安徽大学期末试卷离散数学上卷及参考答案.doc
离散数学期末考试题及详细答案
离散数学期末考试题及详细答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 在离散数学中，下列哪个概念用来描述元素与集合之间的关系？A. 并集B. 交集C. 子集D. 元素答案：D2. 布尔代数中，下列哪个运算符表示逻辑“与”？A. ∨B. ∧C. ¬D. →答案：B3. 下列哪个命题的否定是正确的？A. 如果今天是周一，则明天是周二。
B. 如果今天是周一，则明天不是周二。
答案：B4. 在图论中，一个图的顶点数为n，边数为m，下列哪个条件可以保证该图是连通的？A. m > nB. m ≥ nC. m = nD. m > n-1答案：D二、填空题（每题5分，共20分）1. 在集合论中，一个集合的幂集包含该集合的所有______。
答案：子集2. 如果一个函数f: A → B是单射的，那么对于任意的a1, a2 ∈ A，如果a1 ≠ a2，则f(a1) ≠ f(a2)。
这种性质称为函数的______。
答案：单射性3. 在图论中，一个图的直径是指图中任意两个顶点之间的最短路径的最大值。
如果一个图的直径为1，则该图被称为______。
答案：完全图4. 一个布尔表达式可以表示为一系列逻辑运算符和变量的组合。
布尔表达式(A ∧ B) ∨ (¬ A ∧ C)的真值表中，当A为真，B为假，C为真时，整个表达式的值为______。
答案：真三、简答题（每题10分，共30分）1. 请简述什么是图的哈密顿回路，并给出一个例子。
答案：哈密顿回路是图中的一个回路，它恰好访问每个顶点一次。
例如，在一个完全图中，任意一个顶点出发，依次访问其他顶点，最后回到出发点的路径就是一个哈密顿回路。
2. 请解释什么是二元关系，并给出一个二元关系的例子。
答案：二元关系是定义在两个集合上的一个关系，它关联了第一个集合中的元素和第二个集合中的元素。
例如，小于关系是实数集合上的一个二元关系，它关联了每一对实数，如果第一个数小于第二个数。
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安徽大学20 09 — 20 10 学年第 1 学期 《 离散数学 》考试试卷（A 卷）（时间120分钟）院/系 专业 姓名 学号一、单项选择题（每小题2分，共20分）1. 设:P 天没下雪，:Q 我去镇上，则命题“天正在下雪，我没去镇上”可符号化为（ ）A.Q P ⌝→⌝；B. P Q ⌝→⌝；C.Q P ⌝∧；D. Q P ⌝∧⌝。
2.下列命题是重言式的是（ ）A.)()(P Q Q P →∧→；B. )()(Q P P Q P ↔↔↔∧；C. )(Q P Q P →→∧；D. Q P R Q P ∧⌝∧⌝∨→))((。
3. 设解释R 如下：论域D 为实数集，0=a ，y x y x f -=),(，y x y x f <=),(。
下列公式在R 下为真的是( )A.))),(),,((),((z y f z x f A y x A z y x →∀∀∀；B.)),,((a x a f xA ∀；C.)),,((x y x f yA x ∀∀；D.))),,((),((a a x f A y x A y x →∀∀。
4. 对任意集合,,A B C ，下列结论正确的是（ ）A. C A C B B A ∉⇒∉∧∉][；B. C A C B B A ∈⇒⊆∧∈][；C. C A C B B A ∉⇒∉∧∈][；D. C A C B B A ∈⇒∈∧⊆][。
5. 关于},,{c b a X =到}3,2,1{=Y 的函数{,1,,1,,3}f a b c =<><><>，下列结论不正确的是（ ）A 、1({3}){}fc -=； B 、1(3)f c -=； C 、({}){3}f c =； D 、()3f c =。
6. 设I 为整数集合，则I 上的二元关系}4|||,{=-><=y x y x R 具有（ ）A.自反性和对称性；B.反自反性和对称性；C.反自反性和传递性；D.反对称性和传递性。
《离散数学》(上)试卷(A卷)及参考答案
安徽大学20 09 — 20 10 学年第 1 学期 《 离散数学 》考试试卷（A 卷）（时间120分钟）院/系 专业 姓名 学号一、单项选择题（每小题2分，共20分）1. 设:P 天没下雪，:Q 我去镇上，则命题“天正在下雪，我没去镇上”可符号化为（ D ）A.Q P ⌝→⌝；B. P Q ⌝→⌝；C.Q P ⌝∧；D. Q P ⌝∧⌝。
2.下列命题是重言式的是（ C ）A.)()(P Q Q P →∧→；B. )()(Q P P Q P ↔↔↔∧；C. )(Q P Q P →→∧；D. Q P R Q P ∧⌝∧⌝∨→))((。
3. 设解释R 如下：论域D 为实数集，a=0, f(x,y)=x-y, A(x,y):x<y.下列公式在R 下为真的是( )A.(∀x)(∀y)(∀z)(A(x,y)→A(f(x,z),f(y,z)))B.(∀x)A(f(a,x),a)C.(∀x)(∀y)（A(f(x,y),x))D.(∀x)(∀y)(A(x,y)→A(f(x,a),a))4. 对任意集合,,A B C ，下列结论正确的是（ B ）A. C A C B B A ∉⇒∉∧∉][；B. C A C B B A ∈⇒⊆∧∈][；C. C A C B B A ∉⇒∉∧∈][；D. C A C B B A ∈⇒∈∧⊆][。
5. 9．关于{,,}X a b c =到{1,2,3}Y =的函数{,1,,1,,3}f a b c =<><><>，下列结论不正确的是（ ）A 、1({3}){}f c -=； B 、1(3)f c -=； C 、({}){3}f c =； D 、()3f c =。
6. 设I 为整数集合，则I 上的二元关系}4|||,{=-><=y x y x R 具有（ B ）A.自反性和对称性；B.反自反性和对称性；C.反自反性和传递性；D.反对称性和传递性。
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一．判断题（共10小题，每题1分，共10分）在各题末尾的括号内画 表示正确，画 表示错误：1．设p、q为任意命题公式，则(p∧q)∨p ⇔ p ( )2．∀x(F(y)→G(x)) ⇔ F(y)→∃xG(x)。
( )3．初级回路一定是简单回路。
( )4．自然映射是双射。
( )5．对于给定的集合及其上的二元运算，可逆元素的逆元是唯一的。
( )6．群的运算是可交换的。
( )7．自然数集关于数的加法和乘法<N，+， >构成环。
( )8．若无向连通图G中有桥，则G的点连通度和边连通度皆为1。
( )9．设A={a,b,c},则A上的关系R={<a,b>,<a,c>}是传递的。
( )10．设A、B、C为任意集合，则A⨯(B⨯C)=(A⨯B)⨯C。
( )二、填空题（共10题，每题3分，共30分）11．设p：天气热。
q：他去游泳。
则命题“只有天气热，他才去游泳”可符号化为。
12．设M(x)：x是人。
S(x)：x到过月球。
则命题“有人到过月球”可符号化为。
13．p↔q的主合取范式是。
14．完全二部图K r,s（r < s）的边连通度等于。
15．设A={a,b}，,则A上共有个不同的偏序关系。
16．模6加群<Z6，⊕>中，4是阶元。
17．设A={1,2,3,4,5}上的关系R={<1,3>,<1,5>,<2,5>,<3,3>,<4,5>}，则R的传递闭包t(R) = 。
.18．已知有向图D的度数列为(2,3,2,3)，出度列为(1,2,1,1)，则有向图D的入度列为。
19．n阶无向简单连通图G的生成树有条边。
20．7阶圈的点色数是。
三、运算题（共5小题，每小题8分，共40分）21．求∃xF(x)→∃yG(x,y)的前束范式。
22．已知无向图G有11条边，2度和3度顶点各两个，其余为4度顶点，求G 的顶点数。
离散期末考试题及答案
离散期末考试题及答案离散数学期末考试题及答案一、选择题（每题2分，共20分）1. 在集合论中，以下哪个符号表示属于关系？A. ∈B. ∉C. ⊆D. ⊂答案：A2. 有限集合A和B的并集，其元素个数最多是A和B元素个数之和，这个性质称为：A. 德摩根定律B. 幂集C. 并集原理D. 子集原理答案：C3. 命题逻辑中，以下哪个命题是真命题？A. (p ∧ ¬p) ∨ qB. (p ∨ ¬p) ∧ qC. (p ∨ q) ∧ ¬pD. (p ∧ q) ∨ ¬p答案：B4. 在图论中，一个无向图的边数至少是顶点数的多少倍才能保证图中至少存在一个环？A. 1B. 2C. 3D. 4答案：B5. 以下哪个算法用于生成一个集合的所有子集？A. 欧拉回路B. 哈密顿回路C. 深度优先搜索D. 子集生成算法答案：D6. 在关系数据库中，以下哪个操作用于删除表中的行？A. SELECTB. INSERTC. UPDATED. DELETE答案：D7. 以下哪个是有限自动机的状态？A. 初始状态B. 终止状态C. 转移状态D. 所有选项答案：D8. 以下哪个是图论中的一个基本定理？A. 欧拉定理B. 哈密顿定理C. 狄拉克定理D. 所有选项答案：D9. 在命题逻辑中，以下哪个是德摩根定律的逆命题？A. ¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬qB. ¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬qC. ¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∨ ¬qD. ¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∧ ¬q答案：B10. 在集合论中，以下哪个操作表示集合的差集？A. ∩B. ∪C. -D. ×答案：C二、填空题（每空3分，共30分）11. 集合{1, 2, 3}的幂集包含________个元素。
《离散数学》期末考试卷05-06（2）
《离散数学》期末考试卷05-06（2）安徽大学2005-2006学年第二学期《离散数学》期末考试试卷（A 卷）（时间120分钟）年级院系专业姓名学号座位号一、选择题（每小题2分，共20分）1．在自然数集N 上，下列运算中可结合的是（）A ．b a b a -=*B ．},max{*b a b a = C ．b a b a 2*+= D ．b a b a -=* 2．二元运算*有两个左零元，则*一定（）A ．满足结合律B ．满足交换律C ．不满足结合律D ．不满足交换律3．设><,*A 是二元代数系统，元素A a ∈有左逆元1-l a 和右逆元1-r a ，若运算*满足（）律，则11--=r l a a 。
A ．结合B ．交换C ．等幂D ．分配 4．下列代数><,*S 中，（）是群。
A ．}5,3,,1,0{=S ，*是模7加法B ．Q S =（有理数集），*是普通乘法C ．Z S =（整数集合），*是一般减法D ．}9,5,4,3,1{=S ，*是模11乘法 5．群>+<1212,N 总共有（）子群。
A ．4 B ．6 C ．8 D ．12题号一二三四五六七八得分得分得分6．下面（）集合关于指定的运算构成环。
A ．},|}2{3Z b a b a ∈+，关于数的加法和乘法 B ．n {阶实数矩阵}，关于矩阵的加法和乘法 C ．},|}2{Z b a b a ∈+，关于数的加法和乘法 D ．??∈?Z b a a b b a ,，关于矩阵的加法和乘法 7．N 是自然数集，≤是小于等于关系，则≤><,N 是（） A ．有界格 B ．有补格 C ．分配格D ．有补分配格8．在布尔格>⊕<1,0,',,*,B 中有3个原子1a ,2a ,3a ，则='1a （）A ．32*a aB ．32a a ⊕C ．'3'2*a aD ．'3'2a a ⊕ 9．含有5个结点、3条边的不同构的简单图有（） A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个10．一个无向图有4个结点，其中3个度数为2,3,3，则第4个结点度数不可能是（） A ．0 B ．1 C ．2 D ．4二、填空题（每空2分，共20分）1．设>?<,G 为非零实数乘法群，G G f →:是同态映射，xx f 1)(=，则=)(G f ________，=)(f Ker ________。
安徽大学离散数学期末考试试卷 (5)
安徽大学20 11 —20 12 学年第 1 学期《 离散数学（上） 》考试试卷（B 卷）（闭卷 时间120分钟）考场登记表序号一、单项选择题（每小题2分，共20分）1. 在下述公式中是重言式为（ ） A ．()()P Q P Q ∧→∨； B ．()(()())P Q P Q Q P ↔↔→∧→； C ．()P Q Q ⌝→∧；D ．()P P Q ↔∨。
2. 设{,{1},{1,2}}S =∅，则2S有（ ）个元素。
A ．3；B ．6；C ．7；D ．8 。
3.下列各项中，右侧结论不能从其左侧前提有效推出的是（ ） A. )()()),()((x xG x xM x G x M x ∃⇒∃→∀； B. )()()),()((x xF x B x x B x F x ∃⇒⌝∀→⌝∀；C. )()())()((x xQ x xP x Q x P x ∀→∀⇒→∀；D. )()())()((x xQ x xP x Q x P x ∀∨∀⇒∨∀。
4.对任意集合D C B A ,,,，下列结论不正确的是（ ）A.)()()(C B C A C B A ---=--；B.)()()(C A B A C B A ⋂⋃-=--； C.)()()()(D B C A D C B A ⋃-⋂=-⋂-； D.)()()()(D B C A D C B A -⋃-=⋃-⋃。
5. 量词的约束范围称为量词的（ ）A. 定义域；B. 个体域；C. 辖域；D. 值域。
6. 设个体域为{,}A a b = ,公式()()xP x xS x ∀∧∃在A 上消去量词后应为（ ） A.()()P x S x ∧； B.()()()()()P a P b S a S b ∧∧∨； C.()()P a P b ∧； D.()()()()P a P b S a S b ∧∧∨。
7.设},,{c b a X =，X I 是X 上恒等关系，要使R c a a c c b b a I X ⋃><><><><⋃},,,,,,,{为X 上的等价关系，R 应取（ ）A. },,,{><><c b a b ；B. },,,{><><a c a b ；C. },,,{><><b c a b ；D. },,,{><><a b c a 。
2006-2007(1A)离散数学期末试卷及答案2006-2007(1A)离散数学期末试卷及答案
安徽大学2006-2007学年第1学期 《离散数学》期末考试试卷（A 卷）（时间120分钟）开课院（系、部） 姓名 学号 .1A C 2A 3I.A 4A C 5A 6R I.III. R R ⋅不是传递的A 、仅I ；B 、仅II ；C 、I 和II ；D 、全真。
7．R 是二元关系且4R R =，则一定是传递的是（ ）A 、4R ；B 、3R ；C 、2R ； D 、R 。
8．设1R 和2R 是非空集合A 上的等价关系，确定下列各式，哪些是A 上的等价关系（ ）A 、1R A A -⨯； B 、21R R -； C 、21R R ； D 、21R R 。
9．函数:f X Y →可逆的充要条件是：（ ）A 、AB =； B 、||||A B =；C 、f 为双射；D 、f 为满射。
10．下列集合中，哪个集合的基数与其他集合的基数不同（ ）A 、n N （N 为自然数集，N n ∈）； B 、NN （N 为自然数集）； C 、R R ⨯（R 为实数集）； D 、x 坐标轴上所有闭区间集合；二、填空题（每小题2分，共32分）1．全集}5,4,3,2,1{=U ，}5,1{=A ，}4,3,2,1{=B ，}5,2{=C ，则可求出：=B A _________________________________；=)()(C A ρρ ___________________________；=C _____________________________________。
2．设=A B B A B A -B A ⊕3．设{=A )(R r )(R s )(R t4．设5．设函数f (1f f -(1f f-当f 为当f 为三、综合题（第2小题16分，其它各小题8分，共48分）1．求命题公式P R Q P →⌝∨∧))((的主析取范式与主合取范式 （要求用等值演算的方法求解）。
（8分）2①(P →②前提：3．设集合}}{},b a 的分）4．设RR 是5．已知f :①f ②f ③计算})0({1-f 。
安徽大学期末试卷2005-2006(1A)离散数学期末试卷.doc
安徽大学期末试卷安徽大学2005-2006学年第一学期 《离散数学》期末考试试卷（A 卷）（时间120分钟）年级 院系专业 姓名 学号 座位号一、选择题（每小题2分，共20分）1．下列语句中哪个是真命题？ （ C ）A ．我正在说谎。
B ．严禁吸烟。
C ．如果521=+，那么雪是黑的。
D ．如果321=+，那么雪是黑的。
2．命题公式R Q P ∧→的对偶式为： （ A ） A ．)(R Q P ∨→ B ．)(R Q P ∨∧⌝ C ．)(R Q P ∧∨⌝ D ．)(R Q P ∨∧3．命题公式R Q P →∧⌝)(的主析取范式中含极小项的个数为： （ C ） A ．0 B ．3 C ．5 D ．8 4．谓词公式(,)x yP x y ∀∃的否定式是：（ B ） A ．(,)x y P x y ∀∀⌝ B ．(,)x y P x y ∃∀⌝C ．(,)x y P x y ∀∃⌝D ．(,)x y P x y ∃∃⌝ 5．下列命题中，假命题的是： （ D ）A ．}}{{}{x x x Y ∈B ．}}{{}{}{x x x -⊆C ．若x x A Y }{=，则A x ∈且A x ⊆D ．φ=-B A ⇔B A =6．设集合A 上有n 个元素，则A 上的既对称又反对称的二元关系共有（ D ） A ．0个 B ．2n 个 C ．2n 个 D ．2n个7．下列},,{c b a X =上的关系式中，不具有传递性质的是： （ B ） A ．},{1><=b a R B ．},,,{2><><=c a b a R C ．},,,{3><><=a a b a R D ．},,,{4><><=c b b a R8．设}2,1,0{=A ，},{b a B =，则从A 到B 的全函数有多少个？ （ A ） A ．32+个 B ．32个 C ．32⨯个 D ．23个9．I 是整数集合，函数f 定义为：I I →，x x x f 2)(-=，则f 是： （ ） A ．单射 B ．满射 C ．双射 D ．非单射也非满射 10．下列无限集合中，哪个集合的基数不等于c 。
安徽大学期末试卷离散数学期末试卷及答案.doc
安徽⼤学期末试卷离散数学期末试卷及答案.doc⼀．判断题（共10⼩题，每题1分，共10分）在各题末尾的括号内画表⽰正确，画表⽰错误：1．设p、q为任意命题公式，则(p∧q)∨p ? p ( )2．?x(F(y)→G(x)) ? F(y)→?xG(x)。
( )3．初级回路⼀定是简单回路。
( )4．⾃然映射是双射。
( )5．对于给定的集合及其上的⼆元运算，可逆元素的逆元是唯⼀的。
( )6．群的运算是可交换的。
( )7．⾃然数集关于数的加法和乘法构成环。
( )8．若⽆向连通图G中有桥，则G的点连通度和边连通度皆为1。
( )9．设A={a,b,c},则A上的关系R={,}是传递的。
( )10．设A、B、C为任意集合，则A?(B?C)=(A?B)?C。
( )⼆、填空题（共10题，每题3分，共30分）11．设p：天⽓热。
q：他去游泳。
则命题“只有天⽓热，他才去游泳”可符号化为。
12．设M(x)：x是⼈。
S(x)：x到过⽉球。
则命题“有⼈到过⽉球”可符号化为。
13．p?q的主合取范式是。
14．完全⼆部图K r,s（r < s）的边连通度等于。
15．设A={a,b}，,则A上共有个不同的偏序关系。
16．模6加群中，4是阶元。
17．设A={1,2,3,4,5}上的关系R={<1,3>,<1,5>,<2,5>,<3,3>,<4,5>}，则R的传递闭包t(R) = 。
.18．已知有向图D的度数列为(2,3,2,3)，出度列为(1,2,1,1)，则有向图D的⼊度列为。
19．n阶⽆向简单连通图G的⽣成树有条边。
20．7阶圈的点⾊数是。
三、运算题（共5⼩题，每⼩题8分，共40分）21．求?xF(x)→?yG(x,y)的前束范式。
22．已知⽆向图G有11条边，2度和3度顶点各两个，其余为4度顶点，求G 的顶点数。
23．设A={a,b,c,d,e,f}，R=I A?{,}，则R是A上的等价关系。
大学离散数学期末考试题库和答案
大学离散数学期末考试题库和答案一、单项选择题（每题2分，共20分）1. 在集合论中，以下哪个符号表示“属于”？A. ∈B. ∉C. ⊆D. ⊂答案：A2. 如果A和B是两个集合，那么A∪B表示什么？A. A和B的交集B. A和B的并集C. A和B的差集D. A和B的补集答案：B3. 以下哪个命题是真命题？A. ∀x∈N, x^2 > xB. ∃x∈N, x^2 = x + 1C. ∀x∈N, x^2 ≥ xD. ∃x∈N, x^2 < x答案：C4. 在图论中，一个无向图的边数为E，顶点数为V，那么这个图的生成树的边数是多少？A. EB. V-1C. VD. E-1答案：B5. 以下哪个算法是用于解决旅行商问题（TSP）的？A. 动态规划B. 贪心算法C. 分支限界法D. 回溯法答案：D6. 在逻辑中，以下哪个符号表示“蕴含”？A. ∧B. ∨C. →D. ↔答案：C7. 以下哪个是二进制数？A. 1010B. 2A3C. 12BD. ZYX答案：A8. 在关系数据库中，以下哪个操作用于删除表中的行？A. SELECTB. INSERTC. UPDATED. DELETE答案：D9. 以下哪个是布尔代数的基本运算？A. 并集B. 交集C. 差集D. 所有以上答案：D10. 在离散数学中，以下哪个概念用于描述两个集合之间的关系？A. 函数B. 映射C. 序列D. 所有以上答案：D二、多项选择题（每题3分，共15分）11. 以下哪些是集合的基本运算？A. 并集B. 交集C. 差集D. 补集答案：ABCD12. 在图论中，以下哪些是图的基本类型？A. 无向图B. 有向图C. 完全图D. 二分图答案：ABCD13. 在逻辑中，以下哪些是命题逻辑的基本连接词？A. 与（∧）B. 或（∨）C. 非（¬）D. 蕴含（→）答案：ABCD14. 在关系数据库中，以下哪些是SQL的基本操作？A. SELECTB. INSERTC. UPDATED. DELETE答案：ABCD15. 在离散数学中，以下哪些是组合数学的基本概念？A. 排列B. 组合C. 二项式系数D. 图论答案：ABC三、填空题（每题3分，共30分）16. 如果集合A={1, 2, 3}，集合B={2, 3, 4}，那么A∩B=______。
离散数学期末考试试题(有几套带答案)
离散数学试题（Ａ卷及答案)一、证明题（１0分)1)(⌝Ｐ∧(⌝Ｑ∧R））∨(Q∧R)∨(Ｐ∧Ｒ）⇔Ｒ证明：左端⇔(⌝Ｐ∧⌝Q∧R）∨（(Q∨P)∧Ｒ)⇔(（⌝P∧⌝Q）∧R))∨(（Q∨P)∧Ｒ）⇔(⌝（Ｐ∨Ｑ)∧R）∨(（Q∨P)∧R）⇔（⌝(Ｐ∨Ｑ)∨(Q∨P））∧R⇔（⌝(Ｐ∨Q)∨（Ｐ∨Q））∧R⇔T∧R（置换）⇔R2)∃x（A(ｘ)→B（x))⇔∀ｘＡ（x）→∃xB(x)证明：∃x(A（x)→B(x)）⇔∃x(⌝A(x)∨B(x））⇔∃x⌝A（ｘ）∨∃xB（x)⇔⌝∀xA （ｘ）∨∃xB(x)⇔∀xA(ｘ）→∃ｘB(ｘ）二、求命题公式(P∨（Q∧R))→(Ｐ∧Ｑ∧Ｒ)的主析取范式和主合取范式(10分)证明：(P∨(Q∧R))→(P∧Q∧R)⇔⌝(Ｐ∨（Q∧Ｒ)）∨（Ｐ∧Q∧R)）⇔（⌝P∧(⌝Ｑ∨⌝Ｒ)）∨(P∧Q∧R)⇔（⌝P∧⌝Q）∨（⌝P∧⌝R）)∨（P∧Q∧R）⇔（⌝Ｐ∧⌝Q∧R）∨(⌝P∧⌝Q∧⌝R）∨（⌝P∧Q∧⌝R))∨(⌝P ∧⌝Q∧⌝Ｒ))∨(P∧Q∧R）⇔m0∨m１∨ｍ2∨m7⇔M3∨M4∨M5∨Ｍ６三、推理证明题（１0分)1）Ｃ∨D, (C∨D)→⌝E, ⌝E→(Ａ∧⌝Ｂ）, （A∧⌝B)→（R∨S)⇒Ｒ∨S证明：(1) （C∨D）→⌝E ﻩﻩ(2）⌝Ｅ→（A∧⌝B) ﻩ(3）（C∨Ｄ)→(Ａ∧⌝Ｂ）(4）（Ａ∧⌝Ｂ)→（R∨S）（5) (Ｃ∨D)→(R∨Ｓ) ﻩ(6) C∨Ｄ（７） R∨S2）∀ｘ(P(ｘ)→Q(y)∧Ｒ(x）),∃xP(ｘ)⇒Q（y）∧∃ｘ（P(x)∧Ｒ（x))证明(１)∃xＰ(ｘ)(2)P（ａ)(3)∀ｘ（P(x)→Ｑ(y)∧R（x))(４)P（ａ）→Q(y）∧Ｒ(a）(5)Ｑ(ｙ)∧Ｒ(a）(６)Q（y)(7)R(a）(８)P(ａ）(9)P（a)∧R（a)（10)∃ｘ(Ｐ（x）∧R(x）)(１1)Ｑ（y）∧∃ｘ(P(ｘ)∧Ｒ(x）)四、设m是一个取定的正整数,证明:在任取ｍ＋1个整数中，至少有两个整数，它们的差是ｍ的整数倍证明设1a,2a,…,1+m a为任取的m+1个整数，用ｍ去除它们所得余数只能是０,１，…，m－1,由抽屉原理可知,1a,2a,…,1+m a这m+1个整数中至少存在两个数sa和t a，它们被m除所得余数相同,因此s a和t a的差是m的整数倍。
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2.下列命题是重言式的是（ ）
A. (P Q) (Q P) ；
C. P Q (P Q) ；
姓名
四
B. (P Q P) (P Q) ；
D. (P (Q R)) P Q 。
3. 设解释 R 如下：论域 D 为实数集， a 0 ， f (x, y) x y ， f (x, y) x y 。下列公式在 R 下为
2. 给定集合 A {1,2,3,4,5,6}上的偏序关系
R { 6,2 , 2,1 , 6,1 , 4,2 , 4,3 , 4,1 , 3,1 , 5,3 , 5,1 } I A 。 求：（1）给出了偏序集合 A, R 的哈斯图；（2 分）
6. 设 I 为整数集合，则 I 上的二元关系 R { x, y || x y | 4}具有（ ）
A.自反性和对称性； B.反自反性和对称性； C.反自反性和传递性； D.反对称性和传递性。
7. 设 R 为非空集合 A 上的关系 R 的逆关系，则下列结论不成立的是（
A.若 R 为偏序，则 R 为偏序；
五
B. xA( f (a, x), a) ；
B.若 R 为拟序，则 R 为拟序；
《 离散数学 》试卷 第 1 页 共 4 页
对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术关，系电通，力1根保过据护管生高线产中0不工资仅艺料可高试以中卷解资配决料置吊试技顶卷术层要是配求指置，机不对组规电在范气进高设行中备继资进电料行保试空护卷载高问与中题带资2负料2，荷试而下卷且高总可中体保资配障料置各试时类卷，管调需路控要习试在题验最到；大位对限。设度在备内管进来路行确敷调保设整机过使组程其高1在中正资，常料要工试加况卷强下安看与全22过，22度并22工且22作尽22下可护都能1关可地于以缩管正小路常故高工障中作高资；中料对资试于料卷继试连电卷接保破管护坏口进范处行围理整，高核或中对者资定对料值某试，些卷审异弯核常扁与高度校中固对资定图料盒纸试位，卷置编工.写况保复进护杂行层设自防备动腐与处跨装理接置，地高尤线中其弯资要曲料避半试免径卷错标调误高试高等方中，案资要，料求编试技5写、卷术重电保交要气护底设设装。备备置管4高调、动线中试电作敷资高气，设料中课并技3试资件且、术卷料中拒管试试调绝路包验卷试动敷含方技作设线案术，技槽以来术、及避管系免架统不等启必多动要项方高方案中式；资，对料为整试解套卷决启突高动然中过停语程机文中。电高因气中此课资，件料电中试力管卷高壁电中薄气资、设料接备试口进卷不行保严调护等试装问工置题作调，并试合且技理进术利行，用过要管关求线运电敷行力设高保技中护术资装。料置线试做缆卷到敷技准设术确原指灵则导活：。。在对对分于于线调差盒试动处过保，程护当中装不高置同中高电资中压料资回试料路卷试交技卷叉术调时问试，题技应，术采作是用为指金调发属试电隔人机板员一进，变行需压隔要器开在组处事在理前发；掌生同握内一图部线纸故槽资障内料时，、，强设需电备要回制进路造行须厂外同家部时出电切具源断高高习中中题资资电料料源试试，卷卷线试切缆验除敷报从设告而完与采毕相用，关高要技中进术资行资料检料试查，卷和并主检且要测了保处解护理现装。场置设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。
大学《离散数学》期末考试试卷及答案(1)
大学《离散数学》期末考试试卷及答案(1)一、选择题1. 离散数学的主要研究对象是（）。
A. 连续的数学结构B. 有限的数学结构C. 数学的综合应用D. 数学的哲学思考2. 命题逻辑是离散数学的一个重要组成部分，它主要研究（）。
A. 命题之间的真假关系B. 变量之间的关系C. 函数之间的关系D. 集合之间的关系3. 集合的基本运算包括（）。
A. 并、交、差、补B. 加、减、乘、除C. 包含、相等、不等、自反D. 大于、小于、等于、不等于二、填空题1. 若集合A={m|2m-1>3}，则A中的元素为______。
2. 有一个集合A={1，2，3}，则集合A的幂集为______。
3. 若命题p为真，命题q为假，则复合命题“p∧q”的真值为______。
三、解答题1. 请写出离散数学中常用的数学符号及其含义。
2. 请解释命题逻辑中的充分必要条件及其符号表示，并给出一个例子。
3. 请定义集合的笛卡尔积，并给出两个集合进行笛卡尔积运算的例子。
四、问答题1. 离散数学在计算机科学中有着重要的应用，请列举三个与计算机科学相关的离散数学应用领域并简要介绍。
2. 请简要解释归纳法在离散数学中的作用，并给出一个使用归纳法证明的例子。
3. 什么是有向图？请给出一个有向图的例子，并解释该图中的关系。
参考答案：一、选择题1. B2. A3. A二、填空题1. A={m|2m-1>3}2. {{}, {1}, {2}, {3}, {1,2}, {1,3}, {2,3}, {1,2,3}}3. 假三、解答题1. 常用数学符号及含义：- ∪：并，表示集合的合并操作。
- ∩：交，表示集合的交集操作。
- ∖：差，表示减去一个集合中的元素。
- ⊆：包含，表示一个集合包含于另一个集合。
- =：相等，表示两个集合具有相同的元素。
2. 充分必要条件是指一个命题的成立与另一个命题的成立互为必要条件，若A是B的充分必要条件，那么当A成立时B一定成立，且当A不成立时B也一定不成立。
离散数学期末复习试题及答案（一）
离散数学期末复习试题及答案（一）离散数学习题参考答案第一章集合１．分别用穷举法，描述法写出下列集合（１）偶数集合（２）36的正因子集合（３）自然数中3的倍数（４）大于１的正奇数(1)E={?，-6，-4，-2，0，2，4，6，?}={2 i | i∈I }(2) D= { 1, 2, 3, 4, 6, } = {x>o | x|36 }(3) N3= { 3, 6, 9, ```} = { 3n | n∈N }(4) A d= {3, 5, 7, 9, ```} = { 2n+1 | n∈N }２．确定下列结论正确与否（１）φ∈φ ×（２）φ∈｛φ｝√（３）φ?φ √（４）φ?｛φ｝√（５）φ∈｛ａ｝×（６）φ?｛ａ｝√（７）｛ａ，ｂ｝∈｛ａ，ｂ，ｃ，｛ａ，ｂ，ｃ｝｝×（８）｛ａ，ｂ｝?｛ａ，ｂ，ｃ，｛ａ，ｂ，ｃ｝｝√（９）｛ａ，ｂ｝∈｛ａ，ｂ，｛｛ａ，ｂ｝｝｝×（１０）｛ａ，ｂ｝?｛ａ，ｂ，｛｛ａ，ｂ｝｝｝√３．写出下列集合的幂集（１）｛｛ａ｝｝{φ, {{ a }}}( 2 ) φ{φ}（３）｛φ，｛φ｝｝{φ, {φ}, {{φ}}, {φ,{φ}} }（４）｛φ，ａ，｛ａ，ｂ｝｝{φ, {a}, {{a,b }}, {φ}, {φ, a }, {φ, {a,b }},{a, {a b }}, {φ,a,{ a, b }} }（５）Ｐ（Ｐ（φ））{φ, {φ}, {{φ}}, {φ,{φ}} }４．对任意集合Ａ，Ｂ，Ｃ，确定下列结论的正确与否（１）若Ａ∈Ｂ，且Ｂ?Ｃ，则Ａ∈Ｃ√（２）若Ａ∈Ｂ，且Ｂ?Ｃ，则Ａ?Ｃ×（３）若Ａ?Ｂ，且Ｂ∈Ｃ，则Ａ∈Ｃ×（４）若Ａ?Ｂ，且Ｂ∈Ｃ，则Ａ?Ｃ×５．对任意集合Ａ，Ｂ，Ｃ，证明右分配差差左=--=--)C A ()B A ()C B (A M .D )C B (A )C B (A )C A ()B A ()C B (A )1( 右差分配差左右差的结论差左=--=-------=-)C A ()B A ()C A ()B A ()C B (A M .D )C B (A )2)C A ()B A ()C A ()B A ()1()C B (A )1)C A ()B A ()C B (A )2( 右交换结合幂等差左=--=-)C A ()B A (,)C B ()A A ()C B (A M .D )C B (A )C A ()B A ()C B (A )3( ))B )B (A ())B B ()B A ((,)B )B A (()B )B A ((B )B A (BA B )B A )(4( --⊕=⊕+结合分配对称差差左右零一互补==φ-φ-)B A ()B A ()A ()U )B A (( )C B (A )C B (A M .D )C B (A C )B A ()C B (A C )B A )(5( --=--差结合差左右差结合交换结合差左=----=--B )C A (B )C A ()B C (A )C B (A C )B A (B)C A (C )B A )(6( 左交换零一互补分配差右=------------=--C )B A ()5()C B (A )B C (A )U )B C ((A ))C C ()B C ((A ))C B (C (A ))C B (C (A )5()C B ()C A (C )B A )(7(６．问在什么条件下，集合Ａ，Ｂ，Ｃ满足下列等式时等式成立须左若要右右左A C ),C B (A C ,)C A ()B A (C)B A ()C B (A )1(?∴==时等式成立是显然的右左φ=∴?=-??=-B A ,B A ,B A B A A , AB A )2(时等式成立代入原式得φ==∴φ=φ-φ=?==-B A ,A ,B ,B B ,B B A BB A )3(时等式成立只能B A ,A B ,A B ,B A ,B A ,A B B A AB B A )4(=∴?φ=-?φ=-φ==-=-矛盾当矛盾当若A B A b ,A b ;A B A b ,A b ,B b ,B ,B AB A )5(=⊕∈?=⊕?∈∈?φ≠φ==⊕}时等式成立是显然的左右B A BA AB ,B A B BA ,B A A ,B A B A ,BA B A )6(=∴==时等式成立左φ=∴=-=====--C B A A )C B (A )C B (A )C B (A )C A ()B A (A)C A ()B A )(7(时等式成立左C A ,B A ),C B (A )C B (A )C B (A )C B (A )C A ()B A ()C A ()B A )(8(??∴?φ=-====φ=--时等式成立左)C B (A )C B (A )C B (A )C B (A )C A ()B A ()C A ()B A )(9(?∴φ=-====φ=--时等式成立知由C A B A ,C A B A ),C A ()B A (,)6()C A ()B A ()C A ()B A ())C A ()B A (())C A ()B A (()C A ()B A )(10(=∴-=--=---=--φ=-----φ=-⊕-时等式成立B A B )B A (U )B A ()A A ()B A ()A B (A B)A B (A )11(?∴=====-７．设Ａ＝｛ａ，ｂ，｛ａ，ｂ｝，｝，求下列各式（１）φ∩｛φ｝=φ（２）｛φ｝∩｛φ｝={φ}（３）｛φ，｛φ｝｝－φ={φ,{φ}}（４）｛φ，｛φ｝｝－｛φ｝= {{φ}}（５）｛φ，｛φ｝｝－｛｛φ｝｝={φ}（６）Ａ－｛ａ，ｂ｝={{a,b}, φ}（７）Ａ－φ = A（８）Ａ－｛φ｝={a,b,{a,b}}（９）φ－Ａ=φ（１０）｛φ｝－Ａ=φ８．在下列条件下，一定有Ｂ＝Ｃ吗？（１） C A B A =否，例：A={1，2，3}，B={4}，C={3,4},C B ,}4,3,2,1{C A B A ≠==而。
大学《离散数学》期末考试试卷及答案 (6)
《离散数学》试卷 共3页第1页安徽大学2005-2006学年第一学期 《离散数学》期末考试试卷（A 卷）（时间120分钟）年级 院系专业 姓名 学号 座位号一、选择题（每小题2分，共20分）1．下列语句中哪个是真命题？ （ C ）A ．我正在说谎。
B ．严禁吸烟。
C ．如果521=+，那么雪是黑的。
D ．如果321=+，那么雪是黑的。
2．命题公式R Q P ∧→的对偶式为： （ A ） A ．)(R Q P ∨→ B ．)(R Q P ∨∧⌝ C ．)(R Q P ∧∨⌝ D ．)(R Q P ∨∧3．命题公式R Q P →∧⌝)(的主析取范式中含极小项的个数为： （ C ） A ．0 B ．3 C ．5 D ．8 4．谓词公式(,)x yP x y ∀∃的否定式是：（ B ） A ．(,)x y P x y ∀∀⌝ B ．(,)x y P x y ∃∀⌝C ．(,)x y P x y ∀∃⌝D ．(,)x y P x y ∃∃⌝ 5．下列命题中，假命题的是： （ D ）A ．}}{{}{x x x ∈B ．}}{{}{}{x x x -⊆C ．若x x A }{=，则A x ∈且A x ⊆D ．φ=-B A ⇔B A = 6．设集合A 上有n 个元素，则A 上的既对称又反对称的二元关系共有（ D ） A ．0个 B ．2n 个 C ．2n 个 D ．2n个7．下列},,{c b a X =上的关系式中，不具有传递性质的是： （ B ） A ．},{1><=b a R B ．},,,{2><><=c a b a R C ．},,,{3><><=a a b a R D ．},,,{4><><=c b b a R8．设}2,1,0{=A ，},{b a B =，则从A 到B 的全函数有多少个？ （ A ） A ．32+个 B ．32个 C ．32⨯个 D ．23个9．I 是整数集合，函数f 定义为：I I →，x x x f 2)(-=，则f 是： （ ） A ．单射 B ．满射 C ．双射 D ．非单射也非满射 10．下列无限集合中，哪个集合的基数不等于c 。
离散数学期末考试题及答案
离散数学期末考试题及答案一、选择题（每题2分，共20分）1. 在集合论中，表示两个集合A和B的并集的符号是：A. ∩B. ∪C. ⊂D. ⊆2. 以下哪个命题逻辑表达式是真命题，当P为真，Q为假时？A. ¬PB. P ∧ QC. P ∨ QD. P → Q3. 如果函数f: A → B是一个单射，那么它不能是：A. 满射B. 双射C. 恒等函数D. 逆函数4. 在图论中，一个图G是连通的，当且仅当：A. G是无向图B. G是简单图C. G是完全图D. 对于任意两个顶点，都存在一条路径5. 以下哪个不是组合数学中的计数原理？A. 加法原理B. 乘法原理C. 排列D. 组合二、简答题（每题10分，共30分）6. 解释什么是二元关系，并给出一个例子。
7. 描述什么是有向图和无向图的区别。
8. 什么是等价关系，它有哪些性质？三、计算题（每题15分，共30分）9. 给定集合A = {1, 2, 3, 4}，B = {a, b, c}，定义函数f: A → B，其中f(1) = a, f(2) = b, f(3) = c, f(4) = a。
判断f是否是单射、满射或双射，并给出理由。
10. 计算以下命题逻辑表达式的真值表：(P ∧ Q) → (¬P ∨ R)，其中P、Q、R是命题变量。
四、证明题（每题20分，共20分）11. 证明：如果一个图G是连通的，那么它的任意子图也是连通的。
答案一、选择题1. B2. C3. A4. D5. D二、简答题6. 二元关系是定义在两个集合上的一个关系，它将第一个集合中的每个元素与第二个集合中的元素相关联。
例如，如果A是人名的集合，B是年龄的集合，关系R可以是“比...年长”，那么(Alice, 30) ∈ R表示Alice比30岁年长。
7. 有向图由顶点和有向边组成，每条边都有一个方向，表示从一个顶点指向另一个顶点。
无向图由顶点和无向边组成，边没有方向。
《离散数学》试卷及答案精选全文完整版
H(x)：x是身体健康的；
S(x)：x是科学家
C(x)：x是事业获得成功的人
置换规则。
3、设集合|A|=101，S ,且|S|为奇数，则这样的S有2101/2或2100个。
4、设mi是公式G的的主析取范式中的一个极小项，则mi的对偶式不一定是（填“是”/“不是”/“不一定是” ） G的主合取范式中的一个极大项。
5、由3个元素组成的有限集上所有的等价关系有5个
6、给定解释I如下: (1) Di:={2,3}； (2) a=3； (3) 函数f(x)为f(2)=2，f(3)=3； (4) 谓词：F(x)为F(2):=1,F(3):=0;G(x,y)为当i=j时，G(i,j):=1；当i≠j时，G(i,j):=0；其中i,j=2,3;
ac>0并且cu>0
若u>0,则c>0,a>0,因此有ac>0;
若u<0,则c<0,a<0, 也有ac>0;
因此有（a+bi）R（u+vi）
所以R在C*是传递的。所以R是C*上的等价关系。
2、在一阶逻辑自然推理系统F中，构造下面推理的证明。个体域是人的集合。
“每位科学家都是勤奋的，每个勤奋又身体健康的人在事业中都会获得成功。存在着身体健康的科学家。所以，存在着事业获得成功的人。”（15分）
2.设A={1,2,3…10}，定义A上的二元关系R={<x,y>|x,y∈A∩x+y=10}，试讨论R关于关系的五个方面的性质并说明理由（5分）
解答：R={<1,9>,<9,1>,<2,8>,<8, 2 >,<3,7>,<7,3>,<4,6>,<6, 4 >,<5, 5 >}
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安徽大学20 09 — 20 10 学年第 1 学期 《离散数学（上）》考试试卷（A 卷）（时间120分钟）院/系 专业 姓名 学号题 号 一 二 三 四 五 总分得 分一、单选题（每小题2分，共20分）1. 设A={a,b,c}，A 上二元关系R={〈a,a 〉，〈b,b 〉,〈a,c 〉}，则关系R 的对称闭包S(R)是( )A.R ∪I AB.RC.R ∪{〈c,a 〉}D.R ∩I A 2. 设X={a,b,c},I x 是X 上恒等关系，要使I x ∪{〈a,b 〉，〈b,c 〉，〈c,a 〉，〈b,a 〉}∪R 为X 上的等价关系，R 应取( ) A. ｛〈c,a 〉，〈a,c 〉｝ B.{〈c,b 〉，〈b,a 〉} C. {〈c,a 〉，〈b,a 〉} D.{〈a,c 〉，〈c,b 〉} 3. 下列式子正确的是( )A. ∅∈∅B.∅⊆∅C.{∅}⊆∅D.{∅}∈∅ 4. 设解释R 如下：论域D 为实数集，a=0, f(x,y)=x-y, A(x,y):x<y.下列公式在R 下为真的是( )A.(∀x)(∀y)(∀z)(A(x,y)→A(f(x,z),f(y,z)))B.(∀x)A(f(a,x),a)C.(∀x)(∀y)（A(f(x,y),x))D.(∀x)(∀y)(A(x,y)→A(f(x,a),a))5. 设B 是不含变元x 的公式，谓词公式(∀x)(A(x)→B)等价于( )A.(∃x)A(x)→BB.(∀x)A(x)→BC.A(x)→BD.(∀x)A(x)→(∀x)B6. 谓词公式(∀x)(P(x,y))→(∃z)Q(x,z)∧(∀y)R(x,y)中变元x( )A.是自由变元但不是约束变元B.既不是自由变元又不是约束变元C.既是自由变元又是约束变元D.是约束变元但不是自由变元7. 若P ：他聪明；Q ：他用功；则“他虽聪明，但不用功”，可符号化为( )A.P ∨QB.P ∧┐QC.P →┐QD.P ∨┐Q 8. 以下命题公式中，为永假式的是( )A.p →(p ∨q ∨r)B.(p →┐p)→┐pC.┐(q →q)∧pD.┐(q ∨┐p)→(p ∧┐p)9. 设1π和2π是非空集合A 的划分，则下列集合一定是A 的划分的是（ ）A.12ππUB.12ππIC.12ππ-D.1211()ππππ-I U10. 设N 和R 分别为自然数和实数集合，则下列集合中与其他集合的基数不同的集合是（ ）A.RB.N NC.()N ρD.nN （n N ∈）得分二、判断题（每小题1分，共10分。
对的打√，错的打×）1. （ ）命题联结词{⌝，∧，∨}是最小联结词组。
2. （ ）（P ∧Q ）∧⌝P 为矛盾式。
3. （ ）（（⌝P ∨Q ）∧（Q →R ））→（P →R ）为重言式。
4.（ ）A 、B 、C 是任意命题公式，如果A ∨C ⇔B ∨C ，一定有A ⇔B 。
5. （ ）若集合A 上的二元关系R 是对称的，R 的绝对补R 一定是对称的。
6. （ ）R 是A 上的二元关系，R 是自反的，当且仅当r(R)=R 。
7. （ ）集合A 上的等价关系确定了A 的一个划分。
8. （ ）有理数集是可数的。
9. （ ）若函数f ，g 为单射的则其复合函数也为单射的。
10. （ ）R 是集合A 上的关系，R 有传递性的充要条件是RoR ⊆R 。
三、填空题（每小空2分，共20分）1. 命题: ∅ ⊆ {{a}} ⊆ {{a},3,4,1} 的真值 = __ __ 。
2. 设A={a,b}, B={x | x 2－(a+b)x+ab = 0}, 则两个集合的关系为: A B 。
3. 设集合A ＝{a,b,c},B={a,b}, 那么 ρ(B)－ρ(A)= ____ __ 。
4. 公式))(),(()),()((x S z y R z y x Q x P x →∃∨→∀的自由变元是 , 约束变元是 。
5. n 个命题变元的真值有＿＿ ＿种不同的组合；n 个命题变元可构造＿ ＿＿个不同的主析取范式。
6. 集合{1,2,3,4}A =上有＿＿ ＿个不同的二元关系，＿＿ ＿个不同的等价关系。
7. 集合A 上的关系{1,2,2,1,2,3}<><><>的传递闭包为＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。
四、计算题（每小题10分，共30分）1. 先化简含P 、Q 、R 三个命题变元的命题公式G: ((P →Q)∧(P →R))→P ，然后求G 的主析取范式和主合取范式。
2. 设R是集合{1,2,3,4,5}A=上的关系{(1,1),(1,3),(2,2),(2,5),(3,1),(3,3),(4,4),(5,2),(5,5)} R=（1）画出R的关系图;（2）证明R是等价关系；（3）写出R的所有等价类。
3. 设,A R<>为偏序集，其中{1,2,,10}A=L，R是A上整除关系。
(1) 画出,A R<>的哈斯图；(2) 求A的极大元和极小元；(3) 令{3,4,6}B=，求B的极大元、极小元、最大元、最小元、上界、下界、上确界和下确界。
五、证明题（每小题10分，共20分）1. 设I 为整数集合，函数:f I I I I ⨯→⨯定义为：(,),f x y x y x y <>=<+->， 证明：f 是单射的但不是满射的。
2. 用推理规则证明：{ P ∨Q, P →R, Q →S, R →(⌝P ∧⌝Q)}蕴涵S 。
安徽大学20 09 —20 10 学年第 1 学期《离散数学（上）》考试试题（A 卷）参考答案及评分标准一、单选题（每小题2分，共20分）1.C ；2.D ；3.B ；4.A ；5.A ；6.C ；7.B ；8.C ；9.D ；10.D 。
二、判断题（每小题1分，共10分。
对的打√，错的打×）1.×；2.√；3.√；4.×；5.√；6.√；7.√；8.√；9.√；10.√。
三、填空题（每小空2分，共20分）1. 1；2. =；3. ∅；4. y,x ； x,z ；5.2n ；22n； 6.162；15； 7.{1,1,1,2,1,3,2,1,2,2,2,3}<><><><><><>。
四、计算题（每小题10分，共30分）1. 化简命题公式G ⇔ ((P →Q) ∧ (P →R)) → P ⇔ ⌝ ((⌝P ∨Q) ∧ (⌝P ∨R)) ∨ P 2分 ⇔ ((P ∧⌝Q) ∨ (P ∧⌝R)) ∨ P2分⇔ (P ∧⌝Q) ∨ (P ∧⌝R) ∨ P ⇔ ((P ∧⌝Q) ∨ P) ∨ (P ∧⌝R) ⇔ P ∨ (P ∧ ⌝R)⇔ P2分 G ⇔ (P ∧⌝Q ∧⌝R)∨(P ∧⌝Q ∧R)∨(P ∧Q ∧⌝R)∨(P ∧Q ∧R)(主析取范式)2分⇔ m 4∨m 5∨m 6∨m 7⇔()∑7,6,5,4⇔()3,2,1,0π⇔ M 0∧M 1∧M 2∧M 3⇔ (P ∨Q ∨R)∧(P ∨Q ∨⌝R)∧(P ∨⌝Q ∨R)∧(P ∨⌝Q ∨⌝R)(主合取范式) 2分2. {(1,1),(1,3),(2,2),(2,5),(3,1),(3,3),(4,4),(5,2),(5,5)}R =.(1) R 的关系图4分 (2) 因为 R 满足自反、对称和传递性，所以R 是等价关系；3分 (3) 等价类：{1, 3}, {2, 5}, {4}。
3分3. (1) ,A R <>的哈斯图为4分(2) A 的极大元为：6,7,8,9,10，极小元为1； 2分 (3) B 的极大元为：4,6，极小元为3,4；B 的最大元和最小元都不存在； 2分B 的上界不存在，下界为1；B 的上确界不存在，下确界为1。
2分五、证明题（每小题10分，共20分）1. （1）1122,,,x y x y I I∀<><>∈⨯，若),(),(2211><=><y x f y x f ，即>-+>=<-+<22221111,,y x y x y x y x ，则⎩⎨⎧-=-+=+22112211y x y x y x y x ， 3分易得21x x =且21y y =，因此1122,,x y x y <>=<>，所以f 是单射函数。
2分 （2）取,0,1p q I I <>=<>∈⨯，对,x y ∀<>，若>=<><q p y x f ,),(，则有01x y p x y q +==⎧⎨-==⎩，易得1/21/2x y =⎧⎨=-⎩，但,1/2,1/2x y I I <>=<->∉⨯， 3分 所以对于,p q I I <>∈⨯，不存在,x y I I <>∈⨯，使得>=<><q p y x f ,),(，所以f 不是满射的。
2分 2. 证:(1) P ∨Q P (2) R →(⌝P ∧⌝Q) P (3) ⌝R ∨⌝ (P ∨Q) T(2) (4) (P ∨Q)→⌝R T(3) 1分 (5) ⌝R T(1)(4) 2分 (6) P →R P (7) ⌝R →⌝P T (6) 1分 (8) ⌝P T(5)(7) 2分 (9) Q T(1)(8) 2分 (10) Q →S P (11) S T(9)(10) 2分 所以 { P ∨Q, P →R, Q →S, R →(⌝P ∧⌝Q)}蕴涵S .。