初中数学奥林匹克中的几何问题：第1章梅涅劳斯定理及应用附答案

第一章涅劳斯定理及应用

【基础知识】

梅涅劳斯定理 设A '，B '，C '分别是ABC △的三边BC ，CA ，AB 或其延长线上的点，若A '，B '，

C '三点共线，则1BA CB AC A B B A C B

'''

⋅⋅='''．

① C ′

B′

A'

A′

B′

C ′

A

D

C B D

C

B 图1-1

A

证明 如图11-，过A 作直线AD C A ''∥交BC 的延长线于D ，则 CB CA B A A D ''=''，AC DA C B A B

''

=

''，故 1BA CB AC BA CA DA A C B A C B A C A D A B

''''''

⋅⋅=⋅⋅=''''''． 注 此定理的证明还有如下正弦定理证法及面积证法．

正弦定理证法 设BC A α''=∠，CB A β''=∠，B A B γ''=∠，在BA C ''△中，有

sin sin BA C B α

γ

'=

'，同理，sin sin CB CA γβ'='，sin sin AC AB β

α

'=

'，此三式相乘即证． 面积证法 由A C B A C C S BA A C S '''''='△△，CB C CA B CB C CA B C CA B AC A AB B AC A AB AC A S S S S S CB B A S S S S S ''''''''''''''''''''+===='+△△△△△△△△△△，AC A C BA S AC C B S ''

''

'=

'△△，此三式相乘即证．

梅涅劳斯定理的逆定理 设A '，B '，C '分别是ABC △的三边BC ，CA ，AB 或其延长线上的点，若 1BA CB AC A C B A C B

'''

⋅⋅='''，

② 则A '，B '，C '三点共线．

证明 设直线A B ''交AB 于1C ，则由梅涅劳斯定理，得到1

11AC BA CB A C B A C A

''⋅⋅=''．

由题设，有1BA CB AC A C B A C B

'''

⋅⋅='''，即有

11AC AC C B C B '='． 又由合比定理，知

1AC AC AB AB

'

=

，故有1AC AC '=，从而1C 与C '重合，即A '，B '，C '三点共线． 有时，也把上述两个定理合写为：设A '，B '，C '分别是ABC △的三边BC ，CA ，AB 所在直线（包括三边的延长线）上的点，则A '，B '，C '三点共线的充要条件是 1BA CB AC A C B A C B

'''

⋅⋅='''． 上述①与②式是针对ABC △而言的，如图11-（整个图中有4个三角形），对于C BA ''△、B CA ''△、AC B ''△也有下述形式的充要条件：

1C A BC A B AB CA B C '''⋅⋅='''；1B A CB A C AC BA C B '''⋅⋅='''；1AB C A B C

BC A B CA

'''⋅⋅='''．

③ 第一角元形式的梅涅劳斯定理 设A '，B '，C '分别是ABC △的三边BC ，CA ，AB 所在直线（包括三边的延长线）上的点，则A '，B '，C '共线的充分必要条件是 sin sin sin 1sin sin sin BAA ACC CBB A AC C CB B BA

'''

⋅⋅='''∠∠∠∠∠∠．

④ C

A′

B'

C '

图1-2

A

证明 如图12-，可得 1

sin 21

sin 2

ABA AA C

AB AA BAA S BA A C S AA AC A AC '

'''⋅⋅'=

='''⋅⋅△△∠∠ sin sin AB BAA AC A AC

'

⋅=

'⋅∠∠．

同理，sin sin CB BC CBB B A AB B BA ''

⋅=

''⋅∠∠，sin sin AC AC ACC C B BC C CB ''⋅=''⋅∠∠． 以上三式相乘，运用梅涅劳斯定理及其逆定理，知结论成立．

第二角元形式的梅涅劳斯定理 设A '，B '，C '分别是ABC △的三边BC ，CA ，AB 所在直线上的点，点O 不在ABC △三边所在直线上，则A '，B '，C '三点共线的充要条件是 sin sin sin 1sin sin sin BOA COB AOC A OC B OA C OB

'''

⋅⋅='''∠∠∠∠∠∠．

⑤ A′

O

C

B

B'

C '

A 图1-3

证明 如图13-，由

BOA A OC S BA S A C

'''

=

'△△，有 sin sin BOA OC BA A OC OB A C

''

=⋅

''∠∠． 同理，sin sin COB OA CB B OA OC B A ''=⋅''∠∠，sin sin AOC OB AC C OB OA C B

''

=⋅

''∠∠．