标为（2，－3），则半径为 (2 0)( 3 2)5.10. xy 1 0 解析：圆心为（－1，2），圆心与弦 AB 的中点（0，1）的连线的斜率为－1，所以所求直线 l 的斜率为 1，且过点（0，1），故所求直线 l 的方程为 y 1 x 即x y 1 0三、解答题11. 解：因为与 x 轴相切于点（5，0），所以圆心的横坐标为 5，设圆的半径为 r ，10则有 r2( )2 52 50 ，所以圆心的纵坐标为 5 2 .2故所求圆的方程为 (x 5)2(y 5 2)250 .12. 解：圆方程可化为[x2(a 1) 2 4(a 2 2a 2)] (y )2a a a 2，方程表示圆a 2 2a 2 0 且 a 0， a R ,a 0 时方程表示圆.4(a 22a 2) 2(a2)2a 2a22 2 ，当且仅当 a 2 时取等号.a 2 时，圆的半径最小，此时圆的方程为 (x 1) (y 1)2.⎩ x 2 + y 2 + x - 6 y + m = 05学习必备 欢迎下载⎧ x + 2 y - 3 = 013. 解：设 P( x , y ), Q ( x , y ) ，由 ⎨1 12 2得 5 y 2 - 20 y + 12 + m = 0 ，∴ y + y = 4, y y =12 + m， OP ⊥ OQ ,∴ x x + y y = 012 1 21 2 1 2∴ (3 - 2 y )(3 - 2 y ) + y y = 0 即 9 - 6( y + y ) + 5 y y = 0121 2121 2∴ 9 - 6 ⨯ 4 + (12 + m ) = 0 ，解得： m = 3 .。
《圆的标准方程》教学设计教案
《圆的标准方程》教学设计教案一、教学目标：1、理解圆的标准方程，并能根据方程求出圆的坐标和圆的半径。
2、掌握求圆的标准方程的各种方法。
3、通过探求圆的标准方程，培养学生的动手能力，解决问题的能力。
二、教学重点与难点：重点：圆的标准方程的运用。
难点：探求圆的标准方程。
三、教学过程：1、创设情境，引入新课：生活中的圆形（图片展示）。
2、知识链接：平面几何中“圆”是如何定义的？圆的定义：平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹。
定点就是圆心,定长就是半径在平面直角坐标系中，当圆心位置与半径大小确定后，圆就唯一确定了。
3、知识探究：构建圆的标准方程平面直角坐标系中，求圆心是C(a,b)，半径是r的圆的方程．解：设M(x,y)是圆上任意一点，则|MC|=r 根据22122121()()PP x x y y =-+- ()()22x a y b r -+-=把上式两边平方得 ()()222x a y b r -+-=我们把这个方程称为圆的标准方程，其中圆心坐标(a,b)，半径为r 。
4、特征分析：圆的标准方程()()222x a y b r -+-=（1）圆的标准方程是关于变量x ，y 的二元二次方程，且为平方和的形式,方程形式明确给出了圆心坐标（定位）和半径（定大小）。
（2）确定圆的标准方程必须具备三个条件：a,b,r 。
（3）参数的几何意义: （a ，b ）表示圆心坐标, r 表示圆的半径。
特别地：若圆心在坐标原点，则圆方程为222x y r +=5、典例分析例1 求以点C (－3，2)为圆心，半径r 5 解 因为 a ＝－3，b ＝2，r 5 ，所以 所求圆的标准方程为(x ＋3)2＋(y －2)2＝5.练习1、根据已知条件，求圆的标准方程：（1）圆心在原点，半径是3;1（2-），半径是5;2（3）圆心点（0，2例2 写出圆(x －5)2＋y 2＝2的圆心坐标和半径长．练习2、已知圆的标准方程，请说出圆心和半径.()()22(1)129x y ++-=()22(2)16x y -+=22(3)16x y += ()222(4)1(0)x y a a ++=≠ 例3 已知圆心在坐标原点O (0，0)，且点A (3，4)是圆上一点，求圆的标准方程．练习3．根据下列条件，求出圆的标准方程：(1)已知点A (2，3)，点B (2，7)，以线段AB 为直径；(2)圆心在点(1，2)，且圆过点(2，4)；(3)圆心是直线x ＋y ＋3＝0与直线2x －y ＝0的交点，半径r ＝.四、 课堂小结1、圆的定义：平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹。
圆的标准方程与一般方程教案
圆的标准方程【自主预习】1、在平面直角坐标系中，确定一个圆的要素有哪些？2、①若一个圆的圆心是（0，0），半径是2，圆的方程是什么？②若一个圆的圆心是（-2，1），半径是3，圆的方程是什么？③若一个圆的圆心是（a ，b ），半径是r(y>0)，圆的方程是什么？3、分析圆的标准方程有何特点？4、写出下列圆的方程⑴圆心在原点，半径为3⑵圆心在点C(3,4),半径为5⑶经过点P （5，1），圆心在点C(8，-3)⑷已知点A(-4,-5),B(6,-1),求以AB 为直径的圆的方程。
特殊的：过直径两端点A （x 1，y 1）、B(x 2，y 2)的圆的方程为(x-x 1)(x-x 2)+(y-y 1)(y-y 2)=05、根据圆的方程写出圆心和半径⑴5)3()222=-+-y x （ ⑵2222()2）（-=++y x【典例探究】（点与圆的位置关系）例题1 已知圆心在C(-3,-4),且经过原点，求该圆的标准方程，并判断点)4,3(),1,1(),0,1(321---p p p 和圆的位置关系。
的条件呢？的条件是什么？在圆外内在圆（思考：点)0()()),(22200>=-+-r r b y a x y x M判定方法1、几何法2、代数法（三角形外接圆）例题2、△ABC 的三个顶点的坐标分别是A(-2，4),B(-1，3),C(2,6),求它的外接圆的方程。
变式：已知四点A （0,1）、B （2,1）、C （3,4）、D （-1,2），这四点是否在同一个圆上，为什么？（圆的标准方程）例题3 已知一个圆C 经过两个点A （2，-3），B （-2，-5），且圆心在直线032:=--y x l 上，求此圆的方程。
思考： 比较例题2和例题3，你能归纳求任意△ABC 外接圆的方程的两种方法吗？1、待定系数法2、弦的垂直平分线过圆心这一性质（圆的对称性）例四 已知一个圆C ：(x+2)2+(y-6)2=1和一条直线l ：3x-4y+5=0,求圆C 关于直线l 对称的圆的方程。
圆的方程教案
圆的方程教案圆的方程教案一、教学目标1. 理解圆的定义和性质。
2. 掌握圆的标准方程和一般方程的求解方法。
3. 运用圆的方程解决相关问题。
二、教学重点1. 圆的标准方程的推导过程。
2. 圆的一般方程和标准方程之间的转化。
三、教学内容1. 圆的定义和性质（1）定义：平面上到定点的距离等于一个定值的点的轨迹叫做圆。
（2）性质：所有到圆心距离相等的点，都在圆上；圆心到圆上任何一点的距离都相等；过圆心的直径为直径的两个端点都在圆上。
2. 圆的方程（1）圆的相关概念：圆心、半径、直径、弧、弦。
（2）圆的标准方程：已知圆心坐标为(h, k)，半径为r的圆的方程为(x - h)² + (y - k)² = r²。
（3）圆的一般方程：圆的一般方程为x² + y² + Dx + Ey + F = 0，其中D、E、F为常数。
四、教学方法1. 示范教学法：通过示例讲解圆的标准方程和一般方程的推导过程，引导学生理解和掌握。
2. 合作探究法：让学生自主探究圆的性质和方程推导的过程，在小组合作中进行讨论和总结。
3. 实践运用法：通过解决具体问题和应用题，培养学生运用圆的方程解决实际问题的能力。
五、教学步骤1. 引入新知识：介绍圆的定义和性质，激发学生的兴趣。
2. 学习圆的标准方程：通过示例演示，引导学生理解圆的标准方程，并进行练习。
3. 学习圆的一般方程：通过讲解和练习，引导学生掌握圆的一般方程和标准方程之间的转化。
4. 小组探究：让学生自主分组，通过观察和讨论，总结圆的性质和方程的特点。
5. 巩固练习：组织学生进行练习题，巩固所学的知识和技能。
6. 拓展应用：通过一些实际问题和应用题，培养学生的综合应用能力。
7. 总结归纳：对所学的知识进行总结归纳，做重点概括和提醒。
六、教学评价1. 观察学生的学习状态，了解学生对课堂内容的理解和掌握程度。
2. 收集学生的练习和作业，对学生的答题能力和解题思路进行评价。
高中 圆的标准方程与一般方程 导学案
1．两点间的距离公式？2．具有什么性质的点的轨迹称为圆？圆的定义？平面内与一定点的距离等于定长的点的轨迹称为圆，定点是圆心，定长是半径.学习过程：问题1 已知在平面直角坐标系中，圆心A的坐标用（a，b）来表示，半径用r来表示，则我们如何写出圆的方程？问题2圆的方程形式有什么特点？当圆心在原点时，圆的方程是什么？例1：1写出下列各圆的方程：(1)圆心在原点，半径是3； (2) 圆心在C(3,4)，半径是5(3)经过点P(5，1)，圆心在点C(8，-3)；2、写出下列各圆的圆心坐标和半径：(1) (x -1)2 + y 2 = 6 (2) (x +1)2+(y -2)2= 9(3) 222()()x a y a ++=例2：写出圆心为(2,3)A -半径长等于5的圆的方程，判断12(5,7),(1)M M --是否在这个圆上。
问题3点M 0(x 0,y 0)在圆(x-a)2+(y-b)2=r 2上、内、外的条件是什么？例3△ABC 的三个顶点的坐标是(5,1),(7,3),(2,8),A B C --求它的外接圆的方程例4已知圆心为C 的圆经过点(1,1)A 和(2,2)B -,且圆心在:10l x y -+=上,求圆心为C 的圆的标准方程.注：比较例3、例4可得出△ABC 外接圆的标准方程的两种求法：1.根据题设条件，列出关于a b r 、、的方程组，解方程组得到a b r 、、得值，写出圆的标准方程.2.根据确定圆的要素，以及题设条件，分别求出圆心坐标和半径大小，然后再写出圆的标准方程.达标检测1、已知两点P 1(4，9)和P 2(6，3)，求以P 1P 2为直径的圆的方程，判断点M(6，9)、N(3，3)、 Q(5，3)是在圆上，在圆内，还是在圆外？2、求圆心C 在直线 x+2y+4=0 上，且过两定点A(-1 , 1)、B(1,-1)的圆的方程。
3、从圆x 2+y 2=9外一点P(3,2)向该圆引切线，求切线方程。
圆方程教学设计(精选4篇)_圆的方程教学设计
圆方程教学设计（精选4篇）_圆的方程教学设计圆方程教学设计（精选4篇）由作者整理，希望给你工作、学习、生活带来方便。
第1篇：圆的一般方程教学设计一、学习目标知识与技能：在熟练记忆圆的标准方程的基础上，能通过配方法将方程配方，从而得出此方程表示圆的条件，记住此条件，并会求圆心和半径；熟练进行标准方程和一般方程之间的互化；通过比较得出求圆方程的两种方法（待定系数法和几何性质法）。
过程与方法：通过对方程表示圆的条件的探究，培圆的一般方程教学设计养学生探索发现和解决问题的能力，通过比较例题，感悟归纳和总结的学习方法。
情感态度与价值观：通过对数学思想和方法的渗透，让学生感受解决问题的不同思考角度和过程，激励学生积极思考，勇于探索的精神。
二、重点难点：探究方程的两种方法（待定系数法和几何性质法）。
三、学法提示：探究式；比较归纳式四、学习过程：包括相关预习、学习探究、反馈和展示、启发点拨、归纳小结、释疑答难、训练巩固、点拨校正、作业等。
1、自主预习（用10分钟时间阅读教材内容，勾勒自己的疑惑，查阅相关的资料辅助解决疑惑，记录自己一些独特的见解，完成学业质量模块测评的环节1，包括基础知识的记忆、思维提升的判断及A、B、C不同层级的练习）2、思考探究（引入）：问题1：圆的标准方程是什么？你能正确展开吗？此时重点观察和发现后进生的练习过程，及时地予以真诚的语言鼓励或者一个肯定的眼神、一个手势，让这些学生从一开始投入到我能学会的自信心当中来。
问题2：方程方程表示圆的条件；求圆方程在解决这两个问题之前老师紧接着问：由问题1你能想到解决这两个问题的办法吗？或者由这两个方程的形式特点你想到了什么方法来处理这两个方程？这样培养学生善于发现问题之间的内在联系的意识，也培养学生观察分析问题的能力。
这样学生自然采用配方法处理，第一个表示一个圆，第二个不表示任何图形。
问题3：将问题2一般化，方程都表示圆吗？在什么条件下表示圆？3、小组展示先给学生5分钟自主探究（因为涉及到分情况讨论，可能有一半学生会出错），而后各个小组在小组长的展示下相互完善，达成共识。
人教版高中数学教案圆的标准方程
人教版高中数学教案圆的标准方程教学目标：1. 理解圆的标准方程的概念和意义。
2. 学会运用圆的标准方程解决实际问题。
3. 培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
教学重点：1. 圆的标准方程的概念和意义。
2. 运用圆的标准方程解决实际问题。
教学难点：1. 圆的标准方程的推导和理解。
教学准备：1. 教学课件或黑板。
2. 练习题。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 引入圆的概念，复习已学过的圆的性质。
2. 提问：我们已经学过圆的方程了，圆的方程有哪些形式呢？二、新课讲解（15分钟）1. 讲解圆的标准方程的概念和意义。
2. 通过示例展示圆的标准方程的推导过程。
3. 解释圆的标准方程中的各个符号的含义。
三、例题解析（10分钟）1. 给出一个实际的例题，让学生尝试运用圆的标准方程解决。
2. 引导学生思考并解答例题，解释解题思路和方法。
四、课堂练习（10分钟）1. 给出一些练习题，让学生独立完成。
2. 引导学生运用圆的标准方程解决实际问题。
2. 让学生反思自己在解题过程中的优点和不足，提出问题并讨论解决方法。
教学延伸：1. 进一步学习圆的方程的其他形式。
2. 探索圆的方程在实际问题中的应用。
教学反思：六、课堂互动（10分钟）1. 教师提出问题：“圆的标准方程能否表示所有的圆？”引导学生进行思考和讨论。
2. 学生分组进行讨论，分享各自观点和理由。
七、拓展学习（10分钟）1. 教师介绍圆的一般方程，即圆的方程可以表示为(x-a)²+(y-b)²=r²的形式。
2. 学生跟随教师一起推导一般方程，理解其中各个参数的含义。
3. 教师给出一些例子，让学生运用一般方程解决圆的相关问题。
八、练习与巩固（10分钟）1. 学生独立完成一些关于圆的标准方程的练习题，巩固所学知识。
2. 教师选取部分学生的作业进行点评，指出其中的错误和不足之处，并进行讲解。
九、课堂小结（5分钟）1. 教师引导学生回顾本节课所学的圆的标准方程的概念、推导过程和应用。
初中圆的方程教案
教案：初中圆的方程教学目标：1. 理解圆的方程的概念，掌握圆的标准方程和一般方程的形式。
2. 学会使用圆的方程解决实际问题，提高解决问题的能力。
3. 培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力。
教学重点：1. 圆的方程的概念及形式。
2. 圆的标准方程和一般方程的互化。
3. 使用圆的方程解决实际问题。
教学难点：1. 圆的方程的推导过程。
2. 圆的标准方程和一般方程的互化方法。
教学准备：1. 圆的方程的PPT或黑板。
2. 圆的方程的练习题。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 引导学生回顾圆的定义和性质，如圆的半径、直径等。
2. 提问：我们已经学习了直线和圆的方程，那么圆的方程是什么呢？二、新课讲解（15分钟）1. 讲解圆的标准方程和一般方程的定义和形式。
圆的标准方程：圆心在原点，半径为r的圆的方程为x^2 + y^2 = r^2。
圆的一般方程：圆心不在原点，半径为r的圆的方程为(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2。
2. 讲解圆的标准方程和一般方程的互化方法。
互化公式：若已知圆的方程为(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2，则圆的标准方程为x^2 + y^2 - 2ax - 2by + a^2 + b^2 - r^2 = 0。
三、例题讲解（15分钟）1. 讲解一个简单的例题，让学生理解圆的方程的应用。
例题：已知圆的一般方程为(x-2)^2 + (y+3)^2 = 13，求圆的圆心坐标和半径。
解：将圆的一般方程化为标准方程，得到圆的标准方程为x^2 + y^2 - 4x +6y + 5 = 0。
圆心坐标为(2, -3)，半径为√13。
四、课堂练习（15分钟）1. 让学生独立完成练习题，巩固圆的方程的知识。
五、总结（5分钟）1. 回顾本节课所学内容，强调圆的方程的概念和形式。
2. 提醒学生注意圆的标准方程和一般方程的互化方法。
教学反思：本节课通过讲解和练习，让学生掌握了圆的方程的概念和形式，以及圆的标准方程和一般方程的互化方法。
圆的方程教案
【课题】8．4 圆（一）【教学目标】知识目标：（1）了解圆的定义；（2）掌握圆的标准方程和一般方程． 能力目标：培养学生解决问题的能力与计算能力．【教学重点】圆的标准方程和一般方程的理解与应用．【教学难点】对圆的标准方程和一般方程的正确认识．【教学设计】用“解析法”推导圆的标准方程的过程，学生比较容易掌握，可以引导学生自己完成．要强化对圆的标准方程()()222x a y b r -+-=的认识，其中半径为r ，圆心坐标为(),O a b '．经常容易发生错误的地方是认为半径是2r ，圆心坐标为(),O a b '--．教学中应予以强调，反复强化．例1和例2是圆的标准方程的知识巩固性题目，属于基础性题目．可以由学生自己完成．通过例题，进一步熟悉圆的标准方程．再介绍圆的一般方程时，教材首先将圆的标准方程展开，分析系数特点，然后将方程配方成圆的标准方程．这一系列的过程，不但介绍圆的一般方程及其与标准方程的联系，还显示出用代数的方法研究几何问题的魅力．例3是圆的方程巩固性题目．题中的两种解法，都是经常使用的方法．特别是解法1，通常采用配方法，将方程化为标准方程，求出圆心坐标与半径．这类题目的训练，有助于学生数学运算能力的提高．求圆的方程，基本有两种基本方法．一种是根据已知条件求出圆心和半径，然后写出圆的标准方程，例4就是这种类型的基础性题目；另一种是，设出圆的方程，然后，利用待定系数法确定相应的常数，例5就是这种类型的基础性题目．【教学备品】教学课件．【课时安排】【教学过程】教学过程教师行为学生行为教学意图时间*揭示课题8．4 圆（一）*创设情境兴趣导入【知识回顾】圆是平面内到定点的距离为定长的点的轨迹，定点叫做圆心，定长叫做半径．如图8－18所示，将圆规的两只脚张开一定的角度后，把其中一只脚放在固定点O，另一只脚紧贴点所在平面上，然后转动圆规一周（圆规的两只脚张开的角度不变），画出的图形就是圆．图8－18【说明】圆心和半径是圆的两个要素．介绍质疑引导分析了解思考启发学生思考10*动脑思考探索新知【新知识】下面我们在直角坐标系中研究圆的方程．图8－19 讲解说明引领分析思考理解记忆带领学生分析过 程行为 行为 意图 间2200(2)(4)x x ++--=2200(0)(2)x x -+--，解得 02x =-． 因此，圆心为(－2，2)．半径为 22(20)(22)2r =--+-=，故所求方程为22(2)(2)4x y ++-=．【想一想】例4（3）是否还有其它解法？ 【知识巩固】例 5 求经过三点(0,0)O ，(1,1)A ，(4,2)B 的圆的方程（图8-20）．解 设所求圆的一般方程为220x y Dx E y F ++++=，将点Ｏ（0，0），A （1，1），B （4，2）的坐标分别代入方程，得 22222200000,11110,42420,D E F D E F D E F ⎧++⨯+⨯+=⎪⎪++⨯+⨯+=⎨⎪++⨯+⨯+=⎪⎩即0,2,4220,F D E F D E F =⎧⎪++=-⎨⎪++=-⎩解得 8D =-，6E =，0F =．引领 讲解 说明思考 主动 求解注意 观察 学生 是否 理解 知识 点75图8－20过 程行为 行为 意图 间2200(2)(4)x x ++--=2200(0)(2)x x -+--，解得 02x =-． 因此，圆心为(－2，2)．半径为 22(20)(22)2r =--+-=，故所求方程为22(2)(2)4x y ++-=．【想一想】例4（3）是否还有其它解法？ 【知识巩固】例 5 求经过三点(0,0)O ，(1,1)A ，(4,2)B 的圆的方程（图8-20）．解 设所求圆的一般方程为220x y Dx E y F ++++=，将点Ｏ（0，0），A （1，1），B （4，2）的坐标分别代入方程，得 22222200000,11110,42420,D E F D E F D E F ⎧++⨯+⨯+=⎪⎪++⨯+⨯+=⎨⎪++⨯+⨯+=⎪⎩即0,2,4220,F D E F D E F =⎧⎪++=-⎨⎪++=-⎩解得 8D =-，6E =，0F =．引领 讲解 说明思考 主动 求解注意 观察 学生 是否 理解 知识 点75图8－20教师教学后记】。
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圆的标准方程
【自主预习】
1、在平面直角坐标系中，确定一个圆的要素有哪些？
2、①若一个圆的圆心是（0，0），半径是2，圆的方程是什么？
②若一个圆的圆心是（-2，1），半径是3，圆的方程是什么？
③若一个圆的圆心是（a ，b ），半径是r(y>0)，圆的方程是什么？
3、分析圆的标准方程有何特点？
4、写出下列圆的方程
⑴圆心在原点，半径为3
⑵圆心在点C(3,4),半径为5
⑶经过点P （5，1），圆心在点C(8，-3)
⑷已知点A(-4,-5),B(6,-1),求以AB 为直径的圆的方程。
特殊的：过直径两端点A （x 1，y 1）、B(x 2，y 2)的圆的方程为(x-x 1)(x-x 2)+(y-y 1)(y-y 2)=0
5、根据圆的方程写出圆心和半径
⑴
5)3()222=-+-y x （ ⑵2
222()2）（-=++y x
【典例探究】
（点与圆的位置关系）例题1 已知圆心在C(-3,-4),且经过原点，求该圆的标准方程，并判
断点)4,3(),1,1(),0,1(321---p p p 和圆的位置关系。
的条件呢？的条件是什么？在圆外内
在圆（思考：点)0()()),(22200>=-+-r r b y a x y x M
判定方法
1、几何法
2、代数法
（三角形外接圆）例题2、△ABC 的三个顶点的坐标分别是A(-2，4),B(-1，3),C(2,6),求
它的外接圆的方程。
变式：已知四点A （0,1）、B （2,1）、C （3,4）、D （-1,2），这四点是否在同一个圆上，为什
么？
（圆的标准方程）例题3 已知一个圆C 经过两个点A （2，-3），B （-2，-5），且圆心在直线
032:=--y x l 上，求此圆的方程。
思考： 比较例题2和例题3，你能归纳求任意△ABC 外接圆的方程的两种方法吗？
1、待定系数法
2、弦的垂直平分线过圆心这一性质
（圆的对称性）例四 已知一个圆C ：(x+2)2+(y-6)2=1和一条直线l ：3x-4y+5=0,求圆C 关
于直线l 对称的圆的方程。
圆的一般方程
【自主学习】
1下列方程分别表示什么图形
（1）01422
2=++-+y x y x
(2) 05422
2=++-+y x y x
(3) 064222=+--+y x y x
(4) 0F E D 22=++++y x y x
只有满足条件 ，才是圆的方程！
2、圆的一般方程是什么？
1、 圆的标准方程与圆的一般方程各有什么特点？
x 、y 二次项系数相同且不为0；没有关于xy 的一次项
圆的一般方程表明了方程形式的特点
一般方程有三个待定系数D 、E 、F
3、由圆的一般方程如何确定点与圆的位置关系？
【典例探究】
（求圆的方程）例题1 △ABC 的三个顶点的坐标分别是A(-1，5),B(-2，-2),C (5，5),求
它的外接圆的方程，在平面直角坐标系中画出该圆的图形，并指出圆心和半径。
思考：用待定系数法求圆的方程的方法与步骤
1、选定方程形式
2、根据条件列出方程组
3、代入数值计算出待定系数
（确定圆的条件）例题3若方程ax+ay-4(a-1)x+4y=0表示圆，求实数a 的取值范围，并求出其中半径最小的圆的方程。
（轨迹方程）例题4已知O 为为坐标原点，P 在圆C ：1)22
2=+-y x （上运动，，求线段OP
的中点M 的轨迹方程。
关于求轨迹问题注意的地方：1、一般步骤 建系、设点、找关系式、验证
2、注意对不符合题意的点的排除
3、求轨迹与求轨迹方程不一样，求轨迹需要说明轨迹的形状
【拓展提高】一、与圆有关最值问题
1、与距离相关
已知P 是直线3x+4y+8=0上的动点，PA 、PB 是圆C ：x+y-2x-2y+1=0的两条切线，A 、B 是切点，C 是圆心，求四边形PACB 面积的最小值。
2、与圆上点有关
已知实数x,y 满足方程0142
2=+-+x y x ，求：
（1）求y/x 的最大值与最小值
（2）22y x +的最大值和最小值
（3）求y-x 的最大值与最小值
3、与弦长有关
已知P （-1,2）为圆C ：x 2+y 2=8内一定点，求
（1）过点P 且被圆所截弦最短的直线方程
（2）过点P 且被圆所截弦最长的直线方程
二、圆的参数方程
圆的参数方程及应用
对于圆的普通方程222()()x a y b R -+-=来说，圆的方程还有另外一种表达形式cos sin x a R y b R θθ
=+⎧⎨=+⎩(θ为参数），在解决有些问题时，合理的选择圆方程的表达形式，能给解决问题带来方便，本文浅谈圆的参数方程再解题中的应用。
一、求最值
例1 已知点（x ，y ）在圆221x y +=上，求2223x xy y ++的最大值和最小值。
解某些与圆的方程有关的条件制问题，可应用圆的参数方程转化为三角函数问题的方法解决。
二、求轨迹
例2 在圆224x y +=上有定点A （2，0），及
两个动点B 、C ，且A 、B 、C 按逆时针方向排列，∠BAC=3
π，求△ABC 的重心G （x ，y ）的轨迹方程。
用圆的几何性质，求出轨迹的参数方程，在消参后，要注意x 的范围的限定。
三、求范围
例3 已知点P（x，y）是圆22
(1)1
x y
+-=上任意一点，欲使不等式x+y+c ≥0恒成立，求c的取值范围。
将恒成立的问题，转化为求最值问题，利用圆的参数方程求最值简洁易算。
四、求斜率
例4 求函数
sin1
()
cos2
f
θ
θ
θ
-
=
-
的最大值和最小
值。