浙江省高中学业水平考试数学试题完整版
浙江学考数学试题及答案
浙江学考数学试题及答案一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母填入题后的括号内。
）1. 下列函数中，为奇函数的是（）A. y = x^2B. y = |x|C. y = x^3D. y = sin(x)2. 若a，b，c为实数，且a + b + c = 1，求下列哪个表达式的值恒为正？A. ab + bc + acB. a^2 + b^2 + c^2C. (a - b)^2 + (b - c)^2 + (c - a)^2D. a^3 + b^3 + c^3 - 3abc（以下选择题依此类推，共10题）二、填空题（本题共5小题，每小题4分，共20分。
请将答案直接填写在题后的横线上。
）1. 若函数f(x) = 2x - 3，求f(5)的值为______。
2. 已知等差数列的首项a1=2，公差d=3，求第10项a10的值为______。
（以下填空题依此类推，共5题）三、解答题（本题共3小题，每小题10分，共30分。
请在答题卡上作答，并写出必要的计算步骤。
）1. 解不等式：|x - 1| + |x - 3| ≥ 5。
2. 已知三角形ABC的三边长分别为a，b，c，且满足a^2 + b^2 =c^2，求证三角形ABC为直角三角形。
3. 某工厂生产一种产品，其成本函数为C(x) = 100 + 50x，销售价格为P(x) = 200 - 2x，其中x为生产数量。
求该工厂的最优生产数量，使得利润最大化。
四、证明题（本题共2小题，每小题5分，共10分。
请在答题卡上作答，并写出证明过程。
）1. 证明：对于任意实数x，不等式e^x ≥ x + 1恒成立。
2. 证明：若函数f(x)在区间[a, b]上连续，且f(a)f(b) < 0，则至少存在一点c ∈ (a, b)，使得f(c) = 0。
（以下为参考答案部分）一、选择题答案：1. C2. C （以下答案依此类推，共10题）二、填空题答案：1. 72. 37 （以下答案依此类推，共5题）三、解答题答案：1. 解：当x ≥ 3时，不等式化为x - 1 + x - 3 ≥ 5，解得x ≥ 5；当1 ≤ x < 3时，不等式化为x - 1 + 3 - x ≥ 5，此时不等式无解；当x < 1时，不等式化为1 - x + 3 - x ≥ 5，解得x ≤ -1/2。
2024年7月浙江省普通高中学业水平考试——数学仿真模拟试卷01(解析版)
2024年7月浙江省普通高中学业水平合格性考试数学仿真模拟试卷01（考试时间：80分钟；满分：100分）注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上一、单项选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分.每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分）1．集合{}|12A x x =-≤≤，{}|1B x x =<，则()A B ⋃R ð＝（）A ．{}|1x x >B ．{}1|x x ≥-C ．{}|12<≤x x D ．{}|12x x ≤≤【答案】B【分析】由补集和并集的定义直接求解.【详解】集合{}|12A x x =-≤≤，{}|1B x x =<，则{}1|B x x =≥R ð，(){}1|=A B x x ≥-R ð.故选：B2．已知复数z 满足(1i)2i z -=，则z 在复平面内对应的点位于（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】B【分析】化简复数1i z =-+，结合复数的坐标表示，即可求解.【详解】由题意，复数z 满足(1i)2i z -=，可得()()()2i 1i 2i 1i 1i 1i 1i z ⋅+===-+--+，所以复数z 在复平面内对应的点(1,1)Z -位于第二象限.故选：B.3．函数lg(2)y x =-的定义域是（）A ．(0,2]B ．(0,2)C ．(,2)-∞D ．(2,)+∞【答案】C【分析】由对数函数的性质可得函数lg(2)y x =-的定义域．【详解】由函数lg(2)y x =-，得到20x ->解得x 2<，则函数的定义域是(),2∞-，故选：C ．4．三个数0.35a =，50.3b =，515c ⎛⎫= ⎪⎝⎭大小的顺序是（）A ．a b c >>B ．a c b >>C ．b a c >>D ．c a b>>【答案】A【解析】利用指数函数、幂函数的单调性即可求解.【详解】由5x y =为增函数，则0.30551a =>=，由5y x =为增函数，555110.35⎛⎫>> ⎪⎝⎭，所以a b c >>.故选：A5．已知向量()1,2a =r ，(),3b λ= ，若a b ⊥，则λ=（）A ．6-B ．32-C ．32D ．6【答案】A【分析】根据向量垂直的坐标表示进行求解.【详解】因为()1,2a =r ，(),3b λ= ，a b ⊥，所以60a b λ⋅=+=，解得6λ=-.故选：A.6．从甲、乙等4名同学中随机选出2名同学参加社区活动，则甲，乙两人中只有一人被选中的概率为（）A ．56B ．23C ．12D ．13【答案】B【分析】利用古典概型，列举计算事件数，即得解.【详解】将甲，乙分别记为x ，y ，另2名同学分别记为a ，b ．设“甲，乙只有一人被选中”为事件A ，则从4名同学中随机选出2名同学参加社区活动的所有可能情况有(),x y ，(),x a ，(),x b ，(),y a ，(),y b ，(),a b ，共6种，其中事件A 包含的可能情况有(),x a ，(),x b ，(),y a ，(),y b ，共4种，故42()63P A ==．故选：B7．在ABC 中，已知D 是AB 边上的中点，G 是CD 的中点，若AG AB AC λμ=+u u u r u u u r u u u r，则实数λμ+=（）A ．14B ．12C ．34D ．1【答案】C【分析】根据D 是AB 边上的中点，G 是CD 的中点，得到11,22AD AB CG CD ==u u u r u u u r u u u r u u u r ，再利用平面向量的线性运算求解.【详解】解：因为D 是AB 边上的中点，G 是CD 的中点，所以11,22AD AB CG CD ==u u u r u u u r u u u r u u u r ，所以12AG AC CG AC CD =+=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，()111242AC AD AC AB AC =+-=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，又因为AG AB AC λμ=+u u u r u u u r u u u r，所以11,42λμ==，则34λμ+=，故选：C8．若棱长为）A ．12πB ．24πC ．36πD ．144π【答案】C【分析】求出正方体的体对角线的一半，即为球的半径，利用球的表面积公式，即可得解.【详解】这个球是正方体的外接球，其半径等于正方体的体对角线的一半，即3R ==，所以，这个球的表面积为2244336S R πππ==⨯=.故选：C.【点睛】本题考查正方体的外接球的表面积的求法，求出外接球的半径是本题的解题关键，属于基础题.求（1）三条棱两两互相垂直时，可恢复为长方体，利用长方体的体对角线为外接球的直径，求出球的半径；（2）直棱柱的外接球可利用棱柱的上下底面平行，借助球的对称性，球心为上下底面外接圆的圆心连线的中点，再根据勾股定理求球的半径；（3）如果设计几何体有两个面相交，可过两个面的外心分别作两个面的垂线，垂线的交点为几何体的球心.9．如图，在四面体ABCD 中，,E F 分别是AC 与BD 的中点，若24CD AB ==，EF BA ⊥，则EF 与CD 所成角的度数为（）A ．90°B ．45°C ．60°D ．30°【答案】D【分析】设G 为AD 的中点，连接,GF GE ，由三角形中位线定理可得GF AB ∥，GE CD ∥，则GEF ∠或其补角即为EF 与CD 所成的角，结合2AB =，4CD =，EF AB ⊥，在GEF △中，利用三角函数相关知识即可得到答案.【详解】设G 为AD 的中点，连接,GF GE ，则,GF GE 分别为,ABD ACD △△的中位线，所以GF AB ∥，112GF AB ==，GE CD ∥，122GE CD ==，则EF 与CD 所成角的度数等于EF 与GE 所成角的度数，即GEF ∠或其补角即为EF 与CD 所成角，又因为EF AB ⊥，GF AB ∥，所以EF GF ⊥，则GEF △为直角三角形，1GF =，2GE =，90GFE ∠=︒，在直角GEF △中，1sin 2GEF ∠=，即30GEF ∠=︒，所以EF 与CD 所成角的度数为30°.故选：D10．我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合白般好，隔离分家万事休.”在数学的学习和研究中，有时可凭借函数的图象分析函数解析式的特征.已知函数()f x 的部分图象如图所示，则函数()f x 的解析式可能为（）A ．()21xf x x=-B ．()221x f x x =+C ．()221xf x x =-D ．()2211x f x x +=-【答案】C【分析】根据图象函数为奇函数，排除D ；再根据函数定义域排除B ；再根据1x >时函数值为正排除A ；即可得出结果.【详解】由题干中函数图象可知其对应的函数为奇函数，而D 中的函数为偶函数，故排除D ；由题干中函数图象可知函数的定义域不是实数集，故排除B ；对于A ，当1x >时，0y <，不满足图象；对于C ，当1x >时，0y >，满足图象.故排除A ，选C.故选：C11．已知π17tan tan 422θθ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，则cos 2θ=（）A ．12-B ．12C ．45-D ．45【答案】C【分析】利用两角和的正切公式可得出关于tan θ的方程，解出tan θ的值，再利用二倍角的余弦公式以及弦化切可求得cos 2θ的值.【详解】因为πtan tanπtan 1174tan tan π41tan 221tan tan 4θθθθθθ++⎛⎫+===- ⎪-⎝⎭-，整理可得2tan 6tan 90θθ-+=tan 3θ=，所以，222222cos sin 1tan 194cos 2cos sin 1tan 195θθθθθθθ---====-+++.故选：C.12．若0x >，0y >且x y xy +=，则211x y x y +--的最小值为（）A ．3B．52C．3D．3+【答案】D【分析】先把x y xy +=转化为111x y +=，再将2211x yx y x y +=+--，根据基本不等式即可求出．【详解】0x >，0y >且x y xy +=，111x y∴+=，211x y x y +-- ，()()2211xy x xy y x y -+-=--，21x y xy x y +=--+2x y =+，()112x y x y ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭2333x yy x =++≥++当且仅当2x yy x =，即12x =+，1y =+故211x y x y +--的最小值为3+故选：D ．二、多项选择题（本大题共4小题，每小题4分，共16分.每小题列出的四个备选项中有多个是符合题目要求的，全部选对得4分，部分选对且没错选得2分，不选、错选得0分.）13．下列说法中正确的是（）A ．直线10x y ++=在y 轴上的截距是1B ．直线()20mx y m m +++=∈R 恒过定点()1,2--C ．点()0,0关于直线10x y --对称的点为()1,1-D ．过点()1,2且在x 轴､y 轴上的截距相等的直线方程为30x y +-=【答案】BC【分析】对于A 项，将直线方程化成斜截式方程即得；对于B 项，把直线方程化成关于参数m 的方程，依题得到1020x y +=⎧⎨+=⎩，解之即得；对于C 项，只需验证两点间的线段中点在直线上，且两点的直线斜率与已知直线斜率互为负倒数即可；对于D 项，需注意截距相等还包括都为0的情况.【详解】对于A 项，由10x y ++=可得：=1y x --，可得直线10x y ++=在y 轴上的截距是1-，故A 项错误；对于B 项，由20mx y m +++=可得：(1)20m x y +++=，因R m ∈，则有：1020x y +=⎧⎨+=⎩，故直线()20mx y m m +++=∈R 恒过定点()1,2--，故B 项正确；对于C 项，不妨设(0,0),(1,1)A B -,直线:10l x y --=，因直线AB 的斜率为1-与直线l 的斜率为1的乘积为1-，则得AB l ⊥,又由点A 到直线l与点B 到直线l 相等，且在直线l 的两侧，故点()0,0关于直线10x y --=对称的点为()1,1-，即C 项正确；对于D 项，因过点()1,2且在x 轴､y 轴上的截距相等的直线还有2y x =，故D 项错误.故选：BC.14．已知()π,0θ∈-，7sin cos 13θθ+=，则下列结论正确的是（）A ．ππ,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝-⎭-B ．12cos 13θ=C ．5tan 12θ=D ．17sin cos 13θθ-=-【答案】BD【分析】先利用题给条件求得sin ,cos θθ的值，进而得到θ的范围，tan θ的值和sin cos θθ-的值.【详解】由7sin cos 13θθ+=可得，7cos sin 13θθ=-，则227sin sin 113θθ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，即524sin 2sin 01313θθ⎛⎫⎛⎫+-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭解之得12sin 13θ=或5sin 13θ=-,又()π,0θ∈-，则5sin 13θ=-，故12cos 13θ=，则选项B 判断正确；由5sin 013θ=-<，12cos 013θ=>可得θ为第四象限角，又()π,0θ∈-，则π,02θ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，则选项A 判断错误；sin θ5tan θcos θ12==-，则选项C 判断错误；51217sin cos 131313θθ-=--=-，则选项D 判断正确.故选：BD15．已知函数()()e ,021,0xx f x f x x ⎧≤⎪=⎨->⎪⎩，若关于x 的方程()f x a =有两解，则实数a 的值可能为（）A ．1ea =B ．1a =C ．ea =D ．3a =【答案】BD【分析】根据题意分析可得方程()f x a =的根的个数可以转化为()y f x =与y a =的交点个数，结合()y f x =的单调性与值域以及图象分析判断.【详解】①当0x ≤时，()e xf x =在(],0-∞内单调递增，且()01f =，所以()(]0,1f x ∈；②当0x >时，则()(]*2e ,1,,k x k f x x k k k -=∈-∈N ，可知()f x 在(]*1,,k k k -∈N 内单调递增，且()()21,2ekk f k f k -==，所以()*2,2,e k k f x k ⎛⎤∈∈ ⎥⎝⎦N ，且12222,e e k k kk ++<<∈N .方程()f x a =的根的个数可以转化为()y f x =与y a =的交点个数，可得：当0a ≤时，()y f x =与y a =没有交点；当20e a <≤时，()y f x =与y a =有且仅有1个交点；当122,ek k a k +<≤∈N 时，()y f x =与y a =有且仅有2个交点；当222,ek ka k +<≤∈N 时，()y f x =与y a =有且仅有1个交点；若关于x 的方程()f x a =有两解，即()y f x =与y a =有且仅有2个交点，所以实数a 的取值范围为12,2,e k k k +⎛⎤∈ ⎥⎝⎦N ，因为281,1,3,4e e ⎛⎤⎛⎤∈∈ ⎥⎥⎝⎦⎝⎦，而A 、C 不在相关区间内，所以A 、C 错误，B 、D 正确.故选：BD.16．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，12AA =，1AB BC ==，120ABC ︒∠=，侧面11AAC C 的对角线交点O ，点E 是侧棱1BB 上的一个动点，下列结论正确的是（）A ．直三棱柱的侧面积是4+B ．直三棱柱的外接球表面积是4πC ．三棱锥1E AAO -的体积与点E 的位置无关D ．1AE EC +的最小值为【答案】ACD【分析】首先计算AC 长，再根据直棱柱的侧面积公式，即可判断A ；首先计算ABC 外接圆的半径，再根据几何关系求外接球的半径，代入公式，即可判断B ；根据体积公式，结合线与平面平行的关系，即可判断C ；利用展开图，结合几何关系，即可判断D.【详解】A.ABC 中，AC =，所以直棱柱的侧面积为(1124++⨯=+，故A 正确；B.ABC 外接圆的半径12sin120ACr ==，所以直棱柱外接球的半径R =则直三棱柱外接球的表面积24π8πS R ==，故B 错误；C.因为11//BB AA ，且1BB ⊄平面11AAC C ，1AA ⊂平面11AAC C ，所以1//BB 平面11AAC C ，点E 在1BB 上，所以点E 到平面11AAC C 的距离相等，为等腰三角形ABC 底边的高为12，且1AAO 的面积为122⨯=则三棱锥1E AAO -的体积为定值1132=，与点E 的位置无关，故C 正确；D.将侧面展开为如图长方形，连结1AC ,交1BB 于点E ，此时1AE EC +=D 正确.故选：ACD【点睛】关键点点睛：本题D 选项解决的关键是将平面11AA B B 与11CC B B 展开到同一个面，利用两点之间距离最短即可得解.三、填空题（本大题共4小题，每空3分，共15分.）17．已知函数()21,02,0x x f x x x ⎧+≤=⎨->⎩，则()2f =；若()10f x =，则x =．【答案】4-；3-.【分析】利用分段函数的性质计算即可.【详解】由条件可知()2224f =-⨯=-；若()201103x f x x x ≤⇒=+=⇒=-，若()021050x f x x x >⇒=-=⇒=-<，不符题意.故答案为：4-；3-18．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的离心率为2，右焦点与抛物线216y x =的焦点重合，则双曲线C 的顶点到渐近线的距离为.【解析】求出抛物线的焦点，可得双曲线的c ，运用离心率公式可得a ，再由a ，b ，c 的关系，求得b ，求出顶点到渐近线的距离，即可得到所求值．【详解】解：抛物线216y x =的焦点为(4,0)，则双曲线的4c =，双曲线的离心率等于2，即2ca=，可得2a =，b ==则双曲线的渐近线方程为y =，顶点坐标为(20)±,，可得双曲线的顶点到其渐近线的距离等于d =【点睛】本题考查双曲线的方程和性质，主要是渐近线方程和离心率公式的运用，考查运算能力，属于中档题．19．已知a 、b 、c 分别为ABC 的三个内角A 、B 、C 的对边，2a =，且()(sin sin )()sin a b A B c b C +-=-，则ABC 面积的最大值为．【分析】先求出角A 的大小，由1sin 2S bc A =，考虑余弦定理建立,b c 的方程，再由基本不等式求bc 的最大值.【详解】解析：因为()(sin sin )()sin a b A B c b C +-=-，根据正弦定理可知(a b)()(c b)a b c +-=-，即222b c a bc +-=，由余弦定理可知1cos 2A =，又(0,π)A ∈，故π3A =，又因为2a =，所以224b c bc +-=，2242b c bc bc bc bc =+-≥-=（当且仅当b c =时取等号），即4bc ≤所以11sin 422S bc A =≤⨯=ABC20．已知定义在R 上的函数()f x 在(,3)-∞-上是减函数，若()() 3g x f x =-是奇函数，且()03g =，则满足不等式()0xf x ≤的x 的取值范围是．【答案】][3(),6,-∞-⋃-+∞【分析】由已知条件，可得()g x 是奇函数，则()f x 关于(3,0)-对称，可得()f x 在(,3)-∞-与(3,)-+∞上是减函数，且()()060f f -==，(3)0f -=，画出()f x 对应的函数草图，可得不等式()0xf x ≤的x 的取值范围.【详解】解：将()f x 向右平移3个单位，可得到()3f x -，由()() 3g x f x =-是奇函数，可得()g x 关于原点对称，则()f x 关于(3,0)-对称，且()00(3)g f =-=，由()f x 在(,3)-∞-上是减函数，可得()f x 在(3,)-+∞上也是减函数，由()03g =，可得()()033g g =-=，故可得：()()060f f -==，可得()f x 对应的函数草图如图，可得()0xf x ≤的解集为：][3(),6,-∞-⋃-+∞，故答案为：][3(),6,-∞-⋃-+∞.【点睛】本题主要考查函数单调性与奇偶性的综合，注意数形结合解题，属于难题.四、解答题（本大题共3小题，共33分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）21．为了解某项基本功大赛的初赛情况，一评价机构随机抽取40名选手的初赛成绩(满分100分)，作出如图所示的频率分布直方图：（1）根据上述频率分布直方图估计初赛的平均分；（2）假设初赛选手按1:8的比例进入复赛(即按初赛成绩由高到低进行排序，前12.5%的初赛选手进入复赛)，试估计能进入复赛选手的最低初赛分数.注：直方图中所涉及的区间是：[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100].【答案】（1）平均分的估计值为72分；（2）最低初赛分数为85分.【分析】（1）利用每小组中间值乘以每小组频率，再求和即可；（2）先设最低分数为x ，依题意大于x 的成绩的频率为0.125，即解得x .【详解】解：（1）由频率分布直方图得样本平均分550.15650.25750.4850.15950.0572x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.因此，初赛平均分的估计值为72分；（2）根据频率分布直方图，设40名选手进入复赛的最低分数为x ，依题意成绩落入区间[90,100]的频率是0.05，成绩落入区间[80,90)的频率是0.15，按初赛成绩由高到低进行排序，前12.5%的初赛选手进入复赛，可判断x 在[80,90)内，则(90)0.0150.050.125x -⨯+=，解得85x =.因此，估计能进入复赛选手的最低初赛分数为85分.22．已知函数()()sin 0f x x x ωωω=+>的最小正周期是π.（1）求ω值；（2）求()f x 的对称中心；（3）将()f x 的图象向右平移3π个单位后，再将所得图象所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数()y g x =的图象，求()g x 的单调递增区间.【答案】（1）2；（2）,026k ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭，Z k ∈；（3）52,266k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，Z k ∈.【分析】（1）由()2sin 3f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭且2T ππω==，即可求ω值；（2）由（1）知()2sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，结合正弦函数的对称中心即可求()f x 的对称中心；（3）由函数平移知()sin 23g x x π⎛⎫- ⎝=⎪⎭，结合正弦函数的单调性即可求()g x 的单调递增区间.【详解】（1）()sin 2sin 3f x x x x πωωω⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，又0ω>，∵2T ππω==，∴2ω=.（2）由（1）知，()2sin 23f x x π⎛⎫= ⎪⎝⎭，令23x k ππ+=，解得26k x ππ=-.∴()f x 的对称中心是,026k ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭，Z k ∈.（3）将()f x 的图像向右平移3π个单位后可得：2sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，再将所得图像横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变得到：()sin 23g x x π⎛⎫- ⎝=⎪⎭，由22232k x k πππππ-≤-≤+，解得52266k x k ππππ-≤≤+，Z k ∈.∴()g x 的单调递增区间为52,266k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，Z k ∈.【点睛】关键点点睛：（1）应用辅助角公式求三角函数解析式，结合最小正周期求参数.（2）根据正弦函数的对称中心，应用整体代入求()f x 的对称中心.（3）由函数图像平移得()g x 解析式，根据正弦函数的单调增区间，应用整体代入求()g x 的单调增区间.23．函数()221a xb f x x +=+是定义在()1,1-上的奇函数，且1225f ⎛⎫= ⎪⎝⎭．(1)求实数,a b 的值；(2)用定义证明函数()f x 在()1,1-上是增函数；(3)解关于x 的不等式()()10f x f x -+<．【答案】(1)1a =±，0b =(2)证明见解析(3)102x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭．【分析】（1）利用奇函数的性质，结合条件即可得解；（2）利用函数单调性的定义，结合作差法即可得解；（3）利用()f x 的奇偶性、单调性与定义域列式即可得解.【详解】（1）函数()221a xb f x x +=+是定义在()1,1-上的奇函数所以()00f =，则()0001b f b ===+，所以()221a x f x x =+因为1225f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则2112212514a f ⎛⎫== ⎪⎝⎭+，则21a =，所以1a =±，此时()21x f x x =+，定义域关于原点对称，又()()()2211xx f x f x x x --==--+-+，所以()f x 是奇函数，满足题意，故1a =±，0b =.（2）由（1）知()21x f x x =+．设12,x x 是()1,1-内的任意两个实数，且12x x <，()()()()()()221221121222221212111111x x x x x x f x f x x x x x +-+-=-=++++()()()()12122212111x x x x x x --=++，因为()()22121212110,0,10x x x x x x --<+>>+，所以()()120f x f x -<，即()()12f x f x <，所以函数()f x 在()1,1-上是增函数.（3）因为()()10f x f x -+<，所以()()1f x f x -<-，即()()1f x f x -<-，则111111xxx x-<-<⎧⎪-<-<⎨⎪-<-⎩，所以021112xxx⎧⎪<<⎪-<<⎨⎪⎪<⎩，所以12x<<，即此不等式解集为12x x⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭．。
2023年7月浙江省普通高中学业水平考试数学试题含答案
2023年7月浙江省普通高中学业水平考试数学（答案在最后）本试题卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分100分，考试时间80分钟．考生注意：1．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试题卷和答题纸规定的位置上．2．答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范作答，在本试题卷上的作答一律无效．3．非选择题的答案必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔写在答题纸上相应区域内，作图时可先使用2B 铅笔，确定后必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔描黑．选择题部分（共52分）一、单项选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．每小题列出的四个备选项中，只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分）1.已知集合{}1,0,1,2A =-，{}|0B x x =>，则下列结论不正确的是（）A.1A B ∈ B.A B∅⊆ C.{}2A B ⊆ D.{}|0x x A B>= 【答案】D 【解析】【分析】根据交集、并集的定义求出A B ⋂，A B ⋃，再根据元素与集合的关系、集合与集合的关系判断即可.【详解】因为{}1,0,1,2A =-，{}0B x x =，所以{}1,2⋂=A B ，{}{}|01A B x x ⋃=≥⋃-，所以1A B ∈ ，A B ∅⊆ ，{}2A B ⊆⋂，故A 、B 、C 正确，D 错误；故选：D 2.函数的定义域是（）A.1-2⎛⎫∞ ⎪⎝⎭， B.1-2⎛⎤∞ ⎥⎝⎦，C.12⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，D.12⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，【答案】C 【解析】【分析】根据偶次方根的被开方数为非负数、分式的分母不为零列不等式，由此求得函数的定义域.【详解】依题意210x ->，解得12x >，所以()f x 的定义域为12⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，.故选：C【点睛】本小题主要考查函数定义域的求法，属于基础题.3.复数()i 2i z =+在复平面内对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】B 【解析】【分析】根据复数乘法运算化简，即可求解.【详解】()1i i 22i z =-+=+，故对应的点为()1,2-，位于第二象限，故选：B4.已知平面向量()1,1a =- ，()2,b λ= ，若a b ⊥，则实数λ=（）A.2B.2- C.1D.1-【答案】A 【解析】【分析】依题意可得0a b ⋅=，根据数量积坐标表示计算可得.【详解】因为()1,1a =- ，()2,b λ= 且a b ⊥，所以()1210a b λ⋅=⨯+-⨯=，解得2λ=.故选：A 5.已知πsin cos 6θθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则tan2θ=（）A.3B.C.3D.【答案】B【解析】【分析】利用给定条件得到tan 3θ=，再利用二倍角公式求解即可.【详解】若πsin cos 6θθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，可得1sin cos cos 22θθθ+=，化简得31sin cos 022θθ-=，解得3tan 3θ=，由二倍角公式得232322tan 33tan221tan 3θθθ⨯===-，故B 正确.故选：B6.上、下底面圆的半径分别为r 、2r ，高为3r 的圆台的体积为（）A.37πrB.321πrC.(35πr+D.(35πr+【答案】A 【解析】【分析】根据圆台的体积公式计算可得.【详解】因为圆台的上、下底面圆的半径分别为r 、2r ，高为3r ，所以()23221π227π33V r r r r r ⎡⎤=++⨯=⎣⎦.故选：A7.从集合{}1,2,3,4,5中任取两个数，则这两个数的和不小于5的概率是（）A.35B.710C.45 D.910【答案】C 【解析】【分析】列出所有可能结果，再由古典概型的概率公式计算可得.【详解】从集合{}1,2,3,4,5中任取两个数所有可能结果有()1,2、()1,3、()1,4、()1,5、()2,3、()2,4、()2,5、()3,4、()3,5、()4,5共10个，其中满足两个数的和不小于5的有()1,4、()1,5、()2,3、()2,4、()2,5、()3,4、()3,5、()4,5共8个，所以这两个数的和不小于5的概率84105P ==.故选：C8.大西洋鲑鱼每年都要逆游而上，游回产地产卵．研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速v （单位：m /s ）可以表示为3log 100Ov k =，其中O 表示鲑鱼的耗氧量的单位数．若一条鲑鱼游速为2m /s 时耗氧量的单位数为8100，则游速为1m /s 的鲑鱼耗氧量是静止状态下鲑鱼耗氧量的（）A.3倍 B.6倍C.9倍D.12倍【答案】C 【解析】【分析】利用给定条件得到31log 2100O v =，再算出不同情况的消耗氧气的数量，再作比值求倍数即可.【详解】由题意得381002log 100k =，解得12k =，故31log 2100O v =，当1v =时，有311log 2100O=，解得900O =，当0v =时，有310log 2100O=，解得100O =，故得9009100=倍，故C 正确.故选：C9.不等式()()e e 10xx --<（其中e 为自然对数的底数）的解集是（）A.{01}xx <<∣ B.{|0e}x x << C.{0x x <∣或1}x > D.{0xx <∣或e}x >【答案】B 【解析】【分析】写出不等式的等价不等式组，解得即可.【详解】不等式()()e e 10xx --<等价于e 0e 10x x -<⎧⎨->⎩或e 0e 10x x ->⎧⎨-<⎩，解得0e x <<或x ∈∅，所以不等式的解集为{|0e}x x <<.故选：B10.已知a 为实数，则“0x ∀>，12ax x+≥”是“1a ≥”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】【分析】利用分离参数法求出a 的取值范围判断充分性，利用基本不等式反推必要性成立即可.【详解】若10,2,x ax x ∀>+≥则22121(1)1,a x x x≥-+=--+当1x =时，不等式的右边取得最大值1，故1,a ≥充分性成立；若1,a ≥则0x >时,12,ax x+≥≥当且仅当1x a ==时取等，即12ax x +≥恒成立，因此，由 1 a ≥可以推出0,x ">1 2ax x+≥，故必要性成立.综上所述，10,2x ax x∀>+≥是 1 a ≥的充要条件.故选：C.11.若函数()()πsin 06f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭在区间ππ,126⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，则ω的取值范围是（）A.(]0,2 B.(]0,4 C.(]0,6 D.(]0,8【答案】A 【解析】【分析】利用给定的区间，求出π6x ω+的范围，然后写出正弦函数的单调递增区间，转化为子集问题处理即可.【详解】当ππ[,]126x ∈-时，πππππ[,+]661266x ωωω+∈-，若函数π()sin(0)6f x x ωω=+>在区间ππ[,]126-上单调递增，则πππ2π662πππ2π2612k k ωω⎧+≤+⎪⎪⎨⎪-+≤-⎪⎩，Z k ∈，解得212,824,Z k k k ωω≤+≤-∈，又0ω>，当0k =时,可得02ω<≤.故选：A.12.在正三棱台111ABC A B C -中，2AB =，11AB A B >，侧棱1AA 与底面ABC所成角的余弦值为3．若此三棱台存在内切球（球与棱台各面均相切），则此棱台的表面积是（）A.2B.2C.4D.4【答案】A 【解析】【分析】取BC 和11B C 的中点分别为P ，Q ，上、下底面的中心分别为1O ，2O ，设11A B x =，内切球半径为r ，根据题意求出侧棱长以及2O P ，1O Q ，再根据切线的性质及等腰梯形11BB C C 和梯形1AA QP 的几何特点列方程组求出半径，再根据面积计算公式即可.【详解】如图，取BC 和11B C 的中点分别为P ，Q ，上、下底面的中心分别为1O ，2O ，设11A B x =，内切球半径为r ，因为123cos 3A AO ∠=，棱台的高为2r ，所以126sin 3A AO ∠=，111122sin 63r AA BB CC A AO =====∠，211333323O P AP AB ==⨯=，同理136O Q x =．因为内切球与平面11BCC B 相切，切点在PQ 上，所以()21326PQ O P O Q x =+=+①，在等腰梯形11BB C C中，)22222x PQ -⎛⎫=- ⎪⎝⎭②，由①②得()222226212x x r +-⎛⎫-=⎪⎝⎭．在梯形1AA QP 中，()22233236PQ r x ⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭③，由②③得2x -=，代入得1x =，则棱台的高23h r ==，所以()2133262PQ O P O Q x =+=+=,所以1sin 2ABC S AB AC A =⋅=△111111111sin 24A B C S A B A C A =⋅= ，()1111124BCB C S BC B C PQ =+=正三棱台三个侧面都是面积相等的等腰梯形，故侧面积为4,所以此棱台的表面积是442S =++=.故选：A二、多项选择题（本大题共4小题，每小题4分，共16分．每小题列出的四个备选项中，有多个是符合题目要求的，全部选对得4分，部分选对且没有错选得2分，不选、错选得0分）13.下列不等式正确的是（）A.4> B.4< C.24log 3log 5> D.24log 3log 5<【答案】BC 【解析】【分析】根据指数幂的运算及指数函数的性质判断A 、B ，根据对数的运算性质及对于函数的性质判断C 、D.【详解】414142222224⨯==⎭==⎛⎫< ⎪⎝A 错误，B 正确；2421log 5log 5log log 32==<，故C 正确，D 错误.故选：BC14.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，下列结论正确的是（）A.11//BC A DB.1//BC 平面11A ADDC.111BC B D ⊥D.1BC ⊥平面11A B CD【答案】BD 【解析】【分析】连接1AD ，1A D ，11B D ，1AB ，1B C ，根据正方体的性质得到11//BC AD ，即可判断A 、B 、C ，证明11BC B C ⊥、1CD BC ⊥，即可判断D.【详解】连接1AD ，1A D ，11B D ，1AB ，1B C ，对于A ：在正方体中11//AB D C 且11AB D C =，所以四边形11ABC D 为平行四边形，所以11//BC AD ，又11A D AD ⊥，所以11BC A D ⊥，所以A 错误；对于B ，因为11//BC AD ，1AD ⊂平面11A ADD ，1BC ⊄平面11A ADD ，所以1//BC 平面11A ADD ，所以B 正确；对于C ：因为11AB D 为等边三角形，所以1160AD B ∠=︒，又11//BC AD ，所以11AD B ∠为异面直线1BC 与11B D 所成的角，即直线1BC 与11B D 所成的角为60︒，则1BC 与11B D 不垂直，所以C 错误；对于D ：在正方体中，11BC B C ⊥，CD ⊥平面11BCC B ，1BC ⊂平面11BCC B ，所以1CD BC ⊥，又1CD B C C ⋂=，1,CD B C ⊂平面11A B CD ，所以1BC ⊥平面11A B CD ，所以D 正确．故选：BD ．15.已知函数()2sin cos2f x x x =+，则（）A.()f x 的最小值是3-B.()f x 5C.()f x 在区间π,06⎛⎫- ⎪⎝⎭内存在零点 D.()f x 在区间π,π2⎛⎫⎪⎝⎭内不存在零点【答案】ACD 【解析】【分析】利用三角恒等变换将函数化为二次函数，求解最值判断A ，B ，利用换元法求解零点，再判断范围求解C ，D 即可.【详解】易得2213()2sin cos 22sin 12sin 2(sin )22f x x x x x x =+=+-=--+，故函数()f x 在1sin 2x =时，取得的最大值为32，当sin 1x =-时，函数取得的最小值为3-，故A 正确，B 错误，令[]sin 1,1x t =∈-，故2()212f t t t =+-，令()0f t =，解得11322t =+或21322t =-，当113122t =+>时，排除，无法解出x ，当21322t =-时，可得13sin 22x =-，而sin y x =在π(,0)6-上单调递增，故当π(,0)6x ∈-，1sin ,02x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，且1130222-<-<，则()f x 在区间π,06⎛⎫-⎪⎝⎭内存在零点，故C 正确，而当π,π2x ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，sin 0y x =>，1022y =-<，显然sin y x =和122y =-无交点，则()f x 在区间π,π2⎛⎫⎪⎝⎭内不存在零点，故D 正确.故选：ACD.16.在ABC 中，3AB =，1AC =，π3BAC ∠=，点D ，M 分别满足3AB AD = ，2BC MC = ，AM 与CD 相交于点F ，则（）A.1233CD AB AC=- B.12AF AM=C.132AM =D.13cos 13DFM ∠=【答案】BCD 【解析】【分析】根据平面向量线性运算法则判断A ，设AF AM λ=，用AD 、AC 表示AF ，根据共线定理的推论得到方程求出λ，即可判断B ，由1122AM AB AC =+及数量积的运算判断C ，求出cos ,CD AM ，即可判断D.【详解】对于A ，13CD AD AC AB AC =-=-，故A 错误；对于B ，设AF AM λ=，又1122AM AB AC =+ ，∴1132222AF AB AC AD AC λλλλ=+=+，又F ，D ，C 三点共线，∴3122λλ+=，12λ∴=，∴12AF AM = ，故B 正确；对于C ，1122AM AB AC =+，∴()()222211244AM AB ACAB AB AC AC =+=+⋅+111391231424⎛⎫=⨯++⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭，2AM ∴= ，故C 正确；对于D ， 111322CD AM AB AC AB AC ⎛⎫⎛⎫⋅=-⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭222211111111331163263222AB AB AC AC =-⋅-=⨯-⨯⨯⨯-⨯= ，又222211212191311393932CD AB AC AB AB AC AC ⎛⎫=-=-⋅+=⨯+-⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭，∴1CD =，又2AM =，12cos cos ,13132CD AM DFM CD AM CD AM⋅∴∠===⋅ ，故D 正确．故选：BCD．非选择题部分（共48分）三、填空题（本大题共4小题，每空3分，共15分）17.已知A ，B 是相互独立事件，()23P A =，()12P B =，则()P AB =_____________．【答案】13【解析】【分析】根据相互独立事件的概率公式计算即可.【详解】因为A ，B 是相互独立事件，所以()()()211323P AB P A P B ==⨯=.故答案为：1318.函数2()log f x x =的反函数为_______.【答案】2xy =【解析】【分析】设2log y x =，由指对数式的互化得到2y x =，再将,x y 位置互换即可得出答案.【详解】解：设2log y x =，则2y x =，所以函数2()log f x x =的反函数为2x y =.故答案为：2x y =.19.已知()f x 是定义域为R 的偶函数，且()()24f x f x +-=，则()2023f =_____________．【答案】2【解析】【分析】利用给定条件，得到函数的周期性，将所求函数值化为已知函数值，代入求解即可.【详解】由题意得()f x 是定义域为R 的偶函数，且()()24f x f x +-=，故()()()224f x f x f x -=-=-，可得()()442()f x f x f x -=--=，故得函数的周期4T =，而令1x =，可得()214f =，解得()12f =，则()()()()()2023450533211f f f f f =⨯+==-==.故答案为：220.已知,,a b c 是同一平面上的3个向量，满足3a =，b = ，6a b ⋅=- ，则向量a 与b 的夹角为_____________，若向量c a - 与c b - 的夹角为π4，则c r 的最大值为_____________．【答案】①.3π4##135︒②.【解析】【分析】由cos ,a b a b a b⋅=⋅ 求出向量a 与b 的夹角，设OA a = ，OB b = ，OC c = ，即可得到,,,O A B C 四点共圆，利用正弦定理求出AOB 外接圆的直径，即可求出c的最大值.【详解】因为3a =，b = ，6a b ⋅=- ，所以cos ,2a b a b a b ⋅===-⋅ ，又[],0,πa b ∈ ，所以3π,4a b = ，因为3a =，b = ，3π,4a b = ，如图，设OA a = ，OB b = ，OC c = ，则c a OC OA AC -=-= ，c b OC OB BC -=-= ，又向量c a - 与c b - 的夹角为π4，则π4ACB ∠=，又3π4AOB ∠=，所以,,,O A B C 四点共圆，又AB b a =- ，所以AB == 设AOB 外接圆的半径为R ，由正弦定理23πsin 42AB R ===c故答案为：3π4四、解答题（本大题共3小题，共33分）21.人工智能发展迅猛，在各个行业都有应用．某地图软件接入了大语言模型后，可以为用户提供更个性化的服务，某用户提出：“请统计我早上开车从家到公司的红灯等待时间，并形成统计表．”地图软件就将他最近100次从家到公司的导航过程中的红灯等待时间详细统计出来，将数据分成了[)55,65，[)65,75，[)75,85，[)85,95，[]95,105（单位：秒）这5组，并整理得到频率分布直方图，如图所示．（1）求图中a 的值并且估计该用户红灯等待时间的第60百分位数（结果精确到0.1）；（2）根据以上数据，估计该用户在接下来的10次早上从家到公司的出行中，红灯等待时间低于85秒的次数．【答案】（1）0.035a =，估计该用户红灯等待时间的第60百分位数约为82.1（2）7次【解析】【分析】（1）根据频率之和为1以及直方图数据即可求解，先确认频率分布直方图中频率为0.6的位置，再结合百分位数定义求解即可.（2）根据频率分布直方图求出红灯等待时间低于85秒的频率即可求解.【小问1详解】因为各组频率之和为1，组距为10，所以()100.010.0250.020.011a ⨯++++=，解得0.035a =.因为()100.010.0250.350.6⨯+=<，()100.010.0250.0350.70.6⨯++=>，所以中位数位于第三组[)75,85中，设中位数为x ，则()0.10.250.035750.6x ++-=，解得0.257582.10.035x =+≈，所以该用户红灯等待时间的中位数的估计值为82.1.【小问2详解】由题红灯等待时间低于85秒的频率为0.10.250.350.7++=，故估计该用户在接下来的10次中红灯等待时间低于85秒的次数为100.77⨯=次.22.如图，在三棱锥-P ABC 中，PA ⊥平面ABC ，AC BC ⊥，1PA AC ==，BC =（1）求三棱锥-P ABC 的体积；（2）求证：平面PAC ⊥平面PBC ；（3）设点D 在棱PB 上，AD CD =，求二面角D AC B --的正弦值．【答案】（1）6（2）证明见解析（3）3【解析】【分析】（1）先求出底面积，再利用体积公式求解体积即可.（2）先利用线面垂直判定定理得到BC ⊥平面PAC ，再利用面面垂直定理判定面面垂直即可.（3）合理作图，找到二面角的平面角，利用三角函数的定义求解即可.【小问1详解】因为,1,AC BC AC BC ⊥==，所以111222ABC S AC BC =⋅=⨯= ，因为PA ⊥平面ABC ,所以三棱锥-P ABC 的体积11326V =⨯⨯=.【小问2详解】因为PA ⊥平面ABC ,BC ⊂平面PBC ,所以PA BC ⊥,又,,AC BC PA AC A ⊥⋂=,PA AC ⊂平面PAC ,所以BC ⊥平面PAC ,因为BC ⊂平面PBC ,所以平面PAC ⊥平面PBC .【小问3详解】过点D 作DE AB ⊥于E ,取AC 的中点F ,连接,EF 因为PA ⊥平面,ABC PA ⊂平面,PAB 所以平面PAB ⊥平面ABC ,又平面PAB ⋂平面,ABC AB DE =⊂平面,PAB 所以DE ⊥平面,ABC DE ∥PA ，因为,AD CD =且F 是AC 的中点,所以,,,DF AC AC DE DF DE D AC ⊥⊥⋂=⊥平面DEF ,,EF AC ⊥所以DFE ∠是二面角——D AC B 的平面角,因为,,EF AC AC BC F ⊥⊥是AC 的中点，所以E 是AB 的中点，又DE //PA ，所以D 是PB 的中点,在Rt DEF △中,32DF ===，所以12sin 332DE DFE DF ∠==即二面角——D AC B的正弦值为3.23.已知函数()2π2sin 2f x x x a x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，R a ∈．（1）若1a =，求()f x 在区间[]0,1上的最大值；（2）若关于x 的方程()10f x a ++=有且只有三个实数根1x ，2x ，3x ，且123x x x <<．证明：（ⅰ）1322x x x +=；（ⅱ）()()311217818f x f x x +-+≤．【答案】（1）0（2）（ⅰ）证明见解析.（ⅱ）证明见解析【解析】【分析】（1）利用分析法得到函数的单调性，再求解最值即可.（2）（ⅰ）合理构造新函数，求出一个零点，再结合对称性求解即可.（ⅱ）将目标式合理表示为函数，利用不等式的性质证明即可.【小问1详解】由已知得1a =,则2π()(1)sin()12f x x x =---，易知2(1)y x =-，πsin()2y x =-在区间[0,1]上单调递减，所以()f x 在区间[0,1]上单调递减,所以max ()(0)0.f x f ==【小问2详解】（ⅰ）若2π()(1)sin()1,2f x x a x =---且()10,f x a ++=即2π(1)(sin()1)02x a x ---=有且只有三个实数根，所以0,a <令2π()(1)(sin()1),2g x x a x =---且(1)0g =，则()g x 的图象关于直线1x =对称，所以1322 2.x x x +==（ⅱ）由题意可知，令3πsin 2t x =，则有1()10,f x a ++=()310f x a ++=()()()()2311333217841cos π8271f x f x x x a x x a +-+=--+-++()()233342cos π1571x x a x a =--+++2233ππ4(sin 1)722(12sin )(242)1822a x a a a a x a t t =--++--=+++，因为0,a <所以2(242)1818a t t +++≤，即311(21)7()818f x f x x +-+≤得证.【点睛】关键点点睛：本题考查导数，解题关键是合理表示出目标式，然后结合不等式的性质，得到所要求的不等关系即可．。
浙江省杭州高级中学2025届数学高一上期末学业水平测试试题含解析
浙江省杭州高级中学2025届数学高一上期末学业水平测试试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．下列根式与分数指数幂的互化正确的是（） A.()12x x -=- B.()334410x x x -⎛⎫⎪⎝⎭=>C.1263y y =D.()()3142320x x x ⎡⎤-=<⎢⎥⎣⎦2．下列函数中，在R 上为增函数的是（） A. B.C. D.3．轴截面是正三角形的圆锥称作等边圆锥,则等边圆锥的侧面积是底面积的A.4倍B.3倍2倍 D.2倍4．已知0>ω，函数()sin()3f x x πω=+在,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上递减，则ω的取值范围为（）A.10,3⎛⎤⎥⎝⎦ B.17,36⎡⎤⎢⎥⎣⎦C.15,36⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D.(]0,35．已知函数()538f x x ax bx =++-，且()210f -=，则()2f =A.26-B.26C.10-D.186．下列函数中，既是偶函数，又在区间(0,)+∞上是增函数的是（）A.3y x =-B.||2x y =C.lg ||y x =-D.x x y e e -=-7．我们知道，函数()y f x =的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数()y f x =为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数()y f x =的图象关于点(,)P a b 成中心对称图形的充要条件是函数()y f x a b =+-为奇函数，则函数32()26f x x x =+图象的对称中心为（）A.(1,4)-B.(1,4)--C.(1,4)D.(1,4)- 8．若0a b <<，0c >，则下列结论正确的是（） A.c c a b < B.11ac bc < C.a b c c < D.ac bc <9．半径为1cm ，圆心角为120︒的扇形的弧长为（）A.1cm 3B.2cm 3 C.cm 3πD.2cm 3π 10．设函数()f x 的定义域为R ，满足()3(1)f x f x =-，且当(0,1]x ∈时，()(1)f x x x =-.若对任意(,]x m ∈-∞，都有54()25f x ≥-，则m 的最大值是（） A.125B.73C.94D.52二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
2022年7月浙江省普通高中学业水平考试数学试题(含详细答案)
2022年7月浙江省普通高中学业水平考试数学试题卷（时间80分钟，总分100分）选择题部分一、单项选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分.每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分）1.已知集合{}0,1,2A =，{}1,2,3,4B =，则A B =（）A.∅B.{}1 C.{}2 D.{}1,2【答案】D【解析】∵{}0,1,2A =，{}1,2,3,4B =，∴{}1,2A B = .2.复数2i -（i 为虚数单位）的实部是（）A.1B.1-C.2D.2-【答案】C【解析】显然复数2i -的实部是2.3.函数()f x =的定义域是（）A.(),1-∞ B.[)1,+∞ C.(),1-∞- D.[)1,-+∞【答案】D【解析】∵10x +≥，∴1x ≥-，即函数()f x =的定义域为[)1,-+∞.4.已知tan 1α=，ππ,22⎛⎫∈- ⎪⎝⎭α，则α=（）A.4π B.π4-C.π3D.π3-【答案】A【解析】∵tan 1α=，∴ππ4k α=+，又ππ,22⎛⎫∈- ⎪⎝⎭α，∴π4α=.5.袋子中有5个大小质地完全相同的球，其中2个红球，3个黄球，从中随机摸出1个球，则摸到黄球的概率是（）A.15B.25C.35D.45【答案】C【解析】5个大小质地完全相同的球，黄球有3个，则随机摸出1个球，有5种方法，摸到黄球有3种方法，所以摸到黄球的概率为35.6.已知平面向量()2,4a =r ，(),6b x = .若//a b r r，则实数x =（）A.3-B.3C.12-D.12【答案】B【解析】由a b ∥，可得2640x ⨯-=，解得3x =.7.已知球的半径是2，则该球的表面积是（）A.2π B.4π C.8π D.16π【答案】D【解析】224π4π216πS R ==⨯=，8.设0a >，下列选项中正确的是（）A.313a a ⎛⎫= ⎪⎝⎭B.2233a a-= C.2332a a a= D.2332a a a÷=【答案】A【解析】对于A ，311333a a a ⨯⎛⎫== ⎪⎝⎭，故A 正确；对于B ，2223023331a aa a--===，故B 错误；对于C ，23213332362a a aa ==，故C 错误；对于D ，221133332a a a a a a-÷===，故D 错误.9.中国茶文化博大精深，茶水口感与茶叶类型和水的温度有关.经验表明，某种绿茶用85℃的水泡制，再等到茶水的温度降至60℃时饮用，可以产生最佳口感.已知在25℃的室温下，函数()600.9227250ty t =⨯+≥近似刻画了茶水温度y （单位：℃）随时间t （单位：min ）的变化规律.为达到最佳饮用口感，刚泡好的茶水大约需要放置（参考数据： 6.70.92270.5833≈，8.70.92270.4966≈）（）A.5min B.7min C.9min D.11min 【答案】B【解析】由题可知，函数()600.9227250ty t =⨯+≥，当 6.7t =，59.998y ≈，已经接近60，又函数()600.9227250ty t =⨯+≥在()0,∞+上单调递减，则大约在7min 时口感最佳.故A ，C ，D 错误.10.设a ，b 是实数，则“a b >”是“a b >”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】对于a b >，比如3a ==-，显然13a b =<=，不能推出a b >；反之，如果a b >，则必有0,a a a b b >∴=>≥；所以“a b >”是“a b >”的必要不充分条件；11.在ABC 中，设2AD DB = ，2BE EC =，CF FA λ= ，其中R λ∈.若DEF 和ABC 的重心重合，则λ=（）A.12B.1C.32D.2【答案】D【解析】设O 为DEF 和ABC 的重心，连接DO 延长交EF 与N ，连接AO 延长交BC 与M ，所以N 是EF 的中点，M 是BC 的中点，所以()2211133233AO AM AB AC AB AC==+=+，2111133333DO DA AO AB AB AC AB AC=+=-++=-+，()()22113323DO DN DE DF DB BE DA AF==+=+++()112211121333313331AB BC AB AC AB AC AB AC λλ=+-+=-+-+++11213331AB AC λ=-+++，可得21131λ=++，解得2λ=.12.如图，棱长均相等的三棱锥-P ABC 中，点D 是棱PC 上的动点（不含端点），设CD x =，锐二面角A BD C --的大小为θ.当x 增大时，（）A.θ增大 B.θ先增大后减小 C.θ减小 D.θ先减小后增大【答案】C【解析】由题意，三棱锥-P ABC 是正四面体，以PBC 的重心为原点，BC 边的中线PG 为x 轴，OA 为z 轴，过O 点平行于BC 的直线为y 轴，建立空间直角坐标系如图：设三棱锥P -ABC的棱长为，则有：22221228OA AP PO =-=-=，()(()()1,,0,0,,1,,2,0,0B A C P --，3231,,022x D x ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，(1,,1,,22x AB AD x ⎛-=--=-- ⎝ ，设(),,m t y z = 是平面ABD 的一个法向量，则有·0·0m AB m AD ⎧=⎪⎨=⎪⎩，即01022t x x t y ⎧--=⎪⎛⎫⎛⎫⎨--+-= ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎩，令y =，解得(,,,t x z m x =-=-=-，显然()0,0,1n =是平面PBC 的一个法向量，cos m nm n θ∴===；显然当x =x 的取值范围是0x <<），πcos 0,2θθ==最大，当x >或x <时，cos θ都变大，即θ变小；二、多项选择题（本大题共4小题，每小题4分，共16分.每小题列出的四个备选项中有多个是符合题目要求的，全部选对得4分，部分选对且没有错选得2分，不选、错选得0分）13.图象经过第三象限的函数是（）A.2y x= B.3y x= C.23y x= D.1y x -=【答案】BD【解析】由幂函数的图象可知，A 中，2y x =过第一、二象限；B 中，3y x =过第一、三象限；C 中，320y x ==≥且定义域为R ，过第一、二象限；D 中，1y x -=过第一、三象限.14.下列命题正确的是（）A.过平面外一点，有且只有一条直线与这个平面垂直B.过平面外一点，有且只有一条直线与这个平面平行C .过直线外一点，有且只有一个平面与这个直线垂直D.过直线外一点，有且只有一个平面与这个直线平行【答案】AC【解析】对于A ，根据线面垂直的定义，可得经过平面外一点作已知平面的垂线，有且仅有一条，故A 正确；对于B ，过平面外一点可以作一个平面与已知平面平行，在这个平行平面内的经过已知点作直线，它就和已经平面平行，故过平面外一点有无数条直线与这个平面平行，故B 不正确；对于C ，由直线与平面垂直的性质知：过直线外一点只能作一个平面与这条直线垂直，故C 正确；对于D ，过直线外一点，有无数个平面与这条直线平行，故D 不正确．15.在锐角ABC 中，有（）A.sin sin sin A B C +> B.222sin sin sin A B C +>C.cos cos sin A B C +> D.222cos cos sin A B C +>【答案】ABC【解析】对于A ，根据正弦定理，因为a b c +>可得sin sin sin A B C +>，故A 正确；对于B ，因为222cos 02a b c C ab+-=>可得222a b c +>，再由正弦定理可得222sin sin sin A B C +>，故B 正确；对于C ，因为π0,2A B <<中，所以0sin ,sin 1A B <<，所以()cos cos cos sin cos sin sin sin A B A B B A A B C +>+=+=，故C 正确；对于D ，当222π13cos cos sin 324A B C A B C ===⇒+=<=，故D 错误16.已知a ∈R ，设()11,A x y ，()22,B x y 是函数()2y x a =-与1sin y x =-图象的两个公共点，记()12f a x x =-.则（）A.函数()f a 是周期函数，最小正周期是πB.函数()f a 在区间π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减C.函数()f a 的图象是轴对称图形D.函数()f a 的图象是中心对称图形【答案】BC【解析】分别作出()2y x a =-与1sin y x =-（周期为2π）的图象（如图）.对于B ，由图可知，当3ππ,22a ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭时，()f a 单调递增；当ππ,22a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()f a 单调递减，故B 正确；对于C 、D ，对于任意a ∈R ，此时作()2y x a =-关于2x π=-的对称函数()2πy x a =---⎡⎤⎣⎦，且1sin y x =-也关于2x π=-对称，故()()πf a f a --=，即()f a 关于2x π=-对称，即()f a 关于2x π=-对称，故C 正确，D 错误.错误.对于A ，由于当3ππ,22a ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭时，()f a 单调递增；当ππ,22a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()f a 单调递减，()f a 关于π2x =-对称，由于1sin y x =-是最小正周期为2π的函数，其图象呈周期性变换，而()2y x a =-在平移过程中大小与形状不变，所以()12f a x x =-呈周期性变换，根据函数的对称性作出()f a 的大致图像（如图），可知其为周期函数，且最小正周期为2πT =，故A错误；非选择题部分三、填空题（本大题共4小题，每空分3分，共15分）17.已知函数()25,1,log ,1,x x f x x x +<⎧=⎨≥⎩则()1f -=______，()1f f -=⎡⎤⎣⎦______.【答案】①.4②.2【解析】()1154f -=-+=；()()214log 42f f f ⎡⎤-===⎣⎦.故答案为：4；2.18.某广场设置了一些石凳供大家休息，每个石凳都是由正方体截去八个一样的四面体得到的（如图，从棱的中点截）.如果被截正方体的棱长是4（单位：dm ），那么一个石凳的体积是______（单位：3dm ）.【答案】1603【解析】正方体的体积为3464=，正方体截去的八个四面体是全等的正三棱锥，截去的一个正三棱锥的体积为114222323⨯⨯⨯⨯=，则石凳的体积为416064833-⨯=.19.已知实数0x >，0y >，则2x yx y x++的最小值是______.【答案】1-【解析】211x y x y xx y x x y x ++=+-≥-++，当且仅当2x y xx y x+==+.20.已知平面向量a ，b 是非零向量.若a 在b上的投影向量的模为1，21a b -= ，则()4a b b -⋅ 的取值范围是______.【答案】[]3,4【解析】解：由题意，令(),0b b = ，()1,a y =±，则()()2221221a b b y -=⇒±-+= ，所以[]240,1y ∈，由21a b -= ，得22441a a b b -⋅+= ，所以()2441a b b a -⋅=- .()[]222411433,4y y ⎡⎤=±+-=+∈⎣⎦.四、解答题（本大题共3小题，共33分）21.在某市的一次数学测试中，为了解学生的测试情况，从中随机抽取100名学生的测试成绩，被抽取成绩全部介于40分到100分之间（满分100分），将统计结果按如下方式分成六组：第一组[)40,50，第二组[)50,60，L ，第六组[]90,100，画出频率分布直方图如图所示.（1）求第三组[)60,70的频率；（2）估计该市学生这次测试成绩的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）和第25百分位数.解：（1）由频率分布直方图知，第三组的频率为0.020100.2⨯=.（2）平均值450.00410550.01210650.02010750.03010850.02410x =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯950.0101073.8+⨯⨯=，因为()0.0040.012100.16+⨯=，()0.0040.0120.020100.36++⨯=，所以第25百分位数为0.250.16601064.50.2-+⨯=.22.已知函数()222cos f x x x =+.（1）求π4f ⎛⎫⎪⎝⎭的值；（2）求函数()f x 的最小正周期；（3）当[],2x t t ∈（[][],20,2πt t ⊆）时，()1f x ≤恒成立，求实数t 的最大值.解：（1）22πππππ22cos 2cos 144424f ⎛⎫⎛⎫=⨯+=+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.（2）()2π22cos 2cos 212sin 216f x x x x x x ⎛⎫=+=++=++ ⎪⎝⎭，所以函数()f x 的最小正周期2ππ2T ==.（3）当[],2x t t ∈，()1f x ≤恒成立，即π2sin 2116x ⎛⎫++≤ ⎪⎝⎭，所以π1sin 206x ⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭，因为[],2x t t ∈，[][],20,2πt t ⊆，所以πππ242π66t t ≤+<+≤，解得5π11π1224t ≤≤，即实数t 的最大值为11π24.综上，π14f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，最小正周期为π，实数t 的最大值为11π24.23.已知函数()()20xa f x a x x x=+->，其中1a >.（1）若()24f ≤，求实数a 的取值范围；（2）证明：函数()f x 存在唯一零点；（3）设()00f x =，证明：()22021222a a f x a a -+<+<-+.解：（1）因为()()20xaf x a x x x=+->，由()2224f a a =+-≤，可得220a a --≤，所以()()210a a -+≤，即12a -≤≤，又1a >，所以12a <≤；（2）证明：因为函数()()20xaf x a x x x=->，其中1a >，所以()f x 在()0,∞+上单调递增，且()11210f a a a =+-=-<，()221722024f a a a ⎛⎫=+-=-+> ⎪⎝⎭，所以由零点存在定理，得()f x 在()1,2内有唯一零点，即函数()f x 存在唯一零点；（3）证明：若()00f x =，则()()001,212,3x x ∈⇒+∈，所以()()20221f a a f x =+-<+，又()000020xa f x a x x =+-=，0002x a a x x =-，所以()()()021000000022211111x a a af x ax ax x x x x ++=++-=-++-++()200002211a x a x x x ⎛⎫=-+++ ⎪+⎝⎭，令()()22000002222212211g a a a f x a x a x x x ⎛⎫⎛⎫=-+-+=-+-++- ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭，又0220x ->，所以()g a 的图象开口向上，对称轴()()200020000000221104141222x x x x x x a x x x x ⎛⎫--+ ⎪++⎝⎭=-=-=--+⎛⎫⋅- ⎪⎝⎭，所以()g a 在()1,+∞上单调递增，所以()()20000002222121211111g a g x x x x x x ⎛⎫⎛⎫>=-⋅+-+⋅+-=-+ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭()()()()()()22000000000000002122120111x x x x x x x x x x x x x x +-+++-+-===>+++，即()201222f x a a +<-+，所以()22021222a a f x a a -+<+<-+.。
2022年7月浙江省普通高中学业水平考试数学试题
一、单选题二、多选题1. 已知，，则下列结论正确的是（ ）A．是的充分不必要条件B．是的必要不充分条件C．是的既不充分也不必要条件D．是的充要条件2. 设集合，，则（ ）A．B．C．D．3. 一艘轮船按照北偏东42°方向，以18海里/时的速度沿直线航行，一座灯塔原来在轮船的南偏东18°方向上，经过10分钟的航行，此时轮船与灯塔的距离为海里，则灯塔与轮船原来的距离为（ ）A ．5海里B ．4海里C ．3海里D ．2海里4. 设复数满足（是虚数单位），则（ ）A．B．C．D．5. 已知的展开式中的系数为10，则实数a 的值为（ ）A．B．C．D ．26. 若是第四象限角，则是（ ）A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角7.函数满足，，函数的图象关于点对称，则（ ）A ．-8B ．0C ．-4D ．-28. 已知正四棱柱中，，是的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）A．B．C．D．9.已知双曲线的离心率等于，过的右焦点的直线与双曲线的两条渐近线分别交于点，，若以为直径的圆过点(为坐标原点)，则下列说法正确的是（ ）A．双曲线的渐近线方程为B ．直线的倾斜角为C ．圆的面积等于D ．与的面积之比为10. 已知抛物线的焦点为，直线与抛物线交于两点，是线段的中点，过作轴的垂线交抛物线于点，则下列判断正确的是（ ）A ．若过点，则的准线方程为B ．若过点，则C ．若，则D ．若，则点的坐标为11. 甲、乙两城市某月初连续7天的日均气温数据如图所示，则在这7天中，下列判断正确的是（ ）2022年7月浙江省普通高中学业水平考试数学试题2022年7月浙江省普通高中学业水平考试数学试题三、填空题四、解答题A ．甲城市日均气温的中位数与平均数相等B ．甲城市的日均气温比乙城市的日均气温稳定C．乙城市日均气温的极差为D．乙城市日均气温的众数为12. 已知，下列结论正确的是（ ）A ．与向量垂直且模长是2的向量是和B．与向量反向共线的单位向量是C．向量在向量上的投影向量是D．向量与向量所成的角是锐角，则的取值范围是13. 在平面直角坐标系xOy 中，已知A ，B 为圆C ：（x ＋4）2＋（y －a ）2＝16上的两个动点，且AB＝，若直线l ：y ＝2x 上存在唯一的一个点P ，使得，则实数a 的值为________．14. 现将6本不同的书籍分发给甲乙丙3人，每人至少分得1本，已知书籍分发给了甲，则不同的分发方式种数是________.（用数字作答）15.已知函数是定义域为的奇函数，当时，，且，则不等式的解集为___________.16.设椭圆：的焦点分别为、，抛物线:的准线与轴的交点为，且．（1）求椭圆的方程；（2）过、分别作互相垂直的两直线与椭圆分别交于、、、四点（如图），求四边形面积的最大值和最小值．17. 如图，多面体中，平面，底面为等腰梯形，，，，，且.（1）求证：平面；（2）求二面角的余弦值.18. 如图所示，四边形ABCD为矩形，，，平面平面ABE，点F为CE中点．(1)证明：；(2)求三棱锥的体积．19. 2014年7月16日，中国互联网络信息中心发布《第三十四次中国互联网发展状况报告》，报告显示：我国网络购物用户已达亿．为了了解网购者一次性购物金额情况，某统计部门随机抽查了6月1日这一天100名网购者的网购情况，得到如下数据统计表．已知网购金额在2000元以上（不含2000元）的频率为．（1）确定，，，的值，并补全频率分布直方图；（2）为进一步了解网购金额的多少是否与网龄有关，对这100名网购者调查显示：购物金额在2000元以上的网购者中网龄3年以上的有35人，购物金额在2000元以下（含2000元）的网购者中网龄不足3年的有20人．①请将列联表补充完整；网龄3年以上网龄不足3年合计购物金额在2000元以上35购物金额在2000元以下20合计100②并据此列联表判断，是否有%的把握认为网购金额超过2000元与网龄在三年以上有关？参考数据：（参考公式：，其中）20. 已知函数.（1）若在其定义域上单调递减，求的取值范围；（2）证明：当时，在区间恰有一个零点.21. 已知椭圆的离心率为e，且过，两点.(1)求椭圆E的方程；(2)若经过有两条直线，，它们的斜率互为倒数，与椭圆E交于A，B两点，与椭圆E交于C，D两点，P，Q分别是，的中点.试探究：与的面积之比是否为定值？若是，请求出此定值；若不是，请说明理由.。
月浙江省普通高中学业水平考试数学含答案
2017年4月浙江省普通高中学业水平考试数学试题满分100分，考试时间80分钟一、选择题（本大题共18小题，每小题3分，共54分,每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分)1.已知全集U={1，2，3,4}，若A={1 ,3}，则C u A= ()A.{1，2}B.{1 , 4}C.{2,3}D.{2,4}2.已知数列1, a, 5是等差数列，则实数a的值为()A.2B.3C.4D..5_3计算lg4+lg25= ()A.2B.3C.4D.104.函数y=3x的值域为()A.(0, +x)B.[1, +x) c.(0, 1]D.(0,3]5. 在厶ABC中，内角A , B, C所对的边分别为a, b, c,若a= .3 , A=60 ° , B=45 ，则b的长为（）x y 1 06. 若实数x，y满足y，则点P（x, y）不可能落在（）2x y 0A. 第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限7. 在空间中，下列命题正确的是（）A. 若平面a内有无数条直线与直线I平行，则I //aB. 若平面a内有无数条直线与平面B平行，则a〃BC. 若平面a内有无数条直线与直线I垂直，则I丄aD. 若平面a内有无数条直线与平面B垂直，则a丄B2B.在区间（?1,0）内有一个实数根，在（?1, 0）外有一个实数根打2—A 二B.1C.2D.228. 已知B 为锐角，且sin =B 3，则sin （册一）=（）54八 7.2r~7、2、2、2A.B.C.D.10 10 10 109. 直线y=x 被圆（x?#+y 2=1所截得的弦长为 （）A.——B.1 C 「2D.22 —10.设数列佝｝的前n 项和为S n ,若S h +1=2a 1+1 , n € N *，则乱=11如图在三棱锥 A?BCD 中，侧面 ABD 丄底面BCD , BC 丄CD , AB=AD=4 , BC=6, BD=4 3，该三棱锥三视图的正视图为（）12在第11题的三棱锥A?BCD 中，直线AC 与底面BCD 所成角的大小为（）A.3B.2C.1D.0A.30B.45C.60D.9013设实数a , b 满足|a|>|b| ，则“ a?b>0 ”是“ a+b>0 ”的 A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件2B.在区间（?1,0）内有一个实数根，在（?1, 0）外有一个实数根A.在区间（？1,0）内没有实数根2 214过双曲线务笃a b1 （a>0, b>0）的左顶点A 作倾斜角为一的直线I , I 交y 轴于点 4B,交双曲线的一条渐近线于点 C ,若AB = BC ，则该双曲线的离心率为A.5B. .5C. 315若实数a ,b ,c 满足 1<b<a<2 , 0<c<18，则关于 x 的方程 aX+bx+c=OC.在区间(?1, 0)内有两个相等的实数根D.在区间(?1, 0)内有两个不相等的实数根若A=B M ?，贝U 实数a 的取值范围为16.如图1,把棱长为1的正方体沿平面 AB 1D 1和平面A i BC i 截去部分后，得到如图2所示几何体，该几何体的体积为B.卩24C.-3D. 124DS(2 ,当众(1 , )时S( 2)的最小值是 A.12B.10C.8D.618.已知 f (x) = x 2 + ax+b(a, b € R), 记集合 A={ x € R| f (x) < 0}, B={x € R| f(f(x) 1) < 0} A.[?4, 4] 2] C.[?2, 0] D.[0, 4]、填空题(本大题共4小题，每空 3分，共15分) 19.设向量a=(1 , 2), b=(3, 1),贝U a+b 的坐标为,a?b=20.2椭圆|+v 2=1两焦点之间的距离为 21.已知a, b € R ,且a ^ ?1则b 的最小值是It2B.在区间（?1,0）内有一个实数根，在（?1, 0）外有一个实数根设点P 是边长为2的正三角形ABC 的三边上的动点，贝U PA (PB+PC)的取值范围为 三、解答题(本大题共3小题,共31分) 23. (本题10分)已知函数f(x) 2COS 2X 1,x R22.1①求f (舀)的值②求f(x)的最小正周期③设g (x) f ( x) •一3cos2x，求g (x)的值域 424. (本题10分)已知抛物线C: y2=2px过点A(1, 1)①.求抛物线C的方程②.过点P(3, ?1的直线与抛物线C交于M , N两个不同的点(均与点A不重合)，设直线AM，AN的斜率分别为灯k2,求证：k1?k2为定值25. (本题11 分)已知函数f (x) =3|x?a|+|ax?1|，其中a €R①当a=1时，写出函数f(x)的单调区间②若函数f(x)为偶函数，求实数a的值③若对任意的实数x € [0 ,3],不等式f(x) > 3x|x?a|2017年4月浙江省普通高中学业水平考试数学参考答案一. 选择题题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18答案 D B A A C D D A C B C A C B D B C B19. (4, 3), <5 20. 2,221. 1 22.[ -, 2]823. 解：①由已知可得f (x) cos2x③g (x) f ( x) . 3cos2x424. 解：①TA在抛物线上•••仁2p 即p= 一2•抛物线C的方程为y2x②令M (x i,y i) ,N(X2,y2)MN:m(y+1)=x-3 代入y2x 可得• y 一+y2=m, y1†‡y2=-m-3, x1+x2=m2+2m+6, x1*x2=(m+3)2又k?k=力 1 y2 1 y”2 r y?) 1X1 1 X2 1 X1X2 (X1 X2) 1= m 3 m 1 2m 22为定值2(m 3)2 m 2m 6 1 4m 425. (本题11 分)已知函数f (x) =3|x?a|+|ax?1|，其中a €R①当a=1时，写出函数f(x)的单调区间②若函数f(x)为偶函数，求实数a的值③若对任意的实数x € [0 ,3],不等式f(x) > 3x|x?a|恒成立，求实数a的取值范围25解：(1)当a=1时• x [1,)是f (x)的单调增区间，x -，是f (x)的单调减区间(2 )••• f(x)是偶函数‡f( 1) f(1)•3 1 a a 1 31 a a 1即1 a 1 a•a 0。
2022年1月浙江省普通高中学业水平考试数学试题
一、单选题二、多选题1. 已知全集U ，集合A ，B 为其子集，若，则（ ）A．B．C ．A D ．B2.新疆棉花是世界上最优质的棉花之一，普通的优质棉纱纤维长度左右，而新疆超长棉纱纤维长度可以达到以上.用超长棉纱制成的纯毛巾，质地柔软，手感舒适，色彩鲜艳，吸水性极好.某商场中有款优质毛巾，其中有款是用新疆超长棉纱制成的，在这款毛巾中任选款，至少有一款是用新疆超长棉纱制成的概率是（ ）A．B．C．D．3. 已知为坐标原点，为：上的动点，直线：，若到的最小距离为，则的值为（ ）A ．2B ．4C ．6D ．84. 已知集合，，则（ ）A．B．C．D．5. 已知向量，满足，，则，夹角的余弦值为（ ）A．B．C．D．6.已知函数满足，且是偶函数，当时，，则（ ）A．B ．3C．D．7.已知数列的前项和满足，有结论：①若，则；② 数列是常数列.关于以上两个结论，正确的判断是（ ）A ．①成立，②成立B ．①成立，②不成立C ．①不成立，②成立D ．①不成立，②不成立8. 已知函数的图象关于直线对称，则下列说法正确的是（ ）A ．函数为偶函数B．函数在上单调递增C ．若，则的最小值为D．函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象9.已知数列的前项和为，，，数列的前项和为，，则下列选项正确的为（ ）A．数列是等比数列B ．数列是等差数列C ．数列的通项公式为D．10. 已知平面向量，，则（ ）A ．若，则B．若，则与的夹角为锐角C ．若为任意非零向量，则存在实数，使得2022年1月浙江省普通高中学业水平考试数学试题2022年1月浙江省普通高中学业水平考试数学试题三、填空题四、解答题D．若在上的投影向量为，则或11. 若平面向量，，其中，，则下列说法正确的是（ ）A ．若，则B ．若，则与同向的单位向量为C ．若，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围为D ．若，则的最小值为12.已知数列满足，，设，记数列的前2n 项和为，数列的前n 项和为，则下列结论正确的是（ ）A．B．C．D．13.如图，正方形的边长为分别为边上的点.当的周长为2时，则的大小为______.14. 过直线上动点P作圆的一条切线，切点为A ，若使得的点P 有两个，则实数m 的取值范围为___________．15.在锐角三角形中，内角，，所对的边分别为，，，若，，则______，的取值范围是______．16. 如图，正方形的边长都是1，而且平面互相垂直，点在上移动，点在上移动，若．（1）求的长；（2）当为何值时，的长最小；（3）当的长最小时，求面与面所成的二面角的余弦值．17.已知数列的前项和，数列是首项为2，公比为2的等比数列．（1）求数列和数列的通项公式；（2）求数列的前项和．18. 已知椭圆上的动点P到右焦点距离的最小值为.（1）求椭圆C的方程；（2）若直线l和椭圆C交于M、N两点，A为椭圆的右顶点，，求面积的最大值.19. 已知函数．(1)若在其定义域内单调，求实数a的取值范围；(2)若，的极大值为，证明：．20. 已知S n为数列{a n}的前n项和，且满足S n-2a n=n-4.（1）证明：{S n-n+2}为等比数列；（2）求数列{S n}的前n项和T n.21. 已知数列满足.(1)求数列的通项公式；(2)记数列的前项和为，证明：.。
2023年7月浙江高中学业水平考试数学试卷试题真题(含答案详解)
2023年7月浙江省普通高中学业水平考试数学本试题卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分100分，考试时间80分钟.考生注意：1. 答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试题卷和答题纸规定的位置上.2. 答题时，请按照答题纸上“注意事项〃的要求，在答题纸相应的位置上规范作答，在本试题卷上的作答一律无效.3. 非选择题的答案必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔写在答题纸上相应区域内,作图时可先使用2B 铅笔，确定后必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔描黑.选择题部分（共52分）一、单项选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分.每小题列出的四个备选项中，只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分）1.己知集合，= {-1,0,1,2}, 3 = {x|x 〉0},则下列结论不正确的是（）B. 0^A(^B A.leAC\BC.D.2.函数*的定义域是（）A.-00,——2B.C.D.1■00,—2#3—,+ oo{、 x > 0} - A\JB3.复数z = i （2 + i ）在复平面内对应的点位于)A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限4.已知平面向量U = （L —1）, 5 = （2,4）,若则实数4 =2A. B. -2 C. D.-115.已知sin[ 0 + -^= cos 。
，贝\\ tan20 =)AMC.2^3丁D.2^36.上、下底面圆的半径分别为尸、2r,高为3尸的圆台的体积为A.771丫3B.217ir3C.（5+27!）兀尹D.（5+7^）*7.从集合｛123,4,5｝中任取两个数，则这两个数的和不小于5的概率是（）3749A.—B.—C.—D.—5105108.大西洋畦鱼每年都要逆游而上，游回产地产卵.研究畦鱼的科学家发现鲤鱼的游速v（单位：m/s）可以表示为v=klog3盐，其中。
表示畦鱼的耗氧量的单位数.若一条畦鱼游速为2m/s时耗氧量的单位数为8100,则游速为lm/s的畦鱼耗氧量是静止状态下畦鱼耗氧量的（）A.3倍B.6倍C.9倍D.12倍9.不等式（x-e）（e^-l）<0（其中e为自然对数的底数）的解集是（）A.{x|0<x<1}B.(x0<x<e}C.{x|xv0或x>l}D.{x|xvO或x>e}10.已知。
浙江普通高校招生学业水平考试数学试题(解析版)
浙江普通高校招生学业水平考试数学试题一、选择题1．已知集合{3,4,5,6}A =，{}B a =，若{6}A B =I ，则a =（ ） A.3 B.4 C.5 D.6 【答案】D.【解析】试题分析：由{6}A B =I 可知6a =，故选D. 【考点】集合的运算.2．直线1y x =-的倾斜角是（ ） A.6π B.4π C.2π D.34π 【答案】B.【解析】试题分析：记直线1y x =-的倾斜角为θ，∴tan 14πθθ=⇒=，故选B.【考点】直线的倾斜角.3．函数()ln(3)f x x =-的定义域为（ ）A.{|3}x x >-B.{|0}x x >C.{|3}x x >D.{|3}x x ≥ 【答案】C.【解析】试题分析：由303x x ->⇒>，故定义域为{|3}x x >，故选C. 【考点】函数的定义域.4．若点(3,4)P -在角α的终边上，则cos α=（ ） A.35-B.35C.45-D.45【答案】A.【解析】试题分析：由任意角的三角函数的定义可知，3cos 5x r α==-，故选A. 【考点】任意角的三角函数定义.5．在平面直角坐标系xOy 中，动点P 的坐标满足方程22(1)(3)4x y -+-=，则点P 的轨迹经过（ ）A.第一、二象限B.第二、三象限C.第三、四象限D.第一、四象限 【答案】A.【解析】试题分析：由题意得，点P 在以(1,3)为圆心，2为半径的圆上，如下图所示，故可知点P 在第一、二象限，故选A.【考点】圆的标准方程. 6．不等式组36020x y x y -+>⎧⎨-+≤⎩表示的平面区域（阴影部分）是（ ）【答案】B.【解析】试题分析：由题意得，不等式组表示的区域应为直线360x y -+=的下方以及直线20x y -+=的上方及其边界所围成的区域，故选B. 【考点】二元一次不等式组与平面区域. 7．在空间中，下列命题正确的是（ ） A.经过三个点有且只有一个平面B.经过一个点和一条直线有且只有一个平面C.经过一个点且与一条直线平行的平面有且只有一个D.经过一个点且与一条直线垂直的平面有且只有一个 【答案】D.【解析】试题分析：A ：若三点共线，则平面有无数个，故A 错误；B ：若点在线上，则平面有无数个，故B 错误；C ：若点在线上，则该平面不存在；D 正确，故选D. 【考点】空间中点、线、面的位置关系.8．已知向量a r ，b r ，则“//a b r r”是“||||||a b a b -=-r r r r ”的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 【答案】B.【解析】试题分析：设a r ，b r 的夹角为θ，故22()(||||)||||||||||a b a b a b a b a b ⎧-=-⎪-=-⇔⎨≥⎪⎩r r r r r r r r r r||||(1cos )0||0||||a b b a b θ⎧⋅⋅-=⎪⇔⇔=⎨≥⎪⎩r u u rr r r r 或cos 1θ=，故是必要不充分条件，故选B. 【考点】1.共线向量；2.充分必要条件. 9．函数2()12sin 2f x x =-是（ ）A.偶函数且最小正周期为2πB.奇函数且最小正周期为2πC.偶函数且最小正周期为πD.奇函数且最小正周期为π【答案】A.【解析】试题分析：2()12sin 2cos 4f x x x =-=，故是偶函数且最小正周期为242T ππ==，故选A. 【考点】1.二倍角公式；2.三角函数的性质.10．设等差数列{}n a 的前n 项和为*()n S n N ∈，若48a =，4=20S ，则8a =（ ） A.12 B.14 C.16 D.18 【答案】C.【解析】试题分析：由题意得，144141204201022a a S a a a +=⇒⨯=⇒+=⇒=，∴4123a a d -==， ∴81716a a d =+=，故选C.【考点】等差数列的通项公式.11．某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积是（ ）A.32cm B.322cm C.32cm D.322cm 【答案】A.【解析】试题分析：由三视图可知，该几何体为一三棱锥，故其体积11221232V =⨯⨯⨯⨯=，故选A.【考点】1.三视图；2.空间几何体的体积.12．设向量(2,2)a x =-r ，(4,)b y =r ，(,)c x y =r ，x ，y R ∈，若a b ⊥r r，则||c r 的最小值是（ ） A.25 B.45C.2D.5 【答案】B.【解析】试题分析：由题意得，4(2)20240x y x y -+=⇒+-=，故||c r的最小值即为原点到直线240x y +-=的距离：4555d ==，故选B. 【考点】1.平面向量数量积；2.点到直线距离公式.13．如图，设AB 为圆锥PO 的底面直径，PA 为母线，点C 在底面圆周上，若2PA AB ==，AC BC =，则二面角P AC B --大小的正切值是（ ）6677 【答案】B.【解析】试题分析：如图，取AC 中点D ，连结PD ，OD ，由题意得，PD AC ⊥，OD AC ⊥，故PDO ∠即为二面角P AC B --的平面角，在Rt PDO ∆中，3tan622POPDO OD∠===，故选B.【考点】二面角的求解.14．设函数2()()x f x e =，()()3x e g x =，其中e 为自然对数的底数，则（ ） A.对于任意实数x 恒有()()f x g x ≥ B.存在正实数x 使得()()f x g x >C.对于任意实数x 恒有()()f x g x ≤D.存在正实数x 使得()()f x g x < 【答案】D.【解析】试题分析：∵22()6()()f x g x e =，6e <，∴2601e<<，∴当0x >时，()1()()()f x f xg x g x <⇒<， 当0x <时，()1()()()f x f x g x g x >⇒>，当0x =时，()1()()()f x f xg x g x =⇒=，故选D.【考点】函数的性质.15．设双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，以1F 为圆心，12||F F 为半径的圆与双曲线在第一、二象限内依次交于A ，B 两点，若12||3||F B F A =，则该双曲线的离心率是（ ） A.54 B.43 C.32D.2 【答案】C.【解析】试题分析：如下图所示，连结1AF ，由题意得，1112||||||2F A F B F F c ===，21212||||33cF A F B ==，又∵12||||2F A F B a -=，∴232232c c c a e a -=⇒==，故选C.【考点】双曲线的标准方程及其性质.16．函数()f x 按照下述方法定义：当2x ≤时，2()2f x x x =-+；当2x >时，1()(2)2f x f x =-，方程1()5f x =的所有实数根之和是（ ） A.8 B.13 C.18 D.25【答案】C.【解析】试题分析：如下图所示，画出()f x 的函数图象，根据对称性可知，方程1()5f x =共有6个实数根，其和为261018++=，故选C.【考点】1.函数与方程；2.数形结合的数学思想.【方法点睛】运用函数图象结合数形结合思想求解问题的类型：1.对一些可通过平移、对称变换作出其图像的对数型函数，在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时，常利用数形结合思想；2.一些函数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图像问题，利用数形结合法求解．17．设实数a ，b ，c 满足：1a b >>，1c >，则下列不等式中不成立．．．的是（ ） A.b a bca ab ac +<<+ B.1a bc b a b ac +<<+C.1a bc c c b ac+<<+ D.a bc ab b acab +<<+ 【答案】D. 【解析】试题分析：令()(1)a bxf x a b b ax+=>>+，∴222()()()b b b ax a a bx b a b a a f x b ax b ax a a ax b +⋅+-+-===++++， ∴22()1()b b a b f c a a a a b -<<+=+，A ：()1b f c a a<<<，故A 成立；B ：1()1b f c b a a <<<<，故B 成立；C ：11()()11=b b ac bc b c a bc c c c b ac b ac c b ac c+⋅+--+=+>+++，()1f c c <<，故C 正确；D ：∵b a b ba ab a b--=，其差的符号未定，故D 不一定成立；故选D.【考点】1.构造函数；2.不等式的性质.【思路点睛】一般数学结论都有前提，不等式性质也是如此.在运用不等式性质之前，一定要准确把握前提条件，注意放宽条件和加强条件与其结论的关系，以及条件与结论间的相互联系，而有些不等式的问题，由于条件的限制，利用不等式的性质难以解决，此时可以构造相应的函数，从函数的的观点来解决. 18．如图，在四面体ABCD 中，2AB CD ==，3AD BD ==，4AC BC ==，点E ，F ，G ，H 分别在棱AD ，BD ，BC ，AC 上，若直线AB ，CD 都平行于平面EFGH ，则四边形EFGH 面积的最大值是（ ）A.12B.22C.1D.2【答案】C.【解析】试题分析：=()AB CD CB CA CD CB CD CA CD⋅-⋅=⋅-⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 1649164942420242242+-+-=⋅⋅-⋅⋅=⋅⋅⋅⋅，∴AB CD GH HE ⊥⇒⊥u u u r u u u r ，设(01)AH k k AC =<<，则1CH k AC=-，由AHE ACD ∆∆:， ∴2HE kCD k==，同理(1)2(1)GH k AB k =-=-，∴4(1)EFGH S HE GH k k =⨯=-214()12k k +-≤⋅=，当且仅当112k k k =-⇒=时，等号成立，故选C. 【考点】1.线面平行的性质；2.立体几何中的最值问题.【方法点睛】立体几何的综合应用问题中常涉及最值问题，处理时常用如下两种方法：1.结合条件与图形恰当分析取得最值的条件；2.直接建系后，表示出最值函数，转化为求最值问题；3.化立体为平面，利用平面几何知识求解.二、填空题19．已知抛物线22y px =过点(1,2)A ，则p =______，准线方程是______. 【答案】2，1x =-.【解析】试题分析：由题意得，422p p =⇒=，∴准线方程是12px =-=-，故填：2，1x =-.【考点】抛物线的标准方程及其性质.20．设数列{}n a 的前n 项和为*()n S n N ∈，若11a =，121n n a S +=+，则5S =_______. 【答案】121. 【解析】试题分析：由题意得，1111112121313()22n n n n n n n n n a S S S S S S S S ++++=+⇒-=+⇒=+⇒+=+， ∴1{}2n S +是以32为首项，3为公比的等比数列，∴455132433121222S S +=⋅=⇒=，故填：121.【考点】数列的通项公式及其运算.21．在ABC ∆中，2AB =，3AC =，2AB AC ⋅=u u u r u u u r ，若点P 满足2BP PC =u u u r u u u r，则AP BC ⋅=u u u r u u u r______.【答案】4. 【解析】试题分析：如下图所示，则可知2212()3333AP AB BP AB BC AB AC AB AB AC =+=+=+-=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，∴22121214182()()433333333AP BC AB AC AC AB AB AC AB AC ⋅=+⋅-=-+-⋅=-+-=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，故填：4.【考点】平面向量数量积及其运算.【思路点睛】几何图形中向量的数量积问题是近几年高考的又一热点，作为一类既能考查向量的线性运算、坐标运算、数量积及平面几何知识，又能考查学生的数形结合能力及转化与化归能力的问题，实有其合理之处.解决此类问题的常用方法是：①利用已知条件，结合平面几何知识及向量数量积的基本概念直接求解(较易)；②将条件通过向量的线性运算进行转化，再利用①求解(较难)；③建系，借助向量的坐标运算，此法对解含垂直关系的问题往往有很好效果. 22．函数设1()3()2f x x a R ax =+∈+，若其定义域内不存在．．．实数x ，使得()0f x ≤，则a 的取值范围是_____.【答案】2[0,]3.【解析】试题分析：若0a =：1()32f x x =+，符合题意；若0a <：()f x 的定义域为22[3,)(,)a a---+∞U ，故取22121()332()2f t t t a a a at a t a -+=-++=-++-++，其中0t >，显然，当0t +→时，2()f t a -+可取负值，故0a <不合题意；若0a >：①：2233a a -=-⇒=，1()3223f x x x =++，定义域为(3,)-+∞，显然()0f x >恒成立，符合题意；②22303a a -<-⇒<<：()f x 的定义域为[3,)-+∞，此时2320ax a +≥-+>，()0f x >恒成立，符合题意；③：2233a a ->-⇒>：()f x 的定义域为22[3,)(,)a a---+∞U ，取22121()332()2f t t t a a a at a t a--=--+=--+--+，其中203t a <≤-，显然，当0t +→时，2()f t a --可取负值，故23a >不合题意；综上所述，可知实数a 的取值范围是2[0,]3，故填：2[0,]3.【考点】1.恒成立问题；2.函数综合题；3.分类讨论的数学思想.【思路点睛】一般地，对含参的不等式求范围问题通常采用分离变量转化为恒成立问题，对于“恒成立”的不等式，一般的解题方法是先分离然后求函数的最值，另外，要记住几个常见的有关不等式恒成立的等价命题：1.()a f x >恒成立max ()a f x ⇔>；2.()a f x <恒成立min ()a f x ⇔<；3.()a f x >有解min ()a f x ⇔>；4.()a f x <有解max ()a f x ⇔<.三、解答题23．在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知sin 23cos C C =，其中C 为锐角.（1）求角C 的大小；（2）1a =，4b =，求边c 的长. 【答案】（1）3π；（2）13. 【解析】试题分析：（1）根据条件中给出的式子进行三角恒等变形即可求解；（2）利用（1）中求得的C 的大小结合余弦定理即可求解.试题解析：（1）由2sin 23cos C C =得2sin cos 3cos C C C =，又∵C 为锐角，∴cos 0C ≠，从而3sin C =，故3C π=；（2）由1a =，4b =，根据余弦定理得2222cos133c a b ab π=+-=，故边c 的长是13.【考点】1.三角恒等变形；2.解三角形．24．设1F ，2F 为椭圆22143x y +=的左、右焦点，动点P 的坐标为(1,)m -，过点2F 的直线与椭圆交于A ，B 两点.（3）求1F ，2F 的坐标；（4）若直线PA ，2PF ，PB 的斜率之和为0，求m 的所有整数值. 【答案】（1）1(1,0)F -，2(1,0)F ；（2）2-，1-，0，1，2.【解析】试题分析：（1）根据条件中给出的椭圆的标准方程即可求解；（2）设出直线AB 的方程，将其与椭圆方程联立后利用韦达定理结合条件斜率之和为0可得到m 的函数表达式，求得其范围后即可求解.试题解析：（1）由椭圆的标准方程是22143x y +=，可知1(1,0)F -，2(1,0)F ；（2）①当直线AB 的斜率不存在时，由对称性可知0m =；②当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的斜率为k ，11(,)A x y ，22(,)B x y ， 由题意得11x ≠-，21x ≠-，直线PA 的斜率为1111()11y m kx k m x x --+=++，直线2PF 的斜率为2m-， 直线PB的斜率为2222()11y m kx k m x x --+=++，由题意得1212()()0121kx k m kx k m m x x -+-+-+=++，化简整理得1212(4)3()(45)0(*)k m x x m x x k m --+-+=， 将直线AB 方程(1)y k x =-代入椭圆方程，化简整理得222(43)84120k x k x k +-+-=，由韦达定理得2122843k x x k +=+，212241243k x x k -=+，代入(*)并化简整理得 216200k m k m ++=，从而220161km k =-+， 当0k =时，0m =； 当0k ≠时，220||5||1612k m k =≤=+，故m 的所有整数值是2-，1-，0，1，2.【考点】1.椭圆的标准方程及其性质；2.直线与椭圆的位置关系．【思路点睛】对于圆锥曲线的综合问题，①要注意将曲线的定义性质化，找出定义赋予的条件；②要重视利用图形的几何性质解题；③要灵活运用韦达定理、弦长公式、斜率公式、中点公式、判别式等解题，巧妙运用“设而不求”、“整体代入”、“点差法”、“对称转换”等方法.25．设函数21()(|1|)f x x a =--的定义域为D ，其中1a <. （1）当3a =-时，写出函数()f x 的单调区间（不要求证明）；（2）若对于任意的[0,2]x D ∈I ，均有2()f x kx ≥成立，求实数k 的取值范围. 【答案】（1）单调递增区间是(,1]-∞，单调递减区间是[1,)+∞；（2）当23a <时，214(1)k a ≤-，当213a ≤<时，21k a ≤. 【解析】试题分析：（1）对x 的取值范围分类讨论，去绝对值号后即可求解；（2）分析题意可知，问题等价于min 2()[]f x k x≤，对a 和x 的取值分类讨论，求得函数最值后即可求解.试题解析：（1）当3a =-时：2221(4)1()1(|1|3)(2)x f x x x ⎧⎪-⎪==⎨-+⎪⎪+⎩，∴()f x 单调递增区间是(,1]-∞，单调递减区间是[1,)+∞；（2）当0x =时：不等式2()f x kx ≥成立；当0x ≠时：2()f x kx ≥等价于21[(|1|)]k x x a ≤--，设(1),01()(|1|)[(1)],12x x a x h x x x a x x a x --<≤⎧=--=⎨-+<≤⎩， ∵|1|0x a --≠，∴1x a ≠±，即{|1}D x x a =≠±，若1a <-：(0,2](0,2]D =I ，()h x 在(0,2]上单调递增，∴0()(2)h x h <≤， 即0()2(1)h x a <≤-，故214(1)k a ≤-；若1a =-：(0,2](0,2)D =I ，()h x 在(0,2)上单调递增，∴0()(2)h x h <<，即0()2(1)h x a <<-，故214(1)k a ≤-；若10a -<<：(0,2](0,1)(1,1)(1,2]D a a a a =++--I U U ，()h x 在1(0,]2a-上单调递增，1[,1]2a -上单调递减，[1,1)a -上单调递增，(1,2]a -上单调递增，∴max 1()max{(2),()}2ah x h h -=，而21(1)(1)(7)(2)()220244a a a a h h a ---+-=--=>，∴1(2)()2ah h ->，∴0()(2)h x h <≤，即0()2(1)h x a <≤-，故214(1)k a ≤-； 若0a =：(0,2](0,1)(1,2]D =I U ，()h x 在1(0,]2上单调递增，在1[,1)2上单调递减，在(1,2]上单调递增，∴1(1)()max{(2),()}2h h x h h <≤，而(2)2h =，11()24h =，∴0()2h x <≤，14k ≤； 若01a <<：(0,2](0,1)(1,1)(1,2]D a a a a =--++I U U ，()h x 在1(0,]2a-上单调递增，在1[,1)2aa --上单调递减，(1,1]a -上单调递减，在[1,1)a +上单调递增，在(1,2]a +上单调递增， ∴1(1)()max{(2),()}2ah h x h h -≤≤且()0h x ≠，而21(1)(2)()2224a a h h a ---=--(1)(7)4a a -+=>，∴()22a h x a-≤≤-且()0h x ≠，故当|22|||a a ->-⇒203a <<时， 214(1)k a ≤-；当2|22|||13a a a -≤-⇒≤<，21k a≤； 综上所述，当23a <时，214(1)k a ≤-，当213a ≤<时，21k a ≤. 【考点】1.函数综合题；2.分类讨论的数学思想．【思路点睛】二次函数在区间上的最值或值域问题，通常有两种类型：其一是定函数(解析式确定)，动区间(区间的端点含有参数)；其二是动函数(解析式中含有参数)，定区间(区间是确定的)．无论哪种情况，解题的关键都是抓住“三点一轴”，“三点”即区间两端点与区间中点，“一轴”即为抛物线的对称轴．对于动函数、动区间的类型同样是抓住“三点一轴”，只不过讨论要复杂一些而已．。
2022年7月浙江省普通高中学业水平考试数学试题
一、单选题二、多选题1. 我国南宋著名数学家秦九韶提出了由三角形三边求三角形面积的“三斜求积”，设的三个内角所对的边分别为，，，面积为S ，则“三斜求积”公式为，若，，则用“三斜求积”公式求得的面积为（ ）A．B．C．D ．12. 已知正方形ABCD 的边长为2，P 为正方形ABCD 内部（不含边界）的动点，且满足，则的取值范围是（ ）A．B．C．D．3. 已知点、，动点满足：直线的斜率与直线的斜率之积为，则的取值范围为（ ）A．B．C．D．4.已知函数A．B．C．D．5. 2023年9月8日，杭州第19届亚运会火炬传递启动仪式在西湖涌金公园广场举行．秉持杭州亚运会“绿色、智能、节俭、文明”的办赛理念，本次亚运会火炬传递线路的筹划聚焦简约、规模适度．在杭州某路段传递活动由甲、乙、丙、丁、戊5名火炬手分五棒完成．若第一棒火炬手只能从甲、乙、丙中产生，最后一棒火炬手只能从甲、乙中产生，则不同的传递方案种数为（ ）A ．18B ．24C ．36D ．486. 在连锁交换定律中，重组率指双杂合体测交产生的重组型配子的比例，重组率通常也称作交换率，但是二者之间是有区别的.生物学家在研究基因重组率和绘制遗传图时，用函数作为重组率和交换率的校正公式（R 代表基因重组率，x 代表基因交换率），当某生物的基因重组率为时，其交换率为（ ）（参考数据：，）A ．1.2424B ．0.2894C ．0.0323D ．0.14387.如图，正方体的棱长为3，点在棱上，且满足，动点在正方体表面上运动，且，则动点的轨迹的周长为（）A．B．C．D．8. 双曲线的右支上存在一点，它到右焦点及左准线的距离相等，则双曲线离心率的取值范围是（ ）A．B．C．D．9. 已知直线：与圆：相切，则下列说法正确的是（ ）A．B．C．D．10.如图，已知二面角的棱l 上有A ，B 两点，，，，，且，则下列说法正确的是2022年7月浙江省普通高中学业水平考试数学试题2022年7月浙江省普通高中学业水平考试数学试题三、填空题四、解答题（）．A ．当时，直线与平面所成角的正弦值为B ．当二面角的大小为时，直线与所成角为C．若，则二面角的余弦值为D．若，则四面体的外接球的体积为11. 已知i 为虚数单位，则下面命题正确的是（ ）A ．若复数z ＝3+i，则B ．复数z 满足|z ﹣2i|＝1，z 在复平面内对应的点为，则x 2+＝1C ．若复数z 1，z 2，满足，则D ．复数z ＝13i 的虚部是312. 古希腊数学家托勒密（Ptolemy 85-165）对三角学的发展做出了重要贡献，他研究出角与弦之间的对应关系，创造了世界上第一张弦表.托勒密用圆的半径的作为一个度量单位来度量弦长，将圆心角（）所对的弦长记为.例如圆心角所对弦长等于60个度量单位，即.则（ ）A．B．若，则C．D．（）13.已知等差数列公差，其前n 项和为，若记数据的方差为，数据的方差为，则___________.14.在递增等比数列中，是其前项和，若，，则_________.15.抛物线的准线截圆所得弦长为2，则=_________.16. 某贫困县在政府“精准扶贫”的政策指引下，充分利用自身资源，大力发展茶叶种植.该县农科所为了对比两种不同品种茶叶的产量，在试验田上分别种植了两种茶叶各20亩，所得亩产数据（单位：千克）都在内，根据亩产数据得到频率分布直方图如下：(1)从种茶叶亩产的20个数据中任取两个，记这两个数据中不低于56千克的个数为，求的分布列及数学期望；(2)在频率分布直方图中，若平均数大于中位数，则称为“右拖尾分布”，若平均数小于中位数，则称为“左拖尾分布”，试通过计算判断种茶叶的亩产量属于上述哪种类型.17. 随着新课程新高考改革的推进，越来越多的普通高中认识到了生涯规划教育对学生发展的重要性，生涯规划知识大赛可以鼓励学生树立正确的学习观､生活观．某校高一年级1200名学生参加生涯规划知识大赛初赛，学校将初赛成绩分成6组：加以统计，得到如图所示的频率分布直方图，成绩大于等于80分评为“优秀”等级．(1)求a的值，并估计该年级生涯规划大赛初赛被评为“优秀”等级的学生人数；(2)在评为“优秀”等级的学生中采用分层抽样抽取6人，再从6人中随机抽取3人进行下一步的能力测试，求这3人中恰有1人成绩在的概率．18. 某公交公司分别推出支付宝和微信扫码支付乘车活动，活动设置了一段时间的推广期，由于推广期内优惠力度较大，吸引越来越多的人开始使用扫码支付.某线路公交车队统计了活动刚推出一周内每一天使用扫码支付的人次，用表示活动推出的天数，表示每天使用扫码支付的人次（单位：十人次），统计数据如表1所示：表1：1234567611213466101196根据以上数据，绘制了散点图.（1）根据散点图判断，在推广期内，与（均为大于零的常数）哪一个适宜作为扫码支付的人次关于活动推出天数的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）.（2）根据（1）的判断结果及表1中的数据，建立关于的回归方程，并预测活动推出第8天使用扫码支付的人次.（3）推广期结束后，为更好的服务乘客，车队随机调查了100人次的乘车支付方式，得到如下结果：表2支付方式现金乘车卡扫码人次106030已知该线路公交车票价2元，使用现金支付的乘客无优惠，使用乘车卡支付的乘客享受8折优惠，扫码支付的乘客随机优惠，根据调查结果发现：使用扫码支付的乘客中有5名乘客享受7折优惠，有10名乘客享受8折优惠，有15名乘客享受9折优惠.预计该车队每辆车每个月有1万人次乘车，根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，在不考虑其他因素的条件下，按照上述收费标准，试估计该车队一辆车一年的总收入.参考数据：62.14 1.54253550.12 3.47其中.参考公式：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：.19. 如图1，在四边形中，.将沿翻折到的位置，使得平面平面，如图2所示.(1)设平面与平面的交线为，证明：.(2)若点在线段上（点不与端点重合），平面与平面夹角的正弦值为，求的值.20. 某大学“爱牙协会”为了解“爱吃甜食”与青少年“蛀牙”情况之间的关系，随机对200名青少年展开了调查，得知这200个人中共有120个人“有蛀牙”，其中“不爱吃甜食”且“有蛀牙”的有30人，“不爱吃甜食”且“无蛀牙”的有50人.有列联表：有蛀牙无蛀牙总计爱吃甜食不爱吃甜食总计(1)根据已知条件完成如图所给的列联表，并判断是否有99.5%的把握认为“爱吃甜食”与青少年“蛀牙”有关；(2)若从“无蛀牙”的青少年中用分层抽样的方法随机抽取8人作进一步调查，再从这抽取的8人中随机抽取2人去担任“爱牙宣传志愿者”，求抽取的2人都是“不爱吃甜食”且“无蛀牙”的青少年的概率.附：，.0.050.010.0053.841 6.6357.87921. 在中，角、、的对边分别为、、，已知，.（1）若，此三角形是否存在？若存在，求此三角形的面积；若不存在，说明理由；（2）若，点在边上，且，求长.。
浙江省普通高中学业水平考试数学试题(word版)
2019 年 6月浙江省一般高中学业水平考试数学试题一、选择题（本小题共18 小题，每题 3 分，共 54 分。
每题列出的四个选项中只有一个是切合题目要求的，不选、多项选择、错选均不给分。
）1. 已知会合A 1,2,3 , B3,4,5,6 ，则 A BA. 3B. 1,2C. 4,5,6D. 1,2,3,4,5,62.函数 f x log a 4 x a 0,且 a 1 的定义域是A. 0,4B. 4,C.,4D.,44,3.圆x 3 2y 2 216 的圆心坐标是A.3,2B. 2, 3C.2,3D. 3, 24.一元二次方程x 9 x0 的解集是A.x | x 0或x 9B. x | 0x9C. x | x9或x 0D. x |9 x02 25.椭圆xy 1 的焦点坐标是25 16A. 0,3 , 0, 3B. 3,0 ,3,0C. 0,41 , 0, 41D.41,0 ,41,06.已知空间向量a1,1,3 ,b 2, 2, x ，若 a // b ，则实数x的值是4B.46 D. 6A. C.337. cos2sin2882211 A. B. C. D.2222y x8.若实数x, y知足不等式组x y 1 ，则2x y 的最小值是y1A.3B.3C.0D.3 29.平面与平面平行的条件能够是A.内有无量多条直线都与平行B. 直线a //，//，且直线a不在内，也不在内C.直线a，直线b，且//,b //D.内的任何直线都与平行2x2x 10. 函数f xx 的图像大概是x 1111. 已知两条直线: 34 5 3 ,: 258 ，若，则实数的l1m x y m l 2x m y l1 l2m值是A.1或7B. 71313 C. D.3312.已知某几何体的三视图如下图，则该几何体的体积是13. 已知x, y是实数，则“x y1”是“ x 11”的或 y22A. 充足而不用要条件B. 必需而不充足条件C.充足必需条件D.既不充足也不用要条件14. 已知数列a n的前n项和S n 1 n2 2 n 3 n N *，则以下结论正确的选项是43A. 数列a n是等差数列B. 数列a n是递加数列C. a1, a5, a9成等差数列D. S6S3,S9S6 , S12S9成等差数列15.如图，正三棱柱（底面是正三角形的直棱柱）ABC A1 B1C1的地面边长为 a ，侧棱长为2a ，则 AC1与侧面 ABB1 A1所成的角是A. 30B. 45C. 60D. 9016. 如下图，已知双曲线 C : x2y2 1 a0,b0 的右焦点为F，a2b2双曲线 C 的右支上一点 A ，它对于原点 O 的对称点为 B ，知足AFB120 ，且 BF 3 AF ，则双曲线 C 的离心率是A.2 7B.5C.7D. 7722a n1, n为奇数17. 已知数列an 知足 an 11(n N* ) ，若 2 a3，a n ,n为偶数102则 a1的取值范围是A. 1a110B. 1a117C. 2a13D. 2a1618.已知四周体 ABCD 中，棱 BC, AD 所在直线所成的角为 60 ，且 BC 2, AD 3，ACD 120 ，则四周体ABCD 体积的最大值是A.3B.3C. 9D.32444二、填空题（本大题共 4 小题，每空 3 分，共 15 分。
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浙江省高中学业水平考试数学试题HEN system office room 【HEN16H-HENS2AHENS8Q8-HENH1688】2018年4月浙江省学业水平考试数学试题一、 选择题（本大题共18小题，每小题3分，共54分.每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，不选，多选，错选均不给分.） 1. 已知集合{}10<≤=x x P ，{}32≤≤=x x Q .记Q P M =，则 A.{}M ⊆2,1,0 B.{}M ⊆3,1,0C.{}M ⊆3,2,0D.{}M ⊆3,2,1 2. 函数xx x f 1)(+=的定义域是A.{}0>x xB.{}0≥x xC.{}0≠x xD.R3. 将不等式组⎩⎨⎧≥-+≥+-01,01y x y x 表示的平面区域记为Ω，则属于Ω的点是A.)1,3(-B.)3,1(-C.)3,1(D.)1,3( 4. 已知函数)3(log )3(log )(22x x x f -++=，则=)1(fA.1B.6log 2C.3D.9log 25. 双曲线1322=-y x 的渐近线方程为 A.x y 31±= B.x y 33±= C.x y 3±= D.x y 3±= 6. 如图，在正方体1111D C B A ABCD -中，直线C A 1与平面ABCD 所成角的余弦值是A.31B.33C.32D.367. 若锐角α满足53)2πsin(=+α，则=αsinA.52B.53C.43D.548．在三棱锥ABC O -中，若D 为BC 的中点，则=ADA.OB OC OA -+2121B. OC OB OA ++2121C.OA OC OB -+2121D. OA OC OB ++21219. 设{}n a ，{}n b )N (*∈n 是公差均不为零的等差数列.下列数列中，不构成等差数列的是（第6题图）A.{}n n b a ⋅B.{}n n b a +C.{}1++n n b aD.{}1+-n n b a 10.不等式1112<+--x x 的解集是A. ⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<-313x x B. ⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<-331x xC. ⎭⎬⎫⎩⎨⎧>-<31,3x x x 或D. ⎭⎬⎫⎩⎨⎧>-<3,31x x x 或11．用列表法将函数)(x f 表示为 ，则 A.)2(+x f 为奇函数 B. )2(+x f 为偶函数 C.)2(-x f 为奇函数 D. )2(-x f 为偶函数12．如图，在直角坐标系xOy 中，坐标轴将边长为4的正方形ABCD 分割成四个小正方形.若大圆为正方形ABCD 的外接圆，四个小圆分 别为四个小正方形的内切圆，则图中某个圆的方程是 A.01222=++-+y x y x B.012222=+-++y x y x C.01222=-+-+y x y x D.012222=-+-+y x y x 13. 设a 为实数，则“21aa >”是“a a 12>”的 A.充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C.充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件14. 在直角坐标系xOy 中，已知点)1,0(-A ，)0,2(B ，过A 的直线交x 轴于点)0,(a C ，若直线AC 的倾斜角是直线AB 倾斜角的2倍，则=a A.41 B.43 C.1 D.3415. 甲、乙两个几何体的三视图分别如图①、图②所示，分别记它们的表面积为乙甲，S S ，体积为乙甲，V V ，则A.乙甲乙甲，V V S S >>B. 乙甲乙甲，V V S S <>正视图侧视图俯视图 15题图①）侧视图15题图②）C.乙甲乙甲，V V S S ><D. 乙甲乙甲，V V S S <<16．如图，F 为椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的右焦点，过F 作x 轴的垂线交椭圆于点P ，点B A ,分别为椭圆的右顶点和上顶点，O 为坐标原点.若△OAB 的面积是△OPF 面积的25倍，则该椭圆的离心率是A.52或53B.51或54C.510或515D.55或552 17．设a 为实数，若函数a x x x f +-=22)(有零点，则函数)]([x f f y =零点的个数是或3 B. 2或3 C. 2或4 或4 18．如图，设矩形ABCD 所在平面与梯形ACEF 所在平面相交于AC .若3,1==BC AB ，1===EC FE AF ，则下列二面角的平面角的大小为定值的是 A. C AB F -- B. D EF B --C. C BF A --D. D AF B --二、填空题（本大题共4小题，每空3分，共15分.）19. 已知函数1)3π2sin(2)(++=x x f ，则)(x f 的最小正周期是 ▲ ，)(x f 的最大值是 ▲ .20. 若平面向量b a ,满足)6,1(2=+b a ，)9,4(2-=+b a ，则=⋅b a ▲ . 21. 在△ABC 中，已知2=AB ，3=AC ，则C cos 的取值范围是 ▲ . 22．若不等式02)(22≥----a x a x x 对于任意R ∈x 恒成立，则实数a 的最小值是▲ .三、解答题（本大题共3小题，共31分.）23. (本题满分10分)在等差数列{})N (*∈n a n 中，已知21=a ，65=a .(Ⅰ)求{}n a 的公差d 及通项n a ；（Ⅱ）记)N (2*∈=n b n a n ，求数列{}n b 的前n 项和.（第18题图）（第16题图）24. (本题满分10分) 如图，已知抛物线12-=x y 与x 轴相交于点A ，B 两点，P 是该抛物线上位于第一象限内的点.(Ⅰ) 记直线PB PA ，的斜率分别为21,k k ，求证12k k -为定值；（Ⅱ）过点A 作PB AD ⊥，垂足为D .若D 关于x 轴的对称点恰好在直线PA 上，求△PAD 的面积.25. (本题满分11分) 如图，在直角坐标系xOy中，已知点)0,2(A ，)3,1(B ，直线t x =)20(<<t 将△OAB 分成两部分，记左侧部分的多边形为Ω.设Ω各边长的平方和为)(t f ，Ω各边长的倒数和为)(t g .(Ⅰ) 分别求函数)(t f 和)(t g 的解析式；（Ⅱ）是否存在区间),(b a ，使得函数)(t f 和)(t g 在该区间上均单调递减？若存在，求a b - 的最大值；若不存在，说明理由.(第25题图)（第24题图）2018年4月浙江省学业水平考试数学试题答案一、 选择题（本大题共18小题，每小题3分，共54分.） 二、填空题19． π，3 20. 2- 21.)1,35[22. 3 三、解答题（本大题共3小题，共31分.）23．解：（Ⅰ）因为d a a 415+=，将21=a ，65=a 代入，解得数列{}n a 的公差1=d ；通项1)1(1+=-+=n d n a a n .（Ⅱ）将（Ⅰ）中的通项n a 代入 122+==n a n n b .由此可知{}n b 是等比数列，其中首项41=b ，公比2=q .所以数列{}n b 的前n 项和421)1(21-=--=+n n n qq b S 24. 解：（Ⅰ）由题意得点B A ,的坐标分别为)0,1(-A ，)0,1(B .设点P 的坐标为)1,(2-t t P ，且1>t ，则11121-=+-=t t t k ，11122+=--=t t t k ， 所以212=-k k 为定值.（Ⅱ）由直线AD PA ,的位置关系知 t k k AD -=-=11.因为PB AD ⊥，所以 1)1)(1(2-=+-=⋅t t k k AD ， 解得 2±=t .因为P 是第一象限内的点，所以2=t . 得点P 的坐标为)1,2(P . 联立直线PB 与AD 的方程⎩⎨⎧+-=-+=),1)(21(,)1)(21(x y x y 解得点D 的坐标为)22,22(-D .所以△PAD 的面积22121+=-⋅⋅=D P y y AB S . 25.解：（Ⅰ）当10≤<t 时，多边形Ω是三角形（如图①），边长依次为t t t 2,3,；当21<<t 时，多边形Ω是四边形（如图②），边长依次为 2),1(2),2(3,--t t t .所以，⎩⎨⎧<<+-≤<=,21,20208,10,8)(22t t t t t t f （Ⅱ）由（Ⅰ）中)(t f 的解析式可知，函数)(t f 的单调递减区间是)45,1(，所以)45,1(),(⊆b a .另一方面，任取)45,1(,21∈t t ，且21t t <，则)()(21t g t g -])2)(2(31)1)(1(211)[(21212112t t t t t t t t -----+-=. 由 45121<<<t t 知，1625121<<t t , 81)1)(1(2021<--<t t ,1639)2)(2(321>--t t .从而<--<)1)(1(2021t t )2)(2(321t t --,即0)2)(2(31)1)(1(212121>-----t t t t 所以 0)()(21>-t g t g ，得)(t g 在区间)45,1(上也单调递减.证得)45,1(),(=b a .所以，存在区间)45,1(，使得函数)(t f 和)(t g 在该区间上均单调递减，且a b -的最大值为41.①) (第25题图②)。