圆锥曲线综合试题(全部大题目)含答案
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1. 平面上一点向二次曲线作切线得两切点,连结两切点的线段我们称切点弦.设过抛物线
22x py =外一点00(,)P x y 的任一直线与抛物线的两个交点为C 、D ,与抛物线切点弦AB
的交点为Q 。
(1)求证:抛物线切点弦的方程为00()x x p y y =+; (2)求证:112||||
PC PD PQ +=.
2. 已知定点F (1,0),动点P 在y 轴上运动,过点P 作PM 交x 轴于点M ,并延长MP 到点N ,且.||||,0PN PM PF PM ==⋅ (1)动点N 的轨迹方程;
(2)线l 与动点N 的轨迹交于A ,B 两点,若304||64,4≤≤-=⋅AB OB OA 且,求直线l 的斜率k 的取值范围.
3. 如图,椭圆13
4:
2
21=+y x C 的左右顶点分别为A 、B ,P 为双曲线134:222=-y x C 右支上(x 轴上方)一点,连AP 交C 1于C ,连PB 并延长交C 1于D ,且△ACD 与△PCD 的面积
相等,求直线PD 的斜率及直线CD 的倾斜角.
4. 已知点(2,0),(2,0)M N -,动点P 满足条件||||22PM PN -=.记动点P 的轨迹为W . (Ⅰ)求W 的方程;
(Ⅱ)若,A B 是W 上的不同两点,O 是坐标原点,求OA OB ⋅的最小值.
5. 已知曲线C 的方程为:kx 2+(4-k )y 2=k +1,(k ∈R) (Ⅰ)若曲线C 是椭圆,求k 的取值范围;
(Ⅱ)若曲线C 是双曲线,且有一条渐近线的倾斜角是60°,求此双曲线的方程;
(Ⅲ)满足(Ⅱ)的双曲线上是否存在两点P ,Q 关于直线l :y=x -1对称,若存在,求出过P ,Q 的直线方程;若不存在,说明理由。
6. 如图(21)图,M (-2,0)和N (2,0)是平面上的两点,动点P 满足: 6.PM PN +=
(1)求点P 的轨迹方程; (2)若2
·1cos PM PN MPN
-∠=,求点P 的坐标.
7. 已知F 为椭圆22221x y a b +=(0)a b >>的右焦点,直线l 过点F 且与双曲线
12
2
2=-b y a x 的两条渐进线12,l l 分别交于点,M N ,与椭圆交于点,A B . (I )若3
MON π∠=
,双曲线的焦距为4。求椭圆方程。
(II )若0OM MN ⋅=(O 为坐标原点),1
3
FA AN =,求椭圆的离心率e 。
8. 设曲线2
212:1x C y a
+=(a 为正常数)与22:2()C y x m =+在x 轴上方只有一个公共点P 。
(Ⅰ)求实数m 的取值范围(用a 表示);
(Ⅱ)O 为原点,若1C 与x 轴的负半轴交于点A ,当1
02
a <<时,试求OAP ∆的面积的最
大值(用a 表示)。
1. (1)略
(2)为简化运算,设抛物线方程为2
00()2()x x p y y -=-,点Q ,C ,D 的坐标分别为
331122()()()x y x y x y ,,,,,,点(0,0)P ,直线y kx =,
200()2()x x p kx y -=-
220002()20x x pk x x py -+++=
一方面。要证112||||PC PD PQ +=
化斜为直后
只须证:123
112
x x x +
= 由于
00122
12122()
112x pk x x x x x x x pk
+++==+ 另一方面,由于(0,0)P 所以切点弦方程为:000()(2)x x x p y y --=- 所以 3x =0202x pk x pk
+=
+
00
231
2x pk x x pk
+=+ 从而 123
112x x x += 即
112||||
PC PD PQ +=
2. (1)设动点N 的坐标为(x ,y ),则 ),2
,(),0)(2
,0(),0,(y x PM x y P x M --=>-…………………2分
04
0),2,1(2=+-=⋅-=y x PF PM y PF 得由,因此,动点的轨迹方程为 ).0(42>=x x y (4)
分
x
y
O 22x py =
(2)设l 与抛物线交于点A (x 1,y 1),B(x 2,y 2),当l 与x 轴垂直时, 则由6424||,22,22,421<=-==-=⋅AB y y OB OA 得, 不合题意,
故与l 与x 轴不垂直,可设直线l 的方程为y =kx +b (k ≠0),则由4,42121-=+-=⋅y y x x OB OA 得…6分
由点A ,B 在抛物线.8,4,4,)0(42122
21212-===>=y y x y x y x x y 故有上 又y 2=4x , y =kx +b 得ky 2-4y +4b =0,……………………8分
所以)3216(1||),21(16.2,842
22
2
2++=+=∆-=-=k
k k AB k k b k b ……10分 因为.480)3216(196,304||642
22≤++≤≤≤k k k AB 所以解得直线l 的斜率的取值范围是
]1,2
1
[]21,1[⋃--.………………………………………………………………12分
3. 由题意得C 为AP 中点,设)0,2(),,(00-A y x C ,),2,22(00y x P +
把C 点代入椭圆方程、P 点代入双曲线方程可得,12
4)22(312432
02
02
020⎪⎩⎪⎨
⎧=-+=+y x y x 解之得:)
0,2(),3,4(),23,1(,231
00B P C y x 又故⎪⎩
⎪⎨⎧==
故直线PD 的斜率为232403=--,直线PD 的方程为),2(23-=x y 联立)23,1(1
34
)2(232
2-⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧
=+-=D y x x y 解得,故直线CD 的倾斜角为90° 4. 解法一:
(Ⅰ)由|PM|-
|PN|= P 的轨迹是以 ,M N 为焦点的双曲线的右支,实
半轴长a =
又半焦距 c=2
,故虚半轴长b 所以 W 的方程为22
122
x y -=
,x ≥ (Ⅱ)设 A ,B 的坐标分别为11(,)x y , 22(,)x y
当 AB ⊥x 轴时,12,x x =从而12,y y =-从而22121211 2.OA OB x x y y x y ⋅=+=-= 当AB 与x 轴不垂直时,设直线AB 的方程为y kx m =+,与W 的方程联立,消去y 得