在图形测量的过程中,渗透了哪些数学思想和方法。

一题.在图形测量的过程中,渗透了哪些数学思想和方法,请举例说

明。

在教学图形测量这部分内容时，如何渗透数学思想呢？下面结合一些具体案例来阐述。

1. 以图形测量公式推导为载体，让学生在操作、实践中感悟“转化”、“极限”、“函数”和“积分”的数学思想。

在直边图形公式的推导过程中，教师经常让学生利用学具进行操作活动，将新图形转化成学过的已知图形，从而找到新旧两个图形之间的对应关系，推导出计算公式，在这个过程中巧妙地渗透了转化的数学思想方法。

圆是第一、二学段学习的平面图形中唯一的一个曲线图形，是学生第一次了解π这个无理数 , 是学生第一次正式接触并运用极限的数学思想来解决曲线的

长度和圆形的面积等问题，因此对圆的周长以及面积的探索具有一定的挑战性，这个过程的学习有助于学生提高分析问题、解决问题的能力，获得基本的数学活动经验，体会” 转化” 、“极限”和“函数”的思想。

案例 1 ：圆的周长公式的推导

化曲为直 -------- 转化思想

我们只需得到圆的周长和直径有什么关系就可以了，那么我们又该怎样研究周长与直径的关系呢？

老师给每组同学准备了不同的实物：有圆纸片、纸杯或硬币。

拿出来，就你们小组的实验材料，谁来说说怎样得到我们所需要的数据（尤其是周长的数据）？（讨论）为什么要绕线？为什么要滚动？（化曲为直）

活动二：在圆的周长教学中，向学生介绍“ 割圆术” ，让学生经历正多边形到圆的形成过程，引导学生观察体验，随着边数越来越多，正多边形越来越像圆，感受极限思想。

然后又化曲为直：割之弥补，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣。

活动三：测量寻找周长与直径的关系 ------- 函数思想

在测量圆的周长和直径填写数据的过程中，感受直径变，圆的大小变，周长也随之变化，而它们的倍数关系不变，从而让学生体会到函数思想。

通过课件形象直观的演示周长和直径的关系，体会函数思想。

案例 2 ：圆的面积公式的推导

圆面积的探究活动

活动设计 : 学生利用手中学具，独立探究，小组合作，探索圆面积的计算方法。

核心问题：给学生提供几张圆形的纸片，小组合作探究，如何计算圆的面积？

这一活动的设计，给了学生充分的探究空间。通过对学生情况的把握，以及学生所经历的前面一系列认识和周长的教学活动，可以充分相信学生有自主探究的能力。通过圆面积的探究活动，使学生在亲身经历中体会转化的研究方法和极限的重要数学思想。

圆转化成学过的图形 -------- 转化思想 ( 课件演示 )

通过以上案例地分析，可以看出，数学思想蕴涵在数学知识形成、发展和应用的过程中，是基础知识的灵魂，是数学知识和方法在更高层次上的抽象与概括，如抽象、分类、归纳、演绎、模型等。学生在积极参与教学活动的过程中，通过独立思考、合作交流，逐步感悟数学思想。同时在度量图形的过程中组织学生进行大量的操作性活动，有利于学生积累基本的数学活动经验。

二题①在上述的两个教学案例中，哪个学生的活动是富有数学价值的？说说您的理由。②学生的想法和教材上的想法有没有什么联系？

教材中为什么要“切蛋糕”？③面对学生的想法，您在教学设计中如

何处理？

1小题:

第三个学生的活动是富有数学价值的.

理由是在新课改背景下，我们要培养学生的创新思维，应该让学生自主探索圆面积计算的方法，可最终还是应该以“切蛋糕”方法来推导圆面积计算公式。首先这是因为“切蛋糕”的方法是古代人们的智慧结晶，是在圆面积计算公式推导中公认而采用的一种方法，毕竟我们的学习还是以间接经验为主，学习是站在前人的肩膀上进行的。其次“切蛋糕”的方法是基于学生在推到出平行四边形和三角形面积计算公式之后而进行的，这时学生已经有了“转化”的思想，而“切蛋糕”正是“转化”思想的进一步升华和运用，以此法来进行推导便于学生理解，顺理成章，具有说服力。另外，“切蛋糕”的方法体现了从整体到部分再到整体的转化思路，学生可以通过直观的观察得出：1、转化前的圆与之后的平行四边形的面积相等。2、平行四边形的底是圆周长的一半。3、平行四边形的高是圆的半径。当学生看出这些后，只须将平行四边形的公式变形就会得到圆面积的计算公式，可以说有理有据，符合人的思维特点，也合乎数学学科严谨科学的特点.

2小题

（1）圆中“得到”一个内接正方形。

学生：如下图，我们把圆形内部折出一个正方形，这个正方形的面积可以求出，但是我们不知道这多余的八个图形的面积怎么求。

（2）圆中画小方格。

学生：如下图，中间的小方格好数出来，但是旁边不满一格的不知怎么办。

（3）教材中的“切蛋糕”。

教材将圆等分为了若干份扇形，然后将这些扇形“拼成”了近似的平行四边形和长方形，并且分的份数越多，就越接近平行四边形和长方形。接着，教材引导学生分析圆的周长与半径与平行四边形的底和高（或长方形的长和宽）的关系，由此推导出圆的面积的公式。老师们把“切——拼”的过程称为“切蛋糕”。

3小题

动手操作：

分小组动手操作，把圆平均分成若干份，剪开后，拼成其他图形，看谁拼得好，拼出的图形多。（可拼成近似的平行四边形、长方形、梯形、和三角形）

展示交流并介绍：你是怎样拼接的？拼出来的图形近似于什么？为什么只能说是“近似”？能不能把拼出的图形的边变直一点？

课件演示：以拼成的近似长方形为例，平均分成4份、8份、16份、32份。

想象一下，平均分成128份、256份……会是什么情形？

小结：分的份数越多，拼成的图形越接近于长方形。

动手推导：

引导：当圆转化成近似的长方形后，圆和它有什么联系呢？

近似长方形的长和宽与圆的周长和半径有什么关系？

如果圆的半径是r，这个近似长方形的长和宽各是多少？

如何根据已经学过的长方形的面积公式，怎样推导出所要研究的圆的面积公式？

学生讨论交流：长方形的长是圆周长的一半，即C/2=2πr/2=πr，宽是圆的半径。教师板书如下：

长方形的面积= 长×宽

↓↓

圆的面积 =πr× r=πr2

S = πr2

自主探究：

课件出示：

A、把圆转化成一个近似的三角形，三角形的底是圆周长的1/4，高是4r

C、把圆转化成一个近似的梯形，梯形的上底是圆周长的3/16，下底是圆周长的5/16，高是2r

如果有兴趣，请同学课后推导。

你还能用其他更简洁的方法推导圆的面积吗？

课件出示：

A、用圆的1/4拼成一个近似的小平行四边形

B、圆的1/16就是一个近似的小三角形

归纳评价：通过把圆转化成近似的平行四边形、三角形、梯形，或先算出其中的一小份再求出总的面积的方法，都能推导出圆的面积公式：S =πr2

3、小结：同学们通过大胆猜想和动手验证，终于得到了圆面积的计算公式。那么，求圆的面积需要什么条件呢？（半径）是否只有知道半径才能求圆的面积？